第一篇：數學課例研究報告

數學課例研究報告

一．研究目標

基本目標：通過研究體現數學課堂教學中學生學生主體作用的激發、學生參與作用的操作、學生能力培養方面的發揮、教學策略多樣化、教學模式系列化的課堂教學實例及理論成果。

衍生目標：在研究中，通過課例實踐，讓學生在“做中學”，激發和增強對學習數學的興趣，體驗自主學習與探究思考的過程，發現和掌握數學學習方法，建構自己的數學知識體系，發展自己的數學思維，感悟數學之美，提高數學學習水平。

二、課題研究的內容與方法

（一）研究的內容

課例研究，是最基礎的教學實踐研究，從課例中，我們可以觀察到的教與學實踐過程要素是：

●關于教師的教：

A、教學設計的適切性（包涵信息技術應用的適切性）

B、教學過程的生成性（教學機智）

C、教學評價的有效性

關于學生的學：

A、學習的準備

B、學習的注意程度

C、數學思維的深度、廣度、靈活性

D、知識鞏固能力

●關于信息技術與數學課程整合的過程：

構建有效教學過程，促進學生意義建構

因此，我們的研究內容主要包括對課例的系統分析、總結和課例要素的觀察分析。

（二）研究的方法

本課題主要采用行動研究法。以信息技術與初中數學課程整合的研究為載體，把探索研究結果與運用研究成果結合起來，邊設計邊實施，邊實施邊修正，邊修正邊反思，促進課題研究的深入。重點初中各年級的教材內容為主，選擇一些突破口。選擇若干個點分析其理論基礎、內容特點、技術特征、學生的學習方式、學習結果及學生的個性發展等進行研究。

課例研究的流程包括五個步驟：

（1）課前分析（教學內容分析、學生分析）；

（2）教學設計；

（3）課堂教學觀察；

（4）教學反思；

（5）教學過程建模。

三、研究的過程

第一階段：行動序曲

初步的個人備課和準備階段：

1．研討課例研究目標的構建與課例內容的確立，形成課例的初步研究方案。

2．制定和申報課例研究方案，成立課例研究組。

第二階段：實踐探索：

1．開展課例研究工作，確定有關研究課的內容，注重集體研討。

2搜集、整理內容，以便有計劃、有系統地進行研究。

3．有實驗教師講課，研究小組聽課、評課，形成一定的教學模式。

第三：課后反思

第四階段：全面總結課題研究工作，撰寫集體備課筆記 四：課例研修報告：

課例名稱：

1、一元二次方程

教師：王偉

課時數：一課時

課型：新授課

一元二次方程 ４．分解因式法

一、學生知識狀況分析

學生的知識技能基礎：在前幾冊學生已經學習了一元一次方程、二元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程等，初步感受了方程的模型作用，并積累了解一元一次方程的方法，熟練掌握了解一元一次方程的步驟；在八年級學生學習了分解因式，掌握了提公因式法及運用公式法（平方差、完全平方）熟練的分解因式；在本章前幾節課中又學習了配方法及公式法解一元二次方程，掌握了這兩種方法的解題思路及步驟。

學生活動經驗基礎：在相關知識的學習過程中，學生已經經歷了用配方法和公式法求一元二次方程的解的過程，并在現實情景中加以應用，切實提高了應用意識和能力，也感受到了解一元二次方程的必要性和作用；同時在以前的數學學習中，學生已經經歷了很多合作學習的過程，具有了一定的合作學習的經驗，具備了一定的合作與交流的能力。

二、教學任務分析

教科書基于用分解因式法解一元二次方程是解決特殊問題的一種簡便、特殊的方法的基礎之上，提出了本課的具體學習任務：能根據已有的分解因式知識解決形如“x(x－a)=0”和“x2－a2=0”的特殊一元二次方程。但這僅僅是這堂課具體的教學目標，或者說是一個近期目標。數學教學由一系列相互聯系而又漸次遞進的課堂組成，因而具體的課堂教學也應滿足于遠期目標，或者說，數學教學的遠期目標，應該與具體的課堂教學任務產生實質性聯系。本課《分解因式法》內容從屬于“方程與不等式”這一數學學習領域，因而務必服務于方程教學的遠期目標：“經歷由具體問題抽象出一元二次方程的過程，體會方程是刻畫現實世界中數量關系的一個有效數學模型，并在解一元二次方程的過程中體會轉化的數學思想，進一步培養學生分析問題、解決問題的意識和能力。”同時也應力圖在學習中逐步達成學生的有關情感態度目標。為此，本節課的教學目標是：

教學目標

1、能根據具體一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法，體會解決問題方法的多樣性；

2、會用分解因式法（提公因式法、公式法）解決某些簡單的數字系數的一元二次方程；

3、通過分解因式法的學習，培養學生分析問題、解決問題的能力，并體會轉化的思想。

4、通過小組合作交流，嘗試在解方程過程中，多角度地思考問題，尋求從不同角度解決問題的方

法，并初步學會不同方法之間的差異，學會在與他人的交流中獲益。

三、教學過程分析

本節課設計了七個教學環節：第一環節：復習回顧；第二環節：情境引入，探究新知；第三環節：例題解析；第四環節：鞏固練習；第五環節：拓展延伸；第六環節：感悟與收獲；第七環節：布置作業。

第一環節：復習回顧

內容：

1、用配方法解一元二次方程的關鍵是將方程轉化為(x+m)2=n（n≥0）的形式。

2、用公式法解一元二次方程應先將方程化為一般形式。

3、選擇合適的方法解下列方程： ①x2-6x=7 ②3x2+8x-3=0 目的：以問題串的形式引導學生思考，回憶兩種解一元二次方程的方法，有利于學生銜接前后知識，形成清晰的知識脈絡，為學生后面的學習作好鋪墊。實際效果：第一問題學生先動筆寫在練習本上，有個別同學少了條件“n≥0”。第二問題由于較簡單，學生很快回答出來。

第三問題由學生獨立完成，通過練習學生復習了配方法及公式法，并能靈活應用，提高了學生自信心。

第二環節：情景引入、探究新知

內容：

1、師：有一道題難住了我，想請同學們幫助一下，行不行？

生：齊答行。師：出示問題，一個數的平方與這個數的3倍有可能相等嗎？如果能，這個數是幾？你是怎樣求出來的？

說明：學生獨自完成，教師巡視指導，選擇不同答案準備展示。

附：學生A：設這個數為x，根據題意，可列方程

x2=3x ∴x2-3x=0 ∵a=1,b=-3,c=0 ∴ b2-4ac=9 ∴ x1=0, x2=3 ∴ 這個數是0或3。

學生B：:設這個數為x，根據題意，可列方程 x2=3x ∴ x2-3x=0 x2-3x+(3/2)2=(3/2)2(x-3/2)2=9/4 ∴ x-3/2=3/2或x-3/2=-3/2 ∴ x1=3, x2=0 ∴這個數是0或3。

學生C：:設這個數為x，根據題意，可列方程 x2=3x ∴ x2-3x=0

即x(x-3)=0 ∴ x=0或x-3=0 ∴ x1=0, x2=3 ∴ 這個數是0或3。

學生D：設這個數為x，根據題意，可列方程 x2=3x 兩邊同時約去x,得

∴ x=3 ∴ 這個數是3。

2、師：同學們在下面用了多種方法解決此問題，觀察以上四個同學的做法是否存在問題?你認為那種方法更合適?為什么? 說明：小組內交流,中心發言人回答,及時讓學生補充不同的思路，關注每一個學生的參與情況。

超越小組：我們認為D小組的做法不正確,因為要兩邊同時約去X,必須確保X不等于0,但題目中沒有說明。雖然我們組沒有人用C同學的做法,但我們一致認為C同學的做法最好,這樣做簡單又準確.學生E：補充一點，剛才講X須確保不等于0，而此題恰好X=0,所以不能約去，否則丟根.師：這兩位同學的回答條理清楚并且敘述嚴密，相信下面同學的回答會一個比一個棒!(及時評價鼓勵，激發學生的學習熱情)

3、師：現在請C同學為大家說說他的想法好不好? 生：齊答好

學生C：X(X-3)=0 所以X1=0或X2=3 因為我想330=0, 03(-3)=0，030=0反過來，如果ab=0,那么a=0或b=0,所以a與b至少有一個等于0

4、師：好，這時我們可這樣表示：

如果a3b=0,那么a=0或b=0 這就是說：當一個一元二次方程降為兩個一元一次方程時，這兩個一元一次方程中用的是“或”，而不用“且”。

所以由x(x-3)=0得到x=0和x-3=0時，中間應寫上“或”字。

我們再來看c同學解方程x2=3x的方法，他是把方程的一邊變為0，而另一邊可以分解成兩個因式的乘積，然后利用a3b=0,則a=0或b=0,把一元二次方程變成一元一次方程，從而求出方程的解。我們把這種解一元二次方程的方法稱為分解因式法，即

當一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時，我門就采用分解因式法來解一元二次方程。

目的：通過獨立思考,小組協作交流,力求使學生根據方程的具體特征,靈活選取適當的解法.在操作活動過程中,培養學生積極的情感,態度，提高學生自主學習和思考的能力,讓學生盡可能自己探索新知,教師要關注每一位學生的發展.問題3和4進一步點明了分解因式的理論根據及實質,教師總結了本節課的重點.實際效果：對于問題1學生能根據自己的理解選擇一定的方法解決，速度比較快。第2問讓學生合作解決，學生在交流中產生了不同的看法，經過討論探究進一步了解了分解因式法解一元二次方程是一種更特殊、簡單的方法。C同學對于第3問的回答從特殊到一般講解透徹，學生語言學生更容易理解。問題4的解決很自然地探究了新知——分解因式法.并且也點明了運用分解因式法解一元二次方程的關鍵：將方程左

邊化為因式乘積,右邊化為0，這為后面的解題做了鋪墊。

說明：如果ab=0，那么a=0或b=0，“或”是“二者中至少有一個成立”的意思，包括兩種情況，二者同時成立；二者有一個成立。“且”是“二者同時成立”的意思。

第三環節 例題解析

內容：解下列方程(1)、5X2=4X(仿照引例學生自行解決)(2)、X-2=X(X-2)(師生共同解決)(3)、(X+1)2-25=0(師生共同解決)學生G：解方程（1）時，先把它化為一般形式，然后再分解因式求解。解：（1）原方程可變形為

5X2-4X=0 ∴ X(5X-4)=0 ∴ X=0或5X-4=0 ∴ X1=0, X2=4/5 學生H：解方程（2）時因為方程的左、右兩邊都有(x-2),所以我把(x-2)看作整體，然后移項，再分解因式求解。

解：(2)原方程可變形為

（X-2）-X(X-2)=0 ∴(X-2)(1-X)=0 ∴ X-2=0或1-X=0 ∴ X1=2，X2=1 學生K：老師，解方程（2）時能否將原方程展開后再求解

師：能呀，只不過這樣的話會復雜一些，不如把(x-2)當作整體簡便。學生M：方程(x+1)2-25=0的右邊是0，左邊(x+1)2-25可以把(x+1)看做整體，這樣左邊就是一個平方差，利用平方差公式即可分解因式。

解：(3)原方程可變形為

[(X+1)+5][(X+1)-5]=0 ∴(X+6)(X-4)=0 ∴ X+6=0或X-4=0 ∴ X1=-6，X2=4 師：好﹗這個題實際上我們在前幾節課時解過，當時我們用的是開平方法，現在用的是因式分解法。由此可知：一個一元二次方程的解法可能有多種，我們在選用時，以簡便為主。

問題：

1、用這種方法解一元二次方程的思路是什么?步驟是什么?(小組合作交流)

2、對于以上三道題你是否還有其他方法來解?(課下交流完成)目的：例題講解中,第一題學生獨自完成,考察了學生對引例的掌握情況,便于及時反饋。第2、3題體現了師生互動共同合作，進一步規范解題步驟,最后提出兩個問題。問題1進一步鞏固分解因式法定義及解題步驟，而問題2體現了解題的多樣化。

實際效果：對于例題中(1)學生做得很迅速,正確率比較高；(2)、(3)題經過探究合作最終順利的完成,所以學生情緒高漲,討論熱烈,思維活躍,正是因為這，問題1、2學生們有見地的結論不斷涌現，敘述越來越嚴謹。

說明：在課本的基礎上例題又補充了一題,目的是練習使用公式法分解因式。

第四環節：鞏固練習

內容：

1、解下列方程：（1）(X+2)(X-4)=0

(2)X2-4=0

(3)4X(2X+1)=3(2X+1)

2、一個數平方的兩倍等于這個數的7倍，求這個數？ 目的：華羅庚說過“學數學而不練,猶如入寶山而空返”該練習對本節知識進行鞏固，使學生更好地理解所學知識并靈活運用。

實際效果：此處留給學生充分的時間與空間進行獨立練習，通過練習基本能用分解因式法解一元二次方程，收到了較好的效果。

第五環節 拓展與延伸

師：想不想挑戰自我？ 學生：想

內容：

1、一個小球以15m/s的初速度豎直向上彈出，它在空中的速度h(m)，與時間t(s)滿足關系：h=15t-5t2 小球何時能落回地面？

2、一元二次方程（m-1）x2 +3mx+(m+4)(m-1)=0有一個根為0，求m 的值

說明：a學生交流合作后教師適當引導提出兩個問提，1、第一題中小球落回地面是什么意思？

2、第二題中一個根為0有什么用？

b這組補充題目稍有難度,為了激發優秀生的學習熱情。

目的：學生在對分解因式法直接感知的基礎上，在頭腦加工組合，呈現感知過的特點，使認識從感知不段發展，上升為一種可以把握的能力。同時學生通過獨立思考及小組交流，尋找解決問題的方法，獲得數學活動的經驗，調動了學生學習的積極性，也培養了團結協作的精神，使學生在學習中獲得快樂，在學習中感受數學的實際應用價值。

實際效果：對于問題1，個別學生不理解問題導致沒列出一元二次方程；問題2由于在配方法時接觸過此類型的題目，因此掌握比較不錯。

說明：小組內交流時，教師關注小組中每個學生的參與積極性及小組內的合作交流情況。

第六環節 感悟與收獲

內容：師生互相交流總結

1、分解因式法解一元二次方程的基本思路和關鍵。

2、在應用分解因式法時應注意的問題。

3、分解因式法體現了怎樣的數學思想? 目的：鼓勵學生結合本節課的內容談自己的收獲與感想。

實際效果：學生暢所欲言，在民主的氛圍中培養學生歸納概括能力和語言表達能力；同時引導學生反思探究過程，幫助學生肯定自我、欣賞他人。

第七環節 布置作業

1、課本習題2.7 1、2(2)(3)

2、預習提綱：如何列方程解應用題

四、教學反思

1.評價的目的是為了全面了解學生的學習狀況,激勵學生的學習熱情,促進學生的全面發展.所以本節課在評價時注重關注學生能否積極主動的思考,能否清楚的表達自己的觀點,及時發現學生的閃光點,給予積極肯定地表揚和鼓勵增強他們對數學活動的興趣和應用數學知識解決問題的意識,幫助學生形成積極主動的求知態度

2.這節課的“拓展延伸”環節讓學生切實體會到方程在實際生活中的應用.拓展了學生的思路,培養了學生的綜合運用知識解決問題的能力.3.本節中應著眼干學生能力的發展,因此其中所設計的解題策略、思路方法在今后的教學中應注意進一步滲透,才能更好地達到提高學生數學能力的目標.2課例名稱：求解中考壓軸題的四種常見解題方法

教師：黃振 課時：一課時 課型：復習課

中考數學壓軸題

教學目標：掌握中考壓軸題的四種常見解題方法

1.1壓軸題的概念

中考數學試卷中的試題排列順序通常都遵循著“從簡單到復雜、從易到難”的原則。中考試題中按題型分類的排列順序一般是：

一、選擇題（客觀題，有些地方將其稱作“第Ⅰ卷”）；

二、填空題（形式簡單的主觀題）；

三、解答題（二、三也合稱第Ⅱ卷）。在這三類題型中，思維難度較大的題目一般都設置在各類題型的最后一題，被稱作壓軸題。

中考壓軸題按其題型的區別及在整個試卷中的位置情況又可分為兩類：選擇題和填空題型的壓軸題，常被稱作小壓軸題；解答題型壓軸題（也即整個試卷的最后一題），叫大壓軸題，通常所說的壓軸題一般都指大壓軸題。

1.2壓軸題的特點

中考數學壓軸題的設計，大都有以下共同特點：知識點多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關系復雜、思路難覓、解法靈活。縱觀近幾年全國各地數學中考壓軸題，呈現了百花齊放的局面，就題型而言，除傳統的函數綜合題外，還有操作題、開放題、圖表信息題、動態幾何題、新定義題型、探索題型等，令人賞心悅目。

中考壓軸題主要是為考察考生綜合運用知識的能力而設計的題目，其思維難度高，綜合性強，往往都具有較強的選拔功能，是為了有效地區分數學學科中尖子學生與一般學生的試題。

在課程改革不斷向前推進的形勢下，全國各地近年涌現出了大量的精彩的壓軸題。豐富的、公平的背景、精巧優美的結構，綜合體現出多種解答數學問題的思想方法，貼近生活、關注熱點、常中見拙、拙中藏巧、一題多問、層層遞進，為不同層次的學生展示自己的才華創設了平臺。

1.3壓軸題應對策略

針對近年全國各地中考數學壓軸題的特點，在中考復習階段，我們要狠抓基礎知識的落實，因為基礎知識是“不變量”，而所謂的考試“熱點”只是與題目的形式有關。要有效地解答中考壓軸題，關鍵是要以不變應萬變。加大綜合題的訓練力度，加強解題方法的訓練，加強數學思想方法的滲透，注重“基本模式”的積累與變化，調適學生心理，增強學生信心。

學生在壓軸題上的困難可能來自多方面的原因，如：基礎知識和基本技能的欠缺、解題經驗的缺失或訓練程度不夠、自信心不足等。學生在壓軸題上的具體困難則可能是：“不知從何處下手，不知向何方前進”。

在求解中考數學壓軸題時，重視一些數學思想方法的靈活應用，是解好壓軸題的重要工具，也是保證壓軸題能求解得“對而全、全而美”的重要前提。

2．求解中考壓軸題的常見思想方法

2.1分類討論思想

代表性題型：動態幾何問題，存在性討論問題。

例1．（2009年重慶）已知：如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA在軸的正半軸上，OC在軸的正半軸上，OA=2，OC=3。過原點O作∠AOC的平分線交AB于點D，連接DC，過點D作DE⊥DC，交OA于點E。（1）求過點E、D、C的拋物線的解析式；（2）將∠EDC繞點D按順時針方向旋轉后，角的一邊與

軸的正半軸交于點F，另一邊，那么與線段OC交于點G。如果DF與（1）中的拋物線交于另一點M，點M的橫坐標為EF=2GO是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；

（3）對于（2）中的點G，在位于第一象限內的該拋物線上是否存在點Q，使得直線GQ與AB的交點P與點C、G構成的△PCG是等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由。

解析：（1）由△ADE∽△BCD，及已知條件求得E、D、C坐標，進而求出過點E、D、C的拋物線的解析式：

（2）EF=2GO成立．

點M在該拋物線上，且它的橫坐標為，∴點M的縱坐標為．設DM的解析式為將點D、M的坐標分別代入，得

解得 ∴DM的解析式為 ∴F（0，3）EF=2

過點D作DK⊥OC于點K，則DA=DK．

△DAF≌△DKG，KG=AF=1，GO=1 ∴EF=2GO

（3）點P在AB上，G（1，0），C（3，0），則設P（t，2）． ∴PG=（t－1）+2，PC=（3－t）+2，GC=2

①若PG=PC，則（t－1）+2=（3－t）+2

解得t=2．∴P（2，2），此時點Q與點P重合．Q（2，2）②若PG=GC，則（t－1）+2=2，解得t=1，P（1，2）

此時GP⊥x軸．

GP與該拋物線在第一象限內的交點Q的橫坐標為1，∴點Q的縱坐標為．Q（1，）

③若PC=GC，則（3－t）+2=2，解得t=3，∴P（3，2）此時PC=GC=2，P與D重合 過點Q作QH⊥x軸于點H，則QH=GH，設QH=h，∴Q（h+1，h）解得（舍去）．∴Q（，））或Q（，）

．

綜上所述，存在三個滿足條件的點Q，即Q（2，2）或Q（1，思想方法解讀：這道壓軸題是將二次函數與平面幾何相結合的函數綜合題。

第⑴問結合“形”的特征，求出點D、E、C的坐標，再設二次函數一般式，用待定系數法可求得二次函數解析式。體現了解函數問題時常用到的“數形結合”思想。

第⑵由D、M所在直線與y軸相交哦于F，可求得F點坐標，并求出EF的長度，并由旋轉過程中的角度相等關系，設法構造全等求出OG。得證結論。解決第⑵問的關系是將EF、OG轉化為可求的已知量，得到其長度關系。體現出數學解題中的“轉化思想”。

本題的第⑶問討論存在性問題。要使△PCG是等腰三角形，其中G、C為定點，P為不確定的點，因此應考慮GC為腰、GC為底，并考慮G、C、P分別為頂點等多種情況進行分類討論。假設存在P點，結合P點的位置，通過設置P點坐標參數，用所設參數表示出相應三角

形邊長，由等腰三角形的性質，構造相應方程，可求出P點坐標。第⑶問不僅體現了分類討論思想，還考察了用方程建模的能力。

2.2轉化思想

代表性題型：面積問題，二函數圖象與坐標軸的交點距離、二次函數與一次函數交點距離、反比例函數與一次函數交點距離問題（與一元二次方程根的系數關系轉化）。

例2．已知：Rt△ABC的斜邊長為5，斜邊上的高為2，將這個直角三角形放置在平面直角坐標系中，使其斜邊AB與x軸重合（其中OA

（1）求線段OA、OB的長和經過點A、B、C的拋物線的關系式。（4分）

（2）如圖2，點D的坐標為（2，0），點P（m，n）是該拋物線上的一個動點（其中m>0，n>0），連接DP交BC于點E。

①當△BDE是等腰三角形時，直接寫出此時點E的坐標。（3分）

②又連接CD、CP（如圖3），△CDP是否有最大面積？若有，求出△CDP的最大面積和此時點P的坐標；若沒有，請說明理由。（3分）

解析：⑴由Rt△AOC∽Rt△COB易知，CO=OA.OB=OA(AB-OA),可求OA=1,OB=4

2∴A(-1,0)B(4,0)C(0,2)可設解析式為y=a(x+1)(x-4)，將點C(0,2)代入，可求a= ∴為所求

⑵；

提示：①ED=EB時，過E作BD垂線，可得

②直線BC的解析式為，設，利用勾股定理和點在直線BC上，可得兩個方程組⑶方法1：連OP。如圖4。

分別可求和。

P（m，n）在拋物線上

∴P（m，S△CPO=S四邊形ODPC）

－S△OCD

=S△POC+ S△PDO－S△OCD=

OC2|xp|+OD2|yp|—OC2OD

=32m+32（）－3232

=－m+m=－（m－）+

當m=時，S△CPO面積最大，此時P（，）

方法2：過D作X軸的垂線，交PC于M，如圖5。

易求PC的解析式為，且，故

∴當時，思想方法解讀：本題是一道二次函數與平面幾何綜合的壓軸題

第⑴問由三角形形似（或射影定理）求出相關線段的長，寫出相應點的坐標。然后靈活設置二次函數式，用待定系數法求出二次函數式。

第⑵問，雖然題目要求是直接寫出點E的坐標。但點E的坐標必須通過計算得到。而在計算的過程中，要考慮符合要求的等腰三角形的多樣性，需分類討論頂點、腰的對應情況。

第⑶問是本題的難點。題中的面積表示，要結合P（m，n）在拋物線上，充分利用點的坐標的幾何意義，或是利用平面幾何的性質，有效表示△BCD的面積，將不能直接表示的三角形面積轉化為能用已知線段和P點坐標表示的面積。方法1是將四邊形分割成兩個三角形△POC、△POD，方法2，是通過過D點作垂線，直接將△BDC轉化為△PDM、△CDM。

2．3極端值思想

代表性題型：動態幾何問題，動態函數問題。

例3．已知

為線段

上的動點，點在射線上，且滿足，且點

與點

（如圖1所示）．

重合時（如圖2所示），求線段的長；（1）當（2）在圖1中，聯結．當，且點在線段上時，設點之間的距離為，其中表示的面積，表示的面積，求關于的函數解析式，并寫出函數定義域；

（3）當，且點

在線段的延長線上時（如圖3所示），求的大小。

解析：（1）AD=2，且Q點與B點重合。由=1，∴PB（Q）=PC，△PQC為等腰直角三角形，BC=3，PC=Bccos45°=33=。

（2）如圖：作PE⊥BC，PF⊥AQ。BQ=x，則AQ=2－x。

由△BPF∽△BDP，==，又BF=PE

∴=，∴PF=PE

S△APQ=（2－x）PF，S△PBC=33PE

∴y=（2－x）

P點與D點重合時，此時CQ取最大值。過D作DH⊥BC。

CD=，此時=，=，PQ=，BQ=AB－AQ=

∴函數的定義域：0≤x≤

(3)方法1：PQ/PC=AD/AB,假設PQ不垂直PC，則可以作一條直線PQ′垂直于PC，與AB交于Q′點，則：B，Q′，P，C四點共圓。

由圓周角定理，以及相似三角形的性質得：PQ′/PC=AD/AB，又由于PQ/PC=AD/AB 所以，點Q′與點Q重合，所以角∠QPC=90°

方法2：如圖3，作PM⊥BC，PN⊥AB。由==，即==

∴△PNQ∽△PMC ∠MPC＝∠NPN，∴∠QPC=∠MPC＋∠QPB＝∠NPQ＋∠QPM＝90° 思想方法解讀：這是一道動態幾何的變式綜合題。

第⑴問，線段的比值不變，Q在特殊點（與B點重合），由AD=AB=2，故PQ（B）=PC，△PQC為等腰直角三角形。利用幾何性質可求出PC。

第⑵問中利用三角形相似比，結合已知條件中的固定線段比，找出△PAQ、△PBC高之間的比例關系，是求函數式的關鍵。而第二問中寫出函數的定義域則是難點。需分析出P點運動的極端情況，當P與D重合時，BQ取得最大值。集合圖形的幾何性質及已知條件中的固定線段比，求出此時BQ的長度，既為BQ的最大值。體現極端值思想。

⑶中可以用四點共圓通過歸一法求證，也可以通過構造相似形求證。

2．4數形結合思想（用好幾何性質）代表性題型：函數與幾何綜合題。

例4．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=a（x+1）+c（a＞0）與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C，其頂點為M,若直線MC的函數表達式為,與x軸的交點為N，且COS∠BCO＝。

⑴求次拋物線的函數表達式。

(2)在此拋物線上是否存在異于點C的點P，使以N、P、C為頂點的三角形是以NC為一條直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標：若不存在，請說明理由；

(3)過點A作x軸的垂線，交直線MC于點Q.若將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與線段NQ總有公共點，則拋物線向上最多可平移多少個單位長度?向下最多可平移多少個單位長度?

解析：⑴由直線y=kx－3與y軸交點坐標為C（0，－3）

拋物線y=a（x+1）+c（a＞0）開口向上，過C（0，－3）∴A、B在y軸兩側，B在y軸右側。如圖。

Rt△AOC中，OC=3，cos∠BCO= ∴BC=，OB=1

∴B（1，0）又B（1，0），C（0，－3）在y=a（x+1）+c上 ∴拋物線解析式y=x+2x－3

⑵由⑴拋物線頂點M（－1，－4），直線y=kx－3過M，∴直線解析式y=x－3 ∴N（3，0）∴△NOC為等腰直角三角形

假設拋物線上存在點P使△NPC為以NC為一條直角邊的直角三角形。①PC為另一條直角邊。PC⊥CN，而A與N關于y軸對稱在拋物線上。∴存在P1（－3，0）使△NPC為以NC為一條直角邊的直角三角形

②PN為另一條直角邊。PN⊥CN，則∠PNO=45°設PN交y軸于點D，則D（0，3）PN所在直線y=－x+3

由 解得

∴存在P2（，），P3（，）使△NPC為以NC為一條直角邊的直角三角形。

滿足條件的點有P1（－3，0），P2（，），P3（，）

⑶①若拋物線沿對稱軸向上平移。設向上平移b個單位（b＞0）。此時拋物線的解析式為：y=x+2x－3+b

拋物線與線段NQ總有交點，即由拋物線解析式、直線MC所在直線解析式組成的方程組有解。由 消除y得x+x+b=0，Δ=1－4b≥0，∴0＜b≤ ∴向上最多可平移個單位

②若向下平移b個單位（b＞0），設y=x+2x－3－b 由y=－x+3，可求得Q（－3，－6），N（3，0）對于拋物線y=x+2x－3－b

當x＝－3，y=－b，拋物線與直線y=－x+3有交點，則需－b≥-6，b≤6 當x=3時，y=12－b，拋物線與直線y=－x+3有交點，則12-b≥0，b≤12。∴向下最多可平移12個單位。

思想方法解讀：本題還是一道二次函數與平面幾何綜合的壓軸題。

第⑴問中，由直線解析式求出C點坐標，由C點坐標結合a＞0，判定拋物線與x軸交點的大致位置。并結合cos∠BCO=，求出B點坐標，在根據待定系數法求出拋物線的解析式。

第⑵問，以NC為直角邊的直角三角形，應分C、N分別為直角頂點分類討論。結合相應點的坐標及垂直條件，利用45°角的幾何性質，分析得到A點滿足條件，并求出PN⊥NC時，PN所在直線的解析式，是解題的關鍵。

第⑶問是本題的難點。分拋物線向上、向下平移兩種討論。向上平移時，需拋物線與直線NQ有交點，由判別式可確定平移b的范圍；向下平移時，線段NQ是否與拋物線相交，關鍵是兩個端點N、Q是否在拋物線外側。只要取兩個端點剛好在拋物線上的特殊情況，進行分別判斷，求出滿足條件的b的范圍即可，體現出用極端值解題的思想。

反思：由以上的試題可看出，在中考壓軸題中所體現出的數學思想方法并不是單一的，一般每道中考壓軸題均綜合體現了兩到三種不同的數學思想方法。我們在求解壓軸題時，一定要結合題型特征，注意一些常見的數學思想方法的靈活運用。

3用好二次根式的兩個隱含條件 教師：陳冬艷 課時：一課時 課型：習題課

目標：會利用二次根式

隱含條件⑴a≥0；⑵必滿足：⑴a≥0；⑵

≥0解題

≥0。這兩個條件在實際問題中一般都不直過程：二次根式接給出，稱為隱含條件。

例1 判斷下列式子有意義的條件：

⑴++1； ⑵

解：⑴要式子有意義，必有 解得 ∴x≥

即x≥時，式子++1有意義。

⑵要式子有意義，必有，∵分式的分母不為0，且分母x2是非負數，∴x≠0，則有-x-1≥0，x≤-1。∴x≤-1時，式子例2 已知實數a滿足分析：二次根式解：由 ∴ 由

+

有意義。=a，求a-20052的值。

中必有a≥0。

中，a-2006≥0，∴a≥2006 +

=a，得a-2005+

=a =2005，∴a-2006=20052，∴a-20052=2006 例3 在實數范圍內，設a=（-

2009），求a的個位數字是多少？

解：在又由與中，∴-2=0（只有0的相反數相等），x=±2；

≠0，即x≠2。∴x=-2 ∴a=（-）2009=62009，則a的個位數字是6。

+

2+（c+3）=0。求4x2-10x例4 已知a、b、c為實數，且ax2+bx+c=0，的值。

解：由≥0，≥0，（c+3）2≥0，+

+（c+3）2=0 ∴ 解得

∴2x2-5x-3=0，得2x2-5x=3 ∴4x2-10x=2（2x2-5x）=233=6。

練習：試卷一份

課后反思：

1、這節課是二次根式的拓展延伸，拓展了學生的思路,培養了學生的綜合運用知識解決問題的能力.2、本節中應著眼干學生能力的發展,因此其中所設計的解題策略、思路方法在今后的教學中應注意進一步滲透,才能更好地達到提高學生數學能力的目標.

第二篇：小學數學課例研究報告000

《小學生數學作業常見錯例分析研究》課例研究報告

一、研究背景與意義

很多老師在日常的教學過程中可能經常會遇到這樣的情況：不少學生經常出現的錯誤，如看錯數字、漏寫符號、加法忘了進位、減法忘了退位等。這些錯誤還會在后面的學習中不斷重復，不能及時的改正。從學生角度來看，在作業中重復出現同樣的錯誤，說明學生缺乏找錯、辯錯和改錯的主動性和能力。從教師教的角度來分析，很大原因是我們的老師缺乏對學生在該知識點上有可能會產生的各種思維誤區的預見性，不能把問題消滅在課堂上，另一方面錯誤出現后，老師們也缺乏對學生的錯題的收集與分析，從而也不能在后面的教學過程中給予及時的、有針對性的輔導。如此不斷的知識誤點堆積，使學生后續的學習受到影響。開展“數學作業常見錯例研究”將有助于教師對錯例進行整體的分析，并對錯例進行整理和歸納，從而系統的研究錯例的類型、挖掘錯誤出現的深層次原因，把握其內在規律，有助于提高教師教學的預見性，輔導的針對性，制定出相對應的方法和策略，減少或避免錯誤的發生，提高教學質量。

二、研修的目的

三、研修的主要內容和方法

四、課題研修的過程

教學實踐的展開 觀察物體（1課時）

教學內容： “觀察物體”的綜合復習。目標要點：

1、使學生對本單元所學習、實踐的內容得到鞏固加深；

2、通過練習和實踐，進一步發展學生的空間觀念，培養觀察能力和動手能力，學會欣賞數學美。

練習重點：能辨認從不同位置觀察到的簡單物體的形狀；會判斷軸對稱圖形和鏡面對稱現象。教學過程：(一)、復習導入：

這單元我們學習了什么數學知識？（觀察物體、認識軸對稱圖形和鏡面對稱現象）你能用自己的話具體地說一說嗎？(二)、基本練習：

1、觀察物體：

（1）小組在桌面上擺放一樣文具，讓幾個小朋友在不同的位置觀察。你看到了什么？其他小朋友又看到了什么？為什么同一樣物體大家觀察到的結果不同呢？（觀察的位置不同）

我們想全面地了解這個物體，該如何觀察？（要把不同位置觀察到的形狀進行綜合）

（2）教師拿出兩個魔方（其中一個背面不完整），讓學生從正面進行觀察。問：它們是完全一樣的嗎？ 有的學生：完全一樣；

有的學生：不能確定，只有看完各個面才能確定。

教師把兩個魔方的幾個面都讓學生觀察、比較，結果發現它們是不同的，進一步讓形式明白只有把不同位置觀察到的形狀進行綜合，才會形成這個物體的完整表象。

2、軸對稱：

（1）出示幾幅圖：請問哪幅是軸對稱圖形，你是怎樣判斷的？（2）課本第3題：你能按對稱軸畫出另一半嗎？

首先讓學生觀察方格圖上的圖形，再說說另一邊該怎么畫，最后讓學生獨立畫出。

3、鏡面對稱：

拿出鏡子，照自己或物體，說說鏡面對

3、鏡面對稱： 拿出鏡子，照自己或物體，說說鏡面對稱現象是什么樣的。(三)、綜合練習：

1、用一張長方形紙折出它的對稱軸，再畫出來。

2、還是用剛才這張長方形紙，剪出一個軸對稱圖形，比一比，誰煎的最漂亮。

3、練習第4題：既是軸對稱又是鏡面對稱。

(四)、學習總結：這節課我們復習了什么？你有什么收獲？(五)、課后實踐：在方格紙上畫一幅美麗的對稱圖形。

四、教學反思

《數學課程標準》認為：數學教學不僅僅是要學習形式化的數學，更重要的是讓學生在學習過程中掌握一些數學思想和方法。因為后者更具有實用性。《觀察物體》正是這一理念的體現。本課是在學生對上、下、左、右、前、后方位己有最基本認識的基礎上，安排學生從熟悉的事物出發學習觀察物體，讓學生在活動中學會觀察判斷，積累觀察經驗，發展空間觀念，為以后進一步學習空間與圖形領域的知識，逐步培養和形成空間觀念奠定基礎。

在本節課的教學中,我以兒童喜愛的生活情境導入，符合兒童的年齡特點和心理特征，喚起了學生的學習興趣。新教材強調“以人為全”，發展人的自主性。基于此，本課設計時始終圍繞著“自主參與，深刻體驗”的學習活動，讓學生在活動中增強了自主意識，從而主動的探索新知。并且注重個性化的教學方式。如鼓勵學生選擇到自己喜愛的觀察位置去觀察等等，整個教學過程中充分體現了開放性、活動性和體驗性生活是現實的，豐富的，數學是抽象的。如果不把兩者起來，學生必然感到枯燥、乏味。本節課大量地創造條件，讓學生把課堂中所學的知識和方法應用于生活實際中。貼近了學生，延伸了學習。從而使學生能從看到的物體的一個面，展開聯想到整個事物的形狀，培養了觀察立體實物的能力，建立了初步的空間觀念。讓孩子充分感受到數學的聯系，數學確實就在我的身邊。

五、理論聚焦

（一）、培養學生思維能力要貫穿在小學數學教學的全過程

現代教學論認為，教學過程不是單純的傳授和學習知識的過程，而是促進學生全面發展（包括思維能力的發展）的過程。從小學數學教學過程來說，數學知識和技能的掌握與思維能力的發展也是密不可分的。一方面，學生在理解和掌握數學知識的過程中，不斷地運用著各種思維方法和形式，如比較、分析、綜合、抽象、概括、判斷、推理；另一方面，在學習數學知識時，為運用思維方法和形式提供了具體的內容和材料。這樣說，絕不能認為教學數學知識、技能的同時，會自然而然地培養了學生的思維能力。數學知識和技能的教學只是為培養學生思維能力提供有利的條件，還需要在教學時有意識地充分利用這些條件，并且根據學生年齡特點有計劃地加以培養，才能達到預期的目的。如果不注意這一點，教材沒有有意識地加以編排，教法違背激發學生思考的原則，不僅不能促進學生思維能力的發展，相反地還有可能逐步養成學生死記硬背的不良習慣。

（二）、怎樣體現培養學生思維能力貫穿在小學數學教學的全過程？

1、培養學生思維能力要貫穿在小學階段各個年級的數學教學中。要明確各年級都擔負著培養學生思維能力的任務。從一年級一開始就要注意有意識地加以培養。例如，開始認識大小、長短、多少，就有初步培養學生比較能力的問題。開始教學10以內的數和加、減計算，就有初步培養學生抽象、概括能力的問題。開始教學數的組成就有初步培養學生分析、綜合能力的問題。這就需要教師引導學生通過實際操作、觀察，逐步進行比較、分析、綜合、抽象、概括，形成10以內數的概念，理解加、減法的含義，學會10以內加、減法的計算方法。如果不注意引導學生去思考，從一開始就有可能不自覺地把學生引向死記數的組成，機械地背誦加、減法得數的道路上去。而在一年級養成了死記硬背的習慣，以后就很難糾正。

2、培養學生思維能力要貫穿在每一節課的各個環節中。不論是開始的復習，教學新知識，組織學生練習，都要注意結合具體的內容有意識地進行培養。例如復習20以內的進位加法時，有經驗的教師給出式題以后，不僅讓學生說出得數，還要說一說是怎樣想的，特別是當學生出現計算錯誤時，說一說計算過程有助于加深理解“湊十”的計算方法，學會類推，而且有效地消滅錯誤。經過一段訓練后，引導學生簡縮思維過程，想一想怎樣能很快地算出得數，培養學生思維的敏捷性和靈活性。在教學新知識時，不是簡單地告知結論或計算法則，而是引導學生去分析、推理，最后歸納出正確的結論或計算法則。例如，教學兩位數乘法，關鍵是通過直觀引導學生把它分解為用一位數乘和用整十數乘，重點要引導學生弄清整十數乘所得的部分積寫在什么位置，最后概括出用兩位數乘的步驟。學生懂得算理，自己從直觀的例子中抽象、概括出計算方法，不僅印象深刻，同時發展了思維能力。在教學中看到，有的老師也注意發展學生思維能力，但不是貫穿在一節課的始終，而是在一節課最后出一兩道稍難的題目來作為訓練思維的活動，或者專上一節思維訓練課。這種把培養思維能力只局限在某一節課內或者一節課的某個環節內，是值得研究的。當然，在教學全過程始終注意培養思維能力的前提下，為了掌握某一特殊內容或特殊方法進行這種特殊的思維訓練是可以的，但是不能以此來代替教學全過程發展思維的任務。

第三篇：數學課例《交換律》聽課評析

數學課例《交換律》聽課評析

一、用數字介紹我們的班級：

18+14=32（人）14+18=32（人）

12+20=32（人）20+12=32（人）

要求兩個部分，用加法。

（學生口頭編應用題，教師用燈片打出來，更合適，培養學生的語言組織能力很重要，便于學生理解加法的交換在實際生活中的意義。）

觀察兩組算式：有什么特點？

兩個加數交換位置，和不變。

師：是不是所有的加法算式變換加數的位置，和不變呢？

算式：

27+73 73+27

38+16 16+38

（學生回答說：是。教師可以追問：你們怎么知道是呢？了解一下學生的學習現狀，在學生已有的基礎上教學。）

134+52 52+13

427+73=73+27 38+16=16+38 134+52=52+134

小組之內自己編算式。

板書結論：兩個加數交換位置，和不變。這就是加法的交換律。

（掌握加法的交換律，運用它來換算，很容易，但是，如何激發學生的探究興趣，知道加法交換律的來歷及在實際生活中運用的意義更重要。）

師：為什么交換兩個加數的位置，和不變呢？

（教師要善于等待，等學生表達清楚，理解他要表達的意思，再在此基礎上加工，才會讓學生對知識有明晰、深刻的了解，教師急于插話，打斷了學生思考的路徑。）

二、運用加法的交換律，填（）

7+8=（）+（）

師：加法的交換律有什么作用？

生：要驗算的時候，可以運用。

三、豎式計算，并驗算：

（1）766+580（2）125+49

學生上臺演算。

（要求學生寫驗算，這是一種習慣。）

470+528+530 258+38+24

4指出學生回答。

師：乘法、減法、除法是不是也有交換律？

學生自己列算式，小組討論驗證。

（要分解，一步一步來，循序漸進，這樣便于學生將道理弄清楚。）

學生：只有加法和乘法可以，減法和除法不可以。

50*50=2500 50*50=2500

（追問：舉的這個例子有說服力么，讓學生講道理，學會怎樣采用合適的例子來驗證，這里暗含數學的歸納方法，要科學舉證。）

23*5=115 *23=11

5師：乘法的交換律是怎樣的？

生：兩個數相乘，交換位置，積不變。

用字母表示：

A+B=B+A A*B=B*A

師：有沒有除法的例子？

10÷10

0÷10

（錯過了很多讓學生思索和探究的機會，教師要學會在課堂上多問幾個為什么？讓學生去思考。）

（教師說了一句錯誤的話，只要舉一個例子就可以了，科學方法就是要講究多次探索，得出規律，教師這樣說，容易讓學生形成錯覺，以為任何情況，只要舉一個例就行。教師的任務就是要鼓勵學生不斷去發現，去探索。當學生舉了一個不符合要求的例子時，教師如何抓住這個例子進行引導，讓學生思索，得出結論，這才是真正的學習。數學課，如果只拘泥于讓學生學會做題，毫無意義。做題在真正的生活中是沒有多大用處的，而學會了思考與探究，卻是生活必需的。）

四、豎式計算：

18*226 32*208

（課堂上能不能讓學生多說，教師少說。）

第四篇：小學數學課例分析

讓數學教學回歸本色

——面對當今小學數學課堂教學諸多現象引發的思考及探索

摘要 本文先對當前小學數學課堂教學中存在的問題進行深入地剖析，用案例呈現的方式列舉了數學教學中在情境創設、課堂活動、課堂提問、教學過程鋪設等方面存在的問題，再用案例呈現出小學數學課堂教學本應保留的特色，即數學問題應多一點，思考感悟應多一點，思維交流應多一點，更應關注學生數學能力的提高。筆者想與廣大教師共勉：沉下心來，實實在在、扎扎實實地教學，還數學教學本應有的特色。

在新課程實施過程中，刻意追求形式之風存在于不少的數學課堂，使得數學教學極具“觀賞性”，顯示出一派“喜人”的景象。特別是一些公開課、展示課，教師幾乎是使出渾身解數，創設情境、實踐操作、小組討論、合作交流等，層出不窮，學生的學習興趣被激發得興致盎然，學生的參與熱情被調動得淋漓盡致，這似乎說明數學課程標準理念已經落到實處了。但形式的背后露出浮華，折射出一些值得思考的問題：數學問題少了，思考感悟少了，思維交流少了，能力提高少了。倘若不冷靜反思，則很容易使數學教學步入“歧途”。當務之急是要讓數學課堂回歸本色，實實在在、扎扎實實地教。

一、華麗情境少一些，數學問題多一些

《數學課程標準》指出，數學教學要緊密聯系學生的生活實際，從學生的生活經驗和已有知識出發，創設生動有趣的情境。的確，在數學教學中，好的問題情境能撥動學生思維之弦，激發求知欲、喚起好奇心，使看似抽象、枯燥的數學知識富有吸引力，讓數學課堂充滿詩意。因此，情境創設已經成為當前數學教師煞費苦心的一件事，他們往往為了突出“新、奇、趣”，挖空心思地創設華麗的情境，然而結果卻引發了不少問題。

案例

（一）：《倒數的認識》教學片斷

師：(出示漢字吞、呆。)你知道這些漢字的部首調換位置后各是什么字? 生1：“吞”字上下部首調換應是“吳”字。生2： “呆”調換部首是“杏”。

師：下面老師可要出一些比較難的題目，你們敢挑戰嗎? 請把我說的句子倒過來念。師：“客上天然居”!生：“居然天上客”!師：“人過大佛寺”!生：“寺佛大過人”!師：在我們的數學中也有這種有趣的現象，它就是我們今天要學習的倒數。

這個案例中的情境可用“漂亮、華麗”來形容，教師充分挖掘語文中的教學資源，通過漢字的倒寫、句子的倒念來激發學生的學習興趣，使學生初步感知倒數這一概念。但這是否就是一個好的情境？它蘊含了多少數學問題，激發了學生多少數學思考？回答是否定的。在“倒數的認識”學習之后，少數學生把“6”的倒數寫成了“9”，“3.27”的倒數寫成了“7.23”。這應該說是教學價值的誤導。案例

（二）：《通分》一課的教學片斷

師：下面是小明一家對自家小花園的設計方案。

31種牡丹，種杜鵑。5511爸爸：這塊地的種桃花，種郁金香。

2334小明：這塊地的種月季，種菊花。

1510媽媽：這塊地的師：根據他們的設計方案，你知道他們各人最喜歡什么花?為什么? 生1：媽媽最喜歡牡丹。因為分數就大，31和相比，它們的分母相同，就比分子，分子大的那個5531>，所以說媽媽最喜歡牡丹。5511生2：爸爸最喜歡桃花。因為和相比，它們的分子相同，就比分母，分母小的分數就大，2311>，所以說爸爸最喜歡桃花。23師：那小明最喜歡什么花? [沒有學生舉手] 師：為什么不能做出判斷? 生：因為34和的分子、分母都不相同，不好比較。1510師：看來我們過去學過的知識都沒法解決這個問題，今天我們就一起來學習新的知識“通分”。這個情境的創設，既符合學生的心理特征，調動了學習興趣，又讓學生復習了同分母、同分子分數比較大小的舊知。情境的創設充分調動起了學生原有的生活經驗或數學背景，激發起由情境引起的數學意義的思考，從而讓學生有機會經歷“問題情境——建立模型——解釋或應用”這一重要的數學活動過程。

一個好的數學問題情境應具有衍生性，也就是通過這個情境能夠產生一連串、環環相扣、由淺入深的問題。因此，我們在創設情境的時候，要思考這樣的情境是否存在“華而不實”的狀況，它蘊含了多少數學問題，激發了多少數學思考。我們要讓所創設的情境，數學問題多一些，思考價值高一些。

二、低效活動少一些，思考感悟多一些

愛因斯坦曾經說過：教育應該使提供的東西，讓學生作為一種寶貴的禮物來享受，而不是作為一種艱苦的任務來負擔。而課堂活動不但可以促進教師教學行為的轉變，而且可以讓學生體驗到數學學習并不是讓人生畏、令人討厭的，而是其樂融融、美妙至極的一件樂事。但是，現實很多的課堂活動學生的“手”動了，“心”卻未動，操作多了，氣氛活躍了，可思考、感悟少了。

案例

（一）： 《三角形任意兩邊的和大于第三邊》的教學片斷

教師創設了這樣一個情境：小明上學時究竟是走中間的直路較近，還是分別繞道位于直路兩側的郵局和商店較近?然而，盡管從一開始被提問的學生就能立即對上述問題正確作答，大多數學生并能依據“兩點間直線最短”對此作出必要的論證，但任課教師卻仍然堅持要求學生去量一量來驗證結論，并重新提出“三角形任意兩邊的和大于第三邊”這一猜想。這個案例讓我們首先來思考“究竟什么是真正的活動”，我想真正有效的活動應是帶有一定目的性、指向結果的，并又能達成一定“過程性目標”的探究活動。而在這案例中學生對活動的結果已經一目了然了，還有活動的動力和積極性嗎？當然唯一的“過程性目標”也會大打折扣。

案例

（二）：《萬以內數的大小比較》的教學片斷

這節課老師創設了三輪兩組同學抽數排數的游戲，讓學生在比賽中感悟并總結出萬以內數大小比較的方法。

第一輪比賽，規定將每次抽到的數字依次從低位到高位排列起來。讓學生逐步懂得，個位、十位、百位上的數再大，但千位上數小，這個數就小。游戲中學生深刻地體悟到數的大小與數位的關系，逐步體會到高位上數字的決定性作用。

第二輪比賽，規定將每次抽到的數字依次從高位到低位排列起來。在游戲的過程中，學生領會到，千位上數大的那個數就大，千位上的數相同，百位上數大的那個數就大??讓學生更加深刻地體會到“高位”的決定性作用。

第三輪比賽，規定每次抽到的數字由抽簽者自己決定放在哪一位上。這樣，不但使學生對比較大小與數位及每一位數字大小的關系有比較深刻、全面的認識，又培養了他們思考問題的縝密性。

教師將整堂課的知識點巧妙地蘊含在三輪游戲比賽中，讓學生在一次次輕松、刺激的比賽中來感悟并總結出比較萬以內數大小的方法。正所謂“課伊始，趣已生；課進行，趣正濃；課結束，趣猶存”。學生在活動中有感而發，活動讓學生更高效、活潑地掌握和內化了數學知識。

我們說：“數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上。教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探究和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗”。因此我認為好的數學活動應該是寓教于樂，讓學生在活動中感悟數學、總結方法、揭示數學的本質，使思維更加靈動、活躍。

三、空泛提問少一些，思維交流多一些

“思維從問題開始”，在課堂教學中，教師巧妙地設置科學的問題，是師生間進行信息和情感交流的重要途徑，是師生的思想認識產生共鳴的紐帶；更重要的是可以激發學生學習的興趣，促進思維，提高課堂教學的效率。有位教育家說：“教學的藝術在于如何恰當地提出問題和巧妙的作答。”提問的藝術越高，對激發學生的求知欲和創造欲就越好。而新課程下的很多課堂提問成為了公開課的一種裝飾，提出的問題沒有質量，教師對學生的回答只是隨意的應和，不加以科學的、深度的引導，使得師生間沒有思維得交流，造成課堂從表面看轟轟烈烈，但是卻少了學生對問題的深入思考和思維的有效提升，提問的積極作用也就轉化成了消極作用。

案例

（一）：《1億有多大》教學片斷

師：前面我們已經認識了“億”這個計量單位，你們能想象出1億有多大嗎？ 生1：我猜想1億棟樓房摞起來可以沖到月球上去。師：你的想法真奇特！但是1億棟樓房能摞起來嗎？ 生2：我猜想1億張紙摞起來大約有姚明那么高吧！師：比姚明要高多了！

生3：我猜想我的指甲里大約1億個細菌吧？ 師:是嗎？那你可要講衛生喲！生4：我猜想1億張紙摞起來可以沖到天空上去吧，1億粒米大約有一個房間那么多吧。師：同學們，你們的猜測有很大膽，到底誰猜得比較對呢，今天我們就一起來研究“1億有多大”。

這位老師設想是先讓學生猜一猜，再通過討論、比較哪個接近1億，從而建立起“1億有多大”這一概念。但是由于教師提的問題過于空泛、教師的引導沒有數學含量，以至學生只能瞎猜，而沒有數學思考。這樣的設計活躍氣氛尚可，但時間上的代價太大，更嚴重的是造成一些原本善于思考的同學受其影響也隨口說說、不著邊際

案例

（二）： 《圓的面積》練習課教學片斷

教師出示習題：用一根31．4米長的繩子，在草地上圍出一個平面圖形，怎樣圍面積最大？ 生1：平面圖形我們學過的太多了，有長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形和圓形。生2：要使圍成的圖形面積最大，三角形和梯形肯定不劃算，因為計算它們的面積都要除以2。師：若圍成平行四邊形呢? 生4：也不行，因為S平行四邊形=底×高，若以一條邊為底，那么這條底上對應的高一定比這一條邊短，這樣所得的面積肯定比同底的長方形小。

生5：看來只能考慮長方形、正方形和圓形。

師：有道理，在這三種平面圖形中，你估計哪個圖形的面積最大?你有什么新的發現?互相討論討論!這個案例中教師組織了學生進行了智慧型的對話，很快排除了幾種面積較小的圖形的可能性，將目標鎖定在三種圖形上。再通過進一步放手讓學生去討論，學生很快在對話交流中發現了規律。出乎意料的是，學生還發現了在周長相等的情況下，長、寬的米數越接近面積就越大這一規律。

我認為教師的課堂提問要做到切口適量，具有數學含量，提一些看似簡單卻能揭示規律的有價值的問題。教師更要組織學生進行有效的對話，利用集體的智慧，取長補短，更要在學生回答出現偏差時及時地引導，學會與學生思維交流。這樣既能讓學生經歷規律的生成過程，又有利于培養學生思維的嚴謹性和概括性。

四、過程鋪設少一些，能力提升多一些

新課程目標注重學生自己的探索與發現，強調經歷數學學習的全過程，體驗充分，數學思考，但又不能放松對基本知識與基本技能的訓練。因此在教學中教師往往盡可能想做到面面俱到，每個過程的鋪設都盡可能“全”和“齊”，但結果卻是重了形式而少了實質，少了學生數學綜合能力的提升。

案例

（一）：四年級下冊《三角形面積練習課》教學片斷 師出示：三角形的面積為12平方厘米，底為6厘米（1）學生計算三角形的高（2）學生畫三角形（3）反饋（投影展示）

這個案例中，教師練習的設計本身是很好的，但由于教師預設后面還有很多的練習，所以當學生畫好后，教師校對了就結束了。而沒有對學生所畫的進行比較，讓學生發現它們的共同點，得出等底等高的特征；然后可以讓學生思考面積為12平方厘米的三角形除了底為6厘米高為4厘米以外，還有哪些可能？從而得出底和高相乘的積是24的三角形面積都是12，增加學生思維的含量，合理滲透數學思想方法。否則練習再多、再新也只是“蜻蜓點水”的教學流程。

案例

（二）：“長方體的表面積和體積計算”復習課教學片斷

教師設計了這樣一道題“一個長方體，它的底面是邊長為5厘米的正方形，高是10厘米。這個長方體的表面積是多少?”

生1：(5×5+5×lO+5×10)×2。生2：5×5×2+5×lO×4。師：還有更簡便的計算方法嗎?（學生一個個瞪大眼睛，面面相覷）生3：我想出了一種簡便方法：5×5×lO。生4：他錯了，他求的是長方體的體積。

師鼓勵生3：你是怎么想的?請你說出來給大家聽聽，好嗎? 生3很自信地說：每個側面可以看作2個底面，那么四個側面就有8個底面，再加上下2個底面，一共是10個底面，算式就是：5×5×lO。

師：非常有創新，真是太簡便了。生5：5×lO×5這種計算方法也很簡便。師：這種方法跟剛才的一樣嗎? 生6：跟剛才的一樣，只是交換了兩個因數。

生5解釋：上下兩個底面合并起來是1個側面，再加上四個側面一共是5個側面，算式就是：5×lO×5。

多么好的詮釋啊!大家不由地鼓起掌來。學生在老師的大力表揚、熱情鼓勵下，創造性思維得到迸發，體驗到了成功的滿足與喜悅，更重要的是學生的數學綜合能力得到提高。

特級教師朱樂平說的好：不要對一節課求全責備。在我們的課堂教學中，不能定太多的、過于豐富的目標，要從課堂整體入手，考慮每節課的特點，或注重學生自己探索發現、過程體驗，或注重基礎知識的落實，基本技能的訓練，這樣才能較為全面地落實數學課程教學目標，當然學生數學綜合能力的提升也能得到落實。

什么是數學，它應該是具有高度的抽象性、嚴密的邏輯性和廣泛的應用性。作為新時代的數學教師，我們應時刻反思自己：在滾滾而來的改革中，我們應堅守什么？舍棄什么？關注什么？有沒有帶著冠冕堂皇的帽子、心安理得地進行著“不著邊際”的教學活動？應該做到不管外面的風向如何，潮流如何，都要有自己的思想，去粗取精、去虛求實、與時俱進。讓我們還它那份質樸與寧靜，讓它生命的本色重見陽光！

第五篇：初中數學課例研修報告

初中數學研修報告

-------如何提高學生自主學習的能力

鴨鴿營中學

王紅霞

老師們，大家的發言積極踴躍，使我受益匪淺。以往的教學方式單一，教學手段落后，我們有時不愿意放下主宰課堂的權利。學生成績差的主要原因是學習方式被動，直接原因是我們講得過多。隨著課堂教學模式的改革，以學生為主體的科學發展觀思想在理論上已上升為人們的共識，“自主學習”已成為眾多教師在自己的實際教學工作中大力推崇的一種教學方法。自主學習，就是指不依賴于別人的獨立自主的學習。自主學習能力則是指學習者在學習活動中表現出來的一種綜合能力。具備這種能力的人具有強烈的求知欲，能夠合理地安排自己的學習活動，具有刻苦鉆研精神，并且能夠對自己的學習效果進行科學的評價。有了一定的自主學習的能力，學生就不再是被動接受知識的機器，而是能用科學的方法主動探求知識、敢于質疑問難、個性充分發展的學習的主人。學生主動學習的精神，需要我們經常地啟發、點撥和引導，需要長期地、有計劃地進行培養，這與教師的主導作用密切相關。通過老師們的發言和自己的見解總結以下幾點：

一、培養學生的自主學習的意識，激發學生的創新意識。

要使學生學會自主地學習，必須培養學生的自主學習的意識，為了更好地激發學生的自主學習的意識，首先要對部分學生的學習情況做詳細的調查，然后應該讓學生建立自主學好數學的信心，為學生提供自主學習數學的機會，并通過學生自主學習的過程，挖掘學生學習數學的潛能，激發學生學習數學的興趣，從而逐步培養學生自主探究數學問題的意識。通過精心選取課前預習題和課后作業題讓學生先行自學和思考，然后組織學生在課堂上分小組（四人一組）進行討論，按小組次序依次發表自己的見解，有不同意見和見解的學生可以舉手發表自己的

見解。在討論過程中充分發揮教師的“指導”的作用：一是對學生的見解作精要點評；其次是注意捕捉學生靈光閃現的思維給與充分肯定；然后是和學生一起討論交流，成為他們討論小組中的一分子。由于每個學生都有均等發言的機會，這就擴大了學生的課堂參與度，增加了每個學生學好數學的信心，反過來也激發了每個學生認真進行課前預習的積極性，經過一段時間的試驗，學生逐步建立起自主學習的意識，同時也為創新思維的形成增添了動力，使學生形成推崇創新、追求創新，以創新為榮的觀念和意識，為將來的創新實踐打下堅實的基礎。

二、創設自主學習的氛圍，培養學生的思維能力。

培養學生的自主學習能力，必須為學生創設自主學習的最佳氛圍。這就要求每一位教師必須尊重每一位學生，學會贊賞每一位學生，幫助每一位學生；給學生獨立思考的時間與空間，充分解放學生的口、手和思維，讓學生敢說、敢做、敢于發現問題，敢于發表見解，努力做到“果”讓學生自己摘，“問”讓學生自己提，“話”讓學生自己說，“題”讓學生自己解，“法”讓學生自己探，讓學生在“誤”中感悟，在“錯”中切磋，在“探”中感嘆，最大限度地讓學生在活動中學習，在合作中提高，在主動中發展，從而提高學生的自主學習能力。其實，自主學習的能力與學生的數學基礎有關，在一個班中各個學生的基礎不同，因此，自主學習的能力必然存在著差異性。為此，實行分層教學，從學生的個體差異出發，設定不同層次學生的教學要求，進行不同層次的教學活動，給予不同層次的輔導，組織不同層次要求的考查活動，使得不同層次的學生能在原有的基礎上得到發展和提高。以實現課堂中教師的教學和學生的學習能夠協調同步發展為歸宿，力求各個層次的學生在適度緊張的心理狀態和愉快的課堂氛圍中進行學習活動，有針對性地提高學生的個體素質能力。在班級群體中實行分層次合作。把課堂上強調的學生自主學習，拓寬到課堂外學生之間的自主合作性學習，使課內課

外形成一個有效的整體，來滿足同學們在自主學習中涌現出來的研究和交流的欲望。根據學生的數學思維層次，科學地安排合作學習小組是成功進行小組合作學習的前提。學習小組的科學組合非常重要，可把全班學生按照成績、能力傾向、個性特征等分為若干小組，這樣既增加小組合作成員的多樣性，同時又可以增加合作學習小組間的競爭性。合作學習小組成立之后，既拓寬了師生之間、同學之間的交流渠道，而且，因為有了共同的話題，在平時的課余時間，同學們也會對探究數學的氣氛愈來愈濃，從而會形成主動、自主、生動的數學學習氣氛。

三、運用各種不同的創新思維方式，教會學生學會自主學習的方法。“授之以魚，不如授之以漁”。要學生主動地學習知識,關鍵是教給學生學習的方法和策略, 使學生逐步掌握正確的思維方法,培養學生的歸納、比較、分析、綜合、抽象、概括等數學能力,逐步掌握學習方法，使學生真正成為學習的主人。學生具有自主學習的意識和氛圍后，關鍵是引導學生學會“自主學習”的方法。學生學會自主學習，并不是讓學生放任自流，而是在充分肯定學生在學習活動中的主體地位的同時，重視教師的主導地位，教師“不僅要讓學生學會，更重要的是讓學生會學，引導學生能動地、自覺地規劃自己，成會自己發展的主人”。

1、學會制定學科目標 有一部分的學生學習帶有很大的盲目性，學習處于無狀態之中；有一部分學生制定不切實際的過高的學習目標，當學習目標達不到時便垂頭喪氣。為此，指導學生在制定學習目標時，采用量力而行的原則。指導學生根據自身的實際情況確定相應的學習目標，對某些學習的重點和難點內容可分步驟完成，對能力的要求分階段達到，對素質的提高分層次滲透，從而提高學生學習的積極性。

2、指導學生制定學習計劃為了制定合理的、科學的學習計劃，小組活動時讓學生們互相交流自己的學習計劃，互相取長補短。對于有些學習效果較差的學生，采取一對一的談話方式進行交談，會收到較為明顯的效果。

3、教會學生學會課

前預習指導學生學會課前預習，通過給學生出示預習要點、思考問題及嘗試練習題，讓學生嘗試概括學習目標、領悟學習重點、探索解決難點的方法。并通過預習，讓學生嘗試去發現問題，提出問題，帶著自己的問題和發現進入課堂。

4、指導學生學會選擇和利用學習資料有相當一部分的學生不知道怎樣根據自己的數學學習水平和學習要求合理選擇和利用資料，有的學生基本知識還沒有到位，就去搞較深的題；有的學生選擇相似的參考書，作了大量的重復勞動，從而被書牽著鼻子走，使學習處于十分被動的狀態。為此，應指導學生怎樣精選一本參考書，怎樣摘抄和歸納對自己有用的信息，教會學生精讀和泛讀的方法。

5、讓學生學會交流討論 在學生學會能動地發現問題和探究問題的同時，還必須學會問，學會交流，只有在交流中才能讓每個學生充分暴露自己的思維過程,并在以他人的交流中彌補自己思維的不足和拓寬自己的思維渠道。在課堂討論中強調學生主體教師主導。

6、教學生學會反思提高數學解題能力。剛才有老師提到：不少同學在完成作業或進行大量解題訓練的過程中，普遍欠缺一個提高解題能力的重要環節：解題后的“反思”。何謂“解題反思”？一道數學題經過一番艱辛，苦思冥想解出答案之后，必須認真進行如下探索：（1）這道題考查的知識點是什么？（2）為什么要這樣做？（3）我是如何想到的？（4）還可以怎樣做，有其它方法嗎？（5）一題多變看看怎么樣。這樣做一題、通一題型。一道錯題，從三個方面分析:（1）錯在哪里；（2）錯的原因是什么；（3）符合什么條件，錯誤的答案才能變成正確的答案。學生對自己的學習狀態不能能動地進行反思和評價，就不能對自己的學習過程進行自控和修正，達到有效的學習，引導學生學會通過自己的課堂表現、作業狀態、課堂檢測、階段性檢測和終結性檢測做出合情評價，并采取相應有效的措施。因此，為了提高同學的解題能力，應該倡導和訓練學生進行有效的解題反思。

7、可讓學生每人準備一個“記錯本”，把自己平時作業、單元測

試或期中、期末考試中出現的錯誤記錄下來，并注明出錯原因，使學生做到有錯必改，以后不再犯類似的錯誤。記錯本有了，教師還要注意及時反饋，如每周五，可布置“一周錯題回顧”，把本周自己做錯的題再做一遍，星期一逐本批改，對于再次做錯的題做上標記，再記錄下來，再做，這樣到期末，學生的錯題就越來越少。

總之，注重學生自主學習能力的培養，有助于學習者提高自主意識，養成正確的學習態度；有助于學習者培養創新精神，發展智力；有助于學習者掌握正確的學習方法，培養自我評價能力。教師在數學教學中，有意識、有計劃地培養學生的自主學習能力，能有效地提高課堂教學效率，提高學科教學質量，真正達到“輕負擔、高質量”的理想境界。