專題4

初識非負數

閱讀與思考

絕對值是初中代數中的一個重要概念，引入絕對值概念之后，對有理數、相反數以及后續要學習的算術根可以有進一步的理解；絕對值又是初中代數中的一個基本概念，在求代數式的值、代數式的化簡、解方程與解不等式時，常常遇到含有絕對值符號的問題，理解、掌握絕對值概念應注意以下幾個方面：

1.去絕對值符號法則

2.絕對值的幾何意義

從數軸上看，即表示數的點到原點的距離，即代表的是一個長度，故表示一個非負數，表示數軸上數、數的兩點間的距離.3.絕對值常用的性質

①

②

③

④

⑤

⑥

例題與求解

【例1】已知，且，那么

.（祖沖之杯邀請賽試題）

解題思路：由已知求出、的值，但要注意條件的制約，這是解本題的關鍵.【例2】已知、、均為整數，且滿足，則（）

A.1

B.2

C.3

D.4

（全國初中數學聯賽試題）

解題思路：≥0，≥0，又根據題中條件可推出，中一個為0，一個為1.【例3】已知＋＋＋…＋＋＝0，求代數式…－的值.解題思路：運用絕對值、非負數的概念與性質，先求出…，的值，注意的化簡規律.【例4】設、、是非零有理數，求的值.解題思路：根據、、的符號的所有可能情況討論，化去絕對值符號，這是解本例的關鍵.（希望杯邀請賽試題）

【例5】設是六個不同的正整數，取值于1，2，3，4，5，6.記，求S的最小值.（四川省競賽試題）

解題思路：利用絕對值的幾何意義建立數軸模型.【例6】已知，且，求的值.（北京市迎春杯競賽試題）

解題思路：由知，即，代入原式中，得，再對的取值，分情況進行討論.A級

1.若為有理數，那么，下列判斷中：

（1）若，則一定有；

（2）若，則一定有；

（3）若，則一定有；

（4）若，則一定有；正確的是

.（填序號）

2.若有理數滿足，則

.3.若有理數在數軸上的對應的位置如下圖所示，則化簡后的結果是

.4.已知正整數滿足，且，則的值是

.（四川省競賽試題）

5.已知且，那么

.6.如圖，有理數在數軸上的位置如圖所示：

則在中，負數共有（）

A．3個

B．1個

C．4個

D．2個

（湖北省荊州市競賽試題）

7.若，且，那么的值是（）

A．3或13

B．13或－13

C．3或－3

D．－3或－13

8.若是有理數，則一定是（）

A．零

B．非負數

C．正數

D．負數

9.如果，那么的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

10.是有理數，如果，那么對于結論（1）一定不是負數；（2）可能是負數，其中（）

A．只有（1）正確

B．只有（2）正確

C．（1）（2）都正確

D．（1）（2）都不正確

（江蘇省競賽試題）

11.已知是非零有理數，且，求的值.12.已知是有理數，且，求的值.（希望杯邀請賽試題）

B級

1.若，則代數式的值為

.2.已知，那么的值為

.3.數在數軸上的位置如圖所示，且，則

.（重慶市競賽試題）

4.若，則的值等于

（五城市聯賽試題）

5.已知，則

.（希望杯邀請賽試題）

6.如果，那么代數式在≤≤15的最小值（）

A.30

B.0

C.15

D.一個與有關的代數式

7.設k是自然數，且，則等于（）

A.3

B.2

C.D.（創新杯邀請賽試題）

8.已知，那么的最大值等于（）

A．1

B．5

C．8

D．9

（希望杯邀請賽試題）

9.已知都不等于零，且，根據的不同取值，有（）

A．唯一確定的值

B．3種不同的值

C．4種不同的值

D．8種不同的值

10.滿足成立的條件是（）

A．

B．

C．

D．

（湖北省黃岡市競賽試題）

11.有理數均不為0，且，設，試求代數式的值.（希望杯邀請賽訓練題）