第一篇：理解矩陣(個人認為這是關于矩陣最精彩的理解,推薦~~)

理解矩陣（個人認為這是關于矩陣最精彩的理解，推薦~~）來源： 曾雅文的日志

線性代數課程，無論你從行列式入手還是直接從矩陣入手，從一開始就充斥著莫名其妙。比如說，在全國一般工科院系教學中應用最廣泛的同濟線性代數教材（現在到了第四版），一上來就介紹逆序數這個“前無古人，后無來者”的古怪概念，然后用逆序數給出行列式的一個極不直觀的定義，接著是一些簡直犯傻的行列式性質和習題——把這行乘一個系數加到另一行上，再把那一列減過來，折騰得那叫一個熱鬧，可就是壓根看不出這個東西有嘛用。大多數像我一樣資質平庸的學生到這里就有點犯暈：連這是個什么東西都模模糊糊的，就開始鉆火圈表演了，這未免太“無厘頭”了吧！于是開始有人逃課，更多的人開始抄作業。這下就中招了，因為其后的發展可以用一句峰回路轉來形容，緊跟著這個無厘頭的行列式的，是一個同樣無厘頭但是偉大的無以復加的家伙的出場——矩陣來了！多年之后，我才明白，當老師犯傻似地用中括號把一堆傻了吧嘰的數括起來，并且不緊不慢地說：“這個東西叫做矩陣”的時候，我的數學生涯掀開了何等悲壯辛酸、慘絕人寰的一幕！自那以后，在幾乎所有跟“學問”二字稍微沾點邊的東西里，矩陣這個家伙從不缺席。對于我這個沒能一次搞定線性代數的笨蛋來說，矩陣老大的不請自來每每搞得我灰頭土臉，頭破血流。長期以來，我在閱讀中一見矩陣，就如同阿Q見到了假洋鬼子，揉揉額角就繞道走。

事實上，我并不是特例。一般工科學生初學線性代數，通常都會感到困難。這種情形在國內外皆然。瑞典數學家Lars Garding在其名著Encounter with Mathematics中說：“如果不熟悉線性代數的概念，要去學習自然科學，現在看來就和文盲差不多。”，然而“按照現行的國際標準，線性代數是通過公理化來表述的，它是第二代數學模型，...，這就帶來了教學上的困難。”事實上，當我們開始學習線性代數的時候，不知不覺就進入了“第二代數學模型”的范疇當中，這意味著數學的表述方式和抽象性有了一次全面的進化，對于從小一直在“第一代數學模型”，即以實用為導向的、具體的數學模型中學習的我們來說，在沒有并明確告知的情況下進行如此劇烈的paradigm shift，不感到困難才是奇怪的。

大部分工科學生，往往是在學習了一些后繼課程，如數值分析、數學規劃、矩陣論之后，才逐漸能夠理解和熟練運用線性代數。即便如此，不少人即使能夠很熟練地以線性代數為工具進行科研和應用工作，但對于很多這門課程的初學者提出的、看上去是很基礎的問題卻并不清楚。比如說：

* 矩陣究竟是什么東西？向量可以被認為是具有n個相互獨立的性質（維度）的對象的表示，矩陣又是什么呢？我們如果認為矩陣是一組列（行）向量組成的新的復合向量的展開式，那么為什么這種展開式具有如此廣泛的應用？特別是，為什么偏偏二維的展開式如此有用？如果矩陣中每一個元素又是一個向量，那么我們再展開一次，變成三維的立方陣，是不是更有用？

* 矩陣的乘法規則究竟為什么這樣規定？為什么這樣一種怪異的乘法規則卻能夠在實踐中發揮如此巨大的功效？很多看上去似乎是完全不相關的問題，最后竟然都歸結到矩陣的乘法，這難道不是很奇妙的事情？難道在矩陣乘法那看上去莫名其妙的規則下面，包含著世界的某些本質規律？如果是的話，這些本質規律是什么？

* 行列式究竟是一個什么東西？為什么會有如此怪異的計算規則？行列式與其對應方陣本質上是什么關系？為什么只有方陣才有對應的行列式，而一般矩陣就沒有（不要覺得這個問題很蠢，如果必要，針對m x n矩陣定義行列式不是做不到的，之所以不做，是因為沒有這個必要，但是為什么沒有這個必要）？而且，行列式的計算規則，看上去跟矩陣的任何計算規則都沒有直觀的聯系，為什么又在很多方面決定了矩陣的性質？難道這一切僅是巧合？

* 矩陣為什么可以分塊計算？分塊計算這件事情看上去是那么隨意，為什么竟是可行的？

* 對于矩陣轉置運算AT，有(AB)T = BTAT，對于矩陣求逆運算A-1，有(AB)-1 = B-1A-1。兩個看上去完全沒有什么關系的運算，為什么有著類似的性質？這僅僅是巧合嗎？

* 為什么說P-1AP得到的矩陣與A矩陣“相似”？這里的“相似”是什么意思？

* 特征值和特征向量的本質是什么？它們定義就讓人很驚訝，因為Ax =λx，一個諾大的矩陣的效應，竟然不過相當于一個小小的數λ，確實有點奇妙。但何至于用“特征”甚至“本征”來界定？它們刻劃的究竟是什么？

這樣的一類問題，經常讓使用線性代數已經很多年的人都感到為難。就好像大人面對小孩子的刨根問底，最后總會迫不得已地說“就這樣吧，到此為止”一樣，面對這樣的問題，很多老手們最后也只能用：“就是這么規定的，你接受并且記住就好”來搪塞。然而，這樣的問題如果不能獲得回答，線性代數對于我們來說就是一個粗暴的、不講道理的、莫名其妙的規則集合，我們會感到，自己并不是在學習一門學問，而是被不由分說地“拋到”一個強制的世界中，只是在考試的皮鞭揮舞之下被迫趕路，全然無法領略其中的美妙、和諧與統一。直到多年以后，我們已經發覺這門學問如此的有用，卻仍然會非常迷惑：怎么這么湊巧？

我認為，這是我們的線性代數教學中直覺性喪失的后果。上述這些涉及到“如何能”、“怎么會”的問題，僅僅通過純粹的數學證明來回答，是不能令提問者滿意的。比如，如果你通過一般的證明方法論證了矩陣分塊運算確實可行，那么這并不能夠讓提問者的疑惑得到解決。他們真正的困惑是：矩陣分塊運算為什么竟然是可行的？究竟只是湊巧，還是說這是由矩陣這種對象的某種本質所必然決定的？如果是后者，那么矩陣的這些本質是什么？只要對上述那些問題稍加考慮，我們就會發現，所有這些問題都不是單純依靠數學證明所能夠解決的。像我們的教科書那樣，凡事用數學證明，最后培養出來的學生，只能熟練地使用工具，卻欠缺真正意義上的理解。

自從1930年代法國布爾巴基學派興起以來，數學的公理化、系統性描述已經獲得巨大的成功，這使得我們接受的數學教育在嚴謹性上大大提高。然而數學公理化的一個備受爭議的副作用，就是一般數學教育中直覺性的喪失。數學家們似乎認為直覺性與抽象性是矛盾的，因此毫不猶豫地犧牲掉前者。然而包括我本人在內的很多人都對此表示懷疑，我們不認為直覺性與抽象性一定相互矛盾，特別是在數學教育中和數學教材中，幫助學生建立直覺，有助于它們理解那些抽象的概念，進而理解數學的本質。反之，如果一味注重形式上的嚴格性，學生就好像被迫進行鉆火圈表演的小白鼠一樣，變成枯燥的規則的奴隸。

對于線性代數的類似上述所提到的一些直覺性的問題，兩年多來我斷斷續續地反復思考了四、五次，為此閱讀了好幾本國內外線性代數、數值分析、代數和數學通論性書籍，其中像前蘇聯的名著《數學：它的內容、方法和意義》、龔昇教授的《線性代數五講》、前面提到的Encounter with Mathematics（《數學概觀》）以及Thomas A.Garrity的《數學拾遺》都給我很大的啟發。不過即使如此，我對這個主題的認識也經歷了好幾次自我否定。比如以前思考的一些結論曾經寫在自己的blog里，但是現在看來，這些結論基本上都是錯誤的。因此打算把自己現在的有關理解比較完整地記錄下來，一方面是因為我覺得現在的理解比較成熟了，可以拿出來與別人探討，向別人請教。另一方面，如果以后再有進一步的認識，把現在的理解給推翻了，那現在寫的這個snapshot也是很有意義的。

因為打算寫得比較多，所以會分幾次慢慢寫。也不知道是不是有時間慢慢寫完整，會不會中斷，寫著看吧。

------------

今天先談談對線形空間和矩陣的幾個核心概念的理解。這些東西大部分是憑著自己的理解寫出來的，基本上不抄書，可能有錯誤的地方，希望能夠被指出。但我希望做到直覺，也就是說能把數學背后說的實質問題說出來。

首先說說空間(space)，這個概念是現代數學的命根子之一，從拓撲空間開始，一步步往上加定義，可以形成很多空間。線形空間其實還是比較初級的，如果在里面定義了范數，就成了賦范線性空間。賦范線性空間滿足完備性，就成了巴那赫空間；賦范線性空間中定義角度，就有了內積空間，內積空間再滿足完備性，就得到希爾伯特空間。

總之，空間有很多種。你要是去看某種空間的數學定義，大致都是“存在一個集合，在這個集合上定義某某概念，然后滿足某些性質”，就可以被稱為空間。這未免有點奇怪，為什么要用“空間”來稱呼一些這樣的集合呢？大家將會看到，其實這是很有道理的。

我們一般人最熟悉的空間，毫無疑問就是我們生活在其中的（按照牛頓的絕對時空觀）的三維空間，從數學上說，這是一個三維的歐幾里德空間，我們先不管那么多，先看看我們熟悉的這樣一個空間有些什么最基本的特點。仔細想想我們就會知道，這個三維的空間：1.由很多（實際上是無窮多個）位置點組成；2.這些點之間存在相對的關系；3.可以在空間中定義長度、角度；4.這個空間可以容納運動，這里我們所說的運動是從一個點到另一個點的移動（變換），而不是微積分意義上的“連續”性的運動，上面的這些性質中，最最關鍵的是第4條。第1、2條只能說是空間的基礎，不算是空間特有的性質，凡是討論數學問題，都得有一個集合，大多數還得在這個集合上定義一些結構（關系），并不是說有了這些就算是空間。而第3條太特殊，其他的空間不需要具備，更不是關鍵的性質。只有第4條是空間的本質，也就是說，容納運動是空間的本質特征。

認識到了這些，我們就可以把我們關于三維空間的認識擴展到其他的空間。事實上，不管是什么空間，都必須容納和支持在其中發生的符合規則的運動（變換）。你會發現，在某種空間中往往會存在一種相對應的變換，比如拓撲空間中有拓撲變換，線性空間中有線性變換，仿射空間中有仿射變換，其實這些變換都只不過是對應空間中允許的運動形式而已。

因此只要知道，“空間”是容納運動的一個對象集合，而變換則規定了對應空間的運動。下面我們來看看線性空間。線性空間的定義任何一本書上都有，但是既然我們承認線性空間是個空間，那么有兩個最基本的問題必須首先得到解決，那就是：

1.空間是一個對象集合，線性空間也是空間，所以也是一個對象集合。那么線性空間是什么樣的對象的集合？或者說，線性空間中的對象有什么共同點嗎？

2.線性空間中的運動如何表述的？也就是，線性變換是如何表示的？

我們先來回答第一個問題，回答這個問題的時候其實是不用拐彎抹角的，可以直截了當的給出答案。線性空間中的任何一個對象，通過選取基和坐標的辦法，都可以表達為向量的形式。通常的向量空間我就不說了，舉兩個不那么平凡的例子：

L1.最高次項不大于n次的多項式的全體構成一個線性空間，也就是說，這個線性空間中的每一個對象是一個多項式。如果我們以x0, x1,..., xn為基，那么任何一個這樣的多項式都可以表達為一組n+1維向量，其中的每一個分量ai其實就是多項式中x(i-1)項的系數。值得說明的是，基的選取有多種辦法，只要所選取的那一組基線性無關就可以。這要用到后面提到的概念了，所以這里先不說，提一下而已。

L2.閉區間[a, b]上的n階連續可微函數的全體，構成一個線性空間。也就是說，這個線性空間的每一個對象是一個連續函數。對于其中任何一個連續函數，根據魏爾斯特拉斯定理，一定可以找到最高次項不大于n的多項式函數，使之與該連續函數的差為0，也就是說，完全相等。這樣就把問題歸結為L1了。后面就不用再重復了。

所以說，向量是很厲害的，只要你找到合適的基，用向量可以表示線性空間里任何一個對象。這里頭大有文章，因為向量表面上只是一列數，但是其實由于它的有序性，所以除了這些數本身攜帶的信息之外，還可以在每個數的對應位置上攜帶信息。為什么在程序設計中數組最簡單，卻又威力無窮呢？根本原因就在于此。這是另一個問題了，這里就不說了。

下面來回答第二個問題，這個問題的回答會涉及到線性代數的一個最根本的問題。

線性空間中的運動，被稱為線性變換。也就是說，你從線性空間中的一個點運動到任意的另外一個點，都可以通過一個線性變化來完成。那么，線性變換如何表示呢？很有意思，在線性空間中，當你選定一組基之后，不僅可以用一個向量來描述空間中的任何一個對象，而且可以用矩陣來描述該空間中的任何一個運動（變換）。而使某個對象發生對應運動的方法，就是用代表那個運動的矩陣，乘以代表那個對象的向量。

簡而言之，在線性空間中選定基之后，向量刻畫對象，矩陣刻畫對象的運動，用矩陣與向量的乘法施加運動。

是的，矩陣的本質是運動的描述。如果以后有人問你矩陣是什么，那么你就可以響亮地告訴他，矩陣的本質是運動的描述。

可是多么有意思啊，向量本身不是也可以看成是n x 1矩陣嗎？這實在是很奇妙，一個空間中的對象和運動竟然可以用相類同的方式表示。能說這是巧合嗎？如果是巧合的話，那可真是幸運的巧合！可以說，線性代數中大多數奇妙的性質，均與這個巧合有直接的關系。接著理解矩陣。

上一篇里說“矩陣是運動的描述”，到現在為止，好像大家都還沒什么意見。但是我相信早晚會有數學系出身的網友來拍板轉。因為運動這個概念，在數學和物理里是跟微積分聯系在一起的。我們學習微積分的時候，總會有人照本宣科地告訴你，初等數學是研究常量的數學，是研究靜態的數學，高等數學是變量的數學，是研究運動的數學。大家口口相傳，差不多人人都知道這句話。但是真知道這句話說的是什么意思的人，好像也不多。簡而言之，在我們人類的經驗里，運動是一個連續過程，從A點到B點，就算走得最快的光，也是需要一個時間來逐點地經過AB之間的路徑，這就帶來了連續性的概念。而連續這個事情，如果不定義極限的概念，根本就解釋不了。古希臘人的數學非常強，但就是缺乏極限觀念，所以解釋不了運動，被芝諾的那些著名悖論（飛箭不動、飛毛腿阿喀琉斯跑不過烏龜等四個悖論）搞得死去活來。因為這篇文章不是講微積分的，所以我就不多說了。有興趣的讀者可以去看看齊民友教授寫的《重溫微積分》。我就是讀了這本書開頭的部分，才明白“高等數學是研究運動的數學”這句話的道理。

不過在我這個《理解矩陣》的文章里，“運動”的概念不是微積分中的連續性的運動，而是瞬間發生的變化。比如這個時刻在A點，經過一個“運動”，一下子就“躍遷”到了B點，其中不需要經過A點與B點之間的任何一個點。這樣的“運動”，或者說“躍遷”，是違反我們日常的經驗的。不過了解一點量子物理常識的人，就會立刻指出，量子（例如電子）在不同的能量級軌道上跳躍，就是瞬間發生的，具有這樣一種躍遷行為。所以說，自然界中并不是沒有這種運動現象，只不過宏觀上我們觀察不到。但是不管怎么說，“運動”這個詞用在這里，還是容易產生歧義的，說得更確切些，應該是“躍遷”。因此這句話可以改成：

“矩陣是線性空間里躍遷的描述”。

可是這樣說又太物理，也就是說太具體，而不夠數學，也就是說不夠抽象。因此我們最后換用一個正牌的數學術語——變換，來描述這個事情。這樣一說，大家就應該明白了，所謂變換，其實就是空間里從一個點（元素/對象）到另一個點（元素/對象）的躍遷。比如說，拓撲變換，就是在拓撲空間里從一個點到另一個點的躍遷。再比如說，仿射變換，就是在仿射空間里從一個點到另一個點的躍遷。附帶說一下，這個仿射空間跟向量空間是親兄弟。做計算機圖形學的朋友都知道，盡管描述一個三維對象只需要三維向量，但所有的計算機圖形學變換矩陣都是4 x 4的。說其原因，很多書上都寫著“為了使用中方便”，這在我看來簡直就是企圖蒙混過關。真正的原因，是因為在計算機圖形學里應用的圖形變換，實際上是在仿射空間而不是向量空間中進行的。想想看，在向量空間里相一個向量平行移動以后仍是相同的那個向量，而現實世界等長的兩個平行線段當然不能被認為同一個東西，所以計算機圖形學的生存空間實際上是仿射空間。而仿射變換的矩陣表示根本就是4 x 4的。又扯遠了，有興趣的讀者可以去看《計算機圖形學——幾何工具算法詳解》。

一旦我們理解了“變換”這個概念，矩陣的定義就變成：

“矩陣是線性空間里的變換的描述。”

到這里為止，我們終于得到了一個看上去比較數學的定義。不過還要多說幾句。教材上一般是這么說的，在一個線性空間V里的一個線性變換T，當選定一組基之后，就可以表示為矩陣。因此我們還要說清楚到底什么是線性變換，什么是基，什么叫選定一組基。線性變換的定義是很簡單的，設有一種變換T，使得對于線性空間V中間任何兩個不相同的對象x和y，以及任意實數a和b，有：

T(ax + by)= aT(x)+ bT(y)，那么就稱T為線性變換。

定義都是這么寫的，但是光看定義還得不到直覺的理解。線性變換究竟是一種什么樣的變換？我們剛才說了，變換是從空間的一個點躍遷到另一個點，而線性變換，就是從一個線性空間V的某一個點躍遷到另一個線性空間W的另一個點的運動。這句話里蘊含著一層意思，就是說一個點不僅可以變換到同一個線性空間中的另一個點，而且可以變換到另一個線性空間中的另一個點去。不管你怎么變，只要變換前后都是線性空間中的對象，這個變換就一定是線性變換，也就一定可以用一個非奇異矩陣來描述。而你用一個非奇異矩陣去描述的一個變換，一定是一個線性變換。有的人可能要問，這里為什么要強調非奇異矩陣？所謂非奇異，只對方陣有意義，那么非方陣的情況怎么樣？這個說起來就會比較冗長了，最后要把線性變換作為一種映射，并且討論其映射性質，以及線性變換的核與像等概念才能徹底講清楚。我覺得這個不算是重點，如果確實有時間的話，以后寫一點。以下我們只探討最常用、最有用的一種變換，就是在同一個線性空間之內的線性變換。也就是說，下面所說的矩陣，不作說明的話，就是方陣，而且是非奇異方陣。學習一門學問，最重要的是把握主干內容，迅速建立對于這門學問的整體概念，不必一開始就考慮所有的細枝末節和特殊情況，自亂陣腳。

接著往下說，什么是基呢？這個問題在后面還要大講一番，這里只要把基看成是線性空間里的坐標系就可以了。注意是坐標系，不是坐標值，這兩者可是一個“對立矛盾統一體”。這樣一來，“選定一組基”就是說在線性空間里選定一個坐標系。就這意思。

好，最后我們把矩陣的定義完善如下：

“矩陣是線性空間中的線性變換的一個描述。在一個線性空間中，只要我們選定一組基，那么對于任何一個線性變換，都能夠用一個確定的矩陣來加以描述。”

理解這句話的關鍵，在于把“線性變換”與“線性變換的一個描述”區別開。一個是那個對象，一個是對那個對象的表述。就好像我們熟悉的面向對象編程中，一個對象可以有多個引用，每個引用可以叫不同的名字，但都是指的同一個對象。如果還不形象，那就干脆來個很俗的類比。

比如有一頭豬，你打算給它拍照片，只要你給照相機選定了一個鏡頭位置，那么就可以給這頭豬拍一張照片。這個照片可以看成是這頭豬的一個描述，但只是一個片面的的描述，因為換一個鏡頭位置給這頭豬拍照，能得到一張不同的照片，也是這頭豬的另一個片面的描述。所有這樣照出來的照片都是這同一頭豬的描述，但是又都不是這頭豬本身。

同樣的，對于一個線性變換，只要你選定一組基，那么就可以找到一個矩陣來描述這個線性變換。換一組基，就得到一個不同的矩陣。所有這些矩陣都是這同一個線性變換的描述，但又都不是線性變換本身。但是這樣的話，問題就來了如果你給我兩張豬的照片，我怎么知道這兩張照片上的是同一頭豬呢？同樣的，你給我兩個矩陣，我怎么知道這兩個矩陣是描述的同一個線性變換呢？如果是同一個線性變換的不同的矩陣描述，那就是本家兄弟了，見面不認識，豈不成了笑話。

好在，我們可以找到同一個線性變換的矩陣兄弟們的一個性質，那就是：

若矩陣A與B是同一個線性變換的兩個不同的描述（之所以會不同，是因為選定了不同的基，也就是選定了不同的坐標系），則一定能找到一個非奇異矩陣P，使得A、B之間滿足這樣的關系：

A = P-1BP

線性代數稍微熟一點的讀者一下就看出來，這就是相似矩陣的定義。沒錯，所謂相似矩陣，就是同一個線性變換的不同的描述矩陣。按照這個定義，同一頭豬的不同角度的照片也可以成為相似照片。俗了一點，不過能讓人明白。

而在上面式子里那個矩陣P，其實就是A矩陣所基于的基與B矩陣所基于的基這兩組基之間的一個變換關系。關于這個結論，可以用一種非常直覺的方法來證明（而不是一般教科書上那種形式上的證明），如果有時間的話，我以后在blog里補充這個證明。

這個發現太重要了。原來一族相似矩陣都是同一個線性變換的描述啊！難怪這么重要！工科研究生課程中有矩陣論、矩陣分析等課程，其中講了各種各樣的相似變換，比如什么相似標準型，對角化之類的內容，都要求變換以后得到的那個矩陣與先前的那個矩陣式相似的，為什么這么要求？因為只有這樣要求，才能保證變換前后的兩個矩陣是描述同一個線性變換的。當然，同一個線性變換的不同矩陣描述，從實際運算性質來看并不是不分好環的。有些描述矩陣就比其他的矩陣性質好得多。這很容易理解，同一頭豬的照片也有美丑之分嘛。所以矩陣的相似變換可以把一個比較丑的矩陣變成一個比較美的矩陣，而保證這兩個矩陣都是描述了同一個線性變換。

這樣一來，矩陣作為線性變換描述的一面，基本上說清楚了。但是，事情沒有那么簡單，或者說，線性代數還有比這更奇妙的性質，那就是，矩陣不僅可以作為線性變換的描述，而且可以作為一組基的描述。而作為變換的矩陣，不但可以把線性空間中的一個點給變換到另一個點去，而且也能夠把線性空間中的一個坐標系（基）表換到另一個坐標系（基）去。而且，變換點與變換坐標系，具有異曲同工的效果。線性代數里最有趣的奧妙，就蘊含在其中。理解了這些內容，線性代數里很多定理和規則會變得更加清晰、直覺。

第二篇：老師最理解我教案

《老師最理解我》教案

臨朐縣龍泉小學陳 緩

教學目標

1、賞《老師你好》后，能說出歌曲所表現的情緒，能設計形體動作參與歌曲表現

2、會唱《老師最理解我》，表現歌曲的情緒能選擇合適的節奏性，用打擊樂器為歌曲伴奏

3、試把寫給老師的祝福語填寫到歌曲中并演唱出來

教學重點

學會演唱《老師最理解我》這首歌，并能選擇合適的節奏用打擊樂器為歌曲伴奏 教學難點

能將寫給老師的祝福語填寫到歌曲中并唱出來

教學課時

一課時

教學過程

一、聽賞歌曲《老師你好》

1、《老師你好》的音樂邊拍手進教室

2、歌曲并回答問題

（1）歌曲贊美了誰？（老師）

（2）歌曲的情緒和速度怎樣？（中速、深情）

（3）能用什么體態動作參與歌曲的表現？

3、聽賞歌曲并參與表現

學生們設計如拍手、跺腳、擺動身體等動作參與表現歌曲

4、寫祝福語獻給老師

二、歌曲《老師最理解我》

1、聆聽歌曲

2、聯系伴奏

用拍手等動作為歌曲伴奏

3、學唱歌曲

（1）有感情的朗讀歌詞，師生分角色領讀、齊讀

（2）聽錄音輕聲跟唱一次歌詞

（3）學生隨琴聲自由劃拍哼唱旋律，找出難點

（4）解決歌曲中的切分節奏難點

三、歌曲表現

1、用歌聲表現歌曲的歡快情緒，可以分齊唱和領唱

2、加入打擊樂器伴奏表現歌曲

四、嘗試填詞

1、各組分別將填寫的歌詞演唱出來，互評哪一組填的最好，唱的順口

2、將填寫的歌詞作為歌曲的第三段，全班激情演繹歌曲

五、小結

這節課我們既聆聽了歌曲《老師你好》，又學會了《老師最理解我》，讓我們在教師節來臨時為我們尊敬的老師獻上深深的祝福吧

第三篇：教材理解這是一首歌詞朗朗上口的歌曲

教材理解這是一首歌詞朗朗上口的歌曲，歌詞表現的內容非常符合幼兒的心理，是幼兒生活的一種體現，歌詞既有情節又有細節。教師在教學活動中引導幼兒理解歌曲中生氣吵架、拉勾、講和的情節。教師藥成分用音樂和自己的表情來表現。通過演唱歌曲，激發幼兒與同伴交往、和解的積極心態。

教學描述：陳超老師用一句問話：“小朋友，你們有和你的好朋友吵過架嗎？吵過架后和好了嗎？又是怎么和好的？，是想通過幼兒的回憶，在小朋友自己和同伴發生吵架的事情讓幼兒來說說解決的情況。又請了兩個小朋友來表演，加深幼兒的對吵架的印象。這樣讓幼兒自己來表演，可以讓其他幼兒有更多的共鳴，記憶比較深刻形象，也鍛煉了幼兒的表演能力。極愛是在幼兒的表演后的評價時，注意自己表情的變化和肢體動作的運用，讓幼兒充分理解對吵架的印象，這樣為幼兒理解歌次有了較好的鋪墊。教師在讓幼兒學唱歌曲時就加上動作表演，她是想加深幼兒對歌詞的記憶，增加歌曲的生動有趣，其實不然，幼兒注意了動作的表現而沒去關注歌詞，所以幼兒學的不是很透側。

整個活動幼兒學唱和演唱，教師都加于動作的表演，幼兒學的興致是很高，但孩子學習的有效性不是很好。到最后幼兒還是沒有學會唱《拉拉勾》。

感想和啟示：對于歌唱活動，教師首先要對歌曲一定熟悉，特別是歌曲的旋律，如果忘了歌詞，教師還可以哼旋律，幼兒就可以自教師的旋律中快樂的活動。還有歌唱活動在幼兒學唱部分是，教師一定要幼兒聽清出歌詞內容，教師一定要清唱示范，這樣幼兒就聽清楚了，在幼兒還不熟悉歌詞時，不要讓幼兒用動作來表達歌詞的意境，因幼兒不熟悉歌詞，也不知歌曲的的旋律。這樣影響了整個活動的有效性。

第四篇：閱讀理解《最棒的玉米》

閱讀聯系四

最棒的玉米常成 從前有一個老婆婆，她在屋子的后面種了一大片玉米。眼看著收獲的日子一天天近了。一天，一個顆粒飽滿(guǒ)()著幾層綠外衣的玉米說道：“收獲那天，老婆婆肯定先摘我，因為我是今年長得最好的玉米！”周圍的玉米聽了也都隨聲附和地稱贊著。收獲那天，老婆婆只看了看那個最棒的玉米，并沒有把他摘走。“老婆婆可能眼神不大好，沒注意到我。明天，明天，她一定會把我摘走的！”那個很棒的玉米自我安慰著。

第二天，老婆婆又唱著快樂的歌兒收走了其他的玉米，可惟獨沒有摘這個棒玉米。“明天，老婆婆一定會把我摘走的！”棒玉米仍然自我安慰著??

第三天，第四天，老婆婆沒有來，從這以后的好多天，老婆婆也沒有來過，棒玉米被摘走的希望越來越(miǎo)()茫??

直到一個漆黑的雨夜，棒玉米才突然感悟到：“我總以為自己是今年最好的玉米，我對自己的估量太高了。其實，我是今年最差的玉米，連老婆婆都不要我了。白天，我頂著烈日，原本飽滿而又排列整齊的顆粒變得干(biě)()堅硬，整個身體像要炸裂一般。夜晚，我又要和風雨搏斗，眼看軀體快要腐爛，我真是自作自受啊！”他絕望，他悲痛，他甚至想自行了斷，在這個暴風(zhòu)()雨的夜晚永遠地消失掉??

不知不覺，一縷柔和的陽光照在棒玉米的臉上，他抬起頭來，睜開眼睛，一下就看到了站在他面前的老婆婆。

老婆婆也在用一種柔和的目光瞧著他，自言自語道：“這可是今年最好的玉米，他的種子明年一定比他今年長得要好呦！”

這時，棒玉米才明白老婆婆為什么不摘走他的原因。

正當他想著的時候，這個獲此殊榮的棒玉米被老婆婆輕輕地摘了下來??相信自己，_____________________。

16．在文中括號處寫上漢字。（2分）

（）（）（）（）

17．“最棒的玉米”經歷了什么樣的心理歷程？（2分）

18．“這時，棒玉米才明白老婆婆為什么不摘走他的原因。”你認為老婆婆不早摘走這只棒玉米的原因是什么？（2分）

19．在文末最后畫橫線處填上一句話，要使前后文意相通。（2分）

20．（選做）假如老婆婆把“最棒的玉米”和其他玉米一起摘走，你認為會發生什么樣的結局？（2分）

21．（選做）你有沒有“棒玉米”的毛病？你從這個故事里得到什么啟發？（3分）

請將你從這個故事中獲得的啟示寫一篇讀后感。500字以上。

16．裹，渺，癟，驟17．由患得患失、垂頭喪氣到獲得“殊榮”18．想讓他多接受陽光和風雨，多吸收養分，成為最棒的種子玉米19．如：“但有時候需要再等一下”“但不要急于求成”“但成功的過程即是等待的過程”“天生我材必有用”“希望總在前頭”20．落入平庸，獲不了“殊榮”，成不了種子。21．人要相信自己，成功需要等待。付出了，并非所有的事情都立竿見影，耐心最為重要。要接受必要的磨練。不要半途而廢。

第五篇：老師最理解我 說課稿

《老師最理解我》說課稿

各位老師你們好，我是XXX。今天我說課的內容是義務教育課程標準實驗教科書湖北科技版小學三年級音樂課本第一單元《老師您好》中的歌曲《老師最理解我》。本次說課我將分四個板塊向大家介紹，它們是：教材分析、教學方法、學法指導和教學過程四個部分進行。首先讓我們來看一下本次說課的第一部分即教材分析。

一、說教材

1、教材分析

《老師最理解我》這一課是通過唱歌來表現師生情誼的歌曲。歌詞采用小學生語言，真摯的表達了學生對老師的信任與深深的敬意。歌曲為C大調，4/4拍，由五個樂句構成兩段式加尾聲的結構。

2、學情分析

本課的教學對象是三年級學生，他們對音樂興趣很濃，有較好的學習習慣，是一群非常天真活潑的學生；但由于學生都來自農村，之前沒有經過正規的音樂訓練，音樂基礎很差，在他們眼里上音樂課就是把一首歌唱會就行了。為了轉變一堂課一首歌傳統的觀念，所以我在平時每節課堂中做到激發他們學習音樂的熱情，提高他們音樂綜合素質。

3、根據教材的特點以及小學生的年齡特征與心理特點，我制定了以下教學目標：

（1）、能邊做律動邊有感情的演唱歌曲，并用打擊樂器來表現音樂。

（2）、學會準確把握X ＸX；X ＸＸ Ｘ—的切分節奏。

（3）、能用不同的方式來表達對老師真摯的愛。

4、針對以上教學目標，我將本課的教學重點和難點，分別確定為：重點：能有感情的演唱歌曲。難點：能用不同的方式來表達對老師真摯的愛。

5、為更好的達到教學效果，我在課前還作了充分的教具準備：打擊樂器，雙響筒，多媒體課件，電子琴。

二、說教學方法

為了全面準確落實本課目標，結合學生年齡特點，我采用的教學方法有：

1、情景教學法：通過學生與老師之間親切交談心與心溝通，讓學生更好的表達對老師的熱愛之情。

2、律動教學法：單純唱一首歌對低年級的學生來說有點枯燥，配以簡單、直觀的動作可以使課堂氣氛更活躍。

3、試唱與聽唱相結合教學法：這樣為以后孩子們獨立視譜歌唱打下良好的基礎。

4、創作教學法：充分發揮學生主體作用，拓展學生想像空間，增強他們的創造能力。

三、說學法

學生是學習的主體，激發學生有感情的歌唱，選擇方法很重要。根據教材內容和學生年齡特點，我在學法指導時緊緊圍繞教學目標，主要通過學唱歌曲表現歌曲，創作活動這些環節讓學生去感知音樂，表現學生對教師的信任與深深的敬意。

四、說教學過程

（一）組織教學，導入新課

許多美學家認為，音樂是最富有情感的藝術。在組織教學這一環節，我讓每位學生聽音樂《每當我走過老師窗前》進入教室，以此來創設“音樂課堂”氛圍。上課伊始我就提問：剛才我們聽到的歌是贊美誰的?(老師)回答真棒。同學們，你們知道每年的9月10日是什么節？（教師節）請同學們說說你們最喜歡的老師?(學生搶著回答：xx老師??)既然大家這么喜歡你們 的老師，我們今天何不共唱一首歌來表達此時的心情呢？引出本課所要學的歌曲。

設計意圖：通過學生的聽音樂，老師與學生親切交談，心與心的溝通，與學生距離拉近了，激發他們學習音樂的興趣，他們唱歌的欲望更強了！

（二）歌曲教學

在這一環節我主要是讓學生通過學唱歌曲和表現歌曲來表達歌曲情感。

A、學唱歌曲

音樂是聽覺藝術，聽覺體驗是學習音樂的基礎。首先播放課件里完整聆聽歌曲，讓學生對音樂旋律有初步感受。

許多音樂家認為音樂教學應努力創設一些美的情景，使兒童既受到情感熏陶，又獲得形式技能領悟。所以在這一環節我用自己的歌聲、動作將音樂的美傳達給學生，激起情感共鳴。通過這么一表演，吸引每位學生注意力，他們也不由自主動起來。

設計意圖：為了努力提高學生音樂綜合素質，更好的唱準歌曲中每個節奏，音符。

我遵循循序漸進教學原則，先讓學生有感情朗讀歌詞，加深對歌詞含義理解。采用聽唱法訓練。（教師彈琴，帶動學生放慢速度一起唱）再用視譜與聽唱相結合教學法，及我彈琴唱簡譜學生唱對應歌詞。在唱的過程中我不時鼓勵全班同學：“你們真聰明，唱得非常好！”使他們充滿自信的參與到音樂課堂中。切分節奏板書黑板上，先用拍手示范，再放在唱譜和歌詞中訓練唱準。

B、表現歌曲

在表現歌曲這一環節，根據低年級年齡、心理特點，我讓學生通過有感情唱歌曲，邊律動分角色表演歌曲，用打擊樂器表現歌曲來完成。

a、設計意圖：為了讓學生對歌曲正確把握，激發學生富有情感歌唱，更好的表達對老師的熱愛。

采用提問方式：請同學們跟課件音樂唱歌曲后說出歌曲的情緒與

速度？學生回答我及時評價，并用親切鼓勵的語氣肯定學生的成績。歸納：情緒：歡快的。速度：中速加快。

b、設計意圖：為了突出以學生為主體，教師為主導的課堂教學主流。引導學生邊做動作邊用歡快的情緒演唱，（隨課件伴奏音樂）變換演唱形式，由以往的齊唱改為一領眾合演唱形式，在這一刻為了爭當上臺領唱角色，學生們都歡呼，叫了起來：“老師，我，我，選我??”在一張張充滿期盼和快樂的面容中，我讓一位學生上臺領唱，要求每位學生扮演好自己表演的角色，并鼓勵學生可以做自己喜歡的動作，這樣學生學習音樂的積極性更高了，課堂氣氛更活躍了。

c、設計意圖：為了更進一步激發學生學習音樂的興趣，增強課堂氣氛，讓學生從學習音樂中體驗到快樂。

剛才你們的表演棒極了！下面我們加入打擊樂器伴奏，歌聲會變得更美妙！結合學生年齡、心理特點，我遵循因材施教的教學原則，在有限的時間內我沒有訓練較準的指定節奏，而是我的示范、引導讓學生隨著歌曲旋律節奏的特點邊敲打邊演唱歌曲。

（三）嘗試不同方式表達對老師的情意。

設計意圖：新課標指出：“教科書越來越不可能成為唯一的課堂資源，要創造性開展各類活動，充分發揮學生主體作用。”

為了激發學生表現欲望，我說：“大家僅用這首歌曲來表達對老師的愛肯定不夠。”

1、自由討論：想一想選擇你喜歡的方式表達對老師的愛？

2、展示討論活動成果。

a、現場繪畫。

b、寫給老師一段知心話。

c、個別學生上臺表演舞蹈。

??????

在這一環節我采取自主活動方式，即根據自己的特長與愛好選擇，展開活動積極鼓勵，評價每一位學生的勞動成果。我相信哪怕一個眼神，一個笑容都會有利于學生表現力創造力的發展。

（四）、教學小結。

今天，看到你們精彩的表演來表達對老師的敬意，我代表所有的老師感謝大家！但愿你們這些樹苗成為國家棟梁之才！

（五）、教學反思

1、本節課堂能夠讓學生在快樂中有感情演唱歌曲，充分培養學生自信的歌唱，使學生享受到美得愉悅，沒的熏陶。

2、充分發揮學生主體作用，讓學生充當表演者角色，學生能夠根據自己喜歡的方式表達對老師的愛，培養學生的想象力和創造力。但在教后反思中仍有些不足。

由于班上學生都來自農村，學生音樂綜合素質較差，導致學生在有限時間里對歌曲的情感，節奏等方面把握還不夠準確。總之教學研究沒有最好，只有更好，我需在以后的教學中不斷學習進步！