中考數學總復習--幾何變換之翻折探究專題

思考與解決幾何圖形的問題，主要是借助基本圖形的性質（定義，定理等）和圖形之間的關系．許多基本圖形的性質都源于這個圖形本身的“變換特征”，而最為重要和最為常用的圖形關系“全等三角形”很多的情況也是同樣具有“變換”形式的聯系．本來兩個三角形全等是指它們的形狀和大小都一樣，和相互間的位置沒有直接關系，但是，在同一個問題中涉及到的兩個全等三角形，絕大多數都有一定的位置關系，或成軸對稱關系，或成平移關系，或成旋轉的關系（包括中心對稱）．這樣，在解決具體的幾何圖形問題時，圖形本身所顯示或暗示的“變換特征”，對我們識別出、構造出基本圖形和圖形關系（如全等三角形），有著極為重要的啟發和引導的作用．

圖形的翻折問題本質上是軸對稱問題，滿足軸對稱的性質，即：

1.折疊圖形關于折痕對稱

2.對應邊、角相等

3.對應點的連線被折痕垂直平分

我們解決翻折問題一般也是從以上性質出發解決的．

先講翻折題的三種常見方法

【題目】（16

年秋錫山區期中）如圖，在平面直角坐標系中，矩形

ABCO的邊

OA

在x

軸上，邊

OC

在y

軸上，點

B的坐標為（1，3），將矩形沿對角線

AC

翻折，點

B

落在點

D的位置，且

AD

交

y

軸于點

E，那么點

D的坐標為

．

法一：求．定．點．關．于．定．直．線．的．對．稱．點．（萬能方法）

如答圖

1，連

BD，交

AC

于

G，則△ABC∽△AGB∽△BFD，∴BD＝2BG＝AB·

·2＝3×

×2＝

6，DF＝BD·

＝

×

＝3，BF＝3DF＝9，10

10

∴D（－4，12）

法二：由．直．角．翻．折．主．動．尋．求．K．型．相．似．（特殊技巧）

如答圖

1，由∠ADC＝90°?△ADN∽△DCF，相似比為

3：1，設

ON＝CF＝x，則

DN＝3x，DF＝3－3x，由

AN＝3DF

得

x＋1＝3（3－3x），解得

x＝4，∴D（－4，12）

法三：由．翻．折．主．動．尋．求．等．腰．三．角．形．（特殊技巧）

如答圖

2，延長

CD

交

x

軸于

H，可得

CH＝AH，設

DH＝y，則

AH＝y，在Rt△ADH

中用勾股定理可得

y＝4

易得

DM＝12，∴D（－4，12）

法四：由．翻．折．主．動．尋．求．等．腰．三．角．形．（特殊技巧）

如答圖

2，設

CE＝AE＝a，則

OE＝3－a，在Rt△AOE

中用勾股定理可得

a＝5，3

由比例關系可得

OM＝4，∴D（－4，12）

【例題剖析】

題型一：利用對應邊相等，對應角相等

例

1－1、（2015

年無錫）10．如圖，Rt△ABC

中，∠ACB＝90o，AC＝3，BC＝4，將邊

AC

沿

CE

翻折，使點

A

落在AB

上的點

D

處；再將邊

BC

沿

CF

翻折，使點

B

落在CD的延長線上的點

B′處，兩條折痕與斜邊

AB

分別交于點

E、F，則線段

B′F的長為（）

A

．

B．

C．

D．

【解答】選

B

〖點評〗本題的關鍵點在于發現并證明∠B′FB

是直角，由翻折可知∠A＝∠ADC＝∠B′DF，∠A＋∠B＝90°

又∠B＝∠B′========?∠B′FB

是直角?△B′DF

是“345”的三角形

又由翻折可知

B′C＝BC＝4，CD＝AC＝3，例

1－2、（18

年

月錫山區二模）17．如圖，在△ABC

中，∠ACB＝90°，點

D，E

分別在AC，BC

上，且∠CDE＝∠B，將△CDE

沿

DE

折疊，點

C

恰好落在AB

邊上的點

F

處．若

AC＝8，AB＝10，則

CD的長為

．

【解答】CD＝25

答圖

答圖



母子三角形

〖點評〗本題的關鍵點在于發現并證明

F

是

AB的中點，如答圖，由翻折?CF⊥DE=====

?

∠1＝∠B

直角三角形斜邊上的中線定理的逆命題

∠1＝∠2====?∠2＝∠B?CF＝BF======================

?F

是

AB

中點

本題也可以根據

度翻折構造

K

型相似來解決，如答圖

〖針對練習〗

1、（18

年

月宜興一模）16．如圖，在矩形

ABCD

中，AB＝4，BC＝6，E

是

BC的中點，連結

AE，將△ABE

沿

AE

折疊，點

B

落在點

F

處，連結

CF，則

sin∠EFC＝

．

【解答】4

題型二：利用（或構造）等腰三角形

例

2－1、（18

年

月宜興一模）10．一張矩形紙片

ABCD，其中

AD＝8

cm，AB＝6

cm，先沿對角線

BD

對折，點

C

落在點

C′的位置，BC′交

AD

于點

G（圖

1）；再折疊一次，使點

D

與點

A

重合，得折痕

EN，EN

交

AD

于點

M（圖

2），則

EM的長為（）

A．2

B．3

C．

D．7

【解答】選

D

〖點評〗本題的關鍵點在于發現并利用△DEN

是等腰三角形，由翻折?∠CDB＝∠EDB，作高EH

EN

是折痕?EN∥CD?∠END＝∠BDC?∠END＝∠EDN?EN＝ED===

?△DEN

是

“556”的三角形

例

2－2、（12

年南長區一模）已知正方形

ABCD的邊長為

6cm，點

E

是射線

BC

上的一個動點，連接

AE

交射線

DC

于點

F，將△ABE

沿直線

AE

翻折，點

B

落在點

B′處．

（1）

當BE＝1

時，CF＝

cm；

CE

（2）

當BE＝2

時，求

sin∠DAB′的值；

CE

（3）

略

【解答】當

E

點在BC

邊上時，sin∠DAB′＝

5，當

E

點在BC的延長線上時，sin∠DAB′

＝3，5

〖點評〗本題三種方法都可以，方法一：如答圖

1，構造等腰三角形

AGF，再由勾股定理得到方程

x2＋62＝（9－x）2

解得

x＝5，所以

sin∠DAB′＝

方法二：如答圖

2，△ABE∽△AHB∽△B′GB，三邊之比都為

2：3：

13，∴BH＝

BE＝

×4＝

?BB′＝2BH＝

?BG＝

BB′＝48

?AG＝30

?sin∠

DAB′＝

13

方法三：如答圖

3，構造相似三角形△AB′F∽△B′EG，且相似比為

3：2，可得方程組

3x＋2y＝6

，解得

x＝10

13，所以

sin∠DAB′＝

3x

2＋

3y

2＝36

y＝24

另一種情況類似，參考答圖

答圖

答圖

答圖

答圖

例

2－3、（17

年濱湖二模）18．如圖，在Rt△ABC

中，∠C＝90°，AC＝3

cm，BC＝4

cm，點

E

從

C

點出發向終點

B

運動，速度為

cm/秒，運動時間為

t

秒，作

EF∥AB，點

P

是點

C

關于

EF的對稱點，連結

AP，當△AFP

恰好是直角三角形時，t的值為

．

【解答】t＝25或7

答圖

答圖

〖點評〗本題的關鍵點在于

CP

與折痕

EF

垂直，也即與

AB

垂直，在∠APE＝90°時，可得等腰三角形

ABE。

首先∠AFP

不可能是直角，否則易得∠CFE＝45°，與題意不符；

如果∠FAP＝90°，則

AP∥BC?CP＝5AC＝15

?CE＝CP·1·5＝25

∠F?E＝∠FEC＝∠B

如果∠APE＝90°，則

A、P、E

三點共線?∠FEP＝∠BAE===========?∠BAE＝∠

B?AE＝BE?32＋t2＝（4－t）2?t＝7

題型三：利用（或構造）“K”字形相似

例

3－1、探究與應用：在學習幾何時，我們可以通過分離和構造基本圖形，將幾何“模塊”

化．例如在相似三角形中，K

字形是非常重要的基本圖形，可以建立如下的“模塊”（如圖1）：

（1）

請就圖

證明上述“模塊”的合理性；

（2）

請直．接．利．用．上述“模塊”的結論解決下面兩個問題：

①如圖

2，已知點

A（－2，1），點

B

在直線

y＝－2x＋3

上運動，若∠AOB＝90°，求此時點

B的坐標；

②如圖

3，過點

A（－2，1）作

x

軸與

y

軸的平行線，交直線

y＝－2x＋3

于點

C、D，求點

A

關于直線

CD的對稱點

E的坐標．

【解答】（1）略；（2）①B（3，3）；

②過點

E

作

EN⊥AC的延長線于點

N，過點

D

作

DM⊥NE的延長線于點

M，∵A（－2，1），∴C

點的縱坐標為

1，D

點的橫坐標為－2，∴C（x，1），D（－2，y），∴1＝－2x＋3，y＝－2×（－2）＋3，∴x＝1，y＝7，∴C（1，1），D（－2，7）．設

E（x，y），∴DM＝x＋2，ME＝7－y，CN＝x－1，EN＝y－1，由對稱可知：DE＝AD＝6，CE＝AC＝3

∵∠M＝∠N＝∠DEC＝90°，∴△DME∽△ENC，∴DM

＝

ME

＝DE，EN

CN

CE

∴x＋2

＝

＝x

香

1，y香1

7香y

∴解得：

x＝14

y＝17

∴B（14，17）

例

3－2、（14

外國語一模，18）如圖，將等邊△ABC

折疊，使點

B

落在邊

AC

上，對應點

為

D，設折痕為

MN，如果CD

＝

3，則BM的值為

．

DA

BN

【解答】BM

＝

BN

〖點評〗方法一：如答圖

1，根據翻折，得到∠MDN＝60°?△ADN∽△CMD?

DM

＝

DN

CD＋DM＋MC

＝CD＋BM＋MC

＝CD＋BC

＝8

AD＋DN＋NA

AD＋BN＋NA

AD＋AB

方法二：如答圖

2，分別邊

D

點作

DF⊥BC

于

F

點，作

DE⊥AB

于

E

點，則設

AD＝4，CD＝6，則

CF＝3，DF＝3

3，AE＝2，DE＝2

3，x2＝

香x

2＋

再設

BM＝x，BN＝y，則有

y2＝

8

香

y

2＋

x＝38

解得

y＝19

∴DM

＝

DN

答圖

答圖

〖針對練習〗

1、（2016

河南）如圖，已知

AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，點

E

為射線

BC

上的一個動點，連接

AE，將△ABE

沿

AE

折疊，點

B

落在點

B′處，過點

B′作

AD的垂線，分別交

AD、BC

于點

M、N，當點

B′為線段

MN的三等分點時，BE的長為

．

【答案】322或355

題型四：利用相似算對稱點

例

4－1、（11

年東林，26）如圖

1，直線

y＝－3x＋3

與

x

軸、y

軸交于

A、B

兩點，C

點為

線段

AO

上一點，一動點

P

在x

軸上．

（1）

當

P

點運動到與原點

O

重合時，P

點關于直線

BC的對稱點恰好落在直線

AB

上，求此時

PC的長；

（2）

如圖

2，若

C

點為線段

AO的中點，問：P

點運動到何處，點

P

關于直線

BC的對稱點落在直線

AB

上？

【解答】（1）方法較多，PC＝3

（2）C（2，0），△AOB

三邊之比為

2：3：

設

P（t，0），則

CP＝2－t，由△AOB∽△PHD∽△PECàDH＝

PD＝

·2PE＝

·2·

PC＝12（2－t）＝24香12晦，13

PH＝3DH＝18（2－t）àOH＝36香5晦，13

∴D（36香5晦，24香12晦），代入

y＝－3x＋3

可得

t＝16

例

4－2、（2016

無錫，27）如圖，已知□ABCD的三個頂點

A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作□ABCD

關于直線

AD的對稱圖形

AB1C1D．

（1）

若

m＝3，試求四邊形

CC1B1B的面積

S的最大值；

（2）

若點

B1

恰好落在y

軸上，試求n的值．

m

【解答】（1）如圖

1，∵□ABCD

與四邊形

AB1C1D

關于直線

AD

對稱，∴四邊形

AB1C1D

是平行四邊形，CC1⊥EF，BB1⊥EF，∴BC∥AD∥B1C1，CC1∥BB1，∴四邊形

BCEF、B1C1EF

是平行四邊形，∴S□BCEF＝S□BCDA＝S□B1C1DA＝S□B1C1EF，∴S□BCC1B1＝2S□BCDA．

∵A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）、m＝3，∴AB＝m－n＝3－n，OD＝2n，∴S

BCDA＝AB?OD＝（3－n）?2n＝－2（n2－3n）＝－2（n－3）2＋9，□

∴S

＝2S

2

＝－4（n－3）2＋9．

□BCC1B1

□BCDA

∵－4＜0，∴當

n＝3時，S

最大值為

9；

□BCC1B1

（2）當點

B1

恰好落在y

軸上，如圖

2，∵DF⊥BB1，DB1⊥OB，∴∠B1DF＋∠DB1F＝90°，∠B1BO＋∠OB1B＝90°，∴∠B1DF＝∠OBB1．

∵∠DOA＝∠BOB1＝90°，∴△AOD∽△B1OB，∴OA

＝

OB1，OD

OB

∴

n

＝

OB1，2n

m

∴OB1＝m．

由軸對稱的性質可得

AB1＝AB＝m－n．

在Rt△AOB1

中，n2＋（m）2＝（m－n）2，2

整理得

3m2－8mn＝0．

∵m＞0，∴3m－8n＝0，∴n

＝

3．m

〖針對練習〗

1、（18

年濱湖區一模）28．如圖，在Rt△ABC

中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，G

是邊

AB的中點，平行于

AB的動直線

l

分別交△ABC的邊

CA、CB

于點

M、N，設

CM

＝m．

（1）

當

m＝1

時，求△MNG的面積；

（2）

若點

G

關于直線

l的對稱點為點

G′，請求出點

G′恰好落在△ABC的內部（不含邊界）時，m的取值范圍；

（3）

略

【解答】（1）9；（2）7＜t＜4

題型五：翻折形成輔助圓

例

5－1、如圖，在邊長為

2的菱形

ABCD

中，∠A＝60°，M

是

AD

邊的中點，N

是

AB

邊上一動

A

點，將△AMN

沿

MN

所在的直線翻折得到△A＇MN，連接

A＇C，則

A＇C

長度的最小值是

．

【答案】

7－1，〖點評〗本題的關鍵點在于根據翻折判斷出點

A′的軌跡是以

M

為圓心，MA

為半徑的圓弧，最后利用圓外一點到圓上的最短距離找到最小值

例

5－2、（2017

無錫）28．如圖，已知矩形

ABCD

中，AB＝4，AD＝m，動點

P

從點

D

出發，在邊

DA

上以每秒

個單位的速度向點

A

運動．連結

CP，作點

D

關于直線

PC的對稱點

E．設點

P的運動時間為

t（s）．

（1）

若

m＝6，求當

P、E、B

三點在同一直線上時對應的t的值；

（2）

已知

m

滿足：在動點

P

從點

D

到點

A的整個運動過程中，有且只有一個時刻

t，使點

E

到直線

BC的距離等于

3，求所有這樣的m的取值范圍．

【解析】由翻折?點

E

在以

C

為圓心，CD

為半徑的圓上

（1）

點

E的確定

當

P、E、B

三點共線時，由∠PEC＝90°à∠BEC＝90°à點

E

又在以

BC

為直徑的圓上?

點

E

是兩圓交點，易得△BEC≌△PAB?BP＝BC＝6

而

BE＝

香

42＝2

∴t＝PD＝PE＝6－2

也可以利用翻折得到∠DPC＝∠EPC，結合∠DPC＝∠PCB?∠EPC＝∠PCB?BP＝BC＝

（2）

點

E的確定

點

E

到直線

BC的距離等于

3，點

E

又在以

C

為圓心，CD

為半徑的圓上à點

E

只能有圖中兩種情況，然后由點

E的位置反推出點

P的兩個極限位置即可

由△P2DC∽△DHE2?

D?2

＝

DH

?

D?2

＝

?DP2＝4

7，若

DP2＞DA，則

E2

要舍去，CD

只存在唯一的E

點；

E2H

由△P1DC∽△DFE1?

D?1

＝

DF

?

D?1

＝

?DP1＝4

7，若

DP1＞DA，則

E1

和

E2

都要舍

去，不存在E

點

CD

E1F

∴P

點應在P1P2

之間，477≤m＜4

例

5－3、（16

年濱湖區一模）27．如圖

1，∠AOB＝45°，點

P、Q

分別是邊

OA、OB

上的兩點，且

OP＝2cm．將∠O

沿

PO

折疊，點

O

落在平面內點

C

處．

（1）

①當

PC∥QB

時，OQ＝；

②當

PC⊥QB

時，求

OQ的長．

（2）

當折疊后重疊部分為等腰三角形時，求

OQ的長．

【解答】（1）2；

（2）2

2＋2，2

2－2；

（3）

符合條件的點

Q

共有

個．

①當點

C

在∠AOB

內部或一邊上時，OQ＝2，2，2

②當點

C

在∠AOB的外部時，OQ＝

6＋

2，6－

〖點評〗本題的關鍵點在于根據翻折判斷出點

C的軌跡是以

P

為圓心，OP

為半徑的圓，難點在于分類要全面

〖針對練習〗

1、（2017

宿遷）26．如圖，在矩形紙片

ABCD

中，已知

AB＝1，BC＝

3，點

E

在邊

CD

上移動，連接

AE，將多邊形

ABCE

沿直線

AE

翻折，得到多邊形

AB′C′E，點

B、C的對應點分別為點

B′、C′．

（1）

當

B′C′恰好經過點

D

時（如圖

1），求線段

CE的長；

（2）

若

B′C′分別交邊

AD，CD

于點

F，G，且∠DAE＝22.5°（如圖

2），求△DFG的面積；

（3）

在點

E

從點

C

移動到點

D的過程中，求點

C′運動的路徑長．

【解答】（1）CE＝

6－2；（2）5

香

6；（3）2

n

題型六：翻折的構造

例

6－1、如圖，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN

于點

H，且

MH＝2，NH＝3，求

AH的長．

【解答】方法一：根據定長對定角作輔助圓；

方法二：折疊，如答圖，作兩次軸對稱得到正方形

ABCD，即而可得

AH＝6，例

6－2、如圖，△ABC

中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D

是△ABC

內一點，且

AD＝AC，BD＝CD，則∠ADB的度數為（）

A．135°

B．120°

C．150°

D．140°

【解答】選

A，如答圖，補成完整的正方形，顯然∠ADB＝135°

例

6－3、（18

年

月宜興一模）9．如圖，Rt△ABC

中，∠CAB＝90°，在斜邊

CB

上取兩點

M、N（不包含

C、B

兩點），且

tanB＝tanC＝tan∠MAN＝1．設

MN＝x，BM＝n，CN＝

m，則以下結論不可能成立的是（）

A．m＝n

B．x＝m＋n

C．x＜m＋n

D．x2＝m2＋n2

【解答】選

D，方法一，構造旋轉，如答圖

1；

方法二，構造折疊，如答圖

2；

題型七：綜合型

例

7－1、（14

年江南中學，10，03

年天津）如圖，在△ABC

中，已知

AB＝2a，∠A＝30°，CD

是

AB

邊的中線，若將△ABC

沿

CD

對折起來，折疊后兩個小△ACD

與△B′CD

重疊

部分的面積恰好等于折疊前△ABC的面積的1，有如下結論：①BC的邊長可以等于

a；②

折疊前的△ABC的面積可以等于

2；③折疊前的△ABC的面積可以等于

2；④折疊

a

a

后，以

A、B′為端點的線段與中線

CD

一定平行且相等，其中正確的結論是（）

A．①③

B．①②④

C．①③④

D．①②③④

解：如圖，設

B′D

與

AC

相交于

O，∵CD

是

AB

邊的中線，∴S

ACD＝S

BCD＝1S

ABC，△

△

△

∵重疊部分的面積恰好等于折疊前△ABC的面積的1，4

∴點

O

是

AC、B′D的中點，∴四邊形

ADCB′是平行四邊形，∴AB′∥CD，B′C∥AD，B′C＝AD，故④正確；

∴B′C∥BD，B′C＝BD，∴四邊形

BCB′D

是平行四邊形，由翻折變換的性質得，BC＝B′C，∴平行四邊形

BCB′D

是菱形，∴BC＝BD＝1AB＝1×2a＝a，故①正確；

若

S△ABC＝

3a2，2

∵四邊形

AB′CD

為平行四邊形，∴S

COD＝1S

ACD＝1S

ABC，滿足條件，即

S

ABC

△

△

△

△的值可以等于

3a2，故②正確，2

假設折疊前的△ABC的面積可以等于

3a2，設點

C

到

AB的距離為

h，則1×2ah＝

3a2，解得

h＝

3a，3a2÷tan30°＝

3a÷

3＝a，2

∴垂足為

AB的中點

D，∴翻折后點

A、B

重合，不符合題意，∴假設不成立，則③錯誤．

綜上所述，正確的結論有①②④．

故選：B．

課后練習

1、如圖，矩形

ABCD

中，AD＝5，AB＝8，點

E

為

DC

上一個動點，把△ADE

沿

AE

折疊，若點

D的對應點

D′，連接

D′B，以下結論中：

①D′B的最小值為

3；

②當

DE＝5時，△ABD′是等腰三角形；

③當

DE＝2

時，△ABD′是直角三角形；

④△ABD′不可能是等腰直角三角形；

其中正確的有

．（填上你認為正確結論的序號）

【解答】①②④

2、如圖，在一張矩形紙片

ABCD

中，AB＝4，BC＝8，點

E、F

分別在AD、BC

上，將紙片

ABCD

沿直線

EF

折疊，點

C

落在AD

上的一點

H

處，點

D

落在點

G

處，有以下四個結論：①四邊形

CFHE

是菱形；②EC

平分∠DCH；③線段

BF的取值范圍為

3≤BF≤4；

④當點

H

與點

A

重合時，EF＝2

5．以上結論中，你認為正確的有（）個．

A．1

B．2

C．3

D．4

【解答】選C3、（2017

年無錫）10．如圖，△ABC

中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，點

D

是

BC

邊的中點，將△ABD

沿

AD

翻折得到△AED，連

CE，則線段

CE的長等于（）

A．2

B．5

C．5

D．7

【解答】選

D3、（18

年省錫中二模）27．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線

y＝ax2－2ax＋c

與

x

軸交于

A、B

兩點（點

A

在點

B的左側），且

AB＝4，又

P

是第一象限拋物線上的一點，拋物線對稱軸交

x

軸于點

F，交直線

AP

于點

E，AE：EP＝1：2．

（1）

求點

A、點

B的坐標；

（2）

直線

AP

交

y

軸于點

G，若

CG＝5

3，求此拋物線的解析式；

（3）

在（2）的條件下，若點

D

是射線

AP

上一動點，沿著

DF

翻折△ADF

得到△A′DF（點

A的對應點為

A′），△A′DF

與△ADB

重疊部分的面積為△ADB的1，求此時△ADB的面

積．

【解答】（1）A（－1，0），B（3，0）；（2）y＝

3x2－2

3x－

3；

△

（3）如答圖

1，S

ADB＝8

答圖

答圖

注：如果把題目改為“D

點在直線

AP

上”，則有如答圖

2的另一種情況

圖形性質與圖形間關系的發現，既要借助于推理，但更要借助于直覺和觀察，變換的意識與變換的視角，會使這種直覺更敏銳、使這種觀察更具眼力．