第一篇：無網(wǎng)格數(shù)值求解方法學(xué)習(xí)小結(jié)

無網(wǎng)格數(shù)值求解方法

——學(xué)習(xí)小結(jié)

一、無網(wǎng)格法的介紹

有限元法存在的那些問題都來源于網(wǎng)格，在用有限元方法處理諸如金屬沖壓成型、高速沖擊、動態(tài)裂紋擴(kuò)展、流固耦合等涉及大變形和移動邊界的問題時，由于網(wǎng)格可能發(fā)生嚴(yán)重扭曲，往往需要網(wǎng)格重構(gòu)，不但精度受到了嚴(yán)重影響，計(jì)算也大幅度提高，因此有限元方法在這些領(lǐng)域的應(yīng)用遇到了困難。

直接在有限元基礎(chǔ)上對其進(jìn)行改進(jìn)，效果自然不會達(dá)到最好，于是研究者把革命的對象鎖定在了網(wǎng)格上。幾經(jīng)嘗試以后，一種基于點(diǎn)集的插值方法被研究者廣泛采用，現(xiàn)今的無網(wǎng)格方法，一般就指的是這一類基于點(diǎn)集的數(shù)值方法。

無網(wǎng)格方法的位移函數(shù)是在點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)構(gòu)造的，并且這些區(qū)域是可以重疊的，因此在處理大變形和移動邊界等問題時，沒有網(wǎng)格的初始劃分和重構(gòu)問題，這不僅有利于這類問題計(jì)算精度的提高，還可以減少數(shù)值計(jì)算難度。

目前已存在十余種無網(wǎng)格方法，它們之間的區(qū)別主要在于試函數(shù)的選擇和微分方程的等效形式。雖然無網(wǎng)格方法對于大變形和移動邊界問題具有優(yōu)勢，但其存在收斂性、數(shù)值穩(wěn)定性和效率等問題，因此無網(wǎng)格方法還只能作為有限元方法的補(bǔ)充。

無網(wǎng)格方法基本思想是將有限元法中的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)去除，完全代之以一系列的結(jié)點(diǎn)排列。

二、求解方法方法

基于位移最小二乘(MLS)近似方法—EFG(Element-free Galerkin Method, Belytschko, 1994)。EFG方法計(jì)算穩(wěn)定，精度較高，是無網(wǎng)格方法中較為成熟的一種 方法。

無網(wǎng)格法就目前來說，仍沒有有限元法發(fā)展得那么快。而且，大規(guī)模地使用無網(wǎng)格法將大大增加計(jì)算時間。因此通常只需要在那些不連續(xù)、大變形或應(yīng)力集中區(qū)域使用無網(wǎng)格法進(jìn)行離散，如沖擊區(qū)域、裂紋擴(kuò)展區(qū)域、大變形區(qū)域等，其余區(qū)域仍然可采用其他數(shù)值方法。

微分方程組

?A

(u)=?A1(u)??A?2(u)??0 在 ?內(nèi) ? ?...??

邊界條件

?B1(u)B

(u)???? ?B(u)?2??0 在?上...???

等效積分形式? U TA?u?d???VTB ???u?d??0(*)等效積分弱形式

?CT?U?D?u?d???ET???V?F?u?d??0

2.1加權(quán)余量法

求解域Ω中，若場函數(shù)是精確解，則在域Ω中任一點(diǎn)都滿足微分方程，同時在邊界上任一點(diǎn)都滿足邊界條件式，此時等效積分形式或等效積分弱形式必

(**)

然嚴(yán)格地得到滿足。但是對于復(fù)雜的實(shí)際問題，這樣的精確解往往是很難找到的，因此, 人們需要設(shè)法找到具有一定精度的近似解。設(shè)u是一個近似解，即為試函數(shù)，它可以表示成為一組已知函數(shù)或Ritz基函數(shù)?i的線性組合，即

u?x????iTai??Ta

i?1n式中ai為待定系數(shù)或Ritz基坐標(biāo)。

將權(quán)函數(shù)代入加權(quán)余量積分式，由于系數(shù)?bj的任意性，有

??TTT?TR?ad???R????jA?jBa?d??0,j?1,2,?,m

?上式給出了m個方程。用于求解n個待定系數(shù)ai。如果m?n，則上式是超定的，需要借助于最小二乘法解。對上式進(jìn)行分部積分得到等效積分弱形式的近似形式

?C???D??a?d???E???F??a?d??0

?TjT?TjT2.2伽遼金法

按照對權(quán)函數(shù)的不同選擇就得到不同的加權(quán)余量的計(jì)算方法并賦以不同的名稱。如果取權(quán)函數(shù)與試函數(shù)相同，則稱為Galerkin方法。

?nT??nT?T?iai?d????jRB???iai?d??0 ????RA???i?1??i?1?Tj我們將會看到，在很多情況下，采用伽遼金法得到的求解方程的系數(shù)矩陣是對稱的，這是在用加權(quán)余量法建立有限元格式時幾乎毫不例外地采用伽遼金法的主要原因，而且當(dāng)存在相應(yīng)的泛函數(shù)時，伽遼金法與變分法往往導(dǎo)致同樣的結(jié)果。

2.3移動最小二乘近似

構(gòu)造方法：考慮求解域?，其中共有N個結(jié)點(diǎn)xi(i?1,2,?,N)，在各個結(jié)

點(diǎn)處有u0(xi)?ui，但u(xi)?ui?？紤]計(jì)算點(diǎn)x（對于無網(wǎng)格配點(diǎn)法為結(jié)點(diǎn)；對于伽遼金無網(wǎng)格方法為高斯積分點(diǎn)），其鄰域?x內(nèi)的近似函數(shù)可以寫為

?)??pi(x?)ai(x)?pT(x?)a(x)u(x,xi?1m

??[x?)為Rits基函數(shù)，ai(x)為Rits基坐標(biāo)或待求系數(shù)，x式中：pi(x計(jì)算點(diǎn)x鄰域?x內(nèi)任意點(diǎn)的坐標(biāo)，它包括x，m是基函數(shù)的個數(shù)。而

yz]是?)?[p1(x?)pT(x?)?pm(x?)]p2(x，aT(x)?[a1(x)a2(x)?am(x)]

值得注意的是，在經(jīng)典Ritz方法中，Ritz基坐標(biāo)是常數(shù)，并且基函數(shù)要滿足位移邊界條件。在式(1)中，基函數(shù)要滿足如下條件：

?)?1p1(x ?)?Cn(?)pi(x

式中：i?1,2,?,m，Cn(?)表示在域?內(nèi)具有直到n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)空間。2.4邊界條件

無網(wǎng)格方法的結(jié)點(diǎn)形函數(shù)多數(shù)都不滿足關(guān)系Nj?xi???ij，因此位移邊界條件的處理是比較困難的。若采用緊支徑向基函數(shù)來構(gòu)造形函數(shù)，則可以像一般有限元方法那樣來處理位移邊界條件。在MLS近似中，若選奇異函數(shù)為權(quán)函數(shù)，則近似函數(shù)具有插值特性即Nj?xi???ij，因此可以直接施加本質(zhì)邊界條件。對與其他情況，可以借助拉格朗日乘子方法來處理邊界條件。

拉格朗日乘子法包括兩種，一種是利用邊界積分中直接引入邊界條件，即

???ε?Tσ??uTf?d????uTpd??????u??uTλ+?λT?u-u??d??0

三、具體算例

左端固定的懸臂梁，右端面受拋物線剪切載荷作用

主程序：

tic clear;Lx = 20;Ly = 10;young = 210;nu=0.3;q =-1;a = 0;nx = 30;ny = 20;ndivl=10;ndivw=6;dmax=2.89;Dmat =(young/(1-nu^2))*[1 nu 0;nu 1 0;0 0(1-nu)/2];[x,numnod,dm] = mesh1(Lx,Ly,nx,ny,dmax);figure hold on plot(x(1,1:(ny+1)),x(2,1:(ny+1)),'k-','linewidth',3);axis equal;plot(x(1,(ny+1):(ny+1):numnod),x(2,(ny+1):(ny+1):numnod),'k-','linewidth',2);plot(x(1,numnod:-1:(numnod-ny)),x(2,numnod:-1:(numnod-ny)),'k-','linewidth',2);plot(x(1,1:(ny+1):(numnod-ny)),x(2,1:(ny+1):(numnod-ny)),'k-','linewidth',2);%plot(x(1,:),x(2,:),'k.');___axis off;plot(x(1,:),x(2,:),'k.');axis equal;axis off;hold off [xc,conn,numcell,numq] = mesh2(Lx,Ly,ndivl,ndivw);

[nnu,nnt,numT1,numT2] = mesh3(numq,xc,Lx,Ly,a);% nnu---% nnt---% numT1--% numT2--% numq-----quado = 4;[gauss] = gauss2(quado);numq2 = numcell*quado^2;gs = zeros(4,numq2);[gs] = egauss(xc,conn,gauss,numcell);[k]=kjuzhen(numnod,gs,x,dm,dmax,Dmat);rfa=400e12;[ka]=kajuzhen(numnod,nnu,numT1,xc,gauss,x,dm,dmax,rfa);K=k+ka;[f] = fjuzhen(numnod,nnt,numT2,xc,gauss,x,dm,dmax,q,Ly);%fa = zeros(2*numnod,1);%[fa] fajuzhen(nu,young,q,numnod,nnu,numT1,xc,gauss,x,dm,dmax,rfa,Ly);[fa] fajuzhen(nu,young,q,numnod,nnu,numT1,xc,gauss,x,dm,dmax,rfa,Lx,Ly)F=f+fa;u=zeros(2*numnod,1);for i=1:numnod u2(1,i)= u(2*i-1);u2(2,i)= u(2*i);end nx1=2;ny1=10;I = Ly^3/12;

=

=

for i=1:(ny1+1)xjm(1,i)= Lx/2;xjm(2,i)=-(Ly)/ny1*(i-1)+Ly;yjm(i)=-(Ly/ny1)*(i-1)+Ly/2;stress11ex(i)=-q*(Lx-xjm(1,i))* yjm(i)/I;stress12ex(i)= q/(2*I)*(Ly^2/4-yjm(i)^2);end ind = 0;enorm=0;for gg=xjm ind = ind+1;gpos = gg(1:2);v = domain(gpos,x,dm,numnod);L = length(v);en = zeros(1,2*L);[phi,dphix,dphiy] = shape(gpos,dmax,x,v,dm);Bmat=zeros(3,2*L);for j=1:L Bmat(1:3,(2*j-1):2*j)= [dphix(j)0;0 dphiy(j);dphiy(j)dphix(j)];end for i=1:L en(2*i-1)= 2*v(i)-1;en(2*i)= 2*v(i);end

stress(1:3,ind)= Dmat*Bmat*u(en);%stressex(1,ind)=;% stressex(2,ind)= 0;

% stressex(3,ind)= 0;% err = stress(1:3,ind)-stressex(1:3,ind);% err2 = weight*jac*(0.5*(inv(Dmat)*err)'*(err));% enorm = enorm + err2;end %uex=zeros(2,numnod);I = Ly^3/12;ind4 = 0;for i=1:numnod if(x(2,i)==Ly/2)ind4=ind4+1;uex2(ind4)

= q/(6*young*I)*(3*nu*(x(2,i)-Ly/2)^2*(Lx-x(1,i))+(4+5*nu)*(Ly/2)^2*x(1,i)+(3*Lx-x(1,i))*x(1,i)^2);end figure hold on plot(x(1,(ny+1)/2:(ny+1):numnod),u2(2,(ny+1)/2:(ny+1):numnod),'r.');plot(x(1,(ny+1)/2:(ny+1):numnod),uex2,'-');%plot(xz,u2jy,'o');xlabel('x/m','fontweight','bold');ylabel('ux/m','fontweight','bold');legend('Uynode','Exact Solution');hold off % figure % hold on % plot(xjm(2,1:(ny1+1)),stress(1,1:ind),'r*');% plot(xjm(2,1:(ny1+1)),stress11ex(1,1:ind),'.-');% legend('EFG Solution','exact solution');

% % xlabel('y/m','fontweight','bold');% ylabel('Stress ','fontweight','bold');% % hold off % % figure % hold on % plot(xjm(2,1:(ny1+1)),stress(3,1:ind),'r*');% plot(xjm(2,1:(ny1+1)),stress12ex(1,1:ind),'.-');% legend('EFG Solution','exact solution');% xlabel('y/m','fontweight','bold');% ylabel('Stress ','fontweight','bold');hold off Toc 矩形區(qū)域內(nèi)均勻節(jié)點(diǎn)布置：

解析解與無網(wǎng)格近似的比較：

第二篇：數(shù)值分析第六章學(xué)習(xí)小結(jié)

第六章

數(shù)值積分

--------學(xué)習(xí)小結(jié)

姓名

班級

學(xué)號

一、本章學(xué)習(xí)體會

本章主要講授了數(shù)值積分的一些求積公式及各種求積公式的代數(shù)精度，重點(diǎn)應(yīng)掌握插值型求積公式，什么樣的求積公式可以被稱為插值型求積公式，Newton-Cotes求積公式及其收斂性與數(shù)值穩(wěn)定性，復(fù)化求積公式和高斯求積公式，在本章的學(xué)習(xí)過程中也遇到不少問題，比如本章知識點(diǎn)多，公式多，在做題時容易張冠李戴，其次對Newton-Cotes求積公式的收斂性與數(shù)值穩(wěn)定性理解不夠透徹，處理一個實(shí)際問題時，不知道選取哪一種求積公式，來達(dá)到最精確的結(jié)果。

二、本章知識梳理

6.1求積公式及其代數(shù)精度

代數(shù)精度的概念：如果求積公式(6.1)當(dāng)f(x)為任何次數(shù)不高于m的多項(xiàng)式時都成為等式,而當(dāng)f(x)為某個m+1次多項(xiàng)式時(6.1)不能成為等式,則稱求積公式(6.1)具有m次代數(shù)精度。6.2插值型求積公式

（1）求積公式： Rn??abf(n?1)(?)?n?1(x)dx

(n?1)!（2）重要的定理：n+1個節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式至少具有n次代數(shù)度。（3）求積系數(shù)：

?k?0nAk?b?a

6.3Newton-Cotes求積公式及其收斂性與數(shù)值穩(wěn)定性

(n)f(xk)（1）公式：?f(x)dx???f(xk)?(b?a)?cka(n)kk?0k?0bnnnhn?2n(n?1)（2）截?cái)嗾`差：Rn?f(?)?(t?tj)dt

(n?1)!?0j?0（3）重要的定理：當(dāng)n為偶數(shù)時,n+1個節(jié)點(diǎn)的Newton-Cotes求積公式至少具有n+1次代數(shù)精度。

（4）常用的Newton-Cotes求積公式

n=1 梯形公式：?bab?af(x)dx?[f(a)?f(b)]

2(b?a)3f??(?),??(a,b)，具有一次精度。

余項(xiàng)：R1??12n=2 Simpson公式：?f(x)dx?abb?aa?b[f(a)?4f()?f(b)] 62(b?a)5(4)f(?),??(a,b)，具有三次精度。余項(xiàng)：R2??28806.4復(fù)化求積法

（1）復(fù)化梯形公式：

?

截?cái)嗾`差： ban?1hf(x)dx?[f(a)?f(b)?2?f(a?kh)]2k?1

RT??b?a2hf??(?),??[a,b]12

（2）復(fù)化Simpson公式：

?bamm?1hf(x)dx?[f(a)?f(b)?4?f(x2k?1)?2?f(x2k)]3k?1k?1

截?cái)嗾`差：

Rs??b?a4(4)hf(?),??[a,b]180

6.5Gauss型求積公式

（1）定義：若n個節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式(6.23)具有2n-1 次代數(shù)精度,則稱它為Gauss型求積公式。

（2）定理：n個節(jié)點(diǎn)的 Gauss型求積公式的代數(shù)精度為2n-1。

（3）定理：設(shè){gk(x),k?0,1,?}是區(qū)間[a,b]上帶權(quán)?(x)的正交多項(xiàng)式系,則求積公式(6.23)、式(6.24)是Gauss型求積公式的充分必要條件是它的求積節(jié)點(diǎn)是n次正交多項(xiàng)式gn(x)的n個零點(diǎn)。（4）求積系數(shù) 公式：

Ak??b?(x)gn(x)?(xk)(x?xk)gnadx,k?1,2,?,n

性質(zhì)：1.Ak?0,k?1,2,?,n

2.k?0?Ak???(x)dxanb

（5）求積公式的構(gòu)造 第一步：找高斯點(diǎn)

2g(x)?1,g(x)?x?a,g(x)?x?bx?c,?由正交性確定121）待定系數(shù)法：設(shè)0待定系數(shù)a,b,c,…..2）利用遞推公式 第二步：確定求積系數(shù)Ak 1）解線性方程組 2）Ak???(x)lk(x)dx,k?1,2,?,nab

lk(x)??

i?0i?knx?xi,k?1,2,?,nxk?xi

三、本章思考題

1.插值型求積公式有何特點(diǎn)？

答：插值型求積公式主要用于計(jì)算定積分的值。數(shù)學(xué)推導(dǎo)中用拉格朗日插值函數(shù)代替被積函數(shù)，其表現(xiàn)形式是有限個函數(shù)值的線性組合，而組合系數(shù)恰好是拉格朗日插值基函數(shù)的定積分。(n+1)個結(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精度一般不超過n。用數(shù)值求積公式計(jì)算定積分可以克服牛頓—萊布尼茲公式的弱點(diǎn)，但是數(shù)值計(jì)算結(jié)果帶有誤差。在用數(shù)值求積公式設(shè)計(jì)算法時，一般要考慮到誤差估計(jì)，還應(yīng)該使所求的數(shù)據(jù)結(jié)果的誤差得到控制。2.復(fù)化求積公式的誤差是如何估計(jì)的？

答：對于復(fù)化梯形公式可根據(jù)其截?cái)嗾`差公式，首先求得h?b?a，然后求nf(x)的二階倒數(shù)，判斷f(x)的二階倒數(shù)的單調(diào)性，然后在積分區(qū)間上求得f(x)的二階倒數(shù)的最大值就可以估計(jì)復(fù)化求積公式的誤差，利用估計(jì)出的復(fù)化求積公式的誤差還可以求得用復(fù)化梯形公式近似求解某一積分的有效數(shù)字有多少位。對于復(fù)化Simpson公式方法同估計(jì)復(fù)化梯形公式的誤差，只是截?cái)嗾`差公式有所改變，此時需求出f(x)的四階倒數(shù)然后判斷其最大值。

四、本章測驗(yàn)題

1問題：如果用復(fù)化梯形公式計(jì)算定積分?e?xdx，要求截?cái)嗾`差不超過

00.5?10?4，試問n至少取多少？

解：復(fù)化的梯形公式的截?cái)嗾`差為：RT??b?a3''hf??? 12RT?1b?a3hmaxf''(?)，而maxf''(?)?max(e?x)?1，h?

0?x?10?x?10?x?1n12將以上各式代入RT?b?a3hmaxf''(?)可得： 0?x?112b?a31?4 hmaxf''(?)??0.5?1020?x?11212nRT?解上述方程得n?40.8，取n?41，所以n至少取41。

第三篇：數(shù)值分析第五章學(xué)習(xí)小結(jié)

第五章

插值與逼近

--------學(xué)習(xí)小結(jié)

姓名

班級

學(xué)號

一、本章學(xué)習(xí)體會

本章為插值與逼近，插值與逼近都是指用某個簡單的函數(shù)在滿足一定的條件下，在某個范圍內(nèi)近似代替另一個較為復(fù)雜或者解析表達(dá)式未給出的函數(shù)，以便于簡化對后者的各種計(jì)算或揭示后者的某些性質(zhì)。通過對本章的學(xué)習(xí)熟練的掌握了幾種常用的正交多項(xiàng)式的應(yīng)用問題并且學(xué)會了利用遞推關(guān)系式和一些性質(zhì)，可以快速的寫出最佳平方逼近多項(xiàng)式，還有就是曲線擬合，通過本章的學(xué)習(xí)能夠熟練的使用最小二乘法去擬合所給的數(shù)據(jù)，并且能夠通過構(gòu)造正交多項(xiàng)式去擬合所給的數(shù)據(jù)。在本章的學(xué)習(xí)過程中也遇到不少問題，比如本章知識點(diǎn)多，公式多，在做題時容易張冠李戴，其次對正交多項(xiàng)式的性質(zhì)理解不夠透徹，這些問題在做題時就能夠體現(xiàn)出來，所以說通過做題才能發(fā)現(xiàn)問題所在。

二、本章知識梳理

5.1 Lagrange插值和Newton插值：

x?xj①Lagrange插值基函數(shù)lk(x)??,k?0,1,2，n；

j?0xk?xjnx?xj②Lagrange插值多項(xiàng)式pn(x)??yklk(x)??[?]yk；

x?xk?0k?0j?0kjnnj?kj?kn③節(jié)點(diǎn)選取原則：居中原則；

④Lagrange插值多項(xiàng)式的特點(diǎn)：直觀對稱，易建立插值多項(xiàng)式；但無繼承性。Newton插值主要是差商的理解與應(yīng)用，在做題過程中首先應(yīng)根據(jù)已知條件構(gòu)造差商表，然后根據(jù)差商表構(gòu)造插值多項(xiàng)式；

⑤截?cái)嗾`差的求?。?f(n?1)(?)f(n?1)(?)Rn(x)?w(n?1)(x)，并且f[x0,x1,...,xn]?w(n?1)(x)，計(jì)算時一(n?1)!(n?1)!般采用截?cái)嗾`差的估計(jì)式：Rn(x)?5.2 Hermite插值

插值公式：Hm?n?1(x)?pn(x)?qm(x)wn?1(x)，其中pn(x)應(yīng)根據(jù)已知條件，使用Newton插值法構(gòu)造Newton插值多項(xiàng)式，最后根據(jù)已知條件求解

Mn?1wn?1(x)。

(n?1)!Hm?n?1(x)。5.3 樣條插值

①定義在[a,b]上對應(yīng)與分劃?的K次樣條函數(shù)總可表示為：

1n?1s(x)??ajx??cj(x?xj)k?，所以要想確定s(x)，需要n+k個條件；

k!j?0j?1jk②三次樣條插值問題

（1）第一種邊界條件：

'''''''' y0?f''(x0),yn?f''(xn)并且s''(x0)?y0,s''(xn)?yn（2）第二種邊界條件：

'''' y0?f'(x0),yn?f'(xn)并且s'(x0)?y0,s'(xn)?yn（3）第三種邊界條件：

????s'(x0)?s'(xn),s''(x0)?s''(xn)

5.5正交多項(xiàng)式

b(f,g)???(x)f(x)g(x)dx

a學(xué)習(xí)本節(jié)要熟練掌握權(quán)函數(shù)和內(nèi)積的一些性質(zhì) 1.正交多項(xiàng)式的概念與性質(zhì)

①權(quán)函數(shù)：?(x)

b②內(nèi)積：(f,g)???(x)f(x)g(x)dx

ab③正交：(f,g)???(x)f(x)g(x)dx?0

a?0,i?j④正交函數(shù)系：(?i,?j)???(x)?i(x)?j(x)dx??

?ai?0,i?ja

克萊姆-施密特正交化方法：

b????0(x)?1?k?k?1??k?1(x)?x??akj?j(x)(k?0,1,)

j?0??k?1(x,?j)?其中a?(j?0,1，k)kj?(?,?)jj?2.幾種常用的正交多項(xiàng)式 ①Legendre多項(xiàng)式

?L0(x)?1??1dn2n?Ln(x)?n?n[(x?1)],n?1,2,2n!dx?

②Chebyshev多項(xiàng)式

Tn(x)?cos(narccosx),?1?x?1

③Laguerre多項(xiàng)式

dn(xne?x)Un(x)?e,n?0,1,dxnx

④Hermite多項(xiàng)式

dn(e?x)nHn(x)?(?1)e,n?0,1,dxnx22

5.6 函數(shù)的最佳平方逼近

①最佳平方逼近概念(f??,f??)?min(f??,f??)

??Hn??②最佳平方逼近的條件(f?p,?j)?0 ③ 最佳平方逼近元素是唯一的 ④最佳平方逼近元素的求法p(x)?**?c?(x)，求系數(shù)c*kkk?0n*k ⑤最佳平方逼近誤差??(f?p?,f?p?)

5.6.4曲線擬合

①曲線擬合的最小二乘法②擬合曲線的求法

[?(x)?y]?[?(x)?y]?min??*2iiiii?0?Di?0mm2

D?span{?0(x),?1(x)，?n(x)},n?m

?(x)??c*j?j(x)?D *j?0nA?[?0,?1，?n]，c?[c0,c1，cn]T

法方程為ATAc?ATy

還可以通過構(gòu)造正交多項(xiàng)式作為基函數(shù)組，然后去擬合給定的數(shù)據(jù)，此種方法不用求解矩陣，而是直接求解方程解出相應(yīng)的系數(shù)。

三、本章思考題

問題1：在使用最小二乘法擬合所給數(shù)據(jù)時，是不是多項(xiàng)式的次數(shù)越高，擬合的精度越高？

解：擬合的精度可以用誤差平方和?來描述，通常來說，如果能用一次項(xiàng)公式來擬合的，用二次公式或三次公式來擬合則方差會更??；同理，能用二次公式來擬合的，用三次公式則方差會更小。因此如果能用這三種之一來擬合的話，則通常是三次公式的方差蕞小。當(dāng)然如果三種擬合方式的均方差都小于預(yù)先所設(shè)定的范圍時，可以隨便選一種，通常是選越簡單的式子（比如一次公式），如果方差都比較大，那說明這幾種擬合方式都不太好，需尋找更合適的擬合。

問題2：插值與擬合的異同？

解：相同點(diǎn)：都需要根據(jù)已知數(shù)據(jù)構(gòu)造函數(shù)，可使用得到的函數(shù)來計(jì)算未知點(diǎn)的函數(shù)值。不同點(diǎn)：插值需要構(gòu)造的函數(shù)正好通過各插值點(diǎn),擬合則不要求,只要均方差最小即可，對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合時,函數(shù)形式通常已知,僅需要擬合參數(shù)值，擬合是給定了空間中的一些點(diǎn)，找到一個已知形式未知參數(shù)的連續(xù)曲面來最大限度地逼近這些點(diǎn)，而插值是找到一 個連續(xù)曲面來穿過這些點(diǎn)。

四、本章測驗(yàn)題

1問題描述：定義內(nèi)積：(f,g)??f(x)g(x)dx，試在H1?span1,x,x2中尋求

0??對于f(x)?x的最佳平方逼近元素p(x)。321解：?0(x)?1，?1(x)?x，?2(x)?x，(?0,?0)??1dx?1，(?1,?1)??x2dx?

30021111(?2,?2)??xdx?，(?2,?0)??x2dx?

530041111(?2,?1)??xdx?，(?1,?0)??xdx?

4200311222(?0,f)??xdx?，(?1,f)??x2dx?，(?2,f)??x2dx?

579000??1?1??2?1??31213141??2?3??c0??5??21641????2?,c1?,c2? ?.c1???，解的：c0?1053574????7???c1??2??2??5???9??1321517所求的最佳平方逼近的元素為：

p(x)??2164?x?x2 105357

第四篇：數(shù)值線性代數(shù)課程設(shè)計(jì)—超定方程組的求解

《數(shù)值線性代數(shù)課程設(shè)計(jì)》

專業(yè)： 信息與計(jì)算科學(xué)

班級： 13405011 學(xué)號： 1340501123 姓名： 實(shí)驗(yàn)日期：報(bào)告日期：實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)：邢耀光 數(shù)理學(xué)院五樓機(jī)房

2016.05.09

2015.05.13

超定方程組的求解

邢耀光

（班級：13405011 學(xué)號1340501123）

摘要：在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理和曲線擬合問題中，求解超定方程組非常普遍。比較常用的方法是最小二乘法。形象的說，就是在無法完全滿足給定條件的情況下，求一個最接近的解。最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)。它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。

關(guān)鍵字：最小二乘問題，殘量，超定方程組，正則化方程組，Cholesky分解定理。

正文：

最小二乘法的背景：

最小二乘法（又稱最小平方法）是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)。它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。最小二乘法還可用于曲線擬合。其他一些優(yōu)化問題也可通過最小化能量或最大化熵用最小二乘法來表達(dá)。最小二乘法經(jīng)常運(yùn)用在交通運(yùn)輸學(xué)中。

交通發(fā)生預(yù)測的目的是建立分區(qū)產(chǎn)生的交通量與分區(qū)土地利用、社會經(jīng)濟(jì)特征等變量之間的定量關(guān)系，推算規(guī)劃年各分區(qū)所產(chǎn)生的交通量。因?yàn)橐淮纬鲂杏袃蓚€端點(diǎn)，所以我們要分別分析一個區(qū)生成的交通和吸引的交通。

最小二乘問題：

最小二乘問題多產(chǎn)生于數(shù)據(jù)擬合問題。例如，假定給出m個點(diǎn)t1,...,tm和這m個點(diǎn)上的實(shí)驗(yàn)或觀測數(shù)并假定給出在ti上取值的n個已知函數(shù)?1(t),...,?n(t)?？紤]?i 的線性組合，f(x;t)?x1?1(t)?x2?2(t)?...?xn?n(t)，（1）

我們希望在t1,...,tm點(diǎn)上f(x;t)能最佳的逼近y1,...,ym這些數(shù)據(jù)。為此，若定義殘量 據(jù)y1,...,ymj?1

則問題成為：估計(jì)參數(shù)x1,...,xn，使殘量r1,...,rm盡可能地小。（2）式可用矩陣-向量形式表示為

ri(x)?yi??xj?j(ti)，i?1,...,m，（2）

n r(x)?b?Ax，（3）其中

??1(t1)??n(t1)??y1?????A?????, b????，??(t)??(t)??y?1mnm???m?

TT)r(x?(x,...x，x)?(r(x),...,r(x)).1nm1

當(dāng)m?n時，我們可以要求r(x)?0，則估計(jì)x的問題就可以用第一章中討論的方法解決。當(dāng)m?n時，一般不可能使所有殘量為零，但我們可要求殘向量r(x)在某種范數(shù)意義下最小。最小二乘問題就是求x使殘向量r(x)在2范數(shù)意義下最小。

定義1：給定矩陣A?Rm?n及向量b?Rm，確定x?Rn，使得

b?Ax2?r(x)2?minr(y)2?minAy?b2.（4）

y?Rny?Rn這就是所謂的最小二乘問題，簡稱為LS問題，其中的r(x)常常被稱為殘向量。

在所討論的最小二乘問題中，若r線性依賴于x，則稱其為線性最小二乘問題：若r非線性依賴于x，則稱其為非線性最小二乘問題。

最小二乘問題的解x又可稱做線性方程組

Ax?b,A?Rm?n

（5）的最小二乘解，即x在殘向量r(x)?b?Ax的2范數(shù)最小的意義下滿足方程組（5）。當(dāng)m?n時稱（5）式為超定方程組。

定理1:（Cholesky分解定理）若A?Rn?n對稱正定，則存在一個對角元均為正數(shù)的下三角陣L?Rn?n，使得

A?LL.（6）（6）式稱為Cholesky分解，其中的L稱作A的Cholesky因子。

因此，若線性方程組Ax?b的系數(shù)矩陣是對稱正定的，則我們自然可按如下的步驟求其解：

（1）計(jì)算A的Cholesky分解：A?LL ；

（2）求解Ly?b得y ；

（3）求解Lx?y得x； 簡單而實(shí)用的方法是直接比較A?LL兩邊的對應(yīng)元素來計(jì)算L。設(shè)

TTTT?l11???ll2122?.L?????????ll?lnn??n1n2T比較A?LL兩邊對應(yīng)的元素，得關(guān)系式

aij? 首先，由a11?l11，得

l11?再由ai1?l11li1，得

li1?ai1l11，i?1,...,n.這樣便得到了矩陣L的第一列元素。假定已經(jīng)算出L的前k?1列元素，由

akk?得 2?lp?1jipjpl，1?j?i?n（7）

a11.?lp?1k2kp，12?2? lkk??akk??lkp?.（8）

p?1??k?1再由

得

aik??liplkp?liklkk，i?k?1,...,n，p?1k?1k?1?? lik??aik??liplkp?lkk，i?k?1,...,n.（9）

p?1??這樣便求出了L的第k列元素。這種方法稱為平方根法。

記最小二乘解的解集為?LS，即

定理 ATAx?ATb.（10）

方程組（10）常常被稱為最小二乘問題的正則化方程組或法方程組，它是一個含有n個變量和n個方程的線性方程組。在A的列向量線性無關(guān)的條件下，AA對稱正定，故可用平方根法求解方程組（6），這樣，我們就得到了求解最小二乘問題最古老的算法———正則化方法，其基本步驟如下：

（1）計(jì)算C?AA, d?Ab;

（2）用平方根法計(jì)算C的Cholesky分解：C?LL;（3）求解三角方程組Ly?d和Lx?y.TTTTT

2：x??LS 當(dāng)且僅當(dāng)

?LS??x?Rn:x是LS問題(3)的解?，實(shí)驗(yàn) ：

一：超定方程組的求解

原理：設(shè)A是m?n階矩陣?m?n?，則線性方程組Ax?b為超定方程組，這里x?R,b?R。如

mm果A的秩為n，則稱A為列滿秩矩陣。超定方程組的解滿足法方程AAx?Ab，該解使得

TTb?Ax 22?min，稱之為最小二乘解。

?1??1 題目： ?1??1?1?TT1.11.12??1???2?1.21.22???2?1.31.3x??3?

??2?1.41.4??4??1.51.52??5???

用正則化方法求解，要求:（1）B?LL 不得使用MathCAD指令Cholesky；（2）B?LL使用MathCAD指令Cholesky。

?1??1解：（1）A??1??1?1? 1.11.12??6.58.55??51.21.22??T8.5511.375? 1.31.32? , 則 B?AA??6.5???1.41.42??8.5511.37515.298??1.51.52???15?B21?,20.5L??2.907 , g?ATb??L?B?2.236, 211111??L11??28.25??

L31? B312?3.824 , L22?B22??L21??0.316 , L11 4 LB32?L31L2132?L?0.822 , L??L2233?B3331??L32??0.037 , 22

?2.23600??2.2362.9073.824 即 L???2.9070.3160?0.037? , LT???00.3160.822????, ??3.8240.822???000.037??

?6.708??10 則y?L?1g???3.162?x??LT??1?y???10??? , ?? , ?9.273?10?13????2.478?10?11??

x即為所求的最小二乘解。

??11.11.12??11.21.22?（2）A????2.23600??11.31.32?cholesky(B)???2.9070.3160???11.41.42?????3.8240.8220.037???11.51.52??，?2.23600??2.2362.9073.824? 則 L???2.9070.3160???，LT??00.3160.822????3.8240.8220.037???000.037???，?6.708??10 則y?L?1g???3.162?x??LT??1?y???10??? , ??

?9.273?10?13????2.478?10?11??,x即為所求的最小二乘解。

二：已知如下數(shù)據(jù)： xi0.00.20.40.60.81.01.2yi0.91.92.83.34.05.76.5 利用最小二乘法擬合曲線 y?a1x?a2.??0.0??0.9??0.2??1.9?解：令B???0.00.20.40.60.81.01.2??0.4????2.8???0.91.92.83.34.05.76.5?? ,x???0.6???，y???3.3?? ?0.8??1.0??4.0?????5.7??????1.2?6.5????10.0??10.2??10.4???1 則A???10.6?X??ATA?ATy???0.843?4.571?，即p(x)?0.843?4.571x，?? , ?10.8????11.0????11.2??故最小二乘法擬合曲線為y?4.571x?0.843.程序附錄： 一；

??11.11.12????1??11.21.22???2??56.58.55A????11.31.32???b????3?Ax??bB??ATA g??AT?b, B???6.58.5511.375????11.41.42??8.5511.37515.298????,?4??5??, ，?11.51.52? ?f(B)??n?rows(B)

L?identityn()fork?1??nLk?k?Bk?kifk1k??1Lk?k?Bk?k??Lk?p?2otherwisep?1fori?k?1??nBL?ki?k?iLifk1k?k(break)ifknk?1Bi?k???Li?pLk?p?Li?k?p?1Lotherwisek?kL

?15?g???20.5?, ??, 28.25?，0?0??2.2360?2.2360?2.2362.9073.824?T?f(B)??2.9070.3160?L??2.9070.3160?L??00.3160.822??????00.037?3.8240.8220.037?,L??f(B),?3.8240.8220.037?,?0?，6.708?10????????3.16210y??x?????1?1?9.273?10?13??2.478?10?11?Ty??Lg , x???L?y ,??, ??，二；

?1??2?0.00.20.40.60.81.01.2??TT B???? , x???B? , y???B?, ?0.91.92.83.34.05.76.5?

?0??0.9?????0.2???1.9??0.4??2.8?x??0.6? ,y??3.3? , x?0, x?0.2,n??rows(x),n12?????0.8??4??1??5.7??1.2??6.5?????0?7,i??1??n , Ai?1??1，.?1??1?1A??x,AX??y,A??1i?2i??1?1?1?p(s)?0.843?4.571x.??0.2?0.4??1?0.843?,p(s)??XT??1?

T?T??Ay ,X??0.6,X??AA?????4.571??s?0.8?1??1.2?

心得體會：

通過本次的課程設(shè)計(jì)，讓我學(xué)會了很多，學(xué)會了簡單的MathCAD 軟件的用法。讓我更加深刻了解最小二乘問題，和以往對知識的疏忽得以補(bǔ)充。不僅掌握了學(xué)習(xí)的知識，而其還可以培養(yǎng)和熟練使用資料，運(yùn)用工具書的能力，把我們所學(xué)的課本知識與實(shí)踐結(jié)合起來，起到溫故而知新的作用。

參考文獻(xiàn)：

1，《數(shù)值線性代數(shù)》（第二版）北京大學(xué)出版社 徐樹方，高立，張平方，編著。2013.01

email：974671870qq.com

1340501123：邢耀光

2016.05.13

第五篇：社會調(diào)查方法學(xué)習(xí)小結(jié)

社會調(diào)查方法學(xué)習(xí)心得

學(xué)習(xí)了社會調(diào)查方法的課不僅讓我懂得了許多關(guān)于社會調(diào)查方法的理論，而且讓我思考了很多。作為一名現(xiàn)代大學(xué)生，大家是否對自己周圍的人、事、物做過深入的調(diào)查與分析?是否發(fā)現(xiàn)隱藏其中的內(nèi)在價值呢?其實(shí)，對我們身邊的每件小事進(jìn)行一次調(diào)查，都會發(fā)現(xiàn)許多有價值的東西，對我們的學(xué)習(xí)、工作、生活都會有很大幫助。

理論學(xué)習(xí)和社會實(shí)踐應(yīng)該是我們大學(xué)生活的兩個重要部分。大家都非?？释呦蛏鐣?，進(jìn)行社會實(shí)踐活動，把所學(xué)知識與社會實(shí)際問題結(jié)合起來?！渡鐣{(diào)查方法》課程就給了我們這樣一個鍛煉的機(jī)會。

整個學(xué)習(xí)過程分為如下幾個階段，先是大家分組，然后是大家討論實(shí)施方案匯報(bào)，老師給出改進(jìn)建議，接著每人設(shè)計(jì)一份問卷，匯總出一份綜合的問卷，然后分別展開調(diào)查，整理結(jié)果，小組分析討論，最后寫出小組的調(diào)查報(bào)告。第一階段：設(shè)計(jì)實(shí)施方案。

“萬事開頭難”，我們小組會出現(xiàn)一些錯誤，如：格式不對，項(xiàng)目不夠，內(nèi)容不符，質(zhì)量欠缺等等。但是，所有這些錯誤，我們都認(rèn)真地記錄了下來，并且小組討論解決，不懂得地方繼續(xù)詢問了老師，在李老師的認(rèn)真指導(dǎo)下，都逐漸地改正過來。這部分是便由我設(shè)計(jì)總結(jié)并且匯報(bào)的。第二階段：設(shè)計(jì)問卷

設(shè)計(jì)問卷很艱難，因?yàn)閱柧硪鞔_目的和內(nèi)容，在不詢問受訪人隱私的情況下，盡可能多的了解我們組調(diào)查課題的情況。所以我們采取了頭腦風(fēng)暴法，小組每個人都設(shè)計(jì)了一份問卷，然后我們討論整合，做出一份最為合理高效的問卷。接下來就是調(diào)查方法的問題了，調(diào)查方法很多，有問卷法，訪談法，觀察法，文獻(xiàn)法等。也有同時采用幾種方法的。而我們采用問卷星軟件發(fā)放問卷。我建議我們組選擇問卷星軟件進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查，小組成員一致同意。第三階段：展開調(diào)查。

問卷和提綱設(shè)計(jì)好以后，進(jìn)入調(diào)查的展開階段。同學(xué)們紛紛利用自己的人脈關(guān)系，調(diào)查本校的本科生。因?yàn)槲覀儾捎玫膯柧硇擒浖M(jìn)行了內(nèi)部設(shè)置，所以很高效的保證了問卷的有效性，因?yàn)榇蠹抑皇屈c(diǎn)開一個鏈接就可以填寫，所以受訪者很積極，問卷星給我們的工作提供了大量的幫助。第四階段：總結(jié)并寫出調(diào)查報(bào)告。

這是最后一步，但也是最難的一步了。小組成員經(jīng)過認(rèn)真細(xì)致地觀察和分析，調(diào)查與研究，收集資料，整理數(shù)據(jù)，最后得出結(jié)論，提出建議，寫成報(bào)告?？梢哉f，我們小組在這一階段付出的努力更多，花費(fèi)的時間也最多，由我整理匯總并寫出了十幾頁紙的報(bào)告。但是我們追求完美，不斷的反復(fù)研讀，完善報(bào)告，并請老師繼續(xù)指導(dǎo)我們，使我們的報(bào)告越來越完善。但是我對我的上臺報(bào)告并不太滿意，有些表述不清。

這門課程從開始到結(jié)束共用了10周左右的時間，最后在小組成員和老師的共同努力下，我們小組取得了圓滿成功。我們小組不但交出了一份完美的報(bào)告，而且大家收獲都很多。

我首先體會到了李老師的嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真，孜孜不倦，百教不厭，一絲不茍，和藹可親，熱情奉獻(xiàn)和全心負(fù)責(zé)。我們也體會到了小組成員的積極配合與努力上進(jìn)。作為組長，我安排的任務(wù)都能得到執(zhí)行，完成的也非常出色。在學(xué)習(xí)、調(diào)查的過程中，我們感受到的不僅是在完成一項(xiàng)任務(wù)，更是在熱情追求完美和執(zhí)著探索知識。調(diào)查結(jié)束后，我收獲了很多我在課堂上學(xué)不到的東西，收獲了許多在學(xué)習(xí)，生活，工作都有價值和幫助的東西。真正體會到的是理論聯(lián)系實(shí)際的意義，體味到學(xué)有所用的樂趣。另外，我覺得老師設(shè)計(jì)課的流程很好，講課方式也很舒服，指導(dǎo)我們小組的學(xué)習(xí)也是孜孜不倦，所以我們覺得這個課和老師都非常好，如果課堂上增加小組討論那就更加完美了。馬上要和這門課說再見了，還真有點(diǎn)依依不舍。每個人在自己的一生中能夠認(rèn)認(rèn)真真地完成幾件事確實(shí)是很不容易的。所以，在我們決定去做一件事時一定要全身心投入。“要么不做，要做就要最好”。

公141 潘悅141392