第一篇：高中數學必修5不等式中均值不等式鏈的幾種證法

關鍵詞：基本不等式高中數學教學隨筆必修5 >> 不等式

均值不等式鏈

a?ba2?b

2?ab??基本不等式鏈：若a、b都是正數，則，當且僅當a?b時等號成立。22?ab

2a?ba2?b222ab 注：算術平均數---2；幾何平均數---ab；調和平均數---?a?b；平方平均數---2

a?b

證明1：（代數法）

（1）a?0，b?0?(a?)2?0?a?b?2ab?a?b

2?ab；

（2）a?b212abab2

2?ab?0?a?b?ab?a?b?ab??ab；

a?b

222b2)?2ab?a2?b2?a2?b2(a?b)2a2

（3）a?b?2ab?2(a??b2a?b

2?4?2?2；

綜上，2

ab?a?b

2?a2?b2

?2，當且僅當a?b時“?”成立。

a?b

證明2：（幾何法）

G

A

B

如圖，AC?a，BC?b，AB?a?b，以AB為直徑作圓O，則

圖1：OD?a?b，DC?OD?

2，DC?abab?a?b

2；

圖2：DC?ab，DE?DC222ab

OD?ab

a?b，DE?DC?a?b?ab；

a?ba2?b2

圖3：OC?a?ba2?b2

2，GC?2，OG?GC?2?2； 綜上，2a?ba2?b2

?ab?2?2，當且僅當a?b時“?”成立。

a?b

授之以魚，不如授之以漁。

1界首一中2011-01 證明3：（幾何法）

作梯形ABCD，使AD//BC，?B?90?，AD?BC?CD，令AD?a，BC?b，(b?a)，E、F分別是AB、CD的中點，過E作EG?CD于G，過G作GH?AB于H，在EB上截取EN?則E、F分別是AB、CD的中點，?EF?

ED平分?ADC?EG?EA?b?a，2b?a，21AB?ab，2DGaAD?CG?BC?DG2ab??GH?DG?DA，GC?BC?，即GH?，GCba?ba?b

b?aa2?b2

EN?，?NF?22

2aba?ba2?b2

顯然，GH?EG?EF?FN，∴ ?ab??a?b22

2aba?ba2?b2

當“a?b”時。?ab??a?b22

證明4：（幾何法）

(b?a)，作梯形ABCD，使AD//BC，?B?90?，AD?BC?AB，令AD?a，BC?b，在AB上截取AE?AD?a，AF?BC?b，則BE?b，BF?a

過E作EG?AB交CD于G，過F作FO?CD于O，過O作OH?AB于H，在EH、GO上分別取點M、N，使梯形EGNM與梯形MNOH相似，1a2?b2

則AD?BF，AF?BC，?DF?CF?a?b?CO?DO?OF?CD?，2222

AD?BCa?b?22，AD?BE?BC?AE2ab?AE?a，BE?b?EG?，a?ba?b

EGMN??MN?EG?OH?ab 梯形EGNM與梯形MNOH相似?MNOHOC?OD?OH?

2aba?ba2?b2

顯然，EG?MN?OH?OF，∴ ???a?b22

2aba?ba2?b2

當“a?b”時。?ab??a?b22問題是思考的結果，是創造的開始。

第二篇：均值不等式及其應用

教師寄語：一切的方法都要落實到動手實踐中

高三一輪復習數學學案

均值不等式及其應用

一．考綱要求及重難點

要求：1.了解均值不等式的證明過程.2.會用均值不等式解決簡單的最大（小）值問題.重難點：1.主要考查應用不等式求最值和不等式的證明.2.對均值不等式的考查多以選擇題和填空題的形式出現，難度為中低檔題，若出現證明題難度也不會太大.二．考點梳理

a?b1.均值定理：?；

2（1）均值不等式成立的條件是_________.（2）等號成立的條件是：當且僅當_________時取等號.（3）其中_________稱為正數a,b的算術平均值，_________稱為正數a，b的幾何平均值.2.利用均值定理求最值

M2

1）.兩個正數的和為定值時，它們的積有最大值，即若a，b∈R，且a＋b＝M，M為定值，則ab≤，4＋

等號當且僅當a＝b時成立.簡記：和定積最大。

2）.兩個正數的積為定值時，它們的和有最小值，即若a，b∈R，且ab＝P，P為定值，則a＋b≥2P，＋

等號當且僅當a＝b時成立.簡記：積定和最小。

3、幾個重要的不等式

（1）a?b?2ab(a,b∈R)（2）22ba ??2(a,b同號）ab

a2?b2a?b2a?b2?()（a,b?R）（3）ab?()（a,b?R）（4）22

2三、學情自測

1、已知a?0，b?0，且a?b?2，則（）

112222A、ab?B、ab?C、a?b?2D、a?b?3 222、給出下列不等式：①a?1?2a21?2；③x2?2?1，其中正確的個數是 x?1A、0B、1C、2D、31的最大值是___________。x4、長為24cm的鐵絲做成長方形模型，則模型的最大面積為___________。

125.已知正數a,b，滿足a?b?1，則?的最小值為 ab3、設x?0，則y?3?3x?

均值不等式及其應用第 1頁（共4頁）

四．典例分析

考向一：利用均值不等式求最值

212xy??22x?3xy?4y?z?0,則當z取得最大值時,xyz的最大例

1、（2013山東）設正實數x,y,z滿足

值為（）

A．0

B．1 9C．4 D．

3x2?7x?10變式訓練1.若x??1，求函數f(x)?的最大值。x?

12.（2013天津數學）設a + b = 2, b>0, 則當a = ______時,考向

二、利用均值不等式證明簡單不等式

例

2、已知x?0,y?0,z?0，求證：（變式訓練

2、已知a,b,c都是實數，求證：a?b?c?

2221|a|取得最小值.?2|a|byzxzxy?)(?)(?)?8 xxyyzz1(a?b?c)2?ab?bc?ac

3考向

三、均值不等式的實際應用

例

3、小王于年初用50萬元購買一輛大貨車,第一年因繳納各種費用需支出6萬元,從第二年起,每年都比

上一年增加支出2萬元,假定該年每年的運輸收入均為25萬元.小王在該車運輸累計收入超過總支出后,考慮將大貨車作為二手車出售,若該車在第x年年底出售,其銷售價格為25?x萬元(國家規定大貨車的報廢年限為10年).(1)大貨車運輸到第幾年年底,該車運輸累計收入超過總支出?

(2)在第幾年年底將大貨車出售,能使小王獲得的年平均利潤最大?)(利潤=累計收入+銷售收入-總支出)

變式訓練：

如圖：動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網圍成。

（1）現有可圍36米長鋼筋網的材料，每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使每間虎籠面積最大？

（2）若使每間虎籠面積為24m，則每間虎籠的長、寬各設計為多少時，可使四間虎籠的鋼筋網總長最小？

五、當堂檢測

1、若a,b?R且ab?0，則下列不等式中，恒成立的是（）

2A、a?b?2abB、a?b?、11ba??、??2 abab2、若函數f(x)?x?1(x?2)在x?a處取得最小值，則a?（）x?

2A、1B、1?C、3D、4ab3、已知log2?log2?1，則3?9的最小值為___________。ab

4.若點A?1,1?在直線mx?ny?2?0上,其中mn?0,則11?的最小值為__________.mn

六、課堂小結

七、課后鞏固

511、已知x?，則函數y?4x?2?的最大值是（）44x?

51A、2B、3C、1D、2(a?b)22、已知x?0,y?0,x,a,b,y成等差數列，x,c,d,y成等比數列，則的最小值是 cd

A、0B、1C、2D、43、已知b?0，直線(b?1)x?ay?2?0與直線x?by?1?0互相垂直，則ab的最小值為（）

A、1B、2C、D、4、已知x?0,y?0,x?y?xy?8，則x?y最小值是___________。

5、若對任意x?0,22x?a恒成立，則a的取值范圍是___________。2x?3x?1

6.某工廠去年的某產品的年銷售量為100萬只,每只產品的銷售價為10元,每只產品固定成本為8元,今年,工廠第一次投入100萬元,并計劃以后每年比上一年多投入100萬元,預計銷售量從今年開始每年比上一年增加10萬只,第n次投入后,每只產品的固定成本為g(n)?k?0,k為常數,n?N),若產品銷售價保持不變,第n次投入后的年利潤為f(n)萬元.(1)求k的值,并求出f(n)的表達式;

(2)若今年是第1年,則第幾年年利潤最高?最高利潤為多少萬元?

第三篇：均值不等式說課稿

《均值不等式》說課稿

山東陵縣一中 燕繼龍李國星

尊敬的各位評委、老師們：

大家好！我今天說課的題目是 《均值不等式》，下面我從教材分析，教學目標，教學重點、難點，教學方法，學生學法，教學過程，板書設計，效果分析八個方面說說我對這堂課的設計。

一、教材分析：

均值不等式又稱基本不等式，選自普通高中課程標準實驗教科書(人教B版)必修5第三章第3節內容。是不等式這一章的核心，在高中數學中有著比較重要的地位。對于不等式的證明及利用均值不等式求最值等實際問題都起到工具性作用。通過本節的學習有利于學生對后面不等式的證明及前面函數的一些最值值域進一步研究，起到承前啟后的作用。

二、教學目標：

1、知識與技能：

（1）掌握均值不等式以及其成立的條件；

（2）能運用均值不等式解決一些較為簡單的問題。

2、過程與方法：

（1）探索并了解均值不等式的證明過程、體會均值不等式的證明方法；

（2）培養探究能力以及分析問題、解決問題的能力。

3、情感態度與價值觀：

（1）通過探索均值不等式的證明過程，培養探索、鉆研、合作精神；

（2）通過對均值不等式成立條件的分析，養成嚴謹的科學態度；

(3)認識到數學是從實際中來，通過數學思維認知世界。

三、教學重點和難點：

重點：通過對新課程標準的解讀，教材內容的解析，我認為結果固然重要，但數學學習過程更重要，它有利于培養學生的數學思維和探究能力，所以均值不等式的推導是本節課的重點之一；再者，均值不等式有比較廣泛的應用，需重點掌握，而用好均值不等式，關鍵是對不等式成立條件的準確理解，因此，均值不等式及其成立的條件也是教學重點。

難點：很多同學對均值不等式成立的條件的認識不深刻，在應用時候常常出現錯誤，所以，均值不等式成立的條件是本節課的難點。

四、教學方法：

為了達到目標、突出重點、突破難點、解決疑點，我本著以教師為主導的原則，再結合本節的實際特點，確定本節課的教學方法。

突出重點的方法：我將通過引導啟發、學生展示來突出均值不等式的推導；通過多媒體展示、來突出均值不等式及其成立的條件。

突破難點的方法：我將采用重復法（在課堂的每一環節，以各種方式進行強調均值不等式和

來突破均值不等式成立的條件這個難點。

此外還將繼續采用個人和小組積分法，調動學生積極參與的熱情。

五、學生學法：

在學生的學習中，注重知識與能力，過程與方法，情感態度和價值觀三個方面的共同發展。充分體現學生是主體，具體如下：

1、課前預習----學會；、明確重點、解決疑點；

2、分組討論

3、積極參與----敢于展示、大膽質疑、爭相回答；

4、自主探究----學生實踐，鞏固提高；

六、教學過程：

采取“三步驟四環節和諧高效課堂”教學模式，運用學案導學開展本節課的教學，首先進行

:課前預習

（一）成果反饋

1.對課前小組合作完成的現實生活中的問題：

“今有一臺天平，兩臂不等長，要用它稱物體質量，將物體放在左、右托盤各稱一次，稱得的質量分別為a,b，問：能否用a,b的平均值表示物體的真實質量？若不能，這二者是什么關系？”

進行多媒體情景演示，抽小組派代表回答，從而引出均值不等式抽出兩名同學上黑板完成2、32.均值定理：_____________________________________

a?b

2?。

預備定理：a2?b2?2ab(a,b?R)，仿照預備定理的證明證明均值定理 3.已知ab>0，求證：?

ab

ab?2，并推導出式中等號成立的條件。

與此同時，其他同學分組合作探究和均值定理有關的以下問題，教師巡視并參與討論，適時點撥。

① 適用范圍a,b?________，x?0,x?

1x??2

對嗎？

② 等號成立的條件，當且僅當__________時，________=_________ ③ 語言表述：兩個___數的____平均數_____它們的_______平均數 ④ 把不等式_________________又稱為均值或________不等式 ⑤ 數列觀點：兩個正數的______中項不小于它們的_____中項

。⑥ 幾何解釋（見右圖）：________________

⑦常見變形a?b?_______

?________,即ab?

___________。例：

4、（1）一個矩形的面積為100 m，問這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的周長最短？最短周長是多少？（2）已知矩形的周長是36m，問這個矩形的長、寬各為多少時，矩形的面積最大？最大面積是多少？

由此題可以得出兩條重要規律：

兩個正數的積為常數時，它們的和有______值； 兩個正數的和為常數時，它們的積有______值。

等待兩名同學做完后，適時終止討論，學生各就各位。首先針對黑板上這兩道題發動學生上來捉錯（用不同色粉筆），然后再由老師完善，以此加深學生對定理及應用條件的認識。其次，老師根據剛才巡視掌握的情況，結合多媒體進行有針對性的講解（重點應強調均值定理的幾何解釋：半徑不小于半弦，以及用三角形相似或射影定理的幾何證明過程，使定理“形化”），進一步加深學生對定理的認識及應用能力，初步掌握用均值定理求函數最值時要注意“一正、二定、三相等”

第二步：課內探究

（二）精講點撥 1.例：求函數f(x)?

?2x?x?

3x

(x?0)的最大值，及此時x的值。

先和學生們一起探討該問題的解題思路，先拆分再提出“-”號，為使用均值定理創造條件，后由學生們獨立完成，教師通過巡視或提問發現問題，通過多媒體演示來解決問題，該例題主要讓學生注意定理的應用條件及一些變形技巧。

2．多媒體展示辨析對錯：

?這幾道辨析題先讓學生們捉錯，再由

多媒體給出答案，創設情境加深學生對用均值定理求函數最值時注意“一正、二定、三相等”的認識

（三）有效訓練

1.(獨立完成)下列函數的最小值為2的是()

A、y?x?

1x

B、y?sinx?

1sinx

(0?x?

?)

C、y??

1D、y?tanx?

本題意在鞏固用均值定理求函數最值時要注意“一正、二定、三相等”，待學生完成后，隨機抽取幾名學生說一下答案，選D，應該不會有問題。

2.（小組合作探究）一扇形中心角為α，所在圓半徑為R。若扇形周長為一常值C(C>0)，當α為何值時，扇形面積最大，并求此最大值。

本題若直接運用均值不等式不會出現定值，需要拼湊。待學生討論過后，先通答案，??2時扇形面積最大值為

c

tanx

(0?x?

?)

。若有必要，抽派小組代表到講臺上講解，及時反饋矯正。

（四）本節小結

小結本節課主要內容，知識點，由學生總結，教師完善，不外乎： 1.兩個重要不等式

a?b?2ab(a,b?R,當且僅當a?b時取“?”)

2a?b2

?a,b?R,當且僅當a?b時取“?”)

?

2.用均值定理求函數最值時要注意“一正、二定、三相等”。

（一）、雙基達標（必做，獨立完成）：

1、課本第71頁練習A、B；

2、已知x??1,求y?x?6?

x?

1的最值；

（二）、拓展提高(供選做, 可小組合作完成)：

?

23、若a,b?R且a?

b

?1,求a?最大值及此時a,b的值.4、a?0,b?0,且

5、求函數f(x)?

1a

?

9b

?1,求a?b最小值.x?3x?1x?

1(x??1)的最小值。

通過作業使學生進一步鞏固本節課所學內容，注重分層次設計題目，更加關注學生的差異。

七、板書設計：

由于本節采用多媒體教學，板書比較簡單，且大部分是學生的展示。

八、效果分析：

本節課采取了我校推行的“三步驟四環節和諧高效課堂”教學模式，通過學案導學，多媒體展示，師生互動，生生互動。學生基本能掌握均值不等式以及其成立的條件；能運用均值不等式解決一些較為簡單的問題。但用均值定理求函數最值時要注意“一正、二定、三相等”，說起來容易做起來難，學生還得通過反思和課后訓練進一步體會。

我的說課到此結束，懇請各位評委和老師們批評指正，謝謝！

第四篇：常用均值不等式及證明證明

常用均值不等式及證明證明

這四種平均數滿足Hn?Gn?

An?Qn

?、ana1、a2、?R?，當且僅當a1?a2??

?an時取“=”號

僅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)由以上簡化，有一個簡單結論，中學常用

均值不等式的變形：

(1)對實數a,b，有a

2?b2?2ab(當且僅當a=b時取“=”號)，a,b?0?2ab

(4)對實數a,b，有

a?a-b??b?a-b?

a2?b2?

2ab?0

(5)對非負實數a,b，有

(8)對實數a,b,c，有

a2?

b2?c2?ab?bc?ac

a?b?c?abc(10)對實數a,b,c，有

均值不等式的證明：

方法很多，數學歸納法（第一或反向歸納）、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序

不等式法、柯西不等式法等等

用數學歸納法證明，需要一個輔助結論。

引理：設A≥0，B≥0，則?A?B??An?nA?n-1?B

n

注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0(用數學歸納法)。

當n=2時易證；

假設當n=k時命題成立，即

那么當n=k+1時，不妨設ak?1是則設

a1,a2,?,ak?1中最大者，kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak

用歸納假設

下面介紹個好理解的方法琴生不等式法

琴生不等式：上凸函數f?x?,x1,x2,?,xn是函數f?x?在區間(a,b)內的任意n個點，設f?x??lnx，f

?x?為上凸增函數所以，在圓中用射影定理證明（半徑不小于半弦）

第五篇：均值不等式證明

均值不等式證明

一、已知x,y為正實數，且x+y=1求證

xy+1/xy≥17/

41=x+y≥2√(xy)

得xy≤1/4

而xy+1/xy≥

2當且僅當xy=1/xy時取等

也就是xy=1時

畫出xy+1/xy圖像得

01時，單調增

而xy≤1/4

∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4

得證

繼續追問：

拜托，用單調性誰不會，讓你用均值定理來證

補充回答：

我真不明白我上面的方法為什么不是用均值不等式證的法二：

證xy+1/xy≥17/4

即證4(xy)2-17xy+4≥0

即證(4xy-1)(xy-4)≥0

即證xy≥4，xy≤1/4

而x,y∈R+，x+y=

1顯然xy≥4不可能成立

∵1=x+y≥2√(xy)

∴xy≤1/4，得證

法三：

∵同理0

xy+1/xy-17/4

=(4x2y2-4-17xy)/4xy

=(1-4xy)(4-xy)/4xy

≥0

∴xy+1/xy≥17/4

試問怎樣叫“利用均值不等式證明”，是說只能用均值不等式不能穿插別的途徑?!

二、已知a>b>c，求證：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0

a-c=(a-b)+(b-c)≥2√(a-b)*(b-c)

于是c-a≤-2√(a-b)*(b-c)<0

即：1/(c-a)≥-1/【2√(a-b)*(b-c)】

那么

1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)

≥1/(a-b)+1/(b-c)-1/【2√(a-b)*(b-c)】

≥2/【√(a-b)*(b-c)】-1/【2√(a-b)*(b-c)】=(3/2)/【2√(a-b)*(b-c)】>0

三、1、調和平均數：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、幾何平均數：Gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算術平均數：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均數：Qn=√(a1^2+a2^2+...+an^2)/n這四種平均數滿足Hn≤Gn≤An≤Qn的式子即為均值不等式。

概念：

1、調和平均數：Hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)

2、幾何平均數：Gn=(a1a2...an)^(1/n)

3、算術平均數：An=(a1+a2+...+an)/n4、平方平均數：Qn=√

這四種平均數滿足Hn≤Gn≤An≤Qn

a1、a2、…、an∈R+，當且僅當a1=a2=…=an時勸=”號

均值不等式的一般形式：設函數D(r)=^(1/r)(當r不等于0時);

(a1a2...an)^(1/n)(當r=0時)(即D(0)=(a1a2...an)^(1/n))

則有：當r注意到Hn≤Gn≤An≤Qn僅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2)

由以上簡化，有一個簡單結論，中學常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√

方法很多，數學歸納法(第一或反向歸納)、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等

用數學歸納法證明，需要一個輔助結論。

引理：設A≥0，B≥0，則(A+B)^n≥A^n+nA^(n-1)B。

注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0,有興趣的同學可以想想如何證明(用數學歸納法)。

原題等價于：((a1+a2+…+an)/n)^n≥a1a2…an。

當n=2時易證;

假設當n=k時命題成立，即

((a1+a2+…+ak)/k)^k≥a1a2…ak。那么當n=k+1時，不妨設a(k+1)是a1，a2，…，a(k+1)中最大者，則

ka(k+1)≥a1+a2+…+ak。

設s=a1+a2+…+ak，{/(k+1)}^(k+1)

={s/k+/}^(k+1)

≥(s/k)^(k+1)+(k+1)(s/k)^k/k(k+1)用引理

=(s/k)^k*a(k+1)

≥a1a2…a(k+1)。用歸納假設

下面介紹個好理解的方法

琴生不等式法

琴生不等式：上凸函數f(x)，x1,x2,...xn是函數f(x)在區間(a,b)內的任意n個點，則有：f≥1/n*

設f(x)=lnx，f(x)為上凸增函數

所以，ln≥1/n*=ln

即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)

在圓中用射影定理證明(半徑不小于半弦)。