第十二章

富里埃級數

§1

富里埃級數

一

富里埃（Fourier）級數的引進

定義：設是上以為周期的函數，且在上絕對可積，稱形如的函數項級數為的Fourier級數(的Fourier展開式)，其中，稱為的Fourier系數，記為

說明

1）在未討論收斂性，證明一致收斂到之前，不能將“~”改為“=”；此處“~”也不包含“等價”之意，而僅僅表示是的Fourier級數，或者說的Fourier級數是。

2)

要求上的Fourier級數，只須求出Fourier系數。

二

富里埃級數收斂性的判別

1.Riemann（黎曼）引理

設在（有界或無界）區間上絕對可積，則，.推論

在上絕對可積函數的Fourier系數；

2.Fourier級數收斂的充要條件

定理1

和,使得當時成立

其中.3.Fourier級數收斂的Dini判別法

推論:

設在上除去有限點外存在有界導數,則的Fourier級數點點收斂,且

特別地,是的連續點時，即

例:

設是以為周期的函數，其在上可表示為,判定的Fourier級數的收斂性.例：設是以為周期的函數,其在上等于,判定的Fourier級數的收斂性

例：

4.Jordan判別法

設在上單調(或有界變差)，則。

例：設是以為周期的函數，其在上可表示為,求的Fourier展開式。

計算的Fourier系數的積分也可以沿別的長度為的區間來積.如，例：

設是以為周期的函數,其在上等于,求的Fourier級數.如果僅定義在長為的區間上,例如定義在上,此時不是周期函數,從而不能按上述方法展開為Fourier級數.但可對在外補充定義,使其以為周期,如定義,它有下述性質:

a)

時,；

b)

以為周期.例

:

三

正弦級數和余弦級數

定義

形如的三角級數(函數項級數)稱為正弦級數;形如的三角級數（函數項級數）稱為余弦級數.2

如果是以為周期的函數,在上絕對可積,若是奇函數,則有；若是偶函數,則有.3設僅在上有定義,如果按奇函數的要求,補充定義,然后再作周期延拓,必得奇函數,所得Fourier級數必為正弦級數.對應地,補充定義后,再作周期延拓,必得偶函數,所得Fourier級數必為余弦級數。

例:),將展開成余弦函數。

例：將在上展開為余弦級數。

四

一般周期函數的Fourier級數

設是周期為的函數,且在上絕對可積,則有,其中，例:

求的Fourier展開式.五

Fourier級數的復數表示形式

設,則其復數表示形式為,其中,復的Fourier系數.§2

富里埃變換

一

富里埃變換的概念

設在內絕對可積。

定義1

稱是的富里埃變換，并把它記為或。即。

富里埃變換的性質

（i）是內的連續函數；

（ii）。

定義2

稱是的富里埃逆變換。又稱

是的富里埃變換積分公式。

例：

求衰減函數的富里埃變換。

例：

求函數的富里埃變換和富里埃變換積分公式。

二

富里埃變換的一些性質

富里埃變換有一些簡單的性質，這些性質在偏微分方程和概率論等課程中有著很重要的應用。

性質1（線性），其中是兩個任意給定的常數。

性質2（平移）對任何，設，那么。

性質3（導數）設，則。

性質4。

第十三章

多元函數的極限和連續性

§1、平面點集

一

鄰域、點列的極限

定義1

在平面上固定一點，凡是與的距離小于的那些點組成的平面點集，叫做的鄰域，記為。

定義2

設。如果對的任何一個鄰域，總存在正整數，當時，有。就稱點列收斂，并且收斂于，記為或。

性質：（1）。

（2）若收斂，則它只有一個極限，即極限是唯一的。

二

開集、閉集、區域

設是一個平面點集。

1．內點：設，如果存在的一個鄰域，使得，就稱是的內點。

2．外點：設，若存在的一個鄰域，使，就稱是的外點。

3．邊界點：設是平面上一點，它可以屬于，也可以不屬于，如果對的任何鄰域，其中既有的點，又有非中的點，就稱是的邊界點。的邊界點全體叫做的邊界。

4．開集：如果的點都是的內點，就稱是開集。

5．聚點：設是平面上的一點，它可以屬于，也可以不屬于，如果對的任何鄰域，至少含有中一個（不等于的）點，就稱是的聚點。

性質：設是的聚點，則在中存在一個點列以為極限。

6．閉集：設的所有聚點都在內，就稱是閉集。

7．區域：設是一個開集，并且中任何兩點和之間都可以用有限條直線段所組成的折線連接起

來，而這條折線全部含在中，就稱是區域。一個區域加上它的邊界就是一個閉區域。

三

平面點集的幾個基本定理

1．矩形套定理：設是矩形序列，其中每一個矩形都含在前一個矩形中，并且，那么存在唯一的點屬于所有的矩形。

2.致密性定理：如果序列有界，那么從其中必能選取收斂的子列。

3.有限覆蓋定理：若一開矩形集合覆蓋一有界閉區域。那么從

里，必可選出有限個開矩形，他們也能覆蓋這個區域。

4．收斂原理：平面點列有極限的充分必要條件是：對任何給定的，總存在正整數，當時，有。

§2

多元函數的極限和連續

一

多元函數的概念

不論在數學的理論問題中還是在實際問題中，許多量的變化，不只由一個因素決定，而是由多個因素決定。例如平行四邊行的面積由它的相鄰兩邊的長和寬以及夾角所確定,即;圓柱體體積由底半徑和高所決定,即。這些都是多元函數的例子。

一般地，有下面定義：

定義1

設是的一個子集，是實數集，是一個規律，如果對中的每一點，通過規律，在中有唯一的一個與此對應，則稱是定義在上的一個二元函數，它在點的函數值是，并記此值為，即。

有時，二元函數可以用空間的一塊曲面表示出來，這為研究問題提供了直觀想象。例如，二元函數就是一個上半球面，球心在原點，半徑為，此函數定義域為滿足關系式的，全體，即。又如，是馬鞍面。

二

多元函數的極限

定義2

設是的一個開集，是一個常數，二元函數在點附近有定義．如果，當時，有，就稱是二元函數在點的極限。記為或。

定義的等價敘述1

設是的一個開集，是一個常數，二元函數在點

附近有定義．如果，當時，有，就稱是二元函數在點的極限。記為或。

定義的等價敘述2

設是的一個開集，是一個常數，二元函數在點

附近有定義．如果，當且時，有，就稱是二元函數在點的極限。記為或。

注：（1）和一元函數的情形一樣，如果，則當以任何點列及任何方式趨于時，的極限是；反之，以任何方式及任何點列趨于時，的極限是。但若在某一點列或沿某一曲線時，的極限為，還不能肯定在的極限是。所以說，這里的“或”要比一元函數的情形復雜得多，下面舉例說明。

例：設二元函數，討論在點的的二重極限。

例：設二元函數，討論在點的二重極限是否存在。

例：，討論該函數的二重極限是否存在。

二元函數的極限較一元函數的極限而言，要復雜得多，特別是自變量的變化趨勢，較之一元函數要復雜。

例：。

例：①　②　③

例：求在（０，０）點的極限，若用極坐標替換則為

（注意：在時為０，此時無界）。

例：（極坐標法再舉例）：設二元函數，討論在點的二重極限．

證明二元極限不存在的方法．

基本思想：根據重極限定義，若重極限存在，則它沿任何路徑的極限都應存在且相等，故若１）某個特殊路徑的極限不存在；２）或某兩個特殊路徑的極限不等；３）或用極坐標法說明極限與輻角有關．

例：在的二重極限不存在．

三

二元函數的連續性

定義3

設在點有定義，如果，則稱在點連續．

“語言”描述：，有。

如果在開集內每一點連續，則稱在內連續，或稱是內的連續函數。

例：求函數的不連續點。

四

有界閉區域上連續函數的性質

有界性定理

若再有界閉區域上連續，則它在上有界。

一致連續性定理

若再有界閉區域上連續，則它在上一致連續。

最大值最小值定理

若再有界閉區域上連續，則它在上必有最大值和最小值。

零點存在定理

設是中的一個區域，和是內任意兩點，是內的連續函數，如果，則在內任何一條連結的折線上，至少存在一點，使。

五

二重極限和二次極限

在極限中，兩個自變量同時以任何方式趨于，這種極限也叫做重極限（二重極限）．此外，我們還要討論當先后相繼地趨于與時的極限．這種極限稱為累次極限（二次極限），其定義如下：

若對任一固定的，當時，的極限存在：,而在時的極限也存在并等于，亦即，那么稱為先對，再對的二次極限，記為

．

同樣可定義先后的二次極限：．

上述兩類極限統稱為累次極限。

注意：二次極限（累次極限）與二重極限（重極限）沒有什么必然的聯系。

例：（二重極限存在，但兩個二次極限不存在）．設

由　得（兩邊夾）;不存在知的累次極限不存在。

例：（兩個二次極限存在且相等，但二重極限不存在）。設，由知兩個二次極限存在且相等。但由前面知

不存在。

例：（兩個二次極限存在，但不相等）。設，則，;

（不可交換）

上面諸例說明：二次極限存在與否和二重極限存在與否，二者之間沒有一定的關系。但在某些條件下，它們之間會有一些聯系。

定理1　設（1）二重極限；（2）。則。

（定理1說明：在重極限與一個累次極限都存在時，它們必相等。但并不意味著另一累次極限存在）。

推論1

設（1）

；（2），存在；（3），存在；則，都存在，并且等于二重極限。

推論2

若累次極限與存在但不相等，則重極限必不存在（可用于否定重極限的存在性）。

例：求函數在的二次極限和二重極限。

第十四章

多元函數微分學

§1

偏導數和全微分的概念

一

偏導數的定義

1．偏導數定義

定義1

設是一個二元函數，定義在內某一個開集內，點（，）

D，在中固定,那么是一個變元的函數，如果在點可導，即如果

(1)

存在，則稱此極限值為二元函數在點（,）關于的偏導數。

記為。

類似地可定義。

2．偏導數的計算

例:

設，求偏導數。

例：，求和。

例：U=++yz

求。

3.偏導數和連續

若在點關于（或）可導，則在關于（或）連續。但不能推出關于兩個變量是連續的。見下面的例子。

例：

。

4.偏導數的幾何意義

就是曲線在的切向量。

就是曲線在的切向量。

二

全微分的定義

二元函數微分的定義

定義2

若函數的全改變量可表示為

=(+,+)=++()

且其中與，無關而僅與有關，則稱函數在點可微，并稱為在點的全微分，記為，即。

性質1

如果在點（,）可微，則。

注：若在點可微，則。

性質2

若在點（，）可微，則f在點（，）連續。

例：設

證明在點不可微。

定理1

設函數的兩個偏導數，在點（，）存在而且都連續，則在點（，）可微。

例：設，求。

三

高階偏導數與高階全微分

類似于一元函數的高階導數，可以定義高階偏導數。

例：設，求，；，。

注：一般情況下，未必有。

例：

設，可求得。

定理2

設二元函數的兩個混合偏導數，在(，)連續，則有(,)=(,)。

§2

求復合函數求導的鏈式法則

一

復合函數求導的鏈式法則

定理1（鏈式法則）設，此時在點可微，又和都在點

關于的偏導數存在，則

說明：(1)

幾種特殊情形：定理1顯然講的是2個中間變量，2個自變量的情形，但其思想方法完全適用與其它情形：

1）

則。

2）設則

例：又設。求

（2）

計算復合函數的兩階及兩階以上偏導數，只要重復運用鏈式法則即可。

(3)有時記。

例：。

例：

（4）鏈式法則鏈式法則中的條件是充分的，并非必要的。在使用鏈式法則時，要注意的可微性條件，如果不滿足這一條件，鏈式法則不一定成立。

二

一階微分形式不變性

一階微分有個很重要性質——形式不變性。在二元函數中也有類似的性質。

設是二元可微函數，如果是自變量，則：

（各自獨立變量）（1）

如果不是自變量而是中間變量，又設都可微，并且可以構成復合函數，那么：

（2）

由（1），（2）的可知一階微分形式的不變性。

注意（1）兩階微分沒有這一性質，如下例。

例：設

則

如果二階微分只有形式不變性，則有：

但

（2）利用一階微分形式不變性求偏導數

例：設利用微分形式不變性求

并求出

（3）高階微分不具有形式不變性。

§3

由方程（組）所確定的函數的求導法

在此之前，我們所接觸的函數，其表達式大多是自變量的某個算式，如

這種形式的函數稱為顯函數。但在不少場合常會遇到另一種形式的函數，其自變量與因變量之間的對應法則是由一個方程式所決定的。這種形式的函數稱為隱函數。

本節將介紹由一個方程所確定的隱函數求導法以及由方程組所確定的隱函數求導法。

一．

一個方程的情形

對

說明：（1）

求需要假定，這一假設是很重要的；（2）

這里只用到了“鏈式法則”；（3）

對求導，只在假定的函數的情況下，求導數，如何確定。

例：

設。

例：

設二階可微，求。

二

方程組的情形

設由方程組

確定了：并且它們具有對各個變元的連續偏導數，如何求偏導數？

解決方案：

求完全相同。

例：設。

例：設。

例：設，，變換方程。

§4

空間曲線的切線與法平面

本節主要討論由參數方程表示的空間曲線和由方程組表示的空間曲線的切線和法平面的計算問題。

參數方程的情形

設空間曲線的參數方程為

其中的參數。又設都在連續，并且對每一不全為0，這樣的曲線稱為光滑曲線。通過曲線上任一點的切線定義為割線的極限位置，由此就可寫出曲線在任一點的切線方程為：。

法平面：過點可以作無窮多條切線與切線垂直，所有這些直線都在同一平面上，稱這個平面為曲線在點處的法平面，其方程為：。

例：求螺旋線：，（其中為常數）在點（，0，0）的切線方程和法平面方程。

如果曲線方程由下式表示：。則過點的切線方程為，過點的法平面方程為。

空間曲線是用兩個曲面的交線表示：。

又設，關于有連續的偏導數，；

例：求兩柱面的交線在點的切線方程和法平面方程。

§5

曲面的切平面與法線

1、設光滑曲面的方程，為曲面上一點，過點的切平面方程為：。

過點并與切線平面垂直的直線，稱為曲線在點的法線，方程為：。

2、若曲面方程為，則曲面過的切平面方稱為

法線方程：。

3、曲面方程由方程組給出：，給出，其中是參數。則曲面過的切平面方稱為。

法線方程為：

例：求曲面在點（2，1，4）的法向量的方向余弦，并求其法線方程和切平面方程。

例：證明對任何常數，球面和錐面正交。

§6

方向導數和梯度

一

方向導數

在許多實際問題中，常常需要知道函數在一點沿任何方向或某個方向的變化率。

定義1

設是中的一個區域，是D內一個函數，是一個方向向量，令，如果

存在，則稱此極限是在點沿方向的方向導數，記為。它表示在點沿方向的變化率。

定理1

設函數在點可微，則在點沿任何方向的方向導數存在，并且有

其中是方向的方向余弦。

例：設，求在點（1，0，2）沿方向（2，1，-1）的方向導數。

設是中的一個區域，是內的一個二元可微函數，那么在內每一點，沿單位向量的方向導數是，其中是軸正向（即軸上單位向量）和向量之間的夾角。

二

梯度

1、引言

在一個數量場中，在給定點沿不同的方向，其方向導數一般是不相同的，現在我們所關心的是：沿哪一個方向其方向導數最大？其最大值是多少？為此引進一個很重要的概念——梯度。

2、梯度的定義

定義2

設定義于某個三維區域內，又設函數具有關于各個多元的連續偏導數，稱向量

是在點的梯度，記為，即

。它的長度為。

注：它是一個向量，是由數量場產生的向量。

3、的性質：

設可微，則

（1）；（是常數）。

（2）；

（3）

（）

（4）

（在可微）

例：設在空間原點處有一個點電荷，在真空中產生一個靜電場，在空間任一點處的電位是：，則。

4、的意義：的方向表示數量場沿此方向的方向導數達到最大；的根長就是這個最大的方向導數。

例：求數量函數在的梯度及其大小。

§7

泰勒公式

定理1

設函數在點內對及具有直到階連續偏導數。對D內任意一點，設，則，這里。

二元函數的中值公式，其中。

例：寫出在點附近函數的泰勒公式。

例：按及的乘冪展開函數到三項為止。

第十五章

極值和條件極值

§1.極值和最小二乘法

一

極值

定義1　設在的鄰域內成立不等式，則稱函數在點取到極大值，點稱為函數的極大點，若在的鄰域內成立不等式，則稱函數在點取到極小值，點稱為函數的極小點。極大值和極小值統稱為極值，極大點和極小點統稱為極值點。

定義2

設是內的一個區域，是的一個內點，如果，則稱是的一個駐點。

根據費瑪定理，可知

定理1

二元函數的極值點必為的點或至少有一個偏導數不存在的點。

注：定理1的條件是必要條件，而不是充分條件。

例：在點。

例：在點。

怎樣進一步判斷是否有極值？

定理2

設在點的某個鄰域內有各個二階連續偏導數，并且點是的一個駐點，，，則：（1）若，則在點有極小值；（2）若，則在點有極大值；（3）若，則在點沒有極值；（4）若，則須進一步判斷。

例：求的極值。

例：求的極值。

多元函數的最大（小）值問題

設函數在某一有界閉區域中連續且可導，必在上達到最大（小）值。若這樣的點位于區域內部，則在這點顯然函數有極大（小）值。因此，在這種情形函數取到最大（小）值的點必是極值點之一。然而函數的最大（小）值最可能在區域的邊界上達到。因此，為找出函數在區域上的最大（小）值，必須找出一切有極值的內點，算出這些點的函數值，再與區域邊界上的函數值相比較，這些數值中最大數（或最小數）就是函數在閉區域上的最大（小）值。通常可根據問題的實際意義來判斷。

例：有一塊寬24cm的矩形薄鐵皮，把兩邊折起來，做成一個梯形水槽，問和各自為何值時，水槽的流量是最大？

例：試在軸，軸與直線圍成的三角形區域上求函數的最大值。

二

.最小二乘法

例：已知，…服從線性關系：

問：如何根據這組數據來合理地確定系數和？

解：總偏差為，確定系數，使總偏差最小。這種確定系數的方法叫做最小二乘法。令，即可解得。

幾個疑問：1）如果怎么辦？2）這樣求出的就是達到極小值的點？

3）在選取

時，為什么不取各個偏差的代數和作為總偏差？

例：已知，現測得一組數據，利用最小二乘法，求系數所滿足的三元一次方程組。

§2

條件極值

一

何謂條件極值

在討論極值問題時，往往會遇到這樣一種情形，就是函數的自變量要受到某些條件的限制。決定一給定點到一曲面的最短距離問題，就是這種情形。我們知道點到點的距離為。現在的問題是要求出曲面上的點使F為最小。即，問題歸化為求函數在條件下的最小值問題。

又如在總和為C的幾個正數的數組中，求一數組，使函數值為最小，這是在條件的限制下，求函數的極小值問題。這類問題叫做條件極值問題。

二

條件極值的必要條件

為了方便起見，同時又不不失一般性，我們僅討論以下情形。

前提：設函數具有對各個變元的連續偏導數，而這些變元之間又受到以下條件的限制：

其中和都具有對各個變元的連續偏導數，并且它們的行列式。

目標：我們要求函數在限制條件下的極值的必要條件。

定理1（限制極值的必要條件）在限制條件下于點取得極值，那么必存在常數，使得在該點有：

稱，是乘數（待定乘數）。

這一結果可推廣到元函數。

三

條件極值的求法

在具體解題時，例如在限制條件下求的極值，可如下進行：

1．引入函數（函數）：。

2．求的極值（視為獨立變量）：由，，。

解得可能的極值點。

3.求的二階全微分。若，則取得極小值；若，則取得極大值。

例：求空間內一點到平面的距離。

例：要制造一容積為16的無蓋長方形水箱，問水箱長、寬、高為多少時，所用材料最省？

第十六章

隱函數存在定理、函數相關

§1

隱函數存在定理

一

一個方程的情形

在前面，我們是在假定從方程中可以確定的前提下，給出求導數的方法。然而需要指出的是：并不是任一方程都能確定出隱函數。因此，我們必須知道方程在什么情況下才能確定隱函數？

例：設有方程，問在點，，的附近是否確定為的函數？

定理1

（隱函數存在定理）

設二元函數滿足下列條件：

注：

(1)定理的幾何意義：條件(1)表明曲面是光滑的；條件（2）表明曲面和坐標平面有一個交點，條件（3）（不妨設）表明在的附近，對固定的，設為正向，曲面是單調增加的。定理的結論是：在點的附近曲面和有一條唯一的光滑交線.（2）定理的結論是局部性的，即在點的某個鄰域內由方程可以唯一確定一個可微的隱函數。例如：

在點(0,1)的某個鄰域內由方程可以確定唯一的。在點(0,-1)的某個鄰域內由方程可確定唯一的（3）

定理的條件是充分的，非必要的。如上例中的函數：在（-1，0）和（1，0）兩點，破壞了定理中的條件（3），從而定理失效。從圖中可以看出，對于一在右鄰域或左鄰域內的任何一個值，將獲得兩個值：，唯一性條件破壞。

定理1中的方程是含有兩個變量和的，對于3個變量，甚至于多個變量，也有類似的結果。

二

多變量及方程組的情形

定理2

滿足：的一個鄰域內對各個變元有連續的偏導數；

（2）

（3）

F，G關于的Jacobi矩陣

則：（1）存在點的一個鄰域，在此鄰域內由方程組

可以確定唯一的函數：滿足：

（2）在內連續；

（3）在內有關于和的連續偏導數。

例：。問：（1）由方程確定的是關于和的可微函數？

（2）由方程確定的都是關于和的可微函數？

例：函數在那些點近旁可唯一地確定膽汁連續，且又連續導數的函數？

§2

函數行列式的性質、函數相關

一

函數行列式的性質

函數行列式不僅在隱含數存在定理中起著重要作用，而且在其它分析問題和應用中，也是經常出現的，它有以下主要性質：

性質1

設函數

定義于某一維區域中，且有關于一切變元的連續偏導數。又設

定義于某一維區域中，且有關于一切變元的連續偏導數。設的值域包含在中。則有。

注：這個性質可看成復合函數求導公式的拓廣。

性質2

設函數

定義于某一維區域中，且有關于一切變元的連續偏導數，并且它們的反函數

存在，且有關于一切變元的連續偏導數。則有。

第十七章

含參變量的積分

設函數在矩形上連續。定義含參積分

和.含參積分提供了表達函數的又一手段。我們稱由含參積分表達的函數為含參積分。這種形式的函數在理論上和應用上都有重要作用，有很多很有用的特殊函數就是這種形式的函數。

下面討論這種由積分所確定的函數的連續性，可微性與可積性。

定理1

若函數在矩形上連續,則函數在上連續.注：在定理的條件下，有，即極限運算可以通過積分號。

例：求。

定理2

若函數及其偏導數都在矩形上連續,則，也就是微分運算可以通過積分號。

例：當時，能否利用定理2計算的導數？

定理3

若函數及其偏導數在矩形域上連續,函數和在上連續，并且，則函數在上連續。

例：求。

定理4

設函數函數及其偏導數在矩形域上連續，函數和在上存在，并且，則。

例：設，求。

定理5若函數在矩形上連續，則

.注：在定理的條件下，累次積分可交換求積分的次序。

例：求。

例：

研究函數的連續性，其中是上連續且為正的函數。

解：

令，則在連續，其中。從而在連續。

當時，當時，記，則

若存在，則

故在不連續。

或用定積分中值定理，當時，使

若存在，則,故在不連續。

問題1

上面最后一個式子能否寫為。

事實上，是依賴于的，極限的存在性還難以確定。

例：設在連續，求證

:

（其中）

滿足微分方程。

證：令，則，它們都在上連續，則

例：設為連續函數，,求。

解：令，則

第一項中令，第二項中令，則。

第十八章

含參變量的廣義積分一、一致收斂的定義

定義1

設函數定義在上，稱含參變量的無窮積分。

定義2設函數定義在上，若,當時,對一切，成立

或。

就稱含參無窮積分關于一致收斂。

定義3設對于上的每一值，以為奇點的積分存在。若,當時，對一切，成立

或，就稱含參無窮積分關于一致收斂。

二、一致收斂積分的判別法

以下假定積分收斂。

定理1（魏爾斯特拉斯判別法）設有函數，使得

如果積分收斂，那么關于一致收斂。

例：證明含參無窮積分在內一致收斂。

三、一致收斂積分的性質

1.連續性定理

定理2

設函數在上連續，關于一致收斂，那么是上的連續函數。

注：在定理的條件下，有，即極限運算可以通過積分號。

2.積分順序交換定理.定理3設函數在上連續，關于一致收斂，那么。

注：在定理的條件下，累次積分可交換求積分的次序。

例：計算積分。

3.積分號下求導定理.定理4

設函數，在上連續，存在，關于一致收斂。那么，也就是微分運算可以通過積分號。

例：計算積分。

例：證明含參量非正常積分在上一致收斂，其中。但在區間內非一致收斂。

4.含參無窮積分與函數項級數的關系

定理5

積分在上一致收斂對任一數列,↗,函數項級數在上一致收斂。

四、歐拉（Euler）積分

介紹用含參廣義積分表達的兩個特殊函數,即和.它們統稱為Euler積分.在積分計算等方面,它們是很有用的兩個特殊函數

1.Beta函數

（1）

Beta函數及其連續性：

稱(含有兩個參數的)含參積分為Beta函數。當和中至少有一個小于1

時,該積分為瑕積分。下證對,該積分收斂。由于時點和均為瑕點，故把積分分成和考慮。

:

時為正常積分;

當時,點為瑕點。由被積函數非負,和,（由Cauchy判法)

積分收斂.（易見時積分發散).:

時為正常積分;

當時,點為瑕點.由被積函數非負,和,（由Cauchy判法)

積分收斂.（易見時積分發散).綜上,當時積分收斂.設D,于是,積分定義了D內的一個二元函數.稱該函數為Beta函數,記為,即

=

不難驗證,函數在D內閉一致收斂.又被積函數在D內連續,因此,函數是D內的二元連續函數.（2）函數的對稱性:

.由于函數的兩個變元是對稱的,因此,其中一個變元具有的性質另一個變元自然也具有.2．Gamma函數

（1）Gamma函數

考慮無窮限含參積分,當時,點還是該積分的瑕點.因此我們把該積分分為

來討論其斂散性

.:

時為正常積分.時,.利用非負函數積的Cauchy判別法,注意到當時積分收斂.(易見當時,仍用Cauchy判別法判得積分發散).因此,時積分收斂.:

對R成立,.因此積分對R收斂.綜上,時積分收斂.稱該積分為Euler第二型積分.Euler第二型積分定義了內的一個函數,稱該函數為Gamma函數,記為,即

=,.函數是一個很有用的特殊函數.（2）函數的連續性和可導性:

在區間內非一致收斂.這是因為時積分發散.這里利用了下面的結果:

若含參廣義積分在內收斂,但在點發散,則積分在內非一致收斂.但在區間內閉一致收斂.即在任何上,一致收斂.因為時,對積分,有,而積分收斂.對積分，而積分收斂.由M—判法,它們都一致收斂,積分在區間上一致收斂.作類似地討論,可得積分也在區間內閉一致收斂.于是可得如下結論:的連續性:

在區間內連續.的可導性:

在區間內可導,且

.同理可得:

在區間內任意階可導,且

.（3）的遞推公式，函數表的遞推公式

:

.證

..于是,利用遞推公式得:，,…………，一般地有

.可見,在上,正是正整數階乘的表達式.倘定義,易見對,該定義是有意義的.因此,可視為內實數的階乘.這樣一來,我們很自然地把正整數的階乘延拓到了內的所有實數上,于是,自然就有,可見在初等數學中規定

是很合理的.例：計算積分。

第十九章

積分（二重、三重積分，第一類曲線、曲面積分）的定義和性質

§1

二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分的概念

1.二重積分、三重積分，第一類曲線積分、第一類曲面積分都可看成已知物體的密度，求物體的質量。

但要看物體的幾何形狀。

2.幾何體上的黎曼積分的定義。

定義1

設為一塊幾何形體，這個幾何形體是可以度量的，在這個幾何形體上定義了一個函數。將這幾何形體分為若干可以度量的小塊，…。既然每一小塊都可度量，故它們皆有度量大小可言，把他們的度量大小仍記為。并令，在每一塊中任取一點，做下列和式：

如果這個和式不論對于的怎樣分劃以及在上如何取法，只要當時恒有同一極限，則稱此極限為在幾何形體上的黎曼積分，記為：

.也就是，這個極限是與分法和取法無關的。

敘述：如果對任意及一定數，總存在一個數，對于任意的分法，只要時，不管點在上如何選取，恒有，則稱為在上的黎曼積分，記為：，這時，也稱在上可積。

根據幾何形體的不同形態，進一步給出上積分的具體表示式及名稱。

（1）如果幾何體是一塊可求面積的平面圖形，那么上的積分就稱為二重積分，在直角坐標下記為。

（2）如果幾何體是一塊可求體積的空間幾何體，那么上的積分就稱為三重積分，在直角坐標下記為。

（3）如果幾何體是一塊可求長的空間曲線段，那么上的積分稱為第一類曲線積分，在直角坐標下記為。

（4）如果幾何體是一塊可求面積的曲面片，那么上的積分稱為第一類曲面積分，在直角坐標下記為。

3．性質

（1）。

（2）若在上可積，則在上有界。

§2

積分的性質

性質1

若函數在上可積，為常數，則在上也可積，且。

即常數因子可從積分號里提出（注意與不定積分的不同）。

性質2

若函數、都在上可積，則在上也可積，且有。

性質3

若函數在上可積，且，則在和上都可積，且。

反之，若在和上都可積，則在上可積，且上述等式成立。

性質4

若函數和都在上可積，且在上成立，則。

性質5

若函數在上可積，則在上可積，且。

注：若在上可積，不能推出在上可積。

例：

在上不可積，但可積。

性質6（積分第一中值定理）若函數在上可積，則存在常數，使得。

推論

若函數在上連續，則在上至少存在一點，使。

例：若函數在上連續，但不恒等于0，則。

第二十章

重積分

§1二重積分的計算

一

化二重積分為二次計分

1.關于體積的計算

2.矩形上的二重積分可以化為二次積分進行計算

簡單地說，形如的積分稱為一個先后的二次積分。確切地說，設函數在上有定義，如果任意確定，則是自變量為的一元函數，設，有意義，其值是的函數，記為，又得體積為

同樣，可以先后的二次積分：=

在此例中，先后的二次積分等于先后的二次積分，即兩個二次積分相等，這個現象包含在下面的定理中。

3．一般性化二重積分為二次積分

在平面區域中，有兩類特殊的區域是最具代表性的。所示區域用集合可表示為：

型區域

其特點是，則直線至多與區域的邊界交于兩點；所示區域用集合可表示為：

型區域

其特點是，則直線至多與區域的邊界交于兩點。

為什么說這兩類區域常用到（最具代表性），因為許多常見的區域都可分割為有限個無分類點的型區域和型區域。因而，解決了型區域和型區域上二重積分的計算方法后，一般區域上的二重積分的計算問題也就得到解決。

如何計算型區域和型區域上的二重積分呢？

最基本的想法還是化二重積分為二次積分（累次積分）。問題是化為什么樣的二次積分呢？有下面的結果：

定理1

設，則

=。

例：化二重積分為二次積分，其中是由直線，拋物線所圍的平面區域。

例：求由和，，所圍空間區域的體積V。

例：求二次積分

注意：最外層積分的積分限一定是常數。

二

用極坐標計算二重積分

也有一種情形，函數f在上可積，但無論采用哪種積分次序都“算不出來”。

例：，=

在定積分中，換元積分法對簡化定積分計算起著重要的作用。對于二重積分也有相應的換元公式，用于簡化積分區域或被積函數。

作極坐標變換：。

在變換下，函數，區域。二重積分化為。

說明：①注意，雖經極坐標交換，但又變成極坐標系下二重積分，這是如何計算極坐標系下二重積分，在極坐標下，二重積分一樣可以化為二次積分來計算，下面分情況討論之：

情形1

若=，為[，]上的連續函數，則稱之為型區域。這時，可將之化為下面形式：

=

情形2

若=，其中，C[，]（型區域），此時有

=

情形3

若極點O是積分區域的內點，則交換后的區域為：=

此處=是的邊界曲線，=

情形4

若積分區域的邊界曲線=通過極點O時，應先求出極徑，繼使=0的兩個角度，此時有：=。

②何時使用極坐標變換？當積分區域是圓域或是圓域的部分或被積函數的形式為時，采用極坐標交換來計算往往簡便得多。

例：，=。

例：求。

三

二重積分的一般變量替換

計算二重積分，除了引用上面講的極坐標這一特殊交換外,有時還要取一般的變量替換。

定理2

設是平面的閉區域上的連續函數，又設，（*）。

在上有關于和的連續偏導數，通過（*）把變為，并且變換（*）是一對一的，又設，則

=。

注：（1）在定理中，假設，但有時會遇到這種情形。變換行列式在區域內個別點上等于0。

或只在一小區域上等于0而在其他點上非0，此時上述結論能成立。

（2）特例：，此時=，根據①，有

=。

（3）在具體問題中，選擇變換公式的依據有兩條：（i）使交換的函數容易積分；（ii）使得積分限容易安排。

例：求橢球體的體積。

例:

求出由拋物線，以及雙曲線，所圍區域的面積。

§2

三重積分的計算

一

化三重積分為三次積分

設是中的（閉）長方體，是定義在上的有界函數。那么在上的三重積分可以化為先對，后對的積分：

=，或的積分

=

。等等（共6種），并且此時（連續時），各個三次積分的值與積分次序無關，他們都相等。

1.計算（化為逐次積分）

●設，則有=，如果，則=。

●設，==。

2.三重積分的直接計算方法（舉例）

例：，：有平面所圍成區域。

例：，：錐面，平面所圍（）成區域。

例：，：的內部區域。

二

三重積分的變量替換

設作變量替換：,且滿足下列條件：

（1）

建立了之間的一一對應；

（2）在內有關于的連續偏導數，并且其變換：在內有關于的連續偏導數；

（3）

Jacohi行列式

在內無零點，則

=

注：和二重積分類似，當J點在內個別點上為零時，上述公式仍成立。

最常用的坐標變換

1.柱坐標代換

令，則三重積分的柱坐標換元公式為

=。

注：柱坐標變換適用于型被積函數或積分區域。

注：用柱坐標計算三重積分，通常是找出在平面上的投影區域，那當時，=

先對積分，再計算上的三重積分，其中二重積分能用極坐標來計算（極坐標系下的二重積分）。

例：，D由上半球面和拋物面所圍的區域。

2．球面坐標變換

球面坐標：設空間一點在平面上的投影為，是有向線段與軸的正向之間的交角（），是兩平面與的交角（），則叫做點M的球面坐標。

在球面坐標中，有三族坐標平面：=常數，以原點為中心的球面；=常數，以原點為頂點，軸為軸的圓錐面；=常數，過軸的柱面（兩兩正交是正交坐標系）。有時，取作為，這時點的直角坐標與它的球面坐標的點系為：，而。

令，則

=。

例：求球面和錐面所圍區域的體積，其中錐面是以軸為軸，頂角為的錐面。

§3

積分在物理上的應用

一

質心

設為一塊可以度量的幾何體，它的密度函數是。又假設為上的連續函數。則幾何體的質心的坐標為：。

具體地說，如果幾何體是一塊空間體積，那么這塊體積的質心坐標應為：。

例：求密度均勻的上半橢球體的質心.二

矩

設為一塊可度量的幾何形體，它的密度函數為，并設在上連續。分別稱，為物體關于坐標平面，坐標平面，坐標平面的階矩。當時稱為零階矩，表示物體的質量。當時稱為靜矩。當時稱為轉動慣量。

例：計算由平面，，所圍成的均勻物體（設）對于坐標平面的轉動慣量。

例：求密度均勻的圓環對于圓環面中心軸的轉動慣量.例：求密度均勻的圓盤對于其直徑的轉動慣量.例：設某球體的密度與球心的距離成正比,求它對于切平面的轉動慣量.三

引力

設為一塊可以度量的幾何體，它的密度函數是，為上的連續函數。為外一點，質點具有單位質量。則幾何體對質點的引力在三個坐標軸上的分量，分別為:，其中為引力常數。

例：設球體具有均勻的密度,求對球外一點(質量為1)的引力。

§4

廣義重積分

對于重積分，也可以作兩方面的拓廣：無界區域上的積分和無界函數的積分。

定義1

設是平面上一無界區域，函數在上各點有定義，用任意光滑曲線在中劃出有限區域.設二重積分存在，當曲線連續變動時，使所劃出的區域無限擴展而趨于區域時，如果不論的形狀如何，也不論擴展的過程怎樣，而

常有同一極限值，就稱是函數在無界區域上的二重積分，記為,這時也稱函數在上的積分收斂。否則，稱積分是發散的。

柯西判別法

設在無界區域上的任意有界區域上二重積分存在，如果在內相當遠處滿足

。其中為正的常數，是到原點的距離，且，那么積分收斂。

例：計算廣義重積分。

例：討論廣義重積分的收斂性。

定義2

設在有界區域上有奇點或奇線（函數在這些點或線的附近無界）。以中的光滑曲線來隔開奇點或奇線，所圍成的區域記為.如果在區域收縮到奇點或奇線時，這些積分的極限值存在且與的取法和收縮的方式無關，則稱這極限值是上的無界函數的廣義二重積分，記為。并稱函數在上的積分收斂。否則，稱積分是發散的。

柯西判別法

設在內有奇點，如果對于和充分鄰近的點，有。

其中為正的常數，是與點的距離，且，那么積分收斂。

例：計算廣義重積分。

例：討論廣義重積分的收斂性。

第21章

曲線積分和曲面積分的計算

§1

第一類曲線積分的計算

設函數在光滑曲線上有定義且連續，的方程為

則。

特別地，如果曲線為一條光滑的平面曲線，它的方程為，那么有。

例：設是半圓周,。求。

例：設是曲線上從點到點的一段，計算第一類曲線積分。

例：計算積分，其中是球面被平面截得的圓周。

例：求，此處為連接三點，的直線段。

§2

第一類曲面積分的計算

一

曲面的面積

（1）設有一曲面塊，它的方程為

。具有對和的連續偏導數，即此曲面是光滑的，且其在平面上的投影為可求面積的。則該曲面塊的面積為。

（2）若曲面的方程為,令，，則該曲面塊的面積為。

例：求球面含在柱面內部的面積。

例：求球面含在柱面內部的面積。

二

化第一類曲面積分為二重積分

（1）設函數為定義在曲面上的連續函數。曲面的方程為。具有對和的連續偏導數，即此曲面是光滑的，且其在平面上的投影為可求面積的。則。

（2）設函數為定義在曲面上的連續函數。若曲面的方程為

令，，則。

例：計算，是球面。

例：計算，其中為螺旋面的一部分：。

注：第一類曲面積分通過一個二重積分來定義，這就是為什么在第一類曲面積分中用“二重積分符“的原因。

例：I=，是球面，球心在原點，半徑為。

§3

第二類曲線積分

一

變力做功和第二類曲線積分的定義

1.力場沿平面曲線從點A到點B所作的功。先用微元法，再用定義積分的方法討論這一問題，得。

2.第二型曲線積分的定義

定義1

設是一條光滑或逐段光滑曲線，且設是定義在上的有界函數，將沿確定方向從起點開始用分點分成個有向弧段，直至終點。且設。在每一弧段

上任取一點，作和式：。

其中為起點，為終點。設，這里表示有向線段的長度。若當時，和有極限，且它與的分法無關，也與點的選擇無關，則稱為沿曲線按所述方向的第二類曲線積分，記作

或。

注：如果向量，則向量沿曲線按一定方向的第二類曲線積分為。

注：第二類曲線積分是與沿曲線的方向有關的。這是第二類曲線積分的一個很重要性質，也是它區別于第一類曲線積分的一個特征。

注：在平面情況下，若一人立在平面上沿閉路循一方向作環行時，如閉路所圍成的區域靠近這人的部分總在他的左方，則這個方向就算作正向，否則就算作負向。這時只要方向不變，曲線積分的值是與起點的位置無關的。

二

第二類曲線積分的計算

設曲線自身不相交，其參數方程為：

。且設是光滑的。設當參數從調地增加到時，曲線從點按一定方向連續地變到點。設函數定義在曲線上，且設它在上連續。則。

（*）

注：（*）積分下限必須對應積分所沿曲線的起點，上限必須對應終點。

注：如果向量，則向量沿曲線按一定方向的第二類曲線積分為

例：計算積分,L的兩個端點為A（1,1),B（2,3).積分從點A到點B或閉合,路徑為

（1）直線段AB；

（2）拋物線；

（3）折線閉合路徑A（1,1)D（2,1)

B（2,3)

A（1,1)。.例：計算積分,這里L

:

（1）沿拋物線從點O（0,0)到點B（1,2)；

（2）沿直線從點O（0,0)到點B（1,2)；

（3）沿折線封閉路徑O(0,0)

A(1,0)

B(1,2)

O(0,0).例：計算第二型曲線積分I

=,其中L是螺旋線，從到的一段。

三

兩類曲線積分的聯系

第一類曲線積分與第二類曲線積分的定義是不同的，由于都是沿曲線的積分，兩者之間又有密切聯系。兩者之間的聯系式為

例：證明：對于曲線積分的估計式為

。利用這個不等式估計：,并證明。

例：設平面區域由一連續閉曲線所圍成，區域面積設為，推導用曲線積分計算面積的公式為：。

§4

第二類曲面積分

一

曲面的側的概念

1．單側曲面與雙側曲面

在實際生活中碰到的都是雙側曲面，至于單側曲面也是存在的，牟彼烏斯帶就是這類曲面的一個典型例子。

2．曲面的上側和下側，外側和內側

雙側曲面的定向:

曲面的上、下側，左、右側，前、后側.設法向量為,則上側法線方向對應第三個分量,即選“+”號時，應有，亦即法線方向與軸正向成銳角.類似確定其余各側的法線方向.封閉曲面分內側和外側.二

第二類曲面積分的定義

先討論由顯式方程

表示的無重點的光滑曲面,并設在平面上的投影為邊界由逐段光滑曲線所圍成的區域。設選定了曲面的一側，從而也確定了它的定向。

現在將有向曲面以任何方法分割為小塊。設為在平面上的投影，從而也得到區域的一個相應分割。如果取的是上側，這時所有算作正的。如取下側，這時所有算作負的。設有界函數定義在上，在每一小塊任取一點，作和式

其中表示的面積。由上述所見，是帶有符號的，它們的符號是由所選的側來決定的。設為的致敬，記。若當時，有確定的極限，且與曲面分割的方法無關，也點的選擇無關，則稱為沿曲面的所選定的一側上的第二類曲面積分，記為。

注：有時也會碰到幾個積分連在一起的情形，例如：。

注：如果沿曲面的另一側積分，則所得的值應當變號。

三

兩類曲面積分的聯系及第二類曲面積分的計算

第二型曲面積分與第一型曲面積分的關系

設為曲面的指定法向,則

.定理1

設是定義在光滑曲面D上的連續函數,以的上側為正側(即),則有

.類似地,對光滑曲面D,在其前側上的積分

.對光滑曲面

D,在其右側上的積分

.計算積分時,通常分開來計算三個積分，.為此,分別把曲面投影到YZ平面,ZX平面和XY平面上化為二重積分進行計算.投影域的側由曲面的定向決定.推論

設，是定義在光滑曲面D上的連續函數,則

=

曲面的方向為上側,則等式前取“＋”號;

曲面的方向為下側,則等式前取“－”號.例：計算積分,其中是球面

在部分取外側。

例：計算積分，為球面取外側.解：

對積分,分別用和記前半球面和后半球面的外側,則有

:

;

:

.因此,=+

.對積分,分別用和記右半球面和左半球面的外側,則有

:

;

:

.因此,+

.對積分,分別用和記上半球面和下半球面的外側,則有

:

;

:

.因此,=+

.綜上,=.第二十二章

各種積分間的聯系和場論初步

§1

各種積分間的聯系

一

Green公式

定義1

一個平面區域，如果全落在此區域內的任一條封閉曲線都可以不經過以外的點而連續地收縮為一點，則稱此區域為單連通的，否則稱為復連通的。

定理1

設是以光滑曲線為邊界的平面單連通區域，設函數，在及上連續并具有關于自變量和的連續偏導數，則有：

這里右端積分路徑的方向是和區域正相聯系的，既當一人沿著曲線行走時區域恒在他的左邊。

注：Green公式同時揭示了平面上某區域內的二維積分與該邊界上的一個特定的第二類曲線積分之間的關系；

注：常用于第二類曲線積分，有時用來計算二重積分在Green公式中。

例：求第二類曲線積分I=,是上半圓周：

方向從。

例：設函數，有其二階連續偏導數，記，證明

(i)；

(ii)

；(3)。

例：（用Green公式求曲面的面積）求曲線所圍圖形的面積。

注：在使用Green公式時，應注意“助線法”的使用。

二

Gauss公式

定理2

設空間二維單連通有界閉區域的邊界曲面是光滑的，又設函數，在及上具有關于的連續偏導數，則有：,為曲面的外法線方向，第二個積分沿曲面的外側。

注：①Gauss公式揭示了中的某區域內的三重積分和這一區域的邊界上的特定曲面積分之間的關系；

②與

Green公式一樣，由Gauss公式可計算某些空間立體積分：。

例：求積分

I=，:

沿外側。

例：求積分

其中是錐面。

注：在使用Gauss公式時，應注意“助面法”的使用。

三

Stokes公式

定理3（Stokes）設光滑曲面的邊界為光滑曲線，設函數，在曲面

及曲線上具有關于的連續偏導數，則有：,曲線積分的方向和曲面的側按右手法則聯系。

注：右端積分是一個第二類曲面積分，左端的積分是一個第二類曲線積分。所以Stokes公式是第二類曲面積分和第二類曲線積分的一個紐帶。

例：求曲線積分，其中是柱面x和平面的交線,其方向從軸正向望去，已知方向是逆時針。

§2

曲線積分和路徑的無關性

引言

第二類曲線積分不僅與曲線的起點和終點有關，而且也與所沿的積分路徑有關。對同一個起點和同一個重點，沿不同的路徑所得到的第二類曲線積分一般是不相同的。在什么樣的條件下第二類曲線積分與積分路徑無關而僅與曲線的起點和重點有關呢？下面我們在平面中情形來討論這個問題。

定理1

若函數，在區域上有連續的偏導數，是單連通區域，則下列命題等價：

⑴

對D內任意一條閉曲線，有。

⑵

對

內任意一條閉曲線，曲線積分,與路徑無關（只依賴曲線的端點）。

⑶存在可微函數，使得內成立；

⑷在D內處處成立。

定義1

當曲線積分和路徑無關時，即滿足上面的諸條件時，如令點固定而點為區域內任意一點，那么在內連續并且單值。這個函數稱為的原函數。

原函數的求法：

（1）；或

（2）。

例：求原函數:

（1）;

（2）。

定義2

只繞奇點一周的閉路上的積分值叫做區域的循環常數，記為。于是，對內任一閉路，這里為沿逆時針方向繞的圈數。

例：證明關于奇點的循環常數是，從而積分與路徑無關。

§3

場論初步

一

場的概念

物理量在空間或一部分空間上的分布就稱為場。場分為不定常場和定常場。

二

向量場的散度和旋度

設有一向量場，為一閉曲面所包圍的空間區域，為曲面上向外法線，由高斯公式得。

定義1

量稱為向量的散度，它形成一個數量場，記為。

利用散度的定義，高斯公式可寫為，這是高斯公式向量形式。它說明：向量通過閉曲面的流量等于這個向量的散度在所包圍的區域上的三重積分。

定義2

稱向量為向量的旋度，記為：。

利用的定義，Stokes公式可改寫為向量形式如下：。

它說明：向量沿閉曲線的環流量等于它的旋度通過以為邊界所張的任意曲面的流量。

散度和旋度的定義。

例：求在點的散度和旋度。

例：證明。