第一篇：1證明二 詳細(xì)知識點(diǎn)+例題+習(xí)題
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第二篇：浮力知識點(diǎn)及典型例題
(考查范圍：浮力及其應(yīng)用)
附:本章知識小結(jié)(一)本章詞語解釋
1.上升: 物體在液體中向液面運(yùn)動的過程.2.下沉: 物體在液體中向容器底部運(yùn)動的過程.3.漂浮: 物體獨(dú)自靜止地浮在液面上,有一部分體積在液面下為V排,有一部分體積在液面上為V露.4.懸浮: 物體獨(dú)自靜止地懸在液體中任何位置,此時(shí)V排＝V物.5.沉底: 物體在液體中沉到容器底,容器底對它有一個(gè)支持力.6.浸沒: 物體全部浸在液體中,此時(shí)V排＝V物.7.浸入: 物體部分或全部浸在液體中.8.浮體: 凡是漂浮或懸浮在液體中的物體.(二)重難點(diǎn)分析
1.浮力的三要素
2.對阿基米德原理的理解(F浮＝G排或F浮＝ρ液gV排)A.原理中“浸入液體里的物體”指兩種情況
B.能區(qū)分G物與G排；V物與V排；ρ物與ρ液的意義.C.明確此公式的適用條件:既用于液體也適用于氣體.D.由此式理解決定浮力大小的因素.即:物體浸在液體中所受浮力的大小跟液體(氣體)的密度和物體排開液體(氣體)的體積有關(guān),而跟物體本身的體積、密度、形狀以及物體浸沒在液體(氣體)中的深度等無關(guān).因此,在用F浮＝ρ液gV排計(jì)算或比較浮力大小時(shí),關(guān)鍵是分析液體的密度ρ液和排開液體的體積V排的大小.3.怎樣判斷物體的浮沉及浮沉的應(yīng)用
A.物體的浮沉條件 浸沒在液體里的物體若只受重力和浮力的作用,由力運(yùn)動的關(guān)系可知: 當(dāng)F浮>G物(ρ液>ρ物)時(shí),物體上浮→漂浮(F'浮＝G物).當(dāng)F浮=G物(ρ液=ρ物)時(shí),物體懸浮.當(dāng)F浮 技術(shù)上為了實(shí)現(xiàn)浮沉總是設(shè)法改變重力與浮力的“力量對比”,來達(dá)到目的.若保持浮力不變,可改變自身的重力,實(shí)現(xiàn)沉浮；若保持重力不變,可改變排開液體(氣體)的體積來實(shí)現(xiàn)沉浮.a 輪船采用”空心”辦法,使它排開水的體積增大,達(dá)到增大浮力.b 潛水艇 浮力不變,通過改變“自重”來實(shí)現(xiàn)上浮、下沉的.c 氣球與飛艇 用小于空氣密度的氫氣或氦氣充入氣球和飛艇中,通過改變氣球和氣囊的體積而改變浮力的大小,實(shí)現(xiàn)升降.d 密度計(jì)用來測定液體密度的儀器.它利用漂浮原理:G密度計(jì)＝F浮＝ρ液gV 排,即ρ液大,V排就小,密度計(jì)露出部分大而做成的.4.關(guān)于液面升降的問題.分析 其實(shí)質(zhì)是比較變化前后的V排.例: 一塊冰浮于水面,如圖.那么當(dāng)冰熔化前后,其水面將______(選填“升高”、“降低”或“不變”)解: 冰熔化前: 由于漂浮,F浮＝G物.則V排＝m冰g/ρ水g＝m冰/ρ水.冰熔化后:由于m水＝m冰,由ρ＝m/V得 V化水＝m水/ρ水＝m冰/ρ水 因 V排水＝V化水,即冰熔化成水后,剛好填滿原來被冰排開的水的體積,因此,水面保持不變.擴(kuò)展一 ① 若上題中的冰包含有氣泡,則冰熔化后液面將如何變? ② 若上題中的冰包有一小木塊(ρ物<ρ水),則冰熔化后液面又將如何? ③ 若上題中的冰包含有一小石塊(ρ物>ρ水),則冰熔化后又如何? 擴(kuò)展二 如圖甲,鐵塊A疊放在木塊B上,然后放在水缸中當(dāng)將鐵塊從木塊上拿下,并放在水缸底部時(shí),水面高度將() A.上升 B.下降 C.不變 D.無法確定 5.如何用浮力知識來測固體或液體的密度.A.測固體的密度 例一 請利用彈簧測力計(jì)、水、燒杯測出一塊小石頭(ρ物>ρ水)的密度.① 實(shí)驗(yàn)原理 F浮＝G－F拉(稱重法)② 步驟 a 用彈簧測力計(jì)先測出小石塊在空氣中的重力記為G石； b 用彈簧測力計(jì)懸吊著小石塊,使之浸沒在水杯中,并記下此時(shí)彈簧測力計(jì)的示數(shù)為F拉； c 由F浮＋F拉＝G可求得小石塊浸沒在水中受到的浮力為F浮＝G石－F拉； d 由F浮＝ρ液gV排和G＝mg＝ρ物gV物及V物＝V排得ρ石＝ ρ水 例二 利用量筒、水、細(xì)針測出不沉于水的蠟塊(ρ物<ρ水)密度.① 實(shí)驗(yàn)原理 F浮＝G(漂浮法)② 步驟 a 先往量筒中倒入適量的水,記下水的體積為V0； b 然后往量筒中放入小蠟塊,待小蠟塊靜止后,記下水面現(xiàn)在所對應(yīng)的刻度為V1,即蠟塊漂浮時(shí)V排＝V1－V0； c 用細(xì)針將蠟塊全部按入水中,記下現(xiàn)在水面刻度為V2,此時(shí)蠟塊的體積為V蠟＝V2－V0； d 利用漂浮條件F浮＝G,即ρ水gV排＝ρ蠟gV蠟得出ρ蠟＝ρ水 B.測液體的密度 第一 原理 F浮＝G－F拉和F浮＝ρ液gV排.(稱重法)器材 彈簧測力計(jì)、燒杯、適量的水、適量的待測液體和一個(gè)密度大于水和液體的物體.過程 用上述器材分別測出物體在水中和待測液體中的浮力,則有 即:ρ液＝ 第二 原理 F浮＝G物(漂浮法) 器材 量筒、水和待測液體、一個(gè)密度比水和待測液體小的物體.過程 用上述器材分別測出物體在水中和待測液體中的V排即可,即:由G物＝F 浮水和G物＝F浮液可知 ρ水gV排水＝ρ液gV排液,也即ρ液＝ 6.掌握計(jì)算浮力大小的四種方法.A.稱重法.利用彈簧測力計(jì)兩次讀數(shù)不等來計(jì)算浮力.基本公式 F浮＝G－F拉(式中的G和F拉分別為稱在空氣中的物體和稱在液體中的同一物體時(shí)彈簧測力計(jì)的讀數(shù)) 適用范圍 此式適用于液體中下沉的物體.常用于題中已知用彈簧測力計(jì)稱物體重的情況.B.壓力差法.利用浮力產(chǎn)生的原因來計(jì)算浮力.基本公式 F浮＝F向上－F向下.適用范圍 此法用于判斷物體是否受到浮力或計(jì)算浸沒深度已知的規(guī)則物體所受的浮力.C.原理法.利用阿基米德原理來計(jì)算浮力.基本公式 F浮＝G排液或F浮＝ρ液gV排液.適用范圍 普遍適用.D.平衡法.利用物體漂浮或懸浮的條件來計(jì)算浮力.基本公式 F浮＝G物、F浮＋N支＝G物、F浮＝G物＋F拉.適用范圍 漂浮體、懸浮體、沉底、連接體等.其中稱重法、原理法、平衡法是常用的計(jì)算浮力的方法.其它方法一般都要與原理法聯(lián)合使用,才能順利完成浮力問題的解答.7.求解浮力問題的一般步驟 a 明確研究對象 b 明確研究對象所處的運(yùn)動狀態(tài).(漂浮、懸浮、沉底、上浮或下沉等) c 對研究對象進(jìn)行受力分析,并畫出受力示意圖.(除分析重力、浮力外,還要注意是否有其它相關(guān)聯(lián)的物體對它有拉力、壓力等) d 列出物體處于平衡狀態(tài)下的力的平衡方程(在展開方程時(shí),應(yīng)注意抓住題中的關(guān)鍵字“全浸”、“部分浸”、“漂浮”、“沉底”、“露出水面”等)e 解方程求出未知量.1、第二次世界大戰(zhàn)時(shí)期，德國納粹一潛水艇在下潛過程中，撞到海底被擱淺而不能浮起來，這是因?yàn)?)A.有浮力，但浮力小于重力 B.有浮力，且浮力等于重力 C.潛水艇底部沒有水進(jìn)入，不產(chǎn)生浮力 D.機(jī)器壞了，不產(chǎn)生浮力 2．一艘輪船從東海駛?cè)腴L江后，它所受到的浮力()A.變小 B.不變 C.變大 D.不能確定 3．甲、乙兩物體的質(zhì)量之比是3∶5,密度之比是3∶10,若把它們浸沒在同種液體中,則它們所受的浮力之比是()A.3∶5 B.3∶10 C.1∶2 D.2∶1 4．如圖所示，體積相同的甲、乙、丙三個(gè)物體浸沒在水中。甲上浮、乙懸浮、丙下沉，在甲露出水面之前，關(guān)于它們所受浮力的說法正確的是()A.甲受到的浮力 B.乙受到的浮力大 C.丙受到的浮力大 D.甲、乙、丙受到的浮力一樣大 7．如圖所示，浸沒在燒杯底部的雞蛋所受水的浮力F1小于雞蛋的重力，現(xiàn)將適量的濃鹽水倒入燒杯中，雞蛋所受的浮力為F2，則F1與F2的關(guān)系是()A.F1>F2 B.F1 9．潛水員從水下15m的地方上浮到距水面lm的地方，則潛水員所受的浮力和壓強(qiáng)()A.壓強(qiáng)和浮力都將變大 C.壓強(qiáng)和浮力都將變小 B.壓強(qiáng)減小，浮力不變 D.壓強(qiáng)不變，浮力變小 10．一個(gè)邊長為a的立方體鐵塊從圖（甲）所示的實(shí)線位置（此時(shí)該立方體的下表面恰與水面齊平）下降至圖中的虛線位置，則圖（乙）中能正確反映鐵塊所受水的浮力的大小F和鐵塊下表面在水中的深度h關(guān)系的圖像是()a F F F F 2a 水 0 a 2a h 0 a 2a h 0 a 2a h 0 a 2a A B C D 11．將質(zhì)量相等的實(shí)心鐵塊、鋁塊和木塊放入水中，靜止時(shí)，比較它們受到的浮力(ρ鐵=7.8g／cm3、ρ33鋁=2.7g/cm、ρ木=0.4g/cm)()A.鐵塊受到的浮力最小 B.鋁塊受到的浮力最小 C.木塊受到的浮力最小 D.鐵塊和鋁塊受到的浮力一樣大 12．如圖所示，是一位先生巧用物理知識將帽子送給樓上女士的情景。此 過程中應(yīng)用的關(guān)鍵知識是() A.氣球受到重力 B.帽子質(zhì)量大于氣球質(zhì)量 C.帽子密度大于氣球密度 D.空氣對物體有浮力作用 13．懸浮在水中的潛水艇排出水艙中的一部分水后，受到的浮力大于自身受到的重力，潛水艇將（） A.下沉 B.上浮 C.懸浮在水中 D.先下降后上升 14．打撈江底的沉船，下面采取的措施，不合理的是()A.使沉船與水底淤泥盡量分離 B.使用費(fèi)力的機(jī)械把沉船拉起來 C.清除船體中的泥沙，使船變輕 D.將浮筒與船綁在一起，再排出浮筒內(nèi)的水 15．將一實(shí)心物體先后投入足量的水和酒精中，物體靜止時(shí)，所受浮力分別為6N和5N，判定物體在水、酒精中的浮沉狀態(tài)可能是（ρ3酒=0.8×10kg/m3）()A.在水中漂浮，在酒精中漂浮 B.在水中漂浮，在酒精中沉底 C.在水中懸浮，在酒精中漂浮 D.在水中沉底，在酒精中沉底 16．質(zhì)量相等的木塊和蠟塊，漂浮在同一盆水中，它們所受浮力的大小關(guān)系是（）A.木塊受浮力大 B.木塊和蠟塊受浮力相等 C.蠟塊受浮力大 D.條件不足，無法比較 17．如圖所示，質(zhì)量相等的A．B．C三個(gè)小球，放在同一液體中，結(jié)果A球漂浮，B球懸浮，C球下沉到容器底部，下列說法中正確的是（）A．如果三個(gè)小球都是空心的，則它們的體積可能相等 B．如果三個(gè)小球的材料相同，則A．B兩球一定是空心的 C．如果三個(gè)小球都是空心的，則它們所受浮力的大小關(guān)系為FA＞FB＞FC D．如果三個(gè)小球都是實(shí)心的，則它們密度的大小關(guān)系為ρA＞ρB＞ρC 18．如圖所示,在三個(gè)相同的容器中分別盛有甲、乙、丙三種液體；將三個(gè)完全相同的銅球,分別沉入容器底部,當(dāng)銅球靜止時(shí),容器底部受到銅球的壓力大小關(guān)系是F甲>F乙>F丙,則液體密度相比較() A.甲的最小 B.乙的最小 C.丙的最小 D.一樣大 19．在彈簧測力計(jì)下掛一實(shí)心物體，彈簧測力計(jì)的示數(shù)是Ｆ，如果把物體浸沒在水中央，物體靜止時(shí)彈簧測力計(jì)的示數(shù)為F/5，則該物體的密度是（）A.1.0×103kg/mB.0.8×103kg/m3 C.1.5×103kg/m3 D.1.25×103kg/m3 20．如圖所示，將兩只同樣盛滿水的溢水杯放在天平的兩盤時(shí)天平平衡。將一木塊放在右盤的溢水杯中木塊漂浮在水面上，并將溢出的水取走，此時(shí)天平()A.右邊上移 B.保持平衡 C.右邊下移 D.無法確定 21．用一個(gè)量筒、水、一根細(xì)針做實(shí)驗(yàn)來測木塊的某些物理量，下列說法中正確的是()A.只能測木塊的體積 B.只能測木塊所受的浮力 C.只能測木塊的體積，質(zhì)量和密度 D.木塊的體積，所受的浮力，質(zhì)量和密度都能測量 三、填空題 22．潛水艇充滿水時(shí)，可以懸浮在海水中靜止不動．此時(shí)，它在豎直方向上受到_______ 力和_________力的作用，這兩個(gè)力的合力是_________。 23．如圖所示，卷成團(tuán)的牙膏皮弄成空心后，立在水中受到的重力________，排開水的體積__________，受到的浮力_______(填“變大”、“變小”或“不變”)． 24．水下6米深處有一條體積為300厘米3的魚，它受到的浮力為______牛，這條魚若再向下游5米，則它受到的浮力將_______。(填“變大”、“變小”或“不變”) 25．一金屬塊在空氣中稱重27N，把它全部浸沒在水中稱彈簧秤讀數(shù)為17N，則該金屬塊受到水對它的浮力是______N，浮力的方向是_________，物體的體積3為______m。 26．如圖所示，重為3×105牛的飛艇靜止在空中，飛艇受到的浮力大小為___________牛，方向豎直___________。 27．一個(gè)重5N的木塊漂浮在水面上，它受到的浮力為 ___________ N，它排開水的體積為___________m3.28．一個(gè)質(zhì)量、體積均可忽略不計(jì)的塑料袋(不漏水)裝上1千克的水后再放入水中，它們受到水的浮力是_____N．(g=1ON／kg)29．如圖所示，將兩塊相同的橡皮泥做成實(shí)心球形和碗形，分別放入相同的甲、乙兩杯水中，靜止時(shí)甲杯中橡皮泥所受的浮力___________乙杯中橡皮泥所受的浮力（選填“大于”、“小于”或“等于”），________杯中水面升高得多。 30．如圖所示，物體浸沒在水中時(shí)，所受到的浮力為______N；如果直接將該物體投入水中，該物體將______（填“上浮”、“懸浮”或“下沉”）；從圖乙、丙可以看出浮力的大小與液體的_______有關(guān).31．小明把一塊地瓜放進(jìn)杯中的水里，結(jié)果地瓜沉到杯底，如圖所示，請參考表中數(shù)據(jù)判斷，下面哪個(gè)辦法能使地瓜浮出水面.32．一個(gè)物體所受的重力為10N，將其全部浸沒在水中時(shí)，它所排開的水所受的重力為20N，此時(shí)它所受的浮力為_____________N，放手后物體將_____________（填“上浮”、“下沉”或“懸浮”），物體靜止時(shí)所受浮力為______________N.33． “五·一”黃金周期間，小明與家人到我省大英縣的“死海”游玩，這“死海”其實(shí)就 是咸水湖，當(dāng)人完全浸沒水中時(shí)，人受到的浮力_______________人受到的重力（選填“大于”、“小于”或“等于”），所以人就會自然向上浮起；當(dāng)人漂浮在水面上靜止不動時(shí)，人受到的浮力___________人受到的重力（選填“大于”、“小于”或“等于”）。 34．在如圖所示的裝有水的杯中漂浮著一塊冰，冰塊內(nèi)有一實(shí)心小鐵塊．當(dāng) 冰全部融化后，杯中的液面將會_________(填“升高”、“降低”或“不變”) 35．體積是125厘米3的正方體石塊，浸沒在水中某處時(shí)，受到的浮力大小是_______牛，如果此時(shí)正方體的上表面受到向下的壓力是2.5牛，則下表面受到向上的壓力是_______牛。(g=10牛/千克) 36．一只質(zhì)量是790克的實(shí)心鐵球放入水中受到的浮力是______牛，放入水銀中靜止后受到的浮力是______牛。(ρ=7.9×103千克/米3) 37．體積為50厘米，質(zhì)量為48克的生橡膠塊放入足夠深的水中靜止后，水對它的浮力是_________牛。(g＝10牛/千克) 38．將同一小石塊分別浸沒在水和某種液 體中，彈簧測力計(jì)的示數(shù)如圖所示，則小石塊的密度是________kg/m3,，這種液體的密度是__________ kg/m3.(g取10N/kg) 39．輪船進(jìn)港卸下貨物后，吃水深度減少0.5m，如果輪船在水平方向上的平均截面積約 為5400m，那么，卸下貨物的質(zhì)量大約是_________． 40．一艘輪船滿載時(shí)的排水量是7500t，輪船受到的浮力是 N；滿載時(shí)輪船排開水 3的體積是 m。在水面下3m深處，水對船體的壓強(qiáng)是 Ｐa（輪船的排水量是指輪船排開水的質(zhì)量） 41．將一個(gè)密度為0.9×103kg/m3的實(shí)心小球，先后放入水和酒精當(dāng)中，則小球排開水的體積與排開酒精的體積之比為 ________；小球在水和酒精中所受浮力之比是______ (ρ酒=0.8 ×l0kg/m) 42．一個(gè)空心銅球質(zhì)量為89g,它能漂浮在水中，且有1/3個(gè)球露在水面上，已知銅的密度為8.9×103 kg/m3，則此銅球的體積為________cm3,，其空心部分的體積為_______cm3． 幾何證明與計(jì)算 （二）2007、1【目標(biāo)要求】 掌握等腰三角形（包括等邊三角形）的判定，能應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)（底角相等，頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高三線合一）進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明． 能應(yīng)用直角三角形的重要性質(zhì)（兩個(gè)銳角互余，斜邊上的中線等于斜邊的一半，30°角所對的直角邊斜邊的一半及其逆定理），以及勾股定理及其逆定理進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明．【解題指導(dǎo)】 例1如圖1，已知在△ABC中，點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，MD⊥AB于點(diǎn)D，ME⊥AC于點(diǎn)E，且MD=ME． 求證：△ABC是等腰三角形． 拓展與引申（1）本題的條件不變，還可證明MD等于AB邊的高的一半．（2）如果在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)M是BC邊的任意一點(diǎn)，MD⊥AB于點(diǎn)D，ME⊥AC于點(diǎn)E，這兩個(gè)條件不變，可證明MD+ME等于AB邊上的高． （3）如圖2，在等邊△ABC中，P為三角形中的任意一點(diǎn)，那么P到三邊的距離之和為定值，這個(gè)定值等于等邊△ABC高． 例2 如圖3，在△ABC中，AB=AC，D、E是AB及AC延長線上的點(diǎn)，連結(jié)DE交BC于F，若F是DE的中點(diǎn)，求證：BD=CE． 拓展與引申當(dāng)點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，可證明點(diǎn)F是BC的四等分點(diǎn)． 初二數(shù)學(xué)第1頁 （圖1） C （圖2） C （圖3） 例3如圖4，在△ABC中，AF平分∠BAC，BF⊥AF于F，CE⊥AF于E，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．求證DE=DF= （AB-AC）． 2（圖4） B 例4 如圖5，已知△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC邊上，∠DAC=90°.（1）（2） 當(dāng)∠B=30°時(shí)，求證：BD=當(dāng)BD= CD； 2 CD時(shí)，∠B是否一定為30°？ 2 如果一定，請給出證明；如果不一定，請說明理由.（圖5） 例5 如圖6, 等邊△ABC的邊長為1, 點(diǎn)D、E分別在AB、BC邊上，DE將△ABC分成面積相等的兩部分，點(diǎn)F、G在AC邊上，DF//BC，EG//AB, 設(shè)AF=x,CG=y.（1）求y與之間的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域； x （2）試問以AF、FG、GC的長為三邊的長能否構(gòu)成直角三 角形？請說明理由． C （圖6） 拓展與引申 如圖7，在Rt△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、BC邊上，DE將△ABC分成面積相等的兩部分，點(diǎn)F、G在AC邊上，DF//BC，EG//AB, 試問以AF、FG、GC的長為三邊的長能否構(gòu)成直角三角形？請說明理由． （圖7） 初二數(shù)學(xué)第2頁 【作業(yè)】A組 1．填空題（1）等腰三角形的頂角為α度，那么底角等于度．（2）在ΔABC中，AB=AC=5cm，∠B=60°，那么BC=cm．（3）在ΔABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，那么ΔABC的面積等于cm2．（4）直角三角形兩個(gè)銳角的度數(shù)之比是4∶5，那么較大的一個(gè)銳角等于度．（5）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是中線，CE是角平分線，∠A=25°.那么∠DCE=________° （6）等邊三角形的邊長等于a，那么它的高等于． 2．選擇題 （1）用以下長度的三條線段不能組成一個(gè)直角三角形的是（）． （A）6cm，8cm，10cm（B）5cm，12cm，13cm（C）7cm，11cm，15cm（D）8cm，15cm，17cm （2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD、CM分別是這個(gè)三角形的高和中線，那么下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）． （A）∠ACD=∠B（B）∠MCD =∠ACD（C）∠ACD=∠BCM（D）∠ACM=∠BCD（3）如果一個(gè)等腰三角形能夠分割為兩個(gè)小的等腰三角形，那么頂角不可能是（）． （A）36o（B）72o （C）90o（D）108o D 3．如圖，把矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，點(diǎn)C落在 點(diǎn)E處，BE與AD相交于點(diǎn)F．求證：△BDF是等腰三角形． C 4．已知，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，以點(diǎn)A 為圓心，AD的長為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)E．求∠CDE的度數(shù)． 第4題5．在△ABC中，AB=AC，∠B和∠C的平分線相交于點(diǎn)D，求證：點(diǎn)D在邊BC的垂直平分線上． C 第5題 6．求證：如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那 么這個(gè)三角形是直角三角形． E 7．如圖，已知Rt△ABC中，AB=AC，CE垂直∠B的平分線BD，垂足為點(diǎn)E．求證：BD=2CE． B C （第7題） 初二數(shù)學(xué)第3頁 B組 1．填空題（1）等腰三角形兩條邊的長度分別為3和6，那么周長等于． （2）等腰三角形一腰上的高與另一腰所夾的角為45°，那么頂 角為度． （3）如圖，在ΔABC中，BC=5 cm，BP、CP分別是△ABC和△ ACB的平分線，點(diǎn)D、E在BC邊上，且PD//AB，PE//AC，那么ΔPDE第1（3）題的周長是_______ cm.． （4）已知直角三角形的周長為9cm，斜邊上的中線長為A 2cm，那么兩條直角邊長的和為cm． （5）在Rt△ABC中，斜邊AB的垂直平分線MN交邊AC于點(diǎn)M，如果∠B=55°，那么∠CBM度． E （6）等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半，那么這個(gè)B D 等腰三角形的頂角等于_____度． 2．如圖，在四邊形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，C ∠ADC=50°，點(diǎn)E是對角線BD的中點(diǎn)．求∠CAE的度數(shù)． 第2題 3．在直角坐標(biāo)平面中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，5），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，8），試判斷△ABC是否為直角三角形，并證明你的結(jié)論． A 4．如圖，已知∠ABD=∠ADB，∠ABC=∠ADC，BE=DC．試比 較∠DCB+2∠ACB與180度的大小． C 5．如圖，已知等腰直角三角形ABC中，AB=AC，過點(diǎn)C任意 畫一條與斜邊相交的直線，分別過點(diǎn)A、B作這條直線的垂線，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E．求證：DE=AD-BE． C B 第5題 6．已知等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，過點(diǎn)C作直線l（直線l不經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B），過點(diǎn)A作AD⊥l，垂足為點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE⊥l，垂足為點(diǎn)E，試探索DE、AD、BE長度之間的關(guān)系． 初二數(shù)學(xué)第4頁 基本不等式 知識點(diǎn)： 1.(1)若a,b?R，則a?b?2ab a?b時(shí)取“=”）22(2)若a,b?R，則ab?a?b222（當(dāng)且僅當(dāng) 2.(1)若a,b?R*，則 a?b時(shí)取“=”）a?b2?(2)若a,b?R，則a?b?2ab *ab（當(dāng)且僅當(dāng) a?b?(3)若a,b?R，則ab??）??(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=” ?2?* 23.若x?0，則x? 若x?0，則x?1x 1x）?2(當(dāng)且僅當(dāng)x?1時(shí)取“=”??2(當(dāng)且僅當(dāng)x??1時(shí)取“=”） 若x?0，則x?1?2即x?1?2或x?1?-2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”） xxx 4.若ab?0，則a?b?2(當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”）若ab?0，則 ba a b??2即a bb a?2或 2ab2ba（）-?2當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”5.若a,b?R，則（注意： a?b2)?2a?b2（當(dāng)且僅當(dāng)a?b時(shí)取“=”） (1)當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”． (2)求最值的條件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問題方面有廣泛的應(yīng)用 應(yīng)用一：求最值 例：求下列函數(shù)的值域 （1）y＝3x 2＋ 12x 21（2）y＝x＋ x 解：(1)y＝3x 2＋1 2x 2 ≥23x 2·12x 2＝6∴值域?yàn)閇6，+∞） 1(2)當(dāng)x＞0時(shí)，y＝x ≥2x1x·＝2； x 當(dāng)x＜0時(shí)，y＝x＋= －（－ x－）≤－ 2xx∴值域?yàn)椋ǎ蓿?]∪[2，+∞） 解題技巧 技巧一：湊項(xiàng) 例已知x? 54x·=－2 x，求函數(shù)y ?4x?2? 14x?5的最大值。 解：因4x?5?0，所以首先要“調(diào)整”符號，又(4x?2)要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，?x? 54,?5?4x?0，?y?4x?2? 4x?5 不是常數(shù)，所以對4x? 21? ???5?4x? 4x?55?4x? ???2?3?1 ?? 3? 當(dāng)且僅當(dāng)5?4x? 15?4x，即x?1時(shí)，上式等號成立，故當(dāng)x?1時(shí)，ymax?1。 技巧二：湊系數(shù) 例： 當(dāng)時(shí)，求y?x(8?2x)的最大值。解析：由 知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到2x?(8?2x)?8為定值，故只需將 y?x (8?2x)湊上一個(gè)系數(shù)即可。 當(dāng)，即x＝2時(shí)取等號當(dāng)x＝2時(shí)，y?x(8?2x)的最大值為8。 變式：設(shè)0?x?，求函數(shù)y?4x(3?2x)的最大值。 2x?3?2x?9 解：∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2???? 222?? 當(dāng)且僅當(dāng)2x?3?2x,即x? 技巧三： 分離 技巧四：換元 例：求y? x?7x?10 x? 1?3? ??0,?時(shí)等號成立。4?2? (x??1)的值域。 解析一：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項(xiàng)，再將其分離。 當(dāng),即 時(shí),y?5?9（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”號）。 解析二：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡原式在分離求最值。y? (t?1)?7(t?1）+10 t = t?5t?4 t ?t?4t ?5 當(dāng),即t=時(shí),y?5?9（當(dāng)t=2即x＝1時(shí)取“＝”號）。 例：求函數(shù)y?的值域。 ?t（t?2)，則y? 1t 1t ??t? 1t (t?2) 因t?0,t??1，但t?因?yàn)閥?t? 1t 解得t??1不在區(qū)間?2,???，故等號不成立，考慮單調(diào)性。 在區(qū)間?1,???單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間?2,???為單調(diào)遞增函數(shù)，故y? ?5 ??。 所以，所求函數(shù)的值域?yàn)?,???。 ?2 技巧六：整體代換 多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯(cuò)。例：已知x?0,y?0，且 1x?9y 1x? ?1，求x?y的最小值。 9y ?1?x 9? ??x?y??y? ?12故 錯(cuò)．解．：?x?0,y?0，且 ?1，?x?y?? ? ?x?y?min ?12。 等號成立條件 是x?y，在錯(cuò)因：解法中 兩次連用均值不等式，在x?y?1x 9y ??1x ? 9y 即y?9x,取等號的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，在利用均值不等式處理問題時(shí)，列出等號成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。 ?19?y9x正解：?x?0,y?0,1?9?1，?x?y??x?y???????10?6?10?16 xy ?xy? xy 當(dāng)且僅當(dāng)技巧七 yx ? 9xy 時(shí)，上式等號成立，又 1x ? 9y ?1，可得x?4,y?12時(shí)，?x?y?min?16。 例：已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x ＝1，求1＋y 2 的最大值.2分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤ 221＋y中y前面的系數(shù)為，x y 2 a 2＋b 2。 1＋y 22· ＝2 同時(shí)還應(yīng)化簡1＋y 2 ＝x x· 1y 2 ＋22 1y 2 ＋分別看成兩個(gè)因式： 22x 2＋（1y 2 ＋)22222 x 2＋ ＝ y 22＋ 下面將x，x· 1y 2 ＋ ≤22 ＝即x 1＋y 2 ＝2 ·x 1y 23＋≤224技巧八： 已知a，b為正實(shí)數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y＝的最小值.ab 分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進(jìn)行。 30－2b－2 b 2＋30b 法一：a＝，ab＝·b＝ b＋1b＋1b＋1由a＞0得，0＜b＜15 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝8 ∴ ab≤18∴ y≥ 118 當(dāng)且僅當(dāng)t＝4，即b＝3，a＝6時(shí)，等號成立。ab －2t 2＋34t－31 1616 ＝－2（t＋）＋34∵t＋ ≥2 t· 30－2b tttt 法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22 ab∴ 30－ab≥2令u＝ab則u2＋22 u－30≤0，－5∴≤u≤3 ab≤32，ab≤18，∴y≥ a?b2 ab（a,b?R）的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；② ? 點(diǎn)評：①本題考查不等式 ? ? 如何由已知不等式ab?a?2b?30（a,b?R）出發(fā)求得ab的范圍，關(guān)鍵是尋找到 a?b與ab之間的關(guān)系，由此想到不等式 a?b 2?ab（a,b?R），這樣將已知條件轉(zhuǎn)換 ? 為含ab的不等式，進(jìn)而解得ab的范圍 .技巧 九、取平方 例: 求函數(shù)y ? 12?x? 52)的最大值。 解析：注意到2x?1與5?2x的和為定值。 y?? ?4??4?(2x ?1)?(5?2x)?8 又y?0，所以0?y?當(dāng)且僅當(dāng)2x?1=5?2x，即x? 時(shí)取等號。故ymax?。 應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式 例：已知a、b、c?R?，且 a?b?c?1。求證：? ? 1??1??1? ?1???1???1??8 ?a??b??c? 分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個(gè)“2”連乘，又1?1?1?a?b?c?，可由此變形入手。 a a a a 解：?a、b、c?R?，a?b?c?1。 ? 1a ?1? 1?aa ? b?ca ? a 。同理 1b ?1? b，1c ?1? c 1?1??1??1?。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號。a?b?c??1?1?1??8?????? 3abcabc?????? 應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問題 例：已知x?0,y?0且 1x?9y ?1，求使不等式x?y?m恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。 解：令x?y?k,x?0,y?0,10k 3k 1x ? 9y ?1，? x?ykx ? 9x?9yky ?1.? 10k ? ykx ? 9xky ?1 ?1??2? 。?k?16，m????,16? 應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用： 例：若 a?b?1,P? lga?lgb,Q? (lga?lgb),R?lg（a?b2)，則P,Q,R的大小關(guān)系 是.分析：∵a?b?1 ∴l(xiāng)ga?0,lgb?0 Q? （lga?lgb)? a?b2)?lg lga?lgb?p lgab?Q∴R>Q>P。 R?lg(ab? 證明 （一）1交流必須對某些名稱和術(shù)語有共同的認(rèn)識才能進(jìn)行，為此，就要對名稱和術(shù)語的含義加以描述，做出明確的規(guī)定，也就是給出它們的定義。 2判斷一件事情的句子，叫做命題。如果一個(gè)句子沒有對某一件事情作出任何判斷，那么它就不是命題。 3每個(gè)命題都是由條件和結(jié)論兩部分組成，條件是已知的事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng)，一般地，命題都可以寫成“如果??那么?..”的形式，其中“如果”引出的部分是條件，“那么”引出的部分是結(jié)論。4正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題。 5要說明一個(gè)命題是假命題，通常可以舉出一個(gè)例子，使之具備命題的條件，而不具有命題的結(jié)論，這種例子稱為反例。 6公認(rèn)的真命題稱為公理。除了公理外，其他真命題的正確性都通過真理的方法證實(shí)，推理的過程稱為證明，經(jīng)過證明的真命題稱為定理，而證明所需的定義，公理和其他定理都編寫在要證明的這個(gè)定理的前面。 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。 全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。 公理 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。定理 兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。定理 兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.公理 兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。定理 兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等。 證明定理：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。這一定理可以簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。 三角形內(nèi)角和定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180度。 三角形的一個(gè)外角等于和它相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。 證明 （二）公理 三邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SSS）公理 兩邊及其夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。（SAS）公理 兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(ASA)公理 全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。 推論 兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。(AAS)定理 等腰三角形的兩個(gè)底角相等。 推論 等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。定理 有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形。 先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后推導(dǎo)出與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立。這種證明方法稱為反證法。 定理 有一個(gè)角等于60度的等腰三角形是等邊三角形。 定理 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。.定理 直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。 定理 如果三角形的兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。 一個(gè)命題是真命題，它的逆命題卻不一定是真命題，如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理稱為互逆定理，其中一個(gè)定理稱為另一個(gè)定理的逆定理。 定理 斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。 定理 到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。定理 三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。 定理 角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。 定理 在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。定理 三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。 證明 （三）定理平行四邊形的對邊相等。定理平行四邊形的對角相等。 定理 同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形。定理 兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。定理 一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。 定理 三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。定理 矩形的四個(gè)角都是直角。定理 矩形的對角線相等。 推論 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。定理 菱形的四條邊都相等。 定理 菱形的對角線互相垂直，并且每條對角線平分一組對角。定理 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。第三篇：幾何證明與計(jì)算習(xí)題精選(二)
第四篇：新課標(biāo)必修5數(shù)學(xué)基本不等式經(jīng)典例題(含知識點(diǎn)和例題詳細(xì)解析)（范文）
第五篇：證明(一)(二)(三)知識點(diǎn)總結(jié)
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