第一篇：離散數學期末考試_2013年春季_試卷A_答案及評分細則
電子科技大學2012-2013學年第 2學期期 末 考試 A 卷
答案及評分細則
課程名稱： 離散數學 考試形式： 閉卷 考試日期：2013 年 月 日 考試時長：120分鐘
I.Multiple Choice(15%, 10 questions, 1.5 points each)C, C, B, A, B, B, D, A, B, C II.True or False(10%, 10 questions, 1 point each)F, T, T, T, F, F, F, F, T, F
III.Fill in the Blanks(20%, 10 questions, 2 points each)27=128, [-1,1], ?(a?a)?(b?b)?(c?c)?(a?b)?(b?a)?, ?(1?2)?(2?3)?(3?3)?(4?2)?, Some tests are easy, gcd（45，12）=3=12 ? 4 ? 45 ?(?1), 6!, 5?2, ?x ?y(xy <>0), {(a,b)??2|a?b}
IV.Answer the Questions(35%,7 questions, 5 points each)： 1．
(1 point for each row)
2.Ans:(a)?0?1?2?3?
(3points)
(b)[6?12).(2points)?1?13.Ans: ??0??0111001110?0??.(one entry 1 point)1??1?4.Ans:
(one point for each step)
5.Ans: Encrypted form: CTOA.(one character 1 point)6.Ans: 5 ? 11k.(the inverse of 5 module 11 is 9, 3 points, the result 2 points)7.Ans: The graphs are isomorphic(2 points): A–7, B–4, C–3, D–6, E–5, F–2, G–1.(3 points)
V.(6%)
(a)R is reflexive:(a, b)and(a, b)lie on the same line through the origin, namely on the line y = bx/a(if a≠0), or else on the line x = 0(if a = 0).(1 point)
R is symmetric: if(a, b)and(c, d)lie on the same line through the origin, then(c, d)and(a, b)lie on the same line through the origin.(1 point)R is transitive: suppose(a, b)and(c, d)lie on the same line L through the origin and(c, d)and(e, f)lie on the same line M through the origin.Then L and M both contain the two distinct points(0, 0)and(c, d).Therefore L and M are the same line, and this line contains(a, b)and(e, f).Therefore(a, b)and(e, f)lie on the same line through the origin.(1 point)Note: The proof that R is an equivalence relation can be carried out using analytic geometry: if(a, b)and(c, d)lie on the same nonvertical line through the origin, then the slope must equal b/a because the line passes through(0, 0)and(a, b)and the slope must also equal d/c because the line passes through(0, 0)and(c, d);thus, b/a = d/c, or ad = bc.If(a, b)and(c, d)lie on the same vertical line through the origin, then the points must have the form(0, b)and(0, d), and again it must happen that ad = bc.Therefore,(a, b)R(c, d)means that ad = bc.This equation can be used to verify that R is reflexive, symmetric, and transitive.(b)Each equivalence class is the set of points of A on a line of the form y = mx or the vertical line x = 0.(2 points)(c)If A is replaced by the entire plane, R is not an equivalence relation.It fails to satisfy the transitive property;for example,(1, 2)R(0, 0)and(0, 0)R(2, 2), but(1, 2)R(2, 2)because the line passing through(1, 2)and(2, 2)does not pass through the origin.(1 point)
VI(7%)
Using the variables: p: Lynn works part time;f: Lynn works full time;t: Lynn plays on the team;b: Lynn is busy, the argument can be written in symbols:
(3 points)If p∨f;?t →?p;t → b;?f Then b
(1 point)One method to find whether the argument is valid is to construct the truth table:
We need to examine all cases where the hypotheses(columns 5, 6, 7, 8)are all true.There is only one case in which all four hypotheses are true(row 5), and in this case the conclusion is also true.Therefore, the argument is valid.(3 points)Alternately, rules of logic can be used to give a proof that the argument is valid.We begin with the four hypotheses and show how to derive the conclusion, b.1.p∨f;premise 2.?t →?p premise 3.t → b premise 4.?f premise 5.p disjunctive syllogism on(1)and(4)
(1 point)6.p → t contrapositive of(2)
7.t modus ponens on(5)and(6)
(1 point)8.b modus ponens on(7)and(3)
(1 point)
VI I(7%)
Ans: {a} {a, b} {a, b, c}
(2points){a, b, c, d} {a, b, c, d, e} {a, b, c, d, e, f}(2points)The shortest path is a-b-c-d-e-f with cost 13.(2points)
第二篇：離散數學 期末考試試卷答案
離散數學試題(B卷答案1）
一、證明題（10分）
1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R 證明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R)?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R ?T∧R(置換)?R 2)?x(A(x)?B(x))? ?xA(x)??xB(x)證明 ：?x(A(x)?B(x))??x(?A(x)∨B(x))??x?A(x)∨?xB(x)???xA(x)∨?xB(x)??xA(x)??xB(x)
二、求命題公式(P∨(Q∧R))?(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）。
證明：(P∨(Q∧R))?(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))?（?P∧(?Q∨?R)）∨(P∧Q∧R)?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R)?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R)?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6
三、推理證明題（10分）
1）C∨D，(C∨D)? ?E，?E?(A∧?B)，(A∧?B)?(R∨S)?R∨S 證明：(1)(C∨D)??E(2)?E?(A∧?B)
P P
P(3)(C∨D)?(A∧?B)T(1)(2)，I(4)(A∧?B)?(R∨S)(5)(C∨D)?(R∨S)(6)C∨D
T(3)(4)，I P(7)R∨S T(5)，I 2)?x(P(x)?Q(y)∧R(x))，?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x))證明(1)?xP(x)P
(2)P(a)T(1)，ES(3)?x(P(x)?Q(y)∧R(x))P(4)P(a)?Q(y)∧R(a)T(3)，US(5)Q(y)∧R(a)T(2)(4)，I(6)Q(y)T(5)，I(7)R(a)T(5)，I(8)P(a)∧R(a)T(2)(7)，I(9)?x(P(x)∧R(x))T(8)，EG(10)Q(y)∧?x(P(x)∧R(x))T(6)(9)，I
四、某班有25名學生，其中14人會打籃球，12人會打排球，6人會打籃球和排球，5人會打籃球和網球，還有2人會打這三種球。而6個會打網球的人都會打另外一種球，求不會打這三種球的人數（10分）。
解：A，B，C分別表示會打排球、網球和籃球的學生集合。則|A|=12，|B|=6，|C|=14，|A∩C|=6，|B∩C|=5，|A∩B∩C|=2。
先求|A∩B|。
∵6=|（A∪C）∩B|=|（A∩B）∪（B∩C）|=|（A∩B）|+|（B∩C）|-|A∩B∩C|=|（A∩B）|+5-2，∴|（A∩B）|=3。
于是|A∪B∪C|=12+6+14-6-5-3+2=20。不會打這三種球的人數25-20=5。
五、已知A、B、C是三個集合，證明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)（10分）。
證明：∵x? A-（B∪C）? x? A∧x?（B∪C）
? x? A∧（x?B∧x?C）
?（x? A∧x?B）∧（x? A∧x?C）? x?（A-B）∧x?（A-C）? x?（A-B）∩（A-C）
∴A-（B∪C）=（A-B）∩（A-C）
六、已知R、S是N上的關系，其定義如下：R={
解：R={
七、設R={
解：r(R)={
12-1
2s(R)={
八、證明整數集I上的模m同余關系R={
證明：1）?x∈I，因為（x-x）/m=0，所以x?x(mod m)，即xRx。
2）?x，y∈I，若xRy，則x?y(mod m)，即（x-y）/m=k∈I，所以（y-x）/m=-k∈I，所以y?x(mod m)，即yRx。
3）?x，y，z∈I，若xRy，yRz，則（x-y）/m=u∈I，（y-z）/m=v∈I，于是（x-z）/m=（x-y+y-z）/m=u+v ∈I，因此xRz。
九、若f:A→B和g:B→C是雙射，則（gf）=fg（10分）。
1-1-14325證明：因為f、g是雙射，所以gf：A→C是雙射，所以gf有逆函數（gf）：C→A。同理可推fg：C→A是雙射。
因為
1-1
-1-1-1-1
-1-1-1
-1離散數學試題(B卷答案2）
一、證明題（10分）
1)((P∨Q)∧?(?P∧(?Q∨?R)))∨(?P∧?Q)∨(?P∧?R)?T 證明: 左端?((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨?((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)?((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨?((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)?((P∨Q)∧(P∨R))∨?((P∨Q)∧(P∨R))(等冪律)?T(代入)2)?x?y(P(x)?Q(y))? ?(?xP(x)??yQ(y))證明：?x?y(P(x)?Q(y))??x?y(?P(x)∨Q(y))??x(?P(x)∨?yQ(y))??x?P(x)∨?yQ(y)???xP(x)∨?yQ(y)?(?xP(x)??yQ(y))
二、求命題公式(?P?Q)?(P∨?Q)的主析取范式和主合取范式（10分）
解：(?P?Q)?(P∨?Q)??(?P?Q)∨(P∨?Q)??(P∨Q)∨(P∨?Q)?(?P∧?Q)∨(P∨?Q)?(?P∨P∨?Q)∧(?Q∨P∨?Q)?(P∨?Q)?M1 ?m0∨m2∨m3
三、推理證明題（10分）
1)(P?(Q?S))∧(?R∨P)∧Q?R?S 證明：(1)R(2)?R∨P(3)P(4)P?(Q?S)(5)Q?S(6)Q(7)S(8)R?S 2)?x(A(x)??yB(y))，?x(B(x)??yC(y))?xA(x)??yC(y)。
證明：(1)?x(A(x)??yB(y))P(2)A(a)??yB(y)T(1)，ES(3)?x(B(x)??yC(y))P(4)?x(B(x)?C(c))T(3)，ES(5)B(b)?C(c)T(4)，US(6)A(a)?B(b)T(2)，US(7)A(a)?C(c)T(5)(6)，I(8)?xA(x)?C(c)T(7)，UG(9)?xA(x)??yC(y)T(8)，EG
四、只要今天天氣不好，就一定有考生不能提前進入考場，當且僅當所有考生提前進入考場，考試才能準時進行。所以，如果考試準時進行，那么天氣就好（15分）。
解 設P：今天天氣好，Q：考試準時進行，A(e)：e提前進入考場，個體域：考生 的集合，則命題可符號化為：?P??x?A(x)，?xA(x)?QQ?P。
(1)?P??x?A(x)P(2)?P???xA(x)T(1)，E(3)?xA(x)?P T(2)，E(4)?xA(x)?Q P(5)(?xA(x)?Q)∧(Q??xA(x))T(4)，E(6)Q??xA(x)T(5)，I(7)Q?P T(6)(3)，I
五、已知A、B、C是三個集合，證明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)（10分）
證明：∵x? A∩（B∪C）? x? A∧x?（B∪C）? x? A∧（x?B∨x?C）?（x? A∧x?B）∨（x? A∧x?C）? x?（A∩B）∨x? A∩C? x?（A∩B）∪（A∩C）∴A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）
六、A={ x1,x2,x3 }，B={ y1,y2}，R={
七、設R={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>}，求r(R)、s(R)和t(R)，并作出它們及R的關系圖（15分）。
解：r(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,1>,<2,2>, <3,3>,<4,4>,<5,5>} s(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<1,2>,<4,2>,<4,3>} R=R={<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>} R={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<5,4>} R={<2,2>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,1>,<5,5>,<5,4>} t(R)={<2,1>,<2,5>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<5,2>,<2,2>,<5,1>,<5,4>,<5,5>}
八、設R1是A上的等價關系，R2是B上的等價關系，A≠?且B≠?。關系R滿足：<
證明 對任意的
對任意的
5∈R，即
對任意的
綜上可得，R是A×B上的等價關系。
九、設f：A?B，g：B?C，h：C?A，證明：如果h?g?f＝IA，f?h?g＝IB，g?f?h＝IC，則f、g、h均為雙射，并求出f、g和h（10分）。
解 因IA恒等函數，由h?g?f＝IA可得f是單射，h是滿射；因IB恒等函數，由f?h?g＝IB可得g是單射，f是滿射；因IC恒等函數，由g?f?h＝IC可得h是單射，g是滿射。從而f、g、h均為雙射。
由h?g?f＝IA，得f＝h?g；由f?h?g＝IB，得g＝f?h；由g?f?h＝IC，得h＝g?f。－
1－1
－1－1－1
－1離散數學試題(B卷答案3）
一、（10分）判斷下列公式的類型（永真式、永假式、可滿足式）？(寫過程)1)P?(P∨Q∨R)2)?((Q?P)∨?P)∧(P∨R)3)((?P∨Q)?R)?((P∧Q)∨R)解：1)重言式；2)矛盾式；3)可滿足式
二、（10分）求命題公式（P∨(Q∧R))?(P∨Q∨R)的主析取范式，并求成真賦值。
解：（P∨(Q∧R))?(P∨Q∨R)??(P∨(Q∧R))∨P∨Q∨R ??P∧(?Q∨?R)∨P∨Q∨R ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R)∨(P∨Q)∨R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∨(?P∧?R)∨R ?1∨((?P∧?R)∨R)?1 ?m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7 該式為重言式，全部賦值都是成真賦值。
三、（10分）證明((P∧Q∧A)?C)∧(A?(P∨Q∨C))?(A∧(P?Q))?C 證明：((P∧Q∧A)?C)∧(A?(P∨Q∨C))?(?(P∧Q∧A)∨C)∧(?A∨(P∨Q∨C))?((?P∨?Q∨?A)∨C)∧((?A∨P∨Q)∨C)
?((?P∨?Q∨?A)∧(?A∨P∨Q))∨C ??((?P∨?Q∨?A)∧(?A∨P∨Q))?C ?(?(?P∨?Q∨?A)∨?(?A∨P∨Q))?C ?((P∧Q∧A)∨(A∧?P∧?Q))?C ?(A∧((P∧Q)∨(?P∧?Q)))?C ?(A∧((P∨?Q)∧(?P∨Q)))?C ?(A∧((Q?P)∧(P?Q)))?C ?(A∧(P?Q))?C
四、（10分）個體域為{1，2}，求?x?y（x+y=4）的真值。
解：?x?y（x+y=4）??x（（x+1=4）∨（x+2=4））
?（（1+1=4）∨（1+2=4））∧（（2+1=4）∨（2+2=4））?（0∨0）∧（0∨1）?0∧1?0
五、（10分）對于任意集合A，B，試證明：P(A)∩P(B)=P(A∩B)解：?x?P(A)∩P(B)，x?P(A)且x?P(B)，有x?A且x?B，從而x?A∩B，x?P(A∩B)，由于上述過程可逆，故P(A)∩P(B)=P(A∩B)
六、（10分）已知A={1，2，3，4，5}和R={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>，<5，4>}，求r(R)、s(R)和t(R)。
解：r(R)={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>，<5，4>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>} s(R)={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>，<5，4>，<3，2>，<4，3>，<4，5>} t(R)={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<3，4>，<5，4>，<1，1>，<1，3>，<2，2>，<2，4>，<1，4>}
七、（10分）設函數f：R×R?R×R，R為實數集，f定義為：f(
解：1）?
2）?
∈R×R，由f( ，通過計算可得x=(p+q)/2；y=(p-q)/2；從而 的原象存在，f是滿射。 八、（10分） 證明：1）?a，b∈G，a?b=a*u*b∈G，運算是封閉的。 2）?a，b，c∈G，（a?b）?c=（a*u*b）*u*c=a*u*（b*u*c）=a?（b?c），運算是可結合的。 3）?a∈G，設E為?的單位元，則a?E=a*u*E=a，得E=u，存在單位元u。4）?a∈G，a?x=a*u*x=E，x=u*a*u，則x?a=u*a*u*u*a=u=E，每個元素都有逆元。 所以 九、（10分）已知：D= 解：1）D的鄰接距陣A和可達距陣P如下： A= 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1- 1-1 P= 1 1 1 1 十、（10分）求葉的權分別為2、4、6、8、10、12、14的最優二叉樹及其權。 解：最優二叉樹為 權＝(2+4)×4+6×3+12×2+(8+10)×3+14×2＝148 離散數學試題(B卷答案4） 一、證明題（10分） 1)((P∨Q)∧?(?P∧(?Q∨?R)))∨(?P∧?Q)∨(?P∧?R)?T 證明: 左端?((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨?((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律)?((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨?((P∨Q)∧(P∨R))(分配律)?((P∨Q)∧(P∨R))∨?((P∨Q)∧(P∨R))(等冪律)?T(代入)2)?x(P(x)?Q(x))∧?xP(x)??x(P(x)∧Q(x))證明：?x(P(x)?Q(x))∧?xP(x)??x((P(x)?Q(x)∧P(x))??x((?P(x)∨Q(x)∧P(x))??x(P(x)∧Q(x))??xP(x)∧?xQ(x)??x(P(x)∧Q(x)) 二、求命題公式(?P?Q)?(P∨?Q)的主析取范式和主合取范式（10分） 解：(?P?Q)?(P∨?Q)??(?P?Q)∨(P∨?Q)??(P∨Q)∨(P∨?Q)?(?P∧?Q)∨(P∨?Q)?(?P∨P∨?Q)∧(?Q∨P∨?Q)?(P∨?Q)?M1?m0∨m2∨m3 三、推理證明題（10分） 1)(P?(Q?S))∧(?R∨P)∧Q?R?S 證明：（1）R 附加前提(2)?R∨P P(3)P T(1)(2),I(4)P?(Q?S)P(5)Q?S T(3)(4),I(6)Q P(7)S T(5)(6),I(8)R?S CP 2)?x(P(x)∨Q(x))，?x?P(x)??x Q(x)證明：(1)?x?P(x)P(2)?P(c)T(1),US(3)?x(P(x)∨Q(x))P(4)P(c)∨Q(c)T(3),US(5)Q(c)T(2)(4),I(6)?x Q(x)T(5),EG 四、例5在邊長為1的正方形內任意放置九個點，證明其中必存在三個點，使得由它們組成的三角形（可能是退化的）面積不超過1/8（10分）。 證明：把邊長為1的正方形分成四個全等的小正方形，則至少有一個小正方形內有三個點，它們組成的三角形（可能是退化的）面積不超過小正方形的一半，即1/8。 五、已知A、B、C是三個集合，證明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)（10分） 證明：∵x? A∩（B∪C）? x? A∧x?（B∪C）? x? A∧（x?B∨x?C）?（x? A∧x?B）∨（x? A∧x?C）? x?（A∩B）∨x? A∩C? x?（A∩B）∪（A∩C）∴A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C） 六、?={A1，A2，?，An}是集合A的一個劃分，定義R={ 證明：?a∈A必有i使得a∈Ai，由定義知aRa，故R自反。?a,b∈A，若aRb，則a,b∈Ai，即b,a∈Ai，所以bRa，故R對稱。 ?a,b,c∈A，若aRb 且bRc，則a,b∈Ai及b,c∈Aj。因為i≠j時Ai∩Aj=?，故i=j，即a,b,c∈Ai，所以aRc，故R傳遞。 總之R是A上的等價關系。 七、若f:A→B是雙射，則f:B→A是雙射（15分）。 證明:對任意的x∈A，因為f是從A到B的函數，故存在y∈B，使 對任意的x∈A，若存在y1,y2∈B，使得 因此f是雙射。 八、設 證明 假設A≠G且B≠G，則存在a?A，a?B，且存在b?B，b?A（否則對任意的a?A，a?B，從而A?B，即A∪B＝B，得B＝G，矛盾。） 對于元素a*b?G，若a*b?A，因A是子群，a?A，從而a *(a*b)＝b ?A，所以矛盾，故a*b?A。同理可證a*b?B，綜合有a*b?A∪B＝G。綜上所述，假設不成立，得證A＝G或B＝G。 九、若無向圖G是不連通的，證明G的補圖G是連通的（10分）。 證明 設無向圖G是不連通的，其k個連通分支為G1、G2、?、Gk。任取結點u、v∈G，若u和v不在圖G的同一個連通分支中，則[u，v]不是圖G的邊，因而[u，v] 1-1-1 -1-1-1-1是圖G的邊；若u和v在圖G的同一個連通分支中，不妨設其在連通分支Gi（1≤i≤k）中，在不同于Gi的另一連通分支上取一結點w，則[u，w]和[w，v]都不是圖G的邊，因而[u，w]和[w，v]都是G的邊。綜上可知，不管那種情況，u和v都是可達的。由u和v的任意性可知，G是連通的。 離散數學試題（B卷答案5） 一、（10分）求命題公式?(P∧Q)??(?P?R)的主合取范式。 解：?(P∧Q)??(?P?R)?（?(P∧Q)??(?P?R)）∧（?(?P?R)??(P∧Q)）?（(P∧Q)∨(?P∧?R)）∧（(P∨R)∨(?P∨?Q)）?(P∧Q)∨(?P∧?R)?(P∨?R)∧（Q∨?P）∧（Q∨?R） ?(P∨Q∨?R)∧(P∨?Q∨?R)∧（?P∨Q∨R）∧（?P∨Q∨?R）?M1∧M3∧M4∧M5 二、（8分）敘述并證明蘇格拉底三段論 解：所有人都是要死的，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底是要死的。符號化：F（x）：x是一個人。G（x）：x要死的。A：蘇格拉底。命題符號化為?x（F（x）?G（x）），F（a）?G（a）證明： （1）?x(F(x)?G(x))P（2）F(a)?G(a)T(1),US（3）F(a)P（4）G(a)T(2)(3),I 三、（8分）已知A、B、C是三個集合，證明A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)證明：∵x? A∩（B∪C）? x? A∧x?（B∪C） ? x? A∧（x?B∨x?C） ?（x? A∧x?B）∨（x? A∧x?C）? x?（A∩B）∨x? A∩C ? x?（A∩B）∪（A∩C） ∴A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C） 四、（10分）已知R和S是非空集合A上的等價關系，試證：1）R∩S是A上的等價關系；2）對a∈A，[a]R∩S=[a]R∩[a]S。 解：?x∈A，因為R和S是自反關系，所以 ?x、y∈A，若 ?x、y、z∈A，若 總之R∩S是等價關系。 2）因為x∈[a]R∩S? 五、(10分)設A＝{a，b，c，d}，R是A上的二元關系，且R＝{ 解 r(R)＝R∪IA＝{ t(R)＝?R＝{ 4232-1d>， 六、(15分)設A、B、C、D是集合，f是A到B的雙射，g是C到D的雙射，令h：A×C?B×D且? 證明：1）先證h是滿射。 ? 2）再證h是單射。 ? 到D的雙射，所以a1＝a2，c1＝c2，所以 綜合1）和2），h是雙射。 七、(12分)設 證明：? ?a,b∈H有b∈H，所以a*b∈H。??a∈H，則e=a*a∈H a=e*a∈H ∵a,b∈H及b∈H，∴a*b=a*（b）∈H ∵H?G且H≠?,∴*在H上滿足結合律 ∴ 八、（10分）設G= 解：設G的每個結點的度數都大于等于6，則2|E|=?d(v)≥6|V|，即|E|≥3|V|，與簡單無向平面圖的|E|≤3|V|-6矛盾，所以G至少有一個結點的度數小于等于5。九.G= 1-1 -1-1-1-1-1 -1-1（1）G是否為阿貝爾群？ （2）找出G的單位元；（3）找出G的冪等元（4）求b的逆元和c的逆元 解：（1）(a*c)*(a*c)=c*c=b=a*b=(a*a)*(c*c)(a*b)*(a*b)=b*b=c=a*c=(a*a)*(b*b)(b*c)*(b*c)=a*a=a=c*b=(b*b)*(c*c)所以G是阿貝爾群 （2）因為a*a=a a*b=b*a=b a*c=c*a=c 所以G的單位元是a（3）因為a*a=a 所以G的冪等元是a（4）因為b*c=c*b=a，所以b的逆元是c且c的逆元是b 十、(10分)求葉的權分別為2、4、6、8、10、12、14的最優二叉樹及其權。 解：最優二叉樹為 權＝148 離散數學試題（B卷答案6） 一、（20分）用公式法判斷下列公式的類型：(1)(?P∨?Q)?(P??Q)(2)(P?Q)?(P∧?(Q∨?R))解：（1）因為(?P∨?Q)?(P??Q)??(?P∨?Q)∨(P∧?Q)∨(?P∧Q) ?(P∧Q)∨(P∧?Q)∨(?P∧Q)?m1∨m2∨m3 ?M0 所以，公式(?P∨?Q)?(P??Q)為可滿足式。 （2）因為(P?Q)?(P∧?(Q∨?R))??(?(P∨Q))∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q)∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨?Q)∧(P∨Q∨R)?(P∨Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨(R∧?R))∧(P∨Q∨R)?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R)?M0∧M1 ?m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7 所以，公式(P?Q)?(P∧?(Q∨?R))為可滿足式。 二、（15分）在謂詞邏輯中構造下面推理的證明：每個科學家都是勤奮的，每個勤奮 又身體健康的人在事業中都會獲得成功。存在著身體健康的科學家。所以，存在著事業獲得成功的人或事業半途而廢的人。 解：論域：所有人的集合。Q(x)：x是勤奮的；H(x)：x是身體健康的；S(x)：x是科學家；C(x)：x是事業獲得成功的人；F(x)：x是事業半途而廢的人；則推理化形式為： ?x(S(x)?H(x))Q(x))，?x(Q(x)∧H(x)?C(x))，?x(S(x)∧?x(C(x)∨F(x))下面給出證明： (1)?x(S(x)∧H(x)) P(2)S(a)∧H(a) T(1)，ES(3)?x(S(x)?Q(x)) P(4)S(a)?Q(a) T(1)，US(5)S(a) T(2)，I(6)Q(a) T(4)(5)，I(7)H(a) T(2)，I(8)Q(a)∧H(a) T(6)(7)，I(9)?x(Q(x)∧H(x)?C(x)) P(10)Q(a)∧H(a)?C(a) T(9)，Us(11)C(a) T(8)(10)，I(12)?xC(x) T(11)，EG(13)?x(C(x)∨F(x)) T(12)，I 三、（10分）設A＝{?，1，{1}}，B＝{0，{0}}，求P(A)、P(B)－{0}、P(B)?B。解 P(A)＝{?，{?}，{1}，{{1}}，{?，1}，{?，{1}}，{1，{1}}，{?，1，{1}}} P(B)－{0}＝{?，{0}，{{0}}，{0，{0}}－{0}＝{?，{0}，{{0}}，{0，{0}} P(B)?B＝{?，{0}，{{0}}，{0，{0}}?{0，{0}}＝{?，0，{{0}}，{0，{0}} 四、（15分）設R和S是集合A上的任意關系，判斷下列命題是否成立？(1)若R和S是自反的，則R*S也是自反的。(2)若R和S是反自反的，則R*S也是反自反的。(3)若R和S是對稱的，則R*S也是對稱的。 (4)若R和S是傳遞的，則R*S也是傳遞的。(5)若R和S是自反的，則R∩S是自反的。(6)若R和S是傳遞的，則R∪S是傳遞的。 解 (1)成立。對任意的a∈A，因為R和S是自反的，則 (2)不成立。例如，令A＝{1，2}，R＝{<1，2>}，S＝{<2，1>}，則R和S是反自反的，但R*S＝{<1，1>}不是反自反的。 (3)不成立。例如，令A＝{1，2，3}，R＝{<1，2>，<2，1>，<3，3>}，S＝{<2，3>，<3，2>}，則R和S是對稱的，但R*S＝{<1，3>，<3，2>}不是對稱的。 (4)不成立。例如，令A＝{1，2，3}，R＝{<1，2>，<2，3>，<1，3>}，S＝{<2，3>，<3，1>，<2，1>}，則R和S是傳遞的，但R*S＝{<1，3>，<1，1>，<2，1>}不是傳遞的。 (5)成立。對任意的a∈A，因為R和S是自反的，則 五、（15分）令X＝{x1，x2，?，xm}，Y＝{y1，y2，?，yn}。問(1)有多少個不同的由X到Y的函數？ (2)當n、m滿足什么條件時，存在單射，且有多少個不同的單射？(3)當n、m滿足什么條件時，存在雙射，且有多少個不同的雙射？ 解 (1)由于對X中每個元素可以取Y中任一元素與其對應，每個元素有n種取法，所以不同的函數共nm個。 (2)顯然當|m|≤|n|時，存在單射。由于在Y中任選m個元素的任一全排列都形成X到 mY的不同的單射，故不同的單射有Cnm!＝n(n－1)(n―m―1)個。 (3)顯然當|m|＝|n|時，才存在雙射。此時Y中元素的任一不同的全排列都形成X到Y的不同的雙射，故不同的雙射有m!個。 六、（5分）集合X上有m個元素，集合Y上有n個元素，問X到Y的二元關系總共有多少個？ 解 X到Y的不同的二元關系對應X×Y的不同的子集，而X×Y的不同的子集共有個2mn，所以X到Y的二元關系總共有2mn個。 七、（10分）若 b。 證明 設e是群 － － －所以，x＝a1*b是a*x＝b的解。－若x?∈G也是a*x＝b的解，則x?＝e*x?＝(a1*a)*x?＝a1*(a*x?)＝a1*b＝x。所以，x － － －＝a1*b是a*x＝b的惟一解。－ 八、（10分）給定連通簡單平面圖G＝ 證明 由偶拉公式得|V|－|E|＋|F|＝2，所以|F|＝2－|V|＋|E|＝8，于是?d(f)＝2|E|＝ f?F24。若存在f∈F，使得d(f)＞3，則3|F|＜2|E|＝24，于是|F|＜8，與|F|＝8矛盾。故對任意f∈F，d(f)＝3。 離散數學試題（B卷答案7） 一、（15分）設計一盞電燈的開關電路，要求受3個開關A、B、C的控制：當且僅當A和C同時關閉或B和C同時關閉時燈亮。設F表示燈亮。 (1)寫出F在全功能聯結詞組{?}中的命題公式。(2)寫出F的主析取范式與主合取范式。 解 (1)設A：開關A關閉；B：開關B關閉；C：開關C關閉；F＝(A∧C)∨(B∧C)。在全功能聯結詞組{?}中： ?A??(A∧A)?A?A A∧C???(A∧C)??(A?C)?(A?C)?(A?C) A∨B??(?A∧?B)??((A?A)∧(B?B))?(A?A)?(B?B)所以 F?((A?C)?(A?C))∨((B?C)?(B?C))?(((A?C)?(A?C))?((A?C)?(A?C)))?(((B?C)?(B?C))?((B?C)?(B?C)))(2)F?(A∧C)∨(B∧C) ?(A∧(B∨?B)∧C)∨((A∨?A)∧B∧C)?(A∧B∧C)∨(A∧?B∧C)∨(A∧B∧C)∨(?A∧B∧C)?m3∨m5∨m7 主析取范式 ?M0∧M1∧M2∧M4∧M6 主合取范式 二、（10分）判斷下列公式是否是永真式？(1)(?xA(x)??xB(x))??x(A(x)?B(x))。(2)(?xA(x)??xB(x))??x(A(x)?B(x)))。解 (1)(?xA(x)??xB(x))??x(A(x)?B(x))?(??xA(x)∨?xB(x))??x(A(x)?B(x))??(??xA(x)∨?xB(x))∨?x(?A(x)∨B(x))?(?xA(x)∧??xB(x))∨?x?A(x)∨?xB(x)?(?xA(x)∨?x?A(x)∨?xB(x))∧(??xB(x)∨?x?A(x)∨?xB(x))??x(A(x)∨?A(x))∨?xB(x)?T 所以，(?xA(x)??xB(x))??x(A(x)?B(x))為永真式。 (2)設論域為{1，2}，令A(1)＝T；A(2)＝F；B(1)＝F；B(2)＝T。 則?xA(x)為假，?xB(x)也為假，從而?xA(x)??xB(x)為真；而由于A(1)?B(1)為假，所以?x(A(x)?B(x))也為假，因此公式(?xA(x)??xB(x))??x(A(x)?B(x))為假。該公式不是永真式。 三、（15分）設X為集合，A＝P(X)－{?}－{X}且A≠?，若|X|＝n，問(1)偏序集 (3)偏序集 偏序集 考察P(X)的哈斯圖，最底層的頂點是空集，記作第0層，由底向上，第一層是單元集，第二層是二元集，…，由|X|＝n，則第n－1層是X的n－1元子集，第n層是X。偏序集 相比，恰好缺少第0層和第n層。因此 四、（10分）設A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元關系，且R＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。 解 r(R)＝R∪IA＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>} s(R)＝R∪R1＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，2>，－ <4，2>，<4，3>} R2＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>} R3＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>} R4＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}＝R2 t(R)＝?Ri＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<2，2>，<5，i?1?1>，<5，4>，<5，5>}。 五、（10分）設函數g：A→B，f：B→C，(1)若f?g是滿射，則f是滿射。(2)若f?g是單射，則g是單射。 證明 因為g：A→B，f：B→C，由定理5.5知，f?g為A到C的函數。 (1)對任意的z∈C，因f?g是滿射，則存在x∈A使f?g(x)＝z，即f(g(x))＝z。由g：A→B可知g(x)∈B，于是有y＝g(x)∈B，使得f(y)＝z。因此，f是滿射。 (2)對任意的x1、x2∈A，若x1≠x2，則由f?g是單射得f?g(x1)≠f?g(x2)，于是f(g(x1))≠f(g(x2))，必有g(x1)≠g(x2)。所以，g是單射。 六、（10分）有幺元且滿足消去律的有限半群一定是群。 證明 設 考慮a，a2，?，ak，?。因為G只有有限個元素，所以存在k＞l，使得ak＝al。令m＝k－l，有al*e＝al*am，其中e是幺元。由消去率得am＝e。 于是，當m＝1時，a＝e，而e是可逆的；當m＞1時，a*am-1＝am-1*a＝e。從而a是可逆的，其逆元是am-1。總之，a是可逆的。 七、（20分）有向圖G如圖所示，試求：(1)求G的鄰接矩陣A。 (2)求出A2、A3和A4，v1到v4長度為1、2、3和4的路有多少？ (3)求出ATA和AAT，說明ATA和AAT中的第(2，2)元素和第(2，3)元素的意義。(4)求出可達矩陣P。(5)求出強分圖。 解 (1)求G的鄰接矩陣為： ?0??0A??0??0?101??011? 101??100??(2)由于 ?0??02A??0??0?111??02??201?3?0A??02111????02011???12??03??22??044A? ?0312????0101???23??13? 23??22??所以v1到v4長度為1、2、3和4的路的個數分別為1、1、2、3。(3)由于 ?0??0ATA??0??0?000??21??312??12TAA? ?21011????10213???21??10? 21??21??再由定理10.19可知，所以ATA的第(2，2)元素為3，表明那些邊以v2為終結點且具有不同始結點的數目為3，其第(2，3)元素為0，表明那些邊既以v2為終結點又以v3為終結點，并且具有相同始結點的數目為0。AAT中的第(2，2)元素為2，表明那些邊以v2為始結點且具有不同終結點的數目為2，其第(2，3)元素為1，表明那些邊既以v2為始結點又以v3為始結點，并且具有相同終結點的數目為1。 (4)?0??0B4?A?A2?A3?A4??0??0??0??0所以求可達矩陣為P??0??0??0??0(5)因為P?PT??0??0?101??0??011??0+101??0???100???0111??111?。 111??111??111??0??111??1∧?1111????1111???000??0??111??0＝?0111????0111???000??111?，所以{v1}，{v2，v3，v4} 111??111??因 111??0 ?? 201??0 + 111??0 ???011???0 212??03??122??04+ 212??03???201???0123??13??23??22???0 ??0?0??0? 為 741? ? 747?，747? ? 434??構成G的強分圖。 離散數學試題（B卷答案8） 一、（10分）證明(P∨Q)∧(P?R)∧(Q?S)S∨R 證明 因為S∨R??R?S，所以，即要證(P∨Q)∧(P?R)∧(Q?S)?R?S。(1)?R 附加前提(2)P?R P(3)?P T(1)(2)，I(4)P∨Q P(5)Q T(3)(4)，I(6)Q?S P(7)S T(5)(6)，I(8)?R?S CP(9)S∨R T(8)，E 二、（15分）根據推理理論證明：每個考生或者勤奮或者聰明，所有勤奮的人都將有所作為，但并非所有考生都將有所作為，所以，一定有些考生是聰明的。 設P(e)：e是考生，Q(e)：e將有所作為，A(e)：e是勤奮的，B(e)：e是聰明的，個體域：人的集合，則命題可符號化為：?x(P(x)?(A(x)∨B(x)))，?x(A(x)?Q(x))，??x(P(x)?Q(x))?x(P(x)∧B(x))。 (1)??x(P(x)?Q(x)) P(2)??x(?P(x)∨Q(x)) T(1)，E(3)?x(P(x)∧?Q(x)) T(2)，E(4)P(a)∧?Q(a) T(3)，ES(5)P(a) T(4)，I(6)?Q(a) T(4)，I(7)?x(P(x)?(A(x)∨B(x)) P(8)P(a)?(A(a)∨B(a)) T(7)，US(9)A(a)∨B(a) T(8)(5)，I(10)?x(A(x)?Q(x)) P (11)A(a)?Q(a) T(10)，US(12)?A(a) T(11)(6)，I (13)B(a) T(12)(9)，I(14)P(a)∧B(a) T(5)(13)，I(15)?x(P(x)∧B(x)) T(14)，EG 三、（10分）某班有25名學生，其中14人會打籃球，12人會打排球，6人會打籃球和排球，5人會打籃球和網球，還有2人會打這三種球。而6個會打網球的人都會打另外一種球，求不會打這三種球的人數。 解 設A、B、C分別表示會打排球、網球和籃球的學生集合。則： |A|＝12，|B|＝6，|C|＝14，|A∩C|＝6，|B∩C|＝5，|A∩B∩C|＝2，|(A∪C)∩B|＝6。因為|(A∪C)∩B|＝(A∩B)∪(B∩C)|＝|(A∩B)|＋|(B∩C)|－|A∩B∩C|＝|(A∩B)|＋5－2＝6，所以|(A∩B)|＝3。于是|A∪B∪C|＝12＋6＋14－6－5－3＋2＝20，|A?B?C|＝25－20＝5。故，不會打這三種球的共5人。 四、（10分）設A1、A2和A3是全集U的子集，則形如?Ai?(Ai?為Ai或Ai)的集合稱 i?13為由A1、A2和A3產生的小項。試證由A1、A2和A3所產生的所有非空小項的集合構成全集U的一個劃分。 證明 小項共8個，設有r個非空小項s1、s2、…、sr(r≤8)。 對任意的a∈U，則a∈Ai或a∈Ai，兩者必有一個成立，取Ai?為包含元素a的Ai或Ai，則a∈?Ai?，即有a∈?si，于是U??si。又顯然有?si?U，所以U＝?si。 i?1i?1i?1i?1i?13rrrr任取兩個非空小項sp和sq，若sp≠sq，則必存在某個Ai和Ai分別出現在sp和sq中，于是sp∩sq＝?。 綜上可知，{s1，s2，…，sr}是U的一個劃分。 五、（15分）設R是A上的二元關系，則：R是傳遞的?R*R?R。 證明 (5)若R是傳遞的，則 反之，若R*R?R，則對任意的x、y、z∈A，如果xRz且zRy，則 六、（15分）若G為連通平面圖，則n－m＋r＝2，其中，n、m、r分別為G的結點數、邊數和面數。 證明 對G的邊數m作歸納法。 當m＝0時，由于G是連通圖，所以G為平凡圖，此時n＝1，r＝1，結論自然成立。假設對邊數小于m的連通平面圖結論成立。下面考慮連通平面圖G的邊數為m的情況。 設e是G的一條邊，從G中刪去e后得到的圖記為G?，并設其結點數、邊數和面數分別為n?、m?和r?。對e分為下列情況來討論： 若e為割邊，則G?有兩個連通分支G1和G2。Gi的結點數、邊數和面數分別為ni、mi和ri。顯然n1＋n2＝n?＝n，m1＋m2＝m?＝m－1，r1＋r2＝r?＋1＝r＋1。由歸納假設有n1－m1＋r1＝2，n2－m2＋r2＝2，從而(n1＋n2)－(m1＋m2)＋(r1＋r2)＝4，n－(m－1)＋(r＋1)＝4，即n－m＋r＝2。 若e不為割邊，則n?＝n，m?＝m－1，r?＝r－1，由歸納假設有n?－m?＋r?＝2，從而n－(m－1)＋r－1＝2，即n－m＋r＝2。 由數學歸納法知，結論成立。 七、（10分）設函數g：A→B，f：B→C，則：(1)f?g是A到C的函數； (2)對任意的x∈A，有f?g(x)＝f(g(x))。 證明 (1)對任意的x∈A，因為g：A→B是函數，則存在y∈B使 對任意的x∈A，若存在y1、y2∈C，使得 綜上可知，f?g是A到C的函數。 (2)對任意的x∈A，由g：A→B是函數，有 八、（15分）設 證明 對于任意a∈G，必有a1∈G使得a1*a＝e∈H，所以 － － 若 － － －a>∈R。 若 － － －1*b)*(b1*c)＝a1*c∈H，故 對于任意的b∈[a]R，有 －于是b∈aH，[a]R?aH。對任意的b∈aH，存在h∈H使得b＝a*h，a1*b＝h∈H， 離散數學試題（B卷答案9） 一、（10分）證明(P∧Q∧A?C)∧(A?P∨Q∨C)?(A∧(P?Q))?C。證明：(P∧Q∧A?C)∧(A?P∨Q∨C)?(?P∨?Q∨?A∨C)∧(?A∨P∨Q∨C) ?(?P∨?Q∨?A∨C)∧(?A∨P∨Q∨C)?((?P∨?Q∨?A)∧(?A∨P∨Q))∨C ??((P∧Q∧A)∨(A∧?P∧?Q))∨C ??(A∧((P∧Q)∨(?P∧?Q)))∨C ??(A∧(P?Q))∨C ?(A∧(P?Q))?C。 二、（10分）舉例說明下面推理不正確：?x?y(P(x)?Q(y))，?y?z(R(y)?Q(z))?x?z(P(x)?R(z))。 解：設論域為{1，2}，令P(1)＝P(2)＝T；Q(1)＝Q(2)＝T；R(1)＝R(2)＝F。則： ?x?y(P(x)?Q(y))??x((P(x)?Q(1))∨(P(x)?Q(2))) ?((P(1)?Q(1))∨(P(1)?Q(2)))∧((P(2)?Q(1))∨(P(2)?Q(2)))?((T?T)∨(T?T))∧((T?T)∨(T?T))?T ?y?z(R(y)?Q(z))??y((R(y)?Q(1))∨(R(y)?Q(2))) ?((R(1)?Q(1))∨(R(1)?Q(2)))∧((R(2)?Q(1))∨(R(2)?Q(2))) ?((F?T)∨(F?T))∧((F?T)∨(F?T)) ?T 但 ?x?z(P(x)?R(z))??x((P(x)?R(1))∧(P(x)?R(2)))?((P(1)?R(1))∧(P(1)?R(2)))∨((P(2)?R(1))∧(P(2)?R(2)))?((T?F)∧(T?F))∨((T?F)∧(T?F))?F 所以，?x?y(P(x)?Q(y))，?y?z(R(y)?Q(z))?x?z(P(x)?R(z))不正確。 三、（15分）在謂詞邏輯中構造下面推理的證明：所有牛都有角，有些動物是牛，所以，有些動物有角。 解：令P(x)：x是牛；Q(x)：x有角；R(x)：x是動物；則推理化形式為： ?x(P(x)?Q(x))，?x(P(x)∧R(x))?x(Q(x)∧R(x))下面給出證明： (1)?x(P(x)∧R(x)) P(2)P(a)∧R(a) T(1)，ES(3)?x(P(x)?Q(x)) P(4)P(a)?Q(a) T(3)，US(5)P(a) T(2)，I(6)Q(a) T(4)(5)，I(7)R(a) T(2)，I(8)Q(a)∧R(a) T(6)(7)，I(9)?x(Q(x)∧R(x)) T(8)，EG 四、（10分）證明(A∩B)×(C∩D)＝(A×C)∩(B×D)。 證明：因為 五、（15分）設A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元關系，且R＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。 解 r(R)＝R∪IA＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>} s(R)＝R∪R1＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，2>，－ <4，2>，<4，3>} R2＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>} R3＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>} R4＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}＝R2 t(R)＝?Ri＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<2，2>，<5，i?1?1>，<5，4>，<5，5>}。 六、（10分）若函數f：A→B是雙射，則對任意x∈A，有f1(f(x))＝x。 －證明 對任意的x∈A，因為f：A→B是函數，則 －由f－1是B到A的函數，于是可寫為f1(f(x))＝x。 － 七、（10分）若G為有限群，則|G|＝|H|·[G:H]。 證明 設[G:H]＝k，a1、a2、…、ak分別為H的k個左陪集的代表元，由定理8.38得 G??[ai]R??aiH i?1i?1kk又因為對H中任意不同的元素x、y∈H及a∈G，必有a*x≠a*y，所以|a1H|＝…＝|akH|＝|H|。因此 |G|?|?aiH|?i?1k?|aH|?k|H|＝|H|·[G:H]。 ii?1k 八、（20分）（1）畫出3階2條邊的所有非同構有向簡單圖。 解：由握手定理可知，所畫的有向簡單圖各結點度數之和為4，且最大出度和最大入度均小于或等于2。度數列與入度列、出度列為： 1、2、1：入度列為0、1、1或0、2、0或1、0、1；出度列為1、1、0或1、0、1或0、2、0 2、2、0：入度列為1、1、0；出度列為1、1、0 四個所求有向簡單圖如圖所示。 （2）設G是n(n≥4)階極大平面圖，則G的最小度?≥3。 證明 設v是極大平面圖G的任一結點，則v在平面圖G－{v}的某個面f內。由于G－{v}是一個平面簡單圖且其結點數大于等于3，所以d(f)≥3。由G的極大平面性，v與f上的結點之間都有邊，因此d(v)≥3。由v的任意性可得，G的最小度?≥3。 離散數學試題（B卷答案10） 一、（10分）使用將命題公式化為主范式的方法，證明(P?Q)?(P∧Q)?(Q?P)∧(P∨Q)。 證明：因為(P?Q)?(P∧Q)??(?P∨Q)∨(P∧Q) ?(P∧?Q)∨(P∧Q)(Q?P)∧(P∨Q)?(?Q∨P)∧(P∨Q)?(P∧?Q)∨(?Q∧Q)∨(P∧P)∨(P∧Q)?(P∧?Q)∨P ?(P∧?Q)∨(P∧(Q∨?Q))?(P∧?Q)∨(P∧Q)∨(P∧?Q)?(P∧?Q)∨(P∧Q)所以，(P?Q)?(P∧Q)?(Q?P)∧(P∨Q)。 二、（10分）證明下述推理： 如果A努力工作，那么B或C感到愉快；如果B愉快，那么A不努力工作；如果D愉快那么C不愉快。所以，如果A努力工作，則D不愉快。 解 設A：A努力工作；B、C、D分別表示B、C、D愉快；則推理化形式為： A?B∨C，B??A，D??CA??D (1)A 附加前提(2)A?B∨C P(3)B∨C T(1)(2)，I(4)B??A P(5)A??B T(4)，E(6)?B T(1)(5)，I(7)C T(3)(6)，I (8)D??C P(9)?D T(7)(8)，I(10)A??D CP 三、（10分）證明?x?y(P(x)?Q(y))?(?xP(x)??yQ(y))。?x?y(P(x)?Q(y))??x?y(?P(x)∨Q(y))??x(?P(x)∨?yQ(y))??x?P(x)∨?yQ(y)???xP(x)∨?yQ(y)?(?xP(x)??yQ(y)) 四、（10分）設A＝{?，1，{1}}，B＝{0，{0}}，求P(A)、P(B)－{0}、P(B)?B。解 P(A)＝{?，{?}，{1}，{{1}}，{?，1}，{?，{1}}，{1，{1}}，{?，1，{1}}} P(B)－{0}＝{?，{0}，{{0}}，{0，{0}}－{0}＝{?，{0}，{{0}}，{0，{0}} P(B)?B＝{?，{0}，{{0}}，{0，{0}}?{0，{0}}＝{?，0，{{0}}，{0，{0}} 五、（15分）設X＝{1，2，3，4}，R是X上的二元關系，R＝{<1，1>，<3，1>，<1，3>，<3，3>，<3，2>，<4，3>，<4，1>，<4，2>，<1，2>}(1)畫出R的關系圖。(2)寫出R的關系矩陣。 (3)說明R是否是自反、反自反、對稱、傳遞的。解(1)R的關系圖如圖所示：(2)R的關系矩陣為： ?1??0M(R)??1??1?101110110??0? 0??0??(3)對于R的關系矩陣，由于對角線上不全為1，R不是自反的；由于對角線上存在非0元，R不是反自反的；由于矩陣不對稱，R不是對稱的； 經過計算可得 ?1??0M(R2)??1??1?101110110??0??M(R)，所以R是傳遞的。?0?0?? 六、（15分）設函數f：R×R?R×R，f定義為：f( (4)求復合函數f?f和f?f。 證明(1)對任意的x，y，x1，y1∈R，若f( (2)對任意的 1u?wu?wu?wu?w，y＝，則f( －1 ( x?y?x?y，2x?y?(x?y)>＝ 七、（15分）給定群 證明 對G中任意元a和b。 因為a*b＝(a*b)，所以a*a*b*b＝a*(a*b)*b，即得a*b＝(b*a)。同33 333 2255 ?13 ?1?1?1理，由a*b＝(a*b)可得，a*b＝(b*a)。由a*b＝(a*b)可得，a*b＝(b*a)。 于是(a*b)*(b*a)＝(b*a)＝a*b，即b*a＝a*b。同理可得，(a*b)*(b*a)＝(b*a)＝a*b，即b*a＝a*b。 3333334 344433555444 由于(a*b)*b＝a*b＝b*a＝b*(b*a)＝b*(a*b)＝(b*a)*b，故a*b＝b*a。 八、（15分）（1）證明在n個結點的連通圖G中，至少有n－1條邊。 證明 不妨設G是無向連通圖（若G為有向圖，可略去邊的方向討論對應的無向圖）。設G中結點為v1、v2、?、vn。由連通性，必存在與v1相鄰的結點，不妨設它為v2（否則可重新編號），連接v1和v2，得邊e1，還是由連通性，在v3、v4、?、vn中必存在與v1或v2相鄰的結點，不妨設為v3，將其連接得邊e2，續行此法，vn必與v1、v2、?、vn?1中的某個結點相鄰，得新邊en?1，由此可見G中至少有n－1條邊。 （2）試給出|V|＝n，|E|＝(n－1)(n－2)的簡單無向圖G＝ 解 下圖滿足條件但不連通。 12344333 離散數學是研究離散量的結構及其相互關系的數學學科，是現代數學的一個重要分支。下面是小編整理的離散數學期末考試試題及答案，歡迎閱讀參考！ 一、【單項選擇題】 (本大題共15小題，每小題3分，共45分)在每小題列出的四個選項中只有一個選項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母填在答題卷相應題號處。 1、在由3個元素組成的集合上，可以有()種不同的關系。 [A] 3 [B] 8 [C]9 [D]272、設A1,2,3,5,8,B1,2,5,7,則AB()。 [A] 3,8 [B]3 [C]8 [D]3,83、若X是Y的子集，則一定有()。 [A]X不屬于Y [B]X∈Y [C]X真包含于 Y [D]X∩Y=X4、下列關系中是等價關系的是()。 [A]不等關系 [B]空關系 [C]全關系 [D]偏序關系 5、對于一個從集合A到集合B的映射，下列表述中錯誤的是()。 [A]對A的每個元素都要有象 [B] 對A的每個元素都只有一個象 [C]對B的每個元素都有原象 [D] 對B的元素可以有不止一個原象 6、設p:小李努力學習，q:小李取得好成績，命題“除非小李努力學習，否則他不能取得好成績”的符號化形式為()。 [A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q7、設A={a,b,c},則A到A的雙射共有()。 [A]3個 [B]6個 [C]8個 [D]9個 8、一個連通G具有以下何種條件時，能一筆畫出：即從某結點出發，經過中每邊僅一次回到該結點()。 [A] G沒有奇數度結點 [B] G有1個奇數度結點 [C] G有2個奇數度結點 [D] G沒有或有2個奇數度結點 9、設〈G,*〉是群，且|G|>1，則下列命題不成立的是()。 [A] G中有幺元 [B] G中么元是唯一的[C] G中任一元素有逆元 [D] G中除了幺元外無其他冪等元 10、令p：今天下雪了，q：路滑，則命題“雖然今天下雪了，但是路不滑”可符號化為() [A] p→┐q [B] p∨┐q [C] p∧q [D] p∧┐q11、設G=的結點集為V={v1,v2,v3},邊集為E={,}.則G的割(點)集是()。 [A]{v1} [B]{v2} [C]{v3} [D]{v2,v3} 12、下面4個推理定律中，不正確的為()。 [A]A=>(A∨B)(附加律)[B](A∨B)∧┐A=>B(析取三段論) [C](A→B)∧A=>B(假言推理)[D](A→B)∧┐B=>A(拒取式) 13、在右邊中過v1,v2的初級回路有多少條() [A] 1 [B] 2 [C] 3 [D] 414、若R，是環，且R中乘法適合消去律，則R是()。 [A]無零因子環 [C]整環 [B]除環 [D]域 15、無向G中有16條邊，且每個結點的度數均為2，則結點數是()。 [A]8 [B]16 [C]4 [D] 32二、【判斷題】 (本大題共8小題，每小題3分，共24分)正確的填T，錯誤的填F，填在答題卷相應題號處。 16、是空集。() 17、設S,T為任意集合，如果S—T=，則S=T。() 18、在命題邏輯中，任何命題公式的主合取范式都是存在的，并且是唯一的。() 19、關系的復合運算滿足交換律。() 20、集合A上任一運算對A是封閉的。() 21、0,1,2,3,4,max,min是格。() 22、強連通有向一定是單向連通的。() 23、設都是命題公式，則(PQ)QP。() 三、【解答題】 (本大題共3小題，24、25每小題10分，26小題11分，共31分)請將答案填寫在答題卷相應題號處。 24、設集合A={a, b, c}，B={b, d, e}，求 (1)BA;(2)AB;(3)A-B;(4)BA.25、設非空集合A，驗證(P(A)，,~，A)是布爾代數 26、如果他是計算機系本科生或者是計算機系研究生，那么他一定學過DELPHI語言而且學過C++語言。只要他學過DELPHI語言或者C++語言，那么他就會編程序。因此如果他是計算機系本科生，那么他就會編程序。請用命題邏輯推理方法，證明該推理的有效結論。 離散數學試題答案 一、【單項選擇題】(本大題共15小題，每小題3分，共45分) BDDCCCBABDADCBB 二、【判斷題】(本大題共8小題，每小題3分，共24分) FFTFTTTF 三、【解答題】(本大題共3小題，24、25每小題10分，26小題11分，共31分) 24、設集合A={a, b, c}，B={b, d, e}，求(1)BA;(2)AB;(3)A-B;(4)BA.標準答案：(1)BA={a, b, c}{b, d, e}={ b } (2)AB={a, b, c}{b, d, e}={a, b, c, d, e } (3)A-B={a, b, c}-{b, d, e}={a, c} (4)BA= AB-BA={a, b, c, d, e }-{ b }={a, c, d, e } 復習范圍或考核目標：考察集合的基本運算，包括交集，并集,見課件第一章第二節,集合的運算。 25、設非空集合A，驗證(P(A)，,~，A)是布爾代數 標準答案：證明 因為集合A非空，故P(A)至少有兩個元素，顯然，是P(A)上的二元運算.由定理10，任給B,C,DP(A), H1 BD=DC CD=DC H2 B(CD)=(BC)(BD)B(CD)=(BC)(BD) H3 P(A)存在和A，BP(A), 有B=B，BA=B H4，BP(A), BA，存在A~B，有 BA~B)= A B(A～B)= 所以(P(A)，,~，A)是布爾代數.復習范圍或考核目標：考察布爾代數的基本概念，集合的運算，見課件代數系統中布爾代數小節。 26、如果他是計算機系本科生或者是計算機系研究生，那么他一定學過DELPHI語言而且學過C++語言。只要他學過DELPHI語言或者C++語言，那么他就會編程序。因此如果他是計算機系本科生，那么他就會編程序。請用命題邏輯推理方法，證明該推理的有效結論。 標準答案：令p：他是計算機系本科生 q：他是計算機系研究生 r：他學過DELPHI語言 s:他學過C++語言 t:他會編程序 前提：(p∨q)→(r∧s),(r∨s)→t 結論：p→t 證①p P(附加前提) ②p∨q T①I ③(p∨q)→(r∧s)P(前提引入) ④r∧s T②③I ⑤r T④I ⑥r∨s T⑤I ⑦(r∨s)→t P(前提引入) ⑧t T⑤⑥I 在半剖視圖中半個視圖與半個剖視圖的分界線用（）。 （A）粗實線 (B)細實線 (C)細點畫線 (D)波浪線 答案：（C） 局部放大圖的標注中，若被放大的部分有幾個，應用（）數字編號，并在局部放大圖上方標注相應的數字和采用的比例。 （A）希臘 (B)阿拉伯 (C)羅馬 (D)中國 答案：（C） 尺寸應該盡量標注在（D）上。 A、主視圖 B、俯視圖 C、左視圖 D、特征視圖 六個基本視圖中最常用的是（）視圖。 （A）主、右、仰 (B)主、俯、左 (C)后、右、仰 (D)主、左、仰 答案：（B）下圖的A-A剖面圖中，選出正確的斷面圖（）。 在下圖中，選出正確的一組視圖（）。 答案：C 下面右圖用的是（）表示方法。 （A）全剖 （B）局部剖 （C）移出剖面 （D）重合剖面 答案：C 在下圖中選出正確的剖視圖。（） 答案：C 在下圖中選出正確的局部剖視圖。（） 答案：B 在下圖中選出正確的剖視圖。（） 答案：C 求作立體的相貫線。（12分） 一.標注尺寸（數值從視圖中量取，比例1:1）（13分） 分析下列螺紋畫法的錯誤,正確的打“√”, 錯誤的打“×”。（8分） (×)(√)(×)(×) 選擇正確的移出剖面圖（將正確的答案序號填入括號內）（6分）(b) 讀齒輪軸零件圖，在指定位置補畫A-A斷面圖，并回答下列問題。（15分） 1．說明M12×1.5-6g含義：表示公稱直徑為12mm的細牙普通螺紋，M為螺紋代號，1.5為螺距,6g為中徑和頂徑的公差帶代號。2．說明含義：⊥表示垂直度，0.03為垂直度公差，A為基準符號。 3．指出圖中的工藝結構：它有 2 處倒角，其尺寸分別為 C2和C1.5，有 1 處退刀槽，其尺寸為 2×2。 模數其余218齒數壓力角精度等級齒厚配對齒數8-7-7-3.142圖號齒數齒 輪 軸制圖校核比例數量材料 《物權法》期末考試試卷及答案 一、單選題 1.土地承包經營權屬于()。 A.所有權 B.用益物權 C.擔保物權 D準物權 2.相鄰關系是不動產的相鄰各方因不動產行使所有權或使用權而發生的權利義務關系，因此，相鄰關系的客體是()。A.不動產 B.對不動產所有的權利 C.對不動產所負的義務 D.不動產權利人行使其所有權或者使用權過程中所體現的權益 3.根據《物權法》的規定，下列各項有關共有關系的表述中，不符合法律規定的是()。 A.按份共有人有權自由處分自己的共有份額，無需取得其他共有人的同意 B.共同共有人對共有財產的處分，必須征得全體共有人的同意 C.按份共有人將份額出讓給共有人以外的第三人時，必須征得其他共有人的同意 D.共同共有關系終止，才能確定份額，分割共有財產 4.甲、乙、丙了人分別出資修建了一棟三層小樓。建樓前三人約定建成后甲、乙、丙分別住一 樓、二樓、三樓，但對樓房的所有權的歸屬未明確約定。樓房建成后，因對樓房的所有權歸屬發生爭議，如果三人不能協商解決，該樓房的所有權()。 A.三人共同共有 B.三人按份共有 C.三人區分所有 D.甲擁有所有權，乙、丙擁有使用權 5.通過招標、拍賣、公開協商等方式承包()等農村土地，依照土地承包法等法律和國務院的有關規定。其土地承包經營權可以轉讓、入股、抵押或者以其他方式流轉。 A.耕地 B.林地 C.荒地 D.草地 6.孫某有一輛汽車，估價20萬元，6月1日向李某借款l0萬元。訂立了汽車抵押合同并于當天辦理抵押登記。6月2日，向趙某借款10萬元，又以該汽車抵押并辦理了登記。后孫某不能還款，變賣汽車得款l6萬元。關于抵押板，下列說法正確的是()。 A.趙某優先得到實現 B.他們處于同一順序 C.李某優先得到實現 D.二者協商處理 7.甲公司向銀行貸款，并以所持乙上市公司股份用于質押。根據《物權法》的規定：質押合同的生效時間是()。A.借款合同簽訂之日 B.質押合同簽訂之日 C.向證券登記機構申請辦理出質登記之日 D.證券登記機構辦理出質登記之日 8.甲遺失一部相機，乙拾得的后放在辦公桌的抽屜內，并張貼了招領啟事。丙盜走該相機，賣給了不知情的丁，丁出質于戊，對此下列說法不正確的是()。A.乙對相機的占有屬于無權占有 B.丙對相機的占有屬于他主占有 C.丁對相機的占有屬于自主占有 D.戊對相機的占有屬于直接占有 9.我國擔保法規定的擔保法規定的，擔保物權包括：（）A.典權和抵押權 B.留置權、抵押權和質權 C.地上權和地役權 D.地役權、典權和質權 10.根據物權是否具有獨立性不同，物權可以分為（）。 A.主物權和從物權 B.有期限物權和無期限物權 C.動產物權、不動產物權和權利物權 D．用益物權與擔保物權 11.甲將自己所有的一套書賣給乙，但甲還想留閱一段時間，遂又與乙達成協議，借閱該書1個月，乙表示應允。乙取得該套書所有權的交付方法為（）。A.簡易交付 B.占有改定 C.指示交付 D.擬制交付 12.所有人不明的埋藏物，所有權歸（）。A.發現人 B.土地使用權人 C.國家 D．發現人和土地使用權人 13.下列財產所有權取得方法中，屬于繼受取得的是（）。 A．添附 B．生產 C．繼承 D．拾得遺失物 14.下列財產中，不得抵押的是（）。 A.土地所有權 B.抵押人所有的房屋 C.抵押人所有的機器 D.在建工程 15.趙某孤身一人，因外出打工，將一祖傳古董交由鄰居錢某保管。錢某因結婚用錢，情急之下謊稱該古董為自己所有，賣給了古董收藏商孫某，得款10000元。孫某因資金周轉需要，向李某借款 20000 元，雙方約定將該古董押給李某，如孫某到期不回贖，古董歸李某所有。下列說法中正確的是：（）A．錢某與孫某之間的古董買賣合同無效 B．孫某取得該古董的所有權 C．李某對該古董的占有屬于無權占有 D．趙某可以直接請求李某歸還該古董 16.根據我國《物權法》規定，下列各項中，不屬于物權的是：（）A．土地承包經營權 B． 建設用地使用權 C． 典權 D．海域使用 17.某小區擬解聘現有的物業管理機構，則下列關于業主表決情況的說法正確的是：（）A．應當經專有部分占建筑物總面積三分之二以上的業主或占總人數三分之二以上的業主同意 B．應當經專有部分占建筑物總面積三分之二以上的業主且占總人數三分之二以上的業主同 意 C．應當經專有部分占建筑物總面積過半數的業主且占總人數過半數的業主同意 D．應當經專有部分占建筑物總面積過半數的業主或占總人數過半數的業主同意 18.下列關于留置權的表述，正確的是（）。 A.留置權是用益物權 B.留置權是約定擔保物權 C.留置權是自物權 D.留置權是法定擔保物權 19.農民甲一家 4 口承包了本村 6 畝家庭承包地，并取得土地承包經營權證。后甲的女兒乙結婚嫁到外村，由于其夫家所在村農地緊張，致其在夫家始終未取得家庭承包地。甲所在村村委會依據自定的村規民約，抽回了乙 1.5 畝承包地，并作為家庭承包地補給本村村民丁經營管理。甲多次要求村委返還卻遭拒絕。下列說法錯誤的是：（） A．村委會侵害了甲的土地承包經營權 B．女兒外嫁后收回承包地是村規民約，村委會并未侵權 C．甲可以請求丁返還該承包地 D．甲可以請求村委會賠償其相應的損失 20.陳某向賀某借款20萬元.借期2年，陳某以自己正在建造的房屋提供抵押擔保并辦理了登 記。下列說法中，符合《物權法》的是：()。A.賀某不享有抵押權。因為商品樓為在建工程，尚未完工 B.賀某不享有抵押權，只有以建成的房屋抵押，才符合《擔保法》確定的抵押物范圍 C.賀某享有抵押權，雖然商品樓正在建造中，但當事人辦理了抵押物登記 D.賀某不享有抵押權，因為在建工程不屬于《擔保法》規定的抵押物范同 二、多選題 1.下列各項中，屬于物權法上物的有哪些？（）A．無線電頻譜 B．水流 C． 海域 D．空氣 2.下列哪些權利可以作為權利質權的標的：（）A．匯票、本票、支票、債券、存款單、倉單、提單 B．依法可以轉讓的股份、股票、基金份額 C．商標專用權、專利權、著作權中的財產權 D．依法可以轉讓的債權 3.下列民事關系中，應按照相鄰關系處理的是：（）A．甲在乙的房屋后挖菜窖，造成乙的房屋基礎下沉，墻體裂縫引起糾紛 B．甲開發商購得一塊土地的使用權，欲建一露天餐廳，其與該土地相鄰的乙約定，乙不得再建露天餐廳，為此甲給予乙每年 3 萬元的補償 C．甲村在河流上游修建攔河壩，使乙村用水量劇減，引起糾紛 D．甲家與乙家相鄰，甲家的貓闖入乙家，打碎乙家的花瓶，引起糾紛 4.在當事人對擔保物權范圍沒有約定的情況下，下列各項中，屬于擔保物權擔保范圍的包括()。 A.主債權 B.主債權的利息 C.損害賠償金 D.律師費 5.下列財產中，可以抵押的有（）。A.違章建筑物 B.機關法人的公益性財產 C.預購的房屋 D.抵押人所有的汽車 三、名詞解釋 1.善意取得 2.用益物權 3.占有改定 4.留置權 四、簡答題 1.簡述擔保物權的特征。2.簡述善意取得的構成要件。3.試述留置權取得的條件。 五、案例分析題 甲信用社、乙銀行和丙公司在同一城市。丙與甲簽訂一金額為400萬元的質權擔保借款合同，質押財產為丙公司價值600萬元的動產。合同簽訂后，丙即將質押財產轉移給甲占有。嗣后，丙與乙簽訂一金額為280萬元的借款、抵押合同，抵押物也為丙的上述動產，并辦理了抵押權登記。合同到期后，丙無法向甲和乙償還債務，甲和乙均要求以丙所提供的該擔保財產優先清償債務，從而引發糾紛。思考并回答下列問題： 1.質權設立的要件是什么？ 2.在同一財產之上既設立質權又設立抵押權，其效力如何？ 3.本案應如何處理？ 參考答案 一、單選題 1-5 BDCBC 6-10 CBBBA 11-15 BCCAB 16-20 CCDBC 二、多選題 1.ABC 2.ABCD 3.AC 4.ABC 5.CD 三、名詞解釋 1.善意取得亦稱即時取得，是指無權處分他人財產的財產占有人，在不法將其占有的財產轉讓給第三人以后，如果受讓人在取得該項財產時系出于善意，即依法取得該財產的所有權，原財產所有人不得要求受讓人返還財產的制度。 2.用益物權，是指非所有權人對他人所有之物所享有的占有、使用和收益的他物權。其外延包括土地承包經營權、建設用地使用權、宅基地使用權、地役權等。 3.占有改定，是指在動產交易中出讓人與受讓人約定，由出讓人繼續直接占有動產，使受讓人取得對于動產的間接占有，并取得動產的所有權。 4.留置權，是指債權人依債權占有屬于債務人的動產，債務人未按照約定的期限履行債務時，債權人有權依法留置該財產，以該財產折價或者以拍賣、變賣該財產的價款優先受償的擔保物權。 四、簡答題 1.擔保物權的特征有： （1）擔保物權以擔保債權的實現為目的。（2分） （2）擔保物權的標的是債務人或第三人所特有的特定動產、不動產或其他財產權利。（2分） （3）擔保物權限制了擔保人對擔保標的物的處分權。（2分）（4）債權人享有對擔保標的物的換價權。（2分）（5）擔保物權能夠擔保其債權享有優先受償權。（2分） 2、實行善意取得的結果，是物的原所有人喪失其所有權，善意受讓人則取得所有權。其要件是： （1）受讓人在受讓時不知道或者不應當知道轉讓人無處分權，即善意。（3分） （2）以合理的價格有償受讓。（2分） （3）轉讓的財產依照法律規定應當登記的已經登記，不需要登記的已經交付給受讓人。（3分） （4）轉移占有的財產須是法律允許流通的動產和不動產。（2分） 3、留置權成立要件分為積極要件和消極要件 （一）留置權成立的積極要件，是留置權成立所應具備的事實，包括以下三項： （1）須債權人合法占有債務人的動產。（1分）（2）須債權的發生與該動產有牽連關系。（2分）（3）須債權已屆清償期且債務人未履行債務。（2分） （二）留置權成立的消極要件通常有以下五項：（1）須當事人事先無不得留置的約定。（1分） （2）須留置債務人的財產不違反公共秩序或善良風俗。（1分）（3）須留置財產與債權人的義務不相抵觸。（1分） （4）須留置財產與對方交付財產前或交付財產時所為的指示不相抵觸。（1分） （5）對動產的占有須非因侵權行為而取得。（1分） 五、案例分析題 1、在本案中，丙公司與甲信用社簽訂質權擔保合同，（2分）質押財產已經轉移占有，（2分）符合質權設立的要求，質權合同生效，甲信用社取得質權。（1分） 2、在同一財產之上既設立質權又設立抵押權的，其效力規則有：（1）在同一財產上，法定登記的抵押權與質權并存時，抵押權人優先于質權人受償（3分） （2）對于無須辦理登記即可成立的抵押權，仍然必須按照權利設定的前后并考慮其他因素加以判定：一是當動產上先設定抵押權后設定質權時，如果抵押權已經登記的，抵押權人優先于質權人受償；二是先成立的抵押權未經登記，則其不能對抗善意第三人。（4分）（3）當動產上先設定質權后設定抵押權時，無論該抵押權是否辦理登記，都不能對抗設定在先的質權。（3分） 3、本案屬于先設定質權后設定抵押權，因此，該抵押權不能對抗設定在先的質權。法官審理這一案件，應當判決甲信用社優先受償，就剩余部分，乙銀行受償。（5分）第三篇：離散數學期末考試試題及答案
第四篇：《機械制圖》期末考試試卷答案
第五篇：《物權法》期末考試試卷及答案
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