第一篇：幾何直觀在小學數學教學中的運用

幾何直觀在小學數學教學中的運用

小學生的思維水平止處于具體運算階段向形式運算階段過渡，離不開具體事物的支持。幾何直觀憑借圖形的直觀性特點將抽象的數學語言與直觀的圖形語言有機地結合起來，抽象思維同形象思維結合起來，充分展現問題的本質，能夠幫助學生打開思維的大門，開啟智慧的鑰匙，突破數學理解上的難點。

（一）以圖連線—搭建橋梁，溝通聯系

“在傳統領域之間界限的日趨消失是現代數學的特性之一，而幾何直觀在其間起著聯絡作用。”某些問題的信息之間，某個知識塊之間，代數與幾何之間，幾何直觀使復雜多樣的分類變得簡單明了。比如俞止強老師的講座中提到這樣個例子:生說自然數就像條射線，它們都有個起點，沒有終點，可以無限延長。這位學生驚人的發現無不體現了知識間是相通的，把代數中的自然數概念和空間形式聯系起來，不但縮短了知識間的距離，而且還減少記憶容量。

（二）以圖促思—滲透數形結合思想

“數無形不直觀，形無數難入微”，“數形結合”的思想是重要的數學思想，其實質是使數量關系和空間形式巧妙和諧地結合起來，將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來。小學數學教材中特別注重這種思想的滲透，借助幾何直觀，可以把數形結合思想更好地反映出來。通過圖形的直觀性質來闡明數之間的聯系，將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，實現代數問題與圖形之間的互相轉化，相互滲透，不僅使解題簡捷明快，還開拓解題思路，為研究和探求數學問題開辟了條重要的途徑。

利用直觀的圖形，學生能積極地思考圖中正方形的面積的變化和算式之間的聯系。在此基礎上用數學式子表達它的規律。從而發現;n個奇數相加的和等于n×n;再如，教學“連除兩步計算問題”時，學校圖書室買來200本新書，放在2個書架上，每個書架有4層。平均每層放了多少本書?最初可以出示書架的實物模刑，逐步用長方形的圖示代替來說明解決問題的過程。①先算每個書架放了幾本?②先算兩個書架共有幾層?③先算兩個書架的一層共放幾本書?以數形結合的方式幫助學生感悟用連除兩步計算解決問題的數學本質。借助“形”的直觀，能促進小學生形成從“數”和“形”的角度把“數和形”結合起來考慮問題的意識，有機滲透數形結合是一種重要的數學思想。

（三）以圖求解—有助于數學方法的再創造

直觀是抽象思維問題的信息源，又是途徑信息源，它不僅為抽象思維提供信息，而且由于直觀形象在認知結構中鮮明性強，可以多思路、反復地給抽象思維以技巧。通過圖形的直觀性質來闡明數之間的聯系，將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，實現代數問題與圖形之間的互相轉化，相互滲透，不僅使解題簡捷明，還開拓解題思路，為研究和探求數學問題開辟了條重要的途徑。直觀圖形的使用，不但可以幫助學生發現并理解數學結論，而且有利于掌握數學發現的方法，有利于培養學生的觀察能力和空間觀念。

借助幾何直觀進行教學，可以形象生動地展現問題的本質，有助于促進學生的數學理解，有機滲透數學思想方法的同時，提高學生的思維能力和解決問題的能力。

第二篇：小學數學教學中如何運用幾何直觀

小學數學教學中如何運用幾何直觀

小學生的思維水平止處于具體運算階段向形式運算階段過渡，離不開具體事物的支持。突破幾何教學這一難點，關鍵不僅僅在于教材的改變和教學形式表面變化，更應該在于用先進的數學思想和方法去引領教學，這樣才能使幾何教學活起來，讓我們的學生在獲得幾何知識的同時，建構對幾何知識的概念、性質、方法、意義的理解，有效提高學生分析問題和解決問題的能力。

（一）以圖溝通聯系

某個知識塊之間，代數與幾何之間，幾何直觀使復雜多樣的分類變得簡單明了。比如這樣一個例子:生說自然數就像條射線，它們都有個起點，沒有終點，可以無限延長。這位學生驚人的發現無不體現了知識間是相通的，把代數中的自然數概念和空間形式聯系起來，不但縮短了知識間的距離，而且還減少記憶容量。8

（二）以圖滲透數形結合思想

“數形結合”的思想是重要的數學思想，其實質是使數量關系和空間形式巧妙和諧地結合起來，將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來。小學數學教材中特別注重這種思想的滲透，借助幾何直觀，可以把數形結合思想更好地反映出來。通過圖形的直觀性質來闡明數之間的聯系，將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，實現代數問題與圖形之間的互相轉化，相互滲透，不僅使解題簡捷明快，還開拓解題思路，為研究和探求數學問題開辟了條重要的途徑。

利用直觀的圖形，學生能積極地思考圖中正方形的面積的變化和算式之間的聯系。在此基礎上用數學式子表達它的規律。從而發現;n個奇數相加的和等于n×n;借助“形”的直觀，能促進小學生形成從“數”和“形”的角度把“數和形”結合起來考慮問題的意識，有機滲透數形結合是一種重要的數學思想。

（三）以圖有助于數學方法的再創造

直觀是抽象思維問題的信息源，又是途徑信息源，它不僅為抽象思維提供信息，而且由于直觀形象在認知結構中鮮明性強，可以多思路、反復地給抽象思維以技巧。通過圖形的直觀性質來闡明數之間的聯系，將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，實現代數問題與圖形之間的互相轉化，相互滲透，不僅使解題簡捷明，還開拓解題思路，為研究和探求數學問題開辟了條重要的途徑。直觀圖形的使用，不但可以幫助學生發現并理解數學結論，而且有利于掌握數學發現的方法，有利于培養學生的觀察能力和空間觀念。

借助幾何直觀進行教學，可以形象生動地展現問題的本質，有助于促進學生的數學理解，有機滲透數學思想方法的同時，提高學生的思維能力和解決問題的能力。

第三篇：幾何直觀在小學數學教學中的運用

幾何直觀在小學數學教學中的運用

幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知。小學生的思維水平止處于具體運算階段向形式運算階段過渡，離不開具體事物的支持。幾何直觀憑借圖形的直觀性特點將抽象的數學語言與直觀的圖形語言有機地結合起來，抽象思維同形象思維結合起來，充分展現問題的本質，能夠幫助學生打開思維的大門，開啟智慧的鑰匙，突破數學理解上的難點。

（一）以圖連線—搭建橋梁，溝通聯系

“在傳統領域之間界限的日趨消失是現代數學的特性之一，而幾何直觀在其間起著聯絡作用。”某些問題的信息之間，某個知識塊之間，代數與幾何之間，幾何直觀使復雜多樣的分類變得簡單明了

（二）以圖促思—滲透數形結合思想

“數無形不直觀，形無數難入微”，“數形結合”的思想是重要的數學思想，其實質是使數量關系和空間形式巧妙和諧地結合起來，將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來。小學數學教材中特別注重這種思想的滲透，借助幾何直觀，可以把數形結合思想更好地反映出來。通過圖形的直觀性質來闡明數之間的聯系，將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，實現代數問題與圖形之間的互相轉化，相互滲透，不僅使解題簡捷明快，還開拓解題思路，為研究和探求數學問題開辟了條重要的途徑。

（三）以圖求解—有助于數學方法的再創造

直觀是抽象思維問題的信息源，又是途徑信息源，它不僅為抽象思維提供信息，而且由于直觀形象在認知結構中鮮明性強，可以多思路、反復地給抽象思維以技巧。通過圖形的直觀性質來闡明數之間的聯系，將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，實現代數問題與圖形之間的互相轉化，相互滲透，不僅使解題簡捷明，還開拓解題思路，為研究和探求數學問題開辟了條重要的途徑。直觀圖形的使用，不但可以幫助學生發現并理解數學結論，而且有利于掌握數學發現的方法，有利于培養學生的觀察能力和空間觀念。

借助幾何直觀進行教學，可以形象生動地展現問題的本質，有助于促進學生的數學理解，有機滲透數學思想方法的同時，提高學生的思維能力和解決問題的能力。

第四篇：幾何直觀在小學數學教學中的運用

幾何直觀在小學數學教學中的運用

幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知。小學生的思維水平止處于具體運算階段向形式運算階段過渡，離不開具體事物的支持。幾何直觀憑借圖形的直觀性特點將抽象的數學語言與直觀的圖形語言有機地結合起來，抽象思維同形象思維結合起來，充分展現問題的本質，能夠幫助學生打開思維的大門，開啟智慧的鑰匙，突破數學理解上的難點。

（一）以圖連線—搭建橋梁，溝通聯系

“在傳統領域之間界限的日趨消失是現代數學的特性之一，而幾何直觀在其間起著聯絡作用。”某些問題的信息之間，某個知識塊之間，代數與幾何之間，幾何直觀使復雜多樣的分類變得簡單明了

（二）以圖促思—滲透數形結合思想

“數無形不直觀，形無數難入微”，“數形結合”的思想是重要的數學思想，其實質是使數量關系和空間形式巧妙和諧地結合起來，將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來。小學數學教材中特別注重這種思想的滲透，借助幾何直觀，可以把數形結合思想更好地反映出來。通過圖形的直觀性質來闡明數之間的聯系，將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，實現代數問題與圖形之間的互相轉化，相互滲透，不僅使解題簡捷明快，還開拓解題思路，為研究和探求數學問題開辟了條重要的途徑。

（三）以圖求解—有助于數學方法的再創造

直觀是抽象思維問題的信息源，又是途徑信息源，它不僅為抽象思維提供信息，而且由于直觀形象在認知結構中鮮明性強，可以多思路、反復地給抽象思維以技巧。通過圖形的直觀性質來闡明數之間的聯系，將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，實現代數問題與圖形之間的互相轉化，相互滲透，不僅使解題簡捷明，還開拓解題思路，為研究和探求數學問題開辟了條重要的途徑。直觀圖形的使用，不但可以幫助學生發現并理解數學結論，而且有利于掌握數學發現的方法，有利于培養學生的觀察能力和空間觀念。

借助幾何直觀進行教學，可以形象生動地展現問題的本質，有助于促進學生的數學理解，有機滲透數學思想方法的同時，提高學生的思維能力和解

決問題的能力。

如何在小學數學教學中培養學生的空間觀念

劉正娟

關鍵詞： 空間觀念；幾何知識；教學；幾何圖形變式

新課標指出：“空間觀念是一種自覺地感受空間圖形、運用空間圖形的意識和能力”.其主要表現在：實物的形狀與幾何圖形之間的想象；復雜圖形的分解；描述實物或幾何圖形的運動、變化和位置的關系；運用圖形描述問題、利用圖形直觀來進行思考等.在初中幾何的教學中，教師不僅要重視學生“合情推理”的邏輯思維能力，更應該重視空間觀念的培養。本文就如何在教學中培養學生的空間觀念淺談幾點。

一、從建立表象到再造想象，再從再造想象到創造想象.1.運用感性材料，建立表象

空間觀念指的是物體的大小、形狀、方向、距離在人腦中留下的既直覺又有一些概括性的形象。表象是具有感知的形象在頭腦中的保持，它是具體感知向概念、思維過渡的重要環節。沒有形成清晰的表象就不能很好地進行思維活動，沒有豐富的表象儲備，表象的重新組合或再造而產生新的表象的過程將會困難，培養初步的空間想象能力也就無從說起。小學教材的幾何知識（系統學習時）的安排是：線→面→體，即一維空間→二維空間→三維空間；從圖形來說是簡單單一→復雜組合；從計算來說是長度→面積→體積.無論哪一方面，都是以大量表象的內化，形象思維活動向抽象思維活動轉化，揭示出概念的本質屬性而得到概念，形成初步的空間想象能力，發展思維的。小學生從對幾何形體的感知中獲得了印象，并保留在頭腦中成為表象。表象的重新組合或再造的心理過程，是學生空間概念的重要基礎。教學中應注意以下兩個方面：

第一、重視啟蒙階段對幾何圖形的觀察。通常教材中幾何知識是結合認數與計算編排的，一年級集合認數出現了三角形、正方形、立方形以及圓等圖形和直觀教具，出現這些圖形不僅僅只是為了認數，同時也是為了培養學生初步空間觀念。一年級有這么一個習題：要求學生在下圖中找三角形、圓形、正方形的個數，這個集合圖里的圖形，排列雜亂，大小不一，既有標準圖形，又有變式圖形。這時要好好指導學生觀察，然后讓學生分類找出，從而使學生初步建立起三角形、正方形、圓形等的表象。

第二、充分利用幾何直觀教具。在教幾何圖形時，一定要充分運用幾何圖形的直觀教具，讓學生仔細觀察。使其感知并獲得具體鮮明的形象，形成圖形的表象；另一方面，表象常常是概括了許多感知形象的，所以表象又具有概括性特征。例如：學生對三角形的知覺，可在認識角的大小、邊的長短、三邊上的高、內角和、穩定性、對稱性等的同時，出示各種不同類型的三角圖形、模型等直觀教具，讓學生親手量一量、畫一畫、拼一拼，使學生建立起一個完整的三角形表象，并為建立三角形概念完成過渡。2.創造條件，形成再造想象

表象的重新組合、成為新的表象，就是想象。如果這種想象是根據別人的語言文字描述或圖形、模型想出來的，這種想象就是再造想象。再造想象在培養學生初步空間概念中具有重要意義。

第一、通過實際操作，促進學生想象。動手操作可以豐富學生的感性認識.在操作過程中，引導學生觀察、比較、分析、綜合，發展他們的思維能力。生理學研究表明：雙手動作時，在腦與手之間，信息通過兩條雙向的通道高速地傳導著。在手腦并用時，大腦的創造性有關區域受刺激而活躍起來，手使腦的功能得到發展，腦使手的技能得到訓練。在操作中，操作的順序性又可促使語言的條理化、完整化，同時使思維得到發展。如長方體、正方體的表面積和體積兩個概念，學生往往容易混淆，我們除了把長方體、正方體的六個面展開，說明這六個面的總面積就是表面積外，還應把長方體、正方體擺在講桌上，看所占空間的大小，說明這就是體積：然后讓學生自己動手做一個長方體和正方體的紙盒，看看要多少硬紙盒，這兩種紙盒各有多大。這樣做，學生不僅僅興趣濃，而且促進了想象。

第二、滲透幾何思想，豐富學生想象。如講完梯形之后，我們對四邊形先進行歸類復習，可運用讓學生邊想邊填圖的方式，從而滲透正方形集合是長方形集合的子集合，長方形集合又是平行四邊形的子集合，平行四邊形集合和梯形集合又是四邊形集合的子集合的集合思想。通過這樣的復習和填圖，學生對四邊形就能建立起一個概念系統，這樣的想象就更豐富、更全面了。3.積極引導，培養創造想象

創造想象是新表象的創造，小學生學習的初步的幾何知識，也需要創造想象。教學中，一定要積極引導，培養學生的創造想象力，以促進初步空間觀念的迅速形成。

首先要培養學生具有獨立思想的自覺性。如：我們在教完梯形的面積之后，要學生計算做一個加料斗要用多少鐵板。學生的立體圖形知識很貧乏，雖有一圖，但看不懂，也想象不出這是一個什么樣的形狀，這時，教師應拿出一個加料斗模型讓學生觀察，然后讓學生用硬紙做一個加料斗，再讓學生獨自想一想。計算做這個加料斗要多少材料的關鍵是什么？學生通過看、做、想，逐漸懂得它是由四塊相等的梯形組成的。因此。求出四個相等梯形繁榮面積，就是整個加料斗所需的材料了。

其次要鼓勵學生敢于進行捏造性想象。如圓面積求法，教材上采用了分割成16塊相等的扇面，拼成近似長方形，推導出“圓面積= ”這一公式。如果把每一個扇形不斷地分割下去，弧越來越短，會變成什么形狀呢？讓學生大膽想象，學生就會提出把圓分成近似三角形來推導圓面積，這個推導方法就是一種“創造性”的思想過程。

二、利用幾何圖形變式在培養空間觀念中的運用。1． 操作，感悟幾何元素的位置關系 讓學生親自動手、實驗、操作，使學生經歷、體驗圖形的變換，從中感悟圖形的變化前后幾何元素（點、線、面、體）的相互位置關系，這有利于培養學生直覺思維的習慣、發展空間觀念。

圖1 例：如圖1，將1張紙片經兩次對折，并剪出一個菱形小洞后展開鋪平，的到的圖形是（）

A B C D 分析由于題中所給的條件對圖形變化前后幾何元素的位置關系并不明了，因此按常規思路或習慣思維求解，很難找到問題的突破口。但如果按照題目所給的步驟逐步地進行動手操作，則問題的答案呼之欲出，易得D即為所求.2． 想象，實物模型與幾何圖形的轉化

新課標指出：“能由實物的形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物形狀”.通過觀察圖形，分析圖中幾何元素的位置關系，找尋實物和幾何之間的內在的聯系，憑借直覺思維，在想象實物和幾何體之間的關系中尋得答案。在探索平面圖形與空間幾何體的相互轉換的活動中，可建立空間觀念，發展幾何直覺。例：由一些大小相同的小正方體組成簡單幾何體的三視圖如下.你能畫出這幾何體嗎？有多少畫法？

主視圖左視圖右視圖 圖2 分析由三視圖的特點可知，這個幾何體無論從前面看、左面看、還是從上面看都可以看到四個小立方體，通過想象知道圖（1）、圖（2）、圖（3）都符合要求，它的答案不是唯一的.事實上，如果保持圖（1）中下面一層有4個小正方體，那么上面一層4塊中缺少任意一塊（圖（2）），都符合要求，這樣的幾何體有4種。或者缺對角2塊（圖（3）），也符合要求，這種情況有2種.因此共有7種畫法.（1）（2）（3）

圖3 通過這樣由平面圖形到空間幾何體的互相轉換過程中，培養了學生的空間想象能力，促進幾何直覺思維的發展。3．折疊，平面圖形向空間圖形的演變

“折疊”是一類重要的幾何題型，在近幾年的中考題中縮短常常出現.主要考查學生識圖、想圖、畫圖等空間觀念及空間圖形平面化，非標準圖形標準化的變形處理能力.解決這類問題時，需認真審圖，充分挖掘折疊前、后平面圖形與空間的位置關系中的“變”與“不變”，探尋解決問題的突破口。4．分解，幾何圖形處理能力的標志

將復雜的圖形分解為基本的、簡單的圖形，恰當地對圖形進行分割、組合、變形的處理，易尋覓圖中基本元素及相互位置關系，有利于問題的解決。這是考察學生幾何直觀、圖形處理能力的重要內容.因此在圖形變式的教學中，應有意識的培養學生識圖、看圖、變圖、及圖形的分解組合的能力。

通過這樣的訓練，使學生經歷和體驗圖形的變化過程，發展幾何直覺，有利于他們今后學習立體幾何。

5．平面展開，空間圖形平面化的重要手段

有些空間問題直接求解比較困難，但通過空間圖形平面化的處理后，線、面位置關系清楚，解題思路明朗，“以直代曲”就是將圖形平展變式的結果。

在平時的教學中，教師通過強調“操作”、“想象”、“折疊”、“分解”、“平面展開”等一些常見的圖形變式，可向學生滲透空間觀念，強化學生的合情推理能力，培養學生的空間想象能力，為以后的空間立體幾何的學習打下基礎。

三、教學中應注意的幾個問題

教師的“教”，應當是為了學生更好的學習。教學中，正確處理教師的主導與學生的主體關系，才能提高課堂教學效率，取得更好的教學效果.1.直觀演示的正確性

直觀演示，不僅可以給學生提供鮮明的感性材料，幫助他們理解抽象的數學知識，而且有助于發展學生的觀察力和思維能力。在幾何教學中，直觀演示是很重要的，它能喚起學生頭腦中已有的表象，使之組合、再造，形成新的表象，為概念的得出起到積極的作用.在演示過程中，一般應伴有教師的解說或提問，引導學生注意所演示的主要內容，抽象事物的本質特征，弄清實際操作的方法和步驟.教師在作圖時，還要起到示范作用.就要求我們的演示過程、順序應與概念所描述的內容順序以及學生學習這些知識、感受這些概念一致起來.如講“直線”，直線的特點一是“直”，二是無限的，三是無粗細的。我們拿細線來演示時，除了演示“直”外，還要突出“無限延伸”；黑板上畫圖時，也應告訴學生，黑板上只是畫了這條直線的一部分，它的兩邊可以無限延伸，這樣，才能使畫圖、演示、顯示概念的內容一致起來，建立起清晰的表象。

另外，畫圖示范也應注意概念內容。如畫“角”，它的概念是“由一點引出的兩條射線，就組成角”，畫圖時就應按這個概念敘述的順序、方式來畫，而不能順手就畫成“折線”。2.語言敘述的準確性

要形成第一、第二信號系統的正確聯系。人類除有第一信號系統外，還有第二信號系統.即：人類除對具體信號刺激發生反應（第一信號系統）外，還可以對語言文字發生反應.人類對語言文字發生反應的皮層機能系統叫做第二信號系統（復雜的條件反射）.在理解概念和下定義時，不要和學生在感知圖形的基礎上所獲得的知識脫節，既要充分利用“術語”的生活意義，又要指出其區別.如講角時，要指出它是在平面上一點向不同方向引出兩條射線，構成一個角，而生活中指的某些角，如墻角，就不是我們所學的角的意思。

在教學中，力求語言表達準確，不能模棱兩可。如用紙剪一個圓，還有像球的投影面等，它實際上是一個圓面，與幾何中的“圓”是有區別的。如講三角形分類，當學生明確了三種三角形（按角分類），還可告訴學生：任何一個三角形都有兩個角是銳角，第三個決定分類。第三個是銳角的，就是銳角三角形，如果第三個角是直角的就是直角三角形等等。這樣可以避免學生把“三個角是銳角的三角形就叫銳角三角形”類推到“三個角是鈍角的三角形叫鈍角三角形”，發生錯誤。

此外提問題也應準確，表達清楚。如講圓的周長時，涉及到“圓周率”，如果問“圓周率等于多少”，那么就錯了。3.培養思維的靈活性 學生學習幾何知識時，對獲得的感性材料進行分析、比較、綜合和抽象、概括，才能理解和掌握幾何圖形的概念和特征.通過判斷、推理等思維的過程，才能更好地解決問題.在教學中還應注意思維的靈活性，以便更敏捷地解決問題。例如，對于平面幾何圖形的特征和面積計算方法，開始只要求學生掌握每一種平面幾何圖形特征和面積計算方法，然后要求學生理解各種平面幾何圖形特征之間的相互關系、面積計算方法之間的聯系，注意揭示圖形概念與計算之間的辨證關系、聯系和區別。通過變化平面圖形，讓圖形與公式同步變化，使學生的思維更加靈活。

綜上所述，培養學生的空間觀念，與幾何初步知識的教學有著密切的聯系。明確表象在形成空間觀念中的作用，提高學生運用表象的能力，注意教師的示范作用，才能在教學中更好的發展學生的思維，為培養目標服務。

內一個感覺就是有趣。如果在課堂上教師能多讓孩子們產生有趣的感覺，相信小學數學課堂會很精彩。

二、直觀的圖形有助于學生尋找數量關系

利用形象的圖形來教學抽象的數學知識，還可以直觀地揭示數學問題中的數量關系。有些學生的理解能力、接受能力較弱，對一些解題方法的理解存在較大困難。針對這些很有智力挖掘潛力

第五篇：幾何直觀在小學數學教學中的實踐與思考

幾何直觀在小學數學教學中的實踐與思考

我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”“數”與“形”反映了事物兩個方面的屬性。我們認為，數形結合，主要指的是數與形之間的一一對應關系。數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而實現優化解題途徑的目的。

一、利用直觀圖幫助學生數的組成

幾何直觀在小學數學教學中的實踐與思考

上傳: 劉東軍

更新時間：2013-12-7 11:41:19 摘要 : 隨著《全日制義務教育數學課程標準（修改稿）》提出要注重培養和發展學生的幾何直觀能力，幾何直觀已經成為數學教育中的一個關注問題。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學習中發揮著不可替代的作用，而且貫穿在整個數學學習過程中。本文從幾何直觀的本質意義出發，探討如何培養學生的幾何直觀能力，反思教學中運用幾何直觀應注意的問題，讓小學數學教學從簡約中走向豐富。關鍵詞:幾何直觀；課程標準；本質把握；培養能力；注意問題

當前，數學教育界都在關注新版《數學課程標準》的制訂與實施，關注數學課程改革，而幾何直觀是數學中生動的、不斷增長的而且迷人的課題，在內容上、意義上和方法上遠遠超出對幾何圖形本身的研究意義。正如弗萊登塔爾所說，“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念與方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”培養和發展學生的幾何直觀能力，要充分利用幾何直觀來揭示研究對象的性質和關系，依托具體的數學課程教學內容，需要具體落實在課程內容之中、課堂教學細節之中。使學生認識幾何直觀在數學學習中的意義和作用，同時也學會數學的一種思考方式和學習方式。要以保護學生先天的幾何直觀潛質作為起點，以有效提升學生的幾何直觀能力作為目標，最終形成敏銳的洞察力和深厚的數學素養。

為此，我在小學數學教學實踐中，力從幾何直觀的本質意義出發，就如何培養學生的幾何直觀能力，進行了有益的嘗試，對教學中運用幾何直觀應注意的問題有了更多的思考。

一、幾何直觀的本質把握

對于何為“直觀”，可能有很多說法，但本質基本相同。所謂直觀，《現代漢語詞典》2002版解釋是：用感官直接接受的；直接觀察的。對于數學直觀，數學家克萊因指出，“數學的直觀就是對概念、證明的直接把握”；而西方哲學家通常認為“直觀就是未經充分邏輯推理而對事物本質的一種直接洞察，直接把握對象的全貌和對本質的認識”；心理學家則認為“直觀是從感覺的具體的對象背后，發現抽象的、理想的能力”。蔣文蔚指出，幾何直觀是一種思維活動，是人腦對客觀事物及其關系的一種直接的識別或猜想的心理狀態。徐利治先生提出，直觀就是借助于經驗、觀察、測試或類比聯想，所產生的對事物關系直接的感知與認識，而幾何直觀是借助于見到的或想到的幾何圖形的形象關系產生對數量關系的直接感知。換言之，通過直觀能夠建立起人對自身體驗與外物體驗的對應關系。

綜上，我們認為直觀要體現兩點：一是透過現象看本質；二是一眼能看出不同事物之間的關聯，可見，直觀是一種感知，一種有洞察力的定勢。幾何直觀是指借助于見到的或想象出來的幾何圖形的形象關系，對數學的研究對象，即空間形式和數量關系，進行直接感知、整體把握的能力。既有形象思維的簡約，又有抽象思維的豐富。

二、教學中培養學生的幾何直觀能力 20世紀最偉大數學家希爾伯特（Hilbert）在名著《直觀幾何》一書中談到，圖形可以幫助我們發現、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結果。這就是幾何直觀帶給我們的好處。我國拓撲學家張素誠曾說過：“對數學中的許多問題來說，?靈魂?往往來自幾何。”幾何激發學生這種“靈感”，首先教師自身在教學中只要在有可能的地方，盡量借助幾何直觀分析講解，這樣既能逐步培養學生在解決問題中具有借助幾何直觀解決問題的意識，又能為學生創造便于用幾何直觀去尋找解題方法的條件。

小學生的思維水平只處于具體運算階段向形式運算階段過渡，離不開具體事物的支持。《標準》（修改稿）指出“幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。”為此，對于在小學數學課堂教學中如何培養學生的幾何直觀能力，我從以下幾方面進行了嘗試，收到了良好的效果。

（一）識圖中感知幾何直觀。

幾何直觀是借助圖形對事物的認識，那么對圖形的學習與認識以及運用圖形的意識和能力就是幾何直觀的基礎了。教學中要關注學生的基本生活經驗和生活經歷，注重引導學生把生活中對圖形的感受與有關知識建立聯系。如在教學《線段、射線、直線》一課時，通過展示科學家用激光器發送到月球的一束激光圖片，視覺上給學生直觀的認識，引出射線是一條線段將它的一端無限地延長所形成的圖形。讓學生很容易發現射線的特點，尤其射線是一個理想化的概念，幾何直觀的感受凸顯的更加重要。日常教學中要多采用學生喜愛的“看一看、擺一擺、折一折、剪一剪、拼一拼、量一量、畫一畫”等具體、實際的活動方式，引導學生通過親自觸摸、觀察、測量、制作和實驗，把視覺、聽覺、觸覺、動覺等協同起來，強有力地促進心理活動的內化，從而使學生掌握圖形特征，更好地感知幾何直觀。

（二）畫圖中培養幾何直觀。

幾何直觀在本質上是一種通過圖形所展開的想象能力，通過畫圖可以將復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路。因此，在小學數學教學中激發學生的畫圖興趣，促進幾何直觀能力的發展，是十分重要的。數學興趣是推動學生不懈追求的一種內在驅動力，而畫圖興趣則是幾何直觀教學的載體。教學中要善于啟發和創設情境，激發學生的畫圖興趣，培養學生的幾何直觀能力。如在教學二年級《幾倍》一課時，創設游玩動物園的情景：動物園里有6頭小獅子，2頭大獅子，小獅子的頭數是大獅子的幾倍？讓學生嘗試用自己喜歡的圖形畫一畫，來表示6是2的幾倍？然后再匯報展示，如下：

通過畫圖，學生很直觀地看出6里面有3個2，也就是說6是2的3倍，這樣為抽象的倍的概念建立了具體形象的表象，理解起來輕松很多，以后在學習較復雜的“和倍、差倍”問題時，學生會很容易想到畫直觀圖幫助解決問題。課上通過用自己喜歡的方式畫圖，激發了孩子畫圖的興趣，并抓住教學契機讓學生展示自己的作品，說出自己的想法，及時對學生進行表揚鼓勵，激發學生作圖的熱情。在日常教學中，我還采取了一系列的措施，來激發學生的畫圖興趣：比如上課時讓學生在黑板上畫圖，然后師生共同評析，看哪個同學畫得好，優點在哪里，存在哪些毛病；印發常見的基本直觀圖給學生，讓學生反復觀摩，然后再畫出來；課外組織學生進行“畫直觀圖比賽”。這些措施激發了學生的學習興趣，使學生認識到規范作圖的重要性，增強了學生的作圖能力。在日常的教學中，要幫助學生從小養成良好的畫圖習慣。首先，要通過多種途徑和方式使學生真正體會畫圖對理解概念、尋求解決思路帶來的益處。其次，要求學生解決問題時能畫圖的盡量畫圖，將相對抽象的思考對象“圖形化”，盡量把數學的過程變得直觀，直觀了就容易展開形象思維。再次，要讓學生規范畫圖，能準確直觀的表達題意。例如關于求面積的問題，關鍵要使學生想到畫圖、正確畫圖、用圖分析和體驗畫圖解決問題的好處。首先向學生呈現例題：一塊正方形試驗田，如果長和寬都增加5米，面積將比原來增加875平方米。原來試驗田的面積是多少平方米？面對比較難理解的數學問題，引導學生想到用畫圖的方法來解決。接著鼓勵學生嘗試畫示意圖，讓學生的思維集中于用畫圖來表達題意，并通過師生交流，進一步完善畫出的示意圖（如下圖所示：注意邊長比例，增加的長度用虛線表示，標出數據），使學生感受到畫圖能清楚地理解題意。

5米 5米

(875-5×5)÷2÷5 =(875-25)÷(2×5)? b =850÷10 =85（米）

85×85=7225（平方米）

a c 答：原來試驗田面積是7225平方米。

然后借助示意圖分析數量關系，明確增加面積為a、b、c三部分面積之和，并且a與b面積相等，再列式解答。最后回顧整個解題的過程，突出示意圖對解決有關面積問題的重要作用，感受畫圖策略的價值。畫圖可以通過圖形的直觀性質來闡明數之間的聯系，將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，實現數學問題與圖形之間的互相轉化，相互滲透，不僅使解題簡捷明了，還開拓解題思路，讓學生養成畫圖習慣，不但可以幫助學生發現并理解數學結論，而且有利于掌握數學發現的方法，使數學從簡約中走向豐富。

（三）數形結合中發展幾何直觀。

華羅庚先生的《談談與蜂房結構有關的數學問題》一書中，有一首小詞：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數無形時少直觀，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事非；切莫忘，幾何代數統一體，永遠聯系，切莫分離！”這首詞形象生動、深刻地指明了“數形結合”思想的價值。其實質是把數學問題中的運算、數量關系等與幾何圖形與直觀圖像結合起來進行思考，從而使“數”與“形”各展其長，優勢互補，相輔相成，使邏輯思維與形象思維完美地統一起來，從而順利、有效地解決問題。小學數學教學中，應特別注重數形結合思想的滲透，從而更好地發展學生的幾何直觀能力。

1、在低年級運算教學中，借助數射線將抽象的“數”直觀形象化，有助于理解運算，將運算直觀形象化。例如：“加法”就是在數射線上繼續向右數；“減法”就是在數射線上先找到“被減數”，然后再向左數；“乘法”就是在數射線上幾個幾個地向右數；“除法”就是在數射線上先找到“被除數”，然后向左幾個幾個地數，如果恰好數到“0”，就是除盡，數了幾次，商就是幾，當不能恰好數到“0”，就產生了余數，數射線是理解“有余數除法”的形象化載體。

2、在解決問題教學中，借助線段圖將抽象的數量關系直觀形象化，有助于理解抽象的數量關系。例如教學四年級第二學期《解決問題（2）》中“增加幾倍、增加到幾倍”一課時，探究：小胖帶了3個蘋果，把小胖的蘋果增加到3倍是幾個蘋果？引導學生借助線段圖來分析數量關系，明確增加到3倍就是原數的3倍，再列式解答，最后結合算式和線段圖說說解題思路。

列式：3 × 3 = 9（個）答：把小胖的蘋果增加到3倍是9個蘋果。

3、在分數及其運算的教學中，借助“面積模型”將抽象的思維過程直觀形象化，有助于對分數意義的透徹理解，既知其然又知其所以然。如在四年級《分數的大小比較》一課中，充分利用分數的直觀圖（圖1），將數與形結合起來，引導學生體會比較分子相同的分數的大小時，分母小的分數就大；在《分數的加減計算》一課中，借助分數直觀圖（圖2）理解同分母分數相加，分母不變，分子相加，從而更直觀的理解分數的運算。

圖1 圖2

利用數形結合的方法，將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化，使學生表象清晰，記憶深刻，是形象思維與抽象思維協同應用的一種過程，為發展幾何直觀開辟了條重要的途徑。

（四）運用模型和多媒體信息技術豐富幾何直觀。

借助于直觀形象模型理解抽象的數學概念以及抽象的數量關系是小學生學習數學的重要方法。模型可以讓學生直接接觸到幾何的知識，直觀而有效。如在教學“圓柱的認識”時，直接出示薯片包裝盒、水杯等實物，給學生造成強烈的視覺沖擊，圓柱的基本特征映入眼簾，一覽無遺。

多媒體輔助教學是運用現代信息技術與教學有機結合的一種教學方式，它可以把抽象的知識通過形、聲、情、意形象化，讓學生直觀感知和理解數學問題，有利于優化學生的認知過程，培養學生的幾何直觀能力。因此，教學中要深入淺出、化難為易、運用多媒體給學生提供一些具體的、生動的直觀材料做支柱。如在“認識直線”教學中，通過多媒體演示，直線是將一條線段的兩端無線延長所形成的圖形。這樣利用多媒體化虛為實、化抽象為具體、化模糊為清晰、化靜態為動態的特殊功能為學生的學習提供了直觀例證，充分調動了學生多種感官的協同參與，不僅給學生滲透了極限思想，而且豐富了學生的幾何直觀。

總之，幾何直觀的培養應貫穿整個小學數學教學的全過程，通過對學生幾何直觀能力的培養，使學生學會數學的一種思考方式和學習方式，以促進學生能力的提升和數學素養的形成，讓學生的幾何直觀能力從簡約的圖形中走向豐富的 數學思考。

三、運用幾何直觀應注意的問題。

幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路和預測結果。蘇霍姆林斯基在《給教師的建議》一書《談談直觀性問題》中，寫到物體的直觀形象本身，也可能把學生的注意力吸引住一個相當長的時間，但是運用直觀性的目的絕不是為了整節課地抓住學生的注意不放。在課堂上引進直觀手段，倒是為了在教學的某一個階段上使兒童擺脫形象，在思維上過渡到概括性的真理和規律性上去。因此，在教學中運用幾何直觀時應該注意一些問題，從而更好的發展學生的幾何直觀能力。

首先，要適時運用幾何直觀。在教學中常常會遇到一些出乎預料的情況，就是直觀教具以其某一個細節束縛住了學生的注意力，不僅沒有幫助反而妨礙了學生去思考老師本來想引導他們去思考的抽象真理。幾何直觀應當使學生把注意力放在最主要、最本質的東西上去。

其次，要適度運用幾何直觀。在運用幾何直觀時，必須考慮到怎樣由具體過渡到抽象，直觀手段在教學的哪一個環節上將是不再需要的，那時學生已經不應當把注意力放在直觀手段上。幾何直觀只是在促進思維積極化的一定階段上才是需要的。第三，要準確運用幾何直觀。在運用幾何直觀的實際教學中，許多學生往往由于畫圖不準確、討論不全面、理解片面等原因導致出錯，或有一定的誤差干擾，失去數學問題原有的科學性與嚴密性。因此教學中應讓學生掌握畫圖技巧，準確運用幾何直觀解決問題。

幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學本質，體驗數學創造性工作歷程，開發學生的創造激情，形成良好的思維品質。“刪繁就簡三秋樹，領異標新二月花”，要讓簡約的幾何直觀真正充滿張力，成為師生生命成長的棲息地，要讓小學數學教學從幾何直觀中的簡約中，真正走向更為深刻的思維價值的豐富，還需要我們在今后的教學實踐中不斷地思考和探索。