24.1相似形

1.定義：形狀相同的圖形稱為相似形

【注意】對相似三角形的定義應從以下幾方面理解：

（1）“形狀相同的圖形”是將一個圖形放大或縮小后得到的（2）“大小不一定相同的相似形”說明了相似圖形有兩種情況：一是大小不同；二是大小相同。對于大小不同的兩個相似形，可以看作大的圖形由小的圖形放大而得到，或小的圖形由大的圖形縮小而得到。對于大小相同的兩個相似形，它們可以重合，這時它們是全等形。

（3）所謂形狀相同，應與位置無關，與擺放角度無關，與擺放方向也無關。

例：下列各組中的圖形，不是相似圖形的是（）

（Ａ）同一座城市的兩張比例尺不同的地圖（Ｂ）一個人現在的照片和他十年前的照片

（Ｃ）兩個正方形（Ｄ）國旗上的五角星

2.相似圖形的識別方法

（1）感觀法（2）測量法（3）對比分析法

3.相似圖形的性質

如果兩個多邊形是相似形，那么這兩個多邊形的對應角相等，對應邊的長度成比例。

【注意】（1）當兩個相似的多邊形是全等形時，它們的對應邊的長度的比值都是1

（2）根據此性質，我們可以判定兩個多邊形是否相似。

4.方格法畫與已知圖形相似的圖形

（1）利用“方格法”畫與已知圖形相似的圖形的依據是“兩多邊形對應角相等，對應邊的長度成比例，則兩多邊形相似”。

（2）利用“方格法”畫與已知圖形相似的圖形的方法：在格子圖中畫與已知圖形相似的圖形時，首先應確定對應邊所成的比例數，然后根據比例數在格子點上找出對應邊的長度，再根據對應角相等即可畫出圖形。

例；如圖在正方形網格上，若使∽，則點Ｐ應在（）

24.2比例線段

1.兩條線段的比

如果，那么就說成比例。

兩條線段的長度的比叫做兩條線段的比。

【注意】（1）兩條線段的比，就是在同一單位下它們的長度比。因此，比與所選線段的長度單位無關，但必須選定同一長度單位。

（2）由于長度都是正數，所以兩條線段的比是一個正數。

（3）兩條線段的比是有順序的，不可顛倒，除了時外，互為倒數。

2.成比例線段

在四條線段中，如果的比等于，即，我們把這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。

【注意】（1）比例線段所表示的是四條線段的關系。

（2）比例線段所表示的是一種相等關系，因此表示比例線段的式子中必須有等號存在。

（3）線段成比例是順序地表示為

（4）判斷四條線段是否成比例，只要把這四條線段長度的大小順序排好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可。

3.比例的基本性質

兩個外項的積等于兩個內項的積，即如果，那么。

如果，那么，，…。

4.合比性質

如果，那么；，【注意】（1）在對比例式進行變形時，要注意是分子加減分母經原分母，而不要理解反了

（2）合比性質與比例基本性質結合起來運用可得到很多結論，如：

例：（1）若的值。（2）若，求的值。

5.等比性質

如果，那么

【注意】（1）等比性質可以推廣到任意有限多個相等的比的情形。例如：

如果，那么

（2）在運用等比性質時，一定要注意性質滿足的條件是所有比的分母的和不為0

例：已知，求的值（）

6.黃金分割

如圖，如果點C把線段AB分割成AC和CB（AC>CB）兩條線段，且，那么稱這種分割為黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC（長）是BC（短）與AB（全）的比例中項，AC與AB的比值叫做黃金分割數。

即

兩邊同時加上

得，兩邊開平方得，只取，24.3三角形一邊的平行線

1.三角形一邊的平行線性質定理及推論

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對應線段成比例。

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例。

2.三角形的重心

三角形三條中線的交點叫做三角形的重心。

三角形的重心到一個頂點的距離，等于它到這個頂點對邊中點的距離的兩倍。

3.三角形一邊的平行線判定定理及推論

如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

如果一條直線截三角形的兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。

4.平行線分線段成比例定理

兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應線段成比例

兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段也相等。

5.通過上面的學習，含有比例線段的基本圖形：

例：

1.如圖,已知:在的對角線AC上取一點G,過G作一直線分別交AB的延長線BC和AD及CD的延長線開P、Q、E、S.求證:GP·GQ=GE·GS

分析:求線段的比或證明比例線段關鍵是通過找出“中間比”來進行過渡,這是一種基本方法

.證明中將行者等積式與比例式進行互化是常用的方法.2.如圖,ABC中,AD是BC上中線,F

是

AD上一點,且AF:FD=1:3,聯結BF,并延長AC于E.求證:CE:EA=6:1

分析:作平行線是證明比例線段中常用的輔助線,能起到構造比(比例)和平移比的作用,作不行線是應考慮兩點:一是過哪一點作平行線,二是作哪一直線一平行線.其原則為:通過作平行線出現存在比和比例的基本圖形,要得到的比例式中應盡可能多的出現已知或求證中的線段.3.如圖:在四邊形ABCD中,M、N分別為AB、CD邊的中點,延長AD、MN相交于點G,BC延長線交GM于H.求證:AG:DG=BH:CH

4.如圖,ABC中,點D在BC上,BD:DC=2:1,點E在AD上,AE:ED=2:3,BE的延長線交AC于點F,求BE:EF的值.5、如圖，已知在中，與相交于點，求的值。

6、如圖所示，在菱形中，點、分別在、上，與

相交于點.E

D

C

B

A

F

G

①求證：；

②當時，求證：四邊形是平行四邊形.7、如圖，點是菱形的對角線上一點，聯結并延長，交于點，交的延長線于點．

A

B

C

D

F

F

C

P

E

（1）求證：；

（2）若菱形邊長為，，求的長．

8、如圖，在ABC中,點D是上一點，且。求證：

重心題型

1.已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，G是的重心，則BG＝

__________.2.在中，∠C＝90°，BC＝12，點G為重心，且GD⊥BC，那么CD＝___________.3.兩個等腰直角三角形和的位置如圖所示，點和點

分別在一直線上，，點分別是、的重心，聯結，那么

．

4.我們把兩個三角形的中心之間的距離叫做重心距，在同一平面內有兩個邊長相等的等邊三角形，如果當它們的一邊重合時重心距為，那么當它們的一對角成對頂角時重心距為___________

.5.若直角三角形的重心到直角頂點的距離為2厘米，則這個直角三角形的斜邊長為__________厘米.6.已知，△ABC的重心G到BC邊中點D的距離是2，則BC邊上的中線長是

.7.如圖，點Ｇ是的重心，ＡＧ⊥ＧＣ，ＡＣ＝4，那么ＢＧ的長為__________.8.如圖，點Ｇ是的重心，ＧＨ∥ＡＣ交ＢＣ于點Ｈ，若ＧＨ＝2，那么ＡＣ＝_________.9.點Ｇ是的重心，如果ＥＦ過點Ｇ且ＥＦ∥ＢＣ，分別交ＡＢ、ＡＣ于點Ｅ、Ｆ，那么的值為_____________.10.在中，ＢＣ＝3，點Ｇ是的重心，過點Ｇ作ＤＧ∥ＢＣ交邊ＡＢ于點Ｄ，那么ＤＧ＝____________.11.已知Ｇ是的重心，點Ｄ、Ｅ分別是邊ＡＢ、ＡＣ的點，ＤＥ∥ＢＣ，且經過重心Ｇ，如果的周長是30cm,那么的周長是______________cm.12.已知在中，點Ｇ是的重心，則＝____________.13.在中，AB=AC=5，BC=8，垂足為D，BE是邊AC上的中線，AD與BE相交于點G，那么AD=____________.G

C

A

B

D

E

H

第3題圖

第8題圖

第7題圖

黃金分割點題型

1.已知點C是線段AB的黃金分割點，AB＝2，求較長線段AC＝______________.2.實數2與0.5的比例中項是_____________.3.已知線段那么____________.4.已知Ｃ是線段ＡＢ的黃金分割點，那么＝___________.5.如圖，在平行四邊形中，點Ｅ是邊上的黃金分割點，且＞，相交于點，那么的值為___________.6.已知中，，平分交，過作∥ＢＣ交ＡＢ于，作平分交ＡＣ于，過作∥ＢＣ交ＡＢ于，則線段的長度為_______________(用含的代數式表示）。

7.在△ABC中，AB=AC，BD平分交AC于點D，DE平分交BC于點E，則=_____________.8．已知點C是線段AB上的一個點，且滿足,則下列式子成立的是……（）

A．；

B．；

C．；

D．．

9．如果點C是線段AB的黃金分割點，那么下列線段比的值不可能是的為（）

（A）；

（B）；

（C）；

（D）．

10.已知點是線段的黃金分割點，且=，則的長是______________.24.4相似三角形的判定

知識點一：相似三角形的概念

1.定義：如果兩個三角形的三個角對應相等、三邊對應成比例，那么這兩個三角形叫做相似三角形。對應相等的角的頂點是這兩個相似三角形的對應頂點。

2.表示方法：與相似，記作∽，讀作“相似于”。

【注意】在記兩個三角形相似時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上，這樣可以比較容易地找出相似三角形的對應角和對應邊。

3.相似比：相似三角形對應邊的比叫相似比。也叫相似系數，通常用表示。

【注意】對于相似比這個概念，應注意順序問題和對應問題。

知識點二：相似三角形的預備定理和判定定理

1.相似三角形的預備定理

平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似（符合相似三角形的定義）

2.相似三角形判定定理1

如果一個三角形的兩角與另一個三角形的兩角對應相等，那么這兩個三角形相似。簡述：兩角對應相等，兩個三角形相似。

【注意】（1）該判定只需兩個角便可說明兩個三角形相似，這是最簡單而且也是常用的判別條件，一般地，當題目中告訴角之間的關系，或線段的平行關系時，常選擇該判別條件來求線段長度或說明線段的比例關系等。

（2）該判別方法從另一個方面指出，對于三角形這種圖形，兩個角便可確定其形狀，只是大小不確定，要確定其大小，至少還需添加一條邊的邊長。

3.相似三角形判定定理2

如果一個三角形兩邊與另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似。簡述：兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似。

【注意】和全等一樣，兩邊及其夾角。

4.相似三角形判定定理3

如果一個三角形三邊與另一個三角形的三邊對應成比例，那么這兩個三角形相似。簡述：三邊對應成比例，兩個三角形相似。

【注意】在找到兩邊對應成比例時，一般找夾角，或者再找一邊對應成比例。

知識點三：兩個直角三角形相似的判定定理

如果一個直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊及一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似。簡述：斜邊和直角邊對應成比例，兩個直角三角形相似。

【注意】（1）當題目中出現直角三角形時，除了想到前面的方法外，還要多聯系本方法

（2）該定理不具一般性，僅適用于直角三角形，一般三角形是不適用的。

例：1.如圖,正方形ABCD的邊長為1,P是CD邊的中點,點Q在線段BC上,當△ADP與△PCQ相似時,求BQ的值.2.如圖,在ABC中,AB=BC,AD⊥BC于D,DE⊥AC于E,M是DE的中點,BE、AM交于N.(1)求證:;

(2)求證:

△BCE∽△ADM.3.如圖,D是ABC內一點,E是ABC外一點,∠EBC=∠DBA,∠ECB=∠DAB.求證:

∠BDE=∠BAC

4.已知如圖,在ABC中,AB>AC,在邊AB上取點D,在AC上取點E,使AD=AE,直線DE和BC的延長線交于點P,求證:

24.5相似三角形的性質

知識點一：相似三角形的對應邊、對應角的關系

相似三角形的對應邊成比例、對應角相等。

【注意】相似三角形的對應邊成比例是證明比例線段的最重要的方法之一，把這一性質與比例的基本性質相結合可以在已知三條線段的情況下，求出第四條線段的長度，因此這一性質也是求線段長的重要方法；而相似三角形的對應角相等則是繼“平行線的性質”、“全等三角形對應角相等”以及“等邊對等角”之后又一種證明兩角相等的重要方法，同時也可求有關角的度數。

例：如圖，已知在等邊△ABC的邊BC、AC上分別有點M、N，已知∠AMN＝60°，△ABC的邊長為10cm,且BM＝4cm,求CN的長。

知識點二：相似三角形性質定理1

相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似三角形的相似比。

例：如圖，已知在△ABC中，AD是高，矩形EFGH內接于△ABC，且長邊FG在BC上，矩形相鄰兩邊的比為1：2，若BC＝30cm,AD=10Cm,求矩形EFGH的面積。

例：如圖，在△ABC中，AB=3，AC=2，D是邊AB上的一點，平分線AQ與CD、BC分別相交于點P和點Q，求的值。

知識點三：相似三角形性質定理2

相似三角形周長的比等于相似比。

【注意】利用這一性質可在已知兩個相似三角形相似比和其中一個三角形的周長的情況下求另一個三角形的周長。同時可得到：相似三角形對應高的比＝對應中線的比＝對應角平分線的比＝周長的比＝相似比，知識點四：相似三角形性質定理3

相似三角形面積的比等于相似比的平方。

例：如圖，已知△ABC中，DE∥FG∥BC,且AD＝DF＝FB，那么△ABC被分成的三部分面積之比

（）

（A）1：1：1

（B）1：2：3

（C）1：3：5

（D）1：4：9

如圖所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG,且FG到DE、AB的距離之比為1：2，若△ABC的面積為32，△CDE的面積為2，則△CFG的面積=_______________.1.在△ABC中，點D在邊AB上，點F、E在邊AC上，且DF∥BE，（1）

求證：DE∥BC；

（2）

如果，求的值。

2．如圖，在中，點在邊上，點在邊上，聯結交于點，點在上，且滿足.A

B

C

D

E

F

H

（第3題圖）

（1）求證：∽；

（2）當平分時，求證：.3．如圖，在△ABC中，點D為邊BC上一點，且AD

=

AB，AE⊥BC，垂足為點E．過點D作DF

//

AB，交邊AC于點F，聯結EF，．

（1）求證：△EDF∽△EFC；

A

B

C

D

E

F

（第3題圖）

（2）如果，求證：AB

=

BD．

4、已知：如圖，在中，求證：（1）

（2）

5.已知：如圖，E是□ABCD的對角線AC上一點，射線BE與AD交于點F，與CD的延長線交于點G．

（1）求證：的比例中項；

（2）若AF:FD=3:2,求的值．

6、已知：如圖，在中，平分，點為延長線上一點，且

（1）求證：；

（2）若點為線段上一點，，的面積為3，求的面積.7、已知：如圖，在中，是邊的中點，與射線

相交于點，與邊相交于點.（1）求證：；

（2）如果，求證：；

（3）在第（2）小題的條件下，如果，求的度數.8.如圖，已知在△ABC中，AB=AC，BC比AB大3，點G是△ABC的重心，AG的延長線交邊BC于點D.過點G的直線分別交邊AB于點P、交射線AC于點Q.（1）求AG的長；

（2）當∠APQ=90o時，直線PG與邊BC相交于點M.求的值；

（3）當點Q在邊AC上時，設BP=，AQ=，求關于的函數解析式，并寫出它的定義域.[來源:學.科.網Z.X.X.K]

相似三角形判定的基本模型

（一）A字型、反A字型（斜A字型）

（平行）

（不平行）

（二）8字型、反8字型

（蝴蝶型）

（平行）

（不平行）

（三）母子型:

特點：有一個公共角，一個公共邊，夾公共角的另一邊在同一條直線上，是反A字形的特例；

（四）一線三等角型：

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等邊三角形為背景

特殊情況：當C為BD中點時，（五）一線三直角型：

六、雙垂型：

七、三垂型相似模型

八、共享性

九、旋轉型相似

十、斜斜混合型相似