第一篇：談不等式證明的幾種特殊方法

談不等式證明的幾種特殊方法

添加日期:2011年01月20日 來源：互聯(lián)網(wǎng) 作者：admin 點擊數(shù)：

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【字體：大 中 小】摘要不等式的證明在數(shù)學(xué)中是比較常見的題型,本文主要介紹幾種特殊的證法,解決一些用一般方法不易解決的不等式證明問題。

關(guān)鍵詞拉格朗日中值定理 導(dǎo)函數(shù) 柯西中值定理

不等式是中學(xué)教材的重要內(nèi)容,對它的研究幾乎包括了中學(xué)數(shù)學(xué)的全部方法,因此它具有很強的綜合性和代表性,不等式證明方法與技巧層出不窮,但有些不等式用常見的方法(如比較法、分析綜合法、放縮法和數(shù)形結(jié)合法等)很難證出來,這里結(jié)合高等數(shù)學(xué)的相關(guān)知識介紹幾種特殊的不等式的證法,解決某些不等式的證明問題。轉(zhuǎn)化成數(shù)列,然后證明數(shù)列的遞增遞減

對于與自然數(shù)有關(guān)的不等式,一般情況下都可用數(shù)學(xué)歸納法來證明不等式成立,有時若考慮把它轉(zhuǎn)化成數(shù)列,然后利用數(shù)列的遞增或遞減性來證明會使問題易于解決。例1.求證:不等式2n-1≤n!對于任何正整數(shù)都成立

證明:我們把所給的不等式變?yōu)榈葍r的不等式≤

1現(xiàn)在,我們來研究其通項公式an=

給出的數(shù)列,下面我們只需證明它是單調(diào)遞減的,實際上對于任意的n∈N有

所以該數(shù)列是遞減的,而它的首項等于1,因此對于任何正整數(shù)有≤1即2n-1≤n!

此題若采用一般方法如數(shù)學(xué)歸納法來證,證明過程太繁瑣,機械化,選擇這種方法證明不等式,思路清晰,簡化了證明過程,我們很容易收到事半功倍的效果。利用拉格朗日中值定理,導(dǎo)函數(shù)或柯西中值定理[2]證明

對于有些與函數(shù)有關(guān)的不等式,我們可先構(gòu)造一個輔助函數(shù),然后利用拉格朗日中值定理或?qū)Ш瘮?shù)的增減性來證明。

例2.當x>0,ex>x+1

證明(1):令f(x)=ex-x-1(x>0)

因為f(x)在區(qū)間[0,x]上滿足拉格朗日中值定理的條件,故有 = f'(),∈(0,x)即=e-1,∈(0,x)所以ex>x+1

證明(2):設(shè)f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1

x>0有f'(x)>0,從而函數(shù)f(x)在(0,+∞)嚴格單調(diào)遞增,于是x>0

有f(x)=ex-x-1>0 即x>0,有ex>x+1

此題開始接觸,無法下手摸不著頭腦,若能聯(lián)想到函數(shù)有關(guān)的不等式,我們能很容易地構(gòu)造出輔助函數(shù),在驗證輔助函數(shù)滿足定理后,我們用拉格朗日中值定理或?qū)Ш瘮?shù)的增減性來證明,思路簡潔明快。

例3.證明:當時0證明:函數(shù)arctan在[a,b]滿足柯西中值定理條件,有arctan-arctan=(arctan)'|x=c(b-a)=,a

而<<有此類題目不等式中的代數(shù)式特征及聯(lián)系很容易暴露出來,若能熟練應(yīng)用柯西

中值定理,我們就能一眼看出相應(yīng)的函數(shù),作到成竹在胸。利用柯西不等式[1]證明

在用柯西不等式證明其他不等式時,關(guān)鍵在于結(jié)合柯西不等式找出題目中不等式的特點,構(gòu)造出適當?shù)膬山M數(shù),將會使問題證明簡化

例4.設(shè)ai∈R+(i=1,2,…,n),a1+a2+…+an=1

求證:(ai+)≥

證明:首先證明,對于任何ai∈R+(i=1,2,…,n)都有

事實上,從柯西不等式可得

[1]式左邊=

下面我們來證明原不等式,由柯西不等式得,又由ai=1可知:

由(2),(3)得(ai+)≥

在本題證明中,當證明(1)與(2)式時兩次應(yīng)用了柯西不等式,從證明過程中可以看到應(yīng)用柯西不等式的關(guān)鍵在于構(gòu)造適合不等式條件的兩組正數(shù)及,以及符合柯西不等式形式

[aibi]2(如(2)式的證明)或(ai2)(bi2)(如(1)式的證明)。利用排序原理[1]證明不等式

排序原理是將序結(jié)構(gòu)應(yīng)用到不等式的成功產(chǎn)物,它同排列與計數(shù)(屬組合數(shù)學(xué)),線性規(guī)劃等有密切聯(lián)系,排序原理是證明不等式的很重要的工具,排序原理的應(yīng)用技巧較強,如何設(shè)兩個數(shù)組(a1,a2,…,an)和(b1,b2,…,bn)是排序原理應(yīng)用的關(guān)鍵。

例5.設(shè)都是正數(shù)x1,x2,…,xn,求證:

證明:由排序原理得

由此例,我們可驚喜地發(fā)現(xiàn),若能巧妙地設(shè)計兩個數(shù)組應(yīng)用排序不等式證明不等式,比起其他一般方法當然就可化難為易,簡捷明快。利用概率論中的一個簡單矩不等式[3]證明不等式

此簡單矩不等式可以用來證明一類輪換不等式:

設(shè)a1,a2,…,an是不全相等的不等式,n≥且ai=s

則>n(n-1)

例6.已知不全相等的不等式的正數(shù),求證:

a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc

證明:原式等價于>6

設(shè)隨機變量X的分布列為

在應(yīng)用簡單距不等式證明這類輪換不等式時,先要摸清不等式代數(shù)式的規(guī)律性,巧設(shè)隨

機變量的分布列,這樣就使證明思路明朗化了,簡單化了。利用拉格朗日恒等式或推廣式[4]證明不等式

對三角不等式證明的一類問題,若運利用拉格郎日恒等式(或推廣式)來求證,可以化難為易,一目了然。

例7.設(shè)0<<證明:

證明:由拉格郎日恒等式,得

將上面等式化簡整理,得

式中等號成立當僅當sin2-1即=

由上例,我們知道對于這類三角不等式的證明問題,我們經(jīng)常需要利用三角恒等變形,如本題的常值“1”的代換,也需要我們敏捷地觀察出特征不等式個代數(shù)式的特征及內(nèi)在聯(lián)系,能熟練地掌握拉格郎日恒等式及推廣式,在解決這類問題時,就不廢吹灰之力了。構(gòu)造輔助函數(shù)

在證明一些不等式時,利用不等式的特點構(gòu)造輔助函數(shù),把原來的不等式問題轉(zhuǎn)化為研究輔助函數(shù)的性質(zhì),便利用函數(shù)的單調(diào)性,有界性,奇偶性等來證明不等式。

例8.證明對任意實數(shù)X成立≤≤

分析:不等式兩邊分別是,相當于某一個一元二次方程的兩個不相等的實構(gòu)造輔助函數(shù)根,這啟發(fā)我們設(shè)置輔助函數(shù)研究不等式。

證明:設(shè)f(x)= y = ,則yx2-x-y+1=0

將yx2-x-y+1=0看作一元二次方程,此時y≠0,x必為實數(shù),則△=1-4y(y+1)≥0 即4y2+4y-1≤0

解得≤y≤

顯然,當y=0時,y也滿足上式,所以≤≤成立

從上例可以發(fā)現(xiàn),我們在求證一些不等式時,應(yīng)根據(jù)不等式,各代數(shù)式的特性,性質(zhì),從新的角度,用新的觀點觀察,分析對象,抓住各代數(shù)式之間內(nèi)在聯(lián)系,在思維中構(gòu)造出合適的輔助函數(shù),使原來不等式中隱含不清的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造的輔助函數(shù)中清楚地展現(xiàn)出來,從而借助該輔助函數(shù)簡潔地求證不等式。利用特殊化證明

由于一般性總是寓于特殊性之中,而解特殊問題又比解一般問題要容易,加之特殊情況的結(jié)論往往又是解決一般情況的橋梁與先導(dǎo)。所以,在求證某一些不等式時,就可以先考慮它一個或兩個特殊情形,利用各個特殊情形中蘊涵的共性與個性,通過比較歸納得出原問題的有關(guān)性質(zhì)或條件,從而得證。

例9求證:

分析這是一個一般性的結(jié)論,為了獲得證法,我們先探討特殊情況下的命題證法,有

由此啟示,我們可得到以下證法(下轉(zhuǎn)第54頁)(上接第52頁)證明:

在探討這個不等式的證明思路與方法時,我們利用特殊情形的證法與一般情形的證法存在共性,借助在證明特殊情形時尋求出來的規(guī)律與方法的啟發(fā)很容易就獲得對于一般情形的求證方法。

例10.知a,b,c都是正數(shù),又滿足abc=1,求證: ++ ≥

分析由于原不等式等價于 ++ ≥

當a=b=c時,等號成立,又此時

后三式同向相加可得

于是題目的證明思路就清晰了,這里就不再重復(fù)證明過程。本題是用特殊化證法中的等號起步法,充分利用已知條件掌握求證信息,證明思路當然“柳暗花明又一村”了。

小結(jié)

不等式是研究數(shù)學(xué)的重要工具,是培養(yǎng)推理論證能力的重要內(nèi)容,具有很強的綜合性和表達性,是數(shù)學(xué)思想的載體,突出體現(xiàn)了等價變化,函數(shù)與方程,分類討論,數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想,這里僅介紹幾種特殊的不等式證法,雖然它們是分開討論研究的,但各種證法之間必然還是存在一定的聯(lián)系,一些例題的證法不止一兩種,我們可以綜合應(yīng)用各種方法來證,當然一般情況,我們都愿意尋求最簡潔明快的證法,也就是要求我們仔細地分析題設(shè)和結(jié)論不等式。找出不等式中隱藏的內(nèi)涵關(guān)系,用最直觀的方法來證,不等式的證明好方法很多,如向量法、微分法、反證法等。

參考文獻

本文出自： 計算機畢業(yè)設(shè)計 計算機碩士論文網(wǎng) 歡迎轉(zhuǎn)載

[1]李明振.數(shù)學(xué)方法與解題研究.上?？萍冀逃霭嫔?[2]劉玉璉,傅沛仁.數(shù)學(xué)分析講義.高等教育出版社,1992(6).[3]魏宗舒等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程.高等教育出版社,1983(10).[4]數(shù)學(xué)通訊,2003(7):13.

第二篇：如何用配方法證明等式

如何用配方法證明等式

配方法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個最基本的數(shù)學(xué)方法,通過它對代數(shù)式的恒等變形,使許多復(fù)雜的問題得以簡單化.現(xiàn)在我們就用配方法來證明恒等式和條件等式.一.通過配方直接證明等式成立

例1 求證

(a?b?c)(x?y?z)?(ax?by?cz)

?(bx?ay)?(cx?az)?(cy?bz)222222222

2證明左邊=(a2x2?a2y2?a2z2?b2x2?b2y2?b2z2?c2x2?c2y2

?cz)?(ax?by?cz?2axby?2axcz?2bycz)22222222

?bx?2axby?ay?cx?2axcz?az?cy?2bycz?bz

?(bx?ay)?(cx?az)?(cy?bz)***

所以左邊=右邊

即:(a?b?c)(x?y?z)?(ax?by?cz)

?(bx?ay)?(cx?az)?(cy?bz)2222222222

例2 已知(c?a)2?4(a?b)(b?c)?0，求證a、b、c成等差數(shù)列（即證明 a?2b?c?0）

證明c2?2ac?a2?4ab?4ac?4b2?4bc?0

c?4b?a?4ab?4bc?2ac?0

(a?2b?c)?0222

2?a?2b?c?0

?b?a?c

2所以a、b、c成等差數(shù)列

二.通過配方,把已知的等式化為幾個實數(shù)的平方和等于零的形式，就是說化為a2+b2+c2=0則

a=b=c=0從而從而使所求的等式成立．

例3已知a、b、c、x、y、z都是非零實數(shù)，且a?b?c?x?y?z?ax?by?cz，求證x

a?y

b?z

c22222

2222222證明由已知條件可以得到：a?b?c?x?y?z?2ax?2by?2cz?0

即：(x?a)?(y?b)?(z?c)?0222

?x?a?0?x?a

????y?b?0??y?b

?z?c?0?z?c??

而a、b、c都不等于零，所以

例4 xa?yb?zc 已知a、b、m、n都是正數(shù)，并且a4?b4?m4?n4?4abmn?0

求證a?b?m?n

證明將已知等式的左邊進行配方可得：

a?2ab?b?m?2mn?n?2ab?2mn?4abmn?0422442242222

(a2?b2)2?(m2?n2)2?2(ab?mn)2?0

?a2?b2?0

?22??m?n?0

?ab?mn?0?

?a?b

??a?b?m?n ?a,b,m,n都是正數(shù)??m?n

?22?b?n?0

綜上所述，我們在解題過程中一方面要充分認識完全平方公式的特點(a?b)?a?2ab?b，然后逆用公式進行證明如例1和例2。另一方面也要利用它的非負222

性的性質(zhì)：(a?b)2?0當且僅當a=b時等號成立。通過添加適當?shù)捻棙?gòu)造出完全平方式進行等式的證明如例3和例4。

第三篇：《矩陣的秩的等式及不等式的證明》

摘 要

矩陣的秩是矩陣的一個重要特征，它具有許多的重要性質(zhì).本文總結(jié)歸納出了有關(guān)矩陣的秩的等式和不等式命題，以及證明這些命題常用的證明方法，即從向量組、線性方程組、線性空間同構(gòu)、矩陣分塊、矩陣初等變換等角度給出多種證明方法.本文主要解決以下幾個問題：用矩陣已知的秩的理論證明矩陣秩的等式和不等式問題；用線性空間的方法證明矩陣秩的等式和不等式問題；用向量組秩的理論證明矩陣秩的等式和不等式問題；用矩陣分塊法證明秩的等式和不等式問題.-i

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第一章 緒論

矩陣的秩是矩陣的一個重要特征，是矩陣理論中研究的一個重要內(nèi)容，它具有許多的重要性質(zhì).研究矩陣的秩對于解決矩陣的很多問題具有重要意義.矩陣的秩的等式及不等式的證明對于學(xué)習(xí)矩陣也是重點和難點，初學(xué)者在做這方面的題目往往不知如何下手.筆者歸納了矩陣的秩的常見等式和不等式以及與之相關(guān)的一些結(jié)論，并從向量組、線性方程組、矩陣分塊、矩陣初等變換等角度探索了多種證明方法，它有助于學(xué)習(xí)者加深對秩的理解和知識的運用，也方便教師教學(xué).目前對矩陣秩的研究已經(jīng)比較成熟了，但是由于秩是矩陣論里的一個基本而重要的概念，它仍然有著重要的研究價值，有關(guān)它的論文時見報端.很多國內(nèi)外的有關(guān)數(shù)學(xué)書籍雜志對矩陣的秩都有講述，如蘇育才、姜翠波、張躍輝在《矩陣論》（科學(xué)出版社、2006年5月出版）中較完整地給出了矩陣秩的理論.北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編寫的《高等代數(shù)》（高等教育出版社,2003年7月出版）也介紹了秩的一些性質(zhì).但是對秩的等式及不等式的介紹都比較分散，不全面也沒有系統(tǒng)化，不方便初學(xué)者全面掌握秩的性質(zhì).因此有必要對矩陣的秩的等式和不等式進行一個歸總，便于學(xué)習(xí)和掌握.本文通過查閱文獻資料，總結(jié)歸納出有關(guān)矩陣的秩的等式和不等式命題，以及證明這些命題常用的證明方法，從向量組、線性方程組、線性空間同構(gòu)、矩陣分塊、矩陣初等變換等角度給出多種證明方法.主要內(nèi)容有：（1）用矩陣已知的秩的理論證明矩陣秩的等式和不等式問題；（2）用線性空間的方法證明矩陣秩的等式和不等式問題；（3）用向量組秩的理論證明矩陣秩的等式和不等式問題；（4）用矩陣分塊法證明秩的等式和不等式問題.-

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第二章 預(yù)備知識

定義1矩陣的行向量組的秩稱為矩陣的行秩；

矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩； 矩陣的行秩和列秩統(tǒng)稱為矩陣的秩.定義2如果兩個向量組互相可以線性表出，它們就稱為等價.定義3 數(shù)域P上的矩陣的初等行（列）變換是指下列三種變換：

（1）以數(shù)域P中的一個非零數(shù)乘以矩陣的某一行（列）；（2）把矩陣的某一行（列）的c倍加到另一行（列）；（3）互換矩陣中兩行（列）的位置.定義4在一個s?n矩陣A中任意選定k行和k列，位于這些選定的行列交叉點上的k2個元素按原來的次序組成的k級行列式稱為A的一個k級子式.定義5設(shè)A為m?n矩陣,稱線性方程組Ax?0的解空間為A的零空間(即核空間)，記作N?A?,即N?A???xAx?0?.引理1[1] 矩陣的行秩等于列秩.引理2[1] 任意兩個等價的向量組必有相同的秩.引理3 n階方陣A可逆?A?0.111證明:充分性:當d?A?0,由A(A*)?(A*)A?E知A可逆，且A?1?A*.ddd必要性:如果A可逆，那么有A?1使AA?1?E.兩邊取列式，得AA?1?E?1，因而A?0.引理4[1] 矩陣的秩是r的充要條件為矩陣中有一個r級子式不為0，同時所有的r?1級子式全為0.引理5[1] 如果向量組???可以由向量組????線性表出，那么???的秩不超過????的秩.證明：根據(jù)已知可知向量組???極大線性無關(guān)組可由????的極大線性無關(guān)組線性表出，根據(jù)向量組的基本性質(zhì)(見參考文獻[1])可得，向量組???極大線性無關(guān)組的向量個數(shù)不超過????的極大線性無關(guān)組的向量個數(shù)，即???的秩不超過????的秩.引理6[1] 在齊次線性方程組有非零解的情況下，它有基礎(chǔ)解系，并且基礎(chǔ)解系所含解的個數(shù)為n?r，這里r表示系數(shù)矩陣的秩，n?r也是自由未知量的個數(shù).-

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第三章 用矩陣的秩的理論證明秩的等式和不等式

本章主要是利用矩陣已知的秩的理論證明秩的等式和不等式問題，例如行秩等于列秩，秩為r的充要條件，常見的秩的不等式等等.要掌握并且靈活運用這些知識才能證明下面的命題.這些命題都是一些基本的命題.命題3.1 r?A??r?AT?．

證明：由矩陣轉(zhuǎn)置的定義,A的行向量組就是AT的列向量組，因此A的行秩就是AT的列秩，又由引理1知r?A??r?AT?，命題證畢.命題3.2 r?kA??r?A?（其中k?0）.證明：kA的行向量組可由A的行向量組線性表出，A的行向量組也可由kA的行向量組線性表出，因此kA的行向量組與A的行向量組等價.由引理2它們的秩相等，再由秩的定義知kA與A的秩相等,命題證畢.命題3.3 A是一個s?n矩陣，如果P是s?s可逆矩陣，Q是n?n可逆矩陣，那么r?A??r?PA??r?AQ?.證明：令B?PA,由矩陣乘積的秩不超過各因子的秩可知r?B??r?A?,但是由A?P?1A，又有r?A??r?B?．

所以r?A??r?B??r?PA?.另一個等式可以同樣地證明,命題證畢.?n,如r?A??n?命題3.4[2] 設(shè)A是一個n階方陣，則r?A*???1,如r?A??n?1

?0,如r?A??n?2?.證明：若r?A??n，由引理3，A?0，知A可逆，A*?AA?1可逆，故r?A???n． 若r?A??n?1，由引理4，A存在n?1階子式不為0，因此A*?0,r?A???1，又因為AA*?AE?0，有r?A??r?A*??n，即r?A*??n?r?A??1，從而r?A*??1．

若r?A??n?2，則由引理4，A存在n?1階子式全為0，于是A*=0，即r?A*??0．命題證畢.從這個命題可以得出r?A*??r?A?的結(jié)論.-

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命題3.5［３］ 設(shè)A是一個m?n矩陣，任取A的s行t列,交叉處的s?t個元素按原來的相對位置構(gòu)成s?t子矩陣C，則r?C??m?n?r?A??s?t．

證明:設(shè)D為A的s行所構(gòu)成的s?t子矩陣，它由C所在的s行確定.設(shè)r?D??d.則A的任意一個大于d?m?s階的子式M必須至少有d?1行出現(xiàn)在D中.根據(jù)行列式的性質(zhì)，對這個子式M按出現(xiàn)在D中的那些行進行拉普拉斯展開，則可以看出，這個M可以表示成D的一些階子式的線性組合，其中k為某個大于d的數(shù).由引理3這些子式全為零.因此任意一個大于d?m?s階子式M必須等于零.由秩的定義,r?A??r?D??m?s.由行與列的對稱性類似地可推出r?D??r?C??n?t,兩式相加即可得到

r?C??m?n?r?A??s?t，命題證畢.命題3.6［４］ 設(shè)A,B都是n階矩陣,證明:r?AB?A?B??r?A??r?B?.證明:r?AB?A?B??r?A?B?E??B??r?A?B?E??B??r?A??r?B?，命題證畢.例3.1 設(shè)A為n階方陣，求證必存在正整數(shù)m使得r?Am??r?Am?1?.證明:由于A為n階方陣，則n?r?A??r?A2???r?Ai????0,其中i為正整數(shù),而n是有限數(shù)，上面的不等式不可能無限不等下去，因而必存在正整數(shù)m使得r?Am??r?Am?1?.例3.2設(shè)A，B都是n階方陣，E是n階單位矩陣，證明

r?AB?E??r?A?E??r?B?E?.證明:因為AB?E??A?E??A?B?E?,所以

r?AB?E??r??A?E??A?B?E???r?A?E??r?A?B?E???r?A?E??r?B?E?.命題3.7設(shè)A為n階矩陣，證明:如果A2?E,那么r?A?E??r?A?E??n.證明： 因為?A?E??A?E??A2?A?A?E?E?E?0,由命題5.3知

r?A?E??r?A?E??n.①

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又 r?A?E??r?A?E??r?A?E?A?E??r?2A??r?A?

而A2?E，所以A2?1,即A?0，r?A??n.因此

r?A?E??r?A?E??n.②

由①，② 可得r?A?E??r?A?E??n.例3.3[5] 設(shè)A,B為n階方陣,且ABA=B?1,則r?E?AB??r?E?AB??n.證明:因為ABA?B?1,所以?AB?2?E.由命題3.7知

r?AB?E??r?AB?E??n(1)由 r?E?AB??r?AB?E?，r?E?AB??r?AB?E?(2)由(1),(2)知有r?E?AB??r?E?AB??n成立.例3.4設(shè)A為n階矩陣,且A2?A,證明r?A??r?A?E??n.證明：由A2?A，可得 A?A?E??0.r?A??r?A?E??n ①

又因為E?A和A?E 有相同的秩,所以

n?r?E??r?A?E?A??r?A??r?E?A? ②

由①，② 可得r?A??r?A?E??n.-

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第四章 用線性空間的理論證明秩的等式和不等式

本章主要是利用線性空間的維數(shù)公式，同構(gòu)，直和分解，核與值域的一些性質(zhì)和定理來證明矩陣的一些秩的等式和不等式命題.線性空間和線性變換的知識本來就比較抽象，還要和矩陣的聯(lián)系起來，是有一定的難度的.這其中要構(gòu)造一些映射．

命題4.1 A設(shè)為n階方陣，如果A的列向量所生成的Rn的子空間R?A?與A的零空間（即核空間）N?A?的直和為Rn，則r?A??r?A2?.證明:根據(jù)引理6，要證r?A??r?A2?，只要證AX?0與A2X?0同解．

AX?0的解顯然為方程組A2X?0的解.下面我們用反證法證明A2X?0的任一解Y同時也是A2X?0的解.若AY?0，因A?AY??0,故AY?N?A?.另一方面，AY??yi?i?R?A?，其中

i?1nA???1,?2,?,?n?，Y??y1,y2,?,yn?, 從而 0?AY?R?A??N?A?, 這與Rn?R?A??N?A?矛盾,所以A2X?0的任一解同時也是AX?0的解,于是它們同解,故r?A??r?A2?.命題4.2 設(shè)A為m?n矩陣，B為n?1矩陣，證明Sylrester公式：

Tr?A?+r?B?-n?r?AB?.證明:設(shè)A為m?n矩陣，B為n?1矩陣, ?x1??y1??ABX?0(1)?????考慮X????，Y????, 方程組?BX?0(2), ?x??y??(3)?AY?0?n??n?設(shè)（1）（2）（3）的解空間分別為VAB，VB，VA，則dimVA?n?r?A?，將三者聯(lián)系起來，作?BXx?VAB?，則它為VA的子空間，從而

dim?BXx?VAB??dimVA?n?r?A?，-

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又VB為VAB的子空間，作：

VAB?VB?W

一方面dimW?dimVAB?dimVB?1?r?AB???1?r?B???r?B??r?AB? 下證W??BXX?VAB?

定義 f:W??BXX?VAB?

f????B?

易知這個映射是單滿的，并且滿足線性運算條件，所以它是同構(gòu)映射.dimW?dim?BXX?VAB??r?B??r?AB?

但上面：

dim?BXX?VAB??dimVA?n?r?A?.因此 n?r?A??r?B??r?AB?，即 r?A??r?B??n?r?AB?．

命題4.3 設(shè)A為m?n，B為n?m矩陣，AB?BA．證r?A?B??r?A??r?B??r?AB?． 證明:設(shè)w1,w2,w3,w4分別為A,B,A?B,AB行空間,那么

dimw1?r?A?, dimw2?r?B? dimw3?r?A?B?, dimw4?r?AB?

由于w3?w1?w2,并由維數(shù)公式得: dimw3?dim?w1?w2??dimw1?dimw2?dim?w1?w2?即得: r?A?B??r?A??r?B??dim?w1?w2?(1)由于AB的行向量是B的行向量的線性組合,所以有w4?w2,又AB?BA,所以有w4?w1,因此有w4?w1?w2,所以有

r?AB??dim?w1?w2?(2).-

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將(2)代入(1)即得: r?A?B??r?A??r?B??r?AB?.命題4.4 若r?AB??r?B?，證明r?ABC??r?BC?.證明：設(shè)方程組ABX?0與BX?0的解空間分別為VAB，VB.若r?AB??r?B?，則根據(jù)引理6知dim?VAB??dim?VB?

① 又因為滿足BX?0解向量也滿足ABX?0,所以VAB?VB

② 由① ②可推出VAB?VB.要證r?ABC??r?BC?，只要證ABCX?0與BCX?0同解.設(shè)方程組ABCX?0與BCX?0的解空間分別為VABC，VBC.顯然VABC?VBC,只要證VABC?VBC.由ABCX?0知CX?VAB?VB,即BCX?0，因此VABC?VBC，命題得證.此例是一個有價值的結(jié)論.例4.1 n階矩陣A滿足A2?A當且僅當r?A??r?A?E??n.?1??????2??A0 1證明：先證明必要性.由A?A知A相似于形如???0???????的對角陣，其中1的個數(shù)為r?A?,又E?A與E?A0相似，從而有相同的秩，而

?1???????，E?A0??1??0???????其中0的個數(shù)為A的秩，1的個數(shù)n?r?A?.所以

r?A??r?E?A??r?A??r?E?A0??r?A??n?r?A??0.充分性.只要證明對任意X均有A2X?AX即可.由r?A??r?E?A??n說

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明,AX1?0的解空間V1與?E?A?X2?0的解空間V2滿足V1?V2?Rn,從而對任意X存在唯一分解

X?X1?X2其中X1?V1X2?V2,所以

A2X?A2?X1?X2??A?AX1??A?AX2??0A?AX2?0?X2?AX1?AX2?A?X1?X2?

?AX

綜上即證A2?A.命題4.5設(shè)A,B分別是m?m,m?n矩陣，其中A為可逆矩陣,證明r(AB)?r(B).證明：設(shè)AB?Q,A?(?1,?2,...,?m),B?(?1,?2,...,?n),Q?(?1,?2,...,?n)，則(?1,?2,...,?m)?1??1,(?1,?2,...,?m)?2??2,...,(?1,?2,...,?m)?n??n 因為A為可逆矩陣，秩為m，故可將(?1,?2,...,?m)看做m維線性空間的一組基，則向量?1,?2,...,?n在這組基下的坐標向量分別為?1,?2,...,?n.作

l(?1,?2,...,?n),l(?1,?2,...,?n)，在這兩個線性空間中構(gòu)造映射，將l(?1,?2,...,?n)中的每個向量映射到在基(?1,?2,...,?m)下的坐標向量，這個映射是一個同構(gòu)映射，因此l(?1,?2,...,?n),l(?1,?2,...,?n)這兩個線性空間同構(gòu)，所以

dim(l(?1,?2,...,?n))?dim(l(?1,?2,...,?n))，而dim(l(?1,?2,...,?n))?r(B),dim(l(?1,?2,...,?n))?r(AB).所以r(AB)?r(B).同理可證明當B為可逆矩陣時,r(AB)?r(A).這章主要是利用線性空間和線性變換的一些知識來證明矩陣的秩的等式和不等式命題，難點在于要好好理解線性空間和線性變換的一些知識，重要定理和性質(zhì)，再把握它們同矩陣的聯(lián)系.-

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第五章 用向量組秩的理論證明秩的等式和不等式

本章主要利用向量組的秩和極大線性無關(guān)組的一些知識，以及線性方程組的解空間的維數(shù)和系數(shù)矩陣的秩的關(guān)系來證明秩的等式和不等式.B是m?p矩陣,則r?A?或r?B??r?A?B??r?A??r?B?.命題5.1設(shè)A是m?n矩陣，證明：?A?B?列向量組向量的個數(shù)比A和B多，所以r?A?或r?B??r?A?B?． 下面證明r?A?B??r?A??r?B?.不妨設(shè)Ai1,Ai2?,Air1與Bj1,Bj2?,Bjr2分別是A與B的列向量組的極大線性無關(guān)組,則?A?B?的每個列向量均可用向量組

Ai1,Ai2?,Air1,Bj1,Bj2?,Bjr2

線性表出,根據(jù)引理5可知

r?A?B??rAi1,Ai2?,Air1,Bj1,Bj2?,Bjr2?r1?r2?r?A??r?B?.??命題證畢.命題5.2設(shè)A,B是m?n矩陣，r?A??r?B??r?A?B??r?A??r?B?.證明：先證明r?A?B??r?A??r?B?.設(shè)

A??A1,A2?,An?B??B1,B2?,Bn? ，則

A?B??A1?B1,A2?B2?,An?Bn?.不妨設(shè)Ai1,Ai2?,Air1與Bj1,Bj2?,Bjr2分別是A與B的列向量組的極大線性無關(guān)組，則有

As?k1Ai1?k2Ai2???kr1Air1?s?1,2,?,n?

Bs?l1Bi1?l2Bi2???lr2Bir2

As?Bs??k1Ai1?k2Ai2???kr1Air1?l1Bi1?l2Bi2???lr2Bir2

即A?B的列向量可以由Ai1,Ai2?,Air1,Bj1,Bj2?,Bjr2線性表出，由引理5知

r?A?B??rAi1,Ai2?,Air1,Bj1,Bj2?,Bjr2?r1?r2?r?A??r?B?.0

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再證明r?A??r?B??r?A?B?.由剛證明的結(jié)論r?A?B??r?A??r?B?可知

r?A??r??A?B????B???r?A?B??r??B??r?A?B??r?B?, 移項得到

r?A??r?B??r?A?B?, 同理可得r?B??r?A??r?A?B?,因此r?A??r?B??r?A?B?.綜上所述我們證明了r?A??r?B??r?A?B??r?A??r?B?，對于r?A??r?B??r?A?B??r?A??r?B?，只要把以上證明過程的B改成?B即可得證，命題證畢.由命題3.1r?A??r?AT?,命題3.2r?kA??r?A?（其中k?0）和本命題可推知

r?kA?lB??r?A??r?B?（其中kl?0）.例5.1設(shè)A,B是m?n矩陣,證明:r?A?B??r?A?B?.證明:先證明r?A?B??r?A?B?.設(shè)A??A1,A2?,An? B??B1,B2?,Bn?, 則A?B??A1?B1,A2?B2?,An?Bn? ?A?B???A1,A2?,An,B1,B2?,Bn?.不妨設(shè)Ai1,Ai2?,Air1與Bj1,Bj2?,Bjr2分別是A與B的列向量組的極大線性無關(guān)組，則有

As?k1Ai1?k2Ai2???kr1Air1?s?1,2,?,n?

Bs?l1Bi1?l2Bi2???lr2Bir2

As?Bs??k1Ai1?k2Ai2???kr1Air1?l1Bi1?l2Bi2???lr2Bir2

即A?B的列向量可以由Ai1,Ai2?,Air1,Bj1,Bj2?,Bjr2線性表出,由于

Ai1,Ai2?,Air1,Bj1,Bj2?,Bjr2

也是來自于?A?B?的列向量組的向量,所以A?B的列向量也可以由?A?B?的列向量組線性表出,根據(jù)引理5可知r?A?B??r?A?B?.對于r?A?B??r?A?B?, 只要把以上證

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明過程的B改成?B即可得證，命題證畢.命題5.3設(shè)A是m?n矩陣，B是n?p矩陣，如果AB?0，則r?A??r?B??n.證明：設(shè) B??B1,B2,?,Bp?，則AB??AB1,AB2,?,ABp??0.故有AB1?AB2???ABp?0,即齊次方程組AX?0有p個解B1,B2,?,Bp.若r?A??r，則根據(jù)引理6,B1,B2,?,Bp可由n?r個解向量組成的基礎(chǔ)解系線性表出.根據(jù)引理5有r?B??n?r,r?A??r?B??r??n?r??n,命題證畢.例5.2 A是m?n矩陣，則r?ATA??r?AAT??r?A??r?AT?.證明：由命題3.1知r?A??r?AT?.下面我們先證明r?ATA??r?A?.只要證明ATAX?0與AX?0同解便可得到r?ATA??r?A?.一方面，滿足AX?0解向量也滿足ATAX?0；

另一方面，由ATAX?0兩邊同時左乘XT得到XTATAX?0，即?AX?T?AX??0，?k1?T??2?0,所以ki?0?i?1,2,?,n?，AX?0，設(shè)AX????,那么?AX??AX??k12??kn?k??n?滿足ATAX?0的解也滿足AX?0．

綜上所述ATAX?0與AX?0同解,解空間的維數(shù)相等，由系數(shù)矩陣的秩與線性方程解空間的維數(shù)之間的關(guān)系可知

n?r?ATA??n?r?A?，r?ATA??r?A?.對r?AAT??r?AT?證明過程與此類似，所以r?ATA??r?AAT??r?A??r?AT?，命題證畢.例5.3 證明：若線性方程組AX?0的解均為BX?0的解，則r?A??r?B?.證明：設(shè)方程組AX?0與BX?0的解空間分別為VA,VB，若線性方程組AX?0的解均為BX?0的解，則

VA?VB,dim?VA??dim?VB?-12

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根據(jù)引理6有n?r?A??n?r?B?,即r?A??r?B?，命題得證.例5.4設(shè)A為m?n矩陣，B為n?1矩陣，證明ABX?0與BX?0同解的充分必要條件為r?AB??r?B?.證明：設(shè)方程組ABX?0,BX?0解空間分別為VAB,VB.必要性：若VAB?VB，dim?VAB??dim?VB?,根據(jù)引理6可知

n?r?AB??n?r?B?, 可以推出r?AB??r?B?.充分性：若r?AB??r?B?，則根據(jù)引理6知

dim?VAB??dim?VB? ①

又因為滿足BX?0解向量也滿足ABX?0,所以

VAB?VB ②

由① ②可推出VAB?VB.命題證畢.命題5.4設(shè)A是數(shù)域P上n?m矩陣，B是數(shù)域P上m?s矩陣，證明r?AB??min?r?A?,r?B??即矩陣乘積的秩不超過各因子的秩.證明: 構(gòu)造齊次線性方程組ABX?0與BX?0,設(shè)方程組ABX?0與BX?0的解空間分別為VAB,VB.顯然，滿足BX?0解向量也滿足ABX?0,所以VAB?VB,dim?VAB??dim?VB?, 根據(jù)引理6知r?AB??r?B?.再構(gòu)造齊次線性方程組BTATX?0與ATX?0，同理可得r?BTAT??r?AT?,即r?AB??r?A?.綜上所述r?AB??min?r?A?,r?B??.此命題用歸納法可以推廣為：如果A?A1A2?Am那么秩(A)?min秩(Aj).1?j?m例5.4 如果m?n方程組AX?0的解為方程b1x1?b2x2???bnxn?0的解，其中

A??'X??x1,x2,?,xn?，求證r???r?A?.b,b,?,bn??12-13

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A??證明：由已知可知AX?0與??X?0同解，根據(jù)引理6它們的系數(shù)矩陣

?b1,b2,?,bn?A??的秩相等,所以 r???r?A?.b,b,?,bn??12-14

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第六章 用矩陣分塊法證明秩的等式和不等式

本章主要是利用矩陣分塊的方法來證明矩陣的秩的等式和不等式，也包括矩陣分解的方法證明秩的等式和不等式，涉及到了矩陣的廣義初等變換和廣義初等矩陣.例6.1[4] 設(shè)A是數(shù)域P上n?m矩陣，B是數(shù)域P上m?s矩陣，求證r?AB??min?r?A?,r?B??,即矩陣乘積的秩不超過各因子的秩．

?a11a12?aa證明：設(shè)A??2122????a?n1an2?a1m??b11?b?a2m??，B??21??????b?anm???m1

b12?b1s?b22?b2s??

????bm2?bms??令B1,B2,?,Bm表示B的行向量，C1,C2,?,Cn表示C?AB的行向量。由于Ci的第j個分量和ai1B1?ai2B2???aimBm的第j個分量都等于?aikbkj，因而

k?1mCi?ai1B1?ai2B2???aimBm(i?1,2,?,n)，即矩陣AB的行向量組C1,C2,?,Cn可經(jīng)B的行向量組線性表出,所以AB的秩不超過B的秩，即r?AB??r?B?.同樣，令A(yù)1,A2,?,Am表示A的列向量，D1,D2,?,Ds表示C?AB的列向量，則有

Di?b1iA1?b2iA2???bmiAm(i?1,2,?,s).AB的列向量組可經(jīng)矩陣A的列向量組線性表出，所以r?AB??r?A?，也就是

r?AB??min?r?A?,r?B??.例6.2設(shè)A，B都是n階方陣，E是n階單位矩陣，求證

r?AB?E??r?A?E??r?B?E?.?A?E證明:因為??0B?E??B?E??B0??AB?E0??????, E0B?E0????B?E???r(A?E)?r(B?E).B?E??AB?E0??A?E?故r(AB?E)?r??r?B?E0???0因此r?AB?E??r?A?E??r?B?E?.5

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命題6.1設(shè)A，B是m?n矩陣，則r?A?B??r?A??r?B?.?A0?證明：構(gòu)造分塊矩陣??，對其施行用廣義初等變換可得

?0B??A0??AB??AA?B?????????.0B0B0B??????根據(jù)初等變換不改變矩陣的秩可以推出

?A0??AA?B??A?B?r??r?r??????r?A?B?

①

B??0B??0?B??A0?又由于 r???r?A?B?

②

0B??由①,②即得

r?A?B??r?A??r?B?.命題6.2[2]

設(shè)A，B分別為s?n,n?m矩陣,則r?A??r?B??n?r?AB?.0??En?E證明:由?n????AEs??A可推出

B??En??0??0?B??En???Em??00??En0??En，且??，???AB???AEs??0?B??可逆Em??Er?n?A?En但r??AB??En?r??0??00???r?En??r??AB??n?r?AB?.?AB?B???r?A??r?B?,即 0?n?r?AB??r?A??r?B?.所以r?A??r?B??n?r?AB?.這個公式代數(shù)里稱為Sylverster(薛爾佛斯特)公式.命題6.3設(shè)A，B分別為s?n,n?m矩陣,則r?A??r?B??n?r?AB?的充要條件為

?A0??A0?r???r??.EB0B?????E?A??A0??E?B??0?AB??E?B??0?AB?證明:由??????????????，B??0E??E0??0E??EB??0E??E-16

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根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)，可以得到等式

?A0??0?AB?r???r???r?AB??n ① EBEB?????A0?而 r???r?A??r?B?

②

?0B??A0??A0?充分性：若r???r??，由① ②可知r?AB??n?r?A??r?B?，即

EB0B????r?A??r?B??n?r?AB?.必要性：若r?A??r?B??n?r?AB?則r?AB??n?r?A??r?B?, 由① ②可知

?A0??A0?r???r??.EB0B????綜上所述,命題得證.例6.3 設(shè)A，B分別為s?n,n?m矩陣,則r?A??r?B??n?r?AB?的充分必要條件為存在矩陣X，Y，使得XA?BY?En.證明：由上一個命題可知r?A??r?B??n?r?AB?的充要條件為

?A0??A0??A0??A0?r???r??，那么我們只要證明r???r??的充要條件為存在矩陣EB0BEB0B????????X，Y，使得XA?BY?En，即可完成本命題的證明.下面就此進行證明.充分性.?E由?m?-X0??A??En??En0??En??B??-Y0??A???Em??-AX0??En??B??-Y0??A???Em??En-XA-BY0?? B??A0??A0?可知當XA?BY?En時，r???r??.EB0B????再根據(jù)命題6.3可推出等式

r?A??r?B??n?r?AB?.必要性.?Er設(shè) P1AQ1???00??ES?,P2BQ2??0??0-17

0??, 0?湖南科技大學(xué)2011屆本科生畢業(yè)論文

其中P1,P均為可逆矩陣.2,Q1,Q2?P則 ?1?0?Er?0???0??00??A0??Q10??P0??Q10??P1A1AQ1?????0Q??0PB??0Q??0P2??0B???2??2??2??00000ES000??0?0??0???P2BQ2?

0?1?

??P2BQ2? 00??A0??Q10??P0??Q10??P?P11A1AQ1???????0Q??PPB??0Q??PQ0PEB???2??2??22??2??21?Er?0???C1??C300C2C400ES00??0?0??0??2?

對式（2）右端的方陣作行初等變換，可消去C1，C2，C3.若

r?A??r?B??n?r?AB?，?A0??A0?根據(jù)命題6.3有r?，式（2）右端方陣秩相等，故?r???，因此式（1）?EB??0B??F1為在消去C1，C2，C3時也消去了C4，對式（2）右端分塊記??C0?? 其中 F2??ErF1???00??ES?，F(xiàn)2??0??00??C1C2?C??? ?，CC0?4??3.于是上述消去C1的行變換相當于

??C10??Er????00??00??C1C2??0??????0??C3C4??C3C2?? C4?,消去其余C2,C3,C4有類似的結(jié)果，這樣初等變換就相當于存在矩陣S，T，使

SF1+F2T+C=0,即SPAQ11?P2BQ2T?PQ21?0，進行變形整理,從而有

?P?12?1SP1?A?B??Q2TQ1??En.?1?1令X?P,，便得到XA?BY?En，命題得證.2SP1Y??Q2TQ1-18

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命題6.4設(shè)A1,A2,?,Ap都是n階矩陣，A1A2?Ap?0.證明:這p個矩陣秩之和不大于?p?1?n.這p個矩陣秩之和不大于?p?1?n.證明：由命題6.2的Sylverster(薛爾佛斯特)公式可得

0?r?A1A2?Ap??r?A1??r?A2?Ap??n?r?A1??r?A2??r?A3?Ap??2n???r?A1??r?A2????r?Ap???p?1?n，移項即得

r?A1??r?A2????r?Ap???p?1?n.例6.4設(shè)A,B，C依次為s?n，n?m，m?t的矩陣,證明

r?ABC??r?AB??r?BC??r?B?.證明:設(shè)r?B??r,那么存在n階可逆矩陣P，m階可逆矩陣Q，使得

?EB?P?r?0把P，Q適當分塊P??M0??Q ① 0??N?S?,Q???，其中M為n?r矩陣,N為r?m矩陣．

?T?0??N?????MN.0??T?由①式有B??M?ES??r?0所以r?ABC??r?AMNC?,再由命題6.2的Sylverster(薛爾佛斯特)公式可得

r?ABC??r?AMNC??r?AM??r?NC??r?r?AMN??r?MNC??r?B?

?r?AB??r?BC??r?B?, 從而r?ABC??r?AB??r?BC??r?B?,命題得證.這個公式也稱為Frobenius(佛羅扁尼斯)公式.例6.5 設(shè)B為r?s矩陣，A為秩為r的m?r的列滿秩矩陣?m?r?,C為秩為s的s?t的行滿秩矩陣?s?t?,證明:r?AB??r?BC??r?B?．證明:先證明r?AB??r?B?.9

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?E?因為r?A??r,所以存在m階可逆矩陣P和r階可逆矩陣Q，使得PAQ??r?,即

?0??Er??1?Q?1?PA???Q???，00????再根據(jù)矩陣乘以可逆矩陣不改變秩的大小可得

??Q?1????Q?1B??r?AB??r?PAB??r??B??r???r?Q?1B??r?B?.????0??0?????????同理可證r?BC??r?B?.因此有r?AB??r?BC??r?B?,命題得證.命題6.5設(shè)A,B，C分別為s?n，n?m，m?t矩陣,r?B??r,而B的一個滿秩分解m?r是B?HL，即H是列滿秩矩陣,L是行滿秩矩陣,則

r?ABC??r?AB??r?BC??r?B?的充要條件是存在矩陣X,Y,使得

XAH?LCY?Er.證明：因為B?HL是滿秩分解,H是列滿秩矩陣,L 是行滿秩矩陣,所以根據(jù)例題6.5有

r?AB??r?AHL??r?BC?和r?BC??r?HLC??r?LC?, 則

r?ABC??r?AB??r?BC??r?B??r?AHLC??r?AB?H?r?LC??r.又由例題6.3得

r?AHLC??r?AB?H?r?LC??r?矩陣X,Y使得 XAH?LCY?Er, 命題得證.這是例題6.4 Frobenius(佛羅扁尼斯)公式等號成立的充要條件.例6.6證明:r?A3??r?A??2r?A2?.證明:由例題6.4的Sylverster(薛爾佛斯特)公式可知

r?A3??r?AAA??r?A2??r?A2??r?A?.移項即r?A3??r?A??2r?A2?得,命題得證.例6.7設(shè)A，C均為m?n矩陣B，D均為n?s矩陣，證明

r?AB?CD??r?A?C??r?B?D?.0

湖南科技大學(xué)2011屆本科生畢業(yè)論文

證明：根據(jù)分塊矩陣的乘法可知

?Em??0C??A?C0??En???En??B?D??0?0B??A?C??Es???0AB?CD??

B?D??A?C由此易知r?A?C??r?B?D????0AB?CD???r(AB?CD)，B?D?從而得到r?AB?CD??r?A?C??r?B?D?,命題得證.例6.8設(shè)A,B都是n?n矩陣，如果AB?0，則r?A??r?B??n.?BE?證明:構(gòu)造分塊矩陣??，對其做初等變換

?0A?E??BE??0E??BE??B??????????? 0A?AB00000?????????BE??0E??BE?可推出r?,但?r?nr??????r?A??r?B?,所以r?A??r?B??n.?0A??00??0A?這個命題的一般形式為：設(shè)A是m?n矩陣，B是n?p矩陣，如果AB?0，則r?A??r?B??n,已經(jīng)在命題5.3中用線性方程組的解空間的維數(shù)與系數(shù)矩陣的秩的關(guān)系方法證明了.本命題只是它的特殊形式.例6.9設(shè)Q為k階方陣，m，n為非負整數(shù)，則（1）rQn?rQm?2n?rQm?n?rQ2n（2）rQm?rQm?2n?2rQm?n

證明：（1）設(shè)A?Qm,B?Qn,C?Qn由佛羅扁尼斯（Frobenius）不等式，????????????????rQm?2n?rQm?n?rQ2n?rQn，即得：

rQn?rQm?2n?rQm?n?rQ2n

（2）設(shè)A?Qn,B?Qm,C?Qn由佛羅扁尼斯（Frobenius）不等式，??????????????rQm?2n?r?AB??r?BC??r?B?，即得：

rQm?rQm?2n?2rQm?n.????????-21

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命題6.6設(shè)A為ss?n矩陣，則r?En?A?A??r?Es?AA???n?s.?Es 證明:??0??A??EsA??Es0??Es?AA?0??????? ???????????En??AEn???AEn??0En??EsA? 由命題3.3，則r??r?Es?AA???n.??A?En??E同理r?s?A?A???r?En?A?A??s.所以 r?En?A?A??r?Es?AA???n?s.En?矩陣的分塊是種有效的解決矩陣有關(guān)問題的方法，值得好好體會.尤其是有些難題，矩陣分塊是簡便分方法.本章利用矩陣分塊的方法證明了一些典型的矩陣等式和不等式命題，很有借鑒意義.2

湖南科技大學(xué)2011屆本科生畢業(yè)論文

第七章 小結(jié)

矩陣的秩的等式、不等式的證明及它應(yīng)用非常廣泛。在本文中，主要討論了矩陣的秩，以及它的等式及不等式命題的證明方法，較之前的研究，更加全面。文中討論了利用線性空間同構(gòu)、向量組維數(shù)理論及矩陣分塊等一些理論來證明了矩陣的秩的等式、不等式的相關(guān)命題。運用這些方法，我們可以更加快捷的判斷矩陣的秩是否相等，或者證明不同矩陣的秩之間的聯(lián)系，有了這些方法和結(jié)論，就可以將矩陣的秩的等式及不等式的命題更好的應(yīng)用到實際中來。當然，對于矩陣秩的研究，雖然本人已經(jīng)進行了充分的搜集、總結(jié)及研究，但是，仍會有不足之處，對于它的研究以及應(yīng)用仍然不夠，這一點將是我們以后必須致力研究的工作。

湖南科技大學(xué)2011屆本科生畢業(yè)論文

參考文獻

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湖南科技大學(xué)2011屆本科生畢業(yè)論文

致

謝

從論文選題到搜集資料，從提綱的完成到正文的反復(fù)修改，我經(jīng)歷了喜悅、聒噪、痛苦和彷徨，在寫作論文的過程中，心情是如此復(fù)雜。如今，伴隨著這篇畢業(yè)論文的最終成稿，復(fù)雜的心情煙消云散，自己甚至還有一點成就感。

我要感謝我的導(dǎo)師李世群老師。她為人隨和熱情，治學(xué)嚴謹細心。從選題、定題、撰寫提綱，到論文的反復(fù)修改、潤色直至定稿，李老師始終認真負責地給予我深刻而細致地指導(dǎo)。在論文寫作期間，李老師多次對我作一對一的指導(dǎo)，對我的論文寫作的方向提出了寶貴的建議。正是有了李老師的無私幫助與熱忱鼓勵，我的畢業(yè)論文才得以順利完成。

在此，我還要感謝大學(xué)四年中我的任課教師，是他們讓我學(xué)到了許多豐富的數(shù)學(xué)知識，才使我今天有能力來完成這項艱巨的任務(wù)。

最后還要感謝四年里陪伴我的同學(xué)、朋友們，有了他們我的人生才豐富，有了他們我在奮斗的路上才不孤獨。感謝他們在論文排版和設(shè)計上都給我很多寶貴意見和建議，讓我能夠做的更好，謝謝他們。

第四篇：例談不等式恒成立中參數(shù)范圍的確定論文

論文導(dǎo)讀:例談不等式恒成立中參數(shù)范圍的確定，初中數(shù)學(xué)論文。

論文關(guān)鍵詞：例談不等式恒成立中參數(shù)范圍的確定

確定恒成立不等式中參數(shù)的取值范圍，常需靈活應(yīng)用函數(shù)與不等式的基礎(chǔ)知識在兩者間進行合理的交匯，因此此類問題屬學(xué)習(xí)的重點；然而，怎樣確定恒成立不等式中參數(shù)的取值范圍？課本中從未論及，但它卻成為近年來命題測試中的常見題型，因此此類問題又屬學(xué)習(xí)的熱點；在確定恒成立不等式中參數(shù)的取值范圍時，需要在函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合思想指引下，靈活地進行代數(shù)變換、綜合地運用所學(xué)知識初中數(shù)學(xué)論文，方可取得較好的解題效果，因此此類問題的求解當屬學(xué)習(xí)的難點．筆者試對此類問題的求解策略與方法作一提煉總結(jié)．

一、不等式解集法

不等式在集合A中恒成立等價于集合A是不等式解集B的子集；通過求不等式的解集并研究集合間的關(guān)系便可求出參數(shù)的取值范圍．

例1 已知時，不等式|x2－5|<4恒成立，求正數(shù)a的取值范圍．

解 由得；由| x2－5 | < 4得1< x2< 9，－3 < x <－1或1 < x < 3．記A =，B =(－3,－1)∪(1, 3)，則AB．∴－3 ≤<≤－1（無解）或1≤<≤3，∴0< a≤，故正數(shù)a的取值范圍(0, ]．

二、函數(shù)最值法

已知函數(shù)f(x)的值域為 [m, n]，則f(x)≥a恒成立f(x)min≥a，即m > a；f(x)≤a恒成立n≤a．據(jù)此，可將恒成立的不等式問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大、最小值問題．

例2 若不等式2x－1 > m(x2－1)對滿足－2≤m≤2的一切m都成立，求實數(shù)x的取值范圍．

分析 若將原問題轉(zhuǎn)化為集合[－2, 2 ]是關(guān)于m的不等式(x2－1)m<2x－1的解集的子集，則解不等式需分類討論．若今f(m)=(x2－1)m－(2x－1)，則可將問題轉(zhuǎn)化為f(m)在[－2, 2 ]上的最大值小于零，而f(m)是“線性”函數(shù)初中數(shù)學(xué)論文，則最值在區(qū)間端點處取得，便有如下簡解．

解 令 f(m)=(x2－1)m－(2x－1)，則 f(m)< 0 恒成立 f(m)max< 0，解之得

例3 若不等式x2－m(4xy－y2)+ 4m2y2≥0對一切非負的x, y值恒成立，試求實數(shù)m的取值范圍．

解 若y = 0，則原不等式恒成立；若y≠0，則原不等式可化為

≥0；令t =，則t≥0且g(t)= t2－4mt + m + 4m2≥0．問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)g(t)在區(qū)間[0,+∞)上的最小值非負．

故有 或 ．解得m的范圍為(－∞, －] ∪[0,+∞)．

說明 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點內(nèi)容，利用二次函數(shù)在區(qū)間上的最值來研究恒成立問題，可使原本復(fù)雜的問題變得易于解決．

三、參數(shù)分離法

將參變元與主變元從恒不等式中分離，則在求函數(shù)最值時可避免繁冗的分類討論，從而更好地實施“函數(shù)最值法”．

例4 若不等式2x + 2≤a(x + y)對一切正數(shù)x, y恒成立，求正數(shù)a的最小值．

解 參數(shù)分離，得a≥= f(x, y)．∵x +3y≥2，∴3(x+y)≥2x + 2，∴f(x, y)≤3初中數(shù)學(xué)論文，∴a≥f(x, y)max=3，∴a的最小值為3．

例5 奇函數(shù) f(x)是R上的增函數(shù)，若不等式f(m·3x)+ f(3x－9x－2)< 0對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

解 ∵f(x)為奇函數(shù)，∴原不等式等價于：f(m·3x)< f(3x－9x－2)，又f(x)在R上為增函數(shù)，∴m·3x<3x－9x－2，不等式兩邊同除以3x，得m<3 x +－1= f(x)．

∵3 x +≥2，當且僅當3 x =時取“=”，∴f(x)min =2－1，故所求m的取值范圍為(－∞, 2－1)．

說明（1）在求解本例時，若無分離參數(shù)的求簡意識，則必轉(zhuǎn)化為含參二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題，不可避免地要進行分類討論．

（2）諸多數(shù)學(xué)問題在通過代數(shù)變形后均可轉(zhuǎn)化為形如f(x)= ax+型函數(shù)的最值問題，其最值的求解通常用重要不等式或函數(shù)單調(diào)性來完成．

四、數(shù)形結(jié)合法

將恒成立的不等式問題，合理轉(zhuǎn)化為一函數(shù)圖像恒在另一函數(shù)圖象的上（下）方初中數(shù)學(xué)論文，進而利用圖形直觀給出問題的巧解．

例6 若不等式 3 | x + a |－2x + 6 > 0 在R中恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

解 嘗試前述方法均較麻煩，而將原不等式變?yōu)?/p>

| x + a | >x－2，令f(x)= | x + a |，g(x)=x－2，作出它們的圖象如右圖所示，便有－a < 3即a >－3，所求范圍為(－3,+∞)．

綜上所述，求恒成立不等中參數(shù)的取值范圍固然有四類彼此相聯(lián)的思考方法，但是，只有在函數(shù)思想的指導(dǎo)下，樹立數(shù)形結(jié)合與參數(shù)分離的求簡意識，面對具體問題時才能取得良好的解題效果．

第五篇：特殊困難證明

特殊困難證明

尊敬的各位領(lǐng)導(dǎo)：

您好﹗我是烏蘭陶勒蓋鎮(zhèn)巴音高勒嘎查塔瑪哈來社的一名大學(xué)畢業(yè)生。我2009年7月畢業(yè)于呼和浩特民族學(xué)院。畢業(yè)后旗里打過許多零工。2010年6月經(jīng)參加帶薪見習(xí)考試，我被分到鄂爾多斯市勇泰熱電集團有限責任公司實習(xí)至今。雖然名義上算是找到了一份工作，但工資每個月只有一千元的工資難于支付我個人的各項生活費用，由于我至今未結(jié)婚，作為單身的我得租房，現(xiàn)在旗里的房租特別高，在加上每天的各項基本生活費用，在旗里靠一千元工資生活和生存壓力很大，困難重重，我家里還有兩位年邁的雙親，還有多病的母親，全家開支主要靠放牧，由于家里沒有勞動力，家庭經(jīng)濟困難?？恳磺г墓べY我難于贍養(yǎng)父母，父母無固定工作，實在難于補貼各項家用，想找個其他工資高點的工作一直沒有找到合適的?，F(xiàn)懇求貴領(lǐng)導(dǎo)能幫助我解決我這個少數(shù)民族畢業(yè)大學(xué)生的就業(yè)問題。請求各級領(lǐng)導(dǎo)解決我的歷顧之憂，讓我們貧困大學(xué)生能夠感受到各級領(lǐng)導(dǎo)的關(guān)心和關(guān)愛。

申請人：海棠2012年2月22

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