第一篇：【輕松突破120分】2014高考數學精煉11 文

2014高考數學（文）輕松突破120分1

1一、選擇題

1．關于簡單隨機抽樣法、系統抽樣法、分層抽樣法的敘述正確的是()

A．三種抽樣方法適用于對任何總體的抽樣

B．從同一總體中抽取一個樣本，采用的方法不同，每個個體被抽到的概率也不相同

C．分層抽樣法是三種抽樣方法中最好的D．三種抽樣方法有各自的特點，根據總體和所抽樣本的情況，選擇適當的抽樣方法，更易于操作，效果更好

解析： 根據三種抽樣方法的特點和適用的范圍知，A、B、C都不正確．

答案： D

2．用系統抽樣法(按等距離的規則)要從160名學生中抽取容量為20的樣本，將160名學生從1～160編號．按編號順序平均分成20組(1～8號，9～16號，?，153～160號)，若第16組應抽出的號碼為125，則第一組中按此抽簽方法確定的號碼是()

A．7 B．

5C．4 D．

3解析： 由系統抽樣知第一組確定的號碼是5.答案： B

3．為了了解某市高三畢業生升學考試中數學成績的情況，從參加考試的學生中隨機地抽查了1000名學生的數學成績進行統計分析，在這個問題中，下列說法正確的是()

A．總體指的是該市參加升學考試的全體學生

B．個體指的是1000名學生中的每一名學生

C．樣本容量指的是1000名學生

D．樣本是指1000名學生的數學升學考試成績

解析： 因為是了解學生的數學成績的情況，因此樣本是指1000名學生的數學成績，而不是學生．

答案： D

4．為了調查某產品的銷售情況，銷售部門從下屬的92家銷售連鎖店中抽取30家了解情況．若用系統抽樣法，則抽樣間隔和隨機剔除的個體數分別為()

A．3,2 B．2,3

C．2,30 D．30,2解析： 因為92÷30不是整數，因此必須先剔除部分個體數，因為92÷30＝3??2，故剔除2個即可，而間隔為3.答案： A

5.某學校有高一學生720人，現從高

一、高

二、高三這三個年級學生中采用分層抽樣的方法，抽取180人進行英語水平測試．已知抽取的高一學生數是抽取的高二學生數、高三學生數的等差中項，且高二年級抽取40人，則該校高三學生人數是()

A．480 B．640

C．800 D．960

解析： 設抽取高一學生x人，抽取高三學生y人，高三學生總人數為z人，則由題意??x＋40＋y＝180，得：? ?2x＝y＋40，?

??x＝60，求得??y＝80，? 720z，6080

則z＝960.故選D.答案： D

6．某高中在校學生2000人，高一年級與高二年級人數相同并都比高三年級多1人．為了響應“陽光體育運動”號召，學校舉行了“元旦”跑步和登山比賽活動．每人都參加而且

其中a∶b∶c為了了解學生對本次活動的5滿意程度，從中抽取一個200人的樣本進行調查，則高二年級參與跑步的學生中應抽取()

A．36人 B．60人

C．24人 D．30人

23解析： ∵登山的占總數的 5

533又跑步中高二年級占＝.2＋3＋510

339∴高二年級跑步的占總人數的＝.51050

9x由得x＝36，故選A.50200答案： A

二、填空題

7．在120個零件中，一級品24個，二級品36個，三級品60個，用系統抽樣方法從中抽取容量為20的樣本，則三級品a被抽到的可能性為________．

201解析： 每一個個體被抽到的概率都是樣本容量除以總體，即1206

1答案：6

8．某校有老師200人，男學生1200人，女學生1000人．現用分層抽樣的方法從所有師生中抽取一個容量為n的樣本；已知從女學生中抽取的人數為80人，則n＝________.80n解析： 由題意知＝，解之得n＝192.1 000200＋1 200＋1 000

答案： 19

29．某企業三月中旬生產A、B、C三種產品共3000件，根據分層抽樣的結果，該企業統

A產品的樣本容量比C產品的樣本容量多10，根據以上信息，可得C產品的數量是________件．

解析： 設C產品的數量為x，則A產品的數量為1700－x，C產品的樣本容量為a，則A產品的樣本容量為10＋a，700－xx1 300由分層抽樣的定義可知：，∴x＝800.a＋10a130

答案： 800

三、解答題

10．某學校為了了解2010年高考語文課的考試成績，計劃在高考后對1200名學生進行抽樣調查，其中文科300名考生，理科600名考生，藝術類考生200人，體育類考生70人，外語類考生30人，如果要抽120人作為調查分析對象，則按科目分別應抽多少考生？

解析： 從1200名考生中抽取120人作調查由于各科目考試人數不同，為了更準確地了解情況，可采用分層抽樣，抽樣時每層所抽人數按1∶10分配．

∴300×11111＝30(人)，600×＝60(人)，200×＝20(人)，70×＝7(人)，30×＝10101010103(人)．

所以抽取的文科，理科，藝術，體育，外語類考生分別是30人，60人，20人，7人，3人．

11．某單位最近組織了一次健身活動，活動分為登山組和游泳組，且每個職工至多參加其中的一組．在參加活動的職工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山組

1的職工占參加活動總人數的50%，中年人占40%，老年人占10%.為了

4了解各組不同年齡層次的職工對本次活動的滿意程度，現用分層抽樣的方法從參加活動的全體職工中抽取一個容量為200的樣本．

(1)在游泳組中，試確定青年人、中年人、老年人分別所占的比例；

(2)在游泳組中，試確定青年人、中年人、老年人分別應抽取的人數.【解析方法代碼108001125】

解析：(1)設登山組人數為x，在游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為

x×40%＋3xbx×10%＋3xca、b、c，則有47.5%，＝10%，解得b＝50%，c＝10%.4x4x

故a＝100%－50%－10%＝40%，即在游泳組中，青年人、中年人、老年人各占比例分別為40%、50%、10%.33(2)在游泳組中，抽取的青年人人數為200××40%＝60(人)；抽取的中年人人數為200×44

3×50%＝75(人)；抽取的老年人人數為15(人)． 4

12．某公路設計院有工程師6人，技術員12人，技工18人，要從這些人中抽取n個人參加市里召開的科學技術大會．如果采用系統抽樣和分層抽樣的方法抽取，不用剔除個體，如果參會人數增加1個，則在采用系統抽樣時，需要在總體中先剔除1個個體，求n.【解析方法代碼108001126】

解析： 總體容量為6＋12＋18＝36.36n當樣本容量是n時，由題意知，系統抽樣的間隔為，分層抽樣的比例是，抽取的工n36

程師人數為·6＝·18＝，所以n應是6的倍366363362

數，36的約數，即n＝6,12,18.3535當樣本容量為(n＋1)時，總體容量是35人，系統抽樣的間隔為n＋1n＋1

數，所以n只能取6.即樣本容量n＝6.nnnnnn

第二篇：2014高考數學全面突破 二項式定理

11.3二項式定理

考情分析

1．能用計數原理證明二項式定理．

2．會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題．

基礎知識

1．二項式定理

n1n－1n－rrn*(a＋b)n＝C0b＋?＋Crb＋?＋Cnna＋Cnananb(n∈N)這個公式所表示的定理叫二項式定理，右邊的多項式叫(a＋b)n的二項展開式．

其中的系數Crn(r＝0,1，?，n)

n－rrn－rr式中的Crb叫二項展開式的通項，用Tr＋1表示，即通項Tr＋1＝Crb.nana

2．二項展開式形式上的特點

(1)項數為(2)各項的次數都等于二項式的冪指數n，即a與b的指數的和為(3)字母an逐項減1直到零；字母b冪排列，從第一項起，次數由零逐項增1直到n.－11(4)二項式的系數從Cn，一直到Cnn3．二項式系數的性質 －(1).(2)增減性與最大值： 二項式系數Ckn，當n＋1k＜2時，二項式系數逐漸增大．由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的；

n當n是偶數時，中間一項C2取得最大值；

n－1n＋1當n是奇數時，中間兩項C2，C2取得最大值．

012nn(3)各二項式系數和：Cn＋Cn＋Cn＋?＋Crn＋?＋Cn＝2；

24135n－1C0.n＋Cn＋Cn＋?＝Cn＋Cn＋Cn＋?＝

2注意事項

n－rr1.運用二項式定理一定要牢記通項Tr＋1＝Crb，注意(a＋b)n與(b＋a)n雖然相na

同，但具體到它們展開式的某一項時是不同的，一定要注意順序問題，另外二項

展開式的二項式系數與該項的(字母)系數是兩個不同的概念，前者只指Cr而后n，者是字母外的部分．前者只與n和r有關，恒為正，后者還與a，b有關，可正可負．

2.二項式定理可利用數學歸納法證明，也可根據次數，項數和系數利用排列組合的知識推導二項式定理．因此二項式定理是排列組合知識的發展和延續．

3.(1)通項的應用：利用二項展開式的通項可求指定的項或指定項的系數等．

(2)展開式的應用：利用展開式①可證明與二項式系數有關的等式；②可證明不等式；③可證明整除問題；④可做近似計算等．

4.(1)對稱性；

(2)增減性；

(3)各項二項式系數的和； 以上性質可通過觀察楊輝三角進行歸納總結．

題型一 二項展開式中的特定項或特定項的系數

13【例1】已知(3x－)n的展開式中各項系數之和為256，則展開式中第7x

項的系數是()

B.2

4D.252 A.－24C.－252

答案：D

解析：令x＝1可得各項系數之和為2n＝256，則n＝8，故展開式中第7項的26系數為C68×3×(－1)＝252.?a?【變式1】若?x－?6展開式的常數項為60，則常數a的值為________． x??

?a?6－r6－3r解析 二項式?x6展開式的通項公式是Tr＋1＝Cr(a)rx－2r＝Cr(－6x6xx??

2a)r，當r＝2時，Tr＋1為常數項，即常數項是C26a，根據已知C6a＝60，解得a

＝4.答案 4

題型二 二項式定理中的賦值

【例2】已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋?＋a10(1－x)10，則a8＝

()

A.180

C.－

5答案：A

10－r解析：(1＋x)10＝[2－(1－x)]10其通項公式為：Tr＋1＝Cr(－1)r(1－x)r，a8102B.90 D.5

是r＝8時，第9項的系數．

28所以a8＝C8102(－1)＝180.故選A.【變式2】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋?＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋?＋|a7|.解 令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①

令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②

(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋?＋a7＝－2.－1－37(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.2

－1＋37(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝2＝1 093.(4)∵(1－2x)7展開式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋?＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.題型三 二項式的和與積

2【例3】二項式(x＋x)(1－x)4的展開式中x的系數是________．

答案：

32解析：利用分步計數原理與組合數公式，符合題目要求的項有x(－x)4和

x·14，求和后可得3x，即展開式中x的系數為3.?2【變式3】x?x－x7的展開式中，x4的系數是________(用數字作答)． ??

?27?2737解析 原問題等價于求?x－x的展開式中x的系數，?x－x的通項Tr＋1＝Cr7x????

－r?2r7－2r?－x＝(－2)rCr，令7－2r＝3得r＝2，∴x3的系數為(－2)2C27x7＝84，即??

x???x－2x7?的展開式中x4的系數為84.答案 84

重難點突破

【例4】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋?＋a7；

(2)a1＋a3＋a5＋a7；

(3)a0＋a2＋a4＋a6；

(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋?＋|a7|.解：令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1，令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋?＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，－1－37得a1＋a3＋a5＋a7＝2＝－1094.(3)(①＋②)÷2，－1＋37得a0＋a2＋a4＋a6＝2＝1093.(4)∵(1－2x)7展開式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋?＋|a7|

＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)． ∴由(2)、(3)即可得其值為2187.① ②

第三篇：《2014屆數學一輪高考核動力》(新課標)高考數學(文)一輪強化突破訓練(18)

一、選擇題

1．設a，b∈R，若a－|b|>0，則下列不等式中正確的是()

A．b－a>0

C．a－b<0

【答案】D

【解析】∵a－|b|>0，∴a>|b|>0.∴不論b正或b負均有a＋b>0.故選擇D.2．若a、b、c∈R，a>b，則下列不等式成立的是()

11A.22B．a＋b<0 D．b＋a>0 33ab

a

2B．a>b 22C.>c＋1c2＋1bD．a|c|>b|c|

【答案】C

11【解析】由a、b、c∈R，a>b，A中若取a＝2，b＝－1，有a>b，而不成立，所以Aab

2錯；B中若取a＝－1，b＝－2，有a>b，而a>b不成立，所以B錯；C中

D中當c＝0時，a|c|>b|c|不成立．綜上，C正確． 22c＋1c2＋1ab

3．如果a，b，c滿足c

A．ab>acB．c(b－a)>0

C．cb

【答案】C

【解析】∵a>b>c且ac<0，得a>0，c<0，b∈R，∴b有三種情況，b>0，b<0，b＝0.∵b>c，a>0，∴ab>ac，故A一定成立；

∵a>b，c<0，∴c(b－a)>0，故B一定成立；

當b＝0時，cb＝0，ab＝0，∴C不一定成立；

而a>0，c<0，a－c>0，又ac<0，∴ac(a－c)<0，故D一定成立．

綜上，故選擇C.4．若0＜a1＜a2,0＜b1＜b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，則下列代數式中值最大的是()

A．a1b1＋a2b2B．a1a2＋b1b2

1C．a1b2＋a2b1D.2

【答案】A

【解析】方法1：特殊值法．

1313令a1＝a2＝，b1b2＝，4444

10563則a1b1＋a2b2＝＝，a1a2＋b1b2＝＝，1681682222

a1b2＋a2b1＝

63168

513∵a1b1＋a2b2.828

方法2：作差法．

∵a1＋a2＝1＝b1＋b2且0a1，b2＝1－b1>b1，11∴0

又a1b1＋a2b2＝a1b1＋(1－a1)(1－b1)

＝2a1b1＋1－a1－b1，a1a2＋b1b2＝a1(1－a1)＋b1(1－b1)

＝a1＋b1－a1－b1，22

a1b2＋a2b1＝a1(1－b1)＋b1(1－a1)

＝a1＋b1－2a1b1，∴(a1b2＋a2b1)－(a1a2＋b1b2)

＝a1＋b1－2a1b1

＝(a1－b1)≥0，∴a1b2＋a2b1≥a1a2＋b1b2.∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)

＝4a1b1＋1－2a1－2b1

＝1－2a1＋2b1(2a1－1)

＝(2a1－1)(2b1－1)

1?1??＝4?a1?b1－?>0，2??2??

∴a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.11∴(a1b1＋a2b2)－2a1b1＋a1－b1 22

1?1?＝b1(2a1－1)－(2a1－1)＝(2a1－1)?b1－? 2?2?

1?1??＝2?a1?b1－?>0，2??2??

1∴a1b1＋a2b22綜上可知，最大的數應為a1b1＋a2b2.故選擇A.5．已知三個不等式①ab＞0，②－，③bc＞ad.以其中兩個作為條件，余下一個作為結論，可以組成正確命題的個數是

()

A．0B．1C．2D．3

【答案】D 222cadb

【解析】

dbab>0??cdcd??－a·ab＜－b·ab －?ab??－bc＜－da?bc＞ad.ca ab>0????>011bc>ad??－bc<－ad?ab1－bc<－ad???abab?－.故選擇D.二、填空題 ?－?ad－bcab??ab?ab>0，bc>ad??cdbc>ad<0????

116，則下列不等式 ab

①a＋b|b|

③a

11【解析】由得 b0，則①正確，②錯誤，③錯誤，④正確． baabab

7．設a、b是兩個實數，給出下列條件：

①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a＋b>2；⑤ab>1.其中能推出“a、b中至少有一個數大于1”的條件是.【答案】③

【解析】①中的a、b可以都小于1，故①錯．

②中的a、b可以都為1，故②錯．

④⑤中的a、b可以都為負數，如a＝－2，b＝－1，故④⑤均錯．

只有③正確．

8．對于0

?1?①loga(1＋a)

?a?a??1?②loga(1＋a)>loga?1＋?

③a

1＋a111＋aa1＋aa

其中成立的不等式的序號是.【答案】②與④

1【解析】由00，a

1?11>1＋a>1，則loga(1＋a)>loga?1，a?a?

②成立，④成立．

三、解答題

9．設x為正實數，n∈N，求證： x＋x ≥ x

【證明】∵(x＋x)－(x

＝xn－1－n*n－nn－1＋x1－n.n－nn－1＋x1－n)2n－1(x－1)－x(x－1)＝x(x－1)(x

－n

2n－1－n－1)，∴x＞0，∴ x＞0，當x≥1時，x－1≥0, x

∴總有(x－1)(x2n－1－1≥0； 2n－1當0＜x＜1時，x－1＜0, x

2－1＜0，n－n －1)≥0，∴ x＋x ≥xn－1 ＋x1－n.10．已知f(x)＝ax－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范圍．

??a－c＝f1【解析】∵???4a－c＝f2 1a＝f2－f1]??3，解得?41c＝－1＋f2??33，85∴f(3)＝9a－c＝f(2)－(1)，33

8840∵－1≤f(2)≤ 333

又－4≤f(1)≤－1，5?5?5?∴?－(－1)≤－f(1)≤?－?·(－4)，3?3??3?

85854020(2)－f(1)≤＋，333333

即－1≤f(3)≤20.11．設f(x)＝1＋logx3，g(x)＝2logx2(x>0且x≠1)，試比較f(x)與g(x)的大小．

【解析】f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2

＝logx3x－logx4

3＝logxx.4

3(1)當logxx>0時，即 4

x>1???3x>1??4

0或0g(x)． 3

33(2)當logxx＝0時，即x＝1，44

4也就是x＝f(x)＝g(x)． 3

3(3)當logxx<0時，即 4

x>1???301?4，4也就是1

444故此，x>或0g(x)；x＝時，f(x)＝g(x)；1

12．已知{an}是正數組成的數列，a1＝1，且點(an，an＋1)(n∈N)在函數y＝x＋1的圖像上．(1)求數列{an}的通項公式；

(2)若數列{bn}滿足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求證：bn

【解析】方法1：

(1)由已知得an＋1＝an＋1，即an＋1－an＝1，又a1＝1，所以數列{an}是以1為首項，公差為1的等差數列．

故an＝1＋(n－1)×1＝n.(2)由(1)知：an＝n從而bn＋1－bn＝2.n*2·bn＋2＜bn＋1.2

bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋?＋(b2－b1)＋b1

＝2n－1＋2

nn－2＋?＋2＋1 1－2n＝＝2－1.1－2

因為bn·bn＋2－bn＋1＝(2－1)(2

＝(22n＋22nn＋2－1)－(2n＋1n＋1－1)2－2

nn＋2－2＋1)－(2nn

2n2n＋2－2·2＋1)＝－5·2＋4·2＝－2＜0，所以bn·bn＋2＜bn＋1.(2)因為b1＝1，方法2：(1)同方法1.bn·bn＋2－bn＋12＝(bn＋1－2n)(bn＋1＋2n＋1)－bn＋12

＝2n＋1

n

n·bn＋1－2·bn＋1－2·2n＋1nnnnnnn＋1)n＝2(bn＋1－2)＝2(bn＋2－2n＋1＝2(bn－2)＝?＝2(b1－2)＝－2<0，所以bn·bn＋2

第四篇：《2014屆數學一輪高考核動力》(新課標)高考數學(文)一輪強化突破訓練(49)

一、選擇題

1．若直線1通過點M(cos α，sin α)，則()

A．a＋b≤1

11C.2＋2≤122xyabB．a＋b≥1 11D.2＋2 22abab【答案】D

【解析】因為點M(cos α，sin α)在以原點為圓心的單位圓上，即點M滿足x＋y＝1.由于直線＋＝1通過點M，即直線＝1與x＋y＝1有公共點，即原點O到直線bx＋ay－ab＝0的距離應小于等于1，∴|－ab|22xyabxyab22

a2＋b1122≥1.2ab

?x33cos θ，32．(2010重慶卷·理)直線y＝x＋2與圓心為D的圓?3?y＝1＋3sin θ

(θ∈[0,2π))交于A、B兩點，則直線AD與BD的傾斜角之和為()

7A.6

4C.π3

【答案】C

【解析】由已知得圓D：(x－3)＋(y－1)＝3，則圓心D到直線y＝3＋2距離等于 3

6，222 5B.45D.3d3?3－12??3?

1＋13＝

1d2故cos ∠ADB＝ 232

1ππ∠ADB＝，∠ADB＝； 242又AD＝BD，因此有∠DBA＝

而直線y＝π.43π＋2的傾斜角是，36

ππ因此結合圖形可知，在直線AD，BD中必有一條直線的傾斜角等于＋6

4πππ?πππ4π

線的傾斜角等于＋因此直線AD，BD的傾角之和等于2?＋.6423?64?2

故選擇C.二、填空題

?3．(2009高考廣東卷·理)若直線l1：

?x＝1－2t，?

??y＝2＋kt

?(t為參數)與直線l2：

?x＝s，?

??y＝1－2s

(s為參數)垂直，則k＝.【答案】－1

【解析】把兩直線化為普通方程分別為

l1：kx＋2y＝k＋4；l2：2x＋y＝1.∵兩直線垂直，∴－2)＝－1，解得k＝－1.??x＝t，4．(2010天津卷·理)已知圓C的圓心是直線?

?y＝1＋t，?

k

(t為參數)與x軸的交點，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切．則圓C的方程為.【答案】(x＋1)＋y＝2

【解析】由題意可得圓心C的坐標為(－1,0)，圓心到直線x＋y＋3＝0的距離 |－1＋3|

＝2，2d因此圓的方程為(x＋1)＋y＝2.??x＝3＋4cos θ，5．圓C：?

?y＝－2＋4sin θ?

(θ為參數)的圓心坐標為，和圓C關于直線x

－y＝0對稱的圓C′的普通方程是.【答案】(3，－2)，(x＋2)＋(y－3)＝16(或x＋y＋4x－6y－3＝0)【解析】將參數方程化為標準方程得(x－3)＋(y＋2)＝16.故圓心坐標為P(3，－2)．

點P(3，－2)關于y＝x的對稱點P′(－2,3)，則圓C關于y＝x對稱的圓C′的方程為

(x＋2)＋(y－3)＝16(或x＋y＋4x－6y－3＝0)．

??x＝1＋cos θ，6．若直線3x＋4y＋m＝0與圓?

??y＝－2＋sin θ

(θ為參數)沒有公共點，則實數m的取值范圍是.【答案】(－∞，0)∪(10，＋∞)

【解析】由圓的參數方程可知其標準方程為(x－1)＋(y＋2)＝1，直線與圓無公共點，即圓心(1，－2)到直線的距離大于半徑，即

d|3×1＋4×－2＋m||m－5|

＝，22

53＋4

∴m<0或m>10.7．直線?為.【答案】82

??x＝－2＋t，【解析】把直線?

??y＝1－t，?x＝－2＋t，?

??y＝1－t，(t為參數)被圓(x－3)＋(y＋1)＝25所截得的弦長

代入

(x－3)＋(y＋1)＝25得

(－5＋t)＋(2－t)＝25，t－7t＋2＝0，|t1－t2|＝2

t1＋t22

－4t1t241，2|t1－t2|＝82.→→→→

8．已知OP＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，α∈R，(O為坐標原點)，向量OQ滿足OP＋OQ＝0，則動點Q的軌跡方程是.【答案】(x＋2)＋(y＋2)＝4 →

【解析】設Q(x，y)，則OQ＝(x，y)，??x＝－2－2cos α，→→

代入OP＋OQ＝0中可得?

?y＝－2－2sin α?

消去參數α，可得動點Q的軌跡方程為(x＋2)＋(y＋2)＝4.三、解答題

9．在平面直角坐標系xOy中，點P(x，y)是橢圓＋y＝1上的一個動點，求S＝x＋y

3的最大值．

x2

【解析】由橢圓y＝1的參數方程為

x2

?x3cos φ，?

?y＝sin φ，(φ為參數)，故可設動點P的坐標為3cos φ，sin φ)，其中0≤φ<2π.因此，S＝x＋y＝3cos φ＋sin φ ＝2·?

1?3?

cos φ＋sin φ?

2?2?

π?＝2sin?φ＋.3??

π

所以當φ＝時，S取得最大值2.6

??x＝cos θ，為半圓C：?

?y＝sin θ，?

10．(2010遼寧卷·理)已知P

(θ為參數，0≤θ≤π)上的點，點A的坐標為(1,0)，O為坐標原點，點M在射線OP上，線段OM與C的弧AP的長度π

均為.(1)以O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求點M的極坐標；(2)求直線AM的參數方程．

ππ

【解析】(1)由已知，M點的極角為，且M點的極徑等于，33

?ππ故點M的極坐標為?.?33?

3π??π

(2)M點的直角坐標為?，A(1,0)，6??6

?π?x＝1＋?－1?t，???6?

故直線AM的參數方程為?

3πy??6.(θ為參數)

?x＝3－，?2

11．(2010福建卷·理)在直角坐標系xOy，直線l的參數方程為?

y5 t??2

(t為參數)．在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為ρ＝25 sin θ.(1)求圓C的直角坐標方程；

(2)設圓C與直線l交于點A，B，且若點P的坐標為(3，5)，求|PA|＋|PB|.【解析】(1)由ρ＝5 sin θ，得

x2＋y2－5 y＝0，即x2＋(y－5)2＝5.(2)方法1：將l的參數方程代入圓C的直角坐標方程，得 2 ?2?2 ?2?2

?3t?＋?t?＝5，即t－2 t＋4＝0.2??2??

由于Δ＝2)－4×4＝2>0，故可設t1，t2是上述方程的兩實根，所以?

?t1＋t2＝2，?t1·t2＝4.又直線l過點P(3，5)，故由上式及t的幾何意義得 |PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝32.方法2：因為圓C的圓心為(0，5)，半徑r5，直線l的普通方程為y＝－x＋3

＋5.?x2＋y－52＝5，由?

?y＝－x＋35?x＝1，解得?

? y＝2＋ 5

得x－3x＋2＝0.?x＝2，或?

?y＝15.不妨設A(1,25)，B(2,1＋5)，又點P的坐標為(35)，故|PA|＋|PB|82 ＝2.?x＝cos θ，?

12．已知曲線C1：?

??y＝sin θ，(θ

?x＝t?2

為參數)，曲線C：?

2y＝??2t.2，(t

為參數)

(1)指出C1，C2各是什么曲線，并說明C1與C2公共點的個數；

(2)若把C1，C2上各點的縱坐標都壓縮為原來的一半，分別得到曲線C1′，C2′.寫出C1′，C2′的參數方程．C1′與C2′公共點的個數和C1與C2公共點的個數是否相同？說明你的理由．

【解析】(1)C1是圓，C2是直線．

C1的普通方程為x2＋y2＝1，圓心C1(0,0)，半徑r＝1.C2的普通方程為x－y＋2＝0.因為圓心C1到直線x－y2＝0的距離為1，所以C2與C1只有一個公共點．(2)壓縮后的參數方程分別為

?

C1 ′：?1

y＝sin θ，??2

化為普通方程為

?x＝cos θ，(θ

?x＝t－?2

為參數)；C ′：?

2y＝.??4

2，(t為參數)．

C1 ′：x2＋4y2＝1，C2′：y＝＋

聯立消元得2x＋22x＋1＝0，22，2

其判別式Δ＝(22)－4×2×1＝0，所以壓縮后的直線C2′與橢圓C1′仍然只有一個公共點，和C1與C2公共點個數相同．

第五篇：《2014屆數學一輪高考核動力》(新課標)高考數學(文)一輪強化突破訓練(15)

一、選擇題

1．已知等比數列{an}的前n項和Sn＝48，前2n項和S2n＝60，那么前3n項和S3n等于()

A．72

C．75

【答案】D

【解析】Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍是等比數列，可得

12S3n－S2n＝＝3，48

∴S3n＝3＋S2n＝63.2．(2009高考廣東卷)已知等比數列{an}的公比為正數，且a3·a9＝2a5，a2＝1，則a1＝()

1A.2

C.2

【答案】B

【解析】因為a3·a9＝2a5，則由等比數列的性質有：a3·a9＝a6＝2a5，22222B．36D．63 B.22D．2

a62?a622＝2，?＝q＝2，因為公比為正數，故q2，a5?a5?

又因為a2＝1，所以a1＝故選擇B.3．已知等比數列{an}中a2＝1，則其前3項的和S3的取值范圍是()

A．(－∞，－1]

C．[3，＋∞)

【答案】D

【解析】設等比數列的公比為q，1∵a2＝1，∴a1＝，a3＝a2q＝q.B．(－∞，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)a2q12＝22q

1∵S3＝＋1＋q，q

∴當q>0時，S3≥3(q＝1時取等號)；

當q<0時，S3≤－1(q＝－1時取等號)．

值時，n的值等于()

A．5

C．7

【答案】B

【解析】由T8＝T4，得a1a2a3a4a5a6a7a8＝a1a2a3a4，所以a5a6a7a8＝1，又a5a8＝a6a7＝1，且數列{an}是正項遞增數列，所以a5

5．已知{an}是等比數列，a2＝2，a5，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝()

4A．16(1－4)C.32－n

(1－4)3

－n

B．16(1－2)D.32－n

(1－2)3

－n

【答案】C

a5311

【解析】∵＝qq

a282

?1n－1?1?n5－2n

∴an·an＋1＝4·?·4·??＝2，?2??2?

故a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋anan＋1 ＝2＋2＋2＋2＋…＋

2－1

－3

5－2n

?18?1－?4?32－n＝(1－4)．

1314

故選擇C.二、填空題

6．在等比數列{an}中，若a2＝a4＝4，則公比q＝；a1＋a2＋…＋an＝.2【答案】2 2

n－1

1－ 2

133

【解析】a4＝a1q得4＝，解得q＝2，212

a1＋a2＋…＋an＝

1－21－2

＝2

n

n－1

1－.2

7．設{an}是由正數組成的等比數列，Sn為其前n項和．已知a2a4＝1，S3＝7，則S5

＝.31

【答案】

【解析】顯然公比q≠1，a1q·a1q＝1，??

由題意得，?a11－q3＝7，??1－q

a1＝4，??

解得?1

q＝，??

2?1?4?1－5?

a11－q?2?31∴S5＝＝1－q14

1－2

8．設{an}是公比為q的等比數列，|q|>1，令bn＝an＋1(n＝1,2，…)，若數列{bn}有連續四項在集合{－53，－23,19,37,82}中，則6q＝.【答案】－9

【解析】由an＝bn－1，且數列{bn}有連續四項在集合{－53，－23,19,37,82}中，則{an}有連續四項在集合{－54，－24,18,36,81}中．經分析判斷，比較知{an}的四項應為－24,36，3

－54,81.又|q|>1，所以數列{an}的公比為q＝－6q＝－9.三、解答題

9．設等比數列{an}的前n項和為Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.【解析】設{an}的公比為q，由題設得

??a1q＝6，?2

?6a1＋a1q＝30，?

??a1＝3，解得?

?q＝2，?

n－1n－1

??a1＝2，或?

?q＝3.?

n

當a1＝3，q＝2時，an＝3×2當a1＝2，q＝3時，an＝2×3，Sn＝3×(2－1)；，Sn＝3－1.n

10．設{an}是公比大于1的等比數列，Sn為數列{an}的前n項和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4構成等差數列．

(1)求數列{an}的通項；

(2)令bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，求數列{bn}的前n項和Tn.a1＋a2＋a3＝7，??

【解析】(1)由已知得：?a1＋3＋a3＋43a2，?2?

解得a2＝2.設數列{an}的公比為q，由a2＝2，可得a1＝a3＝2q，q

又S3＝7＋2＋2q＝7，q

即2q－5q＋2＝0.1

解得q1＝2，q2＝.2由題意得q>1，∴q＝2.∴a1＝1.故數列{an}的通項為an＝2由(1)得a3n＋1＝2.∴bn＝ln 2＝3nln 2，又bn＋1－bn＝3ln 2，∴{bn}是等差數列． ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝

3n

3n

n－1

.(2)由于bn＝ln a3n＋1，n＝1,2，…，nb1＋bn2

n3ln 2＋3nln 223nn＋1＝2

3n故Tn＝

n＋12

11．設數列{an}的前n項和為Sn，且對任意正整數n，an＋Sn＝4 096.(1)求數列{an}的通項公式；

(2)設數列{log2an}的前n項和為Tn，對數列{Tn}從第幾項起Tn<－509?【解析】(1)an＋Sn＝4 096，當n≥2時，an－1＋Sn－1＝4 096，兩式相減得an－an－1＋an＝0，∴2an＝an－1

an1＝an－12

又a1＋S1＝2a1＝4 096，∴a1＝2 048.∴數列{an}是以a1＝2 048

2∴an＝a1·q＝2×2

1－n

n－1

?1n－1

＝2 048×?

?2?

12－n

＝2.＝12－n.(2)log2an＝log22

12－n

∴Tn＝(12－1)＋(12－2)＋…＋(12－n)＝12n－

nn＋121223＋n.22

1223

＋n<－509，22整理得n－23n－2×509>0，23＋∴n＝∵

232

＋4×2×509

234 601

234 601

∴數列{Tn}從第46項起Tn<－509.12．已知數列{an}中a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2，q≠0)．(1)設bn＝an＋1－an(n∈N)，證明{bn}是等比數列；(2)求數列{an}的通項公式；

(3)若a3是a6與a9的等差中項，求q的值，并證明：對任意的n∈N，an是an＋3與an＋6的等差中項．

【證明】由題設an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，得

*

*

an＋1－an＝q(an－an－1)，即bn＝qbn－1，n≥2.由b1＝a2－a1＝1，q≠0，所以{bn}是首項為1，公比為q的等比數列．(2)由(1)，a2－a1＝1，a3－a2＝q，…

an－an－1＝qn－2(n≥2)．

將以上各式相加，得

an－a1＝1＋q＋…＋qn－2(n≥2)，即an＝a1＋1＋q＋…＋q所以當n≥2時，1－q??1＋ q≠1，1－qan＝???n，q＝1.上式對n＝1顯然成立．

(3)由(2)，當q＝1時，顯然a3不是a6與a9的等差中項，故q≠1.由a3－a6＝a9－a3可得q－q＝q－q，由q≠0得

n－2

(n≥2)．

n－1

q3－1＝1－q6，①

整理得(q)＋q－2＝0，解得q＝－2或q＝1(舍去)． 3于是q＝－2.另一方面，32

qn＋2－qn－1qn－13

an－an＋3＝(q－1)，1－q1－qqn－1－qn＋5qn－16

an＋6－an＝(1－q)．

1－q1－q

由①可得an－an＋3＝an＋6－an，n∈∈N.所以對任意的n∈N，an是an＋3與an＋6的等差中項．

*

*