幾何專題
題型一考察概念基礎知識點型
例1.如圖1,等腰△ABC的周長為21,底邊BC
=
5,AB的垂直平分線是DE,則△BEC的周長為。
例2.如圖2,菱形中,、是、的中點,若,菱形邊長______.
圖1
圖2
圖3
例3
已知AB是⊙O的直徑,PB是⊙O的切線,AB=3cm,PB=4cm,則BC=
.
題型二折疊題型:折疊題要從中找到對就相等的關系,然后利用勾股定理即可求解。
例4
分別為,邊的中點,沿
折疊,若,則等于。
例5如圖4.矩形紙片ABCD的邊長AB=4,AD=2.將矩形紙片沿
EF折疊,使點A與點C重合,折疊后在其一面著色(圖),則著色部分的面積為()
A.
B.
C.
D.
A
B
C
D
E
G
F
F
圖4
圖5
圖6
【題型三】涉及計算題型:常見的有應用勾股定理求線段長度,求弧長,扇形面積及圓錐體積,側面積,三角函數計算等。
例6如圖3,P為⊙O外一點,PA切⊙O于A,AB是⊙O的直徑,PB交⊙O于C,PA=2cm,PC=1cm,則圖中陰影部分的面積S是
()
A.B
C
D
【題型四】證明題型:
第二輪復習之幾何(一)——三角形全等
【判定方法1:SAS】
例1.AC是菱形ABCD的對角線,點E、F分別在邊AB、AD上,且AE=AF。求證:△ACE≌△ACF
A
D
F
E
B
C
例2
正方形ABCD中,AC為對角線,E為AC上一點,連接EB、ED.(1)求證:△BEC≌△DEC;
(2)
延長BE交AD于F,當∠BED=120°時,求∠EFD的度數.
A
F
D
E
B
C
【判定方法2:AAS(ASA)】
例3
ABCD是正方形,點G是BC上的任意一點,于
E,交
AG于F,求證:.
D
C
B
A
E
F
G
例4如圖,在□ABCD中,分別延長BA,DC到點E,使得AE=AB,CH=CD連接EH,分別交AD,BC于點F,G。求證:△AEF≌△CHG.【判定方法3:HL(專用于直角三角形)】
例5在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90o,F為AB延長線上一點,點E在BC上,且AE=CF.(1)求證:Rt△ABE≌Rt△CBF
(2)若∠CAE=30o,求∠ACF度數.A
B
C
E
F
對應練習:1.在平行四邊形ABCD
中,E為BC
中點,AE的延長線與DC的延長線相交于點F.(1)證明:∠DFA
=
∠FAB;(2)證明:
△ABE≌△FCE.2.如圖,點是正方形內一點,是等邊三角形,連接、,延長交邊于點.(1)求證:;(2)求的度數.3.如圖,已知∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,CE與AB相交于F.
(1)求證:△CEB≌△ADC;(2)若AD=9cm,DE=6cm,求BE及EF的長.
A
B
C
D
F
E
第二輪復習之幾何(二)——三角形相似
Ⅰ.三角形相似的判定
例1如圖,在平行四邊形ABCD中,過點A作AE⊥BC,垂足為E,連接DE,F為線段DE上一點,且∠AFE=∠B.(1)求證:△ADF∽△DEC.(2)若AB=4,AD=3,AE=3,求AF的長.例2如圖9,點P是正方形ABCD邊AB上一點(不與點A.B重合),連接PD并將線段PD繞點P順時針方向旋轉90°得到線段PE,PE交邊BC于點F.連接BE、DF。
(1)求證:∠ADP=∠EPB;(2)求∠CBE的度數;
(3)當的值等于多少時.△PFD∽△BFP?并說明理由.
2.相似與圓結合,注意求證線段乘積,一般是轉化證它所在的三角形相似。將乘積式轉化為比例式→比例式邊長定位到哪個三角形→找條件證明所在的三角形相似
例3
如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交AC與E,交BC與D.
求證:(1)D是BC的中點;(2)△BEC∽△ADC;(3)BC2=2AB?CE.
3.相似與三角函數結合,①若題目給出三角函數值一般會將給出的三角函數值用等角進行轉化,然后求線段的長度
②求某個角的三角函數值,一般會先將這個角用等角轉化,間接求三角函數值
例4如圖,點E是矩形ABCD中CD邊上一點,⊿BCE沿BE折疊為⊿BFE,點F落在AD上.(1
求證:⊿ABE∽⊿DFE;(2)若sin∠DFE=,求tan∠EBC的值.練習
一、選擇題
1、如圖1,將非等腰的紙片沿折疊后,使點落在邊上的點處.若點
為邊的中點,則下列結論:①是等腰三角形;②;③是的中位線,成立的有()A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
2.如圖,等邊△ABC中,BD=CE,AD與BE相交于點P,則∠APE的度數是()
A.45°
B.55°
C.60°
D.75°
3.如圖3,在中,,點為的中點,垂足為點,則等于()
A.
B.
C.
D.
A
O
B
C
X
Y
D
圖4
圖5
圖6
圖7
4.如圖4,⊿ABC和⊿CDE均為等腰直角三角形,點B,C,D在一條直線上,點M是AE的中點,下列結論:①tan∠AEC=;②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿ACE
;③BM⊥DM;④BM=DM.正確結論的個數是()(A)1個
(B)2個
(C)3個
(D)4個
5.如圖5,等邊三角形ABC中,D、E分別為AB、BC邊上的兩個動點,且總使AD=BE,AE與CD交于點F,AG⊥CD于點G,則
.
6.如圖6,已知點A、B、C、D均在已知圓上,AD∥BC,AC
平分∠BCD,∠ADC
=
120°,四邊形ABCD的周長為10cm.圖中陰影部分的面積為()A.B.C.D.7.如圖7,在直角坐標系中,將矩形OABC沿OB對折,使點A落在點
處。已知,則點的坐標是()A、(,)B、(,)
C、(,)
D、(,)
三、解答題
1矩形ABCD中,點E是BC上一點,AE=AD,DF⊥AE于F,連結DE.求證:DF=DC.
2.如圖,四邊形ABCD是矩形,△PBC和△QCD都是等邊三角形,且點P在矩形上方,點Q在矩形內.求證:(1)∠PBA=∠PCQ=30°;(2)PA=PQ.
A
C
B
D
P
Q
3.點D為等腰直角△ABC內一點,∠CAD=∠CBD=15°,E為AD延長線上的一點,且CE=CA.(1)求證:DE平分∠BDC;(2)若點M在DE上,且DC=DM,求證:
ME=BD.
4.如圖5AB是⊙O的直徑,AC是弦,CD是⊙O的切線,C為切點,AD⊥CD于點D.求證:(1)∠AOC=2∠ACD;
(2)AC2=AB·AD.、5.
把一張矩形ABCD紙片按如圖方式折疊,使點A與點E重合,點C與點F重合(E、F兩點在BD上),折痕分別為BH、DG。
(1)求證:△BHE≌△DGF;(2)若AB=6cm,BC=8cm,求線段FG的長。
6.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,點D是AC的中點,將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置,使三角板斜邊的兩個端點分別與A、D重合,連結BE、EC.試猜想線段BE和EC的數量及位置關系,并證明你的猜想.
A
B
C
D
E
第二輪復習之幾何(三)——四邊形
例1.分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD、等邊△ABE。已知∠BAC=30o,EF⊥AB,垂足為F,連結DF。(1)試說明AC=EF;(2)求證:四邊形ADFE是平行四邊形。
A
B
C
D
E
F
例2如圖,AD∥FE,點B、C在AD上,∠1=∠2,BF=BC
⑴求證:四邊形BCEF是菱形
⑵若AB=BC=CD,求證:△ACF≌△BDE
例3四邊形ABCD是邊長為2的正方形,點G是BC延長線上一點,連結AG,點E、F分別在AG上,連接BE、DF,∠1=∠2,∠3=∠4.(1)證明:△ABE≌△DAF;
(2)若∠AGB=30°,求EF的長.例4等腰梯形中,,延長到,使.(1)證明:;(2)如果,求等腰梯形的高的值.
D
A
B
E
C
F
【對應練習】
1.在菱形ABCD中,∠A=60°,點P、Q分別在邊AB、BC上,且AP=BQ.
(1)求證:△BDQ≌△ADP;(2)已知AD=3,AP=2,求cos∠BPQ的值(結果保留根號).
2、如圖,是四邊形的對角線上兩點,.
求證:(1).(2)四邊形是平行四邊形.
A
B
D
E
F
C
3.在一方形ABCD中.E為對角線AC上一點,連接EB、ED,(1)求證:△BEC≌△DEC:
(2)延長BE交AD于點F,若∠DEB=140°.求∠AFE的度數.
4.在梯形ABCD中,AD∥BC,延長CB到點E,使BE=AD,連接DE交AB于點M.(1)求證:△AMD≌△BME;(2)若N是CD的中點,且MN=5,BE=2,求BC的長.第二輪復習之幾何(四)——圓
Ⅰ、證線段相等
例1:如圖,AB是⊙O的直徑,C是的中點,CE⊥AB于
E,BD交CE于點F.
(1)求證:CF
=BF;(2)若CD
=6,AC
=8,則⊙O的半徑為
___,CE的長是
___
.
A
C
B
D
E
F
O2、證角度相等
例2如圖,是⊙O的直徑,為圓周上一點,過點的切線與的延長線交于點.:求證:(1);(2)≌.
3、證切線:證明切線的方法——連半徑,證垂直。根據:過半徑的外端且垂直于半徑的直線是圓的切線
例3如圖,四邊形ABCD內接于⊙O,BD是⊙O的直徑,AE⊥CD于點E,DA平分∠BDE。
(1)求證:AE是⊙O的切線。(2)若∠DBC=30°,DE=1cm,求BD的長。
例4如圖,點A、B、C、D都在⊙O上,OC⊥AB,∠ADC=30°.(1)求∠BOC的度數;
(2)求證:四邊形AOBC是菱形.
對應練習
1.如圖,已知⊙O的直徑AB與弦CD互相垂直,垂足為點E.⊙O的切線BF與弦AD的延長線相交于點F,且AD=3,cos∠BCD=
.(1)求證:CD∥BF;(2)求⊙O的半徑;
(3)求弦CD的長.FM
A
DO
EC
O
C
B
2.如圖,點D是⊙O的直徑CA延長線上一點,點B在⊙O上,且AB=AD=AO.
(1)求證:BD是⊙O的切線.(2)若點E是劣弧BC上一點,AE與BC相交于點F,且△BEF的面積為8,cos∠BFA=,求△ACF的面積.
1.一副三角板,如圖所示疊放在一起,則圖中∠的度數是()
A. B. C. D.
圖1
圖2
2.如圖2,在邊長為4的等邊三角形ABC中,AD是BC邊上的高,點E、F是AD上的兩點,圖中陰影部分的面積是()A.4
B.3
C.2
D.
3.如圖3,△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,點P是BC邊上的動點,則AP長不可能是
C
E
A
B
D
圖3
圖4
(A)3.5
(B)4.2
(C)5.8
(D)7
4.如圖4,直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6,8,現將如圖那樣折疊,使點與點重合,折痕為,則的值是()
A.
B.
C.
D.
5.如圖5,是等腰直角三角形,是斜邊,將繞點逆時針旋轉后,能與重合,如果,那么的長等于()
A.
B.
C.
D.
6.圖6,已知等邊△ABC中,點D,E分別在邊AB,BC上,把△BDE沿直線DE翻折,使點B落在點Bˊ處,DBˊ,EBˊ分別交邊AC于點F,G,若∠ADF=80o,則∠EGC的度數為
圖5
圖6
圖7
圖8
7.如圖,已知:在平行四邊形ABCD中,AB=4cm,AD=7cm,∠ABC的平分線交AD于點E,交CD的延長線于點F,則DF=______cm.
8.如圖,矩形ABCD中,AB=2,BC=3,對角線AC的垂直平分線分別交AD,BC于點E、F,連接CE,則CE的長________.9.如圖,BD是⊙O的直徑,OA⊥OB,M是劣弧上一點,過點M作⊙O的切線MP交OA的延長線于P點,MD與OA交于點N。(1)求證:PM=PN;(2)若BD=4,PA=AO,過B點作BC∥MP交⊙O于C點,求BC的長.
10.如圖,在△ABC中,以AB為直徑的⊙O交BC于點P,PD⊥AC于點D,且PD與⊙O相切.
(1)求證:AB=AC;(2)若BC=6,AB=4,求CD的值.
C
B
A
O
P
D
11.一副直角三角板如圖放置,點C在FD的延長線上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠
E=45°,∠A=60°,AC=10,試求CD的長.
12.四邊形ABCD是邊長為a的正方形,點G,E分別是邊AB,BC的中點,∠AEF=90o,且EF交正方形外角的平分線CF于點F.(1)證明:∠BAE=∠FEC;
(2)證明:△AGE≌△ECF;(3)求△AEF的面積.
13.如圖,矩形中,.點是上的動點,以為直徑的與交于點,過點作于點.
(1)當是的中點時:
①的值為______________;
②
證明:是的切線;
(2)試探究:能否與相切?若能,求出此時的長;若不能,請說明理由D
E
O
C
B
G
F
A
幾何之——解直角三角形
1在△ABC中,∠C=90°,sinA=,則tanB=()
A. B. C. D.
2、在?ABC中,若|sinA-
|+(-cosB)2=0,∠A.∠B都是銳角,則∠C的度數是()
A.750
B.900
C.1050
D.12003、如下左圖,在△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=5,則sinA的值是()
A、B、C、D、4如上右圖,在四邊形ABCD中,E、F分別是AB、AD的中點,若EF=2,BC=5,CD=3,則tanC等于()
A、B、C、D、A
B
C
D
αA5、如圖,在矩形ABCD中,DE⊥AC于E,設∠ADE=,且,AB
=
4,則AD的長為().(A)3
(B)
(C)
(D)
6在銳角△ABC中,∠BAC=60°,BD、CE為高,F為BC的中點,連接DE、DF、EF,則結論:①DF=EF;②AD:AB=AE:AC;③△DEF是等邊三角形;④BE+CD=BC;⑤當∠ABC=45°時,BE=DE中,一定正確的有()A、2個
B、3個
C、4個
D、5個
7.=
8.某人沿著有一定坡度的坡面前進了10米,此時他與水平地面的垂直距離為米,則這
個破面的坡度為
.9.如圖,已知直線∥∥∥,相鄰兩條平行直線間的距離都是1,如果正方形ABCD的四個頂點分別在四條直線上,則
直角三角形常見模型
張華同學在學校某建筑物的C點處測得旗桿頂部A點的仰角為30°,旗桿底部B點的俯角為45°.若旗桿底部B點到建筑物的水平距離BE=9米,旗桿臺階高1米,試求旗桿AB的高度。
2.海船以5海里/小時的速度向正東方向行駛,在A處看見燈塔B在海船的北偏東60°方向,2小時后船行駛到C處,發現此時燈塔B在海船的北偏西45方向,求此時燈塔B到C處的距離。
3某年入夏以來,松花江哈爾濱段水位不斷下降,一條船在松花江某段自西向東沿直線航行,在A處測得航標C在北偏東60°方向上。前進100m到達B處,又測得航標C在北偏東45°方向上(如圖),在以航標C為圓心,120m為半徑的圓形區域內有淺灘,如果這條船繼續前進,是否有被淺灘阻礙的危險?
A
D
B
E
圖6
i=1:
C
4如圖6,梯形ABCD是攔水壩的橫斷面圖,(圖中是指坡面的鉛直高度DE與水平寬度CE的比),∠B=60°,AB=6,AD=4,求攔水壩的橫斷面ABCD的面積.(結果保留三位有效數字.參考數據:≈1.732,≈1.414)