第一篇：近世代數期末考試試卷及答案

近世代數模擬試題三

一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1、6階有限群的任何子群一定不是（）。A、2階

B、3 階 C、4 階 D、6 階

2、設G是群，G有（）個元素，則不能肯定G是交換群。A、4個 B、5個 C、6個 D、7個

3、有限布爾代數的元素的個數一定等于（）。

A、偶數 B、奇數 C、4的倍數 D、2的正整數次冪

4、下列哪個偏序集構成有界格（）

A、（N,?）B、（Z,?）C、（{2,3,4,6,12},|（整除關系））D、(P(A),?)

5、設S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以與(123)交換的所有元素有（）

A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)C、(1)，(123)D、S3中的所有元素

二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

1、群的單位元是--------的，每個元素的逆元素是--------的。

2、如果f是A與A間的一一映射，a是A的一個元，則f?1?f?a???----------。

3、區間[1，2]上的運算a?b?{mina,b}的單位元是-------。

4、可換群G中|a|=6,|x|=8,則|ax|=——————————。

5、環Z8的零因子有-----------------------。

6、一個子群H的右、左陪集的個數----------。

7、從同構的觀點，每個群只能同構于他/它自己的---------。

8、無零因子環R中所有非零元的共同的加法階數稱為R的-----------。

n9、設群G中元素a的階為m，如果a?e，那么m與n存在整除關系為--------。

三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）

1、用2種顏色的珠子做成有5顆珠子項鏈，問可做出多少種不同的項鏈？

2、S1，S2是A的子環，則S1∩S2也是子環。S1+S2也是子環嗎？

3、設有置換??(1345)(1245)，??(234)(456)?S6。

1．求??和??1?；

2．確定置換??和??1?的奇偶性。

四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）

1、一個除環R只有兩個理想就是零理想和單位理想。

2、M為含幺半群，證明b=a-1的充分必要條件是aba=a和ab2a=e。

近世代數模擬試題三

參考答案

一、單項選擇題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。

1、C；

2、C；

3、D；

4、D；

5、A；

二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。

1、唯

一、唯一；

2、a；

3、2；

4、24；

5、9、mn；

6、相等；

7、商群；

8、特征；；

三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）

1、解 在學群論前我們沒有一般的方法，只能用枚舉法。用筆在紙上畫一下，用黑白兩種珠子，分類進行計算：例如，全白只1種，四白一黑1種，三白二黑2種，…等等，可得總共8種。

2、證 由上題子環的充分必要條件，要證對任意a,b∈S1∩S2 有a-b, ab∈S1∩S2：

因為S1，S2是A的子環，故a-b, ab∈S1和a-b, ab∈S2，因而a-b, ab∈S1∩S2，所以S1∩S2是子環。S1+S2不一定是子環。在矩陣環中很容易找到反例：

?1????(1243)(56)

3、解： 1．，??(16524)；

2．兩個都是偶置換。

四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）

1、證明：假定?是R的一個理想而?不是零理想，那么a?0??，由理想的定 3

?1a義a?1??，因而R的任意元b?b?1??

這就是說?=R，證畢。

2、證 必要性：將b代入即可得。充分性：利用結合律作以下運算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2(aba)=ab2a=e，所以b=a-1。

—————————————————————————————————————— 一．判斷題(每小題2分,共20分)

1.實數集R關于數的乘法成群.（）2.若H是群G的一個非空有限子集，且?a,b?H都有ab?H成立，則H是G的一個子群.（）3.循環群一定是交換群.（）4.素數階循環群是單群.（）

5.設G是有限群，a?G，n是a的階，若ak?e，則n|k.（）

6.設f是群G到群G的同態映射，H是G的子群，則f?H?是G的子群.（）7.交換群的子群是正規子群.（）8.設G是有限群，H是G的子群，則GH?|G|.（）|H|9.有限域的特征是合數.（）10.整數環Z的全部理想為形如nZ的理想.（）二．選擇題(每小題3分,共15分)11.下面的代數系統?G,??中，（）不是群.A.G為整數集合，?為加法； B.G為偶數集合，?為加法； C.G為有理數集合，?為加法； D.G為整數集合，?為乘法.12.設H是G的子群，且G有左陪集分類?H,aH,bH,cH?.如果H的階為6，那么G 的階G?（）

A.6；

B.24；

C.10；

D.12.4

13.設S3???1?,?12?,?13?,?23?,?123?,?132?,?，則S B.2；

C.3；

3中與元?123?不能交換的元的個數是

A.1；

D.4.14.從同構的觀點看，循環群有且只有兩種，分別是（）

A.G=（a）與G的子群；

B.整數加法群與模n的剩余類的加法群； C.變換群與置換群；

D.有理數加法群與模n的剩余類的加法群.15.整數環Z中，可逆元的個數是()。

A.1個

B.2個

C.4個

D.無限個 三．填空題(每小題3分,共15分)

16.如果G是全體非零有理數的集合，對于普通乘法來說作成一個群，則這個群的單位元是.17.n次對稱群Sn的階是____________.18.整數加法群Z關于子群nZ的陪集為.19.設N是G的正規子群，商群GN中的單位元是。

20.若R是交換環, a?R則主理想?a??____________.四．計算題(第21小題8分, 第22小題12分，共20分)21.令????6??123456??123456??????，???54321??231564??1????621354??，計算??,?.???123456?

22.設H?{(1),(123),(132)}是3次對稱群S3的子群，求H的所有左陪集和右陪集，并說明H是否是S3的正規子群.五．證明題(每題10分,共30分)

23.設G是群，H是G的子群，證明：a?G，則aHa?1也是子群

24.設G是群，H是G的正規子群.G關于H的陪集的集合為

GH?{gH|g?G}，證明：G/H對于陪集的乘法成為一個群，稱為G對H的商群.25.證明：域F上全體n?n矩陣的集合Mn?F?在矩陣的加法和乘法下成為環.一．判斷題(每小題2分,共20分)

1-10 ××√√√ √√√×√ 二．選擇題(每小題3分,共15分)11.D；12.B；13.C；14.B；15.B.三．填空題(每小題3分,共15分)16.1； 17.n!；18.?nZ,nZ?1,?,nZ??n?1??；

19.N；20.aR.四．計算下列各題(第21小題8分, 第22小題12分，共20分)

21.解：?????123456??546213?，???????????????4分? 6

??1???123456??.??????????????????8分

?312645?22.解：H的所有左陪集為

H?{(1),(123),(132)}，(???23)}????????????4分

?12?H?{(12),(13),；H的所有右陪集為

H?{(1),(123),(132)}，H?12??{(12),(13),(23)}.對???S3，有?H?H?，即H是正規子群.?????????12分 五．證明題(每題10分,共30分)

23.證明：因為H是G的子群，對任意x,y?H，有xy?H.???4分 由題意，對任意

?1,ax,y?H，有ax?1?1a?y?1aa，a從H而

??axa??ay?1?1?1a??axy?1?1a?aHa?1，即aHa?1也是子群.??????10分

24.證明：首先G???3分 H對于上述乘法是封閉的，且乘法滿足結合律.陪集H?eH是它的單位元，eHgH?egH?gH,?g?H.???7分 又任意gH，有gHgH?eH?gHgH，即gH是gH的逆元.???10分

25.證明：Mn?F?關于加法是封閉的，且滿足結合律，?????? 3分 零元是0n?n，對任意An?n?Mn?F?，有An?n???An?n??0n?n，即An?n的負元是?An?n.?1?1?1Mn?F?關于乘法是封閉的，且滿足結合律，單位元是En?n.?????? 8分

乘法關于加法的分配律成立.???????????????10分

第二篇：近世代數課程總結

近世代數基礎Ⅱ學習報告

現代數學

現代數學的主要研究方向為結構數學,結構反映事物構成部分之間的關系，部分與整體的關系,或幾種事物間的相互組成聯系?，F代數學的基礎是集合，在集合上附加代數結構、分析結構和拓撲結構或集合結構得到數學的各種分支。本門課程的主要學習內容就是以集合理論為基礎而逐步展開的。群論是在集合上賦予運算法則，形成群、環、域等基本的運算系統；流形同樣是在集合上賦予相應的結構而形成具有獨特性質的數學研究對象。這些抽象的理論往往會在實際系統中得到應用，用集合的思想去解決問題往往會提升效率。

一 抽象代數

1.1 群

定義

群是特殊的集合，它是一個包含了二元運算法則并滿足一定條件的集合。一般說來，群G是指對于某種運算法則?滿足以下四個條件的集合：

(1)封閉性：若a,b?G，則存在唯一確定的c?G使得a?b?c；

(2)結合律成立：任意a,b,c?G，有(a?b)?c?a?(b?c)；

(3)單位元存在：存在e?G對任意a?G，滿足a?e?e?a?a；

(4)逆元存在：對任意a?G，存在唯一確定的b?G使得a?b?b?a?e；若群還滿足交換律，則成為交換群或者阿貝爾群。

若群G中元素個數有限，則G為有限群；否則稱為無限群。有限群的元素個數稱為有限群的階。

子群

對于群G，若集合H?G對于群G上定義的二元運算構成一個群，則稱H是G的子群，記做H?G。

小結

在群論的研究中，我們需要關心的是個元素之間的運算關系，即群的結構，而不用去管某個元素的具體含義是什么。

1.2 環

當在一個集合上附加兩種代數運算，而這兩種運算是有機集合，可得到所謂的環。

定義

設R是一個非空集合，其上定義了兩種二元運算，通常表示為加法+和乘法?，若(1)(R,?)是交換群

(2)(R,?)是半群

(3)乘法對加法滿足分配律

則稱R為一個環。環也是一種群。

子環

環R的一個非空子集S，若對于R的兩種運算構成一個環，則稱S為R的子環。

整環

設R為含單位的環，且1?0。若R為沒有零因子的交換環，則稱R為整環。

1.3 域

域也是一種環，要求?要滿足交換律，除了有+的單位元還要有?的單位元(二者不等)，除了+的單位元外其他元素都有?的逆元。

1.4 群的應用

群是刻畫事物對稱性的有效工具，比如圖形的對稱、函數的對稱等。

二 微分幾何

微分幾何學是運用數學分析的理論研究曲線或曲面上一點的鄰域的性質，即研究一般曲線或曲面在小范圍上的性質。它主要包含曲線論和曲面論。曲線論主要就是Frenet公式，曲面論主要是從曲面上曲線的弧長公式推出曲面的第一基本形式（等距變換，保角變換，內蘊量的性質），從曲面與切平面間的有向距離推出第二基本形式，而曲率的推導順序是：曲面上曲線的曲率、法曲率、主曲率、高斯曲率和平均曲率。微分幾何有兩個十分重要的基礎：坐標變換和求導的技巧。在學習微分幾何之前需要熟練運用這兩個部分。

標架

標架，這一概念在張量分析的學習中曾經涉及到。張量可以看作一個實體（幾何體，幾何量），這個實體由這組分量和分量所對應的基共同構成。通常說的張量是不依賴于坐標系的，而觀察者和標架是等同的。用一個坐標系來充當觀察者，再配上時間坐標，標架成為四維的。坐標系和標架（或者觀察者）是不同的，同

一個標架下可以觀察到多個“坐標系”。

測地線

曲面上測地曲率恒等于零的曲線，稱為測地線。平面上的測地線就是直線； 測地線的概念就是平面上直線的概念在曲面上的推廣。曲面上的曲線，當且僅當它是直線或者它的主法向量處處是曲線的法向量時，它才是測地線。旋轉面上的經線是測地線，球面上的大圓周是測地線。

距離最短的曲線在相對論中的專業術語是測地線，事實上，相應于速度小于

C、等于c、大于c 的三種測地線分別稱為類時測地線，類光測地線和類空測地線。

三 微分流形

3.1微分流形的數學定義

n 維流形就是一個Hausdorff 空間，它的每一點有開鄰域與n 維歐式空間的開集同胚。微分流形是一類重要的拓撲空間，它除了具有通常的拓撲結構外，還添加上了微分結構，因而可以應用微積分學，從而就能建立一些微分幾何的性質。

3.2流形描述

流形（Manifold），是局部具有歐幾里得空間性質的空間。流形在數學中用于描述幾何形體，它們提供了研究可微性的自然的舞臺。物理上，經典力學的相空間和構造廣義相對論的時空模型的四維偽黎曼流形都是流形的實例。

3.3 流形的應用

可以把經典數學分析中的幾個著名公式，如格林公式、高斯公式、斯托克司公式等在高維的流形上，利用外微分，統一為一個形式。

空間最最本質的東西就是有關測度的概念。測度不同，導致空間定義，空間結構和形式的不同。歐氏空間和黎曼空間的區別也在于此，有了測度的概念，任何空間的構型就可以被決定，對空間的研究也就不再成問題。那么我們怎樣來度量空間，顯然歐氏空間已經不再十分湊效，我們只能選擇黎曼流形。這就是光在宇宙中為什么沿著一條測地線前進，而不是直線。

第三篇：近世代數第一章小結

第一章小結

本章主要研究群的有關問題：定義性質、子群及不變子群、三類重要的群——變換群、置換群、循環群、同態與同構，主要內容有：

一、基本概念

??子集--相等集合???交集??集合???集合運算?并集???積集（笛卡兒積）????????單射????映射?滿射? 預備知識?

?雙射????映射???變換????????代數運算????等價關系與分類???交換群（阿貝爾群Abel),（?a,b?G,有ab?ba）??????非交換群（?a,b?G，使ab?ba)?群定義??有限群G—階G?n?????無限群G—階G?????????子群???子群?正規子群 群??陪集--商群????變換群——由一個非空集合的若干一一變換構成的群??三種重要群??置換群——由n元有限集合的若干一一變換（置換）構成的群??循環群——每個元素都是某個元的冪???存在保運算的映射?同態?兩個群的關系???同構存在保運算的一一映射?單位元、逆元、元素的階、子群在群中的指數

.二、主要結論

1.群的基本性質： 1）——5），定理1.2.1，1.2.2； 2.元素階的性質：定理1.2.3---1.2.4 3．子群的判別條件（重點）

為群(1)任給（2）任給（3）任給 的非空子集.則 , 有 , 有 , 有 為 的子群的充分必要條件是: , 有

.，任給

.（只適合有限子集）

子群的性質：子群的交集仍是子群 4．陪集、商群性質

設 是 的子群, 則

（1）aH=Ha=H當且僅當 a∈H

（2）（3）

（4）集之并.（5）(拉格朗日定理)有限群 的任一元素a 的階都是群（7）設 為有限群.的任一子群 的階數是群 的階數的因子.且|G|=|H|[G：H]（6）有限群 當且僅當 當且僅當 , ，;;

可以表示成一些不相交的左(右)陪 的任何兩個左(右)陪集或者完全相同, 或者無公共元素.因此 的階數的因子.即|a|||G| , 則對任意的 ，.5.正規（不變）子群的判別條件

N是群 的子群，則N是G的不變子群的充要條件是（1）任意的（2）, 都有 aN=Na , ,;，.（3）6.變換群、置換群、循環群的結論

（1）一個集合A的所有一一變換作成一個變換群。(2)(凱萊定理)任一群都同構于一個變換群.推論：任一個有限群都同構于一個置換群.(3)

個元素的全體置換關于置換的乘法構成群.(4)每一置換可唯一表為若干個不相交輪換(循環置換)的乘積(5)每一循環置換都可以表為若干個對換的乘積.(6)

每一置換都可表為若干個對換的乘積

(7)設 為群, , 則|a|=|a-1|（8）設（9）設（10）設 為群, 為群, ,ΙaΙ=n且 , 則., 如果 |a|=n,則

|ar|=n/d(d=(r,n))

.則 為 階循環群，為 的生成元的充分必要條件是

（11）循環群必是交換群.（12）循環群的子群必是循環群

（13）設 為循環群, 且G=（a）則

如果

如果

7.同態、同構性質 , 則 , 則

;(1)設G是一個群，G 是一個非空集合，若G與G對于它們的乘法來說同態，則G也是一個群

(2)定理1.8.2 設 與G是群, 是 到G的同態映滿射.1)如果 是 的單位元, 則 ，是

是G的單位元;

在G中的逆元.即

2)對于任意的

(3)定理1.8.3-----滿射、單射的條件

(4)定理1.8.4——同態映射保子群、正規子群.(5)定理1.8.5------同態基本定理

三、基本方法與題型

1、群的判別----定義法

2、子群的判別方法（四種方法）：定義法； 定理1；定理2；定理3（有限）；

3、正規子群的判別方法（四種方法）：定義法； 定理1）-3）；

4、求有限群的子群方法：（重點掌握循環群的子群求法）

1）確定子群的可能階數； 2）按階數確定可能的子集；3）判斷哪個是子群。

5、求正規子群方法：1）求子群； 2）判別哪些子群是正規子群（交換群的子群都是正規子群）

6、求陪集：定義法

7、求商群方法：按定義

8、計算置換的乘積、逆、階----定義方法

9、把置換表成不相連的循環置換的乘積或對換的乘積

10、求元素的階：1）定義方法 2）有關性質

11、判別循環群方法：定義法

12、同態、同構映射的判斷：定義方法

13、群同態、同構的證明：構造同態或同構映射 14.單、滿、雙射的判斷----定義法 15.等價關系的判斷----定義法，傳遞性

第四篇：近世代數學習心得論文(中文英文對照)

近世代數學習心得

《抽象代數》是一門比較抽象的學科，作為初學者的我感到虛無飄渺，困難重重。我本來英語學的就不好，看到全英的《近世代數》我似乎傻眼了。通過兩個月的學習，發現它還是有規律有方法的。

針對“近世代數”課程的概念抽象、難于理解的特點，我認為理解概念的一種有效方法是多舉已學過的典型例子。多看多做，舉一反三。比如群論里面有一個最基本的問題就是n階有限群的同構類型有多少。圍繞這個問題可以引出很多抽象的概念，比如元素的階數，abel群，正規子群，商群，Sylow定理等，同時也會學到如何把這些理論應用到具體的例子分析中學習“近世代數”時，就僅僅背下來一些命題、性質和定理，并不意味著真正地理解。要想真正理解，需要清楚這些命題、性質和定理的前提條件為什么是必要的？而達到這個目的的最有效的方法就是構造反例。

其次是通過變換角度尋求問題的解法，通常是將已知或未知較復雜的問題變換為等價的較簡單的問題，或者是將新問題變換為已經解決的問題，或者是將未知與已知關系較少的問題變為已知與未知關系較多的問題等等

先參考著答案做題，然后自己總結方法思路，自己就開始會做了。問題在是否善于總結歸納。

以前學代數的時候從來沒有意識到代數是門很抽象的學科，總在練習的過程中靠點小聰明學過來，也由于這段路一直走得非常平坦，我從來沒停下來去想想其本身的理論體系的問題。現在想想，也許這就是我一直停留在考試成績一般，卻難以有所作為的原因吧。所以有時走得太快可能未必時間好事。很可惜現在才了解到這一點，同時也還算幸運，畢竟人還在青年，還來得及改正

Modern Algebra learning experience “Abstract Algebra” is a more abstract subjects, as a beginner , I feel vague , difficult.I had to learn English is not good to see the UK 's “Modern Algebra” I seem dumbfounded.Through two months of the study, it is found that there is a regular method.For the “ Modern Algebra ” course abstract concept , difficult to understand the characteristics , I believe that an effective way to understand the concept is to have learned to cite a typical example.See more and more , by analogy.Such as group theory which has a fundamental problem is a finite group of order n is isomorphic to type numbers.Around this problem can lead to many abstract concepts , such as the order of elements , abel group , normal subgroups , quotient groups , Sylow theorems , etc., but also learn how to put these theories to the analysis of specific examples to learn “ Modern Algebra ”, it is just back down a number of propositions , properties and theorems , does not mean that truly understand.To truly understand the need to clear these propositions , properties and theorems prerequisite Why is necessary ? To achieve this purpose the most effective way is to construct counterexample.Followed by changing the angle seek a solution, usually known or unknown to the more complex problem is converted into an equivalent simpler problem , or is transformed into a new problem has been solved , or is unknown with the known relations fewer problems become more known and unknown relationship problems, etc.Do question the answer to the first reference , and then summarize their way thinking that he began to do it.Whether good at summarizing the problem.Previously learned algebra algebra is never realized when the door is very abstract subject , always in the process of practice by learning a little smarter over, but also because this section has gone very flat , I never stopped to think about their own theoretical system problems.Now think about it , maybe this is what I have been stuck in test scores in general, but the reason it is difficult to make a difference.So sometimes a good thing going too fast may not be time.Unfortunately now I understand this, but also lucky , after all, people are still young , still have time to correct

第五篇：近世代數 第三章小結

第三章 環與域總結

第一節

加群、環的定義

定義：一個交換群叫做一個加群。

⑴一個加群的唯一的單位元叫做零元，記作0。

⑵元a的唯一的逆元叫做a的負元，記作-a，簡稱負a。環的定義：（R,?,?）

①（R+）是交換群（R對+封閉）；

②· ：R?R?R滿足結合律，即?a,b,c?R,?ab?c?a?bc? ③+和·都滿足分配律：即對?a,b,c?R滿足

a?b?c??ab?ac

?b?c?a?ba?ca

稱R在+和·運算下是環。①.R是一個加群；

②.R對于另一個叫做乘法的代數運算來說是閉的；

③.這個乘法適合結合律：

a?bc???ab?c，不管a,b,c是R的哪三個元；

④.兩個分配律都成立：

a?b?c??ab?ac,?b?c?a?ba?bc，不管a,b,c是R的哪三個元。

環滿足如下運算： ①0a?a0,對?a?R ②a?b?c??ab?ac

?a?b?c?ac?bc

③a??c????a?c?ac,??a???c??ac

?mn?m??n?④?a1?a2???an??b1?b2???bn????ai????bj????aibj

?i?1??j?1?i?1j?1定義：（R,?,?），若對?a,b?R,有ab?ba,即滿足交換律的環是交換環。

（R,?,?），若?e?R,對?a?R,ea?ae?a則稱e為R的一個單位元。一般地，一個環不一定有單位元。

（R,?,?），含有單位元e，,a?R若?b?R，使得ab?ba?e,則稱b是a的逆元。

（R,?,?），a?b,b?0，若ab?0,則稱a為左零因子，b為右零因子。既是左零因子又是右零因子的元叫做零因子。在交換群中無左右零因子，只有零因子。

定理：無零因子環里兩個消去律都成立： a?0,ab?ac?b?c（左消去）

a?0,ba?ca?b?c（右消去）

在一個環里如果有一個消去律成立，那么這個環沒有零因子。

推論：在一個環里如果有一個消去律成立，那么另一個消去律也成立。整環的定義：一個環R叫做一個整環，假如滿足： ①R是交換環：

ab?ba

②R是單位環，有單位元1：1a?a1?a

③R是無零因子環（滿足消去律）：ab?0?a?0或b?0

這里a,b可以是R中的任意元。

第二節 除環、域

除環的定義：一個環R叫做一個除環，假如滿足：

①R中至少包含一個不等于零的元

②R中有一個單位元

③R的每一個不等于零的元都有一個逆元 域的定義：一個交換除環叫做一個域。除環和域的幾個重要性質：

⑴除環沒有零因子（滿足消去律）

⑵一個除環的不等于零的元對于乘法來說作成的群R???R??0?，叫做R的乘群。因為 ① 封閉性?a?0,b?0,則ab?0?R??

② 滿足結合律

③ 有單位元1?0?R??

④ 有逆元?a?0,?a?1?0?R??

第三節 環的特征

定理：在無零因子環中，所有非零元在加法運算下的階是一致的，稱此階是環的特征。定理：無零因子環的特征要么是無窮，要么是素數。第四節 子環

子環的定義：一個環R的一個子集S叫做R的一個子環，假如S本身對于R的代數運算來說作成一個環。

一個環R的一個子集S叫做R的一個子除環，假如S本身對于R的代數運算來說作成一個除環。

第五節、同態 同態的定義：（R,?,?）（R,?,?）環，f：R?R映射，若滿足下列條件：

①?a,b?R,f?a?b??f?a??f?b? ②?a,b?R,f?ab??f?a??f?b? 若f是同態滿射，則稱R和R同態。

定理：（R,?,?），（R,?,?）,R與R同態，則f?0??0,f??a???f?a?,fa?1?f?a?。

?1?? 若R是交換環，則R是交換環。

定理：如果環R與R同構，則有：若R是整環，則R是整環；若R是除環，則R是除環；若R是域，則R是域。

定理：假定R和R是兩個環，且同態。那么R的零元的象是R的零元，R的元a的負元的象是a的象的負元。并且，假如R是交換環，那么R也是交換環；假如R有單位元1，那么R也有單位元1，而且1是1的象。

定理：假定S是環R的一個子環，S在R里的補足集合（這就是所有不屬于S的R的元作成的集合）與另一個環S沒有公共元，并且S?S,那么存在一個與R同構的環R，并且S是R的子環。

第六節 多項式環

多項式定義：一個可以寫成a0?a1????an?nai?R,n是?0的數形式的R0的元叫做

??R上的?的一個多項式，ai叫做多項式的系數。

多項式環的定義：R???叫做R上的?的多項式環。

未定元的定義：R0的一個元x叫做R上的一個未定元，假如在R里找不到不都等于零的元a0,a1,?,an，使得a0?a1x???anxn?0

多項式次數的定義：令a0?a1x???anx,an?0是環R上一個一元多項式。那么非負整數n叫做這個多項式的次數。多項式0沒有次數。對于給定的R0來說，R0未必含有R上的未定元。

定理1：給了一個有單位元的交換環R，一定有R上的未定元x存在，因此也就有R上的n多項式環R?x?存在。

無關未定元的定義：R0的n個元x1,x2,?,xn叫做R上的無關未定元，假如任何一個R上的x1,x2,?,xn的多項式都不會等于零，除非這個多項式的所有系數都等于零。

定理2：給了一個有單位元的交換環R同一個正整數n，一定有R上的無關未定元x1,x2,?,xn存在，因此也就有R上的多項式環R?x1,x2,?,xn?存在。

定理3：假如R?x1,x2,?,xn?和R??1,?2,?,?n?都是有單位元的交換環R上的多項式環，那么R?x1,x2,?,xn?與x1,x2,?,xn是R上的無關未定元，?1,?2,?,?n是R上的任意元，R??1,?2,?,?n?同態。

第七節 理想

理想的定義：環R的一個非空子集?叫做一個理想子環，簡稱理想。假如

①?a,b??,則a?b??

②?a??,?r?R,ra,ar??

注：理想是子環，但子環不一定是理想。

一個環至少有兩個理想：①只包含零元的集合，這個理想叫做R的零理想②R本身，稱單位理想。

定理1：除環只有兩個理想，即零理想和單位理想。

主理想的定義：a?R，由a生成的理想（即包含a的所有理想的交或包含a的最小理想）稱為主理想，記為（a）。第八節 剩余類環

剩余類的定義：對于給定的環R及其一個理想?，若只就加法來看，R作成一個群，?作成R的一個不變子群。這樣?的陪集?a?,?b?,?c?,?作成R的一個分類。我們把這些類叫做模?的剩余類。

定理1：假定R是一個環，?是它的一個理想，R是所有模?的剩余類作成的集合，那么R本身也是一個環，并且R與R同態。

剩余類環的定義：R叫做環R的模?的剩余類環，用符號R/?來表示。

定理2：假定R和R是兩個環，并且R和R同態，那么這個同態滿射的核?是R的一個理想，并且R/??R。

定理3：在環R到環R的一個同態滿射下，有 ①R的一個子環S的象S是R的一個子環； ②R的一個理想?的象?是R的一個理想； ③R的一個子環S的逆象S是R的一個子環； ④R的一個理想?的逆象?是R的一個理想。

第九節 最大理想 最大理想的定義：一個環R的一個不等于R的理想?叫作一個最大理想，假如除了R同?自己以外，沒有包含?的理想。

注：除環的最大理想是零理想（除環包括域）定理：?是R的理想（??R），R/?只有平凡理想??是R的最大理想。引理：R是含有單位元的交換環，若R只有平凡理想，則R是域。

定理：R是有單位元的交換環，?是環R的理想，則R/?是域??是最大理想。第十節 商域

定理1：每一個沒有零因子的交換環R都是一個域Q的子環。定理2：Q是所有元a?a,b?R,b?0?所作成的，這里a?ab?1?b?1a bb商域的定義：一個域Q叫做環R的一個商域，假如Q包含R，并且Q剛好是由所有元a?a,b?R,b?0?所作成的。b定理3：假定R是一個有兩個以上的元的環，F是一個包含R的域，那么F包含R的一個商域。

定理4：同構的環的商域也同構。一個環最多只有一個商域。

總結：

本章定理，推理及引理：

⒈在一個沒有零因子的環里兩個消去律都成立：

a?0,ab?ac?b?ca?0,ba?ca?b?c

反過來，在一個環里如果有一個消去律成立，那么這個環沒有零因子。

推論：在一個環里如果有一個消去律成立，那么另一個消去律也成立。2.在一個沒有零因子的環R里所有不等于零的元對于加法來說的階都是一樣的。3.如果無零因子環R的特征是有限整數n，那么n是一個素數。

推論：整環，除環以及域的特征或是無限大，或是一個素數p。

4.若是存在一個R到R的滿射，使得R與R對于一對加法以及一對乘法來說都同態，那么R也是一個環。

5.假如R和R是兩個環，并且R和R同態。那么R的零元的象是R的零元，R的元a的負元的象是a的象的負元。并且，假如R是交換環，那么R也是交換環；假如R有單位元1，那么R也有單位元1，并且1是1的象。

6.假定R同R是兩個環，并且R?R。那么，若R是整環，R也是整環；R是除環，R也是除環；R是域，R也是域。

7.假定S是環R的一個子環，S在R里的補足集合與另一個環S沒有共同元，并且S?S。那么存在一個與R同構的環R，并且S是R的子環。

8.給了一個有單位元的交換環R，一定有R上的未定元x存在，因此也就有R上的多項式環R?x?存在。

9.給了一個有單位元的交換環R同一個正整數n，一定有R上的無關未定元x1,x2,?,xn存在，因此也就有R上的多項式環R?x1,x2,?,xn?存在。

10.假如R?x1,x2,?,xn?和R??1,?2,?,?n?都是有單位元的交換環R上的多項式環，x1,x2,?,xn是R上的無關未定元，?1,?2,?,?n是R上的任意元，那么

R?x1,x2,?,xn?與R??1,?2,?,?n?同態。11.一個除環R只有兩個理想，就是零理想和單位理想。12.假如R是一個環，u是它的一個理想，R是所有模u的剩余類作成的集合，那么R本身也是一個環，并且R與R同態。

13.假定R同R是兩個環，并且R與R同態，那么這個同態滿射的核并且Ru是R的一個理想，u?R。

14.在環R到環R的一個同態滿射之下，i.R的一個子環S的象S是R的一個子環；

ii.R的一個理想u的象u是R的一個理想；

iii.R的一個子環S的逆象S是R的一個子環；

iv.R的一個理想

u的逆象u是R的一個理想； 15.假定R是一個有單位元的交換環，u是R的一個理想。Ru是一個域，當而且只當u是一個最大理想的時候。

16.每一個沒有零因子的交換環R都是一個域Q的子環。

aa(a,b?R,b?0)所作成的，這里?ab?1?b?1a。bb 18.假定R是一個有兩個以上的元的環，F是一個包含R的域，那么F包含R的一個商 17.Q剛好是由所有元域。

19.同構的環的商域也同構。

常用的計算規則：

⑴.0?a?a?0?a

⑵.?a?a?a?a?0

⑶.???a??a

⑷.a?c?b?c?b?a

⑸.??a?b???a?b,??a?b???a?b

⑹.m?na?mn?a,n?a?b??na?nb ⑺.?a?b?c?ac?bcc?a?b??ca?cb

⑻.0a?a0?0（這里的0都是R的零元）⑼.??a?b?a??b???ab ⑽.??a???b??ab

⑾.a?b1?b2???bn??ab1?ab2???abn

?b1?b2???bn?a?b1a?b2a???bna

⑿.?a1?a2???am??b1?b2???bn??a1b1???a1bn???amb1???ambn

⒀.?na?b?a?nb??n?ab?

⒁.aman?am?n

?a?mn?amn

數學與信息學院 09級數本（1）班 段 秀 寬 20092111869 2012.5.25