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希望數學少年俱樂部精品課學生用書-四年級

2022-08-29 18:10:21下載本文作者:會員上傳
簡介:寫寫幫文庫小編為你整理了這篇《希望數學少年俱樂部精品課學生用書-四年級》,但愿對你工作學習有幫助,當然你在寫寫幫文庫還可以找到更多《希望數學少年俱樂部精品課學生用書-四年級》。

1-1

簡算巧算

四則運算的運算律

(1)交換律:

加法交換律用字母表示可以寫成.乘法交換律用字母表示可以寫成.(2)結合律:

加法結合律用字母表示可以寫成.乘法結合律用字母表示可以寫成.(3)分配律:

填空完成乘法分配律:

(a

+

b)′

c

=

(a

b)′

c

=

填空完成除法分配律:

(a

+

b)?

c

=

(a

b)?

c

=

(4)括號:

按照去括號規律完成這些去括號練習:

+

(25

37)

=

25′(4

?

5)

=



-(25

37)

=

125

?(5

?

4)

=

(5)帶符號搬家:

同級運算時,可以帶符號搬家。加、減法為第一級運算,乘、除法為第二級運算。

按照帶符號搬家的原則改寫下面的算式:

54′39

?

=

+

=

(6)平方差公式

a2

b2

=

(x

+

y)(x

y)

=

19+199+1999+19999+199999=

.(2008

希望杯四年級二試)

計算:4×37×25=

.(2013

希望杯四年級一試)

計算:2468×629÷(1234×37)=

.(2015

希望杯四年級一試)

(7777+8888)÷5-(888-777)×3

=

.(2011

希望杯四年級一試)

計算:28×7×25+12×7×25+7×11×3+44=

.(2012

華杯賽決賽小中組)

計算[(55×45

37×43)

(3×221+1)]÷22=

.(2015

希望杯四年級二試)

1-2

等差數列

1.字母表示數

(1)用字母表示數能夠簡明表示出事物的規律和特征,如:

正方形的邊長為

a,周長可表示為,面積可表示為

.(2)同一個問題中,不同的數要用不同的字母表示,如:

長方形的長為

m,寬為

n,長方形的周長可表示為,面積可表示為

.含有字母的乘法中,乘號“×”寫作“·

”,或省略不寫,一般要把數值寫在字母的前

面。

用正確的寫法改寫下面的算式:

a×b×c

=

=

p×q

=

=

m×12×n

=

=

a×3×5=

=

2.定義新運算

定義新運算是一種特別設計的計算形式,它使用一些特殊的符號,并給這些符號一個新的運算含義。

使用特殊符號是為了避免和熟悉的運算符號產生混淆。

定義

a

?

b

=

a

+

b

+

ab,則

(2

?

3)

?

4的值為

.(2015

希望杯四年級一試)

3.簡單方程

方程是含有未知數的等式。等式又分為恒等式和非恒等式。可用任意數值代替式子中的字

母,等式永遠成立的等式是恒等式。

按照方程的概念填空:

a+b=b+a,2x-1=7,m×n=n×m,m+5=m-5,6÷p

=1,3×a+3

其中,屬于方程的有:

.解方程的關鍵是等號兩邊要同時做相同的計算,等號左邊+3,右邊也要同時+3,左邊×

5,右邊也要×5.嘗試解下列方程:

x+5=8

x-5=8

x÷5=8

5x=80

(x+5)÷8=8

5x+8=33

x÷7

2=3

(x

3)×6=36

如果

8×(2+1÷x)=18,則

x=

_.(2017

希望杯四年級一試)

4.等差數列

(1)等差數列的概念:

一列數,如果從第二項開始,后一項與前一項的差是同一個常數,我們就稱這個數列為

等差數列。這個常數被稱之為公差。這個數列的第一個數也就是第一項被稱之為首項,最后一

個數被稱之為末項。

判斷下面這些數列是否為等差數列:

1,2,3,4,5,……,99,100,101

1,3,5,7,……,97,99,101

1,4,8,13,19,26,34,43,53,64,76,((()))

(2)等差數列求和公式:

等差數列的和

=(首項+末項)×項數÷2

等差數列的和

=

項數×首項

+

項數×(項數-1)×公差÷2

用這個等差數列嘗試自己推導等差數列求和公式①:

1+3+5+7+9+…+99+101+103=

計算:1

3+5

7+

11+13

–…–

39+41=

.(2009

希望杯四年級二試)

1-3

數謎

1.數字謎

數字謎解題方法歸納:

(1)末位分析法;

(2)進位分析法;

(3)借位分析法;

(4)余數分析和位數分析;

(5)綜合分析法.例

如圖所示,5

個相同的兩位數

AB

相加得兩位數

MB,其中相同的字母表示相同的數字,不同的字母表示不同的數字,則

AB

=

.

(2012

希望杯

試)

“熊大”ד熊二”=“熊兄弟”.若相同的漢字代表

0

中的相同數字,不同的漢字代表不同的數

字,且“大”>“二”,則所有滿足條件的“熊兄弟”代表的三位數之和是

.(2013

華杯賽小中組

B

卷)

2.數陣圖

(1)數陣圖分類:輻射型,封閉型,復合型

(2)數陣圖問題本質:在數陣中填入可保證特定線上(特定區域內)的數的之間的關系。

(3)解題關鍵:

區分普通位和關鍵位

→確定特定線(區域)計算線和及數和

→判斷關鍵位可填入的數

→運用已有信息進行嘗試

個自然數排成如圖的形狀,使每條斜線上的4

個數的和相等,則

a-b-c+d+e+f-

g=

.(2013

希望杯

試)

將六個數

1,3,5,7,9,11

分別填入下圖中的圓圈內(每個圓圈內僅填一個數),使每邊

上三個數的和都等于

19,則三角形三個頂點處的圓圈內所填三數之和為

.(2012

華杯賽小中組

B

卷)

2-1

時間相關問題

1.日歷問題

(1)能被

整除同時不能被

整除或者能被

400

整除的年份為閏年。四年一閏,百年不

閏,四百年再閏。閏年有

366

天,非閏年有

365

天。

(2)1、3、5、7、8、10、12

月有

天,4、6、9、11

天,閏年

天,非閏年

天。

(3)一周7

天,7

天為一個周期。

很多時候日歷問題都可以用周期問題或余數問題來思考。

如果今天是星期五,那么從今天算起,57

天后的第一天是星期

.(2012

希望杯

試)

2.時間問題

鐘面上的時針、分針所在的某一特定位置時的那一瞬間是時刻(時刻是從鐘面看出來的);

從一個時刻到另一個時刻之間經過的間隔是時間(時間是計算出來的),終止時刻-起始時刻=

經過的時間。

時間單位:時、分、秒(年、月、日等)。

計時法有兩種:12

時計時法和

時計時法。

天=24

小時,1

小時=60

分鐘=3600

秒,1

分鐘=60

秒。

如圖所示的電子鐘可顯示從

00:00:00

23:59:59的時間,在一晝夜內(24

小時)鐘表上顯示的時間恰好由數字

1,2,3,4,5,6

組成的共有

秒.(2012

希望杯

試)

12:00的時候時針和分針的夾角是

0°,此后時針和分針第6

次成90°夾角的時刻是

:

.(12

小時制)

(2013

希望杯

試)

3.年齡問題

年齡問題通常以和倍、差倍或者和差等問題的形式出現。有些年齡問題往往是和、差、倍

數等問題的綜合,需要靈活的加以解決。

解答年齡問題,要靈活運用以下三條規律:

(1)無論是哪一年,兩人的年齡差總是不變的;

(2)隨著時間的向前或向后推移,幾個人的年齡總是在減少或增加相等的數量。(你長我也長)

(3)隨著時間的變化,兩人的年齡之間的倍數關系也會發生變化。(倍數隨年齡的增加而

變小)

今年,李林和他爸爸的年齡的和是

歲,4

年后,他爸爸的年齡比他的年齡的3

倍小

歲,則李林的爸爸比他大

歲.(2011

希望杯

試)

今年丹丹

歲,丹丹的爸爸

歲,a

年后,爸爸年齡是丹丹年齡的3

倍,則

a的值是

.(2016

希望杯

試)

2-2

行程問題初步

行程問題的常用公式

(1)基本公式:速度×時間=路程

(2)相遇問題

:速度和×相遇時間=相遇路程

(3)

追及問題

:速度差×追及時間=相差路程

(4)火車過橋

:橋長+車長=路程

速度×過橋時間=路程

(5)

流水行船

:順水船速=船速+水速=逆水船速+水速×2

小東和小榮同時從甲地出發到乙地.小東每分鐘行

米,小榮每分鐘行

米.小榮到達乙地

后立即返回.若兩人從出發到相遇用了

分鐘,則甲、乙兩地相距

米.(2014

希望杯

試)

甲、乙兩個機器人分別從

A、B

兩點同時、同向出發,甲到達

B

點時,乙走了

288

米,甲追

上乙時,乙走了

336

米,則

A、B

兩點間的距離是

米.

(2016

希望杯

試)

一個車隊以

米/秒的速度緩慢通過一座長

298

米的大橋,共用

115

秒,已知每輛車長

米,相臨兩車間隔

米,則這個車隊一共有

輛車.(2012

華杯賽小中組

A

卷)

一條河上有

A,B

兩個碼頭,A

在上游,B

在下游.甲、乙兩人分別從

A,B

同時出發,劃船相

向而行,4

小時后相遇.如果甲、乙兩人分別從

A,B

同時出發,劃船同向而行,乙

小時后

追上甲.已知甲在靜水中劃船的速度為每小時

千米,則乙在靜水中劃船每小時行駛

千米.(2015

華杯賽小中組)

有一座高樓,小紅每登上一層需

1.5

分鐘,每走下一層需半分鐘,她從上午

8:45

開始不停地

從底層往上走,到了最高層后立即往下走,中途也不停留,上午

9:17

第一次返回底層,則這

座樓共有

層.(2008

希望杯

試)

如圖,一個邊長為

米的正方形圍墻,甲、乙兩人分別從

A,C

沿圍墻按順時針方向同時出

發,已知甲每秒走

米,乙每秒走

米,至少經過

秒甲、乙在同一條邊上.

(2010

希望杯

試)

甲、乙兩人在一條長

120

米的直路上來回跑,甲的速度是

米/秒,乙的速度是

米/秒.若他們同時從同一端出發跑了

分鐘,則他們在這段時間內共迎面相遇

次(端點

除外).(2016

華杯賽小中組

A

卷)

2-3

典型應用題綜合1.基本應用題

一般復合應用題往往是有兩組或兩組以上的數量關系交織在一起,有的已知條件是間接的,數量關系比較復雜,敘述的方式和順序也比較多樣。因此,一般應用題沒有明顯的結構特征和

解題規律可循。

解答一般應用題時,可以借助線段圖、示意圖、直觀演示手段幫助分析。在分析應用題的數量關系時,我們可以從條件出發,逐步推出所求問題(綜合法);也可以從問題出發,找出

必須的兩個條件(分析法)。在實際解時,可以根據題中的已知條件,靈活運用這兩種方法。

甲、乙、丙

人一起購買學習用品.已知甲和乙共支付了

元,乙和丙共支付了

元,甲

和丙共支付了

元,那么,甲支付了

元.

(2016

希望杯四年級

試)

2.和差倍應用題

和差問題

和倍問題

差倍問題

已知條件

幾個數的和與差

幾個數的和與倍數

幾個數的差與倍數

公式

(和-差)÷2=較小數

(和+差)÷2=較大數

和÷(倍數+1)=較小數

差÷(倍數-1)=較小數

甲、乙兩個油桶中共有

千克油,將乙桶中的15

千克油注入甲桶,此時甲桶中的油是乙

桶中的油的4

倍.那么,原來甲桶中的油比乙桶中的油多

千克.

(2014

希望杯四年級

試)

3.盈虧問題

一定數量的物品分給一定數量的人,每人多一些,物品就不夠;每人少一些,物品就有余。

盈虧問題就是在已知的情況下確定物品總數和參加分配的人數。解答盈虧問題的關鍵是弄清盈、虧與兩次分得的關系。

盈虧問題的數量關系是:

(1)(盈+虧)÷兩次分配差=份數

(大盈—小盈)÷兩次分配差=份數

(大虧—小虧)÷兩次分配差=份數

(2)每次分的數量×份數+盈=總數量

每次分的數量×份數—虧=總數量

某地希望杯組委會給當地參加希望杯考試的考生安排考場,每個考場

名考生,則會余下

名考生獨用一個考場;每個考場

名考生,則會余下

名考生獨用一個考場,并且要比前

一種方案多用

個考場。則該地區參加考試的考生有

名。

(2015

希望杯四年級

試)

4.雞兔同籠問題

解雞兔同籠問題的基本關系式是:

(1)

如果假設全是兔,則有:

雞數=(每只兔子腳數×雞兔總數-實際腳數)÷(每只兔子腳數-每只雞的腳數)

兔數=雞兔總數-雞數

(2)

如果假設全是雞,那么就有:

兔數=(實際腳數-每只雞腳數×雞兔總數)÷(每只兔子腳數-每只雞的腳數)

雞數=雞兔總數-兔數

雞兔同籠,共有

個頭,兔腳的數目比雞腳的數目的10

倍少

只,那么兔有

只.(2013

華杯賽小中組

B

卷)

5.牛吃草問題

基本公式:

(1)

設定一頭牛一天吃草量為“1”;

(2)草的生長速度=草量差÷時間差;

(3)原有草量=牛頭數×吃的天數-草的生長速度×吃的天數;

(4)吃的天數=原有草量÷(牛頭數-草的生長速度);

(5)牛頭數=原有草量÷吃的天數+草的生長速度。

一個大型的污水池存有一定量的污水,并有污水不斷流入,若安排

臺污水處理設備,36

可將池中的污水處理完;若安排

臺污水處理設備,27

天可將池中的污水處理完;若安排

臺污水處理設備,天可將池中的污水處理完。

(2016

希望杯四年級

試)

3-1

簡單圖形

常見問題

(1)

圖形分割

(2)線段問題

(3)圖形計數

(4)軸對稱問題

長方形

MNPQ

中,MN=

3,MQ=

4,過它的中心

O(對角線

MP

NQ的交點)畫一條直線,長方形

MNPQ

被分成兩個相同的圖形,它們的形狀分別是

.(2012

希望杯四年級

試)

A,B,C,D

四個點從左向右依次排在一條直線上,以這四個點為端點,可以組成6

條線段.已知這

條線段的長度分別是

12,18,30,32,44,62(單位:厘米),那么線段

BC的長度

厘米.(2013

希望杯四年級

試)

下圖由

個方格組成,其中含有

A的正方形有

個.

(2017

希望杯四年級

試)

如圖,在5×5的方格紙的20

個格點處各釘有

枚釘子,以這些釘子中的某四個為頂點用橡皮

筋圍成正方形,一共可以圍成個正方形.(2013

希望杯四年級

試)

如圖是

4×4的方格圖,有

個小正方形有陰影,若再將一個小正方形涂陰影,使方格圖成為

軸對稱圖形,則不同的涂法有

種.(2014

希望杯四年級

試)

3-2

幾何計算

1.角度問題

(1)角的分類:銳角、直角、鈍角、平角、周角。

(2)特殊三角形的分類:等腰三角形、等邊三角形那、直角三角形。

(3)直角等于

90°,平角等于

180°,周角等于

360°,三角形的內角和為

180°,四邊

形的內角和為

360°。

如圖,已知直線

AB

CD

交于點

O,若∠

AOC

=

°,∠

EOD

=60

°,則∠

AOE

=

°,∠BOC

=

°.

(2011

希望杯四年級

試)

2.巧求長方形周長

(1)基本公式:

①長方形的周長=2×(長+寬),面積=長×寬.

②正方形的周長=4×邊長,正方形的面積=邊長×邊長.

(2)對于基本的長方形和正方形圖形,可以直接用公式求出它們的周長和面積,對于一些

不規則的比較復雜的幾何圖形,我們可以采用轉化的數學思想方法割補成基本圖形,利用

長方形、正方形周長及面積計算的公式求解.

把一個邊長是

5cm的正方形紙片沿虛線分成5

個長方形,然后按照箭頭標記的方向和長度移

動其中的4

個長方形,則所得圖形的周長是

cm.(2017

希望杯四年級

試)

3.面積、周長轉化問題

常用轉化方法:

(1)平移;(2)割補;(3)對稱;(4)代換。

一個長方形的長和寬都增加

厘米后,面積增加了

平方厘米,則原長方形的周長是

厘米。

(2015

希望杯四年級

試)

4.格點面積問題

利用格點求圖形的面積通常有兩種思路,一是直接將圖形分成若干個面積單位,然后通過

計算有多少個面積單位來求圖形面積;二是將某些圖形轉化成長方形的面積來求。當然還可以

將這兩種方法結合起來,求出某些較復雜圖形的面積。

下圖由

5×4

個邊長為

1的小正方形組成,其中陰影部分的面積是

(2016

希望杯四年級

試)

5.正方形面積問題

正方形的面積=邊長×邊長=對角線×對角線÷2

如圖,陰影小正方形的邊長是

2,最外面的大正方形的邊長是

6,則

正方形

ABCD的面積是

.(2014

希望杯四年級

試)

3-3

立體圖形初步

1.正方體展開圖

正方體的平面展開圖中相對的兩個面的特點是:

相對的兩個面中間一定隔著一個小正方

形,且沒有公共的頂點,且相距最近。

通過正方體展開圖形找相對面,首先在同層中隔一面尋找,再在不同層中隔兩面尋找,剩下的兩面是相對的面。

2.立方體

正方體的特征

正方體有

個面,8

個頂點,12

條棱。

正方體

個面是大小相同的正方形,12

條棱長度相等。

正方體是特殊的長方體。

如圖,將數字

4,5,6

填入正方體的展開圖中,使正方體相對的兩個面上數字的和都相等,則

A

處應該填,B

處應該填,C

處應該填

.(2013

希望杯四年級

試)

將棱長為

米的正方體木塊分割成棱長為

厘米的小正方體積木,設想孫悟空施展神力將所

有的小積木一個接一個地疊放起來,成為一根長方體“神棒”,直指藍天.已知珠穆朗瑪峰的海

拔高度為

8844

米,則“神棒”的高度超過珠穆朗瑪峰的海拔高度

米.(2012

華杯賽小中組)

如圖所示,一只螞蟻從正方體的頂點

A

出發,沿正方體的棱爬到頂點

B,要求行走的路線最

短,那么螞蟻有

種不同的走法.(2012

華杯賽小中組

A

卷)

4-1

加乘原理

1.加法原理

一般地,如果完成一件事有

k

類方法,第一類方法中有

m1

種不同的做法,第二類方法中

m2

種不同的做法,……,第k

類方法中有

mk

種不同的做法,則完成這件事共有

m1+

m2+…

+mk

種不同的方法。

加法原理解題三部曲

1.完成一件事分類情況

2.類類獨立(每類都能單獨完成該件事)

3.類類相加

陽光小學四年級有

個班,各班分別有男生

人、20

人、16

人.從中任意選一人當升旗手,有多少種選法?

2.乘法原理

一般地,如果完成一件事可以分成n

個必要步驟,第一步有

m1

種不同的做法,第二步有

m2

種不同的做法,……,第n

步有

mn

種不同的做法,則完成這件事共有

m1×m2×…×mn

種不同的方法。

乘法原理解題三部曲

1.完成一件事分

n

個必要步驟

2.步步相關(每步都不能單獨完成該件事)

3.步步相乘

按照下表給出的詞造句,每句必須包括一個人,一個交通工具,以及一個目的地,請問可以

造出多少個不同的句子?

爸爸

飛機

北京

媽媽

火車

拉薩

我汽車

臺北

希希去花店買花來裝飾客廳,花店里有

盆黃色的花,7

盆紅色的花,以及

盆粉色的花,希

希想從中選擇

盆不同顏色的話,那么她有多少種不同的選法?

0

這七個數字可組成多少個無重復數字的四位偶數?

甲、乙、丙、丁四人各有一個作業本混放在一起,四人每人隨便拿了一本,求滿足下列條件的拿法各有多少種:

(1)甲拿到自己的作業本;

(2)恰有一人拿到自己的作業本;

(3)至少有一人沒拿到自己的作業本;

(4)誰也沒有拿到自己的作業本.4-2

簡單數論

什么是數論

數論是純粹數學的分支之一,主要研究整數的性質,簡單說其實就是“有關數的理論”。

學階段的課本里可能并沒有把數論這個概念提出來,但是相關的知識卻無處不在。尤其是四年

級,同學們還沒有系統學習小數和分數之前,主要學習的就是整數的性質。對于整數的一些基

本性質,同學們要熟練掌握并靈活運用。如奇數、偶數、連續數、平均數,反序數,位值原理

等等。

個連續的自然數從小到大排列,若最后

個數的和比前

個數的和的2

倍大

15,則這

數中最小的數是。

(2017

四年級希望杯

試——第12

題)

個數,它們的平均數是

17,加入

個數后,平均數變成20,則加入的數是。

(2017

四年級希望杯

試——第2

題)

三位數

abc

cba

是一個三位反序數對(如

123

321,778

877)。如果三位反序數對中兩

個數的和是

1069,這樣的反序數對一共有

對。

(2015

四年級希望杯

試——第18

題)

某個兩位數的個位數字和十位數字的和是

12,個位數字和十位數字交換后所得兩位數比原數

36,則原數是

.(2011

四年級希望杯

試——第15

題)

如果

a

表示一個三位數,b

表示一個兩位數,那么

a+b

最小是,a+b

最大是,a

b

最小是,a

b

最大是

.(2012

四年級希望杯

試——第3

題)

知識精講

a

?

b

=

c......d



4-3

整除與余數

在這個除法算式中,整數

a

除以非零整數

b,商為整數

c,余數為

d。余數

d

=

0

時,我們稱

a

能被

b

整除,或

b

整除

a,記為

b|a,“|”是整除符號,同學們不妨先記起來。

在整除的情況下,稱

a

b的倍數,b

a的約數(或因數)。

能被整除的數的特征:

(1)被

整除的數:所有偶數都可以被

整除,即末

位是

0,2,4,6,8.(2)被

整除的數:一個整數的數字和能被

整除,這個整數可以被

整除。

(3)被

整除的數:末兩位可以被

整除的整數即可被

整除。

(4)被

整除的數:末位是

0

5的整數可以被

整除。

(5)被

整除的數:末三位可以被

整除的整數可以被

整除。

(6)被

整除的數:數字和能被

整除的整數可以被

整除。

(7)被

7,11,13

整除的數:因為

7×11×13=1001,所以用三位截斷法可判斷一個數是否

可以被這三個數整除。

在不能整除的除法中,就會產生余數。

同余定理:給定一個正整數

m,如果兩個整數

a

b

滿足

a-b

能夠被

m

整除,那么就稱

a

b

對模

m

同余,標記方式為

a

o

b

(mod

m)。

有一個除法算式,被除數和除數的和是

136,商是

7,則除數是

.(2015

四年級希望杯

試——第2

題)

為使下面算式中五個數的乘積的末尾有六個

0,□里的數最小是

.8×10×15×25×□

(2007

四年級希望杯

試——第3

題)

有一筐桃子,4

個地數,多

個;

個地數,多

個;

個地數,少

個.已知這筐

桃子的個數不少于

120,也不多于

150,則這筐桃子共有

個.(2012

四年級希望杯

試——第14

題)

在1

個數中,被

2,3,5

除都有非零的余數,且余數彼此不等的數有

個。

(2016

四年級希望杯

試——第15

題)

5-1

找規律

知識精講

找規律是小學數學和中學數學教學的基本技能,是為了讓學生發現、經歷、探究圖形或

數字簡單的排列規律,通過比較從而理解并掌握找規律的方法,培養學生初步的觀察、操

作、推理能力。

這類題型給出幾個具體的、特殊的數式或圖形,要求找出其中的變化規律,從而猜想出

一般性的結論.解題的思路是特殊向一般的簡化,具體方法和步驟是:

(1)通過對幾個特例的分析,尋找規律并且歸納;

(2)猜想符合規律的一般性結論;

(3)驗證或證明結論是否正確。

算式1×1+11×11+111×111+···+111…111(2010個1)×111…111(2010個1)的結果的末三位數

字是

.(2010四年級希望杯2試——第10題)

按照圖

中前

個圖中數的規律,在第5

個圖中填上適當的數.A=,B=

_,C=_,D=,E=,F=

.(2011

四年級希望杯

試——第7

題)

An

表示乘積

′?′

7的結果的個位數字,如:

A1=7,A2

=9,A3=3,…,則

n個7

A1+A2+A3+…+A2013=

.(2013

四年級希望杯

試——第21

題)

如圖,當

n=1

時,有

個小星星;

n=2

時,有

個小星星;

n=3

時,有

個小星星;

n=4

時,有

個小星星······

則當

n=10

時,有

個小星星.(2013

四年級希望杯

試——第3

題)

5-2

數學方法

1.最不利原則

有一類題目,會出現一些變化的量,需要我們求最值。這類題目屬于非常規問題,沒有統一的方法,對不同的題目要用不同的策略和方法。就具體的題目而言,大致可以從以下幾個方

面思考:

(1)尋找極端情形;

(2)分析推理——確定最值;

(3)枚舉比較——確定最值;

(4)估計并構造模型。

用這些分析方法時往往需要從最差的情況出發來分析問題,這就是最不利原則。

布袋中有

個彩球,每種顏色的球都有

個.蒙眼取球,要保證取出的球中有三個同色的球,至少要取出

個球.(2013

華杯賽小中組

B

卷)

在1

200

200

個自然數中任意選數,至少要選出多少個才能確保其中必有

個數的乘積等

238?

(2016

華杯賽小中組

A

卷)

2.抽屜原理

抽屜原則,又稱為鴿巢原理,最早由德國數學家狄利克雷提出,并在有關數論問題中得到

成功應用。

最簡單的抽屜原則是這樣:有

個物品放到兩個抽屜里時,肯定有一個抽屜里的物品至少是

個。因為

個物品的分配只能是這兩種情形:0

3,1

2.也就是說當一個抽

屜里有一個物品的時候,另一個抽屜里有兩個物品;當一個抽屜里沒有物品的時候,另一個抽

屜里有三個物品。抽屜原則的另一個應用是這樣:有

個物品放到兩個抽屜里的時候,肯定有

一個抽屜里沒有物品。

拓展到一般的情形,將

n+1

個物品放進

n

個抽屜里時,必定有一個抽屜里有兩個以上的物

品。將

n

個物品放進

n+1

個抽屜里,必定至少有一個抽屜里沒有物品。

利用抽屜原則的關鍵在于構造抽屜,從而把討論的范圍縮小,是問題變得簡單明確。而運

用抽屜原則解題的難點也在于抽屜的構造。要從問題出發分析,弄清要進行分類的元素特征及

規律,得到抽屜構造思路。

利用抽屜原則解題的一般步驟是:

(1)分析特征規律,構造抽屜;

(2)把元素放入所構造的抽屜中;

(3)運用抽屜原則,對問題進行分析討論。

個球分別放在三個盒子里,使盒子里球的個數彼此不同,那么,放球最多的盒子里最多可放

個球,至少要放

個球.(2012

四年級希望杯

試——第9

題)

3.容斥原理

在計數時,必須注意沒有重復,沒有遺漏。為了使重疊部分不被重復計算,人們研究出

一種新的計數方法,這種方法的基本思想是:先不考慮重疊的情況,把包含于某內容中的所

有對象的數目先計算出來,然后再把計數時重復計算的數目排斥出去,使得計算的結果即無

遺漏又無重復。這種計數的方法稱為容斥原理。

在容斥問題中經常會用到韋恩圖來快速解決問題。

在1~500

中不能被2

整除,也不能被3

整除,又不能被5整除的數有多少個?

(2018四年級希望杯培訓題)

5-3

邏輯與操作

1.邏輯問題

邏輯規律包括同一律、矛盾律、排中律和充足理由律四種。

(1)同一律即在同一思維過程中,每個思想必須保持其同一性。如:數

a

是質數,那么在整個推理過程中,a

都自始至終是質數,保持同一性。

(2)矛盾律是指在同一思維過程中,對同一思想不能自相矛盾。不能既真又假,即是又

非。如:在推理過程中若推出數

a

既是奇數又不是奇數就自相矛盾了。

(3)排中律指在同一思維過程中,兩個相互矛盾的思想,一個是真,另一個必假,不能同

時都真(或假)。如:自然數

a,它不可能既不是奇數,又不是偶數。假若做出了這樣的判斷,就違反了排中律。

(4)充足理由律是指在論證過程中,判斷某個事實為真時,必須有充足的理由。如:由條

件“自然數

a

不是合數”出發就做出了“

a

一定是質數”這一結論,就違反了充足理由律。因

為其間忽略了“

a

還可能是

1”的這種情況。

甲、乙、丙、丁、戊

人猜測全班個人學科總成績的前

名:

甲:“第1

名是

D,第5

名是

E.”

乙:“第2

名是

A,第4

名是

C.”

丙:“第3

名是

D,第4

名是

A.”

丁:“第1

名是

C,第3

名是

B.”

戊:“第2

名是

C,第4

名是

B.”

若每個人都是只猜對

個人的名次,且每個名次只有

個人猜對,則第1,2,3,4,5

名分別

.(2011

四年級一試)

(2011

四年級希望杯

試——第20

題)

2.操作問題

所謂操作問題,實際上是對某個事物按一定要求進行的一種變換,這種變換可以具體執行。

操作問題往往是求連續進行這種操作后可能得到的結果。常見的操作問題有以下幾類:

(1)與數字相關的操作問題;

(2)染色相關的操作問題;

(3)計數方面的操作問題。

A,B,C,D,4

個盒子中依次放有

8,6,3,1

個球.第1

個小朋友找到放球最少的盒子,然后從其

他盒子中各取一個球放入這個盒子;

第2

個小朋友也找到放球最少的盒子,然后也從其他盒子

中各取一個球放入這個盒子,……當第50

位小朋友放完后,A

盒中球的個數是

.(2012

四年級希望杯

試——第16

題)

黑板上寫著一個九位數

222222222,對它做如下操作:擦掉末位數后又乘

4,再加上剛擦去的數

字,然后在黑板上寫下得到的數;

……如此操作下去,直到在黑板上寫下的是一個一位數,那

么,它是

.(2014

四年級希望杯

試——第20

題)

堆桃子的個數分別是

93,70,63,一只猴子在3

堆桃子間搬運,已知猴子每次最多可搬

個桃子,并且在從一堆搬到另一堆的途中會吃掉

個,當

堆桃子個數相等時,猴子至少吃

掉了

個桃子.

(2016

四年級希望杯

試——第14

題)

亞瑟王在王宮中召見

名騎士,這些騎士中每個騎士恰好有

名朋友.他們圍著一張圓

桌坐下(騎士姓名與座位如圖),結果發現這種坐法,任意相鄰的兩名騎士恰好都是朋友.亞瑟

王想重新安排座位,那么亞瑟王有

種不同方法安排座位,使得每一個騎士都不與他的朋友相鄰

(旋轉以后相同的,算同一種方法).(2017

華杯賽小中組)

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