第一篇：高中數學 算法案例變式練習

?變式練習

一、選擇題

1.用秦九韶算法求多項式

f(x)=2+0.35x+1.8x2－3.66x3+6x4－5.2x5+x6在x=－1.3的值時,令v0=a6;v1=v0x+a5;……v6=v5x+a0時,v3的值為()A.－9.8205

B.14.25

C.－22.445

D.30.9785 答案: C 2.三個數:4557、1953、5115的最大公約數是()A.31

B.93

C.217

D.651 答案:B

二、填空題

3.用冒泡法將字母“g,f,j,c,d,a,x,m”按字母順序排序時,得到“c,d,a,f,g,j,m,x”,此過程共進行了_________趟排序.答案:3 4.11001101(2)=___________(10),318(10)=___________(5).答案:205 2233 5.用冒泡法對數據31,17,34,4,22,8,19,1進行排序,經過三趟排序后得到的數列是______________.答案:4,17,8,19,1,22,31,34 分析:第一趟后:17,31,4,22,8,19,1,34;第二趟后:17,4,22,8,19,1,31,34;第三趟后:4,17,8,19,1,22,31,34;第四趟后:4,8,17,1,19,22,31,34;第五趟后:4,8,1,17,19,22,31,34;第六趟后:4,1,8,17,19,22,31,34;第七趟后:1,4,8,17,19,22,31,34.三、解答題

6.用等值算法求下列各數的最大公約數(1)63, 84;(2)351, 513.答案:(1)21;(2)27.7.用輾轉相除法求下列各數的最大公約數(1)5207,8323;(2)5671,10759.答案:(1)41;(2)53.8.求下列三個數的最大公約數.779,209,589 答案:19

54329.用秦九韶算法求多項式f(x)=7x+12x－5x－6x+3x－5在x=7時的值.答案:144468 10.將下列各數化成十進制數

(1)110100111(2);(2)76053(8);(3)2314(5).答案:(1)423;(2)31787;(3)334.11.將下列各數化為二進制和八進制的數

(1)102(10);(2)355(10);(3)60(10);(4)256(10).用心

愛心

專心 答案:(1)102(10)=1100110(2)=146(8);(2)355(10)=101100011(2)=543(8);(3)60(10)=111100(2)=74(8);(4)256(10)=100000000(2)=400(8).用心

愛心專心2

第二篇：高中數學 算法案例思維過程教案

?思維過程

【例1】用“等值算法”求161、253的最大公約數.分析:所謂“等值算法”就是以兩個數中較大的數減去較小的數,以差和較小的數構成新的一對數.對于這一對數,再用大數減去小數,用同樣的方法一直做下去,直到得到兩個相等的數,這個數就是最大公約數.解:253－161=92;161－92=69;92－69=23;69－23=46;46－23=23;即(161,253)→(92,161)→(69,92)→(23,69)→(23,46)→(23,23)所以253和161的最大公約數為23.【例2】求1734,816,1343的最大公約數.分析:三個數的最大公約數分別是每個數的約數,因此也是任意兩個數的最大公約數的約數,也就是說三個數的最大公約數是其中任意兩個數的最大公約數與第三個數的最大公約數.解法一:等值算法

先求1734和816的最大公約數, 1734－816=918;918－816=102;816－102=714;714－102=612;612－102=510;510－102=408;408－102=306;306－102=204;204－102=102.即(1734,816)→(816,918)→(816,102)→(714,102)→(612,102)→(510,102)→(408,102)→(306,102)→(204,102)→(102,102).所以 1734和816的最大公約數是102, 再求102和1343的最大公約數, 1343－102=1241;1241－102=1139;1139－102=1037;1037－102=935;935－102=833;833－102=731;731－102=629,629－102=527;527－102=425;425－102=323;323－102=221;221－102=119;119－102=17;102－17=85;85－17=68;68－17=51;51－17=34;34－17=17.所以1343與102的最大公約數是17,即 1734,816,1343的最大公約數是17.解法二:輾轉相除法

先求1734和816的最大公約數, 1734=816×2+102;816=102×8;所以1734與816的最大公約數為102.再求102與1343的最大公約數, 1343=102×13+17;102=17×6;所以1343與102的最大公約數為17,即1734,816,1343的最大公約數為17.【例3】有甲、乙、丙三種溶液,分別重

413 kg、3 kg、2 kg千克.先要將它們分別641

用心

愛心

專心 全部裝入小瓶中,每個小瓶裝入液體的重量相同.問:每瓶最多裝多少？

分析:根據題意,每個小瓶裝的溶液的質量應是三種溶液質量的最大公約數.先求任意兩個數的最大公約數,然后再求這個數與第三個數的最大公約數.125***080==;3==;2==;663644369936******05－=;－=;－=;***636105***51560－=;－=;－=;******301515－=;－=;－=;***6361315即4,3的最大公約數為.643680***01535351520－=;－=;－=;－=;***63636363620***5－=;－=;－=.***6361325即4、3、2的最大公約數是.649365因此每瓶最多裝 kg.3665432【例4】用秦九韶算法求多項式f(x)=3x+12x+8x－3.5x+7.2x+5x－13在x=6時的值.解:f(x)=(((((3x+12)x+8)x－3.5)x+7.2)x+5)x－13 u0=3;u1=3×6+12=30;u2=u1×6+8=180+8=188;u3=u2×6－3.5=188×6－3.5=1128－3.5=1124.5;u4=u3×6+7.2=1124.5×6+7.2=6747+7.2=6754.2;u5=u4×6+5=6754.2×6+5=40525.2+5=40530.2;u6=u5×6－13=40530.2×6－13=243181.2－13=243168.2.所以f(6)=243168.2.【例5】填空:用冒泡排序法將下列各數排序

12,7,50,18,21,3,6排序時,請你填上第二趟和第四趟的順序.解:4

12750***2***82***150

解:

用心

愛心

專心 2

12750***2***62*********150用心

愛心

專心 3

第三篇：高中數學課堂中變式教學的案例分析

高中數學課堂中變式教學的案例分析

摘要：變式教學，核心是利用構造一系列變式的方法來展現出知識的變化發展，體現數學結構的演變，同時創造出一種變式思維方式，促進有效思維的發展。將題目的本質固定不變，解題思路或解題方法多樣化來拓展思維空間，加強訓練，突出要強調的本質要素。本文通過分析高中數學變式教學的方式，來闡述變式教學的重要性，體現變式教學的作用。

關鍵詞：高中數學； 變式教學 ；拓展性思維

數學是研究數量、結構、變化以及空間模型等概念的一門學科。信息時代的到來使得人們對于數學越來越關注，數學也由此作為從小培育的科目。在高中，數學的地位更是無與倫比，一度有“得數學者得高考”這一說法。因為數學獨特的魅力和至高的地位，數學的學習方法也逐漸由專人來研究發表。近年來，數學的變式教學這一方式頗受重視，變式教學著重培養發散性思維，強調一題多解或變化多種題型而不改變其解題本質。

1.高中數學變式教學的基本原則

變式教學有著獨特的技巧，一般來說，在課堂中進行變式教學時，要有著變式的意義，如果變式的目的不能達到使學生得到多樣性思考，或是變式的結果沒有答案，那么這種變式就是失敗的，沒有意義可言。變式教學的原則還得具有啟迪性，能夠給學生帶來思考，下次面對類似題型的時候，能夠舉一反三。要知道，天下題目萬變不離其宗，即使是高考的數學題目，相信也是變式得到的拓展型題型，掌握試題的本質就能夠面對所謂創新而無所畏懼。與此同時，變式教學要有著創新性，只拘泥于一種題型的變式不能得到更多的效果，數學題目就是要不斷地創新發展，不斷變化，才能符合實際教學和學生實際學習的需要。

2.高中數學變式教學研究分析

2.1概念性變式

數學的概念給給學生進行教學一般分為概念形成、概念深化和概念應用三個階段，它們分別是概念教學的基礎、前提和目的。例如異面直線的概念為：不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線，變式之后可以理解為①空間兩條不相交直線是異面直線②不相交和不平行的直線稱為異面直線③不同在同一個平面內的兩條直線是異面直線④分別在兩個不同平面內的兩條直線是異面直線。這一結論可以通過立體的圖形設計出多樣的位置關系，直觀的發映出異面直線概念的特征，從而對學生解題思路加以擴展。在概念形成階段到概念運用階段，即表象-定義-理解-運用的過程中，不同的學生會有不用的理解差異，這就需要教師因材施教，給學生最正確的解釋。

2.2過程性變式

學生通過對概念的理解之后，就要開始習題的練習以鞏固學到的知識。但這種鞏固不能是機械式的照本宣科的聯系，將習題進行變換，從簡單到復雜，逐漸鍛煉學生獨立思考的能力和解題能力。一般的教學過程中，教師會先給學生復習概念，然后給出初步的較為簡單的命題，給學生分析思路，作出解答，這種方法較為常見，但是略顯枯燥，無法激發學生獨立思考的動力，對知識的鞏固也就不能得以完善。如在學習函數時，函數的幾點特征如單調性、區間等都是要著重講解的，面對同樣的函數例如y=x2，在沒有區間限制的情況下，是先減后增，但是在區間限制的情況下，就有著不同的解釋，對區間變化就會有多種不同的答案。這樣可以拓展學生的思維能力和想象空間，尋找到好的解題方法。一種好的解題方法能將數學知識綜合系統的聯系起來，而多種方法解題有利于思路的擴展，掌握數學基本知識并綜合利用。

3.高中數學變式教學研究方法

高中數學變式的教學研究方法有文獻綜述法和案例研究法。文獻綜述法即通過對已有文獻的研究，總結歸納多種教學方式，尋找到適合自己的教學方式，繼而對自己的教學方式進行總結，形成獨具一格的教學體系。案例研究法則是在文獻綜述法的基礎上進行實踐研究，通過變式來檢驗教學成果，檢測學生是否掌握了理論性知識，是否能夠自主的思考來解決難題。變式教學對高中數學教育相當重要，在例題的設計上，要有針對性，針對結論的本質特征進行設計，設計要有層次性，用復雜的題目加強鞏固。設計的變式題目中表面上是看不出來有什么特別的聯系，但是本質卻是相同的，只是需要換個思路或者換個方法就能總結出一般規律，得到想要的結果。

4.高中數學變式教學作用

高中數學變式教學是一項重要的教學方式，高考中幾乎大題目都有兩點以上的小問題，一般第一題比較簡單，第二題第三題則是在第一題的基礎上變式得到的，雖然具有迷惑性，但是本質是不變的。在課堂上，教師就通過變式來進行知識點的深入理解和講解。變式教學能夠幫助學生提高對知識的理解，加強記憶，比如說前文提到的異面直線的問題，光是給學生進行概念性的講解并不能幫助他們理解問題，但是輔以立體圖形，更能直觀的表現異面直線不相交的特點，提高學生對知識理解的準確性。同時要知道，數學上對于正確理論追求的是深刻性思維，變式教學是在理論和例題的基礎上進行的升華，難度性是可想而知的，要想得到提高，一定要對基礎知識有深刻的思考能力，再通過變式生成更加深刻的理念，進行廣泛運用。

5.高中數學變式教學研究意義

維果茨基的“最近發展區”理論認為：每個學生都有兩種水平，一種是現有水平，一種是潛在水平。這兩種水平之間的差異在于現有水平可以通過外界的啟發教育或幫助而激發潛在水平的力量，促進人的不斷進步。在實際的教學中，變式教學用多變的形式來給課本上的例題或典型的數學問題進行變式闡述，幫助學生在理解的基礎上把知識和自己的思考融為一體，轉化成自己的數學能力，形成自己的解題方式和做題習慣，能夠舉一反三。學生通過變式教學的教育，提升自己的數學能力，增強數學解題技巧，養成良好的學習習慣，給學生能夠學好數學增加信心。所以說數學的變式教學意義重大，值得去做系統的探索研究，不斷更新關于變式教學的資料，以更好的進行教育活動。

總結

變式教學是高中數學非常有效地一種教學方式，能夠讓學生掌握新的知識技巧，激發學生思考的積極性，提高教學質量。相信教師能夠綜合運用自己的知識對對例題進行系統的分析變式講解，領導學生走上更高的臺階，一定會收到意想不到的教學效果。

參考文獻

[1] 劉兵生.高中數學變式教學的心理學淺議[J].中學課程輔導（教學研究），2013，7（24）：156-157，117.[2] 熊定祥.淺談新課標下的高中數學變式教學[J].語數外學習（數學教育），2013，（8）：95-95.[3] 陳雪.變式教學在高一數學教學中的應用[D].遼寧師范大學，2012.

第四篇：高中數學變式教學有效性問卷調查

高中數學變式教學有效性問卷調查（學生卷）

1、你喜歡數學老師上課時提你的問嗎？（）A.喜歡 B.無所謂

C.不喜歡

2、你認為數學老師上課經常提你的問對你的學習有幫助嗎？（）A.很有幫助 B.幫助不大

C.沒什么幫助

3、你喜歡數學老師上課時走到你的座位旁來嗎？（）A.喜歡 B.無所謂

C.不喜歡

4、你上數學課會記筆記嗎？（）A.會記 B.有時記

C.基本不記

5、你認為數學老師上課寫板書對你學習和掌握知識有幫助嗎？（）A.很有幫助

B.有點幫助

C.沒感覺

6、你希望數學老師上課在黑板上多板書嗎？（）A.很希望

B.隨便

C.沒感覺

7、你希望數學老師上課多講一點，還是自己多練一點？（）A.盡量多講

B.無所謂

C.少講一點多練一點

8、你希望數學老師對學案知識點講透一點，還是留點思考的余地？（）A.盡量講透

B.點到為止

C.盡量讓學生自己思考

9.關于課堂的學案練習，你喜歡采用什么方式？（）A.小組討論

B.教師引導

C.學生獨立 10.你希望老師的上課教學學案如何布置？（）

A.大量練習，當天知識當天練

B.精選精練，根據知識內容分層練習

C.個別布置，只針對難點

11.一天的學習結束后，你會認真回去完成學案后的鞏固練習嗎？（）A.只完成老師布置的書面作業；

B.不僅完成學案練習，還會預習第二天的知識；

C.不僅完成學案練習，還會做一些提高題，并主動閱讀課外書籍，增長知識。12.關于作業講評你希望老師采用什么樣的講評方式？（）A．課下個別點評 B． 面向大家全講C．只講典型問題

13、您覺得數學老師用變式學案上課時你的學習效率會更高嗎？（）A.效率會更高

B.差不多

C.效率會更低

第五篇：《高中數學變式教學研究》中期報告

《高中數學概念教學的探索與研究》中期報告

——新受概念課教學的三個環節

代金珍

顧泠概念教學突出對概念內涵的理解，注重概念的情景引入、語言轉換等，逐步從概念的“標準變式”轉向概念的“非標準變式”，使學生獲得對概念的多角度的理解；同時突出對概念外延的應用，注重知識之間的聯系和拓展，通過對概念多角度的理解，使數學教學有層次地遞進。一堂新授的概念課，總的來說，主要側重概念性變式教學，因為這一階段不適宜作高難度的知識綜合訓練。

我們課題組下一階段的重點將放在新授課概念教學的環節的探索上，下面我們就新授概念課教學應注意的三個環節作些研究和探討，并從大家熟知的等差數列新授課教學談起。

一、設置情景，揭示概念的本質特征

（1）知識背景的創設

每節新授課要從學生最為熟悉的現實背景、生活背景、歷史背景、數學知識背景等出發，設置最能體現新授概念本質特征的知識背景。

這是概念性變式教學的切入點。老師要列舉學生學習經驗中感受最深的例子。概念引入的背景可多可少，原則只有一條：盡可能地揭示概念的本質特征。

①班級同學的鞋子尺碼：27.5，27，26.5，26，25.5，25，24.5，24，23.5，23。②每個同學的統一營養午餐費：5，5，5，?，5。③能被3整除的所有正整數：3，6，9，?

這里列舉的三個例子，前兩個例子源于學生的生活背景，第三個例子源于學生的數學知識背景。第一個例子中公差小于零，第二個例子中公差等于零，第三個例子中公差大于零。

等差數列概念的本質特征是：從第二項起，后一項與前一項的差是一個常數。這個常數d（公差）可以是任意的實數。即當n?2,n?N時，an?an?1?d,d?R。

（2）特殊情形的考慮

從概念的一般性出發，探討概念的特殊情形。這在新授概念教學中，是學生容易接受的一個學習過程，這樣的教學情景不可忽視，它是理解概念一般性結論的基礎。我們在這里把對特殊情形的考慮視作為概念性變式教學的特殊情景。這個情景實際上是從概念的局部來解釋概念的本質特征，是從學生容易理解的方面入手的。①三個數成等差數列的充要條件：

*a,A,b成等差數列?A?a?b?A?2A?a?b?A?項。

②等差數列{an}中，任意相鄰三項也成等差數列：

a?b。稱A為a,b的等差中2an?1,an,an?1(n?2,n?N*)成等差數列?an是an?1和an?1的中項 ?2an?an?1?an?1?由n的任意性，數列{an}成等差數列。

③等差數列{an}中，奇數項組成的數列a1,a3，成等差數列，其公差為2d；偶數項組成的數列a2,a4,成等差數列，其公差為2d；每隔相同的項組成的新數列am,am?k,am?2k，(m,k?N*)?也是等差數列，其公差為kd。

（3）基本結論的推出

從概念的本原出發，進行演繹推理，得出一些基本的結論，如概念衍生出來的性質、定理、公式等。這些結論和新授概念一起成為新授課中的學習要點。我們在這里把基本結論的推演過程視作為概念性變式教學的一般情景。

① 歸納推廣：

由等差數列的定義，得到：

a2?a1?d，a3?a2?d?a1?2d，a4?a3?d?a1?3d，?，an?a1?(n?1)d。② 數列是特殊的函數。

從函數的角度來看等差數列的通項公式，當公差不為零時，其表達式是關于n的一次函數；當公差為零時，是常量函數。點(n,an)是直角坐標系中直線上離散的點。

作為新授概念，從以上的三個方面來理解，是概念性變式教學的三個不同角度，也是概念性變式教學的三個基本維度。在變式教學中，創設背景是概念呈現的孕育過程，是幫助學生進行知識建構的前提。得出了概念，不是概念教學的終結，還需要尋找概念的“知識固著點”，從兩個方向進行尋找，最近的方向和較遠的方向。最近的方向我們考慮的是概念的特殊情況，較遠的方向是從概念出發的一般性推理，直到我們找到本節課新授概念所能依附的“知識固著點”為止，我們把這個環節稱之為新授課概念性變式教學的第一個環節。等差數列新授課我們可以把等差數列的通項公式作為概念性變式教學中的“知識固著點”。在“知識固著點”未找到之前，新授概念與“知識固著點”之間存在一個“潛在距離”，我們可以理解為學生的“最近發展區”。為了完成第一環節的教學要求，從變式教學的層面上來說，老師要圍繞新授的概念，多角度地設置問題情景，使學生在第一環節就找到“知識的固著點”，使新授概念有一個穩固的外顯的“知識抓手”，為后續的概念應用作好充分的準備。

二、拓展外延，凸顯概念的不變內涵

（1）概念的簡單外延

我們把概念應用的較小適用范圍稱之為概念的簡單外延。較小是一個模糊的量化。在講完等差數列定義后，一些老師接下來請學生判斷給出的具體數列是不是等差數列，如果是的話，說出首項和公差等。這個層次的能力訓練要求比較低，實際上我們在背景設置當中，已經做過了這樣的訓練，這里可以再提高一步，如進行下列層次的變式訓練：

①已知等差數列的首項和第二項，求出等差數列中的任意項； ②已知等差數列的前三項，求出等差數列中的任意項；

③已知等差數列的公差和某一項，求出等差數列中的任意項；

④已知等差數列中的任意兩項，求出等差數列中的公差和通項公式。上面的問題比較簡單，其中的實例就不再列舉。我們在以上的變式中所凸顯的不變內涵是：只要給出兩個獨立的條件，就可以求出等差數列的首項和公差，所有的問題變式最終都可轉化為能夠知道等差數列的首項和公差，就可以寫出通項公式了。

總結數學思想方法，以不變應萬變是概念性變式教學第二環節的著力點。一節課從知識的層面來說，不變的是等差數列的定義和通項公式；從方法層面來說，不變的是突出基本 2 量的數學思想方法。在四個量a1,d,n,an中，知三必可求一。

（2）概念的復雜外延

我們把概念應用的較大適用范圍稱之為概念的復雜外延。這也是一個模糊的量化，復雜到什么程度，直到概念應用的邊界。如果外延復雜的程度較大就從概念性變式教學過渡到過程性變式教學中去了，概念性變式教學和過程性變式教學的分界在于概念外延中是不是與其他數學知識進行了整合。如果沒有和其他知識進行整合，我們還是把這一階段的變式教學視作為概念性變式教學。

如果把等差數列這節新授課限定在四十分鐘的時間內完成，恐怕下面的變式教學就來不及了，但我們不能說，概念性變式教學就完成了。本節課的教學重點是等差數列定義和通項公式的應用。即使在第一節課內來不及完成，我們還要延續到下一節課作進一步的變式。

①已知等差數列某一項和另外兩項的和（差、積、商），求數列的通項；

如：在等差數列{an}中，已知a1?1,a2?a4?6，求數列{an}的通項公式。②已知等差數列兩組相鄰兩項（三項、若干項）的和，求數列的通項；

如：在等差數列{an}中，已知a1?a2?3,a3?a4?6，求數列{an}的通項公式； ③利用等差數列的中項性質，求數列的通項；

如：在等差數列{an}中，已知a1?a3?2,a2?a4?a6?6，求數列{an}的通項公式； ④已知等差數列兩項的和與兩項的積，求數列的通項。

在等差數列{an}中，已知a2?a3?6,a1?a5?5，求數列{an}的通項公式。

以上所作的變式都是停留在通項公式本身應用基礎上的訓練，沒有涉及到和其他知識的整合，這些變式問題在知識層面和方法層面上，與概念的簡單外延變式問題所要凸顯的不變內涵都是相同的，因此，我們把這一環節作為新授課概念性變式教學的第二個環節，第二環節的變式教學的特征是突出不變的概念內涵，是從總結不變的基礎知識和基本的方法為著落點的，因此，第二階段的教學目標仍然是落實數學的雙基教學和訓練。在第一環節我們找到了“知識固著點”，在第二環節我們又找到了“方法固著點”，這樣的概念性變式教學，使得新授的概念得到牢固的掌握。

能夠和等差數列定義和通項公式進行整合的知識點很多，比如后面我們要學習的等差數列的求和公式等，又比如和后面要學習的等比數列的知識進行綜合等，當然在這節課里絕對不能出現，因為等差數列的求和公式與等比數列的概念都是我們即將要學習的新授概念。但我們可以出現等差數列定義及通項公式與三角、直線方程、一般函數以及應用問題等知識的整合，但這已經從概念性變式教學過渡到了過程性變式教學了，不屬于本文所要探討的范疇。

三、變換問題，建構概念的內在體系

（1）問題的逆向提出

從逆向思維的角度來理解概念。前面的兩個環節都是從正面，概念的“標準狀態”來理解的，在第三個環節我們試圖從概念的“非標準狀態”來理解。

①已知等差數列的通項公式，求首項和公差；

②已知一個數列的通項公式是關于n的一次函數式，判斷這個數列是不是等差數列？常數列是不是等差數列；

③已知一個數列的通項公式，判斷這個數列是不是等差數列？

如：an???1,n?1?n?3,n?2,n?N2是不是等差數列？a?n?n是不是等差數列？ n*④給出一個遞推式，判斷這個數列是不是等差數列？

如：數列{an}滿足a1?1,an?1?an?n，這個數列是不是等差數列？

第一和第二個例子，實際上是從等差數列通項公式結論展開的逆向變式，第二個例子實際上是尋找數列通項公式成為等差數列的充要條件。

第三和第四個例子，也是從數列的通項公式出發進行研究的，也是一個思維的逆向過程。實際上是給出了不是等差數列的反例，這在概念性變式教學中，是十分重要的，反例的構造，可以進一步強化學生對概念正面的理解。（2）問題的異化形式

變式教學中有一個重要的理論叫作“馬頓理論”，認為新授概念的學習，是和其他知識進行比較和鑒別的過程，“鑒別”和“差異”是這個理論的核心。我們已經從概念的正面和反面進行了比較和鑒別，但還沒有從過程性變式教學的角度，把等差數列的定義以及通項公式的學習放到與其他知識的綜合環境中加以鑒別和聯系，但對于具有異化形式的相近問題，我們可以在新授課概念性變式教學中作出初步的鑒別，鑒別的過程是對差異的進一步認識。

①設數列{an}滿足a1?0且

11??1，求數列{an}的通項公式；

1?an?11?anan，求數列{an}的通項公式。

1?2an1}，學生還是能夠鑒別出來1?an②設數列{an}滿足a1?1，an?1?第一個問題實際上是鑒別由{an}生成的一個新數列{的。第二個問題有點困難了，需要作如下變形：

1?2an11???2，然后再來鑒別。an?1anan異化形式的問題比較困難。因此，我們把它放在第三個環節加以呈現，這也是概念性變式教學的重要環節，我們把它設定為新授課概念性變式教學的最后一個環節，我們要把握好異化問題出現的時機，過早出現，適得其反，不利于概念正面的理解，但缺乏這個環節，學生的鑒別能力得不到提高。

整個第三個環節，我們都是從學生思維能力提高的層面提出的，新授概念課教學，不能形成這樣的教學模式：先匆忙推出結論，然后舉幾個例子。例子之間又缺乏關聯，這樣的教學是不能健全學生完整的知識體系的，不但新學的知識不牢固，而且學到的知識也不成體系。

如果說第一環節我們側重的是多角度的變式教學，則第二個環節是由多角度的變式教學到多層次變式教學的過渡，而第三個環節我們側重的是多層次的變式教學。有了這三個環節學生對概念的理解也就到位了，應用起來也就得心應手了。