第一篇：《課標解讀》第六章 關于《標準》中的10個核心概念

《課標解讀》第六章 關于《標準》中的10個核心概念

稿源：2011版《義務教育數學課程標準解讀》

作者：2011版課標解讀專家組

第六章

關于《標準》中的10個核心概念

在總結前期實驗經驗的基礎上，通過廣泛聽取各方意見和建議，此次《標準》提出了10個核心概念。這就是：數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識和創新意識。

核心概念有何意義呢？首先應該注意到，這些核心概念的內涵在性質上是體現的學習主體——學生的特征，它們涉及的是學生在數學學習中應該建立和培養的關于數學的感悟、觀念、意識、思想、能力等，因此，可以認為，它們是學生在義務教育階段數學課程中最應培養的數學素養，是促進學生發展的重要方面。

第二，《標準》將這些核心概念放在課程內容設計欄目下提出，是想表明，這些概念不是設計者超乎于數學課程內容之上外加的，而是實實在在蘊涵于具體的課程內容之中，或者與課程內容緊密結合的。從這一意義上看，核心概念往往是一類課程內容的核心或聚焦點，它有利于我們把握課程內容的線索和層次，抓住教學中的關鍵。并在數學內容的教學中有機地去發展學生的數學素養。

第三，深入一步講，核心概念本質上體現的是數學的基本思想。數學的基本思想指對數學及其對象、數學概念和數學結構及數學方法的本質性認識。數學基本思想集中反映為數學抽象、數學推理和數學模型思想。這些思想是數學學習中的重要目標。不難看出，核心概念對數學基本思想的體現是鮮明的。比如，與“數與代數”部分內容直接關聯的數感、符號意識、運算能力、推理能力和模型思想等核心概念就不同程度的直接體現了抽象、推理和模型的基本思想要求。這啟示我們，核心概念的教學要更關注其數學思想本質。

第四，這些核心概念都是數學課程的目標點，也應該成為數學課堂教學的目標，并通過教師的教學予以落實。僅以“數學思考”和“問題解決”部分的目標設定來看，《標準》就提出了：“建立數感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力”；“發展數據分析觀念，感受隨機現象”；“發展合情推理和演繹推理能力”；“增強應用意識，提高實踐能力”；“體驗解決問題方法的多樣性，發展創新意識”。這些目標表述幾乎涵蓋了所有的核心概念。綜上所述，把握好這些核心概念無論對于教師教學和學生學習都是極為重要的。

第一節

數感

一般人提起數感，總感到它是比較玄乎的。也有人質疑，像數感這種因人的感覺而異的、較“虛”的東西有必要作為核心概念提出來嗎？一些老師也感到數感作為課堂教學目標不好把握。這些情況說明，我們有加強對數感認識的必要。

一、兩個實例給人的啟示

實例一： 2010年2月25日，國家統計局公布的《2009年國民經濟和社會發展統計公報》顯示：我國70個大中城市房屋銷售價格同比上漲1.5%，其中新建住宅價格上漲1.3%。此報告一出立刻引起全國一片嘩然。公眾普遍反映此數據與實際狀況嚴重不符。面對公眾質疑，國家統計局召開緊急會議，討論統計數據來源是否真實可靠？統計方法是否科學？輿論提出的一個問題是：不論統計部門統計方式是否科學，為何公眾對房價的感覺與統計結果是大相徑庭的呢？此例說明數感的確是存在的，它與公眾的社會生活息息相關，并已成為現代社會公民所具有的基本數學素養的一部分。

實例二：一老師在教學指數冪的意義時，拋出一個現實情境問題：將一張紙對折32次，它的厚度有多大呢？老師給出的結論使學生在感到驚訝之余，更表示出強烈的質疑。該問題的結論是：其厚度可以超過世界最高峰珠穆朗瑪峰的高度。毫無疑問，這樣的問題會像磁石一樣，緊緊吸引學生的注意力，使學生產生一種“不見結果不信服”的學習內驅力。此例就其實質看，教師在這里利用的是，學生基于實際操作（將紙對折若干次）所建立起來的對

的直觀感覺與數學科學計算得出的結果之間的巨大反差，由此創設出一個生動的極富吸引力的學習環境。這一實例說明，學生在學習數學概念時，其固有的數感不僅在起作用，而且老師若能適時地利用學生原有數感的特點，使其形成課堂教學中的認知沖突，則能大大提高課堂教學的效率。

二、對數感的基本認識 “數感”一詞的英文表述為“Number Sense”，可翻譯為多種意思，如感覺、感官、理念、意識、領悟等等。那么，反映在數學課程中的數感基本內涵究竟應該如何理解呢？事實上，在這一點上人們的認識仍然是多元的。

1.一些關于數感內涵的說法。

因篇幅所限，這里不一一詳述國內外關于數感的種種說法，只將其做大致的梳理。歸納成這樣幾類：其一，認為數感是“關于數字（量）的一種直覺”；其二，認為數感與語感、方向感、美感等類似，都會有一種“直感”的涵義，具有對特定對象的一種敏感性及相關的鑒別（鑒賞）能力；其三，認為數感是一種主動地、自覺地或自動化地理解數和運用數的態度和意識，是一種基本的數學素養；其四，認為數感包含感覺、知覺、觀念、能力，可以用“知識”來統一指稱，這一知識是程序性的、內隱的、非結構性的。

2．《標準》對數感的表述

課標實驗稿首次明確提出了培養學生數感，但未對數感內涵做解釋，而是采用外延描述的方式，提出“數感主要表現在：理解數的意義；能用多種方法來表示數；能在具體的情境中把握數的相對大小關系；能用數來表達和交流信息；能為解決問題而選擇適當的算法；能估計運算的結果，并對結果的合理性作出解釋。”

在新課程實驗中，廣大第一線教師在課堂教學實踐中對培養學生的數感做了許多有益的探討，也形成了不少研究成果。此次修訂，認真聽取了各方意見，吸納了前期實驗研究的一些成果，重新對數感的內涵及功能作了表述。《標準》的提法是：“數感主要是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關系。”

將數感表述為感悟不僅使這一概念有了較大的包容性，也使得這一概念有了更實在的意義，有利于一線教師的理解和把握。在前期課程實施中，人們對數感內涵的認識較多強調其直覺、感知、潛意識、經驗等方面，在教學中教師也常常有“虛無縹緲”之感，找不到教學支點。將數感表述為感悟，揭示了這一概念的兩重屬性：既有“感”，如感知，又有“悟”，如悟性、領悟。“‘感’是外界刺激作用于主體而產生的，是通過肢體（如感官等）而不是通過大腦思維，它含有原始的、經驗性的成分。‘悟’是主體自身的，是通過大腦思維而產生的。‘感悟’是既通過肢體又通過大腦，因此，既有感知的成分又有思維的成分。”（史寧中，呂世虎，《對數感及其教學的思考》數學教育學報，2006年2期）

《標準》將這種對數的感悟歸納為三個方面：數與數量、數量關系、運算結果估計，這主要是基于義務教育階段數學課程內容的范圍并根據學生的實際所作出的要求，這有利于教師在教學中更好地把握數感培養的幾條主線。

關于數與數量。在小學低段，兒童對數的感悟是從數數學習辨認各組實物對象的多少開始建立的。這是一個逐漸展開的過程。兒童對多少的感悟離不開具體的情境，這樣他就需經歷一個察覺實物集合中所包含的物體數量多少的過程，從而積累并形成對量的多少的感知。學習用數表示多少的第一步就是數數，即用自然數表示多少。在數數的過程中，他們能把數量詞與其代表的少量物體聯系起來，逐漸過渡到數大量的物體；與此同時他們會形成這樣的經驗：數數的順序不會改變數的結果；數的過程中下一個數比前一個數多一；數數中的最后一個數不但代表這個數，也代表了這組物體的總數（事實上就是序數與基數相等）。隨著學習年級的增高，學生還會經歷更多的對數意義的感悟，如對分數、負數、有理數??，并形成對數的各種表征方式，比如，他們會知道1/4，25%，0.25是同一個數的不同表示。對數與數量建立起來的數感常常與實際情境關聯，比如對數量單位的認識，提起教室的長度，應該想到米，提到兩個城市的距離則應該想到公里（千米），同樣，一個小學生會質疑一個宣傳牌中所說“7000平方米森林中生活著兩只東北虎”是否成立？結合實際情境，學生的數感起到了判斷的作用（本文開始的實例一也說明了這一點）。

關于數量關系。這是培養學生數感的另一個層次。不同年齡段的學生在理解了所學數的意義及表征后，他就具備了理解一定數量關系的基礎。比如學生在學習分數概念后，會建立起整體與部分之間關系的感悟，依賴于具體情境或圖形，會分辨兩個分數的大小，“隨著他們數感的增強，學生應該能夠用數進行推理。例如‘1/2+3/8’一定小于1，因為每個加數都小于或等于1/2。”（《美國學校數學教育的原則和標準》，蔡金發等譯，人民教育出版社，2004年12月，第33頁）。隨著年級的升高和數系的擴展，學生對數量關系的感悟會逐步提升，比如對有理數的大小，以至于一些函數所表示的數量關系的感悟。學生對一些相對綜合，而顯得復雜一點的數量關系的感悟是常常伴隨著具體的問題情境而展開的。比如，具有一定數感的學生坐上出租車，他不會對車上的計程器熟視無睹，他會關注跳動的數碼，并對數碼變動的間隔時間、出租車已行路程、起步價以及每公里價、到達目的地的路程等等數量及相互關系在頭腦中作出反應，并形成判斷。這里的數感是對具體問題所涉及的數量關系的整體把握。

關于運算結果估計。這是培養學生數感很重要的一個方面。數的運算是數學課程中所占學時較多的內容，過去，這一部分內容的學習我們更多的是關注運算法則的掌握和運算技能的訓練，其實通過運算培養學生的估算意識和能力，以此發展學生的數感也應該成為課程教學的目標。所以，《標準》在課程內容中特別是“數與代數”部分多處提到估計及估算的要求。如，“在生活情境中感受大數的意義并能進行估計”，“能結合具體情境，選擇恰當的單位進行簡單估算，體會估算在生活中的作用”（一學段）；“在解決問題的過程中，能選擇合適的方法進行估算”，“會根據給出的有正比例關系的數據在方格子上畫圖，會根據其中一個量的值估計另一個量的值”（二學段）；“能用有理數估計一個無理數的大致范圍”（三學段）。其實，對運算結果的估計涉及的因素很多：對參與運算的數與量意義及關系的理解、對運算方法的選擇與判斷、對運算方式角度的把握、對具體情境的數量化的處理等等，所以，對運算結果的估計反映的是學生對數學對象更為綜合的數感。

三、關于學生數感的培養

數感既然是對數的一種感悟，它就不會象知識、技能的習得那樣立竿見影，它需要在教學中潛移默化，積累經驗，經歷一個逐步建立、發展的過程。

1、重視低段學生對數的感覺的建立，并在數感培養上處理好階段性和發展性的關系

在教學中培養學生的數感在第一學段是重點。《標準》在第一學段目標中明確指出：“在運用數及適當的度量單位描述現實生活中的簡單現象，以及對運算結果進行估計的過程中，發展數感。”這一學段教學要選擇適合學生年齡特征的方式，提供實物，聯系身邊具體事物，觀察操作、游戲等都是較好的方式。比如剛入學的兒童在認識10以內數的時候，應該通過實數、圖片等，將數與物對應起來；以后在認識20以內、100以內的數時，可以對具體實物通過估一估、數一數等活動幫助學生形成對

十、百等數量大小的感覺，如數100粒黃豆、100根小棒，估計教室里的學生人數，估計一堆水果的數量等。我們還可以就同一個數在實際生活中的多種意義所表現的數量來加強對數的感知。比如1200張紙大約有多厚？你的1200步大約有多長？1200名學生站成做廣播操的隊形需要多大的場地？類似這樣的問題可讓學生舉一反三。

應結合每一學段的具體教學內容，逐步提升和發展學生的數感。比如在二學段應結合學生所熟悉的現實素材感受大數的意義，并能對一些問題進行估算；能了解負數的意義，用負數表示日常生活的問題，建立起對負數的數感。在第三學段，隨著對數的認識領域的擴大以及數的認識經驗的積累，可以引導學生在較復雜的數量關系和運算問題中提升數感，發展更為良好的數感品質。

2、緊密結合現實生活情境和實例，培養學生的數感

現實生活情境和實例，與學生的實際生活經驗密切相連，不僅能夠為學生提供真實自然的數的感悟環境，也能讓學生在數的認知上經歷由具體到抽象的過程，逐步發展學生關于數的思維。反之，學生數感的提升也使得他們能用數字的眼光看周圍世界，正如《標準》所說：“建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關系。”

比如，讓學生通過調查、討論，弄清楚自己的學號、地區郵編號、汽車牌照號、身份證編號的規律和意義。如下的一個問題更是能讓學生感到，建立良好的數感，對數字信息作出合理解釋與推斷的重要：火車票上車次號有兩個含義，一是數字越小表示車速越快，1~98次為特快車，101~198次為直快車，301~398次為普快車，401~598次為普客車；二是單數表示從北京開出，雙數表示開往北京，現在有一張車票的車次號為122，它能給你什么信息？

3、讓學生多經歷有關數的活動過程，逐步積累數感經驗

在具體的數學活動中，學生能動腦、動手、動口，多種感官協調活動，加之能相互交流，這對強化感知和思維，積累數感經驗非常有益。比如，組織學生參加調查活動，讓學生調查：從你家到學校的路程大約有多遠？你上學大約要多少時間？教室面積有多大？學校食堂有多大？你家住房多少平方米？你所在城市有多少人口？如何測量一張紙的厚度？還可組織學生針對一周出版的某種報紙討論中間出現了哪些與數、數量、運算有關的數學問題，分別表述這些問題中關于數的意義作用，如何用數來解決這些具體問題等等。這樣的數學活動有利于學生在相互交流中從多角度去感悟數，豐富自己的數感經驗。

第二節 符號意識

符號對于數學來說是特有的。它既是數學的語言，也是數學的工具，更是數學的方法。數學符號的功能特性是多方面的：它具有抽象性，這使得數學能夠超越于數學對象的具體屬性，而從形式化的角度進行邏輯推演，并一步步把數學引向深入；它具有明確性，某一數學符號的意義一旦被賦予，它就在這確定的意義下被運用，不會含糊，不會產生歧義，從而帶來數學極大的嚴謹性；它具有可操作性，數學過程往往體現于數學符號之間的“運算”。針對這種“運算”的算法是形式化的，“幾乎是自動化的，不需要每次都從頭做起”。（迪多內《論數學的進展》，載《數學史譯文集》上海科技出版社，1980年版，126頁）；此外數學符號還具有簡略性和通用性等特點。正因為如此，數學符號在數學發展中起著舉足輕重的作用。法國數學家讓﹒迪內多在《論數學的進展》一文中將“引進好的符號”作為促進數學發展的重要原因之一。學生在數學學習過程中，將無時無刻不與符號打交道，對數學符號的語言、工具、方法的功能和上述特性的認識事實上構成了學生數學學習的重要內容，學生掌握數學符號、運用數學符號能力的培養也成為重要的教學目標。

一、對符號意識的認識

從一般意義上說，所謂符號就是針對具體事物對象而抽象概括出來的一種簡略的記號或代號。數字、字母、圖形、關系式等等構成了數學的符號系統。符號意識（Symbol sense）是學習者在感知、認識、運用數學符號方面所作出的一種主動性反應，它也是一種積極的心理傾向。

數學符號最本質的意義就在于它是數學抽象的結果。比如，在數與代數中，數來源于對數量本質（多與少）的抽象，而數字就成為能夠以大小排序的符號。與數的符號表示一樣，關于數的運算知識也是從生活實踐中加以抽象，逐漸形成法則。這一過程中很重要的一步是使用字母這一符號來表示抽象運算，這使得“可以像對‘數’那樣對‘符號’進行運算，并且，通過符號運算得到的結果是具有一般性的”（史寧中《數學思想概論》，第一輯，地34頁）。這表明，數學符號不僅是一種表示方式，更是與數學概念、命題等具體內容相關的、體現數學基本思想的核心概念，發展學生的符號意識是數學教學的重要目標。

二、《標準》中符號意識所包含的內容

此次標準修訂，將原來的“符號感”改為了“符號意識”，這兩個稱謂就其英文表述來看沒有變化，而中文表述將“感”改為“意識”應該說其意義與課程目標的價值取向和數學符號的本質意義要求更加吻合。在數學學習中，無論是概念、命題學習還是問題解決，都涉及用符號去表征數學對象，并用符號去進行運算、推理，得到一般性的結論。在這個過程中，數學符號對于學習者來說主要的還不是潛意識、直覺或感覺，而是一種主動的使用符號的心理傾向。所以用“意識”更準確些。

《標準》對符號意識的表述有這樣幾層意思值得我們體會： 1.能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律

《標準》中的這個要求針對的是符號表示，它有兩層意思：一是能夠理解符號所表示的意義；二是能夠運用符號去表示數學對象（數、數量關系和變化規律等）。

每一個數學符號都有它特定的含義，如、、、分別表示特定的運算意義，、、﹤、﹥則表示數學對象之間的某種關系。使學生理解符號的意義是數學學習中的最基本的要求，也是符號意識的最基本要求。由于數學符號是一種特殊的語言，對數學符號的理解也有其固有的特點和要求：因為符號具有一定抽象度，對符號的認識和理解就不應是形式上的，而應是實質上的，即應從抽象的符號本身看到其所表征的準確的數學意義；由于符號具有壓縮信息的功能，所以對符號的意義的理解就不應是片面的，而應是全面的、完整的、特別將符號語言轉換為我們所熟悉的生活語言時，應該抓住其數學本質予以解讀和表征；由于數學符號具有概括性和一般性特征，所以對它的認識和理解又不應是孤立的、僵化的，比如應注意符號與符號之間的關聯（如“ ”與“ ”之間的關系），也應注意同一符號的多重意義的理解（如 既可表示矩形面積與長、寬關系，也可表示平行四邊形面積與底、高的關系，也可表示路程與時間、速度的關系，也可表示總價與單價、數量之間的關系，還可表示半圓周長與圓周率、半徑的關系，??）。

對數學符號不僅要“懂”，還要會“用”。運用符號表達數學對象就是“用”符號的重要方面。這里的數學對象主要指數、數量關系和變化規律，它們在各個學段都有自己的特定的要求。關于用符號表達數學對象這里著重指出兩點：一是要注意義務教育階段整個學習過程中，學生用符號表達數學對象是一個由簡單到復雜，由相對具體到相對抽象的過程。比如用數字符號表示現實中的多少，用單一的運算符號表示數字運算關系，其抽象度顯然不及用字母代替數及用字母表示數量關系，后者對前者來說是一個階段性的變化。而用符號關系式或一定的數學模式語言去表示特定的數學變化規律則又更為抽象和復雜。這表明關于數學表達的符號意識的發展是一個逐漸積累變化的過程。二是數學符號的表達是多樣化的，比如關系式、表格、圖像等等都是表達數量關系和變化規律的符號工具，有時，即使是同一數學對象也可采用多種符號予以表達。而多種符號表達方式之間也是可以轉換的。符號表達上的這些特點值得我們在教學中關注。

比如這樣一個例題：在下列橫線上填上合適的數字，字母或圖形，并說明理由。

通過觀察規律，使一學段學生能夠感悟到：對于有規律的事物，無論是用數字還是字母或圖形都可以反映相同的規律，只是表達形式不同而已。

2.知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性

這一點很重要。從某種意義上說這正是符號意識作為一種“意識”需要強化的。這一要求的核心是基于運算和推理的符號“操作”意識。由于運算和推理是數學活動最重要的基本形式，所以《標準》的這一要求是希望在各學段學習中，都加強學生在邏輯法則下使用符號進行運算、推理的訓練，這涉及到的類型較多，如對具體問題的符號表示、變量替換、關系轉換、等價推演、模型抽象及模型解決等等。

3.使學生理解符號的使用是數學表達和進行數學思考的重要形式

數學表達是學生在解決具體問題時必須采用的方式，數學表達實質上就是以數學符號作為媒介的一種語言表達。通過培養學生的符號意識，發展學生的數學表達能力成為當今課堂關注的目標。

比如這樣一個問題：“某書定價8元，如果一次購買10本以上，超過10本部分打八折。分析并表示購書數量與付款金額之間的關系。”顯然，購書數量與付款金額之間是呈函數關系（分段函數），為了解決問題的方便，我們可以分別采用函數關系式、列表、作出圖象等多種符號表達方式來表示這一具體問題。發展符號意識最重要的是運用符號進行數學思考，我們不妨把這種思考稱為“符號思考”，這種思考是數學抽象、數學推理、數學模型等基本數學思想的集中反映，是最具數學特色的思維方式。

舉一個簡單的例子：“房間里有4條腿的椅子和三條腿的凳子共16個，如果椅子腿數和凳子腿數加起來共有60個，那么有幾個椅子和幾個凳子？”如果學生沒有經過專門的“雞兔同籠”解題模式的思維訓練，他完全可以使用恰當的符號進行數學思考，找到解題思路。如可以用表格分析椅子數的變化引起凳子數和腿總數的變化規律，直接得到答案；也可采用一元一次方程或一元二次方程組的、關于字母的思考方式來加以解決。

一、關于學生符號意識的培養

1.在各學段緊密結合概念、命題、公式的教學，培養學生的符號意識 概念、命題公式等是數學課程內容中的重要組成部分，它們常常是數學教學的重點，而它們又和數學符號的表達和使用密切相關。正因為如此，《標準》在學段目標和各學段內容標準中都提出了具體要求。如：“理解符號﹤、=、﹥的含義，能使用符號和詞語描述萬以內數的大小”，“認識小括號”。（一學段）；“認識中括號”“在具體情境中能用字母表示數”，“結合簡單的時間情境，了解等量關系，并能用字母表示”，“能用方程表示簡單情境中的等量關系”（二學段）；“能分析簡單問題中的數量關系，并用代數式表示”，“通過用代數式、方程、不等式、函數等表述數量關系的過程，體會模型思想，建立符號意識”（三學段）。

2.結合現實情境培養學生的符號意識

一方面，盡可能通過實際問題或現實情境的創設，引導、幫助學生理解符號以及表達式、關系式的意義，或引導學生對現實情境問題進行符號的抽象和表達；另一方面，對某一特定的符號表達式啟發學生進行多樣化的現實意義的填充和解讀。這種建立在現實情境與符號化之間的雙向過程，有利于增強學生數學表達和數學符號思維的變通性、遷移性和靈活性。3.在數學問題解決過程中發展學生的符號意識

符號意識更多地表現為以學生為主體的一種主動用符號的意識，因此，符號意識的培養僅靠一些單純的符號推演訓練和模仿記憶是難以達到應有的效果的。引導學生經歷發現問題，提出問題（這實際上需要運用符號抽象和表達問題）、分析問題、解決問題（這實際上是使用符號進行運算、推理和數學思考）的全過程，在這一過程中積累運用符號的數學活動經驗，更好地感悟符號所蘊涵的數學思想本質。逐步促進學生符號意識得到提高。

第三節 空間觀念

一、空間觀念的含義與意義

幾何學是最早成為人們以課程的形式進行學習的科目。19世紀以前的兩千多年里，歐氏幾何一直在課程中占有統治地位，然而，隨著幾何學自身的發展、數學在社會發展中的應用，幾何作為課程的地位、價值的認識也在發生著變化。二十世紀以來，關于歐氏幾何作為中小學課程內容的有關爭論從未間斷過。但是，無論爭論如何，空間想象力卻是被較為一致的認為是數學諸多能力中的重要組成部分。空間觀念作為空間想象力發展的基礎受到普遍的重視，也成為我國義務教育階段幾何課程的主要目標之一。

心理學把人對頭腦中已有表象進行改造，創造出新形象的過程稱作想象。關于空間想象力的含義，林崇德（1991）指出，中學生的空間想象包括對平面幾何圖形和立體幾何圖形的運動、變換和位置關系的認識，以及數形結合、代數問題的幾何解釋等。空間想象能力主要體現在對諸如一維、二維、三維空間中方向、方位、形狀、大小等空間概念的理解水平及其幾何特征的內化水平上，體現在對簡單形體空間位置的想象和變換（平移、旋轉以及分割、割補和疊合等）上，以及對抽象的數學式子（算式或代數式等）給與具體幾何意義的想象解釋或表象能力上。

曹才翰提出，空間想象能力就是以現實世界為背景，對幾何表象進行加工改造，創造新的形象的能力。同時他指出，空間想象能力對初中生來說，這種要求太高了，所以義務教育階段教學大綱中只提出培養學生的空間觀念。空間觀念至少反映了如下的5個方面的要求：（1）由形狀簡單的實物抽取出空間圖形；（2）由空間圖形反映出實物；（3）由復雜圖形中分解出簡單的、基本的圖形；（4）由基本的圖形中尋找出基本元素及其關系；（5）由文字或符號作出或畫出圖形。全美數學教師理事會（NCTM）指出，空間觀念是對一個人周圍環境和實物的直接感知；對于2—3維圖形及其性質的領會和感知，圖形之間的相互關系和變換圖形的效果是空間觀念的重要方面[1]。

關于發展學生的空間觀念的意義，數學家和數學教育研究者都有相關的描述。數學家阿蒂亞（M．Atiyah）認為，幾何是數學中這樣的一個部分，其中視覺思維占主導地位，而代數則是數學中有序思維占主導地位的部分。這種區分也許用另一對詞刻畫更好，即“洞察”對“嚴格”，兩者在真正的數學研究中都起著本質的作用。它們在教育中的意義也是清楚的。我們的目標應是培養學生發展這兩種思維模式，過分強調一種而損害另一種是錯誤的 [2]。

荷蘭數學家、數學教育家弗萊登塔爾（Freudenthal，1989）指出，幾何是對空間的把握——這個空間是兒童生活、呼吸和運動的空間。在這個空間里，兒童必須學會去了解、探索、征服，從而能更好地在其中生活、呼吸和運動。

全美數學教師理事會在《美國學校數學課程與評價標準》提到，幾何有助于我們用一種有序的方式表示和描述我們生活的現實世界，將幫助學生描述和弄清世界的意義。對于學生來說，發展牢固的空間關系的觀念，掌握幾何的概念和語言，可以較好地為學習數和度量概念做準備，還可以促進其他數學課程的進一步學習。幾何的模型提供了一個透視圖，從中，學生可以分析和解決問題，而且幾何的解釋還可以幫助學生形成一個抽象的（符號的）表示，使人更容易理解。的確，一方面，空間與人類的生存密切相關，了解、探索和把握我們生活的空間能使人類更好地生存、活動和利用空間。另一方面，空間觀念是創新精神所需的基本要素，沒有空間觀念和空間想象力，幾乎很難談發明與創造，因為許許多多的發明創造都是以實物的形態呈現的，作為設計者要先要對自己的創造物進行想象，然后可能是模型的構建，這里的模型包括圖形和實物，再根據模型修改設計，直至最終完善成型。這是一個充滿豐富想象和創造的探求過程，也是人的思維不斷在二維和三維空間之間轉換，利用直觀進行思考的過程。空間觀念和空間想象力在這個過程中起著至關重要的作用。

基于這樣的分析與認識，我們可以更好地理解《標準》把“空間觀念”作為義務教育數學課程的核心概念的緣由與意義。

二、《標準》中空間觀念所包含的內容 《標準》中沒有具體給出空間觀念的內涵，而是從是否具有空間觀念的幾個表征出發對其進行描述。《標準》是從四個方面加以刻畫描述的：空間觀念主要是指根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關系；描述圖形的運動和變化；依據語言的描述畫出圖形等。

《標準》對空間觀念的描述，是在義務教育階段通過圖形與幾何內容的學習對學生在這些方面的要求以及需要達成的目標。這樣的目標達成的過程是一個包括觀察、想象、比較、綜合、抽象分析的過程，它貫穿在圖形與幾何學習的全過程中，無論是圖形的認識，圖形的運動，圖形與坐標等都承載著發展學生空間觀念的任務。

1.根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體 有研究表明，三維圖形與二維圖形的相互轉換是培養學生空間觀念的主要途徑。“根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體”的過程，是三維圖形與二維圖形的相互轉換的基本表現形式，這是一個充滿觀察、想象、比較、推理和抽象的過程，是建立在對周圍環境直接感知基礎上的、對空間與平面相互關系的理解與把握。

由實物或幾何體再到視圖，經歷了抽象以及從三維圖形到二維圖形轉化的過程，而由視圖到幾何體或實物，則實現了從二維圖形到三維圖形的轉換。此外，幾何體與側面展開圖、幾何體與用平面去截所得的截面等，都蘊含著三維圖形與二維圖形的相互轉換。

畫出物體的三視圖，就需要在頭腦加工的基礎上，把觀察到的經過了想象、抽象后的再現出來的紀錄下來，使空間觀念從感知不斷發展上升為一種可以把握的能力。

2.想象出物體的方位和相互之間的位置關系

方位與現實生活是密切聯系的，也是個體對空間把握能力的一個具體的體現，對方位的感知和圖形相互之間位置關系的把握，是表現空間觀念的一個重要的方面。

“想象物體的方位和相互之間的位置關系”，在不同的問題情境中有不同的想象的水平要求。在給出包含四個方向并注明中心點的方位結構中判斷某一物體的相對于中心的方位，是最基本的層次；只給出一個方向（如北），判斷物體之間的位置關系，就需要學生更復雜一些的想象力了，同時推理也是必要的。

例如，下圖是一張動物園的示意圖，根據圖中所標的位置回答下列問題：

[1] 全美數學教師理事會著．美國學校數學課程與評價標準[M]．北京：人民教育出版社,1994

[2] 「英」M．Atiyah著．數學的統一性[M]．南京:江蘇教育出版社，1995．12

（1）熊貓館在猴山的哪個方向上？（2）大象館在海洋館的哪個方向上？

進一步可以再改變觀測點，描述與其他物體的相對方位。

3.描述圖形的運動和變化

圖形的運動既有形式上的（平移、旋轉、翻折、放大、縮小等），也有運動的方向上的。對圖形的運動和變化的描述，更具有綜合性，它要求對相關知識和內容的理解，同時需要觀察、想象并再現圖形的運動和變化過程，無論是語言表述還是圖形刻畫這個過程，也同樣是把空間觀念從感知推向一種可以把握的能力。

例如，描述從學校到家的路線示意圖，并注明方向及途中的主要參照物。學生需要回憶實際的路線，想象它經過的各個環節的方向，學生也可以借助實物模擬路線，進一步畫出路線的簡單示意圖。這其中涉及到的方位實際上比單純描述物體的方位又復雜了一些，它是一種綜合的運用。

4.依據語言的描述畫出圖形

這里所要求的想象空間是很開放的，可以是具體的圖形，或具有某種大小或位置關系的一組圖形，等等。當有人向你描述你看不到的情境時，你需要根據他人的描述構建符合原形的直觀想象，闡述和傾聽都需要在邏輯上對圖形關系進行分析和操作，準確地反映出描述的結果，體現了操作者對其中涉及的圖形的關系等的把握的能力，其核心也是空間觀念。

三、空間觀念的培養

空間觀念的培養，是一個長期的經驗積累的過程，因此對教學的要求有別于具體的幾何知識，但它又是在幾何知識的學習中體現的。NCTM（全美數學教師理事會，1989）指出，發展學生的空間觀念，兒童必須具有許多經驗。例如，幾何關系的要點，在空間中物體的方向、方位和透視觀點；相關的形狀和圖形與實物的大小，以及如何通過改變大小來改變形狀。這些經驗要依靠兒童以下幾個方面的能力，如會運用象“上面”、“下面”和“后面”等一些詞語，畫出一個圖形旋轉900或1800以后的圖形，作圖、折疊，讓兒童想象、繪制和比較放在不同位置上的圖形，等等，這些活動將有助于發展他們的空間觀念。

事實上，在圖形與幾何課程的學習中，還是可以利用很多的素材和機會發展學生的空間觀念的，主要是我們如何來認識和利用這些素材和機會。

1.促進空間觀念發展的課程內容

《標準》中不僅將發展空間觀念作為核心概念和目標，同時，在三個學段都重視了發展學生空間觀念的內容的設置，這些在本書的內容分析部分都有提及。

例如，第一、二學段的“圖形與運動”、“圖形與位置”中的大部分內容的學習，都是發展學生空間觀念的很好的素材；第一、二學段中的從不同方向觀察物體、運用基本圖形拼圖，以及基本幾何體的展開圖等，也都是旨在發展學生空間觀念的課程內容。

在第三學段，“圖形的變化”中的各種圖形的運動，尤其是“圖形的投影”內容的安排，其核心目標也是發展學生的空間觀念。

事實上，空間觀念的培養在圖形的認識以及圖形的證明過程中，都會有所體現，因為對幾何圖形的認識、證明中對圖形特點的觀察等，也需要想象，也有根據他人的描述畫出圖形的過程，因此，很好的認識空間觀念的含義與意義，在圖形與幾何內容學習中抓住典型內容，利用一切可以利用的學習材料，就可以將空間觀念的培養貫穿在這個學習過程中。

2.促進空間觀念發展的教學策略

（1）現實情境和學生經驗是發展空間觀念的基礎 空間觀念的形成基于對事物的觀察與想象，而現實世界中的物體及其關系是學生們觀察的最好材料，學生的已有經驗也是觀察、想象、分析的基礎，因此教學中，結合學生們熟悉的現實問題情境，是發展學生空間觀念的有效策略。

例如，繪制學生自己房間或學校的平面圖；描述從家到學校的路線圖；描述觀察到的情境的畫面；描述游樂園中各種運動的現象等等，這些問題既是他們生活中熟悉的，又是在數學學習中需要重新審視和加工的。平時看到的東西，要進行回憶，在頭腦中想象、加工之后的再現，已經是數學的抽象了，這其中即滲透了空間觀念發展的元素了。

無論是教材的開發者還是教師的教學設計，開發和利用現實世界中豐富的資源，城市的建筑與立交橋，鄉村的院落與山水，我們生活的廣闊空間和其中的大量實物，為我們提供了一個鮮活的大課堂，供我們觀察、想象與描述。

（2）利用多種途徑發展學生的空間觀念

從《標準》對空間觀念的描述和有關的課程內容的分析中，我們能夠感覺到，發展學生的空間觀念應該是有多種途徑的。生活經驗的回憶與再現、實物觀察與描述、拼擺與畫圖、折紙與展開、分析與推理等，都是發展學生空間觀念的有效途徑。

教學中教師應結合教學內容恰當地安排學習的活動，創造條件使學生有機會從事上述的活動來發展空間觀念。

例如，我們可以在小學高年級安排這樣的折紙活動：將一張正方形的紙對折后，再對折一次，然后用剪刀剪出一個小洞。再把紙完全展開。請畫出或從下面四個圖中選擇它的展開圖。

（3）在學生的思考、想象過程中發展空間觀念

空間觀念的培養不是一蹴而就的，它需要不斷的經驗的積累、想象力的豐富，因此教學中要為學生提供足夠的時間和空間去觀察和想象、操作和分析。

這其中還有觀察與想象的相互關系問題。觀察與描述往往是空間觀念發展的基礎，而想象與再現則是更高一層次的空間觀念的表現。

如果在教學中，我們提出這樣的問題：如圖（1）所示，桌子上擺著三件物品，圖（2）是從上面看到的物品的圖片，其中的a、b、c、d和e五點表示從四周觀察三件物品的不同地點。請判斷下邊的一組圖分別是從a、b、c、d和e五點中的哪一點看到的。

對于學生來講，可能直接的觀察與想象是有些困難的，有的教師會模擬地創設這樣一個情景，讓學生直接去觀察具體物體的擺放場景，然后進行判斷。這樣做確實能夠降低純粹靠想象做出判斷的難度，但同時也失去了學生想象的機會。因此，教師不妨讓學生先想一想，嘗試著做出判斷，然后再實際的看一看，在實際看到的和想像的之間進行比較，這樣將由助于學生積累想象的經驗，提高對物體之間關系進行把握的能力，發展學生空間觀念。

第四節

幾何直觀

一、對幾何直觀的認識

顧名思義，幾何直觀所指有兩點：一是幾何，在這里幾何是指圖形；一是直觀，這里的直觀不僅僅是指直接看到的東西（直接看到的是一個層次），更重要的是依托現在看到的東西、以前看到的東西進行思考、想象，綜合起來幾何直觀就是依托、利用圖形進行數學的思考、想象。它在本質上是一種通過圖形所展開的想象能力。愛因斯坦（Einstein）曾說過一句名言：“想象力比知識更重要，因為知識是有限的，想象力概括著世界上的一切，推動著進步，并且它是進化的源泉。嚴格地說，想象力是科學研究中的實在因素。”（愛因斯坦文集，第一卷，許良英、范岱年譯，商務印書館，1976，284）

“數學是研究數量關系與空間形式的科學。”空間形式最主要的表現就是“圖形”，除了美術，只有數學把圖形作為基本、主要研究對象。在數學研究、學習、講授中，不僅需要關注如何研究圖形的方法、研究圖形的結果，還需要感悟圖形給我們帶來的好處，幾何直觀就是在數學—幾何—圖形這樣一個關系鏈中讓我們體會到它所帶來的最大好處。這正如20世紀最偉大的數學家希爾伯特（Hilbert）在其名著《直觀幾何》一書中所談到的，圖形可以幫助我們發現、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結果。幾何直觀在研究、學習數學中的價值由此可見一般。

從另一個角度來說，幾何直觀是具體的，不是虛無的，它與數學的內容緊密相聯。事實上，很多重要的數學內容、概念，例如，數，度量，函數，以至于高中的解析幾何，向量，等等，都具有“雙重性”，既有“數的特征”，也有“形的特征”，只有從兩個方面認識它們，才能很好地理解它們，掌握它們的本質意義。也只有這樣，才能讓這些內容、概念變得形象、生動起來，變得更容易使學生接受并運用他們去思考問題，形成幾何直觀能力，這也就是經常說的“數形結合”。這次課程改革中，強調幾何變換不僅是內容上的變化，也是設計幾何課程指導思想上變化，這將是幾何課程發展的方向。讓圖形“動起來”，在“運動或變換”中研究、揭示、學習圖形的性質，這樣，一方面加深了對圖形性質的本質認識，另一方面對幾何直觀能力也是一種提升。由此也可以看到，在義務教育階段培養學生的幾何直觀是很重要的。

幾何直觀與“邏輯”、“推理”也是不可分的。幾何直觀常常是靠邏輯支撐的。它不僅是看到了什么？而是通過看到的圖形思考到了什么？想象到了什么？這是數學非常重要而有價值的思維方式。幾何直觀會把看到的與以前學到的結合起來，通過思考、想象，猜想出一些可能的結論和論證思路，這也就是合情推理，它為嚴格證明結論奠定了基礎。

有些數學研究的對象是可以“看到的”，可以“觸摸的”，而很多數學研究對象是“看不見，摸不著”的，是抽象的，這是數學的一個基本特點。但是，數學中那些抽象的對象絕不是無根之木、無源之水，它的“根和源”一定是具體的。例如，我們看不到“七維空間”，但是，我們知道“顏色可以由七個基色組成：紅、澄、黃、綠、青、藍、紫”，由不同成分的七個基色組成一種顏色，這樣，“由七基色組成顏色”就是理解“七維空間”的“可以看到的源”，“紅、澄、黃、綠、青、藍、紫”七個數就可以決定一個顏色。當然，在顏色中，不能取負值，顏色空間不是七維空間，它僅僅是幫助我們聯想的“實物”和基礎。在數學中，需要依托“一、二、三維空間”去想象和思考“高維空間”的問題，這就是幾何直觀或幾何直觀能力。

幾何直觀在研究、學習數學中是非常重要的，它也可以看作最基本的能力，希望數學教師重視它，在日常教學中幫助學生不斷提升這種能力。

二、《標準》中的幾何直觀

在高中數學課程標準（試驗稿）中，也關注了幾何直觀：“三維空間是人類生存的現實空間，認識空間圖形，培養和發展學生的空間想像能力、推理論證能力、運用圖形語言進行交流的能力、以及幾何直觀能力，是高中階段數學必修系列課程的基本要求。”在義務教育數學課程標準中，把幾何直觀作為數學課程標準10個核心概念之一，這是一個進步。《標準》明確指出“幾何直觀是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。”

在數學課程中，幾何內容是很重要的一部分。關于幾何課程的教育價值，最主要的應該有兩個方面：一方面，幾何能培養學生的邏輯推理能力；另一個方面，它也能培養學生幾何直觀能力。但目前，在部分教師中對此在認識上存在著一定的局限性，在幾何教學中他們僅僅重視培養邏輯推理能力，忽視了對學生幾何直觀能力的培養。我們應全面地理解幾何教育價值，重視幾何直觀。

在教學和指導學生學習時，認識和理解“幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用”這一點是非常重要的。它表明，我們不僅在幾何內容教學中要重視幾何直觀，在整個數學教學中都應該重視幾何直觀，培養幾何直觀能力應該貫穿義務教育數學課程的始終。

正如前面所指出的，圖形有助于發現、描述問題，有助于探索、發現解決問題的思路，也有助于我們理解和記憶得到的結果。總之，圖形可以幫助我們把困難的數學問題變容易，把抽象的數學問題變簡單，對于數學研究是這樣，對于學習數學也是如此。學會用圖形思考、想象問題是研究數學，也是學習數學的基本能力。這種幾何直觀能力能使我們更好地感知數學、領悟數學：數學邏輯和數學直觀對數學都是重要的，他們也是相互交織、關聯的，直觀中有邏輯，邏輯中有直觀。

在義務教育階段，許多重要的數學內容、概念都具有“數”和“形”兩方面的本質特征（如小學的分數概念、路程問題等），學會從兩個方面認識數學的這些對象是非常重要的，即數形結合是認識數學的基本角度，與其說是方法，不如說這是基本要求。從這一點看，不注重數形結合在數學上就沒有學明白。

三、幾何直觀的培養

1.在教學中使學生逐步養成畫圖習慣

在日常教學中，在指導學生學習數學過程中，幫助學生養成畫圖的習慣是非常重要的。可以通過多種途徑和方式使學生真正體會到畫圖對理解概念、尋求解題思路上帶來的便利。在教學中應有這樣的導向：能畫圖時盡量畫，其實質是將相對抽象的思考對象“圖形化”，盡量把問題、計算、證明等數學的過程變得直觀，直觀了就容易展開形象思維，無論計算還是證明，邏輯的、形式的結論都是在形象思維的基礎上產生的。

2.重視變換——讓圖形動起來

幾何變換或圖形的運動是幾何、也是整個數學中很重要的內容，它既是學習的對象，也是認識數學的思想和方法。在數學中，我們接觸的最基本的圖形都是“對稱”圖形，例如，球、圓錐、圓臺、正多面體、圓、正多邊形、長方體、長方形、菱形、平行四邊形等，都是“不同程度對稱圖形”；另一方面，在認識、學習、研究“不對稱圖形”時，又往往是運用這些“對稱圖形”為工具的。變換又可以看作運動，讓圖形動起來是指再認識這些圖形時，在頭腦中讓圖形動起來，例如，平行四邊形是一個中心對稱圖形，可以把它看作一個剛體，通過圍繞中心（兩條對角線的交點）旋轉180度，去認識、理解、記憶平行四邊形的其他性質。充分地利用變換去認識、理解幾何圖形是建立幾何直觀的好辦法。

3.學會從“數”與“形”兩個角度認識數學

在前面的論述中，多次反復強調了這一點，數形結合首先是對知識、技能的貫通式認識和理解。以后逐漸發展成一種對數與形之間的化歸與轉化的意識，這種對數學的認識和運用的能力，應該是形成正確的數學態度所必需要求的。

4.掌握、運用一些基本圖形解決問題

把讓學生掌握一些重要的圖形作為教學任務，貫穿在義務教育階段數學教學、學習的始終。例如，除了上面指出的圖形，還有數軸，方格紙，直角坐標系等等。在教學中要有意識地強化對基本圖形的運用，不斷地運用這些基本圖形去發現、描述問題，理解、記憶結果，這應該成為教學中關注的目標。

第五節 數據分析觀念

一、數據分析觀念的意義及含義

也許有人可能會提出這樣的問題，統計不就是計算平均數、畫統計圖嗎？這些事情計算器、計算機就能做得很好，還有必要花那么多精力學習嗎？確實，在信息技術如此發達的今天，計算平均數、畫統計圖等內容不應再占據學生過多的時間，事實上它們也遠非統計的核心。在義務教育階段，學生學習統計與概率的核心目標是發展“數據分析觀念”。一提到“觀念”，顯然它就絕非等同于計算、作圖等簡單技能，而是一種需要在親身經歷的過程中培養出來的對一組數據的“領悟”，由一組數據所想到的、所推測到的；以及在此基礎上，對于統計與概率獨特的思維方法和應用價值的認識。

在《標準》中，將數據分析觀念解釋為：“了解在現實生活中有許多問題應當先做調查研究，收集數據，通過分析做出判斷，體會數據中蘊涵著信息；了解對于同樣的數據可以有多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法；通過數據分析體驗隨機性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數據可能不同，另一方面只要有足夠的數據就可能從中發現規律。數據分析是統計的核心。”

在這段表述中，點明了兩層意思。第一，點明了統計的核心是數據分析。“數據是信息的載體，這個載體包括數，也包括言語、信號、圖像，凡是能夠承載事物信息的東西都構成數據，而統計學就是通過這些載體來提取信息進行分析的科學和藝術”[1]。第二，點明了數據分析觀念的三個重要方面的要求：體會數據中蘊涵著信息；根據問題的背景選擇合適的方法；通過數據分析體驗隨機性。這三個方面也正體現了統計與概率獨特的思維方法。

二、對數據分析觀念要求的分析

我們來對數據分析觀念上述三個方面的要求做一簡要分析： 1.體會數據中蘊涵著信息

統計學是建立在數據的基礎上的，本質上是通過數據進行推斷。義務教育的重要目標是培養適應現代生活的合格公民。而在以信息和技術為基礎的現代社會里，充滿著大量的數據，需要人們面對它們做出合理的決策。因此，數據分析觀念的首要方面是“了解在現實生活中有許多問題應當先做調查研究，收集數據，通過分析做出判斷，體會數據中蘊涵著信息”。不妨看《標準》中的一個例子。

[案例1]（《標準》例19）

新年聯歡會準備買水果，調查班級同學最喜歡吃的水果，設計購買方案。[說明] 借助學生身邊的例子，體會數據調查、數據分析對于決策的作用。此例可以舉一反三。教學中可作如下設計：

（1）全班同學討論決定購買方案的原則，可以在限定的金額內考慮學生最喜歡吃的一種或幾種水果，或者其他的原則。

（2）鼓勵學生討論收集數據的方法。例如，可以采用一個同學提案、贊同舉手的方法；可以采取填寫調查表的方法；可以全部提案后，同學輪流在自己同意的盒里放積木的方法等等。必須事先約定，每位同學最多可以同意幾項。

（3）收集并表示數據，參照事先的約定決定購買水果的方案。

要根據學生討論的實際情況進行靈活處理，購買方案沒有對錯之分，但要符合最初制定的原則。

在這個例子中不難看出，首先需要設計合適的例子，鼓勵學生收集數據、整理數據、分析數據，從而做出決策和推斷。并在此基礎上，體會數據中蘊涵著信息，體會數據分析的價值。

2.根據問題的背景選擇合適的方法

“統計學是通過數據來推斷數據產生的背景，即便是同樣的數據，也允許人們根據自己的理解提出不同的推斷方法，給出不同的推斷結果。?因此，統計學對結果的判斷標準是“好壞”，從這個意義上說，統計學不僅是一門科學，也是一門藝術”[2]。為了使學生對此有所體會，《標準》提出了數據分析觀念第二方面的內涵——“了解對于同樣的數據可以有多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法”。這里不妨看一下《標準》中對于案例38的說明：“條形統計圖有利于直觀了解不同高度段的學生數及其差異；扇形統計圖有利于直觀了解不同高度段的學生占全班學生的比例及其差異；折線統計圖有利于直觀了解幾年來學生身高變化的情況，預測未來身高變化趨勢”，因此需要我們根據問題的背景選擇合適的統計圖。總之，“統計學對結果的判斷標準是‘好壞’” [3]，而不是“對錯”。

3.通過數據分析體驗隨機性

我們知道，推斷性數據分析的目的是要通過數據來推測產生這些數據的背景，稱這個背景為總體。我們假定總體是未知的，我們的目的是通過樣本來推斷總體。而在調查或者實驗之前，我們不可能知道數據的具體取值。也就是說，數據可以取不同的值，并且取不同值的概率可以是不一樣的，這就是數據隨機性的由來。

在《標準》中將“通過數據分析體驗隨機性”作為了數據分析觀念內涵的第三方面。數據的隨機主要有兩層涵義：一方面對于同樣的事情每次收集到的數據可能會是不同的；另一方面只要有足夠的數據就可能從中發現規律。舉一個《標準》中的例子（例40）：袋中裝有若干個紅球和白球，一方面，每次摸出的球的顏色可能是不一樣的，事先無法確定；另一方面，有放回重復摸多次（摸完后將球放回袋中，搖晃均勻后再摸），從摸到的球的顏色的數據中就能發現一些規律，比如紅球多還是白球多、紅球和白球的比例等。再舉一個案例（例22），學生記錄自己在一個星期內每天上學途中所需要的時間，如果把記錄時間精確到分，可能學生每天上學途中需要的時間是不一樣的，這可以讓學生感悟數據的隨機性；更進一步，還可讓學生感悟雖然數據是隨機的，但數據較多時具有某種穩定性，可以從中得到很多信息，比如，通過一個星期的調查可以知道“大概”需要多少時間。

在本小節，我們主要分析了數據分析觀念的內涵，關于數據分析觀念的培養，我們在后面的章節中會有較多論述，這里不再贅述。

第六節

運算能力

運算是數學的重要內容，在義務教育階段的數學課程的各個學段中，運算都占有很大的比重。學生在學習數學的過程中，要花費較多的時間和精力，學習和掌握關于各種運算的知識及技能。《標準》在學段目標的“知識技能”部分，對各學段運算分別提出了明確的要求：

第一學段：經歷從日常生活中抽象出數的過程，理解萬以內數的意義，初步認識分數和小數；理解常見的量；體會四則運算的意義，掌握必要的運算技能，能準確進行運算；在具體情境中，能選擇適當的單位進行簡單的估算。

第二學段：體驗從具體情境中抽象出數的過程，認識萬以上的數；理解分數、小數、百分數的意義，了解負數；掌握必要的運算技能；理解估算的意義；能用方程表示簡單的數量關系，能解簡單的方程。

第三學段：體驗從具體情境中抽象出數學符號的過程，理解有理數、實數、代數式、方程、不等式、函數；掌握必要的運算（包括估算）技能；探索具體問題中的數量關系和變化規律，掌握用代數式、方程、不等式、函數進行表述的方法。

運算不僅是數學課程中“數與代數”的重要內容，“圖形與幾何”，“統計與概率”，“綜合與實踐”也都與運算有著密切的聯系，成為不可或缺的內容。

《標準》所提出的課程目標中的很多方面，如：獲得“四基”（基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗）；運用數學的思維方式進行思考，增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力等，都與運算的學習有關，運算對實現課程目標發揮著重要的支撐作用。

一、對運算能力的認識

根據一定的數學概念、法則和定理，由一些已知量通過計算得出確定結果的過程，稱為運算。能夠按照一定的程序與步驟進行運算，稱為運算技能。不僅會根據法則、公式等正確地進行運算，而且理解運算的算理，能夠根據題目條件尋求正確的運算途徑，稱為運算能力。

《標準》指出：運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。運算能力并非一種單一的、孤立的數學能力，而是運算技能與邏輯思維等的有機整合。在實施運算分析和解決問題的過程中，要力求做到善于分析運算條件，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，使運算符合算理，合理簡捷。換言之，運算能力不僅是一種數學的操作能力，更是一種數學的思維能力。

《標準》是在總目標的四個方面之一的“數學思考”中提出運算能力的：“建立數感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力，發展形象思維和抽象思維。”這說明運算能力是數學思考的重要內涵。不僅如此，運算能力對《標準》在總目標中提出的其他三個方面——知識技能、問題解決和情感態度的目標的整體實現，同樣是不可缺少的基本條件。

二、運算能力的特征

運算能力是在不斷地運用數學概念、法則、公式，經過一定數量的練習而逐步形成的。要使學生通過各種運算和對代數式、方程、不等式的變形以及重要公式的推導，通過用概念、法則、性質進行簡單的推理，發展邏輯思維能力。

運算的正確、靈活、合理和簡捷是運算能力的主要特征。

首先要保證運算的正確，為此，必須要正確理解相關的概念、法則、公式和定理等數學知識，明確意識到實施運算的依據。如前所述，在每一學段，《標準》對運算提出的要求，都是和相關的數學知識一并提出的。

然后，在適度訓練，逐步熟悉的基礎上，清楚地意識實施運算中的算理。不斷總結正反兩方面的經驗和教訓，逐漸減少在實施運算中，思考概念、法則公式等的時間和精力，提高運算的熟練程度，以求運算的順暢，力求避免失誤。

一題多解和多題一解出現在運算過程中是十分普遍的，即一般性與特殊性往往同時出現在實施運算的過程中，一題多解體現了運算的靈活性，多題一解則體現了運算的普適性。一題多解和多題一解的交替出現，相互比較，循環往復，不斷優化，促使學生越來越感悟到：實施運算，解決問題，不僅要正確，而且要靈活、合理和簡潔。

要充分重視估算。《標準》在每個學段的學段目標和內容標準中，都強調了估算，提出了具體的要求，配備了一定數量的案例。

第一學段：在具體情境中，能選擇適當的單位進行簡單的估算。在生活情境中感受大數的意義，并能進行估計（案例3）；能結合具體情境，選擇適當的單位進行簡單估算，體會估算在生活中的作用（案例6）。第二學段：理解估算的意義。結合現實情境感受大數的意義，并能進行估計（案例23）；在解決問題的過程中，能選擇合適的方法進行估算（案例26，案例27）；會用方格紙估計不規則圖形的面積（案例33）。第三學段：掌握必要的運算（包括估算）技能；能用有理數估計一個無理數的大致范圍（案例47）；經歷估計方程解的過程（案例52）；會利用二次函數的圖像求一元二次方程的近似解。

估算是重要的運算技能，進行估算需要掌握一定的方法，需要積累一定的經驗，需要避免出現過大的誤差；估算又是運算能力的特征之一，進行估算需要經過符合邏輯的思考，需要有一定的依據，需要使估算的結果盡量接近實際情境，能對實際問題做出合理的解釋。

運算能力的形成不是一蹴而就的，運算能力的發展總是從簡單到復雜，從低級到高級，從具體到抽象，有層次地發展起來的。因此，在實際教學過程中，既不能讓學生的運算能力在已有的水平上停滯不前，也不能超越知識的內容和其他能力水平孤立地發展運算能力。應該貫穿于師生共同參與數學教學活動的全過程中，并體現發展的適度性、層次性和階段性。

適度性：運算能力需要經過多次反復訓練，螺旋上升逐步形成，在這一過程中，安排一定數量的練習，完成一定數量的習題是必不可少的。題量過少，訓練不足，難以形成技能，更難以形成能力；然而題量過多，搞成題海戰術，反而會使學生產生厭學情緒，適得其反。目前，學生的課業負擔過重，數學課程的作業量過大是重要原因之一。把握學習內容的要求，進行適量訓練，科學安排，應是發展運算能力的要求。

層次性：安排一定數量的練習，完成一定數量的習題對形成運算能力不可缺少，但訓練的難度一定要適當，要從數學教學的全局出發，合理調控。義務教育的主要任務是打基礎，數學尤其如此，訓練題要有一定的數量，更要有合理的質量。以二次根式為例，如果沒有最簡二次根式的概念，沒有分母有理化的要求，就會使教學無所適從，既造成教學的困惑，又影響高中階段的進一步學習。

[1] 史寧中.數學思想概論——數量與數量關系的抽象[M].東北師范大學出版社.2008（6）.第147頁

[2] 史寧中.數學思想概論——數量與數量關系的抽象[M].東北師范大學出版社.2008（6）.第143頁

[3] 史寧中.數學思想概論——數量與數量關系的抽象[M].東北師范大學出版社.2008（6）.第143頁

安排為訓練題，那就過于繁瑣，過分強調技巧，增加了負擔，對今后學習的作用也不大，應當避免。由此可見，層次性也是發展運算能力的要求。

階段性：由前可知，《標準》對運算和運算能力的要求是分學段提出的，每個學段的要求都體現了一定的學段特征，力求符合學生的認知規律，這是完全必要的，適宜的。這也表明，階段性也應是發展運算能力的要求。

三、運算能力的培養與發展

運算能力的培養與發展是一個長期的過程，首先伴隨著數學知識的積累和深化。正確理解相關的數學概念，是逐步形成運算技能，發展運算能力的前提。運算能力的培養與發展自然包括運算技能的逐步提高，而更應引起關注的是運算思維素質的提升和發展。在義務教育階段，運算能力的培養、發展要經歷如下過程：

1.由具體到抽象

第一學段理解萬以內的數，初步認識小數和分數，初步學習整數的四則運算，以及簡單的分數和小數的加減運算。第二學段認識萬以上的數，進一步學習整數的四則運算（包括混合運算），小數和分數的四則運算（包括混合運算），了解并初步應用運算律。第三學段掌握有理數的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算；掌握合并同類項和去括號的法則，進行簡單的整式減法、減法和乘法運算；利用乘法公式進行簡單計算；進行簡單的分式加、減、乘、除運算；了解二次根式（根號下僅限于數）加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關的簡單四則運算；解一元一次方程、可化為一元一次方程的分式方程；掌握代入消元法和加減消元法，解二元一次方程組；用配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方程；解數字系數的一元一次不等式。

無論是學習和掌握數與式的運算，解方程和解不等式的運算，一開始總是和具體事物相聯系的，以后逐步脫離具體事物，抽象成數與式，方程與不等式的運算。直至到高中階段進行更為抽象的符號運算，如集合的交、并、補等運算，命題的或、且、非等運算。運算思維的抽象程度，是運算能力發展的主要特征之一。2.由法則到算理

學習和掌握數與式的運算，解方程和解不等式的運算，在反復操練，相互交流的過程中，不僅會逐步形成運算技能，還會引發對怎么算？怎樣算的好？為什么要這樣算？等一系列問題的思考，這是由法則到算理的思考，使運算從操作的層面提升到思維的層面，這是運算能力發展的重要內容。

《標準》規定了一系列與算理相關的內容。

第二學段：探索并了解運算律（加法的交換律和結合律、乘法的交換律和結合律、乘法對加法的分配律），會應用運算律進行一些簡便運算。了解等式的性質，能用等式的性質解簡單的方程。

第三學段：除了“理解有理數的運算律，能運用運算律簡化運算”外，算理的內容和要求進一步強化，在學習方程解法之前，要求“掌握等式的基本性質”；在學習不等式解法之前，要求“探索不等式的基本性質”；為此，《標準》提供了案例53：小麗去文具店買鉛筆和橡皮。鉛筆每支0.5元，橡皮每塊0.4元。小麗帶了2元錢，能買幾支鉛筆、幾塊橡皮？在此案例中，不僅給出了詳細的解題方案和過程，并指出：這是一個求整數解的不等式問題，并且問題是開放的，通過列表具體計算，有助于學生直觀理解不等式。對于初中的學生，這個問題是生活常識，但希望學生能通過這個例子學會用數學的思維方式看待生活中的問題。在一元二次方程的內容中，《標準》不僅設置了“能用配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方程”，而且增加了“會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等”；“*了解一元二次方程的根與系數的關系”等內容，表明不僅要學習和掌握解一元二次方程的運算方法，更要思考和領悟解一元二次方程的算理。

3.由常量到變量

函數在第三學段是重要的內容。函數概念的引入，運算對象從常量提升到變量。運算的內容更加豐富多彩，《標準》中不僅有“能確定簡單實際問題中函數自變量的取值范圍，并會求出函數值”；“會利用待定系數法確定一次函數的表達式”；“會用配方法將數字系數的二次函數的表達式化為 的形式，并能由此得到二次函數圖像的頂點坐標”等直接進行運算的內容；還包括與運算密切相關的內容，如：“能結合圖像對簡單實際問題中的函數關系進行分析”；“用適當的函數表示法刻畫簡單實際問題中變量之間的關系”；“結合對函數關系的分析，能對變量的變化情況進行初步討論”；“根據一次函數的圖像和表達式 y = kx + b(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0時，圖像的變化情況”；“能根據已知條件確定反比例函數的表達式”；“根據圖像和表達式 y =(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0時，圖像的變化情況”；“*知道給定不共線三點的坐標可以確定一個二次函數”。

由常量到變量，表明運算思維產生了新的飛躍，運算能力也發展到一個新的高度。

4.由單向思維到逆向、多向思維

逆向思維是數學學習的一個特點。在第二學段，《標準》規定“在具體運算和解決簡單實際問題的過程中，體會加與減、乘與除的互逆關系”。在第三學段，又增加了乘方與開放的互逆關系。到高中階段，更有指數與對數，微分與積分等互逆關系。運算的互逆關系，是逆向思維的重要表現形式之一。

運算也是一種推理，在實施運算分析和解決問題的過程中，“由因導果”和“執果索因”的推理模式也是經常要用到的，表現為有效探索運算的條件與結論，已知與未知的相互聯系及相互轉化，思維方向是互逆的，更是相輔相成的。

在實施運算的過程中，還會遇到多因素的情況，各個因素相互聯系，相互制約，又相輔相成，更加需要思考不同的思維方向，不同的解題思路和不同的解題方法，通過比較，加以擇優選用。這是運算思維達到一個新的高度的重要標志，是運算能力的培養與發展的高級階段。

由于思維定勢的消極作用，逆向思維和多向思維的難度較大，在實施運算的過程中，對分析運算條件，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序等各個環節都要學生引導進行周密的思考，力求使運算符合算理，達到正確熟練，靈活多樣，合理簡潔，實現運算思維的優化及運算能力的逐步提高。

第七節 推理能力

推理在數學中具有重要的地位。誠如《標準》所指出的：“推理是數學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經常使用的思維方式”。學習數學就是要學習推理。具有一定的推理能力是培養學生數學素養的重要內容，也是數學課程和課堂教學的重要目標。

一、對數學推理的認識

數學推理直接與命題有關。在數學中，我們隨時會對思維對象作出一種斷定。如：“ 是無理數”，“ 不是等腰三角形”。我們把這種對客觀事物的情況有所肯定或否定的思維形式叫作判斷。判斷作為一種思維形式，與表示它的語句有密切關系。在數學中把表示判斷的語句稱為命題。而數學推理則是以一個或幾個數學命題推出另一個未知命題的思維形式。

上述對數學推理的解釋更多是基于形式邏輯的角度，如果從數學內部看，數學推理反映的是一種基本的數學思想，也是一種主要的數學方法。它與數學證明緊密關聯，數學推理與證明共同構成了數學的最重要的基礎。

二、《標準》中的推理能力 1.合情推理與演繹推理

推理能力在數學中是屬于數學思考（思維）能力中的一種，因此《標準》在數學思考的目標表述中作了明確的要求，指出：要“發展合情推理和演繹推理能力”。合情推理是數學家喬治·波利亞對歸納推理、類比推理等或然性推理（即推理的結論不一定成立的推理）的特稱。歸納推理是以個別（或特殊）的知識為前提，推出一般性知識為結論的推理。它的思維進程是從特殊到一般。按照它考慮的對象是否完全而又分為完全歸納推理和不完全歸納推理。由于完全歸納推理考查了推理前提中所有的對象或類，所以若前提成立，結論也一定成立，因此完全歸納推理不是或然的推理而是必然的推理。合情推理中的歸納推理一般指不完全歸納推理。

類比推理是由兩個或兩類思考對象在某些屬性上的相同或相似，推出它所在另一屬性也相同或相似的一種推理。它是從特殊到特殊的推理。如由分數類比分式，由分數基本性質得到分式基本性質；由二維空間的三角形類比三維空間的四面體，由二維空間的勾股定理得到三維空間的畢達哥拉斯定理等。類比推理也是一種或然性的推理。而演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）確定的規則出發，得到某個具體結論的推理，它是必然性推理（即只要推理前提真，得到的結論一定真）。它的思維進程是從一般到特殊。他的基本形式是三段論。2.合情推理與演繹推理功能不同，相輔相成

波利亞很早就注意到“數學有兩個側面，??用歐幾里得方式提出來的數學是一門系統的演繹科學；但在創造過程中的數學卻是實驗性的歸納科學。”（波利亞《數學與猜想》），因此，與之相適應，應該有兩類推理：用合情推理獲得猜想，發現結論；用演繹推理驗證猜想，證明結論。正如《標準》指出：“兩種推理功能不同，相輔相成。”

在數學學習活動中，我們會經常遇到同時采用兩種推理方式來求得問題解決的情形如這樣一個例：

探索過圓外一點所畫的圓的兩條切線的長有什么關系？ 教學中可引導學生經歷這樣的的過程：

（2）證明結論的正確性。如圖2，連接 和。因為 和 是⊙ 的切線，則，即 和 均為直角三角形。又因為

和

，則 與 全等。于是有。

這是通過演繹推理證明圖形性質的過程。

由此可見，合情推理與演繹推理是相輔相成的兩種推理形式，都是研究圖形性質的有效工具。

在傳統數學教學中，往往重演繹，輕歸納、類比，只滿足于證明現成結論，學生很少經歷探索結論、提出猜想的活動過程。而在數學中發現結論往往比證明結論更重要。《標準》提出培養合情推理能力，對培養學生的創新意識提供了支撐。

三、關于學生推理能力培養

在整個義務教育階段，對學生推理能力的培養是內容學習和目標達成的一條主線，也是一個逐漸提升的長期過程。如下幾個方面在教學中應該加以注意。1.推理能力的發展應貫穿在整個數學的學習過程中

這是《標準》中提出的非常明確的要求。這里的“貫穿整個數學學習過程”應該有這樣幾層含義：其一，它應貫穿于整個數學課程的各個學習內容，即應包括數與代數、圖形與幾何、統計與概率及綜合實踐等所有領域內容。其二，它應貫穿于數學課堂教學的各種活動過程。如在概念教學中，讓學生經歷從特定對象的本質屬性入手，抽象、概括形成概念的過程，并引導學生有條理表述概念定義；在命題教學中，引導學生分清條件、結論，把握條件、結論間的邏輯關系；在證明教學中，更要讓學生遵循證明規則，通過數學推理、證明數學結論。其三，它也應貫穿于整個數學學習的環節，如預習、復習、課堂教學、自我練習、測驗考試??，在所有的這些學習環節，逐步要求學生做到言必有據，合乎邏輯。當然，“貫穿整個數學學習過程”也應包括推理能力的培養應貫穿于三個學段，合理安排，循序漸進，協調發展。

2.通過多樣化的活動，培養學生的推理能力

反思傳統教學，對學生推理能力的培養往往被認為就是加強邏輯證明的訓練，主要的形式就是通過習題演練以掌握更多的證明技巧。顯然，這樣的認識是帶有局限性的。《標準》強調通過多樣化的活動來培養學生的推理能力。如《標準》提出：“在觀察、操作等活動中，能提出一些簡單猜想”（一學段），“在觀察、猜想、驗證等活動中，發展合情推理能力”（二學段），“在多樣化形式的數學活動中，發展合情推理與演繹推理的能力”（三學段）。教師要認真體會《標準》所提出的這些要求，針對學生推理能力的培養，在課堂教學中開拓出更加有效的、多樣化的活動途徑。

3.使學生多經歷“猜想——證明”的問題探索過程

在“猜想——證明”的問題探索過程中，學生能親身經歷用合情推理發現結論、用演繹推理證明結論的完整推理過程，在過程中感悟數學基本思想，積累數學活動經驗，這對于學生數學素養的提升極為有利。教師要善于對素材進行此類加工，引導學生多經歷這樣的活動。例如，引導學生發現如下的運算規律：

15×15=1×2×100+25=225，25×25=2×3×100+25=625，35×35=3×4×100+25=1225。

觀察后，引導學生思考是否有一般性的結論呢？可以猜想：如果用字母a代表一個正整數，則有如下結論：

(a×10+5)2= a(a+1)×100+25。

但這樣的猜測是正確的嗎？需要給出證明：。

這是一個由具體數值計算到符號公式表達的過程，即由特殊到一般的過程。可以讓學生感悟，有些問題是可以通過具體問題去得出結論，然后通過一般性證明來驗證自己所發現結論的，這就是數學推理帶給我們的樂趣。

第八節

模型思想

模型思想是此次修訂標準新增的核心概念。盡管原標準在課程實施部分的“教學建議”中曾提到了“建立模型”一詞，但數學模型、建模等概念并未出現在義務教育階段課程目標及內容標準的文字表述之中。這次隨著“模型思想”的列入，我們會看到關于數學模型的相關提法會在《標準》的多個部分出現。特別的，模型思想作為一種基本的數學思想更是會與目標、內容緊密關聯。作為第一線教師應對《標準》中模型思想的含義及要求準確理解，并把這要求落實于課堂教學之中。

一、對數學建模的認識

所謂數學模型，就是根據特定的研究目的，采用形式化的數學語言，去抽象地，概括地表征所研究對象的主要特征、關系所形成的一種數學結構。在義務教育階段數學中，用字母、數字及其他數學符號建立起來的代數式、關系式、方程、函數、不等式，及各種圖表、圖形等都是數學模型。

這種結構有兩個主要特點：其一，它是經過抽象舍去對象的一些非本質屬性以后所形成的一種純數學關系結構；其二，這種結構是借助數學符號來表示，并能進行數學推演的結構。對數學模型可以從兩個層次上去理解：廣義的理解是把那些凡是針對客觀對象加以一級或多級抽象所得到的形式結構都視為客觀對象的模型；狹義的理解是指針對特定現實問題或具體實物對象進行數學抽象所得到的數學模型。在中小學階段數學中的數學模型一般指后者。

數學建模就是通過建立模型的方法來求得問題解決的數學活動過程。這一過程的步驟可用如下框圖來體現：

上述步驟中最重要的是抽象成數學模型這一步驟。這些步驟反映的是一個相對嚴格的數學建模過程，義務教育階段特別是小學的數學建模視具體課程內容要求，不一定完全經歷所有的環節，這里有一個逐步提高的過程。

二、《標準》中模型思想的含義及要求 1．模型思想是一種數學的基本思想

在原課標中，“模型”一詞出現在第三學段的教學建議之中，其提法是“教學應結合具體的數學內容采用‘問題情境——建立模型——解釋、應用與拓展’的模式展開，讓學生經歷知識的形成與應用的過程，從而更好理解數學知識的意義??”。顯然，在這里數學建模及其過程更多地被看成是一種教學活動過程和模式，強調的是其教學上的意義。修訂后的《標準》將數學基本思想作為“四基”之一提出，必然引出這樣的問題：數學基本思想主要指哪些思想呢？現在模型思想作為10個核心概念中唯一一個以“思想”指稱的概念，這實際上已經明示它是數學基本思想之一。史寧中教授在《數學思想概論》中提出這樣的觀點：“數學發展所依賴的思想在本質上有三個：抽象、推理、模型，??通過抽象，在現實生活中得到數學的概念和運算法則，通過推理得到數學的發展，然后通過模型建立數學與外部世界的聯系”（史寧中，《數學思想概論》第一輯，東北師范大學出版社，2008.6，第一頁）。從數學產生、數學內部發展、數學外部關聯三個維度上概括了對數學發展影響最大的三個重要思想。

作為中小學課程中的模型思想應該在數學本質意義上給學生以感悟，以形成正確的數學態度。正因為如此，《標準》指出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑”。它鮮明地表述了這樣的意義：建立模型思想的本質就是使學生體會和理解數學與外部世界的聯系，而且它也是實現上述目的的基本途徑。

數學與外部世界的聯系，是數學發展到今天在其自身的舞臺上最精彩的表演。從第四章第一節的分析可知，今日之數學已突破了傳統的應用范圍而向人類幾乎所有的知識領域滲透，而各門科學向著“數學化”發展，也成為當今科技發展的一個重要趨勢。這里的“滲透”、“數學化”說到底就是數學模型的運用，作為基礎教育的數學不能不關注數學發展的這一特點。

從當前各國數學課程改革來看，通過數學建模來建立數學與外部世界的聯系也成為共同關注點。如美國課程標準將“數學聯系”作為重要目標，“認識到并能應用數學于數學以外的情境中”是數學聯系的主要內涵。該標準還強調，各種水平的數學學習，應包括有機會解決在數學以外的情境中產生的問題，既可與其他學科建立聯系，又可與學生的日常生活相聯系。

在加強數學與外界聯系方面，《標準》在總目標中也明確提出：“體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系”。標準修改后的這個新提法與模型思想這一要求是一致的和相互呼應的。

2．關于建立和求解模型的過程要求

前面我們已介紹了數學建模的一般步驟。《標準》以義務教育數學課程的實際情況出發，將這一過程進一步簡化為這樣三個環節：首先是“從現實生活或具體情境中抽象數學問題”。這說明發現和提出問題是數學建模的起點。然后“用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律”。在這一步中，學生要通過觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等等數學活動，完成模式抽象，得到模型。這是建模最重要的一個環節。最后，通過模型去求出結果，并用此結果去解釋、討論它在現實問題中的意義。顯然，數學建模過程可以使學生在多方面得到培養而不只是知識、技能，更有思想、方法，也有經驗積累，其情感態度（如興趣、自信心、科學態度等）也會得到培養。3．模型思想體現在《標準》的許多方面

正因為模型思想從本質意義上體現著數學的基本思想，所以它滲透于《標準》的許多方面。比如，《標準》中有如下提法：“經歷數與代數的抽象、運算與建模過程”（數與代數總目標）；“通過用代數式、方程、不等式、函數等表述數量關系的過程，體會模型思想”，“體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型”（三學段目標）；“結合實際情境，經歷設計解決具體問題的方案，并加以實施的過程，體驗建立模型、解決問題的過程”（“ 綜合與實踐”內容標準）等等，除此之外，在教學實施、教材編寫、評價、案例等部分都有關于模型思想的具體要求，在課程實施中要注意這一特點。

一、模型思想的培養

1.模型思想需要教師在教學中逐步滲透和引導學生不斷感悟

模型思想作為一種思想要真正使學生有所感悟需要經歷一個長期的過程，在這一過程中，學生總是從相對簡單到相對復雜，相對具體到相對抽象，逐步積累經驗，掌握建模方法，逐步形成運用模型去進行數學思維的習慣。教師在教學中要注意根據學生的年齡特征和不同學段的要求，逐步滲透模型思想。比如在一學段，可以引導學生經歷從現實情境中抽象出數、簡單幾何體和平面圖形的過程和簡單數據收集、整理的過程，使學生能學會用適當的符號來表示這些現實情境中的簡單現象，提出一些力所能及的數學問題；在二學段，通過一些具體問題，引導學生通過觀察分析抽象出更為一般的模式表達，如用字母表示有關的運算律和運算性質，總結出路程、速度、時間，單價、數量、總價等關系式；在三學段，主要是結合相關概念學習，引導學生運用函數、不等式、方程、方程組、幾何圖形、統計表格等分析表達現實問題，解決現實問題。

總之，模型思想的滲透是多方位的。模型思想的感悟應該蘊含于概念、命題、公式、法則的教學之中，并與數感、符號感、空間觀念等的培養緊密結合。模型思想的建立是一個循序漸進的過程。

2.使學生經歷“問題情境——建立模型——求解驗證”的數學活動過程

“問題情境——建立模型——求解驗證”的數學活動過程體現了《標準》中模型思想的基本要求，也有利于學生在過程中理解、掌握有關知識、技能，積累數學活動經驗，感悟模型思想的本質。這一過程更有利于學生去發現、提出、分析、解決問題，培養創新意識。

上述活動過程完全可以結合相關課程內容有機進行。比如，關于方程的教學，過去我們是從概念到概念，強調的是方程定義、類型、解法、同解性討論等等比較“純粹”的知識、技能，而現在，我們可以讓學生從豐富多樣的現實具體問題中，抽象出“方程”這個模型，從而求解具體問題。其過程如下：

3.通過數學建模改善學習方式

數學建模不同于單純的數學解題，它是一個綜合性的過程。這一過程所具有的問題性、活動性、過程性、搜索性等特點給學生數學學習方式的改善帶來了很大的空間。如下一些學習方式都可以在數學建模中嘗試：（1）小課題學習方式。讓學生自主確定數學建模課題，設定課題研究計劃，完成以后最后提交課題研究報告。基于數學建模的小課題研究針對不同的年齡段應該有不同的層次和不同的水平，但不管何種層次和水平，關鍵是要引導學生根據自己的生活經驗和對現實情境的觀察，提出研究課題。（2）協作式學習方式。在數學建模中可以小組為單位在組內進行合理分工，協同作戰，培養學生的合作交流能力。（3）開放式學習方式。這里的開放是多種意義的，如打破課內課外界限，走入社會，進行數學調查；充分利用網絡資源，收集建模有用信息；鼓勵對統一問題的不同建模方式等等。（4）信息技術環境中的學習方式。充分利用計算機的計算功能、圖形實現功能、特有軟件包的應用功能等，尋求建模途徑，提高數學建模的有效性。比如對“足球比賽中球員如何選擇最佳射門位置？”這樣的問題，完全可以借助計算機模擬球員進攻路線，通過“幾何畫板”的動態模擬功能構建幾何模型，直觀顯示（如圖）：最佳位置應該是球員進攻路線l上對球門左右門框(A B)張角最大的那個點p，即p為切點時，角APB最大，當然這一通過直觀得到的結論還需運用相關知識予以證明。

第九節 應用意識 《標準》在課程目標中指出：要使學生“初步學會從數學的角度發現問題和提出問題，綜合運用數學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力。”增強應用意識作為數學課程的重要目標應該引起第一線老師的重視，并應通過有效的措施在課堂教學中予以落實。

一、培養學生應用意識的意義

通過第四章的分析我們已知，現代數學發展的一個典型特征就是數學應用的空前發展，許多抽象的數學理論得到了應用，數學向其他學科滲透又形成了許多新的數學交叉學科，就是一些過去與數學無緣的人文學科也與數學產生了聯系，各門科學向著“數學化”發展，已成為當今科技發展的一個趨勢。數學在滲透到各門學科領域的同時，它也逐漸滲透到了人們生活的各個角落：面積、體積、對稱、百分數、平均數、比例、角度、概率等成為社會生活中很常見的名詞；人口增長率、生產統計圖、股票趨勢圖等不斷出現在報刊、電視等大眾信息傳播媒介中；而象儲蓄、債券、保險、面積、體積計算（估算）、購物決策等更是成為人們在生活中不可回避的現實問題。現代社會比以往任何時候都更需要公民運用數學去面對生活、工作中的問題。學校數學課程需要對數學的這種發展態勢和時代要求作出積極的反應。

長期以來，在數學教學中，數學應用意識的失落是一種普遍存在的現象。特別是為了應試的需要，在數學教學中注重的是技能、技巧的訓練，數學課堂上只講抽象的數學公式和結論，不講數學知識的實際來源和應用方法，“掐頭去尾燒中段”的現象仍然存在。盡管目前已在關注加強數學應用，但真正落實到目標上還有較大差距，這是我國數學課程改革應該正視的問題。加強數學應用，不是簡單地增加幾個應用題，也不只是追求實際問題解決的工具價值，它事實上體現了數學更加本質的東西。數學應用是認識數學、體驗數學、形成正確數學觀的過程，這一過程以數學課程作載體，追求的目標不僅是知識的獲得和問題的解決，更重要的是使學生通過這一過程學會數學地思考，掌握數學思想方法，感悟數學的精神并形成正確的數學態度。從根本上看，它追求的是學生數學素養的提升和創新精神、實踐能力的培養、發展。

二、《標準》中應用意識的含義 意識在心理學上是一種心理傾向。良好的意識重在自覺性、自主性和選擇性，它反映一個人在認識事物對象過程中，其思維的自覺、獨立、批判、求異和創造的品質。基于這樣的理解，數學應用意識就是一種用數學的眼光、從數學的角度觀察、分析周圍生活中問題的積極的心理傾向和思維反應。《標準》指出數學應用意識的含義主要體現在以下兩個方面：

1.有意識利用數學的概念、原理和方法解釋現實世界中的現象，解決現實世界中的問題

這里實際指的是主動應用數學知識的意識，這種意識的指向是“數學知識現實化”。學生能夠有意識地、積極主動地應用數學知識去分析、解決現實世界中的現象和問題，這對學生實踐能力和創新精神的培養具有重要意義。仔細分析這里有兩層意思：一是有意識利用數學的概念、原理和方法去解釋現實世界中的諸多現象。學生在日常生活中會遇到許多客觀存在的現象，當遇到這樣的一些現象時，學生應該具有一定的數學敏感性，要善于從數學的角度、運用數學的知識去解釋這些現象，獲得對現象本質的理解。例如，電視臺播放某大獎賽實況，總要去掉一個最高分，一個最低分，然后求其它評分的平均數，這是為什么呢？學生學了統計中的平均數、中位數等知識后，他能有意識地去運用這些知識去分析這一現象，并能給出合理的解釋：“去掉最高分、最低分，求其他分數的平均數，這樣既可以降低極端分數的影響，又可以避免給中間幾個數據太大的權重，合理地分解所有評分者的評分誤差”。再如，《標準》第二學段的一個例子“閱讀在報紙或者雜志上發表的有統計圖的文章，用自己的語言說明統計圖所表達的意思”，這事實上也體現了數學應用意識培養的要求；二是，有意識地運用數學知識去解決現實生活中的問題。學生學習某一數學知識后，應主動思考應用這一數學知識我能解決現實生活中的什么樣的問題，這樣就可以把理論與實際相聯系了。例如，學生學習了“兩點之間線段最短”這一數學知識后，主動思考能解決什么樣的實現問題呢？善于思考的同學就會發現，我能解決“在兩個汽車站之間，怎樣設加油站的位置，使得到兩個汽車站的距離最小？”這一實際問題。學數學的目的就是用數學，這一點很重要。

2.認識到現實生活中蘊涵著大量與數量和圖形有關的問題，這些問題可以抽象成數學問題，用數學的方法予以解決 這個方面實際指的是對現實生活主動進行數學抽象的一種意識，它的目標是“現實問題數學化”。這一要求一方面體現為要讓學生認識到現實生活中處處有數學，數學就在我們的身邊，現實生活中蘊涵著大量與數量和圖形有關的問題，如：儲蓄、保險、選舉、股票、打折銷售等等；另一方面體現為認識到現實生活中的大量問題都可以抽象成數學的問題，用數學的方法予以解決。這也即是數學建模的思想。例如，某商場搞打折銷售活動，有兩種活動方案，一種是滿200元省50元，另一種是直接打8折，如果你想買一種商品，請你制定你的購買方案？對于這一打折銷售問題，學生能意識到可以抽象為數學中的函數的問題，然后用函數的相關知識予以解決。這樣，可以讓學生從認識上建立對數學應用的正確理解，這是很有必要的。

一、應用意識的培養

正因為數學應用意識屬于“意識”范疇，處于“隱性”狀態，這就決定了數學應用意識的培養具有長期性，我們不能期望在一兩次解決問題中就能培養起學生的數學應用意識。因此，在義務教育的各個學段都應不失時機地激發學生的應用意識，促進應用意識的培養。1.注重知識的來龍去脈

前蘇聯數學教育家斯托利亞爾認為，一個完整的數學活動可分為經驗材料的數學組織化、數學材料的邏輯組織化、數學理論的應用三個階段（斯托利亞爾，《數學教育學》）。傳統數學教學往往只注重中間環節，而忽視了其他階段。要培養學生的應用意識，不能只“燒中段”，還要“顧兩頭”，即要注重知識的來龍去脈，也即讓學生知道數學知識“從哪里來”，又會“到哪里去”。

要讓學生知道數學知識“從哪里來”，可從以下兩方面努力。第一，提供數學知識產生的背景材料。在數學教學中，應盡可能結合數學課程的內容，介紹一些對數學知識發生、發展緊密關聯的數學史資料及實際問題資料。例如，在數與代數部分，向學生穿插介紹代數及代數語言的歷史、正負數和無理數的歷史、一些重要符號和重要概念的起源與演變；在統計與概率部分，介紹一些有關概率論的起源、擲硬幣試驗、布豐投針問題與幾何概率等歷史事實。第二，呈現數學知識的形成過程。現實生活中蘊含著大量的數學信息，教師可結合現實生活或者具體情境，給學生呈現數學知識的形成過程，如“多項式與多項式相乘”的教學，可設置如下情境：學校操場的長、寬分別為m米、a米，由于教學需要，長、寬分別增加n米、b米，你能用兩種方法表示擴大后的操場面積嗎？學生畫圖后可得出(m+n)(a+b)和ma+mb+na+nb兩種表示形式。教師再引導學生得出公式(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。如此，在提高學生學習數學的興趣的同時，也會讓學生感覺到多項式乘法的應用價值。

要讓學生知道數學知識“到哪里去”，就要反映數學知識的應用過程。義務教育階段的許多數學知識，如概念的產生、計算法則的由來、幾何形體的特征及有關公式等，無不滲透著數學在現代生產、生活和科技中的應用。例如，讓學生用平方的概念探索細胞分裂（1個分裂成2個，再逐步分裂成4，8，16 ?）的次數與個數之間的關系，使學生真正體會到“數學有用、要用數學”。

以上事實上分別展現了當前數學知識學習中，應該關注的“知識背景—知識形成—揭示聯系”的過程和“問題情境─建立模型─求解驗證”的過程，這樣的過程更有利于提高發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，對學生應用意識的培養大有裨益。

2.在整個數學教育的過程中都應該培養學生的應用意識

數學應用意識的培養應貫穿于整個數學教育全過程中。具體而言，在課程目標定位、課程內容設置、教學設計、課堂教學、課后作業、學習評價等數學教育諸環節都應關注應用意識的培養。

首先，應將培養學生應用意識作為數學課程的重要目標，貫穿于數與代數、圖形與幾何、統計與概率及綜合實踐等所有領域內容的數學課程中；其次，在教學設計過程中，應聯系學生實際和社會生活現實，合理地解讀教材、拓展教材，積累素材，研制、開發、生成課程資源；第三，課堂教學的過程中，應同時關注生活情境數學化和數學問題生活化；第四，將定量評價與定性評價相結合，適當設計一定的具有現實生活背景的問題和一些實際操作的內容，既要關注學生應用意識指向的廣闊性（能夠給出多少合理的數學解答；能發現多少包含數學知識的各種不同問題），又要關注應用意識的主動性（面對實際問題時，能否主動嘗試著從數學的角度運用所學知識和方法尋求解決問題的策略；面對新的數學知識時，能否主動地尋找實際背景，并探索其應用的價值）。

3.綜合實踐活動是培養應用意識很好的載體。綜合實踐活動有別于學習具體知識的探索活動，更有別于課堂上教師的直接講授，是一類以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動，其教學目標是幫助學生積累數學活動經驗、培養學生應用意識與創新意識。

綜合實踐活動是培養學生應用意識的重要和有效的載體。綜合實踐活動兼顧“綜合性”與“實踐性”：一方面，注重學生自主參與、全過程參與（經歷發現和提出問題、分析和解決問題的全過程），讓學生積極動腦（獨立思考）、動手（自主設計解決問題的思路）、動口（合作交流）；另一方面，注重數學與生活實際、數學與其他學科、數學內部知識的聯系和綜合應用。此外，綜合實踐活動可以以“長作業”的形式出現，將課堂內的數學活動延伸到課堂外，讓學生經歷收集數據、查閱資料、獨立思考、合作交流、實踐檢驗、推理論證等多種形式的活動。更重要的是，綜合實踐活動不僅關注結果，更關注學生積累活動經驗、展現思考歷程、交流收獲體會、激發創造潛能的過程。這樣，在多種活動形式、多種過程體驗及多種評價方式的交融浸潤中，更利于激發、促進、培養學生的應用意識。

第十節

創新意識

一、對創新意識的認識

創新是21世紀出現頻率最高的詞匯，它已經普及到幾乎每一個領域，當然它也是教育領域最重要的詞匯，它是這次課程改革的標志性詞匯的代表。

創新的含義是什么？既簡單，又復雜。簡單地說創新是指做一些新的事情，英文是To make something new。“新”有幾層含義，對所有人都是“新”的，稱為原創的；或者對某些人是“新”的；也可以對自己是“新”的，自己沒有做過的事情。創新能力是指完成創新工作的能力，要求是比較高的；創新意識要求低一些，認識創新的重要，在學習數學的過程中有好奇心，對新事物感興趣，不斷地發現和提出問題，有創新的欲望，嘗試去做一些對自己是新的、沒有想過、沒有做過的事情，用學過的數學方法解決問題。創新的重要性毋庸置疑，什么時間開始培養學生的創新意識？上個世紀末，世界一批最優秀科學家特別是一批諾貝爾獎獲得者倡導在兒童和學校教育中開展“做中學”（“Hans on”）活動，提高幼兒園和小學的科學教育水平，培育科學的思維方式。“做中學”是讓兒童和學生參與一些“科學活動”。這種做法的目的之一就是激發孩子的好奇心和激發想象力，培養他們的創新意識。在綜合實踐活動的解讀中我們也詳細介紹了一些具體做法。創新意識的培養應該從兒童做起，在義務教育階段結合年齡特征，尋求適合學生的形式來不斷加強。

發現和提出問題是創新的基礎。在上個世紀七十年代，數學和數學教育領域開展了一次討論，討論的主題是“在數學、數學教育中，什么是最重要的？”——“What is the key in mathematics and mathematical education？”，最主要的是數學的定義、公理？數學的概念？數學的定理？等等。著名數學家Harmous 寫了一篇階段性的總結文章，他的看法是問題是主要的。問題是數學發展的源泉，也是數學創新的基礎，研究數學與學習數學在這一點上沒有本質的差異，只是深度和難度上的差異。問題可以把思考引向深處，問題可以發現新的思路。

二、《標準》中的創新意識

在《標準》中，創新意識是此次修改新增加的一個核心概念。標準指出“創新意識的培養是現代數學教育的基本任務，應體現在數學教與學的過程之中。學生自己發現和提出問題是創新的基礎；獨立思考、學會思考是創新的核心；歸納概括得到猜想和規律，并加以驗證，是創新的重要方法。創新意識的培養應該從義務教育階段做起，貫穿數學教育的始終。”我們應該注意以下幾點： 1．創新意識培養應貫穿數學教育始終

正如前面所指出的，創新意識應該從兒童開始培養。對于孩子來說好奇心是天性，他們有很多很多的問題，他們對一切都感到新鮮、富于想象。保護、激發他們這些好奇心是教師的職責。這些是最寶貴的東西，這些就是學生創新意識的基礎。隨著年齡的增長，他們需要學習很多新知識、新技能，學習的目的是幫助他們產生更多的問題，解決更多的問題，是使他們的思想更活躍、更豐富。在學習過程中，做一些習題是必要的，目的是幫助學生更好理解和掌握知識和技能。長期以來我們數學教育中存在的一個問題是，過多的、盲目的、僅僅為了應對考試的習題訓練，束縛了學生的思維，壓抑了他們的好奇心和想象力，以至于很多同學（甚至成績很好的同學）只有不會做的習題，卻提不出有價值的問題。著名數學家R.庫朗在上世紀40年代所表達的觀點值得我們思索：

“兩千多年來，人們一直認為每一個受教育者都必須具備一定的數學知識。但是，今天，數學教育的傳統地位卻陷入了嚴重的危機之中，而且遺憾的是數學工作者要對此負一定的責任。數學教學有時竟演變成空洞的解題訓練，這種訓練雖然可以提高形式推理的能力，但卻不能導致真正的理解與深入的獨立思考。

????,教師、學生和一般受過教育的人都要求數學家有一個建設性的改造，而不是聽其自然，其目的是要真正理解數學是一個有機的整體，是科學思考與行動的基礎。”(——R.柯朗（1941年，什么是數學的序言，2003，復旦大學出版社）

當代著名的數學和數學史專家M.克萊因也批評了這種現象：”數學學科并不是一系列的技巧，這些技巧只不過是它微不足道的方面：它們遠不能代表數學，就如同調配顏色遠不能當作繪畫一樣。技巧是將數學的激情、推理、美和深刻的內涵剝落后的產物。如果我們對數學的本質有一定的了解，就會認識到數學在形成現代生活和思想中起重要作用這一斷言并不是天方夜譚。(M.克萊因《西方文化中的數學》，復旦大學出版社，2005）

數學教育應該啟發人們的思維，培養學生的創新意識。當然，培養學生創新意識不僅僅是數學教育的任務，而是整個義務教育的任務。正如前面指出的：問題是數學中最重要的，通過問題意識培養，激勵、煥發學生潛在的創新精神是數學教育應該做的中心工作。

2、從“分析與解決問題”到“發現與提出問題”

20世紀70年代，在數學教學大綱中提出了培養學生“分析和解決問題的能力”。在高中數學課程標準（試驗稿）中，又明確提出“提高數學地提出、分析和解決問題（包括簡單的實際問題）的能力”，并把它作為數學課程的目標之一。在此次次義務教育數學課程標準修改中，把“發現和提出問題，分析和解決問題”作為了數學課程總體目標的表述內容，即：“初步學會從數學的角度發現問題和提出問題，綜合運用數學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力。獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發展創新意識。” 從強調“分析與解決問題”到不僅強調“分析與解決問題”，還要強調“發現與提出問題”，這是數學課程目標的一個發展，其實質就是重視創新，重視學生創新意識的培養，這應該成為基于時代發展要求之下的數學教育的魂。

學習數學必須有問題，沒有問題學不好數學，不僅要能解決別人的問題，更重要自己要有問題。學習數學的定義、概念，總要問為什么需要它？它與前面所學的什么有聯系？它與實際生活有什么有聯系？在學習數學的技能、方法、思想時，更需要深入發問，在回答中不斷思考，不斷理解，不斷深入。在數學和實際的情境中，也需要提出問題的意識。問題是創新的基礎，在義務教育階段，培養學生的問題意識是培養學生創新意識的好辦法。

3、根據年齡特點——在日常教與學中不斷積累經驗

創新意識培養不能一蹴而就，需要不斷地實踐，不斷地積累經驗。在課堂上做，在學習中要求，在教學的各個環節上不斷地幫助學生積累。在培養學生創新意識時，應該充分考慮不同年齡的學生特點，對低齡學生，結合他們生活經驗，引導他們關注一些身邊的事物，發現一些有趣問題，引起思考的問題，例如，在學習角時，引導他們觀察、討論那些角是最常見的角——直角，進而討論如何利用直角去區分其他的角？經過一段學習，又可以討論為什么直角是最重要的角？隨著年齡增長，引導學生從“感性”提出問題逐漸向“理性提出問題過渡，不斷積累提出問題，提出好問題的經驗。在初中階段，可以讓學生嘗試著從實際生活情境和數學情境中獨立地提出問題，判斷問題的好壞。

4、“綜合與實踐”活動是培養創新意識的重要載體

“綜合與實踐”活動是培養創新意識的重要載體，這一點在“綜合與實踐”內容解讀中做了詳細的論述。教師要充分發揮綜合與實踐是“以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動”的特點和功能。讓學生在此類活動中經歷觀察、實驗、歸納、抽象、概括、猜想等多樣性的活動，經歷發現問題、提出問題、進而分析、解決問題的全過程。盡量使這樣的過程給學生創新意識的孕育留下了非常豐富的“營養”，希望教師在日常教學中把這件事做好。

三、“創新意識”培養

1、鼓勵“質疑——發現和提出問題”

學會學習的一個重要環節是學會質疑——發現和提出問題。我國著名數學家丁石蓀曾說過：沒有問題的學生不能算是好學生。保護學生發現和提出問題的積極性，就像保護學生的好奇心一樣，非常重要。學生可能一下子不會把問題說清楚，這需要老師耐心引導，了解學生是教師的基本功。鼓勵學生提問應該貫穿在教學的各個環節中，無論是在課堂上，還是在日常學習中，都應該鼓勵學生提出他們的問題。問題可以是自己的疑惑，可以是自己的困難，也可以是自己的一些發現，等等。發現和提出問題是需要氛圍的，需要發問的“氣場”，這就希望教師營造一個好的學習環境，讓學生在這樣的環境中活躍起來，敢于提問，敢于發表自己的觀點，敢于討論，敢于堅持。

2、鼓勵“在做中積累經驗”

有些事情是可以教的，但創新意識不是靠教出來的，是“做出來的”，是學生在各個教學環節中不斷親身經歷、不斷鍛煉，不斷積累而形成的。因此，教師要堅持在“做”中去培養學生的問題意識、從而逐步提升學生的創新意識。

3、老師要帶頭

凡是要求學生做的，教師要帶頭，教師在教學的各個環節中應該要求自己有問題，能夠提出問題，并通過提問引導教學不斷深入。在新課程推進中，教師在這方面積累了很多很好的經驗，如，問題驅動式的教學、問題串式的教學，還有“問題課程”等等。希望廣大教師創造出更多的好經驗。

稿源：2011版《義務教育數學課程標準解讀》 作者：2011版課標解讀專家組

第二篇：【課標解讀】核心概念二-符號意識

【課標解讀】核心概念二－符號意識

點擊上方“新世紀小學數學”關注我讓兒童學習快樂，讓教師職業幸福。喜歡請點擊文章右上方“分享到朋友圈”就可以有更多的朋友看到我啦！

符號對于數學來說是特有的。它既是數學的語言，也是數學的工具，更是數學的方法。數學符號的功能特性是多方面的：它具有抽象性，這使得數學能夠超越于數學對象的具體屬性，而從形式化的角度進行邏輯推演，并一步步把數學引向深入；它具有明確性，某一數學符號的意義一旦被賦予，它就在這確定的意義下被運用，不會含糊，不會產生歧義，從而帶來數學極大的嚴謹性；它具有可操作性，數學過程往往體現于數學符號之間的“運算”。針對這種“運算”的算法是形式化的，“幾乎是自動化的，不需要每次都從頭做起”。此外數學符號還具有簡略性和通用性等特點。正因為如此，數學符號在數學發展中起著舉足輕重的作用。法國數學家讓·迪多內在《論數學的進展》一文中將“引進好的符號”作為促進數學發展的重要原因之一。學生在數學學習過程中，將無時無刻不與符號打交道，對數學符號的語言、工具、方法的功能和上述特性的認識事實上構成了學生數學學習的重要內容，學生掌握數學符號、運用數學符號能力的培養也成為重要的教學目標。

一、《課程標準（2011年版）》中符號意識所包含的內容

此次修訂，將原來的“符號感”改為了“符號意識”，這兩個稱謂就其英文表述來看沒有變化，而中文表述將“感”改為“意識”應該說其意義與課程目標的價值取向和數學符號的本質意義要求更加吻合。在數學學習中，無論是概念、命題學習還是問題解決，都涉及用符號去表征數學對象，并用符號去進行運算、推理，得到一般性的結論。在這個過程中，數學符號對于學習者來說主要的還不是潛意識、直覺或感覺，而是一種主動的使用符號的心理傾向。所以用“意識”更準確些。

《課程標準（2011年版）》對符號意識的表述有這樣幾層意思值得我們體會：

1．能夠理解并且運用符號表示數、數量關系和變化規律

《課程標準（2011年版）》中的這個要求針對的是符號表示，它有兩層意思：一是能夠理解符號所表示的意義；二是能夠運用符號去表示數學對象（數、數量關系和變化規律等）。

每一個數學符號都有它特定的含義，如“+，-，×，÷”分別表示特定的運算意義，“=，≈，>”則表示數學對象之間的某種關系。使學生理解符號的意義是數學學習中的最基本的要求，也是符號意識的最基本要求。由于數學符號是一種特殊的語言，對數學符號的理解也有其固有的特點和要求：因為符號具有一定抽象度，對符號的認識和理解就不應是形式上的，而應是實質上的，即應從抽象的符號本身看到其所表征的準確的數學意義；由于符號具有壓縮信息的功能，所以對符號的意義的理解就不應是片面的，而應是全面的、完整的。特別是將符號語言轉換為我們所熟悉的生活語言時，應該抓住其數學本質予以解讀和表征；由于數學符號具有概括性和一般性特征，所以對它的認識和理解又不應是孤立的、僵化的，比如應注意符號與符號之間的關聯（如“+”與“×”之間的關系），也應注意同一符號的多重意義的理解（如y=ax既可表示矩形面積與長、寬關系，也可表示平行四邊形面積與底、高的關系，也可表示路程與時間、速度的關系，也可表示總價與單價、數量之間的關系，還可表示半圓周長與圓周率、半徑的關系……）。

對數學符號不僅要“懂”，還要會“用”。運用符號表達數學對象就是“用”符號的重要方面。這里的數學對象主要指數、數量關系和變化規律，它們在各個學段都有自己特定的要求。關于用符號表達數學對象這里著重指出兩點：一是要注意義務教育階段整個學習過程中，學生用符號表達數學對象是一個由簡單到復雜、由相對具體到相對抽象的過程。比如用數字符號表示現實中的多少，用單一的運算符號表汞數字運算關系，其抽象度顯然不及用字母代替數及用字母表示數量關系，后者對前者來說是一個階段性的變化。而用符號關系式或一定的數學模式語言去表示特定的數學變化規律則又更為抽象和復雜。這表明關于數學表達的符號意識的發展是一個逐漸積累變化的過程。二是數學符號的表達是多樣化的，比如關系式、表格、圖象等都是表達數量關系和變化規律的符號工具，有時，即使是同一數學對象也可采用多種符號予以表達。而多種符號表達方式之間也是可以轉換的。符號表達上的這些特點值得我們在教學中關注。

例1（《課程標準（2011年版）》例9）在下列橫線上：填上合適適的數字、字母或圖形，并說明理由。

通過觀察規律，使第一學段學生能夠感悟到：對于有規律的事物，無論是用數字還是字母或圖形都可以反映相同的規律，只是表達形式不同而已。

2．知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性

這一點很重要。從某種意義上說這正是符號意識作為一種“意識”需要強化的。這一要求的核心是基于運算和推理的符號“操作”意識。由于運算和推理是數學活動最重要的基本形式，所以《課程標準2011年版）》的這一要求是希望在各學段學習中，都加強學生在邏輯法則下使用符號進行運算、推理的訓練，這涉及的類型較多，如對具體問題的符號表示、變量替換、關系轉換、等價推演、模型抽象及模型解決等。

3．使學生理解符號的使用是數學表達和進行數學思考的重要形式

數學表達是學生在解決具體問題時必須采用的方式，數學表達實質上就是以數學符號作為媒介的一種語言表達。通過培養學生的符號意識，發展學生的數學表達能力成為當今課堂關注的目標。

比如這樣一個問題：“某書定價8元，如果一次購買10本以上，超過10本部分打八折。分析并表示購書數量與付款金額之間的關系。”顯然，購書數量與付款金額之間呈函數關系（分段函數），為了解決問題的方便，我們可以分別采用函數關系式、列表、作出圖象等多種符號表達方式來表示這一具體問題。

發展符號意識最重要的是運用符號進行數學思考，我們不妨把這種思考稱為“符號思考”，這種思考是數學抽象、數學推理、數學模型等基本數學思想的集中反映，是最具數學特色的思維方式。

舉一個簡單的例子：“房間里有4條腿的椅子和3條腿的凳子共16個，如果椅子腿數和凳子腿數加起來共有60條，那么有幾把椅子和幾個凳子？”如果學生沒有經過專門的“雞兔同籠”解題模式的思維訓練，他完全可以使用恰當的符號進行數學思考，找到解題思路。如可以用表格分析椅子數的變化引起凳子數和腿總數的變化規律，直接得到答案；也可采用一元一次方程或二元一次方程組的、關于字母的思考方式來加以解決。

三、關于學生符號意識的培養

１.在各學段緊密結合概念、命題、公式的教學，培養學生的符號意識

概念、命題、公式是數學課程內容中的重要組成部分，它們常常是數學教學的重點，而它們又和數學符號的表達和使用密切相關。正因為如此，《課程標準（2011年版）》在學段目標和各學段課程內容中都提出了具體要求。如：“理解符號,=,>的含義，能用符號和詞語描述萬以內數的大小”，“認識小括號”（第一學段）；“認識中括號”“在具體情境中能用字母表示數”“結合簡單的實際情境，了解等量關系，并能用字母表示”“能用方程表示簡單情境中的等量關系”（第二學段）；“能分析具體問題中的簡單數量關系，并用代數式表示”“通過用代數式、方程、不等式、函數等表述數量關系的過程，體會模型的思想，建立符號意識”（第三學段）。

2．結合現實情境培養學生的符號意識

一方面，盡可能通過實際問題或現實情境的創設，引導、幫助學生理解符號以及表達式、關系式的意義，或引導學生對現實情境問題進行符號的抽象和表達；另一方面，對某一特定的符號表達式啟發學生進行多樣化的現實意義的填充和解讀。這種建立在現實情境與符號化之間的雙向過程，有利于增強學生數學表達和數學符號思維的變通性、遷移性和靈活性。3．在數學問題解決過程中發展學生的符號意識

符號意識更多地表現為以學生為主體的一種主動用符號的意識，因此，符號意識的培養僅靠一些單純的符號推演訓練和模仿記憶是難以達到應有的效果的。引導學生經歷發現問題，提出問題（這實際上需要運用符號抽象和表達問題）、分析問題、解決問題（這實際上是使用符號進行運算、推理和數學思考）的全過程，在這一過程中積累運用符號的數學活動經驗，更好地感悟符號所蘊涵的數學思想本質。逐步促進學生符號意識得到提高。

（本文節選自《數學課程標準(2011年版)解讀》 教育部基礎教育課程教材專家工作委員會 組織編寫）更多教育資訊請點擊“閱讀原文”

關注新世紀小學數學網歡迎訂閱《新世紀小學數學》雜志！編輯部電話：010-58435911投稿郵箱：xsjmath@163.com 掃描二維碼可以關注我們！

第三篇：課標解讀

對運算能力的理解與培養策略

我國基礎教育課程一直將運算作為主要內容，運算能力是我國數學教育的重要特征之一，幾十年來一直是我國數學教育界關注的焦點。有別于《標準（試驗稿）》，這次《標準（2011年版）》明確提出“運算能力”。

一、如何理解運算能力

新課標指出：“運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑來解決問題。”

運算的正確、靈活、合理和簡潔是運算能力的主要特征。

（一）要保證運算的正確

數學的概念、公式、法則、定理是進行數學運算的依據。數學運算的實質就是根據這些運算的依據，從已知數據及算式中推導出結果。在這樣的推導、運算的過程中，如果小學生對數學概念、公式、法則、定理掌握不扎實，即出現數學運算中的知識性錯誤，運算結果的正確性必然受到影響。這也是小學生運算能力差的一個重要的原因。

例如：計算200+20÷10，錯誤的解法：220÷10=22。根據四則混合運算，算式中既有乘除又有加減，要先計算乘除、后計算加減。又如：一個矩形的花壇，長為4米，寬為3米，求其周長。錯誤的解法：4×2+3=11或4+3×2=10，出現該錯誤的原因在于對于矩形的周長公式掌握不牢固。

（二）理解算理

在適度的訓練、逐步熟悉的基礎上，對運算的基礎知識不僅“知其然”，更應“知其所以然”，清楚地意識到實施運算中的算理。算理從字面理解，即為運算的原理或者道理，是解決問題的操作程序，解決“為什么算”的問題。學生

只有理解了計算中的道理，才能夠理解和掌握計算方法，才能正確地、迅速地運算。在深入理解運算法則、公式推導過程的基礎上，進一步關注法則、公式的使用條件、特例、變式，從多個角度解釋法則和公式、理解多個法則公式間的內部聯系。

以16×4運算的道理為例，首先使得學生明白16×4表示4個16是多少；其次引導學生思考運算的原理：16是由1個10和6個1組成的，可以將16×4與以前學習的乘法運算結合起來，先算4個10是多少，再算4個6 是多少，最后將兩次運算的結果相加，即為16×4的結果。通過這樣的過程使得學生理解兩位數乘一位數的算理。

（三）選擇合理簡潔的運算途徑

在實施運算分析和解決問題的過程中，要力求做到善于分析運算條件，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，使運算符合算理，合理簡潔。一題多解和多題一解出現在運算過程中是十分普遍的，一題多解體現了運算的靈活性，多題一解體現了運算的普適性。一題多解是激活解法的核心，目的并不在于“解法的多樣化”，而在于思維的“多層次”，在于學生從眾多的解法中比較反思、分析出解法的優劣，最終能夠選擇合理簡潔的運算途徑。

估算是重要的運算技能，是運算能力的特征之一。估算已經成為衡量個體數學計算能力高低的一個重要標準，要充分重視估算。估算指的是個體懂得什么情況宜于估計而不必作準確計算，并會靈活使用。

小學生運用估算策略評價計算答案的合理性在于小學數學教學中是非常必要的。小學生需要用到估算策略（以及動手操作、心算和計算器）來進行整數的加、減、乘、除四則運算。學生從三年級開始接觸分數的初步認識、小數的初步認識，在此以后的分數和小數的運算中，學生需要估計分數和小數運算的

答案。進行估算需要經過符合邏輯的思考，需要有一定的依據，學生需要掌握估算所必備的知識、技能和策略。

二、如何培養學生的運算能力

（一）培養學生良好的計算習慣

在計算中，養成看到題目先審題的習慣，這樣計算起來方法會更正確更合理，計算速度會不斷提高。學會利用有關法則、定律進行計算，注意有括號的要先算括號里的，同級運算時要按從左至右的順序依次運算，不盲目簡算；還要仔細檢查，看有無錯抄、漏抄、算錯現象。學生計算出現差錯，錯寫、漏寫數字和運算符號是常有的事，因此指導好學生認真書寫也十分重要，規范的書寫格式可以準確表達運算的思路和計算步驟。在平時教學中，要讓學生真正理解算理和算法之間的關系，注意算法的優化，只有這樣，才能更好地保證學生正確計算。

（二）基礎計算要過關

任何復雜的題都是由一個個簡單的問題組合而成的，無論是兩位數乘除兩位數，還是兩位數乘除三位數，或其他更復雜的計算題，他們的基礎都是“20以內的加減法”。實踐表明“筆算的錯誤”大部分是由于“20以內的加減法”不過關，達不到不假思索、脫口而出的程度造成的。特別是，如果學生沒有熟練掌握20以內的進位加法和退位減法，到了中高年級學生的計算速度和準確性都會受到影響。學生必須熟練掌握20以內的進位加法和退位減法，以及靈活應用乘法口訣，這是一切計算的基礎。如果基礎都不熟練，計算起來肯定錯誤百出，速度也會很慢。

（三）注重計算策略的教學

小學數學的重點不僅僅只是交給學生正確、基本的計算程序，教師更應該

使學生掌握一系列的解題策略。包括加倍、補償、分割、重新組合等。例如，解決8+7=？的問題，可以采用加倍策略：8+7=8+8-1；湊“5”策略：8+7=5+3+5+2；湊“10”策略：8+7=8+2+5.使用湊“5”策略，湊“10”策略的好處在于：學生對于“整

五、整十”數比較熟悉，而且也有利于簡化計算。在學生熟練地運用這些策略解決個位數計算的基礎上，還可以將這些策略應用于兩位數、三位數的加減法運算中，例如：43 + 25 =（40+20）+（3+5），324－86=324－100+14等。

（四）理解算理，便于靈活、簡便地進行計算

計算的算理是說明計算過程中的依據和合理性，也就是為什么這樣計算。算理是由數學概念、性質、定律等內容構成的數學基礎理論知識。計算的算法是說明計算過程中的規則和邏輯順序，它通常是算理指導下的一些人為規定。學生在學習計算的過程中明確了算理和算法，就便于靈活、簡便地進行計算，計算的多樣性才有基礎和可能。算理為了算法提供理論指導，算法使算理具體化。

如兩位數筆算加法運算法則：“相同數位對齊，從個位加起，個位相加滿十就向十位進一。”規定了兩位數豎式加法的寫法、算法和計算的先后順序。期中“相同數位對齊”“各位相加滿十向十位進一”的理論依據是“計算的位值制原則，不同位置上的數字計數單位不同，相同單位的數字才能相加。為什么要從個位加起，從十位加起不可以嗎？其實對于兩位數不進位加法，從十位加起更簡便。而對于兩位數進位加法若從十位加起，“進一”后需要十位上再加一，容易出現錯誤。為減少學生計算錯誤，才規定“從個位加起”。因此，“計數的位值制原則”和相同單位的數才能相加”是兩位數加法的算理，而“從個位加起”只是一種人為規定。同樣小數的加法法則：解決小數加減問題時，學生必須先

將小數點對齊，再按照整數加減法法則進行計算。因為相同的單位才能進行計算，因此加數與加數，被減數與減數的各個單位必須對齊。

還要注意兩點：一是強調算理的教學，但并不等于每種算法都要讓學生把算理表達出來，對于有的算理，小學生是難以表述的，只要讓學生能意識到它就可以。二是通常不需要在計算教學中把算理提出來進行專門的教學，而是把它蘊藏在計算過程之中，讓學生在計算中明確這樣算的道理。

（五）向學生傳授靈活的估算策略，提高學生的估算能力 1.要求學生使用首位數進行計算，然后再調整答案

一個簡單有效的估計策略是先用首位數估計值來替代每個數（其他數位用零代替），然后再計算。得到的結果會給出精確答案的正確大小，然后再計算，以調整第一個估計值，接著注意第二位數字。例如：748+436+192.估計方法是700+400+100=1200，為其他剩余數字再加200，大約是1400,。請注意這些數字的傳統程序是先將其四舍五入到最近的百位數：700+400+200=1300.2.培養學生先靈活使用四舍五入法則，然后再計算

對于許多運算來說，在實施運算之前就對數字進行四舍五入是非常有意義的。但是不能被嚴格的四舍五入規則限制住，要使選擇的近似數盡量同具體運算形成“補償”（一個向上取整，另一個則向下，或者向同一個方向取整）和（或）“兼容”（產生能在可視范圍內進行計算的數字）。正如上面例子所表明的，這種類型的四舍五入經常在首位策略的調整階段中使用。例：852×65。可計算900×60，即大約是54000，或者計算800×70，即大約是56000。我們也可將兩個數字都向下取整，然后再把答案向上取整，從而可以得出結論，認為精確答案在48000和63000之間，約為55000。

如： 852×65，可以把852向上取整900,65向下取整60.也可以反過來把

852向下取整800,65向上取整70。

第四篇：課標解讀：讓核心素養真正落地

課標解讀：讓核心素養真正落地

“讓核心素養落地”，是本次課程標準（以下簡稱“課標”）修訂的工作重點。核心素養導向，既是課標研制工作的主線，也是課標文本的主旋律。

一、用核心素養來表述課程目標，讓課程“目中有人”

課程目標是對學生學習及發展結果的期待，是課程內容選擇、教學活動設計、學業質量確立的基本方向和依據。此次課標修訂，力求使課程目標自覺體現本課程在培育學生核心素養方面的基本貢獻，結合本課程的性質、理念及課程的基本內容，從核心素養視角對課程總目標及學段目標進行表述。課程目標的素養導向，有利于轉變那種將知識、技能的獲得等同于學生發展的目標取向，引領教學實踐及教學評價從核心素養視角來促進和觀察學生的全面發展。

二、以課程內容結構化來引領教學實踐變革，讓學生在主動活動中生成素養

本次課標修訂的一項重要變革，是以結構化的方式（如主題、項目、任務等）來組織課程內容。課程內容結構化，意在改變知識、技能的簡單線性排列方式，強化知識間的內在關聯，凸顯學科的本質、思想方法以及內在邏輯。課程內容結構化，既強調學科知識結構，還強調在這樣的結構中所隱含著的學生的活動及活動方式的結構化，為課程內容的活化、動態化，教學活動的綜合性、實踐性提供內容基礎。結構化的內容組織方式，凸顯出不同的知識技能在學科知識結構中所處的不同地位、所承載的不同教育價值，提示著教學實踐以整體有序、多樣綜合的方式來挖掘知識的育人價值。課程內容結構化，有利于克服教學中知識點的逐點解析、技能的單項訓練等弊端，引導教師主動變革教學實踐，從關注知識技能的“點狀”“傳輸”自覺變革為關注學生對知識技能的主動學習和思考，關注教學的關聯性、整體性，關注學生在主動活動中所形成的知識、技能、過程、方法、態度、品格、境界的綜合效應，關注學生核心素養的養成。

需要指出的是，內容結構化，并不意味著可以忽視或無視知識點，而是要在知識結構中去重新認識和定位知識點的意義與價值，要在學生的主動活動中實現知識點的教育價值。在課程標準的“課程內容”一章，有“內容要求”“學業要求”“教學提示”三個部分。這三個部分缺一不可、內在關聯。“內容要求”指向“學什么”——強調在結構中的、扎實的基礎知識學習的重要性，防止知識虛化；“學業要求”指向“學得怎樣”——結合教學內容要求，提出素養發展目標；“教學提示”指向“怎么學”——即：學習這樣的內容、達到這樣的要求，學生必須經歷哪些基本的、典型的活動，讓課程“活”起來、“動”起來，讓學生進入課程，讓課程內容變為學生主動學習的活動。

三、依素養發展水平來描述學業質量，讓學生素養具體化、鮮明化

學生素養發展，貫穿課標全文本，隱含在課程內容及教學實踐中，體現在課程學習結果的具體描述中。例如：數學學科提出應培養學生具有如下素養：會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界。那么，如何才算具有了數學的“眼光”“思維”“語言”，有什么樣的表現才能判定學生是“會用”了，能夠觀察、思考、表達現實世界中的什么樣的問題，才算是“會”了？這就既需要有課程目標的總體指向，需要內容的選擇、組織，還需要在各部分內容的“學業要求”及最終的“學業質量”部分中，做具體的描述，使核心素養，不再是空洞的語詞口號而變成學生真實的能力、品格和價值觀。

此次課標修訂，希望讓課程標準真正成為教科書編寫的依據、教學活動開展的依據、教學評價的依據，讓課標使用者感到課標能用、管用、好用，真正引領、推動教學實踐的深度變革，提高我國義務教育教學質量，讓核心素養落地，實現立德樹人的根本任務。（北京師范大學教育學院教授

郭華）

課標解讀：讓核心素養真正落地

“讓核心素養落地”，是本次課程標準（以下簡稱“課標”）修訂的工作重點。核心素養導向，既是課標研制工作的主線，也是課標文本的主旋律。

一、用核心素養來表述課程目標，讓課程“目中有人”

課程目標是對學生學習及發展結果的期待，是課程內容選擇、教學活動設計、學業質量確立的基本方向和依據。此次課標修訂，力求使課程目標自覺體現本課程在培育學生核心素養方面的基本貢獻，結合本課程的性質、理念及課程的基本內容，從核心素養視角對課程總目標及學段目標進行表述。課程目標的素養導向，有利于轉變那種將知識、技能的獲得等同于學生發展的目標取向，引領教學實踐及教學評價從核心素養視角來促進和觀察學生的全面發展。

二、以課程內容結構化來引領教學實踐變革，讓學生在主動活動中生成素養

本次課標修訂的一項重要變革，是以結構化的方式（如主題、項目、任務等）來組織課程內容。課程內容結構化，意在改變知識、技能的簡單線性排列方式，強化知識間的內在關聯，凸顯學科的本質、思想方法以及內在邏輯。課程內容結構化，既強調學科知識結構，還強調在這樣的結構中所隱含著的學生的活動及活動方式的結構化，為課程內容的活化、動態化，教學活動的綜合性、實踐性提供內容基礎。結構化的內容組織方式，凸顯出不同的知識技能在學科知識結構中所處的不同地位、所承載的不同教育價值，提示著教學實踐以整體有序、多樣綜合的方式來挖掘知識的育人價值。課程內容結構化，有利于克服教學中知識點的逐點解析、技能的單項訓練等弊端，引導教師主動變革教學實踐，從關注知識技能的“點狀”“傳輸”自覺變革為關注學生對知識技能的主動學習和思考，關注教學的關聯性、整體性，關注學生在主動活動中所形成的知識、技能、過程、方法、態度、品格、境界的綜合效應，關注學生核心素養的養成。

需要指出的是，內容結構化，并不意味著可以忽視或無視知識點，而是要在知識結構中去重新認識和定位知識點的意義與價值，要在學生的主動活動中實現知識點的教育價值。在課程標準的“課程內容”一章，有“內容要求”“學業要求”“教學提示”三個部分。這三個部分缺一不可、內在關聯。“內容要求”指向“學什么”——強調在結構中的、扎實的基礎知識學習的重要性，防止知識虛化；“學業要求”指向“學得怎樣”——結合教學內容要求，提出素養發展目標；“教學提示”指向“怎么學”——即：學習這樣的內容、達到這樣的要求，學生必須經歷哪些基本的、典型的活動，讓課程“活”起來、“動”起來，讓學生進入課程，讓課程內容變為學生主動學習的活動。

三、依素養發展水平來描述學業質量，讓學生素養具體化、鮮明化

學生素養發展，貫穿課標全文本，隱含在課程內容及教學實踐中，體現在課程學習結果的具體描述中。例如：數學學科提出應培養學生具有如下素養：會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界。那么，如何才算具有了數學的“眼光”“思維”“語言”，有什么樣的表現才能判定學生是“會用”了，能夠觀察、思考、表達現實世界中的什么樣的問題，才算是“會”了？這就既需要有課程目標的總體指向，需要內容的選擇、組織，還需要在各部分內容的“學業要求”及最終的“學業質量”部分中，做具體的描述，使核心素養，不再是空洞的語詞口號而變成學生真實的能力、品格和價值觀。

此次課標修訂，希望讓課程標準真正成為教科書編寫的依據、教學活動開展的依據、教學評價的依據，讓課標使用者感到課標能用、管用、好用，真正引領、推動教學實踐的深度變革，提高我國義務教育教學質量，讓核心素養落地，實現立德樹人的根本任務。（北京師范大學教育學院教授

郭華）

第五篇：課標自我解讀

課標自我解讀

王吉朋 ２０世紀８０年代以來，各國教育改革浪潮迭起，形成一場歷史上影響最廣泛、最深刻、全方位、大動 作的世界性教育改革運動。其實質是努力構建適應新世紀國際競爭和本國經濟及社會發展的新教育體系。各國學校音樂教育順應這一教育改革的大潮，也不再局限于音樂學科內部某些方面的小修小改，而是進行系統的、整體性的改革，包括重新認識音樂課程的價值與性質、研制新的課程標準、設計新的教學體系、實驗新的教學方法等。綜觀各國學校音樂教育改革的最新動向，我們可以看出當今世界音樂教育改革與發展的幾個特征：

１．重新審視音樂課程的價值。國際音樂教育學會認為：音樂教育能有效開發個體潛能，激發創造沖動，升華精神境界，提高生活質量；世界音樂的豐富多樣性給國際理解、合作與和平帶來機遇。

２．制訂音樂課程標準。為實現音樂課程的價值與確保音樂課程的地位，許多國家都意識到了制訂或重新制訂音樂課程標準的重要性與緊迫性。１９９４年美國制訂了該國有史以來第一套由聯邦政府直接干預下產生的《藝術教育國家標準》。此外，英國、俄羅斯等許多國家，我國的香港和臺灣地區也相繼制訂了各具特色的《中小學音樂教學大綱》或《中小學音樂課程綱要》。３．確立新的音樂課程目標。對于音樂課程目標的確立，許多國家和地區都摒棄了以往把音樂知識技能做為音樂課程首要目標的做法，而是強調音樂興趣愛好與音樂審美能力的培養，強調通過音樂教育開發創造潛能，培養全面、和諧、充分發展的個體。

４．注重多元文化與本土文化的結合。目前各發達國家音樂教育大都放棄了對西方音樂的盲目推崇或對本民族音樂的固步自封，一致認為音樂教育必須融合多元文化與本土文化。像日本音樂教育就較好地融合了東、西文化。

５．不同音樂教學體系走向融合。半個多世紀以來，多種著名的音樂教學法體系相繼創立并得到推廣普及：包括奧爾夫教學法（德國）、柯達伊教學法（匈牙利）、達爾克羅茲教學法（瑞士）、等。這些教學法體系對世界音樂教育的發展均產生了積極的推動作用。但由于它們往往是強調音樂教學的某一方面，解決的只是一些局部問題，因此，在普及推廣的過程中也暴露出了諸多的局限性。

為此，上述各種教學法體系都在努力完善自身，正是這種自我完善導致了不同教學法之間尋求互補、走向融合的趨勢。它們都重視學生的教學主體地位，重視現代化教學手段在教學中的運用，強調通過親身參與音樂活動來加強音樂體驗，強調通過創造性的教學來開發學生音樂潛能，強調教學必須以激發音樂興趣與培養良好態度為基點并視之為學生在音樂方面可持續發展的決定因素等等。這些教學思想無疑將是今后音樂教學發展的基本方向

愛心相伴 共同成長

大窯中學

王吉朋

記得有這樣一首詩：我是一個老師，我把手中的紅燭高高舉起，只要我的鴿群能翱翔藍天，只要我的雛鷹能鵬程萬里，只要我的信念能堅如磐石，只要我的理想能永遠年輕，我情愿燃燒我的每一寸軀體，讓我的青春乃至整個的生命，在跳動的燭火中升華，在血液的鮮紅中奔騰?

我今天選擇了教育，當了教師，就應擁有一份愛的藝術，那就是寬容、鼓勵、提醒，我們的工作就像綿綿的春雨，“隨風潛入夜，潤物細無聲。”一個鼓勵的眼神、一句親切的話語，都會讓我們的學生倍受鼓舞，獲得無窮的信心。細細回味，我在教育戰線上已度過了十三個春秋，微笑過、哭泣過，也感動過、彷徨過，在不斷地總結分析中，我找到了屬于自己的寶典------那就是一顆愛學生的心，這顆愛心與我相伴，和學生共同成長。

十三年前，懷揣著美麗的夢想，我踏上這條充滿陽光的希望之旅。漫漫長路，一路走來，雖有過山重水復疑無路的困惑，但更多的時候是柳暗花明又一村的驚喜。十三年的辛勤耕耘，十三年的默默守望，使我深深地喜愛著教師這一平凡而充實的職業。十三年的工作實踐，使我對教師這個職業有了更深的感悟，特別是在大窯中學全員班主任制的環境中，做為一名年輕班主任，既要有嚴師的風范，又要有慈父的情懷，既要關注班級中特殊的學生心理發展，又要把自己的愛心播撒在全班每個孩子的心上。我深知對學生的愛發自內心，才能尊重學生，寬容學生。陶行知先生用四塊糖教育了一個用磚頭砸同學的男孩子，分別獎勵他的守時、尊重人、有正義感和知錯就改的品質，使學生非常感動，對我也產生了很大的啟發。面對學生的錯誤，陶先生用他的真摯的愛感染著學生，用他寬廣的胸懷教育著學生。現在當我的學生犯錯時，我會誠懇地指出；幫他們分析原因，是思想上的疏忽，還是長期以來的習慣；是因為身體的不適還是家里的小麻煩，我都要盡全力的幫他們解開心結，讓他們以飽滿的精神投入到學習中去，把他們當成和我們平等的朋友，把寬容融進生活中的細枝末節上，融入到我們的舉手投足間，鑲嵌在他們的一顰一笑中，讓愛的清風在整個班集體中飄蕩。

我深知，一句簡單的鼓勵，有時候可以改變一個孩子的一生，因為它包含著濃濃的師情。記得開學初的時候，我所教的班課堂氣氛特別沉悶，他們習慣了老師講學生背，不需要動腦的教學模式，為了改變這種環境，我發動同學精心準備了一場班級歌手大賽，比賽結束后，我拿出了自己為選手們準備的證書，以全班的名義頒發給他們，并做了簡短的鼓勵性的總結，沒想到發生了讓我十分驚喜的一幕，很多沒有參賽的同學都主動要求上臺演唱，他們的表現同樣得到了我和同學的認可和鼓勵。從那以后，我每天早上都會聽到他們歡快的歌聲，音樂課上也能看到他們積極思考、踴躍的參與。簡單的鼓勵，讓他們丟掉了自卑，找到了自信，找到了青春的活力。

我更懂得，教師是學生成長的引領者。我不斷的提醒自己，要走下“高高的”講臺，步入學生中間，做學生的朋友，做學生學習的伙伴。走進孩子的內心，蹲下身子平視他們，分享孩子的喜悅，分擔孩子的苦惱，用真誠的語言贊美，用美麗的心情對待。用發展的眼光看待孩子的未來，用真摯的愛心引導孩子的方向。

十三年的教學生涯，使我更加明白了一個道理，沒有愛，就沒有教育。對教育事業的摯愛，讓我擁有無窮的力量，戰勝了生活中、教學中的各種困難，也戰勝了自己的退縮和懶惰；對學生的熱愛使我兢兢業業，在三尺講臺心甘情愿地奉獻自己的青春。

愛心不是教育的全部，但愛心是教育的最基本的前提條件，“如果每個學生的喜悅和苦惱都敲打著你的心，引起你的思考、關懷和擔心，那你就勇敢地選擇崇高的教師工作作為自己的職業吧，你在其中能找到創造的喜悅。”正因為愛，所以會有創造的喜悅，正因為有創造的喜悅，所以對教育、對學生更加充滿愛的情感。真正的教育，正是這種愛與創造永無止境的良性循環。

一支粉筆,兩袖清風，三尺講臺，四季耕耘，這正是教師一生的寫照。最后我想以汪國真的兩句詩獻給所有的老師并感謝一直陪我一同成長的學生們：

讓我怎樣感謝你，當我走進你的時候，我愿收獲一縷春風，你卻給了我整個春天。讓我怎樣感謝你，當我走進你的時候，我愿捧起一簇浪花，你卻給了我整個海洋。