第一篇：高二數學《2.2 直接證明與間接證明》練習題(新課標人教版 選修2-2)

直接證明與間接證明練習卷

一、填空題

1．用反證法證明一個命題時，下列說法正確的是_______

A．將結論與條件同時否定，推出矛盾；B．肯定條件，否定結論，推出矛盾；

C．將被否定的結論當條件，經過推理得出結論只與原題條件矛盾，才是反證支的正確運用

D．將被否定的結論當條件，原題的條件不能當條件

2．用反證法證明“如果a?b，則a3?b3”假設的內容是______________。

l也不在平面?內，3．已知?，?是兩個平面，直線l不在平面?內，設①l??；②l∥?；

③???．若以其中兩個作為條件，另一個作為結論，則正確命題的個數為_________。

4．求證：一個三角形中，至少有一個內角不小于60?，用反證法證明時的假設為“三角形的”．

5．當a?0，b?0時，①(a?b)?

③

?2ab

a?b≥?1?a?1?22?≥4；②a?b?2≥2a?2b；

b?4個不等式恒成立的是．（填序

號）

61?

??1，即證7?5?11?

1?

?35?11，?原不等式成立．

以上證明應用了________(A．分析法B．綜合法C．分析法與綜合法配合使用D．間接證法)

7．若關于x的不等式

(k?2k?2

32)?(k?2k?x23

2)1?x的解集為(,??)，則k的范圍是____.2y?18． 已知a,b是不相等的正數，x?，則x,y的大小關系是_________.ca9． 若a,b,c?R,則a2?b2?c2ab?b?.10．.將a千克的白糖加水配制成b千克的糖水(b?a?0),則其濃度為;若再加入m千克的白糖(m?0),糖水更甜了,根據這一生活常識提煉出一個常見的不等式:.二、解答題

11.已知a,b,c?R?，a?b?c?1，求證：1a?1b?1c?9

12．求證：對于任意角θ，cos4??sin4??cos2?

13．已知a，b，c?(0，1)，求證：(1?a)b，(1?b)c，(1?c)a不能同時大于

14．求證：以過拋物線y2?2px(p?0)焦點的弦為直徑的圓必與x??證）

15.已知x,y?0,且x?y?2.試證:

1?x1?y,yx14． p2相切（用分析法中至少有一個小于2.

第二篇：2.2直接證明與間接證明(學生學案)

SCH數學題庫（學生學案）班級座號姓名請到QQ群208434765或高二數學備課組百度文庫下載答案

例

2.2直接證明與間接證明（學生學案）（1）2.2.1綜合法和分析法（1）--綜合法

1（課本P36例）：已知a,b>0,求證

2a(b?

c)?

b(2c?)a?4abc

布置作業：

A組：

1、若a?0,b?0，且a＋b＝4，則下列不等式中恒成立的個數是____（個）（寫出所有正確的情況）

例2（課本P37例3）：在△ABC中,三個內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且A,B,C成等差數列, a,b,c成等比數111111

?②??1③ab?2④2?

ab2aba?b282、（課本P44習題2.2A組：NO：1）已知A,B都是銳

①

列,求證△ABC為等邊三角形.例3：已知a,b?R?,求證aabb?abba

.例

4、若實數x?1，求證：

3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2.例5．設函數f(x)對任意x，y?R，f(x?y)?f()x?，且f(yx?0時，f(x)?0．（1）證明f(x)為奇函數；

（2）證明f(x)在R上為減函數．

角，且A?B?

?,(1?tanA)(1?tanB)?2,，求證：A?B?

?

.3、（課本P44習題2.2 A組：NO：2）

4、在△ABC中，已知(a?b?c)(a?b?c)?3a，b且2cosAsiBn?sCi．判斷n△ABC的形狀． 都有

第三篇：2．2 直接證明與間接證明 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

1．知識與技能

（1）了解直接證明的兩種基本方法：綜合法和分析法．（2）了解綜合法和分析法的思維過程和特點． 2.過程與方法

（1）通過對實例的分析、歸納與總結，增強學生的理性思維能力．

（2）通過實際演練，使學生體會證明的必要性，并增強他們分析問題、解決問題的能力．

3.情感、態度及價值觀

通過本節課的學習，了解直接證明的兩種基本方法，感受邏輯證明在數學及日常生活中的作用，養成言之有理、論之有據的好習慣，提高學生的思維能力．

2.教學重點/難點

重點：綜合法和分析法的思維過程及特點。難點：綜合法和分析法的應用。

3.教學用具

多媒體、板書

4.標簽

教學過程

1．和

是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決數學問題時常用的思維方式．

2．綜合法是從

出發，經過

，最后達到待證結論．

3．分析法是從

出發，一步一步尋求結論成立的________，最后達到題設的已知條件，或已被證明的事實.答案：綜合法分析法 已知條件 逐步的推理 待證結論 充分條件

【復習引入】

【師】證明對我們來說并不陌生，我們在上一節學習的合情推理，所得的結論的正確性就是要證明的，并且我們在以前的學習中，積累了較多的證明數學問題的經驗，但這些經驗是零散的、不系統的，這一節我們將通過熟悉的數學實例，對證明數學問題的方法形成較完整的認識。合情推理分為歸納推理和類比推理，所得的結論的正確性是要證明的，數學中的兩大基本證明方法——直接證明與間接證明。今天我們先學習直接證明。

新知探究

一、綜合法

1、引例探究

證明下列問題：已知a,b>0,求證： 問題1：其左右兩邊的結構有什么特點？

【生】右邊是3個數a，b，c的乘積的4倍，左邊為兩項之和，其中每一項都是一個數與另兩個數的平方和之積.問題2：利用哪個知識點可以溝通兩個數的平方和與這兩個數的積的不等關系？ 【生】基本不等式 問題3：步驟上應該怎么處理？ 【解答過程】 證明 因為：所以因為所以因此

問題4：討論上述證明形式有什么特點？

【生】充分討論，思考，找出以上問題的證明方法的特點

2、形成概念

1.定義：從命題的條件出發，利用定義、公理、定理及運算法則，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立.2.思維特點：由因導果，即由知條件出發，利用已知的數學定理、性質和公式，推出結論的一種證明方法。

3.框圖表示：(P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等,Q表示要證明的結論)

3、應用舉例

例1在△ABC中,三個內角A,B,C的對邊分別為a, b，c,且A,B,C成等差數列, a, b，c成等比數列,求證△ABC為等邊三角形.【問題啟發】

1、本題中涉及到哪幾塊知識？

2、從這些已知條件，可以得到什么結論？

3、怎樣把它們轉化為三角形中邊角關系？

【分析】本題注意三個問題：首先將文字語言轉化為符號語言；同時注意邊角關系的轉化；同時注意挖掘題中的隱含條件（內角和為）【規范解答】

證明：由 A,B, C成等差數列，有 2B=A + C ．

因為A,B,C為△ABC的內角，所以A + B + C=

．

由①②，得B=.由a, b，c成等比數列，有由余弦定理及③，可得

.再由④，得，因此...從而A=C.由②③⑤，得 A=B=C=

所以△ABC為等邊三角形． 【小結】綜合法的證明步驟如下：

(1)分析條件，選擇方向：確定已知條件和結論間的聯系，合理選擇相關定義、定理等；

(2)轉化條件，組織過程：將條件合理轉化，書寫出嚴密的證明過程．

二、分析法

1、引例探究 證明下列問題：求證:

問題1：討論：能用綜合法證明嗎？ 【生】不好處理

問題2：如果從結論出發，是否能尋找結論成立的充分條件？ 【生】可以

問題3：步驟上應該怎么處理？ 【解答過程】 證明：因為所以要證只需證展開得 只需證 只需證因為 顯然成立

都是正數，所以

問題4：討論上述證明形式有什么特點？

【生】（讓充分討論，思考，找出以上問題的證明方法的特點。）

【師】在本例中，如果我們從“21<25 ”出發，逐步倒推回去，就可以用綜合法證出結論.但由于我們很難想到從“21<25”入手，所以用綜合法比較困難。此時我們就可采用分析法。

2、形成概念

1.定義：一般地,從要證明的結論出發,逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結論歸結為判斷一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止,這種證明方法叫做分析法。

2.思維特點：執果索因,步步尋求上一步成立的充分條件，它與綜合法是對立統一的兩種方法。

3.框圖表示：(用Q表示要證明的結論,Pn表示充分條件)

4.分析法的書寫格式：

3、應用舉例 例2在銳角【問題啟發】

1、有直接可以化簡的公式嗎？ 中,求證:

2、可以運用什么思想處理正切？（切弦互化）

3、最終可以用哪個公式來處理此題？

【分析】本題中如果只站在切的角度很難處理，所以我們用到了切化弦，畢竟弦的公式涉及的也多一些，我們平常也跟熟悉一些。然后運用分析法結合我們所需要證的目標來達成。【規范解答】 證明:要證明只需證

為鈍角

恒成立

因為A、B為銳角,所以只需證只需證因為C為銳角,所以所以【小結】分析法要注意怎樣處理好書寫的格式，一般是從結論入手“要證—只需證—而某某結論顯然成立”這種格式。

三、綜合法與分析法的綜合應用

【師】問題1：請同學們總結一下綜合法的特點？ 【生】

1、綜合法證明是證明題中常用的方法。從條件入手，根據公理、定義、定理等推出要證的結論。

2、綜合法證明題時要注意，要先作語言的轉換，如把文字語言轉化為符號語言，或把符號語言轉化為圖形語言等。還要通過細致的分析，把其中的隱含條件明確表示出來。

3、綜合法可用于證明與函數、三角、數列、不等式、向量、立體幾何、解析幾何等有關的問題。

【師】問題2：請同學們總結一下分析法的特點？ 【生】

1、分析法由要證明的結論Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知p1p2，直到所有的已知P都成立；

2、分析證明題時要同樣注意，要先作語言的轉換，如把文字語言轉化為符號語言，或把符號語言轉化為圖形語言等。

3、分析法也常用于證明與函數、三角、數列、不等式、向量、立體幾何、解析幾何等有關的問題

【師】問題3：請同學們思考如果既要對一個題目做到既要好分析，又要好寫步驟應該怎樣處理？ 【生】比較好的證法是：用分析法去思考，尋找證題途徑，用綜合法進行書寫；或者聯合使用分析法與綜合法，即從“欲知”想“需知”(分析)，從“已知”推“可知”（綜合），雙管齊下，兩面夾擊，逐步縮小條件與結論之間的距離，找到溝通已知條件和結論的途徑.（可以用在草紙用分析法，在卷面上用綜合法）例3.已知

【小結】 用P表示已知條件、定義、定理、公理等，用Q表示要證明的結論，則綜合法和分析法的綜合應用可用框圖表示為：

課堂小結

1．綜合法證題是從條件出發，由因導果；分析法是從結論出發，執果索因． 2．分析法證題時，一定要恰當地運用“要證”、“只需證”、“即證”等詞語． 3．在解題時，往往把綜合法和分析法結合起來使用.課后習題 1．下列表述：

①綜合法是由因導果法； ②綜合法是順推法； ③分析法是執果索因法； ④分析法是間接證明法； ⑤分析法是逆推法． 其中正確的語句有

()A．2個

B．3個C．4個

D．5個

板書

第四篇：2.2直接證明與間接證明學案(含答案)

§2.2直接證明與間接證明學案

審核簽名：編制：編制時間： 3月4日 完成所需時間： 40分鐘班級姓名第小組 一．自主測試

1.分析法是從要證的結論出發,尋求使它成立的條件.2.若a＞b＞0,則a+b+

b

11a

.(用“＞”,“＜”,“=”填空)

3.要證明

3+

7＜

25，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是（填序號）.③綜合法

2①反證法②分析法

4.用反證法證明命題：若整系數一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有有理數根，那么a、b、c中至少有一個是偶數時，下列假設中正確的是.①假設a、b、c都是偶數

②假設a、b、c都不是偶數 ③假設a、b、c至多有一個偶數 ④假設a、b、c至多有兩個偶數

5.設a、b、c∈（0，+∞），P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，則“PQR＞0”是“P、Q、R同時大于零”的條件.二．典例分析

例1（1）設a,b,c＞0,證明：

a

2b

?

b

2c

?

c

a

≥a+b+c.abc

（2）已知a,b,c為互不相等的非負數.求證：a2+b2+c2＞

例2（1?

1?xy

1?yx

（a

+

b

+

c)

?（2）已知a＞0,求證：

a

?

1a

≥a+

1a

-2.例3 若x,y都是正實數，且x+y＞2, 求證：

＜2與＜2中至少有一個成立.三．鞏固練習

1.用反證法證明“如果a＞b,那么a

＞b”假設內容應是2.已知a＞b＞0，且ab=1,若0＜c＜1,p=loga

c?b,q=log?

c?

1?2

??，則p,q的大小關系

?

a?

b??

是.3.設S是至少含有兩個元素的集合.在S上定義了一個二元運算“*”（即對任意的a,b∈S，對于有序元素對(a,b),在S中有唯一確定的元素a*b與之對應）.若對任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,則對任意的a,b∈S，下列恒成立的等式的序號是.①（a*b）*a=a②［a*(b*a)］*(a*b)=a ③b*(b*b)=b

④(a*b)*［b*(a*b)］=b

4.如果△A1B1C1的三個內角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內角的正弦值，則△A1B1C1是三角形，△A2B2C2是三角形.（用“銳角”、“鈍角”或“直角”填空）5.已知三棱錐S—ABC的三視圖如圖所示：在原三棱錐中給出下列命題： ①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.其中正確命題的序號是.6.對于任意實數a,b定義運算a*b=（a+1）(b+1)-1,給出以下結論： ①對于任意實數a,b,c，有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);

②對于任意實數a,b,c，有a*(b*c)=(a*b)*c;

③對于任意實數a,有a*0=a,則以上結論正確的是.（寫出你認為正確的結論的所有序號）

7.（教材）在△ABC中，三個內角A,B,C的對邊分別為a, b, c且A,B,C成等差數列，a, b, c成等比數列，求證△ABC為等邊三角形。

8.（教材）已知1?tan?3sin24cos22?tan?

?1,求證????

9.已知a、b、c∈（0，1），求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同時大于

14.參考答案

一，自主測試

1.分析法是從要證的結論出發,尋求使它成立的條件.答案充分

2.若a＞b＞0,則a+b+

b1

1a

.(用“＞”,“＜”,“=”填空)

答案＞ 3.要證明

+

7＜

2，可選擇的方法有以下幾種，其中最合理的是（填序號）.③綜合法

①反證法答案②

②分析法

4.用反證法證明命題：若整系數一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有有理數根，那么a、b、c中至少有一個是偶數時，下列假設中正確的是.①假設a、b、c都是偶數 ②假設a、b、c都不是偶數 ③假設a、b、c至多有一個偶數 ④假設a、b、c至多有兩個偶數 答案②

5.設a、b、c∈（0，+∞），P=a+b-c，Q=b+c-a，R=c+a-b，則“PQR＞0”是“P、Q、R同時大于零”的條件.答案充要 二．典例分析

例1設a,b,c＞0,證明：

a

b

?

b

c

?

c

a

≥a+b+c.證明∵a,b,c＞0，根據基本不等式，有

a

b

+b≥2a,a

b

c

+c≥2b,b

c

a

+a≥2c.三式相加：即

a

bc

+

c

+

c

a

+a+b+c≥2(a+b+c).b

+

b

c

+

a

≥a+b+c.變.已知a,b,c為互不相等的非負數.求證：a+b+c＞

abc

（a

+

+

c).證明∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac.又∵a,b,c為互不相等的非負數，∴上面三個式子中都不能取“=”，22

2∴a+b+c＞ab+bc+ac, ∵ab+bc≥2ab+ac≥2

abc,bc+ac≥2

abc,abc,又a,b,c為互不相等的非負數，∴ab+bc+ac＞∴a2+b2+c2＞

abc

（a

a

+

b

b

+

c

c),abc

(++).例2（1）略（2）已知a＞0,求證： 證明要證只要證

a

a

?

1a

≥a+

1a

-2.a1a

?

1a

1a

≥a++

1a

-2,2分

?

+2≥a+.?

∵a＞0,故只要證?

??

a

?

1a

??2?

??

≥（a+

1a

+）,6分

即a2+

1a

+

4a

?

1a

+4

≥a2+2+

a

+2

1??

2?a??+2,a??a

1a

8分 10分

從而只要證2

只要證4??a

?

1a

≥

1??

2?a??,a??

??

?

1?12

?≥2（a+2+2?2a?a）,即a+

≥2,而該不等式顯然成立，14分

故原不等式成立.例3若x,y都是正實數，且x+y＞2, 求證：

1?xy

＜2與

1?xy

1?yx

＜2中至少有一個成立.1?yx

證明假設則有

1?xy

＜2和

1?yx

＜2都不成立，≥2和≥2同時成立，因為x＞0且y＞0,所以1+x≥2y，且1+y≥2x，兩式相加，得2+x+y≥2x+2y，所以x+y≤2，這與已知條件x+y＞2相矛盾，因此

一、填空題

1.（2008·南通模擬）用反證法證明“如果a＞b,那么答案a

a

1?xy

＜2與

1?yx

＜2中至少有一個成立.＞b”假設內容應是=b或a

＜b

2.已知a＞b＞0，且ab=1,若0＜c＜1,p=logc是.答案p＜q

a

?b

2?,q=logc?

??

1a?

???b?，則p,q的大小關系

3.設S是至少含有兩個元素的集合.在S上定義了一個二元運算“*”（即對任意的a,b∈S，對于有序元素對(a,b),在S中有唯一確定的元素a*b與之對應）.若對任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,則對任意的a,b∈S，下列恒成立的等式的序號是.①（a*b）*a=a②［a*(b*a)］*(a*b)=a ③b*(b*b)=b 答案②③④

4.如果△A1B1C1的三個內角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內角的正弦值，則△A1B1C1是三角形，△A2B2C2是三角形.（用“銳角”、“鈍角”或“直角”填空）答案銳角鈍角

5.已知三棱錐S—ABC的三視圖如圖所示：在原三棱錐中給出下列命題： ①BC⊥平面SAC；②平面SBC⊥平面SAB；③SB⊥AC.其中正確命題的序號是

.④(a*b)*［b*(a*b)］=b

答案①

6.對于任意實數a,b定義運算a*b=（a+1）(b+1)-1,給出以下結論： ①對于任意實數a,b,c，有a*(b+c)=(a*b)+(a*c);②對于任意實數a,b,c，有a*(b*c)=(a*b)*c;

③對于任意實數a,有a*0=a,則以上結論正確的是.（寫出你認為正確的結論的所有序號）答案②③

二、解答題 7.略，8略

9.已知a、b、c∈（0，1），求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能同時大于.41證明方法一假設三式同時大于，即(1-a)b＞,(1-b)c＞,(1-c)a＞,111

∵a、b、c∈(0,1),∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a＞

164

.1?a?a?

又(1-a)a≤???

2??

=,同理（1-b）b≤,(1-c)c≤,∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤

164,這與假設矛盾，故原命題正確.方法二假設三式同時大于，41

∵0＜a＜1,∴1-a＞0,(1?a)?b

≥

(1?a)b

＞

=,同理

(1?b)?c

＞,232

(1?c)?a

＞,三式相加得＞,這是矛盾的，故假設錯誤，∴原命題正確.

第五篇：2.2 直接證明與間接證明 教學設計 教案（定稿）

教學準備

1.教學目標

一．知識與技能目標

（1）了解直接證明的兩種基本方法：綜合法和分析法．（2）了解綜合法和分析法的思維過程和特點． 二．過程與方法目標

（1）通過對實例的分析、歸納與總結，增強學生的理性思維能力．

（2）通過實際演練，使學生體會證明的必要性，并增強他們分析問題、解決問題的能力．

三．情感、態度及價值觀

通過本節課的學習，了解直接證明的兩種基本方法，感受邏輯證明在數學及日常生活中的作用，養成言之有理、論之有據的好習慣，提高學生的思維能力．

2.教學重點/難點

教學重點：綜合法和分析法的思維過程及特點。教學難點：綜合法和分析法的應用。

3.教學用具

多媒體、板書

4.標簽

教學過程

一、復習引入

【師】證明對我們來說并不陌生，我們在上一節學習的合情推理，所得的結論的正確性就是要證明的，并且我們在以前的學習中，積累了較多的證明數學問題的經驗，但這些經驗是零散的、不系統的，這一節我們將通過熟悉的數學實例，對證明數學問題的方法形成較完整的認識。合情推理分為歸納推理和類比推理，所得的結論的正確性是要證明的，數學中的兩大基本證明方法——直接證明與間接證明。今天我們先學習直接證明。

二、新知探究

（一）知識點一:綜合法

1、引例探究

證明下列問題：已知a,b>0,求證：問題1：其左右兩邊的結構有什么特點？

【生】右邊是3個數a，b，c的乘積的4倍，左邊為兩項之和，其中每一項都是一個數與另兩個數的平方和之積.問題2：利用哪個知識點可以溝通兩個數的平方和與這兩個數的積的不等關系？ 【生】基本不等式問題3：步驟上應該怎么處理？ 【解答過程】

問題4：討論上述證明形式有什么特點？

【生】充分討論，思考，找出以上問題的證明方法的特點

2、形成概念