幾何專題

題型一考察概念基礎知識點型

例1.如圖1，等腰△ABC的周長為21，底邊BC

＝

5，AB的垂直平分線是DE，則△BEC的周長為。

例2.如圖2，菱形中，、是、的中點，若，菱形邊長______．

圖1

圖2

圖3

例3

已知AB是⊙O的直徑，PB是⊙O的切線，AB＝3cm，PB＝4cm，則BC＝

．

題型二折疊題型：折疊題要從中找到對就相等的關系，然后利用勾股定理即可求解。

例4

分別為，邊的中點，沿

折疊，若，則等于。

例5如圖4.矩形紙片ABCD的邊長AB=4，AD=2．將矩形紙片沿

EF折疊，使點A與點C重合，折疊后在其一面著色（圖），則著色部分的面積為（）

A．

B．

C．

D．

A

B

C

D

E

G

F

F

圖4

圖5

圖6

【題型三】涉及計算題型：常見的有應用勾股定理求線段長度，求弧長，扇形面積及圓錐體積，側面積，三角函數計算等。

例6如圖3，P為⊙O外一點，PA切⊙O于A，AB是⊙O的直徑，PB交⊙O于C，PA＝2cm，PC＝1cm,則圖中陰影部分的面積S是

（）

A.B

C

D

【題型四】證明題型：

第二輪復習之幾何（一）——三角形全等

【判定方法1：SAS】

例1.AC是菱形ABCD的對角線，點E、F分別在邊AB、AD上，且AE=AF。求證：△ACE≌△ACF

A

D

F

E

B

C

例2

正方形ABCD中，AC為對角線，E為AC上一點，連接EB、ED．（1）求證：△BEC≌△DEC；

（2）

延長BE交AD于F，當∠BED=120°時，求∠EFD的度數．

A

F

D

E

B

C

【判定方法2：AAS（ASA）】

例3

ABCD是正方形，點G是BC上的任意一點，于

E，交

AG于F，求證：．

D

C

B

A

E

F

G

例4如圖，在□ABCD中，分別延長BA，DC到點E，使得AE=AB，CH=CD連接EH，分別交AD，BC于點F,G。求證：△AEF≌△CHG.【判定方法3：HL（專用于直角三角形）】

例5在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90o,F為AB延長線上一點,點E在BC上,且AE=CF.(1)求證:Rt△ABE≌Rt△CBF

(2)若∠CAE=30o,求∠ACF度數.A

B

C

E

F

對應練習:1.在平行四邊形ABCD

中，E為BC

中點，AE的延長線與DC的延長線相交于點F.(1)證明：∠DFA

=

∠FAB；(2)證明:

△ABE≌△FCE.2.如圖，點是正方形內一點，是等邊三角形，連接、，延長交邊于點.（1）求證:；（2）求的度數.3．如圖，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，CE與AB相交于F．

(1)求證：△CEB≌△ADC；(2)若AD＝9cm，DE＝6cm，求BE及EF的長．

A

B

C

D

F

E

第二輪復習之幾何（二）——三角形相似

Ⅰ.三角形相似的判定

例1如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F為線段DE上一點，且∠AFE＝∠B.(1)求證：△ADF∽△DEC.(2)若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的長.例2如圖9，點P是正方形ABCD邊AB上一點(不與點A．B重合)，連接PD并將線段PD繞點P順時針方向旋轉90°得到線段PE，PE交邊BC于點F．連接BE、DF。

（1）求證：∠ADP=∠EPB；（2）求∠CBE的度數；

（3）當的值等于多少時．△PFD∽△BFP？并說明理由．

2.相似與圓結合，注意求證線段乘積，一般是轉化證它所在的三角形相似。將乘積式轉化為比例式→比例式邊長定位到哪個三角形→找條件證明所在的三角形相似

例3

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC與E，交BC與D．

求證：（1）D是BC的中點；（2）△BEC∽△ADC；（3）BC2=2AB?CE．

3.相似與三角函數結合，①若題目給出三角函數值一般會將給出的三角函數值用等角進行轉化，然后求線段的長度

②求某個角的三角函數值，一般會先將這個角用等角轉化，間接求三角函數值

例4如圖，點E是矩形ABCD中CD邊上一點，⊿BCE沿BE折疊為⊿BFE,點F落在AD上.(1

求證：⊿ABE∽⊿DFE;(2)若sin∠DFE=,求tan∠EBC的值.練習

一、選擇題

1、如圖1，將非等腰的紙片沿折疊后，使點落在邊上的點處．若點

為邊的中點，則下列結論：①是等腰三角形；②；③是的中位線，成立的有（）A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

2.如圖，等邊△ABC中，BD=CE，AD與BE相交于點P，則∠APE的度數是（）

A．45°

B．55°

C．60°

D．75°

3.如圖3，在中，，點為的中點，垂足為點，則等于（）

A．

B．

C．

D．

A

O

B

C

X

Y

D

圖4

圖5

圖6

圖7

4.如圖4，⊿ABC和⊿CDE均為等腰直角三角形，點B,C,D在一條直線上，點M是AE的中點，下列結論：①tan∠AEC=;②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿ACE

;③BM⊥DM;④BM=DM.正確結論的個數是（）（A）1個

（B）2個

（C）3個

（D）4個

5.如圖5，等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、BC邊上的兩個動點，且總使AD=BE，AE與CD交于點F，AG⊥CD于點G，則

．

6.如圖6，已知點A、B、C、D均在已知圓上，AD∥BC，AC

平分∠BCD，∠ADC

=

120°，四邊形ABCD的周長為10cm．圖中陰影部分的面積為（）A.B.C.D.7.如圖7，在直角坐標系中，將矩形OABC沿OB對折，使點A落在點

處。已知，則點的坐標是（）A、（，）B、（，）

C、（，）

D、（，）

三、解答題

1矩形ABCD中，點E是BC上一點，AE＝AD，DF⊥AE于F，連結DE.求證：DF＝DC．

2.如圖，四邊形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等邊三角形，且點P在矩形上方，點Q在矩形內．求證：（1）∠PBA=∠PCQ=30°；（2）PA=PQ．

A

C

B

D

P

Q

3.點D為等腰直角△ABC內一點，∠CAD＝∠CBD＝15°，E為AD延長線上的一點，且CE＝CA．（1）求證：DE平分∠BDC；（2）若點M在DE上，且DC=DM，求證：

ME=BD．

4.如圖5AB是⊙O的直徑，AC是弦，CD是⊙O的切線，C為切點，AD⊥CD于點D．求證：（1）∠AOC=2∠ACD；

（2）AC2＝AB·AD．、5．

把一張矩形ABCD紙片按如圖方式折疊，使點A與點E重合，點C與點F重合（E、F兩點在BD上），折痕分別為BH、DG。

（1）求證：△BHE≌△DGF；（2）若AB＝6cm，BC＝8cm，求線段FG的長。

6．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，點D是AC的中點，將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個端點分別與A、D重合，連結BE、EC．試猜想線段BE和EC的數量及位置關系，并證明你的猜想．

A

B

C

D

E

第二輪復習之幾何（三）——四邊形

例1.分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE。已知∠BAC=30o，EF⊥AB，垂足為F，連結DF。（1）試說明AC=EF；（2）求證：四邊形ADFE是平行四邊形。

A

B

C

D

E

F

例2如圖，AD∥FE，點B、C在AD上，∠1＝∠2，BF＝BC

⑴求證：四邊形BCEF是菱形

⑵若AB＝BC＝CD，求證：△ACF≌△BDE

例3四邊形ABCD是邊長為2的正方形，點G是BC延長線上一點，連結AG，點E、F分別在AG上，連接BE、DF，∠1=∠2，∠3=∠4.(1)證明：△ABE≌△DAF；

（2）若∠AGB=30°，求EF的長.例4等腰梯形中，，延長到，使．（1）證明：；（2）如果，求等腰梯形的高的值．

D

A

B

E

C

F

【對應練習】

1.在菱形ABCD中，∠A=60°，點P、Q分別在邊AB、BC上，且AP=BQ．

（1）求證：△BDQ≌△ADP；（2）已知AD=3，AP=2，求cos∠BPQ的值(結果保留根號)．

2、如圖，是四邊形的對角線上兩點，．

求證：（1）．（2）四邊形是平行四邊形．

A

B

D

E

F

C

3．在一方形ABCD中．E為對角線AC上一點，連接EB、ED，（1）求證：△BEC≌△DEC：

（2）延長BE交AD于點F，若∠DEB=140°．求∠AFE的度數．

4.在梯形ABCD中，AD∥BC，延長CB到點E，使BE=AD，連接DE交AB于點M.（1）求證：△AMD≌△BME；（2）若N是CD的中點，且MN=5，BE=2，求BC的長.第二輪復習之幾何（四）——圓

Ⅰ、證線段相等

例1：如圖，AB是⊙O的直徑，C是的中點，CE⊥AB于

E，BD交CE于點F．

（1）求證：CF

=BF；（2）若CD

=6，AC

=8，則⊙O的半徑為

___，CE的長是

___

．

A

C

B

D

E

F

O2、證角度相等

例2如圖，是⊙O的直徑，為圓周上一點，過點的切線與的延長線交于點．:求證：（1）；（2）≌．

3、證切線：證明切線的方法——連半徑，證垂直。根據：過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線

例3如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，BD是⊙O的直徑，AE⊥CD于點E，DA平分∠BDE。

（1）求證：AE是⊙O的切線。（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的長。

例4如圖，點A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC=30°．（1）求∠BOC的度數；

（2）求證：四邊形AOBC是菱形．

對應練習

1．如圖，已知⊙O的直徑AB與弦CD互相垂直，垂足為點E.⊙O的切線BF與弦AD的延長線相交于點F，且AD=3，cos∠BCD=

.（1）求證：CD∥BF；（2）求⊙O的半徑；

（3）求弦CD的長.FM

A

DO

EC

O

C

B

2.如圖，點D是⊙O的直徑CA延長線上一點，點B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．

（1）求證：BD是⊙O的切線．（2）若點E是劣弧BC上一點，AE與BC相交于點F，且△BEF的面積為8，cos∠BFA＝，求△ACF的面積．

1.一副三角板,如圖所示疊放在一起,則圖中∠的度數是（）

A．　　　　B．　　　　C．　　　　　D．

圖1

圖2

2．如圖2，在邊長為4的等邊三角形ABC中，AD是BC邊上的高，點E、F是AD上的兩點，圖中陰影部分的面積是（）A．4

B．3

C．2

D．

3.如圖3，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，點P是BC邊上的動點，則AP長不可能是

C

E

A

B

D

圖3

圖4

（A）3.5

（B）4.2

（C）5.8

（D）7

4.如圖4，直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6，8，現將如圖那樣折疊，使點與點重合，折痕為，則的值是（）

A．

B．

C．

D．

5.如圖5，是等腰直角三角形，是斜邊，將繞點逆時針旋轉后，能與重合，如果，那么的長等于（）

A．

B．

C．

D．

6.圖6，已知等邊△ABC中，點D,E分別在邊AB,BC上，把△BDE沿直線DE翻折，使點B落在點Bˊ處，DBˊ,EBˊ分別交邊AC于點F，G，若∠ADF=80o，則∠EGC的度數為

圖5

圖6

圖7

圖8

7．如圖，已知：在平行四邊形ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的平分線交AD于點E，交CD的延長線于點F，則DF=______cm．

8．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，對角線AC的垂直平分線分別交AD，BC于點E、F，連接CE，則CE的長________.9.如圖，BD是⊙O的直徑，OA⊥OB,M是劣弧上一點，過點M作⊙O的切線MP交OA的延長線于P點，MD與OA交于點N。（1）求證：PM=PN；（2）若BD=4,PA=AO,過B點作BC∥MP交⊙O于C點，求BC的長．

10．如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交BC于點P，PD⊥AC于點D，且PD與⊙O相切．

(1)求證：AB＝AC；(2)若BC＝6，AB＝4，求CD的值．

C

B

A

O

P

D

11．一副直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°,∠

E=45°,∠A=60°,AC=10,試求CD的長．

12．四邊形ABCD是邊長為a的正方形，點G，E分別是邊AB，BC的中點，∠AEF=90o，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．（1）證明：∠BAE=∠FEC；

（2）證明：△AGE≌△ECF；（3）求△AEF的面積．

13．如圖，矩形中，．點是上的動點，以為直徑的與交于點，過點作于點．

（1）當是的中點時：

①的值為______________；

②

證明：是的切線；

（2）試探究：能否與相切?若能，求出此時的長；若不能，請說明理由D

E

O

C

B

G

F

A

幾何之——解直角三角形

1在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則tanB＝（）

A．　　B．　　C．　D．

2、在?ABC中，若｜sinA-

|+(-cosB)2=0,∠A.∠B都是銳角，則∠C的度數是（）

A.750

B.900

C.1050

D.12003、如下左圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，則sinA的值是（）

A、B、C、D、4如上右圖，在四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，若EF=2，BC=5，CD=3，則tanC等于（）

A、B、C、D、A

B

C

D

αA5、如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，設∠ADE=，且,AB

=

4,則AD的長為（）．（A）3

（B）

（C）

（D）

6在銳角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE為高，F為BC的中點，連接DE、DF、EF，則結論：①DF=EF；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等邊三角形；④BE+CD=BC；⑤當∠ABC=45°時，BE=DE中，一定正確的有（）A、2個

B、3個

C、4個

D、5個

7.=

8.某人沿著有一定坡度的坡面前進了10米，此時他與水平地面的垂直距離為米，則這

個破面的坡度為

.9.如圖，已知直線∥∥∥，相鄰兩條平行直線間的距離都是1，如果正方形ABCD的四個頂點分別在四條直線上，則

直角三角形常見模型

張華同學在學校某建筑物的C點處測得旗桿頂部A點的仰角為30°，旗桿底部B點的俯角為45°．若旗桿底部B點到建筑物的水平距離BE=9米，旗桿臺階高1米，試求旗桿AB的高度。

2．海船以5海里/小時的速度向正東方向行駛，在A處看見燈塔B在海船的北偏東60°方向，2小時后船行駛到C處，發現此時燈塔B在海船的北偏西45方向，求此時燈塔B到C處的距離。

3某年入夏以來，松花江哈爾濱段水位不斷下降，一條船在松花江某段自西向東沿直線航行，在A處測得航標C在北偏東60°方向上。前進100m到達B處，又測得航標C在北偏東45°方向上（如圖），在以航標C為圓心，120m為半徑的圓形區域內有淺灘，如果這條船繼續前進，是否有被淺灘阻礙的危險？

A

D

B

E

圖6

i=1:

C

4如圖6，梯形ABCD是攔水壩的橫斷面圖，（圖中是指坡面的鉛直高度DE與水平寬度CE的比），∠B=60°，AB=6，AD=4，求攔水壩的橫斷面ABCD的面積．（結果保留三位有效數字.參考數據：≈1.732，≈1.414）