2021全國中考真題分類匯編（四邊形）

----多邊形與平行四邊形

一、選擇題

1.（2021?湖南省常德市）一個多邊形的內角和是1800°，則這個多邊形是（）邊形．

A.9

B.10

C.11

D.12

【答案】D

【解析】

【分析】根據n邊形的內角和是（n﹣2）×180，根據多邊形的內角和為1800，就得到一個關于n的方程，從而求出邊數．

【詳解】根據題意得：（n﹣2）×180=1800，解得：n=12．

故選：D．

2.（2021?株洲市）如圖所示，在正六邊形內，以為邊作正五邊形，則（）

A.B.C.D.【答案】B

3.（2021?江蘇省連云港）正五邊形的內角和是（）

A.B.C.D.【答案】D

【解析】

【分析】n邊形的內角和是，把多邊形的邊數代入公式，就得到多邊形的內角和．

詳解】（7﹣2）×180°=900°．

故選D．

4.（2021?江蘇省南京市）下列長度的三條線段與長度為5的線段能組成四邊形的是（）

A.1，1，1

B.1，1，8

C.1，2，2

D.2，2，2

【答案】D

【解析】

【分析】若四條線段能組成四邊形，則三條較短邊的和必大于最長邊，由此即可完成．

【詳解】A、1+1+1<5，即這三條線段的和小于5，根據兩點間距離最短即知，此選項錯誤；

B、1+1+5<8，即這三條線段的和小于8，根據兩點間距離最短即知，此選項錯誤；

C、1+2+2=5，即這三條線段的和等于5，根據兩點間距離最短即知，此選項錯誤；

D、2+2+2>5，即這三條線段的和大于5，根據兩點間距離最短即知，此選項正確；

故選：D．

5.（2021?江蘇省揚州）

如圖，點A、B、C、D、E在同一平面內，連接、、、、，若，則（）

A.B.C.D.【答案】D

【解析】

【分析】連接BD，根據三角形內角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四邊形內角和減去∠CBD和∠CDB的和，即可得到結果．

【詳解】解：連接BD，∵∠BCD=100°，∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°，∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°，故選D．

6.（2021?四川省眉山市）正八邊形中，每個內角與每個外角的度數之比為（）

A．1：3

B．1：2

C．2：1

D．3：1

【分析】此題要結合多邊形的內角與外角的關系來尋求等量關系，構建方程求出每個外角．多邊形外角和是固定的360°．

【解答】解：這個八邊形的內角和為：

（8﹣2）×180°＝1080°；

這個八邊形的每個內角的度數為：

1080°÷8＝135°；

這個八邊形的每個外角的度數為：

360°÷8＝45°；

∴這個八邊形每個內角與每個外角的度數之比為：

135:45＝3:1．

故選：D．

7.(2021?四川省自貢市)

如圖，AC是正五邊形ABCDE的對角線，的度數是（）

A.72°

B.36°

C.74°

D.88°

【答案】A

【解析】

【分析】根據正五邊形的性質可得，根據等腰三角形的性質可得，利用角的和差即可求解．

【詳解】解：∵ABCDE是正五邊形，∴，∴,∴，故選：A．

8.（2021?北京市）下列多邊形中，內角和最大的是（）D

A.B．

C．

D．

9.（2021?福建省）如圖，點F在正ABCDE五邊形的內部，△ABF為等邊三角形，則∠AFC等于（）C

A．108°

B．120°

C．126°

D．132°

10.（2021?云南省）一個10邊形的內角和等于（）C

A．1800°

B．1660°

C．1440°

D．1200°

11.（2021?山東省濟寧市）如圖，正五邊形ABCDE中，∠CAD的度數為（）

A．72°

B．45°

C．36°

D．35°

【分析】首先可根據五邊形內角和公式求出每個內角的度數，然后求出∠CAB和∠DAE，即可求出∠CAD．

【解答】解：根據正多邊形內角和公式可得，正五邊形ABCDE的內角和＝180°×（5﹣2）＝540°，則∠BAE＝∠B＝∠E＝＝108°，根據正五邊形的性質，△ABC≌△AED，∴∠CAB＝∠DAE＝（180°﹣108°）＝36°，∴∠CAD＝108°﹣36°﹣36°＝36°，故選：C．

12.（2021?貴州省銅仁市）用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，這就是平面圖形的鑲嵌．工人師傅不能用下列哪種形狀、大小完全相同的一種地磚在平整的地面上鑲嵌（）

A.等邊三角形

B.正方形

C.正五邊形

D.正六邊形

【答案】C

13.（2021?襄陽市）正多邊形的一個外角等于60°，這個多邊形的邊數是（）

A.3

B.6

C.9

D.12

【答案】B

14.（2021?綏化市）已知一個多邊形內角和是外角和的4倍，則這個多邊形是（）

A.八邊形

B.九邊形

C.十邊形

D.十二邊形

【答案】C

【解析】

【分析】設這個多邊形的邊數為n，然后根據內角和與外角和公式列方程求解即可.【詳解】設這個多邊形的邊數為n，則（n－2）×180°＝4×360°，解得：n＝10，故選C.15.（2021?河北省）如圖，點O為正六邊形ABCDEF對角線FD上一點，S△AFO＝8，S△CDO＝2，則S正六邊邊ABCDEF的值是（）

A．20

B．30

C．40

D．隨點O位置而變化

【分析】正六邊形ABCDEF的面積＝S矩形AFDC+S△EFD+S△ABC，由正六邊形每個邊相等，每個角相等可得FD＝AF，過E作FD垂線，垂足為M，利用解直角三角形可得△FED的高，即可求出正六邊形的面積．

【解答】解：設正六邊形ABCDEF的邊長為x，過E作FD的垂線，垂足為M，連接AC，∵∠FED＝120°，FE＝ED，∴∠EFD＝∠FDE，∴∠EDF＝（180°﹣∠FED）

＝30°，∵正六邊形ABCDEF的每個角為120°．

∴∠CDF＝120°﹣∠EDF＝90°．

同理∠AFD＝∠FAC＝∠ACD＝90°，∴四邊形AFDC為矩形，∵S△AFO＝FO×AF，S△CDO＝OD×CD，在正六邊形ABCDEF中，AF＝CD，∴S△AFO+S△CDO＝FO×AF+OD×CD

＝（FO+OD）×AF

＝FD×AF

＝10，∴FD×AF＝20，DM＝cos30°DE＝x，DF＝2DM＝x，EM＝sin30°DE＝，∴S正六邊形ABCDEF＝S矩形AFDC+S△EFD+S△ABC

＝AF×FD+2S△EFD

＝x?x+2×x?x

＝x2+x2

＝20+10

＝30，故選：B．

16.（2021?株洲市）

如圖所示，四邊形是平行四邊形，點在線段的延長線上，若，則（）

A.B.C.D.【答案】B

17.（2021?山東省泰安市）如圖，在平行四邊形ABCD中，E是BD的中點，則下列四個結論：

①AM＝CN；

②若MD＝AM，∠A＝90°，則BM＝CM；

③若MD＝2AM，則S△MNC＝S△BNE；

④若AB＝MN，則△MFN與△DFC全等．

其中正確結論的個數為（）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

【分析】根據平行四邊形的性質，證明△MDB≌△NBD，從而判斷①正確；若MD＝AM，∠A＝90°，則平行四邊形ABCD為矩形，通過證明△BAM≌△CDM可以判斷②；過點M作MG⊥BC，交BC于G，過點E作EH⊥BC，交BC于H，通過三角形面積公式可以判斷③；若AB＝MN則四邊形MNCD是等腰梯形，通過證明△MNC≌△DCN和△MFN≌△DFC即可判斷④．

【解答】解：①∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵E是BD的中點，∴BE＝DE，在△MDB和△NBD中，∴△MDB≌△NBD（ASA），∴DM＝BN，∴AM＝CN，故①正確；

②若MD＝AM，∠A＝90°，則平行四邊形ABCD為矩形，∴∠D＝∠A＝90°，在△BAM和△CDM中，∴△BAM≌△CDM（SAS），∴BM＝CM，故②正確；

③過點M作MG⊥BC，交BC于G，過點E作EH⊥BC，交BC于H，由①可知四邊形MBCD是平行四邊形，E為BD中點，∴MG＝2EH，又∵MD＝2AM，BN＝MD，AM＝NC，∴S△ANC＝NC?MG＝?BN?2EH＝BN?EH＝S△BNE，故③正確；

④∵AB＝MN，AB＝DC，∴MN＝DC，∴四邊形MNCD是等腰梯形，∴∠MNC＝∠DCN，在△MNC和△DCN中，∴△MNC≌△DCN（SAS），∴∠NMC＝∠CDN，在△MFN和△DFC中，∴△MFN≌△DFC（AAS），故④正確．

∴正確的個數是4個，故選：D．

18.（2021?陜西省）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，連接AC、BD，則（）

A．

B．

C．

D．

【分析】由菱形的性質可得AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，由銳角三角函數可求解．

【解答】解：設AC與BD交于點O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝CO，BO＝DO，∠ABD＝，∵tan∠ABD＝，∴，故選：D．

19.（2021?河北省）如圖1，?ABCD中，AD＞AB，∠ABC為銳角．要在對角線BD上找點N，M，使四邊形ANCM為平行四邊形，現有圖2中的甲、乙、丙三種方案，則正確的方案（）

A．甲、乙、丙都是

B．只有甲、乙才是

C．只有甲、丙才是

D．只有乙、丙才是

【分析】方案甲，連接AC，由平行四邊形的性質得OB＝OD，OA＝OC，則NO＝OM，得四邊形ANCM為平行四邊形，方案甲正確；

方案乙：證△ABN≌△CDM（AAS），得AN＝CM，再由AN∥CM，得四邊形ANCM為平行四邊形，方案乙正確；

方案丙：證△ABN≌△CDM（ASA），得AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，則∠ANM＝∠CMN，證出AN∥CM，得四邊形ANCM為平行四邊形，方案丙正確．

【解答】解：方案甲中，連接AC，如圖所示：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，O為BD的中點，∴OB＝OD，OA＝OC，∵BN＝NO，OM＝MD，∴NO＝OM，∴四邊形ANCM為平行四邊形，方案甲正確；

方案乙中：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵AN⊥B，CM⊥BD，∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD，在△ABN和△CDM中，∴△ABN≌△CDM（AAS），∴AN＝CM，又∵AN∥CM，∴四邊形ANCM為平行四邊形，方案乙正確；

方案丙中：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，∴∠BAN＝∠DCM，在△ABN和△CDM中，∴△ABN≌△CDM（ASA），∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，∴∠ANM＝∠CMN，∴AN∥CM，∴四邊形ANCM為平行四邊形，方案丙正確；

故選：A．

20.（2021?瀘州市）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于點E，∠D=58°，則∠AEC的大小是（）

A.61°

B.109°

C.119°

D.122°

【答案】C

【解析】

【分析】根據四邊形ABCD是平行四邊形，得到對邊平行，再利用平行的性質求出，根據角平分線的性質得：AE平分∠BAD求，再根據平行線的性質得，即可得到答案．

【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴，∴

∵AE平分∠BAD

∴

∵

∴

故選C．

21.（2021?四川省南充市）如圖，點O是?ABCD對角線的交點，EF過點O分別交AD，BC于點E，F，下列結論成立的是（）

A．OE＝OF

B．AE＝BF

C．∠DOC＝∠OCD

D．∠CFE＝∠DEF

【分析】證△AOE≌△COF（ASA），得OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，進而得出結論．

【解答】解：∵?ABCD的對角線AC，BD交于點O，∴AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AOE和△COF中，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，又∵∠DOC＝∠BOA，∴選項A正確，選項B、C、D不正確，故選：A．

22.（2021?天津市）如圖，的頂點A，B，C的坐標分別是，則頂點D的坐標是（）

A.B.C.D.【答案】C

【解析】

【分析】根據平行四邊形性質以及點的平移性質計算即可．

【詳解】解：∵四邊形ABCD平行四邊形，點B的坐標為(-2，-2)，點C的坐標為(2，-2)，∴點B到點C為水平向右移動4個單位長度，∴A到D也應向右移動4個單位長度，∵點A的坐標為(0，1)，則點D的坐標為(4，1)，故選:C．

23.（2021?湖北省恩施州）如圖，在?ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，則?ABCD的面積為（）

A．30

B．60

C．65

D．

【分析】根據平行四邊形的性質以及勾股定理求出四邊形ABCD的底邊BC和其對角線AC的值，然后根據平行四邊形的面積計算公式求解．

【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴BC＝AD＝5．

∵AC⊥BC，∴△ACB是直角三角形．

∴AC＝＝＝12．

∴S?ABCD＝BC?AC＝5×12＝60．

故選：B．

24.（2021?湖北省荊門市）如圖，將一副三角板在平行四邊形ABCD中作如下擺放，設

∠1＝30°，那么∠2＝（）

A．55°

B．65°

C．75°

D．85°

【分析】根據等腰直角三角形的性質求出∠FHE＝45°，求出∠NHB＝∠FHE＝45°，根據三角形內角和定理求出∠HNB＝105°，根據平行四邊形的性質得出CD∥AB，根據平行線的性質得出∠2+∠HNB＝180°，帶哦求出答案即可．

【解答】解：延長EH交AB于N，∵△EFH是等腰直角三角形，∴∠FHE＝45°，∴∠NHB＝∠FHE＝45°，∵∠1＝30°，∴∠HNB＝180°﹣∠1﹣∠NHB＝105°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，∴∠2+∠HNB＝180°，∴∠2＝75°，故選：C．

25.（2021?山東省威海市）

如圖，在平行四邊形ABCD中，AD-3，CD=2．連接AC，過點B作BE∥AC，交DC的延長線于點E，連接AE，交BC于點F．若∠AFC=2∠D，則四邊形ABEC的面積為（）

A.B.C.6

D.【答案】B

【解析】

【分析】先證明四邊形ABEC為矩形，再求出AC，即可求出四邊形ABEC的面積．

【詳解】解：∵四邊形ABCD平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD=2，BC=AD=3，∠D=∠ABC，∵，∴四邊形ABEC為平行四邊形，∵，∴，∵∠AFC=∠ABF+∠BAF，∴∠ABF=∠BAF，∴AF=BF，∴2AF=2BF，即BC=AE，∴平行四邊形ABEC是矩形，∴∠BAC=90°，∴,∴矩形ABEC的面積為．

故選：B

26.（2021?浙江省衢州卷）如圖，在中，，點D，E，F分別是AB，BC，CA的中點，連結DE，EF，則四邊形ADEF的周長為（）

A.6

B.9

C.12

D.15

【答案】B

27.（2021?貴州省貴陽市）如圖，在?ABCD中，∠ABC的平分線交AD于點E，∠BCD的平分線交AD于點F，若AB＝3，AD＝4，則EF的長是（）

A．1

B．2

C．2.5

D．3

【分析】根據平行四邊形的性質證明DF＝CD，AE＝AB，進而可得AF和ED的長，然后可得答案．

【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，∴∠DFC＝∠FCB，又∵CF平分∠BCD，∴∠DCF＝∠FCB，∴∠DFC＝∠DCF，∴DF＝DC＝3，同理可證：AE＝AB＝3，∵AD＝4，∴AF＝5﹣4＝1，DE＝4﹣3＝1，∴EF＝4﹣1﹣1＝2．

故選：B．

28.（2021?湖南省婁底市）如圖，點在矩形的對角線所在的直線上，則四邊形是（）

A.平行四邊形

B.矩形

C.菱形

D.正方形

【答案】A

【解析】

【分析】利用三角形全等的性質得，對應邊相等及對應角相等，得出一組對邊平行且相等，即可判斷出形狀．

【詳解】解：由題意：，又，，四邊形為平行四邊形，故選：A．

二．填空題

1.（2021?湖北省黃岡市）正五邊形的一個內角是

108　度．

【分析】因為n邊形的內角和是（n﹣2）?180°，因而代入公式就可以求出內角和，再用內角和除以內角的個數就是一個內角的度數．

【解答】解：（5﹣2）?180＝540°，540÷4＝108°．

2.（2021?陜西省）正九邊形一個內角的度數為

140°　．

【分析】先根據多邊形內角和定理：180°?（n﹣2）求出該多邊形的內角和，再求出每一個內角的度數．

【解答】解：該正九邊形內角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，則每個內角的度數＝＝140°．

故答案為：140°．

3.（2021?上海市）六個帶角的直角三角板拼成一個正六邊形，直角三角板的最短邊為1，求中間正六邊形的面積_________．

【答案】．

【解析】

【分析】由六個帶角的直角三角板拼成一個正六邊形，直角三角板的最短邊為1，可以得到中間正六邊形的邊長為1，做輔助線以后，得到△ABC、△CDE、△AEF為以1為邊長的等腰三角形，△ACE為等邊三角形，再根據等腰三角形與等邊三角形的性質求出邊長，求出面積之和即可．

【詳解】解：如圖所示，連接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，在正六邊形ABCDEF中，∵直角三角板的最短邊為1，∴正六邊形ABCDEF為1，∴△ABC、△CDE、△AEF為以1為邊長的等腰三角形，△ACE為等邊三角形，∵∠ABC=∠CDE

=∠EFA

=120?，AB=BC=

CD=DE=

EF=FA=1，∴∠BAG=∠BCG

=∠DCE=∠DEC=∠FAE

=∠FEA=30?，∴BG=DI=

FH=，∴由勾股定理得：AG

=CG

=

CI

=

EI

=

EH

=

AH

=，∴AC

=AE

=

CE

=，∴由勾股定理得：AI=，∴S=，故答案為：．

4.（2021?新疆）

四邊形的外角和等于_______.【答案】360°．

5.（2021?浙江省湖州市）為慶祝中國共產黨建黨100周年，某校用紅色燈帶制作了一個如圖所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五邊形的五個頂點），則圖中∠A的度數是

度．

【答案】36

【解析】首先根據正五邊形的內角和計算公式，求出每個內角的度數為108°，即∠ABC＝∠BAE＝108°，那么等腰△ABC的底角∠BAC＝36°，同理可求得∠DAE＝36°，故∠CAD＝∠BAE﹣∠BAC﹣∠EAD＝108°﹣36°﹣36°＝36°．其實正五角星的五個角是36°，可以作為一個常識直接記住．

6.（2021?江蘇省鹽城市）若一個多邊形的每個外角均為40°，則這個多邊形的邊數為

9　．

【分析】一個多邊形的外角和為360°，而每個外角為40°，進而求出外角的個數，即為多邊形的邊數．

【解答】解：360°÷40°＝9，故答案為：9．

7.（2021?廣西玉林市）如圖、在正六邊形中，連接線，，，與交于點，與交于點為，與交于點，分別延長，于點，設．有以下結論：①；②；③重心、內心及外心均是點；④四邊形繞點逆時針旋轉與四邊形重合．則所有正確結論的序號是______．

【答案】①②③

8.（2021?浙江省衢州卷）如圖，在正五邊形ABCDE中，連結AC，BD交于點F，則的度數為________．

【答案】

9.（2021?江蘇省揚州）如圖，在中，點E在上，且平分，若，則的面積為________．

【答案】50

【解析】

【分析】過點E作EF⊥BC，垂足為F，利用直角三角形的性質求出EF，再根據平行線的性質和角平分線的定義得到∠BCE=∠BEC，可得BE=BC=10，最后利用平行四邊形的面積公式計算即可．

【詳解】解：過點E作EF⊥BC，垂足為F，∵∠EBC=30°，BE=10，∴EF=BE=5，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DEC=∠BCE，又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC，∴∠BCE=∠BEC，∴BE=BC=10，∴四邊形ABCD的面積===50，故答案為：50．

10.（2021?山東省臨沂市）在平面直角坐標系中，平行四邊形ABCD的對稱中心是坐標原點，頂點A、B的坐標分別是（﹣1，1）、（2，1），將平行四邊形ABCD沿x軸向右平移3個單位長度，則頂點C的對應點C1的坐標是

（4，﹣1）．

【分析】由題意A,C關于原點對稱，求出點C的坐標，再利用平移的性質求出點C1的坐標可得結論．

【解答】解：∵平行四邊形ABCD的對稱中心是坐標原點，∴點A,點C關于原點對稱，∵A(﹣1,1),∴C(1,﹣1),∴將平行四邊形ABCD沿x軸向右平移3個單位長度，則頂點C的對應點C1的坐標是(4,﹣1),故答案為：（4，﹣1）．

11.（2021?山東省菏澤市）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D、E分別為AC、BC的中點，DE＝2，過點B作BF∥AC，交DE的延長線于點F，則四邊形ABFD的面積為

8　．

【分析】由三角形的中位線定理證得DE∥AB，AB＝2DE＝4，進而證得四邊形ABFD是平行四邊形，在Rt△ABC中，根據勾股定理求出BC＝4，得到BE＝2，根據平行四邊形的面積公式即可求出四邊形ABFD的面積．

【解答】解：∵D、E分別為AC、BC的中點，∵DE是△ABC的中位線，∴DE∥AB，DE＝AB，∴AB＝2DE，DF∥AB，又∵BF∥AC，∴BF∥AD，∴四邊形ABFD是平行四邊形，∵AB⊥BE，∴S平行四邊形ABFD＝AB?BE，∵DE＝2，∴AB＝2×2＝4，在Rt△ABC中，∵∠C＝30°，∴AC＝2AB＝2×4＝8，∴BC＝＝＝4，∴BE＝BC＝2，∴S平行四邊形ABFD＝4×2＝8，故答案為8．

12.6.（2021?浙江省麗水市）

一個多邊形過頂點剪去一個角后，所得多邊形的內角和為720°，則原多邊形的邊數是__________．

【答案】6或7

【解析】

【分析】求出新的多邊形為6邊形，則可推斷原來的多邊形可以是6邊形，可以是7邊形．

【詳解】解：由多邊形內角和，可得

（n-2）×180°=720°，∴n=6，∴新的多邊形為6邊形，∵過頂點剪去一個角，∴原來的多邊形可以是6邊形，也可以是7邊形，故答案為6或7．

13.（2021?青海省）如圖，在?ABCD中，對角線BD＝8cm，AE⊥BD，垂足為E，且AE＝3cm，BC＝4cm，則AD與BC之間的距離為　6cm　．

【分析】設AB與CD之間的距離為h，由條件可知?ABCD的面積是△ABD的面積的2倍，可求得?ABCD的面積，再S四邊形ABCD＝BC?h，可求得h的長．

【解答】解：

∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，在△ABD和△BCD中

∴△ABD≌△BCD（SSS），∵AE⊥BD，AE＝3cm，BD＝8cm，∴S△ABD＝BD?AE＝×8×3＝12（cm2），∴S四邊形ABCD＝2S△ABD＝24cm2，設AD與BC之間的距離為h，∵BC＝4cm，∴S四邊形ABCD＝AD?h＝4h，∴4h＝24，解得h＝6cm，故答案為：6cm．

14.（2021?浙江省嘉興市）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AB⊥AC，AH⊥BD于點H，若AB＝2，BC＝2，則AH的長為

．

【分析】在Rt△ABC和Rt△OAB中，分別利用勾股定理可求出BC和OB的長，又AH⊥OB，可利用等面積法求出AH的長．

【解答】解：如圖，∵AB⊥AC，AB＝2，BC＝2，∴AC＝＝2，在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝OC＝，在Rt△OAB中，OB＝＝，又AH⊥BD，∴OB?AH＝OA?AB，即＝，解得AH＝．

故答案為：．

15.（2021?黑龍江省龍東地區）如圖，在平行四邊形中，對角線、相交于點O，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件______________，使平行四邊形是矩形．．

【答案】

【解析】

【分析】根據矩形的判定方法即可得出答案．

【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴當時，四邊形ABCD為矩形．

故答案為：．

三、解答題

1.（2021?湖北省武漢市）如圖，AB∥CD，∠B＝∠D，BC的延長線分別交于點E，F，求證：∠DEF＝∠F．

【分析】由平行線的性質得到∠DCF＝∠B，進而推出∠DCF＝∠D，根據平行線的判定得到AD∥BC，根據平行線的性質即可得到結論．

【解答】證明：∵AB∥CD，∴∠DCF＝∠B，∵∠B＝∠D，∴∠DCF＝∠D，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠F．

2.（2021?懷化市）已知：如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，點E、A、C、F在同一直線上，AE＝CF．

求證：（1）△ADE≌△CBF；

（2）ED∥BF．

【分析】（1）根據平行四邊形的性質，可以得到DA＝BC，DA∥BC，然后即可得到∠EAD＝∠FCB，再根據SAS即可證明△ADE≌△CBF；

（2）根據（1）中的結論和全等三角形的性質，可以得到∠E＝∠F，從而可以得到ED∥BF．

【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴DA＝BC，DA∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵∠DAC+∠EAD＝180°，∠BCA+∠FCB＝180°，∴∠EAD＝∠FCB，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）由（1）知，△ADE≌△CBF，∴∠E＝∠F，∴ED∥BF．

3.如（2021?岳陽市）圖，在四邊形中，，垂足分別為點，．

（1）請你只添加一個條件（不另加輔助線），使得四邊形為平行四邊形，你添加的條件是________；

（2）添加了條件后，證明四邊形為平行四邊形．

【答案】（1）（答案不唯一，符合題意即可）；（2）見解析

4.（2021?宿遷市）在①AE=CF；②OE=OF；③BE∥DF這三個條件中任選一個補充在下面橫線上，并完成證明過程．

已知，如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD相交于點O，點E、F在AC上，(填寫序號)．

求證：BE=DF．

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．

【答案】見解析

【解析】

【分析】若選②，即OE=OF；根據平行四邊形的性質可得BO=DO，然后即可根據SAS證明△BOE≌△DOF，進而可得結論；若選①，即AE=CF；根據平行四邊形的性質得出OE=OF后，同上面的思路解答即可；若選③，即BE∥DF，則∠BEO=∠DFO，再根據平行四邊形的性質可證△BOE≌△DOF，于是可得結論．

【詳解】解：若選②，即OE=OF；

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO=DO，∵OE=OF，∠BOE=∠DOF，∴△BOE≌△DOF（SAS），∴BE=DF；

若選①，即AE=CF；

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO=DO，AO=CO，∵AE=CF，∴OE=OF，又∠BOE=∠DOF，∴△BOE≌△DOF（SAS），∴BE=DF；

若選③，即BE∥DF；

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO=DO，∵BE∥DF；

∴∠BEO=∠DFO，又∠BOE=∠DOF，∴△BOE≌△DOF（AAS），∴BE=DF；

5.（2021?山東省聊城市）

如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O，且AO＝CO，點E在BD上，滿足∠EAO＝∠DCO．

（1）求證：四邊形AECD是平行四邊形；

（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四邊形AECD的面積．

【答案】（1）見解析；（2）24

【解析】

【分析】（1）根據題意可證明，得到OD＝OE，從而根據“對角線互相平分的四邊形為平行四邊形”證明即可；

（2）根據AB=BC，AO=CO，可證明BD為AC的中垂線，從而推出四邊形AECD為菱形，然后根據條件求出DE的長度，即可利用菱形的面積公式求解即可．

【詳解】（1）證明：在△AOE

和△COD中，∴．

∴OD＝OE．

又∵AO＝CO，∴四邊形AECD

是平行四邊形．

（2）∵AB＝BC，AO＝CO，∴BO為AC的垂直平分線，．

∴平行四邊形

AECD是菱形．

∵AC＝8，．

在Rt△COD

中，CD＝5，∴，∴四邊形

AECD的面積為24．

6.（2021?湖南省永州市）如圖，已知點A，D，C，B在同一條直線上，AD＝BC，AE＝BF，AE∥BF．

（1）求證：△AEC≌△BFD．

（2）判斷四邊形DECF的形狀，并證明．

7.（2021?四川省廣元市）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點，連接AE，若AE的延長線和BC的延長線相交于點F．

（1）求證：BC=CF；

（2）連接AC和相交于點為G，若△GEC的面積為2，求平行四邊形ABCD的面積．

【答案】（1）證明見解析；（2）24．

【解析】

【分析】（1）根據E是邊DC的中點，可以得到，再根據四邊形ABCD是平行四邊形，可以得到，再根據，即可得到，則答案可證；

（2）先證明，根據相似三角形的性質得出，進而得出，由得，則答案可解．

【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴，∵點E為DC的中點，∴，在和中

∴，∴，∴；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，點E為DC的中點，∴，∴，∴，∵的面積為2，∴，即，∵

∴，∴，∴，∴．

8.（2021?新疆）如圖，在矩形ABCD中，點E在邊BC上，點F在BC的延長線上，且．

求證：（1）；

（2）四邊形AEFD是平行四邊形．

【答案】（1）證明過程見解析；（2）證明過程見解析．

9.（2021?浙江省紹興市）問題：如圖，在?ABCD中，AB＝8，∠DAB，∠ABC的平分線AE，F，求EF的長．

答案：EF＝2．

探究：（1）把“問題”中的條件“AB＝8”去掉，其余條件不變．

①當點E與點F重合時，求AB的長；

②當點E與點C重合時，求EF的長．

（2）把“問題”中的條件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余條件不變，D，E，F相鄰兩點間的距離相等時，求的值．

【分析】（1）①證∠DEA＝∠DAE，得DE＝AD＝5，同理BC＝CF＝5，即可求解；

②由題意得DE＝DC＝5，再由CF＝BC＝5，即可求解；

（2）分三種情況，由（1）的結果結合點C，D，E，F相鄰兩點間的距離相等，分別求解即可．

【解答】解：（1）①如圖1所示：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD＝AB＝8，BC＝AD＝5，∴∠DEA＝∠BAE，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠DEA＝∠DAE，∴DE＝AD＝5，同理：BC＝CF＝5，∵點E與點F重合，∴AB＝CD＝DE+CF＝10；

②如圖3所示：

∵點E與點C重合，∴DE＝DC＝5，∵CF＝BC＝5，∴點F與點D重合，∴EF＝DC＝5；

（2）分三種情況：

①如圖3所示：

同（1）得：AD＝DE，∵點C，D，E，F相鄰兩點間的距離相等，∴AD＝DE＝EF＝CF，∴＝；

②如圖4所示：

同（1）得：AD＝DE＝CF，∵DF＝FE＝CE，∴＝；

③如圖5所示：

同（1）得：AD＝DE＝CF，∵DF＝DC＝CE，∴＝2；

綜上所述，的值為或．