1-1
簡算巧算
四則運算的運算律
(1)交換律:
加法交換律用字母表示可以寫成.乘法交換律用字母表示可以寫成.(2)結合律:
加法結合律用字母表示可以寫成.乘法結合律用字母表示可以寫成.(3)分配律:
填空完成乘法分配律:
(a
+
b)′
c
=
(a
b)′
c
=
填空完成除法分配律:
(a
+
b)?
c
=
(a
b)?
c
=
(4)括號:
按照去括號規律完成這些去括號練習:
+
(25
37)
=
25′(4
?
5)
=
-(25
37)
=
125
?(5
?
4)
=
(5)帶符號搬家:
同級運算時,可以帶符號搬家。加、減法為第一級運算,乘、除法為第二級運算。
按照帶符號搬家的原則改寫下面的算式:
54′39
?
=
+
=
(6)平方差公式
a2
b2
=
(x
+
y)(x
y)
=
例
19+199+1999+19999+199999=
.(2008
希望杯四年級二試)
例
計算:4×37×25=
.(2013
希望杯四年級一試)
例
計算:2468×629÷(1234×37)=
.(2015
希望杯四年級一試)
例
(7777+8888)÷5-(888-777)×3
=
.(2011
希望杯四年級一試)
例
計算:28×7×25+12×7×25+7×11×3+44=
.(2012
華杯賽決賽小中組)
例
計算[(55×45
–
37×43)
–
(3×221+1)]÷22=
.(2015
希望杯四年級二試)
1-2
等差數列
1.字母表示數
(1)用字母表示數能夠簡明表示出事物的規律和特征,如:
正方形的邊長為
a,周長可表示為,面積可表示為
.(2)同一個問題中,不同的數要用不同的字母表示,如:
長方形的長為
m,寬為
n,長方形的周長可表示為,面積可表示為
.含有字母的乘法中,乘號“×”寫作“·
”,或省略不寫,一般要把數值寫在字母的前
面。
用正確的寫法改寫下面的算式:
a×b×c
=
=
p×q
=
=
m×12×n
=
=
a×3×5=
=
2.定義新運算
定義新運算是一種特別設計的計算形式,它使用一些特殊的符號,并給這些符號一個新的運算含義。
使用特殊符號是為了避免和熟悉的運算符號產生混淆。
例
定義
a
?
b
=
a
+
b
+
ab,則
(2
?
3)
?
4的值為
.(2015
希望杯四年級一試)
3.簡單方程
方程是含有未知數的等式。等式又分為恒等式和非恒等式。可用任意數值代替式子中的字
母,等式永遠成立的等式是恒等式。
按照方程的概念填空:
a+b=b+a,2x-1=7,m×n=n×m,m+5=m-5,6÷p
=1,3×a+3
其中,屬于方程的有:
.解方程的關鍵是等號兩邊要同時做相同的計算,等號左邊+3,右邊也要同時+3,左邊×
5,右邊也要×5.嘗試解下列方程:
x+5=8
x-5=8
x÷5=8
5x=80
(x+5)÷8=8
5x+8=33
x÷7
–
2=3
(x
–
3)×6=36
例
如果
8×(2+1÷x)=18,則
x=
_.(2017
希望杯四年級一試)
4.等差數列
(1)等差數列的概念:
一列數,如果從第二項開始,后一項與前一項的差是同一個常數,我們就稱這個數列為
等差數列。這個常數被稱之為公差。這個數列的第一個數也就是第一項被稱之為首項,最后一
個數被稱之為末項。
判斷下面這些數列是否為等差數列:
1,2,3,4,5,……,99,100,101
1,3,5,7,……,97,99,101
1,4,8,13,19,26,34,43,53,64,76,((()))
(2)等差數列求和公式:
等差數列的和
=(首項+末項)×項數÷2
①
等差數列的和
=
項數×首項
+
項數×(項數-1)×公差÷2
②
用這個等差數列嘗試自己推導等差數列求和公式①:
1+3+5+7+9+…+99+101+103=
例
計算:1
–
3+5
–
7+
–
11+13
–…–
39+41=
.(2009
希望杯四年級二試)
1-3
數謎
1.數字謎
數字謎解題方法歸納:
(1)末位分析法;
(2)進位分析法;
(3)借位分析法;
(4)余數分析和位數分析;
(5)綜合分析法.例
如圖所示,5
個相同的兩位數
AB
相加得兩位數
MB,其中相同的字母表示相同的數字,不同的字母表示不同的數字,則
AB
=
.
(2012
希望杯
試)
例
“熊大”ד熊二”=“熊兄弟”.若相同的漢字代表
0
至
中的相同數字,不同的漢字代表不同的數
字,且“大”>“二”,則所有滿足條件的“熊兄弟”代表的三位數之和是
.(2013
華杯賽小中組
B
卷)
2.數陣圖
(1)數陣圖分類:輻射型,封閉型,復合型
(2)數陣圖問題本質:在數陣中填入可保證特定線上(特定區域內)的數的之間的關系。
(3)解題關鍵:
區分普通位和關鍵位
→確定特定線(區域)計算線和及數和
→判斷關鍵位可填入的數
→運用已有信息進行嘗試
例
將
到
這
個自然數排成如圖的形狀,使每條斜線上的4
個數的和相等,則
a-b-c+d+e+f-
g=
.(2013
希望杯
試)
例
將六個數
1,3,5,7,9,11
分別填入下圖中的圓圈內(每個圓圈內僅填一個數),使每邊
上三個數的和都等于
19,則三角形三個頂點處的圓圈內所填三數之和為
.(2012
華杯賽小中組
B
卷)
2-1
時間相關問題
1.日歷問題
(1)能被
整除同時不能被
整除或者能被
400
整除的年份為閏年。四年一閏,百年不
閏,四百年再閏。閏年有
366
天,非閏年有
365
天。
(2)1、3、5、7、8、10、12
月有
天,4、6、9、11
有
天,閏年
月
天,非閏年
月
天。
(3)一周7
天,7
天為一個周期。
很多時候日歷問題都可以用周期問題或余數問題來思考。
例
如果今天是星期五,那么從今天算起,57
天后的第一天是星期
.(2012
希望杯
試)
2.時間問題
鐘面上的時針、分針所在的某一特定位置時的那一瞬間是時刻(時刻是從鐘面看出來的);
從一個時刻到另一個時刻之間經過的間隔是時間(時間是計算出來的),終止時刻-起始時刻=
經過的時間。
時間單位:時、分、秒(年、月、日等)。
計時法有兩種:12
時計時法和
時計時法。
天=24
小時,1
小時=60
分鐘=3600
秒,1
分鐘=60
秒。
例
如圖所示的電子鐘可顯示從
00:00:00
到
23:59:59的時間,在一晝夜內(24
小時)鐘表上顯示的時間恰好由數字
1,2,3,4,5,6
組成的共有
秒.(2012
希望杯
試)
例
12:00的時候時針和分針的夾角是
0°,此后時針和分針第6
次成90°夾角的時刻是
:
.(12
小時制)
(2013
希望杯
試)
3.年齡問題
年齡問題通常以和倍、差倍或者和差等問題的形式出現。有些年齡問題往往是和、差、倍
數等問題的綜合,需要靈活的加以解決。
解答年齡問題,要靈活運用以下三條規律:
(1)無論是哪一年,兩人的年齡差總是不變的;
(2)隨著時間的向前或向后推移,幾個人的年齡總是在減少或增加相等的數量。(你長我也長)
(3)隨著時間的變化,兩人的年齡之間的倍數關系也會發生變化。(倍數隨年齡的增加而
變小)
例
今年,李林和他爸爸的年齡的和是
歲,4
年后,他爸爸的年齡比他的年齡的3
倍小
歲,則李林的爸爸比他大
歲.(2011
希望杯
試)
例
今年丹丹
歲,丹丹的爸爸
歲,a
年后,爸爸年齡是丹丹年齡的3
倍,則
a的值是
.(2016
希望杯
試)
2-2
行程問題初步
行程問題的常用公式
(1)基本公式:速度×時間=路程
(2)相遇問題
:速度和×相遇時間=相遇路程
(3)
追及問題
:速度差×追及時間=相差路程
(4)火車過橋
:橋長+車長=路程
速度×過橋時間=路程
(5)
流水行船
:順水船速=船速+水速=逆水船速+水速×2
例
小東和小榮同時從甲地出發到乙地.小東每分鐘行
米,小榮每分鐘行
米.小榮到達乙地
后立即返回.若兩人從出發到相遇用了
分鐘,則甲、乙兩地相距
米.(2014
希望杯
試)
例
甲、乙兩個機器人分別從
A、B
兩點同時、同向出發,甲到達
B
點時,乙走了
288
米,甲追
上乙時,乙走了
336
米,則
A、B
兩點間的距離是
米.
(2016
希望杯
試)
例
一個車隊以
米/秒的速度緩慢通過一座長
298
米的大橋,共用
115
秒,已知每輛車長
米,相臨兩車間隔
米,則這個車隊一共有
輛車.(2012
華杯賽小中組
A
卷)
例
一條河上有
A,B
兩個碼頭,A
在上游,B
在下游.甲、乙兩人分別從
A,B
同時出發,劃船相
向而行,4
小時后相遇.如果甲、乙兩人分別從
A,B
同時出發,劃船同向而行,乙
小時后
追上甲.已知甲在靜水中劃船的速度為每小時
千米,則乙在靜水中劃船每小時行駛
千米.(2015
華杯賽小中組)
例
有一座高樓,小紅每登上一層需
1.5
分鐘,每走下一層需半分鐘,她從上午
8:45
開始不停地
從底層往上走,到了最高層后立即往下走,中途也不停留,上午
9:17
第一次返回底層,則這
座樓共有
層.(2008
希望杯
試)
例
如圖,一個邊長為
米的正方形圍墻,甲、乙兩人分別從
A,C
沿圍墻按順時針方向同時出
發,已知甲每秒走
米,乙每秒走
米,至少經過
秒甲、乙在同一條邊上.
(2010
希望杯
試)
例
甲、乙兩人在一條長
120
米的直路上來回跑,甲的速度是
米/秒,乙的速度是
米/秒.若他們同時從同一端出發跑了
分鐘,則他們在這段時間內共迎面相遇
次(端點
除外).(2016
華杯賽小中組
A
卷)
2-3
典型應用題綜合1.基本應用題
一般復合應用題往往是有兩組或兩組以上的數量關系交織在一起,有的已知條件是間接的,數量關系比較復雜,敘述的方式和順序也比較多樣。因此,一般應用題沒有明顯的結構特征和
解題規律可循。
解答一般應用題時,可以借助線段圖、示意圖、直觀演示手段幫助分析。在分析應用題的數量關系時,我們可以從條件出發,逐步推出所求問題(綜合法);也可以從問題出發,找出
必須的兩個條件(分析法)。在實際解時,可以根據題中的已知條件,靈活運用這兩種方法。
例
甲、乙、丙
人一起購買學習用品.已知甲和乙共支付了
元,乙和丙共支付了
元,甲
和丙共支付了
元,那么,甲支付了
元.
(2016
希望杯四年級
試)
2.和差倍應用題
和差問題
和倍問題
差倍問題
已知條件
幾個數的和與差
幾個數的和與倍數
幾個數的差與倍數
公式
(和-差)÷2=較小數
(和+差)÷2=較大數
和÷(倍數+1)=較小數
差÷(倍數-1)=較小數
例
甲、乙兩個油桶中共有
千克油,將乙桶中的15
千克油注入甲桶,此時甲桶中的油是乙
桶中的油的4
倍.那么,原來甲桶中的油比乙桶中的油多
千克.
(2014
希望杯四年級
試)
3.盈虧問題
一定數量的物品分給一定數量的人,每人多一些,物品就不夠;每人少一些,物品就有余。
盈虧問題就是在已知的情況下確定物品總數和參加分配的人數。解答盈虧問題的關鍵是弄清盈、虧與兩次分得的關系。
盈虧問題的數量關系是:
(1)(盈+虧)÷兩次分配差=份數
(大盈—小盈)÷兩次分配差=份數
(大虧—小虧)÷兩次分配差=份數
(2)每次分的數量×份數+盈=總數量
每次分的數量×份數—虧=總數量
例
某地希望杯組委會給當地參加希望杯考試的考生安排考場,每個考場
名考生,則會余下
名考生獨用一個考場;每個考場
名考生,則會余下
名考生獨用一個考場,并且要比前
一種方案多用
個考場。則該地區參加考試的考生有
名。
(2015
希望杯四年級
試)
4.雞兔同籠問題
解雞兔同籠問題的基本關系式是:
(1)
如果假設全是兔,則有:
雞數=(每只兔子腳數×雞兔總數-實際腳數)÷(每只兔子腳數-每只雞的腳數)
兔數=雞兔總數-雞數
(2)
如果假設全是雞,那么就有:
兔數=(實際腳數-每只雞腳數×雞兔總數)÷(每只兔子腳數-每只雞的腳數)
雞數=雞兔總數-兔數
例
雞兔同籠,共有
個頭,兔腳的數目比雞腳的數目的10
倍少
只,那么兔有
只.(2013
華杯賽小中組
B
卷)
5.牛吃草問題
基本公式:
(1)
設定一頭牛一天吃草量為“1”;
(2)草的生長速度=草量差÷時間差;
(3)原有草量=牛頭數×吃的天數-草的生長速度×吃的天數;
(4)吃的天數=原有草量÷(牛頭數-草的生長速度);
(5)牛頭數=原有草量÷吃的天數+草的生長速度。
例
一個大型的污水池存有一定量的污水,并有污水不斷流入,若安排
臺污水處理設備,36
天
可將池中的污水處理完;若安排
臺污水處理設備,27
天可將池中的污水處理完;若安排
臺污水處理設備,天可將池中的污水處理完。
(2016
希望杯四年級
試)
3-1
簡單圖形
常見問題
(1)
圖形分割
(2)線段問題
(3)圖形計數
(4)軸對稱問題
例
長方形
MNPQ
中,MN=
3,MQ=
4,過它的中心
O(對角線
MP
和
NQ的交點)畫一條直線,長方形
MNPQ
被分成兩個相同的圖形,它們的形狀分別是
.(2012
希望杯四年級
試)
例
A,B,C,D
四個點從左向右依次排在一條直線上,以這四個點為端點,可以組成6
條線段.已知這
條線段的長度分別是
12,18,30,32,44,62(單位:厘米),那么線段
BC的長度
是
厘米.(2013
希望杯四年級
試)
例
下圖由
個方格組成,其中含有
A的正方形有
個.
(2017
希望杯四年級
試)
例
如圖,在5×5的方格紙的20
個格點處各釘有
枚釘子,以這些釘子中的某四個為頂點用橡皮
筋圍成正方形,一共可以圍成個正方形.(2013
希望杯四年級
試)
例
如圖是
4×4的方格圖,有
個小正方形有陰影,若再將一個小正方形涂陰影,使方格圖成為
軸對稱圖形,則不同的涂法有
種.(2014
希望杯四年級
試)
3-2
幾何計算
1.角度問題
(1)角的分類:銳角、直角、鈍角、平角、周角。
(2)特殊三角形的分類:等腰三角形、等邊三角形那、直角三角形。
(3)直角等于
90°,平角等于
180°,周角等于
360°,三角形的內角和為
180°,四邊
形的內角和為
360°。
例
如圖,已知直線
AB
和
CD
交于點
O,若∠
AOC
=
°,∠
EOD
=60
°,則∠
AOE
=
°,∠BOC
=
°.
(2011
希望杯四年級
試)
2.巧求長方形周長
(1)基本公式:
①長方形的周長=2×(長+寬),面積=長×寬.
②正方形的周長=4×邊長,正方形的面積=邊長×邊長.
(2)對于基本的長方形和正方形圖形,可以直接用公式求出它們的周長和面積,對于一些
不規則的比較復雜的幾何圖形,我們可以采用轉化的數學思想方法割補成基本圖形,利用
長方形、正方形周長及面積計算的公式求解.
例
把一個邊長是
5cm的正方形紙片沿虛線分成5
個長方形,然后按照箭頭標記的方向和長度移
動其中的4
個長方形,則所得圖形的周長是
cm.(2017
希望杯四年級
試)
3.面積、周長轉化問題
常用轉化方法:
(1)平移;(2)割補;(3)對稱;(4)代換。
例
一個長方形的長和寬都增加
厘米后,面積增加了
平方厘米,則原長方形的周長是
厘米。
(2015
希望杯四年級
試)
4.格點面積問題
利用格點求圖形的面積通常有兩種思路,一是直接將圖形分成若干個面積單位,然后通過
計算有多少個面積單位來求圖形面積;二是將某些圖形轉化成長方形的面積來求。當然還可以
將這兩種方法結合起來,求出某些較復雜圖形的面積。
例
下圖由
5×4
個邊長為
1的小正方形組成,其中陰影部分的面積是
.
(2016
希望杯四年級
試)
5.正方形面積問題
正方形的面積=邊長×邊長=對角線×對角線÷2
例
如圖,陰影小正方形的邊長是
2,最外面的大正方形的邊長是
6,則
正方形
ABCD的面積是
.(2014
希望杯四年級
試)
3-3
立體圖形初步
1.正方體展開圖
正方體的平面展開圖中相對的兩個面的特點是:
相對的兩個面中間一定隔著一個小正方
形,且沒有公共的頂點,且相距最近。
通過正方體展開圖形找相對面,首先在同層中隔一面尋找,再在不同層中隔兩面尋找,剩下的兩面是相對的面。
2.立方體
正方體的特征
:
正方體有
個面,8
個頂點,12
條棱。
正方體
個面是大小相同的正方形,12
條棱長度相等。
正方體是特殊的長方體。
例
如圖,將數字
4,5,6
填入正方體的展開圖中,使正方體相對的兩個面上數字的和都相等,則
A
處應該填,B
處應該填,C
處應該填
.(2013
希望杯四年級
試)
例
將棱長為
米的正方體木塊分割成棱長為
厘米的小正方體積木,設想孫悟空施展神力將所
有的小積木一個接一個地疊放起來,成為一根長方體“神棒”,直指藍天.已知珠穆朗瑪峰的海
拔高度為
8844
米,則“神棒”的高度超過珠穆朗瑪峰的海拔高度
米.(2012
華杯賽小中組)
例
如圖所示,一只螞蟻從正方體的頂點
A
出發,沿正方體的棱爬到頂點
B,要求行走的路線最
短,那么螞蟻有
種不同的走法.(2012
華杯賽小中組
A
卷)
4-1
加乘原理
1.加法原理
一般地,如果完成一件事有
k
類方法,第一類方法中有
m1
種不同的做法,第二類方法中
有
m2
種不同的做法,……,第k
類方法中有
mk
種不同的做法,則完成這件事共有
m1+
m2+…
+mk
種不同的方法。
加法原理解題三部曲
1.完成一件事分類情況
2.類類獨立(每類都能單獨完成該件事)
3.類類相加
例
陽光小學四年級有
個班,各班分別有男生
人、20
人、16
人.從中任意選一人當升旗手,有多少種選法?
2.乘法原理
一般地,如果完成一件事可以分成n
個必要步驟,第一步有
m1
種不同的做法,第二步有
m2
種不同的做法,……,第n
步有
mn
種不同的做法,則完成這件事共有
m1×m2×…×mn
種不同的方法。
乘法原理解題三部曲
1.完成一件事分
n
個必要步驟
2.步步相關(每步都不能單獨完成該件事)
3.步步相乘
例
按照下表給出的詞造句,每句必須包括一個人,一個交通工具,以及一個目的地,請問可以
造出多少個不同的句子?
爸爸
乘
飛機
去
北京
媽媽
火車
拉薩
我汽車
臺北
例
希希去花店買花來裝飾客廳,花店里有
盆黃色的花,7
盆紅色的花,以及
盆粉色的花,希
希想從中選擇
盆不同顏色的話,那么她有多少種不同的選法?
例
用
0
–
這七個數字可組成多少個無重復數字的四位偶數?
例
甲、乙、丙、丁四人各有一個作業本混放在一起,四人每人隨便拿了一本,求滿足下列條件的拿法各有多少種:
(1)甲拿到自己的作業本;
(2)恰有一人拿到自己的作業本;
(3)至少有一人沒拿到自己的作業本;
(4)誰也沒有拿到自己的作業本.4-2
簡單數論
什么是數論
數論是純粹數學的分支之一,主要研究整數的性質,簡單說其實就是“有關數的理論”。
小
學階段的課本里可能并沒有把數論這個概念提出來,但是相關的知識卻無處不在。尤其是四年
級,同學們還沒有系統學習小數和分數之前,主要學習的就是整數的性質。對于整數的一些基
本性質,同學們要熟練掌握并靈活運用。如奇數、偶數、連續數、平均數,反序數,位值原理
等等。
例
個連續的自然數從小到大排列,若最后
個數的和比前
個數的和的2
倍大
15,則這
個
數中最小的數是。
(2017
四年級希望杯
試——第12
題)
例
有
個數,它們的平均數是
17,加入
個數后,平均數變成20,則加入的數是。
(2017
四年級希望杯
試——第2
題)
例
三位數
abc
與
cba
是一個三位反序數對(如
123
與
321,778
與
877)。如果三位反序數對中兩
個數的和是
1069,這樣的反序數對一共有
對。
(2015
四年級希望杯
試——第18
題)
例
某個兩位數的個位數字和十位數字的和是
12,個位數字和十位數字交換后所得兩位數比原數
小
36,則原數是
.(2011
四年級希望杯
試——第15
題)
例
如果
a
表示一個三位數,b
表示一個兩位數,那么
a+b
最小是,a+b
最大是,a
–
b
最小是,a
–
b
最大是
.(2012
四年級希望杯
試——第3
題)
知識精講
a
?
b
=
c......d
4-3
整除與余數
在這個除法算式中,整數
a
除以非零整數
b,商為整數
c,余數為
d。余數
d
=
0
時,我們稱
a
能被
b
整除,或
b
整除
a,記為
b|a,“|”是整除符號,同學們不妨先記起來。
在整除的情況下,稱
a
為
b的倍數,b
為
a的約數(或因數)。
能被整除的數的特征:
(1)被
整除的數:所有偶數都可以被
整除,即末
位是
0,2,4,6,8.(2)被
整除的數:一個整數的數字和能被
整除,這個整數可以被
整除。
(3)被
整除的數:末兩位可以被
整除的整數即可被
整除。
(4)被
整除的數:末位是
0
或
5的整數可以被
整除。
(5)被
整除的數:末三位可以被
整除的整數可以被
整除。
(6)被
整除的數:數字和能被
整除的整數可以被
整除。
(7)被
7,11,13
整除的數:因為
7×11×13=1001,所以用三位截斷法可判斷一個數是否
可以被這三個數整除。
在不能整除的除法中,就會產生余數。
同余定理:給定一個正整數
m,如果兩個整數
a
和
b
滿足
a-b
能夠被
m
整除,那么就稱
a
和
b
對模
m
同余,標記方式為
a
o
b
(mod
m)。
例
有一個除法算式,被除數和除數的和是
136,商是
7,則除數是
.(2015
四年級希望杯
試——第2
題)
例
為使下面算式中五個數的乘積的末尾有六個
0,□里的數最小是
.8×10×15×25×□
(2007
四年級希望杯
試——第3
題)
例
有一筐桃子,4
個
個地數,多
個;
個
個地數,多
個;
個
個地數,少
個.已知這筐
桃子的個數不少于
120,也不多于
150,則這筐桃子共有
個.(2012
四年級希望杯
試——第14
題)
例
在1
到
這
個數中,被
2,3,5
除都有非零的余數,且余數彼此不等的數有
個。
(2016
四年級希望杯
試——第15
題)
5-1
找規律
知識精講
找規律是小學數學和中學數學教學的基本技能,是為了讓學生發現、經歷、探究圖形或
數字簡單的排列規律,通過比較從而理解并掌握找規律的方法,培養學生初步的觀察、操
作、推理能力。
這類題型給出幾個具體的、特殊的數式或圖形,要求找出其中的變化規律,從而猜想出
一般性的結論.解題的思路是特殊向一般的簡化,具體方法和步驟是:
(1)通過對幾個特例的分析,尋找規律并且歸納;
(2)猜想符合規律的一般性結論;
(3)驗證或證明結論是否正確。
例
算式1×1+11×11+111×111+···+111…111(2010個1)×111…111(2010個1)的結果的末三位數
字是
.(2010四年級希望杯2試——第10題)
例
按照圖
中前
個圖中數的規律,在第5
個圖中填上適當的數.A=,B=
_,C=_,D=,E=,F=
.(2011
四年級希望杯
試——第7
題)
例
用
An
表示乘積
′
′
′?′
7的結果的個位數字,如:
A1=7,A2
=9,A3=3,…,則
n個7
A1+A2+A3+…+A2013=
.(2013
四年級希望杯
試——第21
題)
例
如圖,當
n=1
時,有
個小星星;
當
n=2
時,有
個小星星;
當
n=3
時,有
個小星星;
當
n=4
時,有
個小星星······
則當
n=10
時,有
個小星星.(2013
四年級希望杯
試——第3
題)
5-2
數學方法
1.最不利原則
有一類題目,會出現一些變化的量,需要我們求最值。這類題目屬于非常規問題,沒有統一的方法,對不同的題目要用不同的策略和方法。就具體的題目而言,大致可以從以下幾個方
面思考:
(1)尋找極端情形;
(2)分析推理——確定最值;
(3)枚舉比較——確定最值;
(4)估計并構造模型。
用這些分析方法時往往需要從最差的情況出發來分析問題,這就是最不利原則。
例
布袋中有
個彩球,每種顏色的球都有
個.蒙眼取球,要保證取出的球中有三個同色的球,至少要取出
個球.(2013
華杯賽小中組
B
卷)
例
在1
到
200
這
200
個自然數中任意選數,至少要選出多少個才能確保其中必有
個數的乘積等
于
238?
(2016
華杯賽小中組
A
卷)
2.抽屜原理
抽屜原則,又稱為鴿巢原理,最早由德國數學家狄利克雷提出,并在有關數論問題中得到
成功應用。
最簡單的抽屜原則是這樣:有
個物品放到兩個抽屜里時,肯定有一個抽屜里的物品至少是
個。因為
個物品的分配只能是這兩種情形:0
和
3,1
和
2.也就是說當一個抽
屜里有一個物品的時候,另一個抽屜里有兩個物品;當一個抽屜里沒有物品的時候,另一個抽
屜里有三個物品。抽屜原則的另一個應用是這樣:有
個物品放到兩個抽屜里的時候,肯定有
一個抽屜里沒有物品。
拓展到一般的情形,將
n+1
個物品放進
n
個抽屜里時,必定有一個抽屜里有兩個以上的物
品。將
n
個物品放進
n+1
個抽屜里,必定至少有一個抽屜里沒有物品。
利用抽屜原則的關鍵在于構造抽屜,從而把討論的范圍縮小,是問題變得簡單明確。而運
用抽屜原則解題的難點也在于抽屜的構造。要從問題出發分析,弄清要進行分類的元素特征及
規律,得到抽屜構造思路。
利用抽屜原則解題的一般步驟是:
(1)分析特征規律,構造抽屜;
(2)把元素放入所構造的抽屜中;
(3)運用抽屜原則,對問題進行分析討論。
例
將
個球分別放在三個盒子里,使盒子里球的個數彼此不同,那么,放球最多的盒子里最多可放
個球,至少要放
個球.(2012
四年級希望杯
試——第9
題)
3.容斥原理
在計數時,必須注意沒有重復,沒有遺漏。為了使重疊部分不被重復計算,人們研究出
一種新的計數方法,這種方法的基本思想是:先不考慮重疊的情況,把包含于某內容中的所
有對象的數目先計算出來,然后再把計數時重復計算的數目排斥出去,使得計算的結果即無
遺漏又無重復。這種計數的方法稱為容斥原理。
在容斥問題中經常會用到韋恩圖來快速解決問題。
例
在1~500
中不能被2
整除,也不能被3
整除,又不能被5整除的數有多少個?
(2018四年級希望杯培訓題)
5-3
邏輯與操作
1.邏輯問題
邏輯規律包括同一律、矛盾律、排中律和充足理由律四種。
(1)同一律即在同一思維過程中,每個思想必須保持其同一性。如:數
a
是質數,那么在整個推理過程中,a
都自始至終是質數,保持同一性。
(2)矛盾律是指在同一思維過程中,對同一思想不能自相矛盾。不能既真又假,即是又
非。如:在推理過程中若推出數
a
既是奇數又不是奇數就自相矛盾了。
(3)排中律指在同一思維過程中,兩個相互矛盾的思想,一個是真,另一個必假,不能同
時都真(或假)。如:自然數
a,它不可能既不是奇數,又不是偶數。假若做出了這樣的判斷,就違反了排中律。
(4)充足理由律是指在論證過程中,判斷某個事實為真時,必須有充足的理由。如:由條
件“自然數
a
不是合數”出發就做出了“
a
一定是質數”這一結論,就違反了充足理由律。因
為其間忽略了“
a
還可能是
1”的這種情況。
例
甲、乙、丙、丁、戊
人猜測全班個人學科總成績的前
名:
甲:“第1
名是
D,第5
名是
E.”
乙:“第2
名是
A,第4
名是
C.”
丙:“第3
名是
D,第4
名是
A.”
丁:“第1
名是
C,第3
名是
B.”
戊:“第2
名是
C,第4
名是
B.”
若每個人都是只猜對
個人的名次,且每個名次只有
個人猜對,則第1,2,3,4,5
名分別
是
.(2011
四年級一試)
(2011
四年級希望杯
試——第20
題)
2.操作問題
所謂操作問題,實際上是對某個事物按一定要求進行的一種變換,這種變換可以具體執行。
操作問題往往是求連續進行這種操作后可能得到的結果。常見的操作問題有以下幾類:
(1)與數字相關的操作問題;
(2)染色相關的操作問題;
(3)計數方面的操作問題。
例
A,B,C,D,4
個盒子中依次放有
8,6,3,1
個球.第1
個小朋友找到放球最少的盒子,然后從其
他盒子中各取一個球放入這個盒子;
第2
個小朋友也找到放球最少的盒子,然后也從其他盒子
中各取一個球放入這個盒子,……當第50
位小朋友放完后,A
盒中球的個數是
.(2012
四年級希望杯
試——第16
題)
例
黑板上寫著一個九位數
222222222,對它做如下操作:擦掉末位數后又乘
4,再加上剛擦去的數
字,然后在黑板上寫下得到的數;
……如此操作下去,直到在黑板上寫下的是一個一位數,那
么,它是
.(2014
四年級希望杯
試——第20
題)
例
堆桃子的個數分別是
93,70,63,一只猴子在3
堆桃子間搬運,已知猴子每次最多可搬
個桃子,并且在從一堆搬到另一堆的途中會吃掉
個,當
堆桃子個數相等時,猴子至少吃
掉了
個桃子.
(2016
四年級希望杯
試——第14
題)
例
亞瑟王在王宮中召見
名騎士,這些騎士中每個騎士恰好有
名朋友.他們圍著一張圓
桌坐下(騎士姓名與座位如圖),結果發現這種坐法,任意相鄰的兩名騎士恰好都是朋友.亞瑟
王想重新安排座位,那么亞瑟王有
種不同方法安排座位,使得每一個騎士都不與他的朋友相鄰
(旋轉以后相同的,算同一種方法).(2017
華杯賽小中組)