第一篇：角的平分線的性質

《角的平分線的性質》說課稿

【序】

尊敬的各位評委老師，親愛的同學們，大家好！我是號參賽選手，今天，我說課的內容為《角的平分線的性質》。本節選自九年制義務教育人教版八年級數學第十一章第三小節。下面我將從教材分析、教法選擇、學法分指導，教學過程四個方面，展開我今天的說課內容。

1.首先第一部分、【教材分析】 1.1【教材的地位與作用】

結合教材內容，我們可以看出，“角的平分線的性質”是在學生學習了全等三角形、角平分線的定義和相關概念的基礎上，從探究平分角儀器的原理出發，得出角的平分線的畫法、性質和判定定理。角平分線的性質是角軸對稱性質的具體化，為證明線段相等、角相等、三角形內三線共點提供了新的方法和依據；同時，性質與判定定理之間的互逆關系，也為學生初步認識互逆命題打下了基礎。所以，本節內容在教材中有著乘上啟下的重要作用。

1.2【教學目標】

根據以上的分析，結合新課程標準的要求，我將具體的教學目標確定如下：

在知識技能方面我想要達到的目標是：讓學生通過本節課的學習，掌握角平分線的畫法，理解角平分線的性質和判定定理，并運用它們解決一些有關的證明和計算問題。

過程和方法目標：本節課，我將帶領學生經歷觀察、實驗、猜想、證明和探索的過程，體會探索問題的一般方法和轉化的數學思想。

在學生的情感態度價值觀培養方面：我將讓學生通過一系列問題的解決體會數學在實際生活中的強大作用，從而樹立學數學、愛數學的信心。并將小組合作貫穿于教學環節的始終，培養學生與人合作的精神，發展他們的個性。

1.3【教學重難點】

根據教材內容的安排，和學生的學習思維特點，我確定本節的教學重點為角的平分線的性質。難點確定為角的平分線的性質和判定定理的綜合運用。

2．【教法選擇】

我所面對的學生是初中二年級的學生，相對于其它年齡段的孩子，他們的獨立意識和行動能力都有了明顯的增強，因此，在教學方法上我打算采用情景教學法、引導發現法、直觀演示法、小組討論交流法相結合的教學方法，在教學過程中利用多媒體課件、實物投影儀、超級畫板軟件、平分角儀器引導學生掌握知識，形成能力，將數學知識與觀察演示和動手實踐相結合，使我的課堂始終洋溢在一種輕松快樂的氛圍之中。

3.【學法指導】

在學法指導方面，我更加注重學生科學探究方法的體驗和感受，讓他們在自主動手實踐、同學之間通力合作的基礎上學會運用觀察、分析、對比、歸納、證明的方法，得出解決問題的辦法，將學習知識與培養能力融為一體，提高學生持續學習的能力。

4.【教學過程】

結合以上的內容，我將我此次的教學過程按照：

創設情境，導入新知——動手實踐，探究新知——應用新知，探討例題 歸納小結，整理反思——布置作業，自我鞏固，五個步驟逐層層展開。4.1【創設情境，導入新知】

在課堂的開始，我利用多媒體課件在大屏幕上出示一道度假村的設計問題，“某地的規劃局要在一個三條公路兩兩相交的地區設計一個度假村”并提出一問題“為了使度假村的客人到三條公路出行同樣方便，度假村應該設計在何處呢？”對于這樣一道問題，大部分學生會感到無從下手，我就借此機會，因勢利導引出本節課的課題“解決這個問題需要用到角平

分線的性質的有關知識，只要我們齊心協力探究出它來，所有同學都可以給規劃部門做出一個出色的設計方案”。讓學生在好奇心和自信心的趨使下，進入到探索新知的環節中去。

4.2【動手實踐，探究新知】

與此同時，為了給學生創建動手、動腦、合作交流的平臺，我將我探究新知的所有過程都安排在小組合作的基礎之上，并設計了以“闖三關”為主線的教學策略設計了三個有趣的揭秘活動，讓所有小組在逐步的挑戰活動中，不知不覺的學到了知識，培養了能力。

4.2.1首先帶領學生進入第一環節：【揭秘平分角儀器的原理】

讓學生拿出課前準備好的學具—“這是一個平分角的儀器，其中AB=CD,BC=DC,將點A放在角的頂點，AB、AD沿著角的兩邊放上，那么AC所指示的方向就是這個角的角平分線的方向了，你能說出它的原理嗎？”學生會自發的展開驗證，然后論證它的原理。我深入到各小組中啟發學生先寫出已知、求證，畫出圖形，再思考證明。這樣學生很容易根據已有的解題經驗，利用證明三角形全等得出AC平分角的性質，課堂松闖過第一關。

4.2.2課堂進入第二關【揭秘已知角的角的平分線的畫法】 在第一關的基礎上，引導畫圖思路：“我們可不可以根據平分角儀器那樣，利用構造兩組相等的臨邊，來畫出任意角的角平分線呢？”

在規定時間內，將問題交給各小組，先讓各組員獨立思考，然后相互交流，寫出畫法。為了充分發揮學生的主觀能動性，我先安排畫圖成功的小組，簡要說明自己的畫法，之后引導在黑板上歸納出正確的作圖步驟：

再由畫圖未竟的小組說說自己遇到的問題，全班討論。在作圖思路已知的情況下，大部分學生失敗的原因在第二步做弧時半徑未取好，導致弧不能相交，畫不出點C，由此，我引導出作圖的關鍵點。并鼓勵畫圖未成功的學生：寶劍鋒從磨礪出，梅花香自苦寒來，在失敗的道路上失敗并不可怕，只要我們直面問題，找出失敗的原因，就能笑到最后，在智育中滲透德育，完善了學生性格的發展。

這樣全體學生齊心協力，通過了第二關。4.2.3進入第三關：【揭秘角的平分線的性質】

請學生按照我描述的步驟利用準備好的紙和剪刀動手操作，觀察兩次折疊形成的折痕，思考他們各是什么？利用這些我們能得出什么結論？由于學生實驗中如果取的角過小，過大都會影響實驗結果的觀察，為了更加直觀的引導總結，接著我會安排學生觀察我用超級畫板制作的動畫。

先將角對折，兩邊重合，然后再以折線為斜邊折出一個直角，再逐步展開，觀察形成的折痕，為了將結論推向一般，教師也可以選取不同位置多做幾次，觀察多組實驗的現象，學生會更加更加確信結論的正確性。在學生舉手回答的基礎上總結出角平分線的性質，之后安排各小組寫出已知求證畫出圖形后證明，最后填寫這樣一個表格，有了對全等三角形判定定理的熟練掌握，學生很容易根據邊角邊的判定定理得出證明，目的在加深學生對性質的理解和認識，同時為轉化應用買下伏筆。

之后，出示這樣一個練習題交給學生先畫圖觀察、最后做輔助線證明。

對于判定定理，我采用引導的方式“用角平分線性質的結論做條件，是不是會得出性質的條件呢？”

學生們會快速的想到證明的方法，在舉手回答的基礎上，歸納出角平分線的判定定理。同樣的填寫一個表格。兩個表格的對比，讓學生認識到性質和判定定理之間的互逆關系，為之后學習互逆命題打下基礎。

4.3【應用舉例】

例一：讓學生利用學得的知識，解決課題導入時的度假村設計問題，由于之前的習題已經提供了解題的思路，所以應用解題已經不是難題。挑學生扮演。

例二：求證：三角形三條角平分線交于一點。這是一個性質與判定定理的綜合運用，在這個過程中無論結果是好是壞，是對是錯我都將給與學生充分的肯定以及簡單的點評。

對于學生成功的解決方法我將利用實物投影儀在大屏幕上展示，完善解題過程，增加解題經驗。度假村設計問題的解決，使學生認識到數學知識在生活中的廣泛應用，幫助學生樹立學數學、愛數學的信心。

4.4【歸納小結】

荷蘭數學家弗萊登塔爾指出：“反思是數學思維活動的核心和動力”，因此歸納小結環節，我將采用師生共同總結的方式，以

1、今天我們學習了什么？

2、今天我們運用這些知識解決了哪些數學問題？

3、這些知識還能幫助我們解決生活中其他問題嗎？

問題序列的方式，引導學生對這節課的知識內容進行梳理，加深學生對知識內容的理解，提高他們分析小結的能力。

4.5【布置作業】

作業布置我采用必做題的選做題相結合的方式。與此同時，同時讓學生 【板書設計】

最后是我的板書設計，共分兩版，以教學過程為指引逐步展開，有助于學生回憶整理，重點突出，同時很好的服務了課堂教學。

第二篇：角平分線性質教案

教學設計

一、教學目標

（一）知識與技能目標

1.掌握作角的平分線和作直線垂線的方法 2.學握角平分線的性質

（二）情感態度目標

1.在探討做角平分線的方法及角平分線性質的過程中，培養學生探究問題的興趣，增強解決問題的信心，獲得解決問題的成功體驗。2.培養學生團結合作精神。

教學重點： 掌握角平分線的尺規作圖，理解角的平分線的性質并能初步運用。教學難點： 1.對角平分線性質定理中點到角兩邊的距離的正確理解； 2.對于性質定理的運用。

教學工具： 多媒體 課件。直尺，圓規等

二、教學過程設計

（一）復習引入 1.角平分線的定義。2.點到直線的距離。

學生思考，回答問題。（設計意圖：復習已學知識，為下面研究創造條件。）

（二）設計活動，引出內容 【活動一】

問題 1 ：利用之前學過的知識，如何確定一個角的角平分線。

問題 2 ：不利用工具，將一張用紙片做的角分成兩個相等的角，你有什么辦法？（對折）學生活動：學生用量角器去量，讓一個學生上講臺用折紙的方法得到角平分線展示給大家。

（設計意圖：掌握作角的平分線的簡易方法）

假如我們要將紙片換成木板、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？那么我們除了使用量角器外，我再給大家介紹另一種儀器——角平分儀（展示課件）如圖，是一個平分角的儀器，其中 AB=AD，BD=DC，將點 A 放在角的頂點，AB 和 AD 沿著角的兩邊放下，沿 AC 畫一條射線 AE，AE 就是這個角的平分線，你能說明它的道理嗎？

（總結學生思路——利用三角形全等）

（設計意圖：訓練書寫數學語言）

引導學生觀察這個角分儀，根據這個角分儀的制作原理，通過小組討論總結，歸納出作一個已知角角平分線的方法。（分小組完成這項活動，教師可參與到學生活動中，及時發現問題，給予啟發和指導，使講評更具有針對性）

通過小組討論的結果，讓同學在黑板上演示作圖過程及復述畫法，再利用多媒體演示，加深印象，并強調尺規的規范性。討論結果展示：

作已知角平分線的方法： 已知：∠ AOB ．

求作：∠ AOB 的平分線． 作法：

（1）以 O 為圓心，適當長為半徑作弧，分別交 OA、OB 于 M、N.（2）分別以 M、N 為圓心，大于 MN 的長為半徑作弧．兩弧在∠ AOB 內部交于點 C.（3）作射線 OC，射線 OC 即為所求.設置問題：

1.在上面作法的第二步中，“大于 MN 的長”這個條件改成“小于或等于

MN 的長”不行嗎？

2.第二步中所作的兩弧交點一定在∠ AOB 的內部嗎？

（設計這兩個問題的目的在于加深對角的平分線的作法的理解，培養數學嚴密性的良好學習習慣。）學生討論結果總結：

1.不行，若改成“小于或等于 MN 的長”，那么所作的兩弧可能沒有交點，所以就找不到角的平分線。

2.若分別以 M、N 為圓心，大于 MN 的長為半徑畫兩弧，兩弧的交點可能在∠ AOB 的內部，也可能在∠ AOB 的外部，而我們要找的是∠ AOB 內部的交點，? 否則兩弧交點與頂點連線得到的射線就不是∠ AOB 的平分線了。應用：平分平角∠ AOB(學生口述)由平分平角的步驟，得出結論： 作平角的平分線即可平分平角，由此也得到過直線上一點作這條直線的垂線的方法。

【活動二】

拿出用紙片做的角 ∠ AOB，在這個角的角平分線上任意取一點 P，過點 P 分別向角的兩邊做垂線，量一量點 P 到將兩邊的垂線段的長有什么關系？再在這個角平分線上任取 3 個點，也分別向角的兩邊做垂線，看看這些點到角的兩邊的垂線段的長有什么關系？

學生動手操作，通過觀察，用尺子測量，得出結論： 角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

這是從直觀上得出的結論，從理論上要證明這個結論。

（設計意圖：解決實際問題，拓展學生思維，引導角平分線的性質定理總結，規律化規范語言，深化記憶定理）

證一證： 引導學生證明角平分線的性質，分清題設、結論，將文字變成符號并加以證明。學生板眼，挑出問題，糾正問題，得出完整過程。

由此，得到角平分線的性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。用符號語言表示為： ∵ OP平分∠ AOB PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴ PD=PE 定理的作用：證明線段相等。練習：判斷正誤，并說明理由：

（1）如圖 1，P 在射線 OC 上，PE ⊥ OA，PF ⊥ OB，則 PE=PF。（2）如圖 2，P 是∠ AOB 的平分線 OC 上的一點，E、F 分別在 OA、OB 上，則 PE=PF。

（3）如圖 3，在∠ AOB 的平分線 OC 上任取一點 P，若 P 到 OA 的距離為 3cm，則 P 到 OB 的距離邊為 3cm。

（三）知識回顧 1.角平分線的畫法

2.角平分線的性質：角平分線的點到角兩邊的距離相等

（四）板書設計

第三篇：角平分線的性質說課稿

《角的平分線的性質》說課稿

一、說教材

1、教材的地位及作用：

本節課是在學生學習了角平分線的概念和全等三角形的基礎上進行教學的，它主要學習角平分線的作法和角平分線的性質定理。這節課的學習將為證明線段或角相等開辟了新的思路，并為今后對圓的內心的學習作好知識準備.因此它既是對前面所學知識的應用，又是為后續學習作鋪墊,具有舉足輕重的作用，因此本節課在教材中占有非常重要的地位。

2、教學目標：

根據《新課程》對本節課內容的要求，針對學生的一般性認知規律及學生個性品質發展的需要，確定教學目標如下：

（1）知識與技能：

掌握作已知角的平分線的方法和角平分線性質；能運用角平分線及其性質解決有關的數學問題。

（2）過程與方法：

在經歷角平分線的性質定理的推導過程中，提高綜合運用三角形的有關知識解決問題的能力，并初步了解角的平分線的性質在生活、生產中的應用；在學習過程中發展幾何直覺，培養數學推理能力。

（3）情感態度：

培養學生探究問題的興趣，增強解決問題的自信心。獲得解決問題的成功體驗，逐步發展培養學生的理性精神。

3、教學重點、難點：

根據教材的內容及作用確定本節課的教學

重點：角平分線的性質的證明及運用，難點：角平分線的性質的探究

二、學情分析

學生具備基礎的幾何知識，有一定的推理能力，好奇心強，有探究的欲望，能在教師的引導下發現生活中的數學知識，并運用所學推出新知。

三、說教法

現代教學理論認為：在教學過程中，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、言道者，教學的一切活動都必須以強調學生的主動性、積極性為出發點。根據這一教學理念，結合本節課的內容特點和學生的年齡特征，本節課我將借助多媒體，創設問題情景，采用

“啟發誘導—探索發現”以及“講練結合”的教學方法，以問題的提出、問題的解決為主線，始終在學生知識的“最近發展區”設置問題，倡導學生主動參與教學實踐活動，以獨立思考和相互交流的形式，在教師的引導下發現、分析和解決問題，給學生留出足夠的思考時間和空間，從真正意義上完成對知識的自我建構。

四、說學法

在教學中，學生始終是主體，教師只是起引導作用。學生的學是中心，會學是目的。因此，在教學中要不斷指導學生學會學習。學習者在一定情境中對學習材料的親身經驗和發現,才是學習者最有價值的東西.在教授知識的同時,必須設法教給學生好的學習方法,讓他們

“會學習”.通過本節課的教學,讓學生學會從生活實際中發現數學問題，探究原理并運用其解決問題;讓學生學會引申、變更問題,以培養學生發現問題、提出問題的創造性能力。讓學生在觀察、比較、分析、概括等活動中，體驗知識的生成、發展與應用。

五、教學過程：

（一）創設情境

導入新課

不利用工具，請你將一張用紙片做的角分成兩個相等的角。你有什么辦法？

如果前面活動中的紙片換成木板、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？

設計目的：能聚攏學生的思維為新課的開展創造了良好的教學氛圍。

（二）合作交流

探究新知

（活動一）探究角平分儀的原理。具體過程如下：

播放奧巴馬訪問我國的錄像資料------引出雨傘-----觀察它的截面圖，使學生認清其中的邊角關系-----引出角平分線；并且運用幾何畫板對傘的開合進行動態演示，讓學生直觀感受傘面形成的角與主桿的關系-----讓學生設計制作角平分儀；并利用以前所學的知識尋找理論上的依據，說明這個儀器的制作原理。

設計目的：用生活中的實例感知。以最近大事作引入點，以最常見的事物為載體，讓學生感受到生活中處處都有數學，認識到數學的價值。其中設計制作角平分儀，可培養學生的創造力和成就感以及學習數學的興趣。使學生很輕松的完成活動二。

（活動二）通過上述探究，能否總結出尺規作已知角的平分線的一般方法．自己動手做做看．然后與同伴交流操作心得．

分小組完成這項活動，教師可參與到學生活動中，及時發現問題，給予啟發和指導，使講評更具有針對性。

討論結果展示：教師根據學生的敘述，利用多媒體課件演示作已知角的平分線的方法：

已知：∠AOB．

求作：∠AOB的平分線．

作法：

（1）以O為圓心，適當長為半徑作弧，分別交OA、OB于M、N．

（2）分別以M、N為圓心，大于1/2MN的長為半徑作弧．兩弧在∠AOB內部交于點C．

（3）作射線OC，射線OC即為所求．

設計目的：使學生能更直觀地理解畫法，提高學習數學的興趣。

議一議：

1．在上面作法的第二步中，去掉“大于

MN的長”這個條件行嗎？

2．第二步中所作的兩弧交點一定在∠AOB的內部嗎？

設計這兩個問題的目的在于加深對角的平分線的作法的理解，培養數學嚴密性的良好學習習慣。

學生討論結果總結：

1．去掉“大于

MN的長”這個條件，所作的兩弧可能沒有交點，所以就找不到角的平分線．

2．若分別以M、N為圓心，大于

MN的長為半徑畫兩弧，兩弧的交點可能在∠AOB的內部，也可能在∠AOB的外部，而我們要找的是∠AOB內部的交點，否則兩弧交點與頂點連線得到的射線就不是∠AOB的平分線了．

3．角的平分線是一條射線．它不是線段，也不是直線，所以第二步中的兩個限制缺一不可．

4．這種作法的可行性可以通過全等三角形來證明．

（活動三）探究角平分線的性質

思考：已知一角及其角平分線添加輔助線構成全等三角形；構成全等的直角三角形。這樣的三角形有多少對？

這樣設計的目的是加深對全等的認識，自然引出性質的證明圖形及方法，符合由已知推導新知教學原則，也為后面涉及角平分線題型作輔助線起了潛移默化的作用。證明過程學生完全能夠自己完成。

已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，P為OC上任意一點，PD⊥

OA于D，PE⊥

OB于E．

求證：PD＝PE．

引導分析PD、PE就是角平分線上的點到角的兩邊的距離。由學生歸納角平分線的性質定理，由此得到：

定理1

在角平分線上的點，到這個角的兩邊的距離相等．

（角平分線的性質定理）

設計目的：培養學生的數學抽象概括能力及理性精神。

表達方式：

如圖4，∵　P是∠AOB的平分線OC上一點，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴　PD＝PE．

圖4

設計目的：告訴學生運用性質定理的兩個前提，使學生能夠正確使用定理。

練習

（1）判斷正誤，并說明理由：

①如圖5，②如圖6，∵

P是∠AOB的平分線

∵　PD⊥OA于D，OC上任意一點，PE⊥OB于E，∴　PD＝PE．

∴　PD＝PE．

圖5

圖6

（2）填空：如圖7，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝3cm，則點D到AB的距

離為

cm．

此設計旨在加深對性質的理解和學會初步的運用，突出本節重點。

圖7

（三）、綜合應用：

例題

已知：如圖，∠1＝∠2，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD交于點O．

求證：OC=OB．

進一步提出：

（1）思考

不改變已知條件：

①圖中還有哪些線段相等？

②圖中有那些全等的三角形？

③若連結ED，則AO與ED有怎樣的位置關系？

設計意圖：本例對學生來說更具挑戰性，既含新知又有舊知，旨在培養學生的綜合運用能力、推理能力和數學思維的周密性；另外對一題的引申變化能激發學生對數學知識的深入探究；使教學達到舉一反三，事半功倍的效果。讓學生學會引申、變更問題，以培養學生發現問題、提出問題的創造性能力；使他們認識學數學不是題海戰術而是思維的革命。

（2）思考

在直角三角形中畫出一個銳角的平分線，除前面的方法外，你還有其他方法嗎？

設計意圖：探索畫角平分線的新方法，培養創新精神。

（四）鞏固訓練

(1)已知：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相

交于點P.求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等.(2)教材第22頁練習題。

讓學生加深對角平分線性質的理解，提高運用知識的能力，為后面解決與角平分線有關的實際問題的打下基礎。

(五)小結

（1、你學習了什么？2、你學會了什么？3、你有什么疑惑？）

這樣可以進一步培養學生的概括能力、語言表達能力，鼓勵學生對本節知識歸納總結。既有知識的總結，又有方法的提煉，引導學生從多角度將本節知識歸納總結，感悟點滴，從而將知識系統化、條理化。

點學生應按由差生再中等生最后優生的順序，這樣差生有話說，后來優生講時，他們也有思考的時間和空間。

（六）布置作業

教材第22頁習題

第二題和第四題

兩題均能考查學生對角平分線的性質的理解和運用，突出本節課的主旨。第二題是角平分線性質與直角三角形全等的綜合運用，可培養學生的推理思維能力。第四題可以發展學生的直覺---------證點到線的距離相等可先證這點在角平分線上。

六、教學設計說明：

本節課我是以觀察為起點，以問題為主線，以培養能力為核心的宗旨；遵照教師為主導，學生為主體，訓練為主線的教學原則。情景引入，激發興趣，學習過程體現自主，知識結構循序漸進，轉化思想有機滲透，注重了師生互動共同發展的過程，給學生構建自主探究、合作交流的舞臺，使他們在自主探究的過程中理解角的平分線的性質，并獲得數學活動的經驗，提高探究、發現和創新能力。

第四篇：角平分線性質教學設計

24.7線段垂直平分線的性質定理及其逆定理

教學設計思想

我們已經探究出線段的垂直平分線所具有的性質，本節學習這個性質的證明及其應用，以啟發引導的方式，引導學生完成定理的證明。對于逆命題的書寫，先回顧有關的知識，再書寫，師生一起完成證明。對于用尺規作線段垂直平分線的過程，要學生說出每步作法的依據。

教學目標

知識目標

總結線段垂直平分線的性質定理及其逆定理的證明和簡單應用；

經歷用尺規作線段垂直平分線的過程，并能說明其依據。

能力目標

經歷探索、猜測、證明過程，進一步發展推理、證明意識和能力。

情感目標

在探索活動中感受數學的嚴密性、嚴謹性；

在各種活動中獲得猜想。

教學重點和難點

重點是線段垂直平分線的性質定理及其逆定理及它們的實際應用；

難點是線段垂直平分線的性質定理及其逆定理的應用。

教學方法

啟發引導、合作探究

課時安排

１課時

教具學具準備

投影儀或電腦、三角板

教學過程設計

我們已經探究出線段的垂直平分線所具有的性質，怎樣對這個性質進行證明呢？

（一）線段垂直平分線的性質定理

線段垂直平分線的性質定理 線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。

下面我們就來證明這個定理。

如圖，已知線段AB，直線EF⊥AB，垂足為O，AO=BO，點P是EF上異于點 O的任意一點。

求證：PA=PB。

證明：∵EF⊥AB(已知)，∴∠POA=∠POB=90°(垂直的定義)。

在△PAO和△PBO中，AO=BO(已知)，∠POA=∠POB(已證)，PO=PO(公共邊)，∴△PAO≌△PBO(SAS)。

∴PA=PB。

（二）做一做

1、寫出上面定理的逆命題。

2、填寫下面命題證明過程的理由。

已知：如圖，P為線段AB外的一點，且PA=PB。

求證：點P在線段AB的垂直平分線上。

證明：過點P作直線EF⊥AB，垂足為O，則

∠POA＝∠POB＝90°()。

在Rt△PAO和Rt△PBO中，PA＝PB()，PO＝PO()，∴Rt△PAO≌Rt△PBO()。

∴AO＝BO()。

∴EF是線段AB的垂直平分線()。

∴點P在線段AB的垂直平分線上。

加深學生對逆命題和逆定理含義的理解，讓學生獨立正確地說出線段垂直平分線的性質定理的逆命題和證明過程的依據。

1、略

2、垂直的定義，已知，公共邊，HL，全等三角形的對應邊相等，線段垂直平分線的定義。

由此，我們得到：

線段垂直平分線性質定理的逆定理 到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

（三）觀察與思考

觀察下面用尺規作線段垂直平分線的步驟(圖24-25)，思考這種作法的依據。

步驟一：分別以點A，B為圓心，以固定長(大于AB長的一半)為半徑畫弧，兩弧分別交于點E，F。

步驟二：過點E，F作直線，則直線EF就是線段AB的垂直平分線。

使學生明白尺規作線段垂直平分線的依據。依據是線段垂直平分線的性質定理的逆定理。

（四）練習

1、已知：如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=5，BC邊的垂直平分線DE交BC于點D，交AC于點E。

求△ABE的周長。

2、已知：如圖，三條路圍成一個三角地帶，要在它的中間建一個市場，并且使市場到三個交叉路口的距離相等。怎樣才能找到這個位置呢?畫出示意圖，并說明理由。

1、8

2、分別作AB，BC的垂直平分線，兩線相交于點O(如圖)，則點O即為所求。可根據線段垂直平分線的性質定理及其逆定理進行證明。

（五）小結

引導學生總結本節的主要知識點，及解題時分析的思路。

（六）板書設計

線段垂直平分線的性質定理及其逆定理

線段垂直平分線的性質定理

線段垂直平分線性質定理的逆定理

觀察與思考

練習

第五篇：角的平分線的性質教案

角的平分線的性質

教學目標

1． 掌握角的平分線的性質定理和它的逆定理的內容、證明及應用． 2． 理解原命題和逆命題的概念和關系，會找一個簡單命題的逆命題． 3． 滲透角平分線是滿足特定條件的點的集合的思想。教學重點和難點

角平分線的性質定理和逆定理的應用是重點． 性質定理和判定定理的區別和靈活運用是難點． 教學過程設計

一、角平分錢的性質定理與判定定理的探求與證明 1，復習引入課題．

（1）提問關于直角三角形全等的判定定理．

（2）讓學生用量角器畫出圖3－86中的∠AOB的角平分線OC．

2．畫圖探索角平分線的性質并證明之．

（1）在圖3－86中，讓學生在角平分線OC上任取一 點P，并分別作出表示Ｐ點到∠AOB兩邊的距離的線段 PD，PE．

（2）這兩個距離的大小之間有什么關系？為什么？學生度量后得出猜想，并用直角三角形全等的知識進行證明，得出定理．

（3）引導學生敘述角平分線的性質定理（定理1），分析定理的條件、結論，并根據相應圖形寫出表達式．

3．逆向思維探求角平分線的判定定理．

（1）讓學生將定理1的條件、結論進行交換，并思考所得命題是否成立？如何證明？請一位同學敘述證明過程，得出定理2——角平分線的判定定理．

（2）教師隨后強調定理1與定理2的區別：已知角平分線用性質為定理1，由所給條件判定出角平分線是定理2．

（3）教師指出：直接使用兩個定理不用再證全等，可簡化解題過程． 4．理解角平分線是到角的兩邊距離都相等的點的集合．（1）角平分線上任意一點（運動顯示）到角的兩邊的距離都相等（滲透集合的純粹性）．

（2）在角的內部，到角的兩邊距離相等的點（運動顯示）都在這個角的平分線上（而不在其它位置，滲透集合的完備性）．

由此得出結論：角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合．

二、應用舉例、變式練習

練習1填空：如圖3－86（1）∵OC平分∠AOB，點P在射線OC上，PD⊥OA于D PE⊥OB于E．∴---------（角平分線的性質定理）．

（2）∵PD⊥OA，PE⊥OB，----------∴ OP平分∠AOB（-------------）

例1已知：如圖3－87（a），ABC的角平分線BD和CE交于F．

（l）求證：F到AB，BC和 AC邊的距離相等；

（2）求證：AF平分∠BAC；

（3）求證：三角形中三條內角的平分線交于一點，而且這點到三角形三邊的距離相等；

（4）怎樣找△ABC內到三邊距離相等的點？

（5）若將“兩內角平分線BD，CE交于F”改為“△ABC的兩個外角平分線BD，CE交于F，如圖3-87（b），那么（1）～（3）題的結論是否會改變？怎樣找△ABC外到三邊所在直線距離相等的點？共有多少個？

說明：

（1）通過此題達到鞏固角平分線的性質定理（第（1）題）和判定定理（第（2）題）的目的．

（2）此題提供了證明“三線共點”的一種常用方法：先確定兩條直線交于某一點，再證明這點在第三條直線上。

（3）引導學生對題目的條件進行類比聯想（第（5）題），觀察結論如何變化，培養發散思維能力．

練習2已知△ABC，在△ABC內求作一點P，使它到△ABC三邊的距離相等．

練習3已知：如圖 3－88，在四邊形 ABCD中，AB＝AD，AB⊥BC，AD⊥DC．求證：點 C在∠DAB的平分線上．

例2已知：如圖 3－ 89，OE平分∠AOB，EC⊥OA于 C，ED⊥OB于 D．求證：（1）OC＝OD；（2）OE垂直平分CD．

分析：證明第（1）題時，利用“等角的余角相等”可得到∠OEC＝∠OED，再利用角平分線的性質定理得到 OC＝OD．這樣處理，可避免證明兩個三角形全等． 練習4 課本第54頁的練習.說明：訓練學生將生活語言翻譯成數學語言的能力．

三、互逆命題，互逆定理的定義及應用 1．互逆命題、互逆定理的定義．

教師引導學生分析角平分線的性質，判定定理的題設、結論，使學生看到這兩個命題的題設和結論正好相反，得出互逆命題、互逆定理的定義，并舉出學過的互逆命題、互逆定理的例子．教師強調“互逆命題”是兩個命題之間的關系，其中任何一個做為原命題，那么另一個就是它的逆命題．

2．會找一個命題的逆命題，并判定它是真、假命題．

例3寫出下列命題的逆命題，并判斷（1）～（5）中原命題和它的逆命題是真命題還是假命題：

（1）兩直線平行，同位角相等；

（2）直角三角形的兩銳角互余；

（3）對頂角相等；

（4）全等三角形的對應角相等；

（5）如果|x|＝|y|，那么x＝y；

（6）等腰三角形的兩個底角相等；

（7）直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方． 說明：注意逆命題語言的準確描述，例如第（6）題的逆命題不能說成是“兩底角相等的三角形是等腰三角形”．

3．理解互逆命題、互逆定理的有關結論．

例4 判斷下列命題是否正確：

（1）錯誤的命題沒有逆命題；

（2）每個命題都有逆命題；

（3）一個真命題的逆命題一定是正確的；

（4）一個假命題的逆命題一定是錯誤的；

（5）每一個定理都一定有逆定理．

通過此題使學生理解互逆命題的真假性關系及互逆定理的定義．

四、師生共同小結

1．角平分線的性質定理與判定定理的條件內容分別是什么？

2．三角形的角平分線有什么性質？怎樣找三角形內到三角形三邊距離相等的點？ 3．怎樣找一個命題的逆命題？原命題與逆命題是否同真、同假？

五、作業

課本第55頁第3，5，6，7，8，9題．

課堂教學設計說明

本教學設計需2課時完成．

角平分線是符合某種條件的動點的集合，因此，利用教具，投影或計算機演示動點運動的過程和規律，更能展示知識的形成過程，有利于學生自己觀察，探索新知識，從中提高興趣，以充分培養能力，發揮學生學習的主動性．