2020-2021學年第一學期期末考試

高一數學試題

考試時間：120分鐘；總分：150分

一．選擇題（共12小題）

1．已知角α的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊與單位圓交于點，那么cos（﹣α）等于（）

A．

B．

C．

D．

2．若2sinx﹣cos（+x）＝2，則cos2x＝（）

A．

B．

C．﹣

D．﹣

3．已知兩個單位向量，的夾角為θ，則下列結論不正確的是（）

A．在方向上的投影為cosθ

B．＝

C．|?|＝1

D．（+）⊥（﹣）

4．在平行四邊形ABCD中，E為對角線AC上一點，且4，則＝（）

A．

B．

C．

D．

5．若＝2，則sinθcosθ的值是（）

A．

B．

C．±

D．

6．若sinθ﹣cosθ＝，且θ∈（,π），則sin（π﹣θ）﹣cos（π﹣θ）＝（）

A．﹣

B．

C．﹣

D．

7．已知實數a＝tan（sin），b＝tan（cos），c＝tan（tan），則（）

A．b＜a＜c

B．b＜c＜a

C．c＜a＜b

D．c＜b＜a

8．已知向量＝（﹣1，2），＝（2m﹣1，1），且⊥，則|+2|＝（）

A．5

B．4

C．3

D．2

9．已知非零向量，若||＝||，⊥（﹣2），則與的夾角是（）

A．

B．

C．

D．

10．已知函數，則下列說法正確的是（）

A．f（x）的最小正周期為2π

B．f（x）關于點對稱

C．f（x）在上單調遞減

D．f（x）的圖象關于直線對稱

11．已知點O為△ABC內一點，滿足，若，則λ＝（）

A．

B．

C．

D．﹣2

12．已知函數f（x）＝sin（ωx+φ），其中ω＞0，|φ|≤，為f（x）的零點：且f（x）≤|f（）|恒成立，f（x）在區間（﹣）上有最小值無最大值，則ω的最大值是（）

A．13

B．15

C．17

D．19

二、填空題

13．一個扇形的面積為4，周長為8，則這個扇形的圓心角為

．

14．在△ABC中，tanA，tanB是方程2x2+3x+7＝0的兩根，則tanC＝

．

15．在邊長為4的等邊△ABC中，＝，＝，則

＝

．

16．已知函數，則f（1）+f（2）+…+f（2020）＝

．

三、解答題

17．已知＝（1，3），＝（3，m），＝（﹣1，n），且∥．

（1）求實數n的值；

（2）若⊥，求實數m的值．

18．若角α的終邊上有一點P（m，﹣4），且cosα＝﹣．

（1）求m的值；

（2）求的值．

19已知α∈（0，），β∈（﹣，0），cos（﹣α）＝，cos（β+）＝．

（Ⅰ）求sin2α的值；

（Ⅱ）求cos（α+β）的值．

20．已知函數的圖象如圖所示；

（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；

（Ⅱ）求函數的單調遞減區間．

21．已知函數f（x）＝

sin（2x+）﹣2x．

（1）求f（x）的最小正周期和對稱軸；

（2）當時，求f（x）的值域．

A

22．設O為△ABC的重心，過O作直線l分別交線段AB，AC（不與端點重合）于M，N．若，,（1）求+的值；

O

M

N

（2）求λ?μ的取值范圍．

2020-2021學年第一學期期末考試

高一數學試題參考答案

一．選擇題（共12小題）

1．D

2．A

3．C

4．D

5．B．

6．B

7．A

8．A

9．C

10．C．

11．D．

解：如圖，設，作平行四邊形OAME，其中對角線OM與底邊AB相交于點F，則，易知△OBF∽△MFA，故，則，又，故，則，∴，∵

∴λ＝﹣2．

12．B．

解：由題意知函數f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x＝

為y＝f（x）圖象的對稱軸，x＝﹣為f（x）的零點，∴?＝，n∈N*，∴ω＝2n+1，n∈N*，f（x）在區間（﹣，）上有最小值無最大值，∴周期T≥（+）＝，即≥，∴ω≤16．

∴要求ω的最大值，結合選項，先檢驗ω＝15，當ω＝15時，由題意可得﹣×15+φ＝kπ，φ＝﹣，函數為y＝f（x）＝sin（15x﹣），在區間（﹣，）上，15x﹣∈（﹣，），此時f（x）在15x﹣＝﹣時取得最小值，∴ω＝15滿足題意．

則ω的最大值為15，二、填空題

13．2．14．

．

15．2．16．

1010．

解：∵＝

＝＝＝．

∴f（1）＝，f（2）＝，f（3）＝，f（4）＝．

∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝．

又f（x）的周期為4．

∴f（1）+f（2）+…+f（2020）＝500[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]＝505×2＝1010．

三、解答題

17．解：因為＝（1，3），＝（3，m），＝（﹣1，n），所以＝＝（3，3+m+n），（1）因為∥．所以，即，解得n＝﹣3；

（2）因為＝＝（4，3+m），＝＝（2，m﹣3），又⊥，所以?＝0，即8+（3+m）（m﹣3）＝0，解得m＝±1．

18．解：（1）點P到原點的距離為

r＝|OP|＝

根據三角函數的概念可得cosα＝＝﹣，得m＝﹣3，或

m＝4（舍去）．

（2）＝＝sinα，由（1）可得

r＝＝10，sinα＝＝，∴原式＝sinα＝．

19．解：（Ⅰ）cos（﹣α）＝，得sin2α＝cos2（﹣α）＝2cos2（﹣α）﹣1＝2×﹣1＝﹣；

（Ⅱ）由α∈（0，），β∈（﹣，0），可得﹣α∈（0，），β+∈（0，），則sin（﹣α）＝＝＝；

cos（β+）＝＝＝，則cos（α+β）＝cos[（β+）﹣（﹣α）]＝cos（﹣α）cos（β+）+sin[（﹣α）sin（β+）＝×+×＝．

20．解：（Ⅰ）由圖知，A＝2．T＝π，ω＝＝＝2，由2sin（2×0+φ）＝1，即sinφ＝，又φ∈（0，），所以φ＝故f（x）＝2sin（2x+）．

（Ⅱ）g（x）＝f（x﹣）﹣f（x+）＝2sin[2（x﹣）+]﹣2sin[2（x+）+]

＝2sin2x﹣2sin（2x+）

＝2sin2x﹣2×（sin2x+cos2x）

＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴g（x）的單調遞減區間是[kπ+，kπ+]，k∈Z．

21．已知函數f（x）＝

sin（2x+）﹣2x．

（1）求f（x）的最小正周期和對稱軸；

（2）當時，求f（x）的值域．

解：（1）f（x）＝

sin（2x+）﹣2x，＝（sin2xcos2x）﹣cos2x+1，＝，＝sin（2x+），∴f（x）的最小正周期T＝＝π，令2x+＝，則x＝，k∈Z，故f（x）的最小正周期T＝π，對稱軸x＝，k∈Z，（2），2x+∈[]，∴sin（2x+），故f（x）的值域為.22．

解：（1）連結AO并延長交BC于P，則P是BC的中點，則，．

又，∴＝，＝（）+．

∵M，O，Q三點共線，故存在實數t，使＝t，即（）+＝．

∴，兩式相除消去t得1﹣3λ＝﹣，即．

（2）∵1﹣3λ＝﹣，∴，∵λ，μ∈（0，1），∴，解得．∴．

∴λμ＝＝．

∴當時，λμ取得最小值，當或2時，λμ取得最大值．

∴λμ的取值范圍是[，）．