第一篇：數值分析學習總結感想
數值分析學習感想
一個學期的數值分析，在老師的帶領下，讓我對這門課程有了深刻的理解和感悟。這門課程是一個十分重視算法和原理的學科，同時它能夠將人的思維引入數學思考的模式，在處理問題的時候，可以合理適當的提出方案和假設。他的內容貼近實際，像數值分析，數值微分，求解線性方程組的解等，使數學理論更加有實際意義。
數值分析在給我們的知識上，有很大一部分都對我有很大的幫助，讓我的生活和學習有了更加方便以及科學的方法。像第一章就講的誤差，在現實生活中，也許沒有太過于注意誤差，所以對誤差的看法有些輕視，但在學習了這一章之后，在老師的講解下，了解到這些誤差看似小，實則影響很大，更如后面所講的余項，那些差別總是讓人很容易就出錯，也許在別的地方沒有什么，但是在數學領域，一個小的誤差，就很容易有不好的后果，而學習了數值分析的內容，很容易就可以將誤差鎖定在一個很小的范圍內，在這一范圍內再逼近，得出的近似值要準確的多，而在最開始的計算中，誤差越小，對后面的影響越小，這無疑是好的。
數值分析不只在知識上傳授了我很多，在思想上也對我有很大的影響，他給了我很多數學思想，很多思考的角度，在看待問題的方面上，多方位的去思考，并從別的例子上舉一反三。像其中所講的插值法，在先學習了拉格朗日插值法后，對其理解透徹，了解了其中的原理和思想，再學習之后的牛頓插值以及三次樣條插值等等，都很容易的融會貫通，很容易的就理解了其中所想，他們的中心思想并沒有多大的變化，但是使用的方式卻是不同的，這不僅可以學習到其中心內容，還可以去學習他們的思考方式，每個不同的思考方式帶來的都是不同的算法。而在看待問題上，不同的思考方式總是可以快速的全方位的去看透徹問題，從而知道如何去解決。
在不斷的學習中，知識在不斷的獲取，能力在不斷的提升，同時在老師的不懈講解下，我逐漸的發現數值分析所涵蓋的知識面特別的廣泛，而我所需要學習的地方也更加的多，自己的不足也在不斷的體現，我知道這只是我剛剛接觸到了數學的那一角，在以后我還會接觸到更多，而這求知的欲望也在不停的驅趕我，學習的越多，對今后的生活才會有更大的幫助。
計算132
2013014923
張霖
第二篇：數值分析學習心得體會
數值分析學習感想
一個學期的數值分析，在老師的帶領下，讓我對這門課程有了深刻的理解和感悟。這門課程是一個十分重視算法和原理的學科，同時它能夠將人的思維引入數學思考的模式，在處理問題的時候，可以合理適當的提出方案和假設。他的內容貼近實際，像數值分析，數值微分，求解線性方程組的解等，使數學理論更加有實際意義。
數值分析在給我們的知識上，有很大一部分都對我有很大的幫助，讓我的生活和學習有了更加方便以及科學的方法。像第一章就講的誤差，在現實生活中，也許沒有太過于注意誤差，所以對誤差的看法有些輕視，但在學習了這一章之后，在老師的講解下，了解到這些誤差看似小，實則影響很大，更如后面所講的余項，那些差別總是讓人很容易就出錯，也許在別的地方沒有什么，但是在數學領域，一個小的誤差，就很容易有不好的后果，而學習了數值分析的內容，很容易就可以將誤差鎖定在一個很小的范圍內，在這一范圍內再逼近，得出的近似值要準確的多，而在最開始的計算中，誤差越小，對后面的影響越小，這無疑是好的。
數值分析不只在知識上傳授了我很多，在思想上也對我有很大的影響，他給了我很多數學思想，很多思考的角度，在看待問題的方面上，多方位的去思考，并從別的例子上舉一反
三。像其中所講的插值法，在先學習了拉格朗日插值法后，對其理解透徹，了解了其中的原理和思想，再學習之后的牛頓插值以及三次樣條插值等等，都很容易的融會貫通，很容易的就理解了其中所想，他們的中心思想并沒有多大的變化，但是使用的方式卻是不同的，這不僅可以學習到其中心內容，還可以去學習他們的思考方式，每個不同的思考方式帶來的都是不同的算法。而在看待問題上，不同的思考方式總是可以快速的全方位的去看透徹問題，從而知道如何去解決。
在不斷的學習中，知識在不斷的獲取，能力在不斷的提升，同時在老師的不懈講解下，我逐漸的發現數值分析所涵蓋的知識面特別的廣泛，而我所需要學習的地方也更加的多，自己的不足也在不斷的體現，我知道這只是我剛剛接觸到了數學的那一角，在以后我還會接觸到更多，而這求知的欲望也在不停的驅趕我，學習的越多，對今后的生活才會有更大的幫助。
計算132 2013014923 張霖篇二：數值分析學習報告
數值分析學習心得報告
班級：11級軟工一班
姓名： * * * 學號: 20117610*** 指導老師：* * * 學習數值分析的心得體會
無意中的一次選擇，讓我接觸了數值分析。
作為這學期的選修課，我從內心深處來講，數值分析真的有點難。感覺它是在高等數學和線性代數的基礎上，又加深了探討。雖然這節課很難，我學的不是很好，但我依然對它比較感興趣。下面就具體說說我的學習體會，讓那些感興趣的同學有個參考。學習數值分析，我們首先得知道一個軟件——matlab。matrix laboratory，即矩陣實驗室，是math work公司推出的一套高效率的數值計算和可視化軟件。它是當今科學界最具影響力、也是最具活力的軟件，它起源于矩陣運算，并高速發展成計算機語言。它的優點是強大的科學運算、靈活的程序設計流程、高質量的圖形可視化與界面、便捷的與其他程序和語言接口。
根據上網搜集到的資料，你就會發現matlab有許多優點：
首先，編程簡單使用方便。到目前為止，我已經學過c語言，機器語言，java語言，這三個語言相比，我感覺c語言還是很簡單的一種編程語言。只要入門就很好掌握，但是想學精一門語言可不是那么容易的。慚愧的說，到目前為止，我依然處于入門階段，只會編寫小的簡單的程序，但是班里依然還是有學習好的。c語言是簡單且容易掌握的，但是，matlab的矩陣和向量操作功能是其他語言無法比擬的。在matlab環境下，數組的操作與數的操作一樣簡單，基本數據單元是不需要指定維數的，不需要說明數據類型的矩陣，而其數學表達式和運算規則與通常的習慣相同。
其次，函數庫可任意擴充。眾所周知，c語音有著豐富的函數庫，我們可以隨時調用，大大方便了程序員的操作。可是作為it人士的你知道嗎，由于matlab語言庫函數與用戶文件的形式相同，用戶文件可以像庫函數一樣隨意調用，所以用戶可任意擴充庫函數。這是不是很方便呢？
接著，語言簡單內涵豐富。數值分析所用的語言中，最重要的成分是函數，其一般形式為：function[a,b,c??]=fun(d,e,f??)，你也發現了吧，這樣的語音是不是很容易掌握呢！fun是自定義的函數名，只要不與庫函數想重，并且符合字符串書寫規則即可。
然后是豐富的工具箱。由于matlab 的開放性，許多領域的專家都為matlab 編寫了各種程序工具箱。這些工具箱提供了用戶在特別應用領域所需的許多函數，這使得用戶不必花大量的時間編寫程序就可以直接調用這些函數，達到事半功倍的效果。不過你得提前知道這些工具箱，并且會使用。
最后，我們來說一下matlab的運算。利用matlab可以做向量與矩陣的運算，與普通加減運算幾乎相似。
矩陣乘法用 “ * ” 符號表示，當a矩陣列數與b矩陣的行數相等時，二者可以進行乘法運算，否則是錯誤的。如果a或b是標量，則a*b返回標量a（或b）乘上矩陣b（或a）的每一個元素所得的矩陣。
對n×m階矩陣a和p×q階矩陣b，a和b的kronecher乘法運算可定義為： kronecker乘法的matlab命令為c=kron(a,b)：例如，在matlab中輸入： a=[1 2;3 4];b=[1 3 2;2 4 6];c=kron(a,b)則程序會給出相應的答案 c = 1 3 2 2 6 4 2 4 6 4 8 12 3 9 6 4 12 8 6 12 18 8 16 24 這就充分的考驗了我們的實際動手能力，當然運用一般的計算方法能算出結果，但相對來說沒有用它來運算節省時間，其他算法又很不方便。上面介紹了matlab的特點與使用方法，接著我們要說它的程序設計，其實跟c語言相比，它們的程序設計都差不多。
大家都知道，matlab與其它計算機語言一樣，也有控制流語句。而控制流語句本身，可使原本簡單地在命令行中運行的一系列命令或函數，組合成為一個整體—程序，從而提高效率。以下是具體的幾個例子，看過之后，你會發現，matlab的控制流語句跟其他計算機真的很相似：
（1）for 循環for循環的通用形式為：for v=expressionstatementsend其中expression 表達式是一個矩陣，因為matlab中都是矩陣，矩陣的列被一個接一個的賦值到變量v，然后statements語句運行。
（2）while 循環while循環的通用形式為：while v=expressionstatementsend當expression的所有運算為非零值時，statements 語句組將被執行。如果判斷條件是向量或矩陣的話，可能需要all 或any函數作為判斷條件。（3）if和break語句通用形式為：if 條件1，命令組1；elesif條件2，命令組2；??；else命令組k；endbreak%中斷執行，用在循環語句內表示跳出循環。對于數值分析這節課，我的理解是：只要學習并掌握好matlab，你就已經成功了。因此說，matlab是數學分析的基礎。另外，自我感覺這是一個很好的軟件，其語言簡便，實用性強。但是作為一個做新手，想要學習好這門語言，還是比較困難的。在平常的上機課中，雖然我沒有問過老師，但是我向那些學習不錯的學生還是交流了許多，比如說，張**，賈**，還有那個皮膚白白的女生。跟他們交流，我確實學到不少有用的東西。但是，畢竟沒有他們學得好，總之，在我接觸這門語言的這些天，除了會畫幾個簡單的三維圖形，其他的還是有待提高。在這個軟件中，雖然有help，但大家不要以為有了這個就萬事大吉了，反而，從另一個方面也對我們大學生提出了兩個要求——充實的課外基礎和良好的英語基礎。在現代，幾乎所有好的軟件都是來自國外，假如你不會外語，想學好是非常難的，即使高考中的英語比重降低了，但我們依舊得學好。這樣我們才能走得更遠。
其實想要學習好一們語言，不能只靠老師，靠朋友，關鍵是自己。每個人內心深處都是有抵觸意識的，不可能把老師的所有都學到。其實，我發現學習數值分析這門課，不光是學習一種語言，一些知識，更重要的是學習一種方法，一種學習軟件的方法，還有學習的態度。
在最后，我想說的是，謝謝郭老師的辛勤付出，我們每個學生都會看在眼里記在心里的，謝謝您。篇三：數值分析學習總結感想
數值分析學習感想 摘要:數值分析主要介紹現代科學計算中常用的數值計算方法及其基本原理，研究并解決數值問題的近似解，是數學理論與計算機和實際問題的有機結合。隨著科學技術迅速發展，運用數學方法解決工程技術領域中的實際問題，已經得到普遍重視。
作為這學期的考試課，在我最初接觸這門課時，我感到了很困難，因為無論是高數還是線性代數我都放下了很久，而我感覺數值分析是在高等數學和線性代數的基礎上，又加深了探討。雖然這節課很難，但是在老師不斷地引導和講授下，我逐漸對其產生了興趣。在老師的反復講解下，我發現我被它吸引了，因為它不僅是單純的學科，還教會了我許多做人生活的道理。
首先，數值分析這門課程是一個十分重視算法和原理的學科，同時它能夠將人的思維引入數學思考的模式，在處理問題的時候，可以合理適當的提出方案和假設。他的內容貼近實際，像數值分析，數值微分，求解線性方程組的解等，使數學理論更加有實際意義。
數值分析在給我們的知識上，有很大一部分都對我有很大的幫助，讓我的生活和學習有了更加方便以及科學的方法。像第一章就講的誤差，在現實生活中，也許沒有太過于注意誤差，所以對誤差的看法有些輕視，但在學習了這一章之后，在老師的講解下，了解到這些誤差看似小，實則影響很大，更如后面所講的余項，那些差別總是讓人很容易就出錯，也許在別的地方沒有什么，但是在數學領域，一個小的誤差，就會有很大的差別，而學習了數值分析的內容，很容易就可以將誤差鎖定在一個很小的范圍內，在這一范圍內再逼近，得出的近似值要準確的多，而在最開始的計算中，誤差越小，對后面的影響越小，這無疑是好的。數值分析中，“以點帶面”的思想也深深影響了我。這里的“點”是根本，是主線。在第二章學習插值法的時候是以拉格朗日插值、牛頓插值為主線，然后逐漸展開介紹艾爾米特插值、分段低次插值和三次樣條插值。在學習中只要將研究拉格朗日插值和牛頓插值的基本原理、基本方法理解透徹，其他的插值方法就基本掌握了。第四章處理數值積分和數值微分的基本方法是逼近法，只要將函數逼近的基本思想理解好，掌握起來就會得心應手；第六第七章是以迭代法為主線來求解線性方程組和非線性方程組的。在學習過程組只要將迭代法的相關原理掌
握好，便能掌握第六第七章。總的來數，數值分析所涉及到數學中很多學科的知識，內容比較復雜，因此在學習過程中一定要將基本原理、基本算法理解透，然后再逐步推廣。同樣在生活中每件事情都有它的主線，只要抓住這條主線再難的事情也會迎刃而解。
還比如“等價轉化”的思想，這里的“等價”不是完全意義上的“等價”，是指在轉化前后轉化的主體主要特征值沒有變。插值法的思想就是抓住已知函數或者已知點的幾個主要特征，用另一個具備主要特征的簡單函數來代替原函數或擬合已知數據點。實際生活中也有很多類似情況，已知事件或者面臨的情況往往是復雜的，常常不能直接用數學方法直接研究，我們可以做的就是抓住已經事件的主要特征轉化為數學模型來建立。
在不斷的學習中，知識在不斷的獲取，能力在不斷的提升，同時在老師的耐心講解下，我逐漸的發現數值分析所涵蓋的知識面特別的廣泛，而我所需要學習的地方也更加的多，自己的不足也在不斷的體現，我知道這只是我剛剛接觸到了數學的那一角，在以后我還會接觸到更多，而這求知的欲望也在不停的驅趕我，學習的越多，對今后的生活才會有更大的幫助。
希望在將來，通過反復的實踐能加深我的理解，在明年的這個時候我能有更多的感悟。同時，因為十五周的學習時間太短加上我的基礎薄弱，我決定明年繼續來旁聽老師的課程，達到進一步學習，加深理解的目的。
數值分析課程論文：
數值分析學習心得感悟
姓名：崔俊毅
學號：2015210211 專業：防災減災專碩
院系：土木工程學院篇四：數值分析學習報告
數值分析學習心得報告
班級：姓名：
學號: ************ *** *********** 學習數值分析的心得體會
數值分析是一門利用計算機求解數學問題數值解的課程,有很強的理論性和實踐性,無意中的一次選擇，讓我接觸了數值分析。隨著科學技術的發展，提出了大量復雜的數值計算問題，在建立電子計算機成為數值計算的主要工具以后，它以數字計算機求解數學問題的理論和方法為研究對象。有可靠的理論分析，要有數值實驗，并對計算的結果進行誤差分析。數值分析的主要內容包括插值法，函數逼近，曲線擬和，數值積分，數值微分，解線性方程組的直接方法，解線性方程組的迭代法，非線性方程求根，常微分方程的數值解法。
作為這學期的選修課，我從內心深處來講，數值分析真的有點難。感覺它是在高等數學和線性代數的基礎上，又加深了探討。雖然這節課很難，我學的不是很好，但我依然對它比較感興趣。下面就具體說說我的學習體會，讓那些感興趣的同學有個參考。學習數值分析，我們首先得知道一個軟件——matlab。matrix laboratory，即矩陣實驗室，是math work公司推出的一套高效率的數值計算和可視化軟件。它是當今科學界最具影響力、也是最具活力的軟件，它起源于矩陣運算，并高速發展成計算機語言。它的優點是強大的科學運算、靈活的程序設計流程、高質量的圖形可視化與界面、便捷的與其他程序和語言接口。
根據上網搜集到的資料，你就會發現matlab有許多優點： 首先，編程簡單使用方便。到目前為止，我已經學過c語言，機器語言，java語言，這三個語言相比，我感覺c語言還是很簡單的一種編程語言。只要入門就很好掌握，但是想學精一門語言可不是那么容易的。慚愧的說，到目前為止，我依然處于入門階段，只會編寫小的簡單的程序，但是班里依然還是有學習好的。c語言是簡單且容易掌握的，但是，matlab的矩陣和向量操作功能是其他語言無法比擬的。在matlab環境下，數組的操作與數的操作一樣簡單，基本數據單元是不需要指定維數的，不需要說明數據類型的矩陣，而其數學表達式和運
算規則與通常的習慣相同。
其次，函數庫可任意擴充。眾所周知，c語音有著豐富的函數庫，我們可以隨時調用，大大方便了程序員的操作。可是作為it人士的你知道嗎，由于matlab語言庫函數與用戶文件的形式相同，用戶文件可以像庫函數一樣隨意調用，所以用戶可任意擴充庫函數。這是不是很方便呢？
接著，語言簡單內涵豐富。數值分析所用的語言中，最重要的成分是函數，其一般形式為：function[a,b,c??]=fun(d,e,f??)，你也發現了吧，這樣的語音是不是很容易掌握呢！fun是自定義的函數名，只要不與庫函數想重，并且符合字符串書寫規則即可。
然后是豐富的工具箱。由于matlab 的開放性，許多領域的專家都為matlab 編寫了各種程序工具箱。這些工具箱提供了用戶在特別應用領域所需的許多函數，這使得用戶不必花大量的時間編寫程序就可以直接調用這些函數，達到事半功倍的效果。不過你得提前知道這些工具箱，并且會使用。
最后，我們來說一下matlab的運算。利用matlab可以做向量與矩陣的運算，與普通加減運算幾乎相似。
矩陣乘法用 “ * ” 符號表示，當a矩陣列數與b矩陣的行數相等時，二者可以進行乘法運算，否則是錯誤的。如果a或b是標量，則a*b返回標量a（或b）乘上矩陣b（或a）的每一個元素所得的矩陣。
對n×m階矩陣a和p×q階矩陣b，a和b的kronecher乘法運算可定義為： kronecker乘法的matlab命令為c=kron(a,b)：例如，在matlab中輸入： a=[1 2;3 4];b=[1 3 2;2 4 6];c=kron(a,b)則程序會給出相應的答案 c = 1 3 2 2 6 4 2 4 6 4 8 12 3 9 6 4 12 8 6 12 18 8 16 24 這就充分的考驗了我們的實際動手能力，當然運用一般的計算方法能算出結果，但相對來說沒有用它來運算節省時間，其他算法又很不方便。上面介紹了matlab的特點與使用方法，接著我們要說它的程序設計，其實跟c語言相比，它們的程序設計都差不多。
大家都知道，matlab與其它計算機語言一樣，也有控制流語句。而控制流語句本身，可使原本簡單地在命令行中運行的一系列命令或函數，組合成為一個整體—程序，從而提高效率。以下是具體的幾個例子，看過之后，你會發現，matlab的控制流語句跟其他計算機真的很相似：
（1）for 循環for循環的通用形式為：for v=expressionstatementsend其中expression 表達式是一個矩陣，因為matlab中都是矩陣，矩陣的列被一個接一個的賦值到變量v，然后statements語句運行。
（2）while 循環while循環的通用形式為：while v=expressionstatementsend當expression的所有運算為非零值時，statements 語句組將被執行。如果判斷條件是向量或矩陣的話，可能需要all 或any函數作為判斷條件。
（3）if和break語句通用形式為：if 條件1，命令組1；elesif條件2，命令組2；??；else命令組k；endbreak%中斷執行，用在循環語句內表示跳出循環。對于數值分析這節課，我的理解是：只要學習并掌握好matlab，你就已經成功了。因此說，matlab是數學分析的基礎。另外，自我感覺這是一個很好的軟件，其語言簡便，實用性強。但是作為一個做新手，想要學習好這門語言，還是比較困難的。在平常的上機課中，雖然我沒有問過老師，但是我向那些學習不錯的學生還是交流了許多，跟他們交流，我確實學到不少有用的東西。但是，畢竟沒有他們學得好，總之，在我接觸這門語言的這些天，除了會畫幾個簡單的三維圖形，其他的還是有待提高。在這個軟件中，雖然有help，但大家不要以為有了這個就萬事大吉了，反而，從另一個方面也對我們大學生提出了兩個要求——充實的課外基礎和良好的英語基礎。在現代，幾乎所有好的軟件都是來自國外，假如你不會外語，想學好是非常難的，即使高考中的英語比重降低了，但我們依舊得學好。這樣我們才能走得更遠。其實想要學習好一們語言，不能只靠老師，靠朋友，關鍵是自己。每個人內心深處都是有抵觸意識的，不可能把老師的所有都學到。其實，我發現學習數值分析這門課，不光是學習一種語言，一些知識，更重要的是學習一種方法，一種學習軟件的方法，還有學習的態度。
數值分析是研究分析用計算機求解數學計算問題的數值計算方法及其理論的學科，是數學的一個分支，它以數字計算機求解數學問題的理論和方法為研究對象。在科學研究和工程技術中有許多問題可歸結為求解方程組的問題。本文主要討論了插值法求函數，解線性方程組的求解方法，非線性方程組的解法及微分方程的解法，并通過在電流回路和單晶硅提拉過程中分析應用。進一步體現了數值分析的廣泛應用，實際上由于誤差的存在，一些問題只能求得近似解。對于良態方程組，只要求解方法穩定，即可得到比較滿意的計算結果。但對于病態方程組，即使使用穩定性好的算法求解也未必理想，還需進一步的研究。總之，數值分析可以通過計算方法進行一種比較完善的構造，使之更普遍化，能夠有舉一反三的思想，能夠解決一些實際中難解的問題，應用到各個領域。
在最后，我想說的是，謝謝老師的辛勤付出，我們每個學生都會看在眼里記在心里的，謝謝您。篇五：數值分析期末總結論文,程序界面 數值計算方法論文
論文名稱：數值計算方法期末總結
學 號：
姓 名：完成時間：
摘要：數值計算方法是數學的一個重要分支，以用計算機求解數學問題的理論和方法為研究對象。本文是我對本學期數值分析這門課程中所學到的內容以及所作的工作的總結。通過一學期的學習，我深入學習了線性方程組的解法，非線性方程的求根方法，矩陣特征值與特征向量的計算，函數的插值方法，最佳平方逼近，數值積分與數值微分，常微分方程初值問題的數值解法。通過陶老師課堂上的講解和課下的上機訓練，對以上各個章節的算法有了更深刻的體會。最后做了程序的演示界面，使得程序看起來清晰明了，便于查看與修改。通過本學期的學習。
關鍵詞：數值計算方法、演示界面
第一章 前言
隨著電子計算機的普及與發展，科學計算已成為現代科學的重要組成部分，因而數值計算方法的內容也愈來愈廣泛和豐富。通過本學期的學習，主要掌握了一些數值方法的基本原理、具體算法，并通過編程在計算機上來實現這些算法。
第二章 基本概念 2.1算法
算法是指由基本算術運算及運算順序的規定構成的完整的解題步驟。算法可以使用框圖、算法語言、數學語言、自然語言來進行描述。具有的特征：正確性、有窮性、適用范圍廣、運算工作量少、使用資源少、邏輯結構簡單、便于實現、計算結果可靠。2.2 誤差
計算機的計算結果通常是近似的，因此算法必有誤差，并且應能估計誤差。誤差是指近似值與真正值之差。絕對誤差是指近似值與真正值之差或差的絕對值；相對誤差：是指近似值與真正值之比或比的絕對值。誤差來源見表2.1 表
第三章 泛函分析 2.1泛函分析概要
泛函分析（functional analysis）是研究“函數的函數”、函數空間和它們之間變換（映射）的一門較新的數學分支，隸屬分析數學。它以各種學科為具體背景，在集合的基礎上，把客觀世界中的研究對象抽象為元素和空間。如：距離空間，賦范線性空間，內積空間。2.2 范數
范數，是具有“長度”概念的函數。在線性代數、泛函分析及相關的數學領
域，泛函是一個函數，其為矢量空間內的所有矢量賦予非零的正長度或大小。
這里以cn空間為例，rn空間類似。最常用的范數就是p-范數。若，那么
當p取1，2，∞的時候分別是以下幾種最簡單的情形： 1-范數：║x║1=│x1│+│x2│+?+│xn│ 2-范數：║x║2=（│x1│2+│x2│2+?+│xn│2）1/2 ∞-范數：║x║∞=max（│x1│，│x2│，?，│xn│）
其中2-范數就是通常意義下的距離。
對于這些范數有以下不等式：║x║∞ ≤ ║x║2 ≤ ║x║1 ≤ n1/2║x║2 ≤ n║x║∞
另外，若p和q是赫德爾（hölder）共軛指標，即1/p+1/q=1，那么有赫德爾不等式：
|
一般來講矩陣范數除了正定性，齊次性和三角不等式之外，還規定其必須滿足相容性：║xy║≤║x║║y║。所以矩陣范數通常也稱為相容范數。
如果║·║α是相容范數，且任何滿足║·║β≤║·║α的范數║·║β都不是相容范數，那么║·║α稱為極小范數。對于n階實方陣（或復方陣）全體上的任何一個范數║·║，總存在唯一的實數k>0，使得k║·║是極小范數。
注：如果不考慮相容性，那么矩陣范數和向量范數就沒有區別，因為mxn矩陣全體和mn維向量空間同構。引入相容性主要是為了保持矩陣作為線性算子的特征，這一點和算子范數的相容性一致，并且可以得到mincowski定理以外的信息。
第四章 算法總結
本學期講解過的主要算法列舉如下：線性方程組的解法（高斯消元法，列主消元法，doolittle分解法，追趕法，ldl分解法，jacobi分解法，seidel迭代法）；非線性方程的求根方法（二分法，簡單迭代法，newton迭代法，newton+下山因子，newton迭代法2，newton非線性方程）；矩陣特征值與特征向量的計算（householder矩陣，反冪法，冪法，qr分解）；函數的插值方法（三次樣條插值，lagrange插值法，newton差商插值法）；最佳平方逼近（chebyshev最小二乘法，曲線擬合最小二乘法）；數值積分與數值微分（simpson求積分式算法，romberg算法，外推法）；常微分方程初值問題的數值解法（歐拉改進法、龍格庫塔法和修正的adams法）。下面對主要算法進行分析。4.1線性方程組的解法 本章學習了一些求解線性方程組的常用方法，其中gauss消元法，列主元消元法，lu分解法，追趕法和ldl’分解法都是解線性方程組的直接方法；而jacobi迭代法和sor法則是解線性方程組的基本迭代法。求解線性方程組時，應該注意方程組的性態，對病態方程組使用通常求解方程組的方法將導致錯誤。迭代求精法可用于求解某些病態方程。4.1.1高斯列主元lu分解法求解線性方程組
高斯消元法和lu分解法是直接法求解線性方程組中的兩種方法。其中高斯消元法的基本思想是將線性方程組(1.1)通過消元，逐步化為同解的三角形方程組，然后用回代法解出n個解。高斯列主元消元法則是在高斯消元法的基礎上提(k?1)(k?1)a?0akkkk出的先選主元再消元的方法，避免了時消元無法進行或者是當的絕(k?1)a(i?k?1,k?2,ik對值與其下方的元素,n)的絕對值之比很小時，引起計算機
上溢或產生很大的舍入誤差而導致所求出的解失真的問題。lu分解法是將矩陣a用一個下三角矩陣和一個上三角矩陣之積來表示，即a?lu，然后由a?lu，ax?b，得lux?b，將線性方程組的求解化為對兩個三角形方程組ly?b和ux?y的求解，由此可解出線性方程組（1.1）的n個解x1,x2，xn。這兩種求解線性方程組的方法在處理單個線性方程組時沒有差別，只是方法的不同，但在處理系數矩陣a相同，而右端項不同的一組線性方程組時，lu分解法就有明顯的優勢，因為它是將系數矩陣a和右端項b分開處理的，這樣就可以只進行一次分解。例如，求解線性方程組ax?bi,i?1,2，m，用高斯消元法求解的計算量 1313mnn?mn2 大約為3，而用lu分解求解的計算量約為3，后者計算量顯然小很多。但是lu分解法同樣有可能由于ujj的絕對值很小而引起計算機上溢或產生很大的舍入誤差而導致所求出的解失真。因此提出了結合高斯列主元消元的lu分解法。
我們采用的計算方法是先將a矩陣進行高斯列主元消元，然后再計算相應的l矩陣和u矩陣（u矩陣就是經過n-1步消元后的a矩陣）。但要注意，第k步消元時會產生mik(i?k?1,k?2，n)，從而可以得到l矩陣的第k列元素，但在下一步消元前選取列主元時可能會交換方程的位置，因此與方程位置對應的l矩陣中的元素也要交換位置。4.2非線性方程組的求根方法
本章學習的二分法簡單迭代法、newton迭代法等方法，代表著求解非線性方程所采用的兩類方法。大范圍收斂方法的初值x0選取沒有多少限制，只要在含根區間任選其一即可，二分法就是這類方法。局部收斂法要求x0要充分靠近根x*才能保證收斂，以簡單迭代法為基礎，newton迭代法為代表的各類迭代法都屬這類方法。4.2.1newton迭代法
牛頓迭代法的構造過程是這樣的：設x0是f(x)?0的一個近似根，將f(x)在 f(x0)f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)2?x0處作taylor展開得2!，若取其
x?x?f(x)/f(x0)，然后再對x1做f(x)100前兩項來近似代替，得近似方程的根 f上述同樣處理，繼續下去，一般若(xk)?0，則可以構造出迭代格式 xk?1?xk?f(xk)f(xk)此格式稱為牛頓迭代格式，用它來求解f(x)?0的方法稱為牛頓迭代法。牛頓迭代法的幾何意義是用f(x)在xk處的切線與x軸得交點作為下一個迭代點xk?1的。由于這一特點，牛頓迭代法也常稱為切線法。
牛頓迭代法雖然收斂很快，但它通常過于依賴初值x0的選取，如果x0選擇不當，將導致迭代發散或產生無限循環。
第三篇：數值分析第六章學習小結
第六章
數值積分
--------學習小結
姓名
班級
學號
一、本章學習體會
本章主要講授了數值積分的一些求積公式及各種求積公式的代數精度，重點應掌握插值型求積公式，什么樣的求積公式可以被稱為插值型求積公式，Newton-Cotes求積公式及其收斂性與數值穩定性，復化求積公式和高斯求積公式，在本章的學習過程中也遇到不少問題，比如本章知識點多，公式多，在做題時容易張冠李戴，其次對Newton-Cotes求積公式的收斂性與數值穩定性理解不夠透徹，處理一個實際問題時，不知道選取哪一種求積公式，來達到最精確的結果。
二、本章知識梳理
6.1求積公式及其代數精度
代數精度的概念：如果求積公式(6.1)當f(x)為任何次數不高于m的多項式時都成為等式,而當f(x)為某個m+1次多項式時(6.1)不能成為等式,則稱求積公式(6.1)具有m次代數精度。6.2插值型求積公式
（1）求積公式： Rn??abf(n?1)(?)?n?1(x)dx
(n?1)!（2）重要的定理：n+1個節點的插值型求積公式至少具有n次代數度。（3）求積系數：
?k?0nAk?b?a
6.3Newton-Cotes求積公式及其收斂性與數值穩定性
(n)f(xk)（1）公式：?f(x)dx???f(xk)?(b?a)?cka(n)kk?0k?0bnnnhn?2n(n?1)（2）截斷誤差：Rn?f(?)?(t?tj)dt
(n?1)!?0j?0（3）重要的定理：當n為偶數時,n+1個節點的Newton-Cotes求積公式至少具有n+1次代數精度。
（4）常用的Newton-Cotes求積公式
n=1 梯形公式：?bab?af(x)dx?[f(a)?f(b)]
2(b?a)3f??(?),??(a,b)，具有一次精度。
余項：R1??12n=2 Simpson公式：?f(x)dx?abb?aa?b[f(a)?4f()?f(b)] 62(b?a)5(4)f(?),??(a,b)，具有三次精度。余項：R2??28806.4復化求積法
（1）復化梯形公式：
?
截斷誤差： ban?1hf(x)dx?[f(a)?f(b)?2?f(a?kh)]2k?1
RT??b?a2hf??(?),??[a,b]12
（2）復化Simpson公式：
?bamm?1hf(x)dx?[f(a)?f(b)?4?f(x2k?1)?2?f(x2k)]3k?1k?1
截斷誤差：
Rs??b?a4(4)hf(?),??[a,b]180
6.5Gauss型求積公式
（1）定義：若n個節點的插值型求積公式(6.23)具有2n-1 次代數精度,則稱它為Gauss型求積公式。
（2）定理：n個節點的 Gauss型求積公式的代數精度為2n-1。
（3）定理：設{gk(x),k?0,1,?}是區間[a,b]上帶權?(x)的正交多項式系,則求積公式(6.23)、式(6.24)是Gauss型求積公式的充分必要條件是它的求積節點是n次正交多項式gn(x)的n個零點。（4）求積系數 公式：
Ak??b?(x)gn(x)?(xk)(x?xk)gnadx,k?1,2,?,n
性質：1.Ak?0,k?1,2,?,n
2.k?0?Ak???(x)dxanb
（5）求積公式的構造 第一步：找高斯點
2g(x)?1,g(x)?x?a,g(x)?x?bx?c,?由正交性確定121）待定系數法：設0待定系數a,b,c,…..2）利用遞推公式 第二步：確定求積系數Ak 1）解線性方程組 2）Ak???(x)lk(x)dx,k?1,2,?,nab
lk(x)??
i?0i?knx?xi,k?1,2,?,nxk?xi
三、本章思考題
1.插值型求積公式有何特點？
答：插值型求積公式主要用于計算定積分的值。數學推導中用拉格朗日插值函數代替被積函數，其表現形式是有限個函數值的線性組合，而組合系數恰好是拉格朗日插值基函數的定積分。(n+1)個結點的插值型求積公式的代數精度一般不超過n。用數值求積公式計算定積分可以克服牛頓—萊布尼茲公式的弱點，但是數值計算結果帶有誤差。在用數值求積公式設計算法時，一般要考慮到誤差估計，還應該使所求的數據結果的誤差得到控制。2.復化求積公式的誤差是如何估計的？
答：對于復化梯形公式可根據其截斷誤差公式，首先求得h?b?a，然后求nf(x)的二階倒數，判斷f(x)的二階倒數的單調性，然后在積分區間上求得f(x)的二階倒數的最大值就可以估計復化求積公式的誤差，利用估計出的復化求積公式的誤差還可以求得用復化梯形公式近似求解某一積分的有效數字有多少位。對于復化Simpson公式方法同估計復化梯形公式的誤差，只是截斷誤差公式有所改變，此時需求出f(x)的四階倒數然后判斷其最大值。
四、本章測驗題
1問題：如果用復化梯形公式計算定積分?e?xdx，要求截斷誤差不超過
00.5?10?4，試問n至少取多少？
解：復化的梯形公式的截斷誤差為：RT??b?a3''hf??? 12RT?1b?a3hmaxf''(?)，而maxf''(?)?max(e?x)?1，h?
0?x?10?x?10?x?1n12將以上各式代入RT?b?a3hmaxf''(?)可得： 0?x?112b?a31?4 hmaxf''(?)??0.5?1020?x?11212nRT?解上述方程得n?40.8，取n?41，所以n至少取41。
第四篇：數值分析第五章學習小結
第五章
插值與逼近
--------學習小結
姓名
班級
學號
一、本章學習體會
本章為插值與逼近，插值與逼近都是指用某個簡單的函數在滿足一定的條件下，在某個范圍內近似代替另一個較為復雜或者解析表達式未給出的函數，以便于簡化對后者的各種計算或揭示后者的某些性質。通過對本章的學習熟練的掌握了幾種常用的正交多項式的應用問題并且學會了利用遞推關系式和一些性質，可以快速的寫出最佳平方逼近多項式，還有就是曲線擬合，通過本章的學習能夠熟練的使用最小二乘法去擬合所給的數據，并且能夠通過構造正交多項式去擬合所給的數據。在本章的學習過程中也遇到不少問題，比如本章知識點多，公式多，在做題時容易張冠李戴，其次對正交多項式的性質理解不夠透徹，這些問題在做題時就能夠體現出來，所以說通過做題才能發現問題所在。
二、本章知識梳理
5.1 Lagrange插值和Newton插值：
x?xj①Lagrange插值基函數lk(x)??,k?0,1,2，n；
j?0xk?xjnx?xj②Lagrange插值多項式pn(x)??yklk(x)??[?]yk；
x?xk?0k?0j?0kjnnj?kj?kn③節點選取原則：居中原則；
④Lagrange插值多項式的特點：直觀對稱，易建立插值多項式；但無繼承性。Newton插值主要是差商的理解與應用，在做題過程中首先應根據已知條件構造差商表，然后根據差商表構造插值多項式；
⑤截斷誤差的求取： f(n?1)(?)f(n?1)(?)Rn(x)?w(n?1)(x)，并且f[x0,x1,...,xn]?w(n?1)(x)，計算時一(n?1)!(n?1)!般采用截斷誤差的估計式：Rn(x)?5.2 Hermite插值
插值公式：Hm?n?1(x)?pn(x)?qm(x)wn?1(x)，其中pn(x)應根據已知條件，使用Newton插值法構造Newton插值多項式，最后根據已知條件求解
Mn?1wn?1(x)。
(n?1)!Hm?n?1(x)。5.3 樣條插值
①定義在[a,b]上對應與分劃?的K次樣條函數總可表示為：
1n?1s(x)??ajx??cj(x?xj)k?，所以要想確定s(x)，需要n+k個條件；
k!j?0j?1jk②三次樣條插值問題
（1）第一種邊界條件：
'''''''' y0?f''(x0),yn?f''(xn)并且s''(x0)?y0,s''(xn)?yn（2）第二種邊界條件：
'''' y0?f'(x0),yn?f'(xn)并且s'(x0)?y0,s'(xn)?yn（3）第三種邊界條件：
????s'(x0)?s'(xn),s''(x0)?s''(xn)
5.5正交多項式
b(f,g)???(x)f(x)g(x)dx
a學習本節要熟練掌握權函數和內積的一些性質 1.正交多項式的概念與性質
①權函數：?(x)
b②內積：(f,g)???(x)f(x)g(x)dx
ab③正交：(f,g)???(x)f(x)g(x)dx?0
a?0,i?j④正交函數系：(?i,?j)???(x)?i(x)?j(x)dx??
?ai?0,i?ja
克萊姆-施密特正交化方法：
b????0(x)?1?k?k?1??k?1(x)?x??akj?j(x)(k?0,1,)
j?0??k?1(x,?j)?其中a?(j?0,1，k)kj?(?,?)jj?2.幾種常用的正交多項式 ①Legendre多項式
?L0(x)?1??1dn2n?Ln(x)?n?n[(x?1)],n?1,2,2n!dx?
②Chebyshev多項式
Tn(x)?cos(narccosx),?1?x?1
③Laguerre多項式
dn(xne?x)Un(x)?e,n?0,1,dxnx
④Hermite多項式
dn(e?x)nHn(x)?(?1)e,n?0,1,dxnx22
5.6 函數的最佳平方逼近
①最佳平方逼近概念(f??,f??)?min(f??,f??)
??Hn??②最佳平方逼近的條件(f?p,?j)?0 ③ 最佳平方逼近元素是唯一的 ④最佳平方逼近元素的求法p(x)?**?c?(x)，求系數c*kkk?0n*k ⑤最佳平方逼近誤差??(f?p?,f?p?)
5.6.4曲線擬合
①曲線擬合的最小二乘法②擬合曲線的求法
[?(x)?y]?[?(x)?y]?min??*2iiiii?0?Di?0mm2
D?span{?0(x),?1(x)，?n(x)},n?m
?(x)??c*j?j(x)?D *j?0nA?[?0,?1，?n]，c?[c0,c1，cn]T
法方程為ATAc?ATy
還可以通過構造正交多項式作為基函數組，然后去擬合給定的數據，此種方法不用求解矩陣，而是直接求解方程解出相應的系數。
三、本章思考題
問題1：在使用最小二乘法擬合所給數據時，是不是多項式的次數越高，擬合的精度越高？
解：擬合的精度可以用誤差平方和?來描述，通常來說，如果能用一次項公式來擬合的，用二次公式或三次公式來擬合則方差會更小；同理，能用二次公式來擬合的，用三次公式則方差會更小。因此如果能用這三種之一來擬合的話，則通常是三次公式的方差蕞小。當然如果三種擬合方式的均方差都小于預先所設定的范圍時，可以隨便選一種，通常是選越簡單的式子（比如一次公式），如果方差都比較大，那說明這幾種擬合方式都不太好，需尋找更合適的擬合。
問題2：插值與擬合的異同？
解：相同點：都需要根據已知數據構造函數，可使用得到的函數來計算未知點的函數值。不同點：插值需要構造的函數正好通過各插值點,擬合則不要求,只要均方差最小即可，對實驗數據進行擬合時,函數形式通常已知,僅需要擬合參數值，擬合是給定了空間中的一些點，找到一個已知形式未知參數的連續曲面來最大限度地逼近這些點，而插值是找到一 個連續曲面來穿過這些點。
四、本章測驗題
1問題描述：定義內積：(f,g)??f(x)g(x)dx，試在H1?span1,x,x2中尋求
0??對于f(x)?x的最佳平方逼近元素p(x)。321解：?0(x)?1，?1(x)?x，?2(x)?x，(?0,?0)??1dx?1，(?1,?1)??x2dx?
30021111(?2,?2)??xdx?，(?2,?0)??x2dx?
530041111(?2,?1)??xdx?，(?1,?0)??xdx?
4200311222(?0,f)??xdx?，(?1,f)??x2dx?，(?2,f)??x2dx?
579000??1?1??2?1??31213141??2?3??c0??5??21641????2?,c1?,c2? ?.c1???，解的：c0?1053574????7???c1??2??2??5???9??1321517所求的最佳平方逼近的元素為：
p(x)??2164?x?x2 105357
第五篇：數值分析總結
一：1.數值分析的特點：1）首先要有可靠的理論分析，以確保算法在理論上的收斂性和數值上的穩定性。2）其次要對計算的結果進行誤差估計，以確定其是否滿足精度。3）還要考慮算法的運行效率即算法的運算量和存儲量。
2.數值分析的誤差種類：1）截斷誤差：模型的準確解與數值方法準確解之間的誤差。
2）舍入誤差：實數形式的原始數據與有限字長計算機數據間的誤差。
3.算法的數值穩定性與病態問題：1）若某算法受初始誤差或運算過程中的舍入誤差影響較小，則稱為數值穩定。2）若微小的初始誤差都會對最終結果產生極大的影響，則稱之為病態問題。
二：1.Runge現象及其解決方法
Runge現象即高次插值的振蕩現象，指增加節點固然能使插值函數 p(x)與被插值函數f（x）在更多的地方相等，但在兩點之間p(x)不一定能很好地近似f（x），有時候誤差非常大。
解決方法：分段低次插值（將插值區間分成若干小區間，在小區間內用低次插值）
2.樣條插值思想：插值函數p(x)在插值區間[a,b]上有二階光滑度，在分段的小區間
[xk,xk+1]上是低次多項式，同時滿足p(xi)=yi.三：理解逼近問題與擬合問題：1）逼近問題：函數f(x)在區間[a,b]具有一階光滑度，求多項式p(x)是f(x)-p(x)在某衡量標準下最小的問題。2）擬合問題：從理論上講y=f(x)是客觀存在的，但在實際中，僅僅從一些離散的數據（xi,yi）(i=1,2…)是不可能求出f(x)的準確表達式，只能求出其近似表達式φ（x）。
插值問題與逼近問題的特點和區別：1）相同點：它們都是求某點值的算法。
2）不同點：A，被插值函數是未知的，而被逼近函數是已知的。B，插值函數在節點處與被插值函數相等。而逼近函數的值只要滿足很好的均勻逼近即可。C，求p(x)的方法不同。
四：Romberg求積法和Gauss求積法的基本思想：
1）復化求積公式精度較高，但需要事先確定步長，欠靈活性，在計算過程中將步長逐次減半得到一個新的序列，用此新序列逼近I的算法為Romberg求積法。
2）對插值型求積公式，若能選取適當的xk.Ak使其具有2n+1階代數精度，則稱此類求積公式為Gauss型。
五.Runge-Kutta方法的基本思想：
借助于Taylor級數法的思想，將yn+1=yn+hy’(ξ)中的y’(ξ)（平均斜率）表示為f在若干點處值的線性組合，通過選擇適當的系數使公式達到一定的階。
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