2019-2020學(xué)年市第三中學(xué)高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)（理）試題

一、單選題

1．已知點(diǎn)A（1，2），B（3，1），則線段AB的垂直平分線的方程是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】【詳解】

因?yàn)榫€段的垂直平分線上的點(diǎn)到點(diǎn)，的距離相等，所以

．

即：，化簡(jiǎn)得：．

故選：．

2．已知是橢圓上的一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則的面積是（）

A．1

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】利用余弦定理以及橢圓的定義可得，再由三角形面積公式:即可求得的面積.【詳解】

在中，根據(jù)余弦定理得:

即┄①

由橢圓的定義得:

故:

整理得:┄②

由①②得

故選:D.【點(diǎn)睛】

本題主要考查橢圓的方程、橢圓的定義以及余弦定理的應(yīng)用,能夠掌握橢圓知識(shí)和余弦定理基礎(chǔ)上,靈活使用是解題的關(guān)鍵.3．已知兩條直線：，：

平行，則（）

A．-1

B．2

C．0或-2

D．-1或2

【答案】D

【解析】試題分析：由兩直線平行，且直線的斜率存在，所以，他們的斜率相等，解方程求a．

解：因?yàn)橹本€l1：（a﹣1）x+2y+1=0的斜率存在，又∵l1∥l2，∴，∴a=﹣1或a=2，兩條直線在y軸是的截距不相等，所以a=﹣1或a=2滿足兩條直線平行．

故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩直線平行的性質(zhì)，當(dāng)兩直線的斜率存在且兩直線平行時(shí)，他們的斜率相等，注意截距不相等．

4．如果表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】把方程寫(xiě)成橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式，得到形式，要想表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，必須要滿足，解這個(gè)不等式就可求出實(shí)數(shù)的取值范圍。

【詳解】

轉(zhuǎn)化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得，因?yàn)楸硎窘裹c(diǎn)在軸上的橢圓，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.選A.【點(diǎn)睛】

本題考查了焦點(diǎn)在軸上的橢圓的方程特征、解分式不等式.5．已知點(diǎn)A(2,3)，B(－3,－2)，若直線l過(guò)點(diǎn)P(1,1)且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是（）

A．k≥2或k≤

B．≤k≤2

C．k≥

D．k≤2

【答案】A

【解析】試題分析：因?yàn)椋Y(jié)合圖象可知，當(dāng)或時(shí)，則直線與線段相交，故選A．

【考點(diǎn)】直線的斜率．

6．若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】將曲線變形,可知它是一個(gè)半圓,作出圖形,可知直線過(guò)點(diǎn)時(shí),與半圓有一個(gè)交點(diǎn),直線與半圓相切于點(diǎn)時(shí),也有交點(diǎn),分別求出兩種情況的斜率,可得出答案.【詳解】

由,得,作出如下的圖形,顯然曲線為半圓,直線過(guò)點(diǎn)時(shí),與半圓有一個(gè)交點(diǎn),直線與半圓相切于點(diǎn)時(shí),也有交點(diǎn),當(dāng)直線與半圓相切時(shí),設(shè)斜率為,則直線方程為,由圓心到直線的距離等于半徑得:,解得;

當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),易知,此時(shí)直線的斜率為.故直線與曲線有公共點(diǎn)時(shí)，直線的斜率的取值范圍為.故選:A.【點(diǎn)睛】

本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用,考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想,屬于中檔題.7．設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為

A．

B．

C．

D．3

【答案】B

【解析】繪制不等式組表示的可行域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b＞0時(shí)，直線過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最小；當(dāng)b＜0時(shí)，直線過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.8．已知點(diǎn)，若點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則面積的最小值為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】首先把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,求出圓心和半徑.經(jīng)分析,當(dāng)面積的最小值,即求出圓上的點(diǎn)到直線的最小值,最小值為,由點(diǎn)到直線的距離公式即可求出,即可求得面積的最小值.【詳解】

圓的方程,得

圓的圓心,圓的半徑

由,得

直線的方程為,即

點(diǎn)到直線的距離:

直線與給定的圓相離,圓上的點(diǎn)到直線的距離的最小值

又

.面積的最小值為:.故選:D.【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線和圓方程的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到直線的距離公式,通過(guò)數(shù)形結(jié)合求解.9．給出平面區(qū)域如圖所示,若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最小值,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】目標(biāo)函數(shù)的截距最大時(shí),取得最小值,只需,求解即可.【詳解】

由題意，,目標(biāo)函數(shù)可化為,截距最大時(shí),取得最小值,當(dāng)時(shí),符合題意,即.故選:D.【點(diǎn)睛】

本題考查了線性規(guī)劃,數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.10．若圓上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則半徑的范圍是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】先求出圓心到直線的距離，再根據(jù)有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1得到半徑的范圍為．

【詳解】

圓心坐標(biāo)為，它到直線的距離為，因?yàn)橛星抑挥袃蓚€(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，故半徑，所以．

故選C．

【點(diǎn)睛】

若圓的圓心到直線的距離為，圓的半徑為，（1）若圓上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則；

（2）若圓上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則；

（3）若圓上有且僅有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則；

（4）若圓上有且僅有一個(gè)點(diǎn)到直線的距離為，則.1111．等腰三角形兩腰所在直線的方程分別為與，原點(diǎn)在等腰三角形的底邊上，則底邊所在直線的斜率為（）

A．3

B．2

C．

D．

【答案】A

【解析】，設(shè)底邊為

由題意，到所成的角等于到所成的角于是有，再將A、B、C、D代入驗(yàn)證得正確答案是A。

12．已知是橢圓C：的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,線段PF2與圓相切于點(diǎn)Q,且點(diǎn)Q為線段PF2的中點(diǎn),則橢圓C的離心率為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】連接，先利用三角形中位線定理證明，而即為圓的半徑,從而得焦半徑,再利用橢圓的定義,得,最后利用直線與圓相切的幾何性質(zhì),證明,從而在三角形中利用勾股定理得到間的等式,進(jìn)而計(jì)算離心率.【詳解】

如圖:

連接，點(diǎn)為線段的中點(diǎn),由橢圓定義得:

即

線段與圓相切于點(diǎn)

且

即:

故選:

C.【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的定義及其運(yùn)用,直線與圓的位置關(guān)系,橢圓的幾何性質(zhì)及離心率的求法.掌握橢圓基礎(chǔ)知識(shí)和數(shù)形結(jié)合是本題的關(guān)鍵.二、填空題

13．已知圓C經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，圓心在軸上，則C的方程為_(kāi)_________．

【答案】.【解析】由圓的幾何性質(zhì)得，圓心在的垂直平分線上,結(jié)合題意知，求出的垂直平分線方程，令，可得圓心坐標(biāo)，從而可得圓的半徑，進(jìn)而可得圓的方程.【詳解】

由圓的幾何性質(zhì)得，圓心在的垂直平分線上,結(jié)合題意知，的垂直平分線為，令，得，故圓心坐標(biāo)為，所以圓的半徑，故圓的方程為.【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓的性質(zhì)和圓的方程的求解,意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14．點(diǎn)為直線上的動(dòng)點(diǎn)，它與兩定點(diǎn)，的距離之差的最大值為_(kāi)________.【答案】

【解析】點(diǎn)關(guān)于直線:的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,作直線,可得與的交點(diǎn)即為所求點(diǎn),此時(shí)點(diǎn)與兩定點(diǎn)，的距離之差最大,求解即可.【詳解】

由題知,設(shè)為,易知點(diǎn)在直線的兩側(cè),設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,則,解得,即,作直線,與的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)，可得直線為,聯(lián)立,可得.故.證明如下:

在上任取一點(diǎn)(不同于點(diǎn))，,在中，即,故為時(shí),取得最大值,最大值為.【點(diǎn)睛】

本題考查了直線的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題,作出圖形,數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.15．已知：若直線上總存在點(diǎn)P，使得過(guò)點(diǎn)P的的兩條切線互相垂直，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______．

【答案】

【解析】設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為A、B，則由題意可得四邊形PAOB為正方形，根據(jù)圓心O到直線的距離，進(jìn)行求解即可得的范圍.【詳解】

圓心為，半徑，設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為A、B，則由題意可得四邊形PAOB為正方形，故有，圓心O到直線的距離，即，即，解得或.故答案為：.【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.16．已知P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，是橢圓的左右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若M是的角平分線上一點(diǎn)，且，則的取值范圍是_________．

【答案】

【解析】設(shè)是第二象限的點(diǎn),作出圖形,設(shè)與直線交于點(diǎn),易得,再結(jié)合橢圓中，可得,再由橢圓中,可得.【詳解】

由題意,設(shè)是第二象限的點(diǎn),作出圖形(見(jiàn)下圖),設(shè)與直線交于點(diǎn),因?yàn)?所以,又M是的角平分線上一點(diǎn)，則，故是的中位線,則.是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則,在橢圓中，，則,則，又因?yàn)闄E圓中,所以,故,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】

本題考查了橢圓的幾何性質(zhì),考查了轉(zhuǎn)化思想在解題中的運(yùn)用,利用三角形的中位線、橢圓中,是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.三、解答題

17．已知圓的方程：．

（1）求的取值范圍；

（2）若圓與直線：相交于，兩點(diǎn)，且，求的值．

【答案】（1）（2）

【解析】【試題分析】（1）先配方，當(dāng)時(shí)是圓，即求得的范圍.（2）先求出圓心到直線的距離，然后利用勾股定理得出半徑，進(jìn)而得到的值.【試題解析】

（1）方程可化為，∵此方程表示圓，∴，即．

（2）∵圓的方程化為，∴圓心，半徑，則圓心到直線：的距離為，由于，則，∵，∴，得．

【點(diǎn)睛】本題主要考查二元二次方程什么時(shí)候?yàn)閳A的方程，考查有關(guān)圓的弦長(zhǎng)的計(jì)算方法.對(duì)于二元二次方程，當(dāng)時(shí)，方程為圓的方程，當(dāng)時(shí)，為點(diǎn)的坐標(biāo).直線和圓相交所得弦長(zhǎng)一般利用圓心到直線的距離構(gòu)造直角三角形來(lái)求解.18．已知以點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，線段的垂直平分線交圓于點(diǎn)和，且．

（1）求直線的方程；

（2）求圓的方程．

【答案】（1）（2）或．

【解析】分析：（1）由題意可得CD過(guò)AB的中點(diǎn)，結(jié)合點(diǎn)斜式方程可得其直線方程為；

（2）設(shè)圓心，由圓心在直線上，結(jié)合圓的半徑整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果可得或，則圓的方程為或．

詳解：（1）直線的斜率，中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線方程為，即；

（2）設(shè)圓心，則由點(diǎn)在直線上得：①，又直徑，②

由①②解得：或

圓心或

圓的方程為或．

點(diǎn)睛：求圓的方程，主要有兩種方法：

(1)幾何法：具體過(guò)程中要用到初中有關(guān)圓的一些常用性質(zhì)和定理．如：①圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線垂直的直線上；②圓心在任意弦的中垂線上；③兩圓相切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓心三點(diǎn)共線．

(2)待定系數(shù)法：根據(jù)條件設(shè)出圓的方程，再由題目給出的條件，列出等式，求出相關(guān)量．一般地，與圓心和半徑有關(guān)，選擇標(biāo)準(zhǔn)式，否則，選擇一般式．不論是哪種形式，都要確定三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，所以應(yīng)該有三個(gè)獨(dú)立等式．

19．已知橢圓的方程為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，（1）求的值；

（2）求三角形的面積．

【答案】（1）

（2）

【解析】（1）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,得到關(guān)于的一元二次方程,由,可得,結(jié)合韋達(dá)定理,可求出的值；

（2）結(jié)合（1）利用弦長(zhǎng)公式可求出,然后求得原點(diǎn)到直線的距離,可得三角形的面積為,求解即可.【詳解】

（1）設(shè)，聯(lián)立,得，,又,則,因?yàn)?所以,即,整理得,將代入可得,解得.（2），,設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為,則,.則三角形的面積為.【點(diǎn)睛】

本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系,考查了韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積公式的應(yīng)用,考查了學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于中檔題.20．橢圓的離心率為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線平行于軸時(shí)，直線被橢圓截得線段長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程；

（2）在軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得直線變化時(shí)，總有？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在定點(diǎn)滿足題意.【解析】試題分析：（1）由橢圓的離心率是，直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為列方程組求出，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線方程為，由得，根據(jù)韋達(dá)定理及斜率公式可得，令，可得符合題意.試題解析：（1）∵，∴，橢圓方程化為：，由題意知，橢圓過(guò)點(diǎn)，∴，解得，所以橢圓的方程為：；

（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程：，由得，設(shè)，假設(shè)存在定點(diǎn)符合題意，∵，∴，∴，∵上式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒等于零，∴，即，∴，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，兩點(diǎn)分別為橢圓的上下頂點(diǎn)，顯然此時(shí)，綜上，存在定點(diǎn)滿足題意．