第一篇：第 二 講 一元二次方程的解法及函數(shù)準(zhǔn)備知識(shí)

● 第 二 講 一元二次方程的解法及函數(shù)準(zhǔn)備知識(shí)●一、一元二次方程及其相關(guān)概念

1、只含有未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式是

ax叫做________,bx叫做__________, a叫做___________系數(shù)，b叫做

___________系數(shù)，c叫做_________.1：下列方程是一元二次方程的有___________(1)5x?7x;(2)(2x2?1)2?5x?3?0;(3)

22232=0;x?3x?42(4)2x?0;(5)x2?2y?3?0;(6)3x(5x?2)?15x2.例題2：方程4x=13-2x化為一般形式為_________________________，它的二次項(xiàng)是______,二次項(xiàng)系數(shù)是______,一次項(xiàng)是________，一次項(xiàng)系數(shù)是________，常數(shù)項(xiàng)是______.例題3：已知關(guān)于x的一元二次方程x2?(2a?1)x

?a?5的一個(gè)解為1，則a的值為_______

二、一元二次方程的解法

1、直接開平方法

2若x=25,由平方根定義可以知：x??5, 即x1=5, x2=-5；

2若（2x-1）=5,那么2x-1=?______, 即2x-1=_____, 2x-1=____;從而可以得到方程兩根為：x1=______, x2=_______ 22、配方法

用配方法解一元二次方程的一般步驟：

① 化二次項(xiàng)系數(shù)為1；

② 移項(xiàng)，使方程左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；

③ 方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

④ 把原方程變?yōu)?x?m)?n的形式；

⑤ 如果方程右邊是非負(fù)數(shù)，就可以直接用開平方法求出方程的解。

◆ 在橫線上填一個(gè)數(shù)，使左邊變成一個(gè)完全平方式：

x?8x?_____?(x?_____)x?5x?_____?(x?_____)

x?22222232x?_____?(x-_____)2x2?bx?_____?(x?_____)

23、公式法

一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的求根公式：根的判別式：

2（1）當(dāng)??b?4ac時(shí)，方程有的實(shí)數(shù)根；

（2）當(dāng)??b?4ac0時(shí)，方程有的實(shí)數(shù)根 ；

(3)當(dāng)??b?4ac時(shí)，方程實(shí)數(shù)根。

4、因式分解法

（1）提公因式法：ma+mb+mc = m(a+b+c)

（2）公式法：①平方差公式：a2?b2?(a?b)(a?b)；② 完全平方公式：a?2ab?b?(a?b)；

（3）十字相乘法：x+(a+b)x+ab =(x+a)(x+b)

因式分解的步驟：

一“提”：先看多項(xiàng)式的各項(xiàng)有沒有公因式，若有公因式必須先提出公因式；

二“套”：再看能不能用公式法分解；

三“查”：看是否每一個(gè)因式都不能再分解。

例題1：直接開方法解下列方程：

（1）x?16?0（2）(x?3)2?1（3）2(4x?5)2?181、直接開方法解方程

22（1）x?6?0（2）(x-1)?4（3）4(x?3)?922222222

2例題2：配方法：

1、將下列方程轉(zhuǎn)化為()2?a的形式。（1）x?2x?5（2）x?4x?3?0

解：（1）原方程化為x?2x?____?5?____,（方程兩邊同時(shí)加上______）所以，方程變形為：_____

2(2)移項(xiàng)，得x?4x??3原方程化為x?4x?____??3?____，（方程兩邊同時(shí)加上______）222

2所以，方程變形為：______________

2、用配方法解方程4x?12x?1?0

21?0（化二次項(xiàng)系數(shù)為1）4112222移項(xiàng)，得x?3x?配方，得x?3x?(____)??(____)（方程兩邊都加上_______）44解：方程兩邊都除以4，得x?3x?2

即（）=（）所以x?2 3??x2?________所以，原方程的根是x1?_______, 223、用配方法求代數(shù)式x?5x?7的最小值。

1、用配方法解下列方程

（1）x?6x?1?0（2）2x?8x?6?0

2（3）4m2?________;m?25?(2m?_____)2222、若4x?6x?m為完全平方式，則m=_________;若x?mx?9為完全平方式，則m=_________.3、用配方法證明?2x?4x?10的值恒小于0.22

2?b?b2?4ac例題3：公式法：x? 2a1、用求根公式法解下列方程：

（1）2x?x?6?0；

解：∵ a=_______, b=______, c=_______

∴ b2?4ac?__________ ___?________

∴ x=______________ = _______________

原方程的解是x1?_________;x2?_________

1、用求根公式法解下列方程：

（1）2x?x?6?0（2）3x?x?1?0（3）4x?3x?1?x?

2例題4：因式分解法

1、因式分解

1）x?4?______2）x?2x?_______

3）x?6x?9?_______4）x?2x?3?___________（十字雙乘法）

2、因式分解法解方程

（1）3x?2x?0（2）x?4?0（3）x?8x?16?0

2（4）x?5x?6?0（5）（x?1）?2(x?1)22222222（2）x?4x?2解： 將方程化為一般形式得，_______________∵ a=_______, b=______, c=_______∴ b2?4ac?__________ ___?________∴ x=______________ = _______________ 原方程的解是x1?_________;x

2?_________222221、用因式分解法解下列方程：

（1）x2?3?3(x?1)（2）x?2x?3?0（3）2x?12x?18?0（4）x(x?1)?3(x?1)?0

提高知識(shí)點(diǎn)：

一元二次方程：ax2?bx?c?0(a?0)① 方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根?

② 方程有兩根同號(hào)?

③ 方程有兩根異號(hào)?

④韋達(dá)定理及應(yīng)用：2

2x?x?(x1?x

2)?

2x1x2,x1?x2??2

1222322x13?x2?(x1?x2)(x12?x1x2?x2)?(x1?x2)?(x?x)?3x1x2?12??

學(xué)習(xí)函數(shù)的基礎(chǔ)準(zhǔn)備知識(shí)：

一、平面直角坐標(biāo)系

1、平面直角坐標(biāo)系

在平面內(nèi)畫兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸，就組成了平面直角坐標(biāo)系。

其中，的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，取向?yàn)檎较颍坏臄?shù)軸叫做y軸或縱軸，取向?yàn)檎较颍粌奢S的交點(diǎn)O（即公共的原點(diǎn)）叫做直角坐標(biāo)系的；建立了直角坐標(biāo)系的平面，叫做坐標(biāo)平面。

為了便于描述坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的位置，把坐標(biāo)平面被x軸和y軸分割而成的四個(gè)部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x軸和y軸上的點(diǎn)，不屬于任何象限。

2、點(diǎn)的坐標(biāo)的概念

點(diǎn)的坐標(biāo)用表示，其順序是橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標(biāo)的位置不能顛倒。平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對，當(dāng)a?b時(shí)，（a，b）和（b，a）是兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)。

二、不同位置的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

1、各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

點(diǎn)P(x,y)在第一象限?點(diǎn)P(x,y)在第二象限?點(diǎn)P(x,y)在第三象限?點(diǎn)P(x,y)在第四象限?

2、坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的特征

點(diǎn)P(x,y)在x軸上?，x為任意實(shí)數(shù)點(diǎn)P(x,y)在y軸上?，y為任意實(shí)數(shù) 點(diǎn)P(x,y)既在x軸上，又在y軸上?x，y同時(shí)為零，即點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，0）

3、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

點(diǎn)P(x,y)在第一、三象限夾角平分線上?

點(diǎn)P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上?

4、和坐標(biāo)軸平行的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

位于平行于x軸的直線上的各點(diǎn)的。

位于平行于y軸的直線上的各點(diǎn)的。

5、關(guān)于x軸、y軸或遠(yuǎn)點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

點(diǎn)P與點(diǎn)p’關(guān)于x軸對稱?

點(diǎn)P與點(diǎn)p’關(guān)于y軸對稱?

點(diǎn)P與點(diǎn)p’關(guān)于原點(diǎn)對稱?

6、點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離

點(diǎn)P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離：

（1）點(diǎn)P(x,y)到x軸的距離等于

（2）點(diǎn)P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于

（3）點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離等于

三、函數(shù)及其相關(guān)概念

1、變量與常量

在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做，數(shù)值保持不變的量叫做。

一般地，在某一變化過程中有兩個(gè)變量x與y，如果對于x的每一個(gè)值，y都有確定的值與它對應(yīng)，那么就說x是，y是x的。

2、函數(shù)解析式

用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學(xué)式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。

使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。

3、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點(diǎn)

（1）解析法

兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系，有時(shí)可以用一個(gè)含有這兩個(gè)變量及數(shù)字運(yùn)算符號(hào)的等式表示，這種表示法叫做解析法。

（2）列表法

把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對應(yīng)值列成一個(gè)表來表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做列表法。

（3）圖像法

用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。

4、由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟

（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值

（2）描點(diǎn)：以表中每對對應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)

（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點(diǎn)用平滑的曲線連接起來。

下一講內(nèi)容提示：一次函數(shù)、反比例函數(shù)，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

第二篇：一元二次方程的解法小結(jié)

一元二次方程的解法小結(jié)

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.會(huì)選擇利用適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠蹋?/p>

2.體驗(yàn)解決問題方法的多樣性，靈活選擇解方程的方法．

【前置學(xué)習(xí)】

一、自主學(xué)習(xí)（自主探究）：

1.獨(dú)立思考·解決問題

解下列方程：

（1）；

（2）x2＋2x＝0；

（3）3x（x－2）＝2（x－2）

（4）（x＋3）2＝（2x－5）2；

（5）x2－x＋1＝0；

（6）（x－2）（x＋3）＝66．

2.合作探究·解決問題

通過對以上方程的解法，你能說出解一元二次方程的基本思路，總結(jié)出對于不同特點(diǎn)的一元二次方程選擇什么樣的方法去解了嗎？

知識(shí)匯總

（1）.解一元二次方程的基本思路是：將二次方程化為，即

．

（2）.一元二次方程主要有四種解法，它們的理論根據(jù)和適用范圍如下表：

方法名稱

理論根據(jù)

適用方程的形式

直接開平方法

平方根的定義

配方法

完全平方公式

公式法

配方法

因式分解法

兩個(gè)因式的積等于0，那么這兩個(gè)因式至少有一個(gè)等于0

（3）.一般考慮選擇方法的順序是：

法、法、法或

法

二、疑難摘要：

【學(xué)習(xí)探究】

一、合作交流，解決困惑：

1.小組交流：（在小組內(nèi)說說通過自主學(xué)習(xí)，你學(xué)會(huì)了什么？你的疑難與困惑是什么？請同伴幫你解決.）

2.班級(jí)展示與教師點(diǎn)撥：

展示1：用直接開方法解方程：（1）；

（2）．

展示2：用因式分解法解方程：（1）；

（2）．

展示3：用配方法解方程：（1）；

（2）．

展示4：用公式法解方程：（1）；

（2）．

二、反思與總結(jié)：本節(jié)課你學(xué)會(huì)了什么？你有哪些收獲與體會(huì)？

【自我檢測】

選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?

1.x2－3x＝0；

2.x2＋2x－8＝0；

3.3x2＝4x－1；

4.（x－2）（x－3）＝6；

5.（2x－1）2＝4x－2；

6.（3x－1）2＝（x＋5）2；

7.x2-7x＝0；

8.x2＋12x＝27；

9.x（x－2）－x＋2＝0；

10.；

11.．

12.(3x-1)(x-1)=(4x+1)(x-1)

第三篇：一元二次方程解法教學(xué)反思

用公式法解一元二次方程教學(xué)反思

張春元

通過本節(jié)課的教學(xué)，使我真正認(rèn)識(shí)到了自己課堂教學(xué)的成功與失敗。對我今后課堂教學(xué)有了一定引領(lǐng)方向有了很大的幫助。下面我就談?wù)勛约簩@節(jié)課的反思。

本節(jié)課的重點(diǎn)主要有以下3點(diǎn)：

1.找出a,b,c的相應(yīng)的數(shù)值

2.驗(yàn)判別式是否大于等于0

3.當(dāng)判別式的數(shù)值符合條件,可以利用公式求根.在講解過程中,我沒讓學(xué)生進(jìn)行(1)(2)步就直接用公式求根,第一次接觸求根公式,學(xué)生可以說非常陌生,由于過高估計(jì)學(xué)生的能力,結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤較多.1、a,b,c的符號(hào)問題出錯(cuò),在方程中學(xué)生往往在找某個(gè)項(xiàng)的系數(shù)時(shí)總是丟掉前面的符號(hào)

2、求根公式本身就很難,形式復(fù)雜,代入數(shù)值后出錯(cuò)很多.其實(shí)在做題過程中檢驗(yàn)一下判別式著一步單獨(dú)挑出來做并不麻煩,直接用公式求值也要進(jìn)行,提前做著一步在到求根公式時(shí)可以把數(shù)值直接代入.在今后的教學(xué)中注意詳略得當(dāng),不該省的地方一定不能省,力求收到更好的教學(xué)效果

3、板書不太理想。板書可以說在課堂教學(xué)也起關(guān)鍵作用，它可以幫學(xué)生溫習(xí)本課的內(nèi)容，而我許多本該板書的內(nèi)容全部反映在大屏幕上，在繼續(xù)講一下個(gè)內(nèi)容時(shí)，這些內(nèi)容也就不會(huì)再出現(xiàn)，只給學(xué)生瞬間的停留，這樣做也有欠妥當(dāng)。

4、本節(jié)課沒有激情，學(xué)習(xí)的積極性調(diào)動(dòng)不起來，對學(xué)生地鼓勵(lì)性的語言過于少，可以說幾乎沒有。

第四篇：一元二次方程解法——因式分解、配方法

一元二次方程解法——因式分解、配方法

知識(shí)點(diǎn)回顧：

定義：只含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，經(jīng)過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．

一個(gè)一元二次方程經(jīng)過整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)．

解法一 ——直接開方法

適用范圍：可解部分一元二次方程

直接開平方法就是用直接開平方求解一元二次方程的方法。用直接開平方法解形如(x-m)^2=n(n≥0)的方程，其解為x=m±√n

歸納小結(jié)：

共同特點(diǎn)：把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．?我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”．由應(yīng)用直接開平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=

轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開平方法解形如（mx+n）

2=p（p≥0），那么mx+n=，達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的．若p＜0則方程無解

自主練習(xí)：1：用直接開平方法解下列方程：

（1）x2?225；（2）(x?1)2

?9；

（3）(6x?1)2

?25?0．（4）4(x?2)2

?81?0

（5）5(2y?1)2

?180；（61(3x?1)2?64；（7）6(x?2)2

4?1；

2.關(guān)于x的方程x2?9a2?12ab?4b2

?0的根x1?，x2?．

3.關(guān)于x的方程x2

?2ax?b2

?a2

?0的解為解法二——分解因式法

適用范圍：可解部分一元二次方程

因式分解法又分“提公因式法”、“公式法（又分“平方差公式”和“完全平方公式”兩種）”和“十字相乘法”。因式分解法是通過將方程左邊因式分解所得，因式分解的內(nèi)容在八年級(jí)上學(xué)期學(xué)完。解下列方程．

（1）2x2+x=0（2）3x2+6x=0

上面兩個(gè)方程中都沒有常數(shù)項(xiàng)；左邊都可以因式分解:

2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面兩個(gè)方程都可以寫成：

（1）x（2x+1）=0（2）3x（x+2）=0

因?yàn)閮蓚€(gè)因式乘積要等于0，至少其中一個(gè)因式要等于0，也就是：

（1）x=0或2x+1=0，所以x11=0，x2=-

2．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．

因此，我們可以發(fā)現(xiàn)，上述兩個(gè)方程中，其解法都不是用開平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個(gè)一次式分別等于0，從而實(shí)現(xiàn)降次，這種解法叫做因式分解法． 例1．解方程

（1）4x2=11x（2）（x-2）2=2x-4分析：（1）移項(xiàng)提取公因式x；（2）等號(hào)右側(cè)移項(xiàng)到左側(cè)得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可達(dá)到分解因式；一邊為兩個(gè)一次

式的乘積，?另一邊為0的形式解：（1）移項(xiàng)，得：4x2-11x=0

因式分解，得：x（4x-11）=0于是，得：x=0或4x-11=0

x111=0，x2=

（2）移項(xiàng)，得（x-2）2-2x+4=0

（x-2）2-2（x-2）=0因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0整理，得：（x-2）（x-4）=0于是，得x-2=0或x-4=0x1=2，x2=

4例2．已知9a

2-4b2

=0，求代數(shù)式aba2?b2

b?a?ab的值．

分析：要求aba2b??b2

a?ab的值，首先要對它進(jìn)行化簡，然后從已知條

件入手，求出a與b的關(guān)系后代入，但也可以直接代入，因計(jì)算量比較大，比

較容易發(fā)生錯(cuò)誤．

解：原式=

a2?b2?a2?b2ab??2b

a

∵9a2-4b2=0

∴（3a+2b）（3a-2b）=0

3a+2b=0或3a-2b=0，a=-23b或a=23b當(dāng)a=-23b時(shí)，原式=-2b

=3，當(dāng)a=2b時(shí)，原式?23=-3．

3b

例3．（十字相乘法）我們知道x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么x2-（a+b）x+ab=0就可轉(zhuǎn)化為（x-a）（x-b）=0，請你用上面的方法解下列方程．

（1）x2-3x-4=0（2）x2-7x+6=0（3）x2+4x-5=0

上面這種方法，我們把它稱為十字相乘法． 一：用因式分解法解下列方程：(1)y2

＋7y＋6＝0；(2)t(2t－1)＝3(2t－1)；

(3)(2x－1)(x－1)＝1．(4)x2

＋12x＝0；

(5)4x2－1＝0；(6)x2

＝7x；

(7)x2

－4x－21＝0；(8)(x－1)(x＋3)＝12；

(9)3x2＋2x－1＝0；(10)10x2

－x－3＝0；

(11)(x－1)2

－4(x－1)－21＝0．

解法三——配方法

適用范圍：可解全部一元二次方程引例：：x2+6x-16=0

x2+6x-16=0移項(xiàng)→x2+6x=16

兩邊加（6/2）2使左邊配成x2+2bx+b2的形式 → x2+6x+32=16+9

左邊寫成平方形式 →（x+3）=25降次→x+3=±5 即 x+3=5或x+3=-5解一次方程→x1=2，x2=-8 像上面的解題方法，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方拓展題．用配方法解方程（6x+7）2（3x+4）（x+1）=6

分析：因?yàn)槿绻归_（6x+7）2，那么方程就變得很復(fù)雜，如果把（6x+7）

看為一個(gè)數(shù)y，那么（6x+7）=y2，其它的3x+4=6x+7）+

211，x+1=6x+7）26

-，因此，方程就轉(zhuǎn)化為y?的方程，像這樣的轉(zhuǎn)化，我們把它稱為換元法． 6

1111y+，x+1=y-解：設(shè)6x+7=y則3x+4=

法．

可以看出，配方法是為了降次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來解．

配方法解一元二次方程的一般步驟：(1)先將已知方程化為一般形式；（2）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；（3）常數(shù)項(xiàng)移到右邊；（4）方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式；（5）變形為(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程無實(shí)根．

用配方法解一元二次方程小口訣

二次系數(shù)化為一；常數(shù)要往右邊移；一次系數(shù)一半方；兩邊加上最相當(dāng) 例1．用配方法解下列關(guān)于x的方程（1）x2-8x+1=0（2）x2-2x-

=0分析：（1）顯然方程的左邊不是一個(gè)完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式；（2）同上．

例3．解下列方程

（1）2x2+1=3x（2）3x2-6x+4=0（3）（1+x）2+2（1+x）-4=0

分析：我們已經(jīng)介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來 完成，即配一個(gè)含有x的完全平方．

2266

依題意，得：y2（12y+12）（16y-

16）=6

去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72

y2（y2-1）=72，y4-y2=72

（y2-12）2=2894y2-1172=±2

y2=9或y2=-8（舍）

∴y=±3

當(dāng)y=3時(shí)，6x+7=36x=-4x=-

當(dāng)y=-3時(shí)，6x+7=-36x=-10x=-53

所以，原方程的根為x2

51=-3，x2=-3

例5.求證:無論y取何值時(shí),代數(shù)式-3 y2+8y-6恒小于0.一元二次方程解法——因式分解、配方法

2013-7-14***（李老師）姓名：

（一）1．下面一元二次方程解法中，正確的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7

B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x2

31=5，x2=

5C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x兩邊同除以x，得x=

12．下列命題①方程kx2-x-2=0是一元二次方程；②x=1與方程x2=1是同解方程；③方程x2=x與方程x=1是同解方程；④由（x+1）（x-1）=3可得x+1=3或x-1=3，其中正確的命題有（）．

A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)

3．如果不為零的n是關(guān)于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值為（）．A．-

12B．-1C．1

D．1 4．x2-5x因式分解結(jié)果為_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的結(jié)果是______．

5．方程（2x-1）

2=2x-1的根是________．

6．二次三項(xiàng)式x2+20x+96分解因式的結(jié)果為________

；如果令x2+20x+96=0，那么它的兩個(gè)根是_________．

8．用因式分解法解下列方程．

（1）3y2-6y=0（2）25y2-16=0

（3）x2-12x-28=0（4）x2-12x+35=0

9．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．

（二）1．配方法解方程2x2-

4x-2=0應(yīng)把它先變形為（）．A．（x-13）2=89B．（x-221281210

3）=0C．（x-3）=9D．（x-3）=9

2．下列方程中，一定有實(shí)數(shù)解的是（）．

A．x2+1=0B．（2x+1）2=0C．（2x+1）2+3=0D．（x-a）22

=a 3．已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，則x+y+z的值是（）．A．1B．2C．-1D．-2 4．將二次三項(xiàng)式x2-4x+1配方后得（）A．（x-2）2+3B．（x-2）2

．

-3C．（x+2）2+3D．（x+2）2-3 5．已知A．x2x2-8x+15=0-8x+（-4）2，左邊化成含有=31B．x2x的完全平方形式，其中正確的是（-8x+（-4）2=1C．x2+8x+42=1D．x2）．

-4x+4=-116．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左邊是一個(gè)關(guān)于x的完全平方式，則m等于（）．

A．1B．-1C．1或9D．-1或9 7．方程x2+4x-5=0的解是________． 8.方程x2

?

x?1?0左邊配成一個(gè)完全平方式，所得的方程是． 9．代數(shù)式x2?x?2

x2?1的值為0，則x的值為________．

10．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若設(shè)x+y=z，則原方程可變?yōu)開______，所以求出z的值即為x+y的值，所以x+y的值為______．

11．無論x、y取任何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式x2+y2-2x-4y+16的值總是_______數(shù)． 12．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x與y的關(guān)系是________． 13．用配方法解方程．

（1）9y2-18y-4=0

（2）x2

（3）x2

?x?1?0（4）3x2

?6x?1?0

（5）(x?1)2?2(x?1)?

14．如果x-4x+y2

（6）2x2?5x?4?0 ?0

（4）?x?2??3?x?2?（5）(2x＋3)－25＝0.（6）2x2?7x?2?0（7）（x-1）=2x-2（8）6x2-x-2=0，求（xy）的值．

z

15.用配方法證明：

（1）a2

?a?1的值恒為正；（2）?9x2

?8x?2的值恒小于0．

（3）多項(xiàng)式2x4

?4x2

?1的值總大于x4

?2x2

?4的值．

16.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?/p>

（1）x2

-4x-3=0（2）（3y-2）2

=36（3）x2-4x+4=0

（9）(3x+1)2=7

（11）4(x+2)2-9(x-3)2=0

（13）3x2

+1=2

x（10）9x2-24x+16=11

（12）(x+5)(x-5)=3（14）(2x+3)2+5(2x+3)-6=0

第五篇：《一元二次方程的解法》教案

《一元二次方程的解法》教案

三亞市林旺中學(xué)

陳毓群

教學(xué)目標(biāo)

1．初步掌握用直接開平方法解一元二次方程，會(huì)用直接開平方法解形如的方程； 2．

初步掌握用配方法解一元二次方程，會(huì)用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程； 3．

掌握一元二次方程的求根公式的推導(dǎo)，能夠運(yùn)用求根公式解一元二次方程； 4．

會(huì)用因式分解法解某些一元二次方程。

5．通過對一元二次方程解法的教學(xué)，使學(xué)生進(jìn)一步理解“降次”的數(shù)學(xué)方法，進(jìn)一步獲得對事物可以轉(zhuǎn)化的認(rèn)識(shí)。

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：一元二次方程的四種解法。難點(diǎn)：選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠獭＝虒W(xué)建議：

一、教材分析：

1．知識(shí)結(jié)構(gòu)：一元二次方程的解法

2．重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

（1）熟練掌握開平方法解一元二次方程

用開平方法解一元二次方程，一種是直接開平方法，另一種是配方法。

如果一元二次方程的一邊是未知數(shù)的平方或含有未知數(shù)的一次式的平方，另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，或完全平方式，如方程，和方程 就可以直接開平方法求解，在開平方時(shí)注意取正、負(fù)兩個(gè)平方根。

配方法解一元二次方程，就是利用完全平方公式，把一般形式的一元二次方程，轉(zhuǎn)化為 的形式來求解。配方時(shí)要注意把二次項(xiàng)系數(shù)化為1和方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方這兩個(gè)關(guān)鍵步驟。

（2）熟記求根公式（）和公式中字母的意義在使用求根公式時(shí)要注意以下三點(diǎn)： 1）把方程化為一般形式，并做到、、之間沒有公因數(shù)，且二次項(xiàng)系數(shù)為正整數(shù)，這樣代入公式計(jì)算較為簡便。

2）把一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù)、、代入公式時(shí)，注意它們的符號(hào)。3）當(dāng) 時(shí)，才能求出方程的兩根。

（3）抓住方程特點(diǎn)，選用因式分解法解一元二次方程

如果一個(gè)一元二次方程的一邊是零，另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式時(shí)，就可以用因式 1 分解法求解。這時(shí)只要使每個(gè)一次因式等于零，分別解兩個(gè)一元一次方程，得到兩個(gè)根就是一元二次方程的解。

我們共學(xué)習(xí)了四種解一元二次方程的方法：直接開平方法；配方法；公式法和因式分解法。解方程時(shí)，要認(rèn)真觀察方程的特征，選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼狻?/p>

二、教法建議

1． 教學(xué)方法建議采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，學(xué)生獲取知識(shí)必須通過學(xué)生自己一系列思維活動(dòng)完成，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，有利于培養(yǎng)學(xué)生思維靈活、嚴(yán)謹(jǐn)、深刻等良好思維品質(zhì)．

2.注意培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)．教學(xué)中應(yīng)不失時(shí)機(jī)地使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)源于實(shí)踐并反作用于實(shí)踐．

教學(xué)設(shè)計(jì)示例 教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生知道解完全的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b≠0，c≠0)可以轉(zhuǎn)化為適合于直接開平方法的形式(x+m)2=n;2.在理解的基礎(chǔ)上，牢牢記住配方的關(guān)鍵是“添加的常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方”；

3.在數(shù)學(xué)思想方法方面，使學(xué)生體會(huì)“轉(zhuǎn)化”的思想和掌握配方法。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：掌握用配方法解一元二次方程。難點(diǎn)：湊配成完全平方的方法與技巧。教學(xué)過程 設(shè)計(jì) 一 復(fù)習(xí)

1.完全的一元二次方程的一般形式是什么樣的?(注意a≠0)2.不完全一元二次方程的哪幾種形式?(答：只有三種ax2=0,ax2+c=0,ax2+bx=0(a≠0))3.對于前兩種不完全的一元二次方程ax2=0(a≠0)和ax2+c=0(a≠0),我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了它們的解法。

特別是結(jié)合換元法，我們還會(huì)解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程。例

解方程：(x-3)2=4(讓學(xué)生說出過程)。

解：方程兩邊開方，得

x-3=±2，移項(xiàng)，得

x=3±2。所以

x1=5,x2=1.(并代回原方程檢驗(yàn)，是不是根)2

4.其實(shí)(x-3)2=4是一個(gè)完全的一元二次方程，我們把原方程展開、整理為一元二次方程。(把這個(gè)展開過程寫在黑板上)(x-3)2=4，① x2-6x+9=4，② x2-6x+5=0.③ 二 新課 1.逆向思維

我們把上述由方程①→方程②→方程③的變形逆轉(zhuǎn)過來，可以發(fā)現(xiàn)，對于一個(gè)完全的一元二次方程，不妨試試把它轉(zhuǎn)化為(x+m)2=n的形式。這個(gè)轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是在方程左端構(gòu)造出一個(gè)未知數(shù)的一次式的完全平方式(x+m)2。

2.通過觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律

問：在x2+2x上添加一個(gè)什么數(shù)，能成為一個(gè)完全平方(x+?)2。

(添一項(xiàng)+1)即

(x2+2x+1)=(x+1)2.練習(xí)，填空：

x2+4x+()=(x+)2;

y2+6y+()=(y+)2.算理

x2+4x=2x·2，所以添2的平方，y2+6y=y2+2y3，所以添3的平方。總結(jié)規(guī)律：對于x2+px,再添上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，就能配出一個(gè)含未知數(shù)的一個(gè)次式的完全平方式。即.+()④

(讓學(xué)生對④式的右邊展開，體會(huì)括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)與第二項(xiàng)乘積的2倍，恰是左邊的一次 項(xiàng)，括號(hào)內(nèi)第二項(xiàng)的平方，恰是配方時(shí)所添的常數(shù)項(xiàng))

項(xiàng)固練習(xí)(填空配方)

總之，左邊的常數(shù)項(xiàng)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。

問：如果左邊的一次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)，那么右邊括號(hào)里第二項(xiàng)的正負(fù)號(hào)怎么取?算理是什么?

鞏固練習(xí)(填空配方)

x2-bx+()=(x-)2;

x2-(m+n)x+()=(x-)2.3