1-1

簡算巧算

四則運算的運算律

（1）交換律：

加法交換律用字母表示可以寫成.乘法交換律用字母表示可以寫成.（2）結合律：

加法結合律用字母表示可以寫成.乘法結合律用字母表示可以寫成.（3）分配律：

填空完成乘法分配律：

(a

+

b)′

c

=

(a

b)′

c

=

填空完成除法分配律：

(a

+

b)?

c

=

(a

b)?

c

=

（4）括號：

按照去括號規律完成這些去括號練習：

+

(25

37)

=

25′(4

?

5)

=



-(25

37)

=

125

?(5

?

4)

=

（5）帶符號搬家：

同級運算時，可以帶符號搬家。加、減法為第一級運算，乘、除法為第二級運算。

按照帶符號搬家的原則改寫下面的算式：

54′39

?

=

+

=

（6）平方差公式

a2

b2

=

（x

+

y)（x

y)

=

例

19+199+1999+19999+199999=

.（2008

希望杯四年級二試）

例

計算:4×37×25=

.（2013

希望杯四年級一試）

例

計算：2468×629÷(1234×37)＝

.(2015

希望杯四年級一試)

例

(7777+8888)÷5-(888-777)×3

=

.（2011

希望杯四年級一試）

例

計算:28×7×25＋12×7×25＋7×11×3＋44＝

.（2012

華杯賽決賽小中組）

例

計算[(55×45

–

37×43)

–

(3×221+1)]÷22=

.(2015

希望杯四年級二試)

1-2

等差數列

1.字母表示數

（1）用字母表示數能夠簡明表示出事物的規律和特征，如：

正方形的邊長為

a，周長可表示為，面積可表示為

.（2）同一個問題中，不同的數要用不同的字母表示，如：

長方形的長為

m，寬為

n，長方形的周長可表示為，面積可表示為

.含有字母的乘法中，乘號“×”寫作“·

”，或省略不寫，一般要把數值寫在字母的前

面。

用正確的寫法改寫下面的算式：

a×b×c

=

=

p×q

=

=

m×12×n

=

=

a×3×5=

=

2.定義新運算

定義新運算是一種特別設計的計算形式，它使用一些特殊的符號，并給這些符號一個新的運算含義。

使用特殊符號是為了避免和熟悉的運算符號產生混淆。

例

定義

a

?

b

=

a

+

b

+

ab，則

(2

?

3)

?

4的值為

.（2015

希望杯四年級一試）

3.簡單方程

方程是含有未知數的等式。等式又分為恒等式和非恒等式。可用任意數值代替式子中的字

母，等式永遠成立的等式是恒等式。

按照方程的概念填空：

a+b=b+a，2x－1=7，m×n=n×m，m＋5=m－5，6÷p

=1，3×a+3

其中，屬于方程的有：

.解方程的關鍵是等號兩邊要同時做相同的計算，等號左邊＋3，右邊也要同時＋3，左邊×

5，右邊也要×5.嘗試解下列方程：

x+5=8

x-5=8

x÷5=8

5x=80

(x+5)÷8=8

5x+8=33

x÷7

–

2=3

(x

–

3)×6=36

例

如果

8×(2＋1÷x)＝18，則

x＝

_.（2017

希望杯四年級一試）

4.等差數列

（1）等差數列的概念：

一列數，如果從第二項開始，后一項與前一項的差是同一個常數，我們就稱這個數列為

等差數列。這個常數被稱之為公差。這個數列的第一個數也就是第一項被稱之為首項，最后一

個數被稱之為末項。

判斷下面這些數列是否為等差數列：

1,2,3,4,5，……，99,100,101

1,3,5,7，……，97,99,101

1,4,8,13,19,26,34,43,53,64,76，（（（）））

（2）等差數列求和公式：

等差數列的和

=（首項+末項）×項數÷2

①

等差數列的和

=

項數×首項

+

項數×（項數－1）×公差÷2

②

用這個等差數列嘗試自己推導等差數列求和公式①：

1+3+5+7+9+…+99+101+103=

例

計算:1

–

3+5

–

7+

–

11+13

–…–

39+41=

.(2009

希望杯四年級二試)

1-3

數謎

1.數字謎

數字謎解題方法歸納：

（1）末位分析法；

（2）進位分析法；

（3）借位分析法；

（4）余數分析和位數分析；

（5）綜合分析法.例

如圖所示，5

個相同的兩位數

AB

相加得兩位數

MB，其中相同的字母表示相同的數字，不同的字母表示不同的數字，則

AB

=

.

（2012

希望杯

試）

例

“熊大”ד熊二”=“熊兄弟”.若相同的漢字代表

0

至

中的相同數字，不同的漢字代表不同的數

字，且“大”＞“二”，則所有滿足條件的“熊兄弟”代表的三位數之和是

.（2013

華杯賽小中組

B

卷）

2.數陣圖

（1）數陣圖分類：輻射型，封閉型，復合型

（2）數陣圖問題本質：在數陣中填入可保證特定線上（特定區域內）的數的之間的關系。

（3）解題關鍵：

區分普通位和關鍵位

→確定特定線（區域）計算線和及數和

→判斷關鍵位可填入的數

→運用已有信息進行嘗試

例

將

到

這

個自然數排成如圖的形狀，使每條斜線上的4

個數的和相等，則

a-b-c+d+e+f-

g=

.（2013

希望杯

試）

例

將六個數

1，3，5，7，9，11

分別填入下圖中的圓圈內（每個圓圈內僅填一個數），使每邊

上三個數的和都等于

19，則三角形三個頂點處的圓圈內所填三數之和為

.（2012

華杯賽小中組

B

卷）

2-1

時間相關問題

1.日歷問題

（1）能被

整除同時不能被

整除或者能被

400

整除的年份為閏年。四年一閏，百年不

閏，四百年再閏。閏年有

366

天，非閏年有

365

天。

（2）1、3、5、7、8、10、12

月有

天，4、6、9、11

有

天，閏年

月

天，非閏年

月

天。

（3）一周7

天，7

天為一個周期。

很多時候日歷問題都可以用周期問題或余數問題來思考。

例

如果今天是星期五，那么從今天算起，57

天后的第一天是星期

.（2012

希望杯

試）

2.時間問題

鐘面上的時針、分針所在的某一特定位置時的那一瞬間是時刻（時刻是從鐘面看出來的）；

從一個時刻到另一個時刻之間經過的間隔是時間（時間是計算出來的），終止時刻-起始時刻=

經過的時間。

時間單位：時、分、秒（年、月、日等）。

計時法有兩種：12

時計時法和

時計時法。

天=24

小時，1

小時=60

分鐘=3600

秒，1

分鐘=60

秒。

例

如圖所示的電子鐘可顯示從

00:00:00

到

23:59:59的時間，在一晝夜內(24

小時)鐘表上顯示的時間恰好由數字

1，2，3，4，5，6

組成的共有

秒.（2012

希望杯

試）

例

12:00的時候時針和分針的夾角是

0°，此后時針和分針第6

次成90°夾角的時刻是

:

.（12

小時制）

（2013

希望杯

試）

3.年齡問題

年齡問題通常以和倍、差倍或者和差等問題的形式出現。有些年齡問題往往是和、差、倍

數等問題的綜合，需要靈活的加以解決。

解答年齡問題，要靈活運用以下三條規律：

（1）無論是哪一年，兩人的年齡差總是不變的；

（2）隨著時間的向前或向后推移，幾個人的年齡總是在減少或增加相等的數量。（你長我也長）

（3）隨著時間的變化，兩人的年齡之間的倍數關系也會發生變化。（倍數隨年齡的增加而

變小）

例

今年，李林和他爸爸的年齡的和是

歲，4

年后，他爸爸的年齡比他的年齡的3

倍小

歲，則李林的爸爸比他大

歲.（2011

希望杯

試）

例

今年丹丹

歲，丹丹的爸爸

歲，a

年后，爸爸年齡是丹丹年齡的3

倍，則

a的值是

.（2016

希望杯

試）

2-2

行程問題初步

行程問題的常用公式

（1）基本公式：速度×時間=路程

（2）相遇問題

：速度和×相遇時間=相遇路程

（3）

追及問題

：速度差×追及時間=相差路程

（4）火車過橋

：橋長＋車長=路程

速度×過橋時間=路程

（5）

流水行船

：順水船速=船速＋水速=逆水船速＋水速×2

例

小東和小榮同時從甲地出發到乙地.小東每分鐘行

米，小榮每分鐘行

米.小榮到達乙地

后立即返回.若兩人從出發到相遇用了

分鐘，則甲、乙兩地相距

米.（2014

希望杯

試）

例

甲、乙兩個機器人分別從

A、B

兩點同時、同向出發，甲到達

B

點時，乙走了

288

米，甲追

上乙時，乙走了

336

米，則

A、B

兩點間的距離是

米．

（2016

希望杯

試）

例

一個車隊以

米/秒的速度緩慢通過一座長

298

米的大橋，共用

115

秒，已知每輛車長

米，相臨兩車間隔

米，則這個車隊一共有

輛車.（2012

華杯賽小中組

A

卷）

例

一條河上有

A，B

兩個碼頭，A

在上游，B

在下游.甲、乙兩人分別從

A，B

同時出發，劃船相

向而行，4

小時后相遇.如果甲、乙兩人分別從

A，B

同時出發，劃船同向而行，乙

小時后

追上甲.已知甲在靜水中劃船的速度為每小時

千米，則乙在靜水中劃船每小時行駛

千米.（2015

華杯賽小中組）

例

有一座高樓，小紅每登上一層需

1.5

分鐘，每走下一層需半分鐘，她從上午

8:45

開始不停地

從底層往上走，到了最高層后立即往下走，中途也不停留，上午

9:17

第一次返回底層，則這

座樓共有

層.（2008

希望杯

試）

例

如圖，一個邊長為

米的正方形圍墻，甲、乙兩人分別從

A，C

沿圍墻按順時針方向同時出

發，已知甲每秒走

米，乙每秒走

米，至少經過

秒甲、乙在同一條邊上．

（2010

希望杯

試）

例

甲、乙兩人在一條長

120

米的直路上來回跑，甲的速度是

米/秒，乙的速度是

米/秒.若他們同時從同一端出發跑了

分鐘，則他們在這段時間內共迎面相遇

次（端點

除外）.（2016

華杯賽小中組

A

卷）

2-3

典型應用題綜合1.基本應用題

一般復合應用題往往是有兩組或兩組以上的數量關系交織在一起，有的已知條件是間接的，數量關系比較復雜，敘述的方式和順序也比較多樣。因此，一般應用題沒有明顯的結構特征和

解題規律可循。

解答一般應用題時，可以借助線段圖、示意圖、直觀演示手段幫助分析。在分析應用題的數量關系時，我們可以從條件出發，逐步推出所求問題（綜合法）；也可以從問題出發，找出

必須的兩個條件（分析法）。在實際解時，可以根據題中的已知條件，靈活運用這兩種方法。

例

甲、乙、丙

人一起購買學習用品．已知甲和乙共支付了

元，乙和丙共支付了

元，甲

和丙共支付了

元，那么，甲支付了

元．

（2016

希望杯四年級

試）

2.和差倍應用題

和差問題

和倍問題

差倍問題

已知條件

幾個數的和與差

幾個數的和與倍數

幾個數的差與倍數

公式

(和－差)÷2=較小數

(和＋差)÷2=較大數

和÷(倍數＋1)=較小數

差÷(倍數-1)=較小數

例

甲、乙兩個油桶中共有

千克油，將乙桶中的15

千克油注入甲桶，此時甲桶中的油是乙

桶中的油的4

倍.那么，原來甲桶中的油比乙桶中的油多

千克．

（2014

希望杯四年級

試）

3.盈虧問題

一定數量的物品分給一定數量的人，每人多一些，物品就不夠；每人少一些，物品就有余。

盈虧問題就是在已知的情況下確定物品總數和參加分配的人數。解答盈虧問題的關鍵是弄清盈、虧與兩次分得的關系。

盈虧問題的數量關系是：

（1）（盈+虧）÷兩次分配差=份數

（大盈—小盈）÷兩次分配差=份數

（大虧—小虧）÷兩次分配差=份數

（2）每次分的數量×份數+盈=總數量

每次分的數量×份數—虧=總數量

例

某地希望杯組委會給當地參加希望杯考試的考生安排考場，每個考場

名考生，則會余下

名考生獨用一個考場；每個考場

名考生，則會余下

名考生獨用一個考場，并且要比前

一種方案多用

個考場。則該地區參加考試的考生有

名。

（2015

希望杯四年級

試）

4.雞兔同籠問題

解雞兔同籠問題的基本關系式是：

（1）

如果假設全是兔，則有：

雞數=（每只兔子腳數×雞兔總數-實際腳數）÷（每只兔子腳數-每只雞的腳數）

兔數=雞兔總數-雞數

（2）

如果假設全是雞，那么就有：

兔數=（實際腳數-每只雞腳數×雞兔總數）÷（每只兔子腳數-每只雞的腳數）

雞數=雞兔總數-兔數

例

雞兔同籠，共有

個頭，兔腳的數目比雞腳的數目的10

倍少

只，那么兔有

只.（2013

華杯賽小中組

B

卷）

5.牛吃草問題

基本公式:

（1）

設定一頭牛一天吃草量為“1”；

（2）草的生長速度＝草量差÷時間差；

（3）原有草量＝牛頭數×吃的天數－草的生長速度×吃的天數；

（4）吃的天數＝原有草量÷（牛頭數－草的生長速度）；

（5）牛頭數＝原有草量÷吃的天數＋草的生長速度。

例

一個大型的污水池存有一定量的污水，并有污水不斷流入，若安排

臺污水處理設備，36

天

可將池中的污水處理完；若安排

臺污水處理設備，27

天可將池中的污水處理完；若安排

臺污水處理設備，天可將池中的污水處理完。

（2016

希望杯四年級

試）

3-1

簡單圖形

常見問題

（1）

圖形分割

（2）線段問題

（3）圖形計數

（4）軸對稱問題

例

長方形

MNPQ

中，MN=

3，MQ=

4，過它的中心

O(對角線

MP

和

NQ的交點)畫一條直線，長方形

MNPQ

被分成兩個相同的圖形，它們的形狀分別是

.（2012

希望杯四年級

試）

例

A，B，C，D

四個點從左向右依次排在一條直線上，以這四個點為端點，可以組成6

條線段.已知這

條線段的長度分別是

12，18，30，32，44，62(單位：厘米)，那么線段

BC的長度

是

厘米.（2013

希望杯四年級

試）

例

下圖由

個方格組成，其中含有

A的正方形有

個.

（2017

希望杯四年級

試）

例

如圖，在5×5的方格紙的20

個格點處各釘有

枚釘子，以這些釘子中的某四個為頂點用橡皮

筋圍成正方形，一共可以圍成個正方形.（2013

希望杯四年級

試）

例

如圖是

4×4的方格圖，有

個小正方形有陰影，若再將一個小正方形涂陰影，使方格圖成為

軸對稱圖形，則不同的涂法有

種.（2014

希望杯四年級

試）

3-2

幾何計算

1.角度問題

（1）角的分類：銳角、直角、鈍角、平角、周角。

（2）特殊三角形的分類：等腰三角形、等邊三角形那、直角三角形。

（3）直角等于

90°，平角等于

180°，周角等于

360°，三角形的內角和為

180°，四邊

形的內角和為

360°。

例

如圖，已知直線

AB

和

CD

交于點

O，若∠

AOC

=

°，∠

EOD

=60

°，則∠

AOE

=

°，∠BOC

=

°.

（2011

希望杯四年級

試）

2.巧求長方形周長

（1）基本公式：

①長方形的周長=2×(長+寬)，面積=長×寬．

②正方形的周長=4×邊長，正方形的面積=邊長×邊長．

（2）對于基本的長方形和正方形圖形，可以直接用公式求出它們的周長和面積，對于一些

不規則的比較復雜的幾何圖形，我們可以采用轉化的數學思想方法割補成基本圖形，利用

長方形、正方形周長及面積計算的公式求解．

例

把一個邊長是

5cm的正方形紙片沿虛線分成5

個長方形，然后按照箭頭標記的方向和長度移

動其中的4

個長方形，則所得圖形的周長是

cm.（2017

希望杯四年級

試）

3.面積、周長轉化問題

常用轉化方法：

（1）平移；（2）割補；（3）對稱；（4）代換。

例

一個長方形的長和寬都增加

厘米后，面積增加了

平方厘米，則原長方形的周長是

厘米。

（2015

希望杯四年級

試）

4.格點面積問題

利用格點求圖形的面積通常有兩種思路，一是直接將圖形分成若干個面積單位，然后通過

計算有多少個面積單位來求圖形面積；二是將某些圖形轉化成長方形的面積來求。當然還可以

將這兩種方法結合起來，求出某些較復雜圖形的面積。

例

下圖由

5×4

個邊長為

1的小正方形組成，其中陰影部分的面積是

．

（2016

希望杯四年級

試）

5.正方形面積問題

正方形的面積=邊長×邊長=對角線×對角線÷2

例

如圖，陰影小正方形的邊長是

2，最外面的大正方形的邊長是

6，則

正方形

ABCD的面積是

.（2014

希望杯四年級

試）

3-3

立體圖形初步

1.正方體展開圖

正方體的平面展開圖中相對的兩個面的特點是：

相對的兩個面中間一定隔著一個小正方

形，且沒有公共的頂點，且相距最近。

通過正方體展開圖形找相對面，首先在同層中隔一面尋找，再在不同層中隔兩面尋找，剩下的兩面是相對的面。

2.立方體

正方體的特征

：

正方體有

個面，8

個頂點，12

條棱。

正方體

個面是大小相同的正方形，12

條棱長度相等。

正方體是特殊的長方體。

例

如圖，將數字

4，5，6

填入正方體的展開圖中，使正方體相對的兩個面上數字的和都相等，則

A

處應該填，B

處應該填，C

處應該填

.（2013

希望杯四年級

試）

例

將棱長為

米的正方體木塊分割成棱長為

厘米的小正方體積木，設想孫悟空施展神力將所

有的小積木一個接一個地疊放起來，成為一根長方體“神棒”，直指藍天.已知珠穆朗瑪峰的海

拔高度為

8844

米，則“神棒”的高度超過珠穆朗瑪峰的海拔高度

米.（2012

華杯賽小中組）

例

如圖所示，一只螞蟻從正方體的頂點

A

出發，沿正方體的棱爬到頂點

B，要求行走的路線最

短，那么螞蟻有

種不同的走法.（2012

華杯賽小中組

A

卷）

4-1

加乘原理

1.加法原理

一般地，如果完成一件事有

k

類方法，第一類方法中有

m1

種不同的做法，第二類方法中

有

m2

種不同的做法，……，第k

類方法中有

mk

種不同的做法，則完成這件事共有

m1+

m2+…

+mk

種不同的方法。

加法原理解題三部曲

1.完成一件事分類情況

2.類類獨立（每類都能單獨完成該件事）

3.類類相加

例

陽光小學四年級有

個班，各班分別有男生

人、20

人、16

人.從中任意選一人當升旗手，有多少種選法？

2.乘法原理

一般地，如果完成一件事可以分成n

個必要步驟，第一步有

m1

種不同的做法，第二步有

m2

種不同的做法，……，第n

步有

mn

種不同的做法，則完成這件事共有

m1×m2×…×mn

種不同的方法。

乘法原理解題三部曲

1.完成一件事分

n

個必要步驟

2.步步相關（每步都不能單獨完成該件事）

3.步步相乘

例

按照下表給出的詞造句，每句必須包括一個人，一個交通工具，以及一個目的地，請問可以

造出多少個不同的句子？

爸爸

乘

飛機

去

北京

媽媽

火車

拉薩

我汽車

臺北

例

希希去花店買花來裝飾客廳，花店里有

盆黃色的花，7

盆紅色的花，以及

盆粉色的花，希

希想從中選擇

盆不同顏色的話，那么她有多少種不同的選法？

例

用

0

–

這七個數字可組成多少個無重復數字的四位偶數？

例

甲、乙、丙、丁四人各有一個作業本混放在一起，四人每人隨便拿了一本，求滿足下列條件的拿法各有多少種：

（1）甲拿到自己的作業本；

（2）恰有一人拿到自己的作業本；

（3）至少有一人沒拿到自己的作業本；

（4）誰也沒有拿到自己的作業本.4-2

簡單數論

什么是數論

數論是純粹數學的分支之一，主要研究整數的性質，簡單說其實就是“有關數的理論”。

小

學階段的課本里可能并沒有把數論這個概念提出來，但是相關的知識卻無處不在。尤其是四年

級，同學們還沒有系統學習小數和分數之前，主要學習的就是整數的性質。對于整數的一些基

本性質，同學們要熟練掌握并靈活運用。如奇數、偶數、連續數、平均數，反序數，位值原理

等等。

例

個連續的自然數從小到大排列，若最后

個數的和比前

個數的和的2

倍大

15，則這

個

數中最小的數是。

（2017

四年級希望杯

試——第12

題）

例

有

個數，它們的平均數是

17，加入

個數后，平均數變成20，則加入的數是。

（2017

四年級希望杯

試——第2

題）

例

三位數

abc

與

cba

是一個三位反序數對（如

123

與

321，778

與

877）。如果三位反序數對中兩

個數的和是

1069，這樣的反序數對一共有

對。

（2015

四年級希望杯

試——第18

題）

例

某個兩位數的個位數字和十位數字的和是

12,個位數字和十位數字交換后所得兩位數比原數

小

36,則原數是

.（2011

四年級希望杯

試——第15

題）

例

如果

a

表示一個三位數,b

表示一個兩位數,那么

a+b

最小是,a+b

最大是,a

–

b

最小是,a

–

b

最大是

.（2012

四年級希望杯

試——第3

題）

知識精講

a

?

b

=

c......d



4-3

整除與余數

在這個除法算式中，整數

a

除以非零整數

b，商為整數

c，余數為

d。余數

d

=

0

時，我們稱

a

能被

b

整除，或

b

整除

a，記為

b|a，“|”是整除符號，同學們不妨先記起來。

在整除的情況下，稱

a

為

b的倍數，b

為

a的約數（或因數）。

能被整除的數的特征：

（1）被

整除的數：所有偶數都可以被

整除，即末

位是

0,2,4,6,8.（2）被

整除的數：一個整數的數字和能被

整除，這個整數可以被

整除。

（3）被

整除的數：末兩位可以被

整除的整數即可被

整除。

（4）被

整除的數：末位是

0

或

5的整數可以被

整除。

（5）被

整除的數：末三位可以被

整除的整數可以被

整除。

（6）被

整除的數：數字和能被

整除的整數可以被

整除。

（7）被

7,11,13

整除的數：因為

7×11×13=1001，所以用三位截斷法可判斷一個數是否

可以被這三個數整除。

在不能整除的除法中，就會產生余數。

同余定理：給定一個正整數

m，如果兩個整數

a

和

b

滿足

a－b

能夠被

m

整除，那么就稱

a

和

b

對模

m

同余，標記方式為

a

o

b

（mod

m）。

例

有一個除法算式，被除數和除數的和是

136，商是

7，則除數是

.（2015

四年級希望杯

試——第2

題）

例

為使下面算式中五個數的乘積的末尾有六個

0,□里的數最小是

.8×10×15×25×□

（2007

四年級希望杯

試——第3

題）

例

有一筐桃子,4

個

個地數,多

個;

個

個地數,多

個;

個

個地數,少

個.已知這筐

桃子的個數不少于

120,也不多于

150,則這筐桃子共有

個.（2012

四年級希望杯

試——第14

題）

例

在1

到

這

個數中，被

2，3，5

除都有非零的余數，且余數彼此不等的數有

個。

（2016

四年級希望杯

試——第15

題）

5-1

找規律

知識精講

找規律是小學數學和中學數學教學的基本技能，是為了讓學生發現、經歷、探究圖形或

數字簡單的排列規律，通過比較從而理解并掌握找規律的方法，培養學生初步的觀察、操

作、推理能力。

這類題型給出幾個具體的、特殊的數式或圖形，要求找出其中的變化規律，從而猜想出

一般性的結論.解題的思路是特殊向一般的簡化，具體方法和步驟是：

（1）通過對幾個特例的分析，尋找規律并且歸納；

（2）猜想符合規律的一般性結論；

（3）驗證或證明結論是否正確。

例

算式1×1+11×11+111×111+···+111…111（2010個1）×111…111（2010個1）的結果的末三位數

字是

.（2010四年級希望杯2試——第10題）

例

按照圖

中前

個圖中數的規律,在第5

個圖中填上適當的數.A=,B=

_,C=_,D=,E=,F=

.（2011

四年級希望杯

試——第7

題）

例

用

An

表示乘積

′

′

′?′

7的結果的個位數字,如:

A1=7,A2

=9,A3=3,…,則

n個7

A1+A2+A3+…+A2013=

.（2013

四年級希望杯

試——第21

題）

例

如圖,當

n=1

時,有

個小星星;

當

n=2

時,有

個小星星;

當

n=3

時,有

個小星星;

當

n=4

時,有

個小星星······

則當

n=10

時,有

個小星星.（2013

四年級希望杯

試——第3

題）

5-2

數學方法

1.最不利原則

有一類題目，會出現一些變化的量，需要我們求最值。這類題目屬于非常規問題，沒有統一的方法，對不同的題目要用不同的策略和方法。就具體的題目而言，大致可以從以下幾個方

面思考：

（1）尋找極端情形；

（2）分析推理——確定最值；

（3）枚舉比較——確定最值；

（4）估計并構造模型。

用這些分析方法時往往需要從最差的情況出發來分析問題，這就是最不利原則。

例

布袋中有

個彩球,每種顏色的球都有

個.蒙眼取球,要保證取出的球中有三個同色的球,至少要取出

個球.（2013

華杯賽小中組

B

卷）

例

在1

到

200

這

200

個自然數中任意選數,至少要選出多少個才能確保其中必有

個數的乘積等

于

238？

（2016

華杯賽小中組

A

卷）

2.抽屜原理

抽屜原則，又稱為鴿巢原理，最早由德國數學家狄利克雷提出，并在有關數論問題中得到

成功應用。

最簡單的抽屜原則是這樣：有

個物品放到兩個抽屜里時，肯定有一個抽屜里的物品至少是

個。因為

個物品的分配只能是這兩種情形：0

和

3,1

和

2.也就是說當一個抽

屜里有一個物品的時候，另一個抽屜里有兩個物品；當一個抽屜里沒有物品的時候，另一個抽

屜里有三個物品。抽屜原則的另一個應用是這樣：有

個物品放到兩個抽屜里的時候，肯定有

一個抽屜里沒有物品。

拓展到一般的情形，將

n+1

個物品放進

n

個抽屜里時，必定有一個抽屜里有兩個以上的物

品。將

n

個物品放進

n+1

個抽屜里，必定至少有一個抽屜里沒有物品。

利用抽屜原則的關鍵在于構造抽屜，從而把討論的范圍縮小，是問題變得簡單明確。而運

用抽屜原則解題的難點也在于抽屜的構造。要從問題出發分析，弄清要進行分類的元素特征及

規律，得到抽屜構造思路。

利用抽屜原則解題的一般步驟是：

（1）分析特征規律，構造抽屜；

（2）把元素放入所構造的抽屜中；

（3）運用抽屜原則，對問題進行分析討論。

例

將

個球分別放在三個盒子里,使盒子里球的個數彼此不同,那么,放球最多的盒子里最多可放

個球,至少要放

個球.（2012

四年級希望杯

試——第9

題）

3.容斥原理

在計數時，必須注意沒有重復，沒有遺漏。為了使重疊部分不被重復計算，人們研究出

一種新的計數方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內容中的所

有對象的數目先計算出來，然后再把計數時重復計算的數目排斥出去，使得計算的結果即無

遺漏又無重復。這種計數的方法稱為容斥原理。

在容斥問題中經常會用到韋恩圖來快速解決問題。

例

在1~500

中不能被2

整除，也不能被3

整除，又不能被5整除的數有多少個?

（2018四年級希望杯培訓題）

5-3

邏輯與操作

1.邏輯問題

邏輯規律包括同一律、矛盾律、排中律和充足理由律四種。

（1）同一律即在同一思維過程中，每個思想必須保持其同一性。如：數

a

是質數，那么在整個推理過程中，a

都自始至終是質數，保持同一性。

（2）矛盾律是指在同一思維過程中，對同一思想不能自相矛盾。不能既真又假，即是又

非。如：在推理過程中若推出數

a

既是奇數又不是奇數就自相矛盾了。

（3）排中律指在同一思維過程中，兩個相互矛盾的思想，一個是真，另一個必假，不能同

時都真（或假）。如：自然數

a，它不可能既不是奇數，又不是偶數。假若做出了這樣的判斷，就違反了排中律。

（4）充足理由律是指在論證過程中，判斷某個事實為真時，必須有充足的理由。如：由條

件“自然數

a

不是合數”出發就做出了“

a

一定是質數”這一結論，就違反了充足理由律。因

為其間忽略了“

a

還可能是

1”的這種情況。

例

甲、乙、丙、丁、戊

人猜測全班個人學科總成績的前

名:

甲:“第1

名是

D,第5

名是

E.”

乙:“第2

名是

A,第4

名是

C.”

丙:“第3

名是

D,第4

名是

A.”

丁:“第1

名是

C,第3

名是

B.”

戊:“第2

名是

C,第4

名是

B.”

若每個人都是只猜對

個人的名次,且每個名次只有

個人猜對,則第1,2,3,4,5

名分別

是

.（2011

四年級一試）

（2011

四年級希望杯

試——第20

題）

2.操作問題

所謂操作問題，實際上是對某個事物按一定要求進行的一種變換，這種變換可以具體執行。

操作問題往往是求連續進行這種操作后可能得到的結果。常見的操作問題有以下幾類：

（1）與數字相關的操作問題；

（2）染色相關的操作問題；

（3）計數方面的操作問題。

例

A,B,C,D,4

個盒子中依次放有

8,6,3,1

個球.第1

個小朋友找到放球最少的盒子,然后從其

他盒子中各取一個球放入這個盒子;

第2

個小朋友也找到放球最少的盒子,然后也從其他盒子

中各取一個球放入這個盒子,……當第50

位小朋友放完后,A

盒中球的個數是

.（2012

四年級希望杯

試——第16

題）

例

黑板上寫著一個九位數

222222222,對它做如下操作:擦掉末位數后又乘

4,再加上剛擦去的數

字,然后在黑板上寫下得到的數;

……如此操作下去,直到在黑板上寫下的是一個一位數,那

么,它是

.（2014

四年級希望杯

試——第20

題）

例

堆桃子的個數分別是

93，70，63，一只猴子在3

堆桃子間搬運，已知猴子每次最多可搬

個桃子，并且在從一堆搬到另一堆的途中會吃掉

個，當

堆桃子個數相等時，猴子至少吃

掉了

個桃子．

（2016

四年級希望杯

試——第14

題）

例

亞瑟王在王宮中召見

名騎士,這些騎士中每個騎士恰好有

名朋友.他們圍著一張圓

桌坐下（騎士姓名與座位如圖）,結果發現這種坐法,任意相鄰的兩名騎士恰好都是朋友.亞瑟

王想重新安排座位,那么亞瑟王有

種不同方法安排座位,使得每一個騎士都不與他的朋友相鄰

(旋轉以后相同的,算同一種方法).（2017

華杯賽小中組）