《空間向量》專題3-1

非坐標運算

（4套，4頁，含答案）

知識點：

非坐標運算：

（1）加減與數乘運算：

定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數乘向量運算如下

；；；

（2）運算律：

⑴加法交換律：；

⑵加法結合律：；

⑶數乘分配律：；

（3）

用行路法分解向量，會比較簡單，容易理解。

具體操作方法：假設自己行路，繞路行，如果行路方向與向量方向一致，則向量為正，否則為負；把行

路經過的向量相加即為該向量分解的結果。

（4）向量的數量積：

．

已知向量和軸，是上與同方向的單位向量，作點在上的射影，作點在上的射影，則叫做向量在軸上或在上的正射影.可以證明的長度．

（5）空間向量數量積的性質：

（1）．（2）．（3）．

（6）空間向量數量積運算律：

（1）．

（2）（交換律）（3）（分配律）．

典型例題：

1.在空間四邊形OABC中，＋－等于（答案：C；

解析：?。絆－＝＋＝.)

A．

B．

C．

D．

2.如圖所示，已知平行六面體OABC－O′A′B′C′，＝a，＝c，′＝b，D是四邊形OABC的中心，則（答案：D；

解析：?。剑剑剑?＋)＝a－b＋c.)

A.＝－a＋b＋c

B.＝－b－a－c

C.＝a－b－c

D.＝a－b＋c

3.如圖所示，已知正三棱錐A－BCD的側棱長和底面邊長都是a，點E，F，G是AB，AD，DC上的點，且AE∶EB＝AF∶FD＝CG∶GD＝1∶2，求下列向量的數量積：

(1)A·D；(2)A·B；(3)G·A；(4)E·B.答案：－a2，0，－a2，a2；

解析：(1)|A|＝a，||＝a，〈A，D〉＝120°，所以A·D＝|||D|cos

120°＝－a2.(2)因為B＝A－A，所以A·B＝A·(A－A)＝A·A－A·A，又因為|A|＝a，||＝a，〈A，A〉＝〈A，A〉＝60°，所以A·B＝a2－a2＝0.(3)因為點F，G是AD，DC上的點，所以G＝＝－A，所以G·A＝－，因為＝a2，所以G·A＝－a2.(4)因為點E，F分別是AB，AD上的點，所以E＝B，所以E·B＝B·B，結合圖形可知〈B，B〉＝60°，所以E·B＝B·B＝×a×a×cos

60°＝a2.隨堂練習：

1.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中運算結果為向量的是（答案：D；

解析：　①(＋)＋＝＋＝；

②(＋)＋＝＋＝；

③(＋)＋＝＋＝；

④(＋)＋＝＋＝.)

①(＋)＋；

②(＋)＋；

③(＋)＋；

④(＋)＋.A．①③

B．②④

C．③④

D．①②③④

2.在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E為PD中點，若＝a，＝b，＝c.試用a，b，c表示向量.答案：a－b＋c；

解析：?。?＋)＝(＋＋)

＝(－＋－－)

＝－＋

＝a－b＋c.3.在空間四邊形ABCD中，A·C＋B·A＋C·B＝___

答案：0；

解析：　設A＝b，A＝c，A＝d，則C＝d－c，B＝d－b，＝c－b.原式＝0._____.《空間向量》專題3-2

非坐標運算

1.在平行六面休ABCD－A′B′C′D′中，若＝x＋2y＋3z，則x＋y＋z等于（答案：B；

解析：　如圖，＝＋＋

＝＋－，所以x＝1，2y＝1，3z＝－1，所以x＝1，y＝，z＝－，因此x＋y＋z＝1＋－＝.)

A．1

B.C.D.2.如圖，空間四邊形OABC中，點M、N分別OA、BC上，OM=2MA，BN=CN，則MN=（答案：B；）

A．12OA?23OB+12OC

B．?23OA+12OB+12OC

C．12OA+12OB?12OC

D．23OA+23OB?12OC

3.如圖，平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，則AC1的長為（答案：D；

解析：　∵＝A＋A＋，∴||＝＝

∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，∴〈A，A〉＝90°，〈A，〉＝〈A，〉＝60°.∴|A|＝＝.)

A.B.C.D.《空間向量》專題3-3

非坐標運算

1.如圖所示，在平行六面體A1B1C1D1－ABCD中，M是AC與BD的交點，若＝a，＝b，＝c，則下列向量中與

相等的向量是（答案：A；

解析：?。剑剑?＋)＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.)

A．－a＋b＋c

B.a＋b＋c

C.a－b＋c

D．－a－b＋c

2.如圖所示，四棱錐P－OABC的底面為一矩形，PO⊥平面OABC，設O＝a，O＝b，O＝c，E、F分別是PC和PB的中點，試用a，b，c表示：B、B、A、E.答案：B＝－a－b＋c，B＝－a－b＋c，A＝－a＋b＋c，E＝a；

解析：　連結BO，則B＝B＝(B＋O)＝(c－b－a)＝－a－b＋c.B＝B＋C＝－a＋C＝－a＋(C＋O)＝－a－b＋c.A＝A＋P＝A＋O＋(P＋O)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c.E＝C＝O＝a.3.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，則＝____

答案：－a＋b－c；

解析：　＝－＝－(＋)＝－a＋b－c.____.(用a，b，c表示)

《空間向量》專題3-4

非坐標運算

1.已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點，M、N分別為BC、PD的中點，求滿足M＝x＋y＋z的實數x，y，z的值．

答案：x＝－1，y＝0，z＝；

解析：?。剑剑剑?－)＝－＋，∴x＝－1，y＝0，z＝.2.如圖所示，已知ABCD－A1B1C1D1是平行六面體．

(1)化簡＋＋，并在圖上標出結果；

(2)設M是底面ABCD的中心，N是側面BCC1B1對角線BC1上的分點，設＝α＋β＋γ，試求α、β、γ的值．

答案：作圖略，α＝，β＝，γ＝；

解析：

(1)如圖所示，取AA1的中點E，在D1C1上取一點F，使得D1F＝2FC1，則＝＋＋.(2)＝＋＝＋＝(＋)＋(＋)＝＋＋.∴α＝，β＝，γ＝.3.在正四面體ABCD中，棱長為a，M，N分別是棱AB，CD上的點，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝|ND|，求|MN|.答案：a；

解析：　∵M＝M＋B＋C＝A＋(A－A)＋(A－A)＝－A＋A＋A.∴M·M＝(－A＋A＋)·(－A＋A＋A)

＝－A·A－A·A＋A·A＋2＋

＝a2－a2－a2＋a2＋a2＋a2＝a2.故|M|＝＝a.即|MN|＝a.