2017年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題
一、選擇題：1~8小題，每小題4分，共32分。
下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.（1）若函數在x=0連續，則(A)
(B)
(C)
(D)
（2）設二階可到函數滿足且，則
(A)
(B)
(C)
(D)
（3）設數列收斂，則
(A)當時，(B)當
時，則
(C)當,(D)當時，（4）微分方程的特解可設為
(A)
(B)
(C)
(D)
（5）設具有一階偏導數，且在任意的，都有則
(A)
(B)
(C)
(D)
（6）甲乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前方10（單位:m）處,圖中，實線表示甲的速度曲線
（單位:m/s）虛線表示乙的速度曲線，三塊陰影部分面積的數值依次為10,20,3，計時開始后乙追上甲的時刻記為（單位:s）,則
(A)
(B)
(C)
(D)
（7）設為三階矩陣，為可逆矩陣，使得，則
(A)
(B)
(C)
(D)
（8）已知矩陣，，則
(A)
A與C相似，B與C相似
(B)
A與C相似，B與C不相似
(C)
A與C不相似，B與C相似
(D)
A與C不相似，B與C不相似
二、填空題：9~14題，每小題4分，共24分.（9）曲線的斜漸近線方程為
（10）設函數由參數方程確定，則
（11）
=
（12）設函數具有一階連續偏導數，且，則=
（13）
（14）設矩陣的一個特征向量為，則
三、解答題：15~23小題，共94分。
解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）求
（16）（本題滿分10分）
設函數具有2階連續性偏導數，,求,（17）（本題滿分10分）
求
（18）（本題滿分10分）
已知函數由方程確定，求的極值
（19）（本題滿分10分）
在上具有2階導數，證明
（1）方程在區間至少存在一個根
（2）方程
在區間內至少存在兩個不同的實根
（20）（本題滿分11分）
已知平面區域，計算二重積分
（21）（本題滿分11分）
設是區間內的可導函數，且，點是曲線上的任意一點，在點處的切線與軸相交于點，法線與軸相交于點，若，求上點的坐標滿足的方程。
（22）（本題滿分11分）
三階行列式有3個不同的特征值，且
（1）證明
（2）如果求方程組的通解
（23）（本題滿分11分）
設在正交變換下的標準型為
求的值及一個正交矩陣.2016年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題
一、選擇：1~8小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合要求的.（1）
設，.當時，以上3個無窮小量按照從低階到高階拓排序是
（A）.（B）.（C）.（D）.（2）已知函數則的一個原函數是
（A）（B）
（C）（D）
（3）反常積分，的斂散性為
（A）收斂，收斂.（B）收斂，發散.（C）收斂，收斂.（D）收斂，發散.（4）設函數在內連續，求導函數的圖形如圖所示，則
（A）函數有2個極值點，曲線有2個拐點.（B）函數有2個極值點，曲線有3個拐點.（C）函數有3個極值點，曲線有1個拐點.（D）函數有3個極值點，曲線有2個拐點.（5）設函數具有二階連續導數，且，若兩條曲線
在點處具有公切線，且在該點處曲線的曲率大于曲線的曲率，則在的某個領域內，有
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）已知函數，則
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）設，是可逆矩陣，且與相似，則下列結論錯誤的是
（A）與相似
（B）與相似
（C）與相似
（D）與相似
（8）設二次型的正、負慣性指數分別為1,2，則
（A）
（B）
（C）
（D）與
二、填空題：9~14小題，每小題4分，共24分。
（9）曲線的斜漸近線方程為____________.（10）極限____________.（11）以和為特解的一階非齊次線性微分方程為____________.（12）已知函數在上連續，且，則當時，____________.（13）已知動點在曲線上運動，記坐標原點與點間的距離為.若點的橫坐標時間的變化率為常數，則當點運動到點時，對時間的變化率是
（14）設矩陣與等價，則
解答題：15~23小題，共94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）
（16）（本題滿分10分）
設函數，求并求的最小值.（17）（本題滿分10分）
已知函數由方程確定，求的極值.（18）（本題滿分10分）
設是由直線，圍成的有界區域，計算二重積分
（19）（本題滿分10分）
已知，是二階微分方程的解，若，求，并寫出該微分方程的通解。
（20）（本題滿分11分）
設是由曲線與圍成的平面區域，求繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積和表面積。
（21）（本題滿分11分）
已知在上連續，在內是函數的一個原函數。
（Ⅰ）求在區間上的平均值；
（Ⅱ）證明在區間內存在唯一零點。
（22）（本題滿分11分）
設矩陣，且方程組無解。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求方程組的通解。
（23）（本題滿分11分）
已知矩陣
（Ⅰ）求
（Ⅱ）設3階矩陣滿足。記，將分別表示為的線性組合。
2015年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題
一、選擇題:1～8小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.(1)下列反常積分中收斂的是（）
（A）
（B）
(C)
(D)
(2)函數在內（）
（A）連續
（B）有可去間斷點
（C）有跳躍間斷點
(D)有無窮間斷點
(3)設函數，若在處連續，則（）
（A）
(B)
(C)
(D)
(4)
設函數在連續，其二階導函數的圖形如右圖所示，則曲線的拐點個數為（）
（A）0
(B)1
(C)2
(D)3
(5).設函數滿足，則與依次是（）
（A）,0
(B)0，（C）-,0
(D)0,-
(6).設D是第一象限中曲線與直線圍成的平面區域，函數在D上連續，則=（）
（A）（B）
（C）（D）
(7)．設矩陣A=，b=,若集合Ω=，則線性方程組有無窮多個解的充分必要條件為（）
（A）
(B)
(C)
(D)
(8)設二次型在正交變換下的標準形為其中，若，則在正交變換下的標準形為（）
(A):
(B)
(C)
(D)
二、填空題：9～14小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.(9)
設
（10）函數在處的n
階導數
（11）設函數連續，若，則
（12）設函數是微分方程的解，且在處取值3，則=
（13）若函數由方程確定，則=
（14）設3階矩陣A的特征值為2，-2,1，其中E為3階單位矩陣，則行列式=
三、解答題：15～23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15、（本題滿分10分）
設函數，若與在是等價無窮小，求的值。
16、（本題滿分10分）
設，D是由曲線段及直線所形成的平面區域，分別表示D繞X軸與繞Y軸旋轉所成旋轉體的體積，若，求A的值。
17、（本題滿分10分）
已知函數滿足，求的極值。
18、（本題滿分10分）
計算二重積分，其中。
19、（本題滿分10分）
已知函數，求零點的個數。
20、（本題滿分11分）
已知高溫物體置于低溫介質中，任一時刻物體溫度對時間的關系的變化與該時刻物體和介質的溫差成正比，現將一初始溫度為120的物體在20恒溫介質中冷卻，30min后該物體溫度降至30，若要使物體的溫度繼續降至21，還需冷卻多長時間？
21、（本題滿分11分）
已知函數在區間上具有2階導數，設曲線在點處的切線與X軸的交點是，證明：。
22、（本題滿分11分）
設矩陣,且，（1）求a的值；（2）若矩陣X滿足其中為3階單位矩陣，求X。
23、（本題滿分11分）
設矩陣，相似于矩陣，（1）求a,b的值（2）求可逆矩陣P，使為對角矩陣。
2013年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題
一、選擇題
1—8小題．每小題4分，共32分．
１．設，當時，（）
（A）比高階的無窮小
（B）比低階的無窮小
（C）與同階但不等價無窮小
（D）與等價無窮小
2．已知是由方程確定，則（）
（A）2
（B）1
（C）-1
（D）-2
３．設，則（）
（Ａ）為的跳躍間斷點．
（Ｂ）為的可去間斷點．
（Ｃ）在連續但不可導．
（Ｄ）在可導．
４．設函數，且反常積分收斂，則（）
（A）
（B）
（C）
（D）
５．設函數，其中可微，則（）
（A）
（B）（C）
（D）
6．設是圓域的第象限的部分，記，則（）
（A）
（B）
（C）
（D）
7．設Ａ，Ｂ，Ｃ均為階矩陣，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，則
（A）矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價．
（B）矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價．
（C）矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價．
（D）矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價．
8．矩陣與矩陣相似的充分必要條件是
（A）
（B），為任意常數
（C）
（D），為任意常數
二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）
9．．
10．設函數，則的反函數在處的導數
．
11．設封閉曲線L的極坐標方程為為參數，則L所圍成的平面圖形的面積為
．
12．曲線上對應于處的法線方程為
．
13．已知是某個二階常系數線性微分方程三個解，則滿足方程的解為
．
14．設是三階非零矩陣，為其行列式，為元素的代數余子式，且滿足，則=
．
三、解答題
15．（本題滿分10分）
當時，與是等價無窮小，求常數．
16．（本題滿分10分）
設D是由曲線，直線及軸所轉成的平面圖形，分別是D繞軸和軸旋轉一周所形成的立體的體積，若，求的值．
17．（本題滿分10分）
設平面區域D是由曲線所圍成，求．
18．（本題滿分10分）
設奇函數在上具有二階導數，且，證明：
（1）存在，使得；
（2）存在，使得．
19．（本題滿分10分）
求曲線上的點到坐標原點的最長距離和最短距離．
20．（本題滿分11）
設函數
⑴求的最小值；
⑵設數列滿足，證明極限存在，并求此極限．
21．（本題滿分11）
設曲線L的方程為．
（1）求L的弧長．
（2）設D是由曲線L，直線及軸所圍成的平面圖形，求D的形心的橫坐標．
22．本題滿分11分）
設，問當為何值時，存在矩陣C，使得，并求出所有矩陣C．
23（本題滿分11分）
設二次型．記．
（1）證明二次型對應的矩陣為；
（2）若正交且為單位向量，證明在正交變換下的標準形為
．
2012年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題
一、選擇題:1-8小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.(1)曲線的漸近線條數
（）
(A)
0
(B)
(C)
(D)
(2)
設函數，其中為正整數,則
（）
(A)
(B)
(C)
(D)
(3)
設，則數列有界是數列收斂的（）
(A)
充分必要條件
(B)
充分非必要條件
(C)
必要非充分條件
(D)
非充分也非必要
(4)
設則有
（）
(A)
(B)
(C)
(D)
(5)
設函數為可微函數，且對任意的都有則使不等式成立的一個充分條件是
（）
(A)
(B)
(C)
(D)
(6)
設區域由曲線圍成，則
（）
(A)
(B)
(C)
(D)
(7)
設，，其中為任意常數，則下列向量組線性相關的為
（）
(A)
(B)
(C)
(D)
(8)
設為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且.若，則
（）
(A)
(B)
(C)
(D)
二、填空題：9-14小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.(9)
設是由方程所確定的隱函數，則
.(10)
.(11)
設其中函數可微，則
.(12)
微分方程滿足條件的解為
.(13)
曲線上曲率為的點的坐標是
.(14)
設為3階矩陣，為伴隨矩陣，若交換的第1行與第2行得矩陣，則
.三、解答題：15-23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分
分)
已知函數，記，(I)求的值;
(II)若時，與是同階無窮小，求常數的值.(16)(本題滿分
分)
求函數的極值.(17)(本題滿分12分)
過點作曲線的切線,切點為,又與軸交于點,區域由與直線圍成,求區域的面積及繞軸旋轉一周所得旋轉體的體積.(18)(本題滿分
分)
計算二重積分，其中區域為曲線與極軸圍成.(19)(本題滿分10分)
已知函數滿足方程及,(I)
求的表達式;
(II)
求曲線的拐點.(20)(本題滿分10分)
證明,.(21)(本題滿分10
分)
(I)證明方程，在區間內有且僅有一個實根；
(II)記(I)中的實根為，證明存在，并求此極限.(22)(本題滿分11
分)
設，(I)
計算行列式；
(II)
當實數為何值時，方程組有無窮多解，并求其通解.(23)(本題滿分11
分)
已知，二次型的秩為2，(I)
求實數的值；
(II)
求正交變換將化為標準形.2011年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題
(A)
選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分。下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上。
（1）已知當時，函數與是等價無窮小，則（）
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）設函數在處可導，且，則（）
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）函數的駐點個數為（）
（A）0
（B）1
（C）2
（D）3
（4）微分方程的特解形式為（）
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）設函數，均有二階連續導數，滿足，則函數在點處取得極小值的一個充分條件是（）
（A），（B），（C），（D），（6）設，，則，的大小關系為（）
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）設為3階矩陣，將的第2列加到第1列得矩陣，再交換的第2行與第3行得單位矩陣。記，則=（）
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）設是4階矩陣，為的伴隨矩陣。若是方程組的一個基礎解系，則的基礎解系可為（）
（A）
（B）
（C）
（D）
二、填空題：9～14小題，每小題4分，共24分。
請將答案寫在答題紙指定位置上。（9）。
（10）微分方程滿足條件的解為。
（11）曲線的弧長。
（12）設函數，則。
（13）設平面區域由直線，圓及軸所圍成，則二重積分。
（14）二次型，則的正慣性指數為。
三、解答題：15～23小題，共94分。
請將解答寫在答題紙指定位置上，解答應字說明、證明過程或演算步驟。（15）（本題滿分10分）
已知函數，設，試求的取值范圍。
（16）（本題滿分11分）
設函數由參數方程
確定，求的極值和曲線的凹凸區間及拐點。
（17）（本題滿分9分）
設函數，其中函數具有二階連續偏導數，函數可導且在處取得極值，求。
（18）（本題滿分10分）
設函數具有二階導數，且曲線與直線相切于原點，記為曲線在點處切線的傾角，若，求的表達式。
（19）（本題滿分10分）
（I）證明：對任意的正整數，都有成立。
（II）設，證明數列收斂。
（20）（本題滿分11分）
一容器的內側是由圖中曲線繞軸旋轉一周而成的曲面，該曲線由與連接而成。
（I）求容器的容積；
（II）若將容器內盛滿的水從容器頂部全部抽出，至少需要做多少功？
（長度單位：，重力加速度為，水的密度為）
（21）（本題滿分11分）
已知函數具有二階連續偏導數，且，，其中，計算二重積分。
（22）（本題滿分11分）
設向量組，不能由向量組，線性表示。
（I）求的值；
（II）將用線性表示。
（23）（本題滿分11分）
設為3階實對稱矩陣，的秩為2，且。
（I）求的所有的特征值與特征向量；
（II）求矩陣。
2010年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題
一選擇題
(A)
A0
B1
C2
D3
2.設是一階線性非齊次微分方程的兩個特解，若常數使是該方程的解，是該方程對應的齊次方程的解，則
A
B
C
D
(1)
A4e
B3e
C2e
De
4.設為正整數,則反常積分的收斂性
A僅與取值有關
B僅與取值有關
C與取值都有關
D與取值都無關
5.設函數由方程確定,其中為可微函數,且則=
A
B
C
D
6.(4)=
A
B
C
D
7.設向量組，下列命題正確的是：
A若向量組I線性無關，則
B若向量組I線性相關，則r>s
C若向量組II線性無關，則
D若向量組II線性相關，則r>s
15.設為4階對稱矩陣,且若的秩為3,則相似于A
B
C
D
二填空題
9.3階常系數線性齊次微分方程的通解y=__________
(1)
曲線的漸近線方程為_______________
(2)
函數
(3)
(4)
已知一個長方形的長l以2cm/s的速率增加，寬w以3cm/s的速率增加，則當l=12cm,w=5cm時，它的對角線增加的速率為___________
(5)
設A，B為3階矩陣，且
三解答題
(6)
16.(1)比較與的大小,說明理由.(2)記求極限
九、設函數y=f(x)由參數方程十、一個高為l的柱體形貯油罐，底面是長軸為2a,短軸為2b的橢圓。
現將貯油罐平放，當油罐中油面高度為時，計算油的質量。（長度單位為m，質量單位為kg，油的密度為）十一、十二、十三、設函數f(x)在閉區間[0,1]上連續，在開區間(0,1)內可導，且f(0)=0,f(1)=,證明：存在十四、23.設，正交矩陣Q使得為對角矩陣，若Q的第一列為，求a、Q.2009年全國碩士研究生入學統一考試
數學二試題
一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內.（1）函數的可去間斷點的個數，則（）
1.2.3.無窮多個.（2）當時，與是等價無窮小，則（）
....（3）設函數的全微分為，則點（）
不是的連續點.不是的極值點.是的極大值點.是的極小值點.（4）設函數連續，則（）
....（5）若不變號，且曲線在點上的曲率圓為，則在區間內（）
有極值點，無零點.無極值點，有零點.有極值點，有零點.無極值點，無零點.（6）設函數在區間上的圖形為：
0
O
則函數的圖形為（）
.0
.0
.0
.0
（7）設、均為2階矩陣，分別為、的伴隨矩陣。若，則分塊矩陣的伴隨矩陣為（）
....（8）設均為3階矩陣，為的轉置矩陣，且，若，則為（）
....二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.（9）曲線在處的切線方程為
（10）已知,則
（11）
（12）設是由方程確定的隱函數，則
（13）函數在區間上的最小值為
(14)設為3維列向量，為的轉置，若矩陣相似于，則
三、解答題：15－23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分9分）求極限
（16）（本題滿分10
分）計算不定積分
（17）（本題滿分10分）設，其中具有2階連續偏導數，求與
（18）（本題滿分10分）
設非負函數滿足微分方程，當曲線過原點時，其與直線及圍成平面區域的面積為2，求繞軸旋轉所得旋轉體體積。
（19）（本題滿分10分）求二重積分，其中
（20）（本題滿分12分）
設是區間內過的光滑曲線，當時，曲線上任一點處的法線都過原點，當時，函數滿足。求的表達式
（21）（本題滿分11分）
（Ⅰ）證明拉格朗日中值定理：若函數在上連續，在可導，則存在，使得（Ⅱ）證明：若函數在處連續，在內可導，且，則存在，且。
（22）（本題滿分11分）設，（Ⅰ）求滿足的所有向量
（Ⅱ）對（Ⅰ）中的任一向量，證明：線性無關。
（23）（本題滿分11分）設二次型
（Ⅰ）求二次型的矩陣的所有特征值；
（Ⅱ）若二次型的規范形為，求的值。
2008年全國碩士研究生入學統一考試
數學二試題
一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內.（1）設，則的零點個數為（）
0
1.2
（2）曲線方程為函數在區間上有連續導數，則定積分（）
曲邊梯形ABOD面積.梯形ABOD面積.曲邊三角形面積.三角形面積.（3）在下列微分方程中，以（為任意常數）為通解的是（）
（5）設函數在內單調有界，為數列，下列命題正確的是（）
若收斂，則收斂.若單調，則收斂.若收斂，則收斂.若單調，則收斂.（6）設函數連續，若，其中區域為圖中陰影部分，則
（7）設為階非零矩陣，為階單位矩陣.若，則（）
不可逆，不可逆.不可逆，可逆.可逆，可逆.可逆，不可逆.（8）設，則在實數域上與合同的矩陣為（）
....二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.（9）
已知函數連續，且，則.（10）微分方程的通解是.（11）曲線在點處的切線方程為.（12）曲線的拐點坐標為______.（13）設，則.（14）設3階矩陣的特征值為.若行列式，則.三、解答題：15－23題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)（本題滿分9分）求極限.(16)（本題滿分10分）
設函數由參數方程確定，其中是初值問題的解.求.(17)（本題滿分9分）求積分
.(18)（本題滿分11分）
求二重積分其中
(19)（本題滿分11分）
設是區間上具有連續導數的單調增加函數，且.對任意的，直線，曲線以及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周生成一旋轉體.若該旋轉體的側面積在數值上等于其體積的2倍，求函數的表達式.(20)（本題滿分11分）
(1)
證明積分中值定理：若函數在閉區間上連續，則至少存在一點，使得
(2)若函數具有二階導數，且滿足，證明至少存在一點
（21）（本題滿分11分）
求函數在約束條件和下的最大值與最小值.（22）（本題滿分12分）
設矩陣，現矩陣滿足方程，其中，（1）求證；
（2）為何值，方程組有唯一解，并求；
（3）為何值，方程組有無窮多解，并求通解.（23）（本題滿分10分）
設為3階矩陣，為的分別屬于特征值特征向量，向量滿足，（1）證明線性無關；
（2）令，求.2007年全國碩士研究生入學統一考試
數學二試題
一、選擇題：1～10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內.（1）當時，與等價的無窮小量是
（A）
（B）
（C）
（D）
[
]
（2）函數在上的第一類間斷點是
[
]
（A）0
（B）1
（C）
（D）
（3）如圖，連續函數在區間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區間的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周，設，則下列結論正確的是：
（A）
(B)
（C）
（D）
[
]
（4）設函數在處連續，下列命題錯誤的是：
（A）若存在，則
（B）若存在，則
.（C）若存在，則
（D）若存在，則.[
]
（5）曲線的漸近線的條數為
（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.[
]
（6）設函數在上具有二階導數，且，令，則下列結論正確的是：
(A)
若，則必收斂.(B)
若，則必發散
(C)
若，則必收斂.(D)
若，則必發散.[
]
（7）二元函數在點處可微的一個充要條件是[
]
（A）.（B）.（C）.（D）.（8）設函數連續，則二次積分等于
（A）
（B）
（C）
（D）
（9）設向量組線性無關，則下列向量組線性相關的是
線性相關，則
(A)
(B)
(C)
.(D)
.[
]
（10）設矩陣，則與
(A)
合同且相似
（B）合同，但不相似.(C)
不合同，但相似.(D)
既不合同也不相似
[
]
二、填空題：11～16小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.（11）
__________.（12）曲線上對應于的點處的法線斜率為_________.（13）設函數，則________.（14）
二階常系數非齊次微分方程的通解為________.（15）
設是二元可微函數，則
__________.（16）設矩陣，則的秩為
.三、解答題：17～24小題，共86分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（17）
(本題滿分10分)設是區間上單調、可導的函數，且滿足，其中是的反函數，求.（18）（本題滿分11分）
設是位于曲線下方、軸上方的無界區域.（Ⅰ）求區域繞軸旋轉一周所成旋轉體的體積；（Ⅱ）當為何值時，最小？并求此最小值.（19）（本題滿分10分）求微分方程滿足初始條件的特解.（20）（本題滿分11分）已知函數具有二階導數，且，函數由方程所確定，設，求.（21）
(本題滿分11分)設函數在上連續，在內具有二階導數且存在相等的最大值，證明：存在，使得.（22）
(本題滿分11分)
設二元函數，計算二重積分，其中.（23）
(本題滿分11分)
設線性方程組與方程有公共解，求的值及所有公共解.（24）
(本題滿分11分)
設三階對稱矩陣的特征向量值，是的屬于的一個特征向量，記，其中為3階單位矩陣.（I）驗證是矩陣的特征向量，并求的全部特征值與特征向量；
（II）求矩陣.2006年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題
一、填空題：1－6小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.（1）曲線的水平漸近線方程為
（2）設函數在處連續，則
.（3）廣義積分
.（4）微分方程的通解是
（5）設函數由方程確定，則
（6）設矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則
.二、選擇題：7－14小題，每小題4分，共32分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內.（7）設函數具有二階導數，且，為自變量在點處的增量，分別為在點處對應的增量與微分，若，則[
]
(A)
.(B)
.(C)
.(D)
.（8）設是奇函數，除外處處連續，是其第一類間斷點，則是
（A）連續的奇函數.（B）連續的偶函數
（C）在間斷的奇函數
（D）在間斷的偶函數.[
]
（9）設函數可微，則等于
（A）.（B）
（C）
（D）
[
]
（10）函數滿足的一個微分方程是
（A）
（B）
（C）
（D）
[
]
（11）設為連續函數，則等于
（Ａ）.（B）.(C).(D)
.[
]
（12）設均為可微函數，且，已知是在約束條件下的一個極值點，下列選項正確的是
[
]
(A)
若，則.(B)
若，則.(C)
若，則.(D)
若，則.（13）設均為維列向量，為矩陣，下列選項正確的是
[
]
16.若線性相關，則線性相關.17.若線性相關，則線性無關.(C)
若線性無關，則線性相關.(D)
若線性無關，則線性無關.（14）設為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記，則
（Ａ）.（Ｂ）.（Ｃ）.（Ｄ）.［ ］
三、解答題：15－23小題，共94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）
試確定的值，使得，其中是當時比高階的無窮小.（16）（本題滿分10分）求
.（17）（本題滿分10分）設區域，計算二重積分
（18）（本題滿分12分）設數列滿足
（Ⅰ）證明存在，并求該極限；（Ⅱ）計算.（19）（本題滿分10分）
證明：當時，.（20）（本題滿分12分）
設函數在內具有二階導數，且滿足等式.（I）驗證；
（II）若，求函數的表達式.（21）（本題滿分12分）
已知曲線L的方程（I）討論L的凹凸性；（II）過點引L的切線，求切點，并寫出切線的方程；（III）求此切線與L（對應于的部分）及x軸所圍成的平面圖形的面積.（22）（本題滿分9分）
已知非齊次線性方程組
有3個線性無關的解.（Ⅰ）證明方程組系數矩陣的秩；（Ⅱ）求的值及方程組的通解.（23）（本題滿分9分）
設3階實對稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個解.(Ⅰ)求的特征值與特征向量；
(Ⅱ)求正交矩陣和對角矩陣,使得.2005年全國碩士研究生入學統一考試
數學二試題
二、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）
（1）設，則
=
.（2）曲線的斜漸近線方程為
.（3）
.（4）微分方程滿足的解為
.（5）當時，與是等價無窮小，則k=
.（6）設均為3維列向量，記矩陣，如果，那么
.二、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）
（7）設函數，則f(x)在內
(A)
處處可導.(B)
恰有一個不可導點.(C)
恰有兩個不可導點.(D)
至少有三個不可導點.[
]
（8）設F(x)是連續函數f(x)的一個原函數，表示“M的充分必要條件是N”，則必有
(D)
F(x)是偶函數f(x)是奇函數.（B）
F(x)是奇函數f(x)是偶函數.(C)
F(x)是周期函數f(x)是周期函數.(D)
F(x)是單調函數f(x)是單調函數.[
]
（9）設函數y=y(x)由參數方程確定，則曲線y=y(x)在x=3處的法線與x軸交點的橫坐標是
(A)
.(B)
.(C)
.(D)
.[
]
（10）設區域，f(x)為D上的正值連續函數，a,b為常數，則
(A)
.(B)
.(C)
.(D)
.[
]
（11）設函數,其中函數具有二階導數，具有一階導數，則必有
(A)
.（B）
.(C)
.(D)
.[
]
（12）設函數則
三、x=0,x=1都是f(x)的第一類間斷點.（B）
x=0,x=1都是f(x)的第二類間斷點.(C)
x=0是f(x)的第一類間斷點，x=1是f(x)的第二類間斷點.(D)
x=0是f(x)的第二類間斷點，x=1是f(x)的第一類間斷點.[
]
（13）設是矩陣A的兩個不同的特征值，對應的特征向量分別為，則，線性無關的充分必要條件是
(A)
.(B)
.(C)
.(D)
.[
]
（14）設A為n（）階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B,分別為A,B的伴隨矩陣，則
[
]
18.交換的第1列與第2列得.(B)
交換的第1行與第2行得.(C)
交換的第1列與第2列得.(D)
交換的第1行與第2行得.三、解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
（15）（本題滿分11分）設函數f(x)連續，且，求極限
（16）（本題滿分11分）
如圖，和分別是和的圖象，過點(0,1)的曲線是一單調增函數的圖象.過上任一點M(x,y)分別作垂直于x軸和y軸的直線和.記與所圍圖形的面積為；與所圍圖形的面積為如果總有，求曲線的方程
（17）（本題滿分11分）
如圖，曲線C的方程為y=f(x)，點(3,2)是它的一個拐點，直線與分別是曲線C在點(0,0)與(3,2)處的切線，其交點為(2,4).設函數f(x)具有三階連續導數，計算定積分
（18）（本題滿分12分）
用變量代換化簡微分方程，并求其滿足的特解.（19）（本題滿分12分）已知函數f(x)在[0，1]上連續，在(0,1)內可導，且f(0)=0,f(1)=1.證明：
（I）存在使得；（II）存在兩個不同的點，使得
（20）（本題滿分10分）
已知函數z=f(x,y)的全微分，并且f(1,1,)=2.求f(x,y)在橢圓域上的最大值和最小值.（21）（本題滿分9分）
計算二重積分，其中.（22）（本題滿分9分）
確定常數a,使向量組可由向量組線性表示，但向量組不能由向量組線性表示.（23）（本題滿分9分）
已知3階矩陣A的第一行是不全為零，矩陣（k為常數），且AB=O,求線性方程組Ax=0的通解.2004年考碩數學（二）真題
一.填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上.）
（1）設,則的間斷點為
.（2）設函數由參數方程
確定,則曲線向上凸的取值范圍為____..（3）_____..（4）設函數由方程確定,則______.（5）微分方程滿足的特解為_______.（6）設矩陣,矩陣滿足,其中為的伴隨矩陣,是單位矩陣,則______-.二.選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內.）
（7）把時的無窮小量，排列起來,使排在后面的是前一個的高階無窮小,則正確的排列次序是
（A）
（B）
（C）
（D）
（8）設,則
（A）是的極值點,但不是曲線的拐點.（B）不是的極值點,但是曲線的拐點.（C）是的極值點,且是曲線的拐點.（D）不是的極值點,也不是曲線的拐點.（9）等于
（A）.（B）.（C）.（D）
（10）設函數連續,且,則存在,使得
（A）在內單調增加.（B）在內單調減小.（C）對任意的有.（D）對任意的有.（11）微分方程的特解形式可設為
（A）.（B）.（C）.（D）
（12）設函數連續,區域,則等于
（A）.（B）.（C）.（D）
（13）設是3階方陣,將的第1列與第2列交換得,再把的第2列加到第3列得,則滿足的可逆矩陣為
（A）.（B）.（C）.（D）.（14）設,為滿足的任意兩個非零矩陣,則必有
（A）的列向量組線性相關,的行向量組線性相關.（B）的列向量組線性相關,的列向量組線性相關.（C）的行向量組線性相關,的行向量組線性相關.（D）的行向量組線性相關,的列向量組線性相關.三.解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
（15）（本題滿分10分）
求極限.（16）（本題滿分10分）
設函數在（）上有定義,在區間上，若對任意的都滿足,其中為常數.(Ⅰ)寫出在上的表達式;
(Ⅱ)問為何值時,在處可導.（17）（本題滿分11分）
設,(Ⅰ)證明是以為周期的周期函數;(Ⅱ)求的值域.（18）（本題滿分12分）
曲線與直線及圍成一曲邊梯形.該曲邊梯形繞軸旋轉一周得一旋轉體,其體積為,側面積為,在處的底面積為.(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)計算極限.（19）（本題滿分12分）設,證明.（20）（本題滿分11分）
某種飛機在機場降落時,為了減小滑行距離,在觸地的瞬間,飛機尾部張開減速傘,以增大阻力,使飛機迅速減速并停下來.現有一質量為的飛機,著陸時的水平速度為.經測試,減速傘打開后,飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比(比例系數為).問從著陸點算起,飛機滑行的最長距離是多少?
注
表示千克,表示千米/小時.（21）（本題滿分10分）設,其中具有連續二階偏導數,求.（22）（本題滿分9分）
設有齊次線性方程組
試問取何值時,該方程組有非零解,并求出其通解.（23）（本題滿分9分）
設矩陣的特征方程有一個二重根,求的值,并討論是否可相似對角化.2003年考研數學（二）真題
三、填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）
（1）
若時，與是等價無窮小，則a=
.（2）
設函數y=f(x)由方程所確定，則曲線y=f(x)在點(1,1)處的切線方程是
.（3）的麥克勞林公式中項的系數是__________.（4）
設曲線的極坐標方程為，則該曲線上相應于從0變到的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積為__________.（5）
設為3維列向量，是的轉置.若，則
=
.（6）
設三階方陣A,B滿足，其中E為三階單位矩陣，若，則________.二、選擇題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分.每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）
（1）設均為非負數列，且，,則必有
(A)
對任意n成立.(B)
對任意n成立.(C)
極限不存在.(D)
極限不存在.[
]
（2）設,則極限等于
(A)
.(B)
.(C)
.(D)
.[
]
（3）已知是微分方程的解，則的表達式為
（A）
(B)
(C)
(D)
[
]
（4）設函數f(x)在內連續，其導函數的圖形如圖所示，則f(x)有一、一個極小值點和兩個極大值點.二、兩個極小值點和一個極大值點.三、兩個極小值點和兩個極大值點.(D)
三個極小值點和一個極大值點.[
]
y
O
x
（5）設，則
(A)
(B)
(C)
(D)
[
]
（6）設向量組I：可由向量組II：線性表示，則
(A)
當時，向量組II必線性相關.(B)
當時，向量組II必線性相關.(C)
當時，向量組I必線性相關.(D)
當時，向量組I必線性相關.[
]
三、（本題滿分10分）設函數
問a為何值時，f(x)在x=0處連續；a為何值時，x=0是f(x)的可去間斷點？
四、（本題滿分9分）
設函數y=y(x)由參數方程所確定，求
五、（本題滿分9分）計算不定積分
六、（本題滿分12分）
設函數y=y(x)在內具有二階導數，且是y=y(x)的反函數.(1)
試將x=x(y)所滿足的微分方程變換為y=y(x)滿足的微分方程；
(2)
求變換后的微分方程滿足初始條件的解.七、（本題滿分12分）
討論曲線與的交點個數.八、（本題滿分12分）
設位于第一象限的曲線y=f(x)過點，其上任一點P(x,y)處的法線與y軸的交點為Q，且線段PQ被x軸平分.(B)
求曲線
y=f(x)的方程；
(C)
已知曲線y=sinx在上的弧長為，試用表示曲線y=f(x)的弧長s.九、（本題滿分10分）
有一平底容器，其內側壁是由曲線繞y軸旋轉而成的旋轉曲面（如圖），容器的底面圓的半徑為2
m.根據設計要求，當以的速率向容器內注入液體時，液面的面積將以的速率均勻擴大（假設注入液體前，容器內無液體）.(2)
根據t時刻液面的面積，寫出t與之間的關系式；
(3)
求曲線的方程.(注：m表示長度單位米，min表示時間單位分.)
十、（本題滿分10分）設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，在開區間(a,b)內可導，且
若極限存在，證明：
(1)
在(a,b)內f(x)>0;
(2)在(a,b)內存在點，使；
(3)
在(a,b)
內存在與(2)中相異的點，使
十一、（本題滿分10分）
若矩陣相似于對角陣，試確定常數a的值；并求可逆矩陣P使
十二、（本題滿分8分）
已知平面上三條不同直線的方程分別為，.試證這三條直線交于一點的充分必要條件為
2002年全國碩士研究生入學統一考試
數學(二)試題
一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分)
1．設函數在處連續，則（）．
2．位于曲線（）下方，軸上方的無界圖形的面積為（）．
3．滿足初始條件的特解是（）．
4．=（）．
5．矩陣的非零特征值是（）．
二、單項選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分．)
１．函數可導，當自變量在處取得增量時，相應的函數增量的線性主部為０．１，則＝
（Ａ）－１；（Ｂ）０．１；
（Ｃ）１；（Ｄ）０．５．
２．函數連續，則下列函數中，必為偶函數的是
(A)；
(B)；
(C)；
(D)
．
３．設是二階常系數微分方程滿足初始條件的特解，則極限
(A)不存在；（Ｂ）等于１；
(C)等于２；
(D)
等于３．
４．設函數在上有界且可導，則
(A)當時，必有；
（Ｂ）當存在時，必有；
(C)
當時，必有；
(D)
當存在時，必有．
5．設向量組線性無關，向量可由線性表示，而向量不能由線性表示，則對于任意常數必有
（Ａ）線性無關；(B)
線性相關；
（Ｃ）線性無關；
(D)
線性相關．
四、（本題滿分6分）已知曲線的極坐標方程為，求該曲線對應于處的切線與法線的直角坐標方程．
五、（本題滿分７分）設函數，求函數的表達式．
五、（本題滿分７分）已知函數在上可導，，且滿足，求．
六、（本題滿分７分）求微分方程的一個解，使得由曲線與直線以及軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉一周的旋轉體的體積最小．
七、（本題滿分7分）某閘門的形狀與大小如圖所示，其中直線為對稱軸，閘門的上部為矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲線與線段ＡＢ所圍成．當水面與閘門的上斷相平時，欲使閘門矩形部分與承受的水壓與閘門下部承受的水壓之比為５：４，閘門矩形部分的高應為多少？
八、（本題滿分８分）
設，（＝１，２，３，…）．
證明：數列｛｝的極限存在，并求此極限．
十五、（本題滿分８分）設，證明不等式．
十、（本題滿分8分）設函數在＝０的某鄰域具有二階連續導數，且
．證明：存在惟一的一組實數，使得當時，．
十一、（本題滿分６分）已知Ａ，Ｂ為三階方陣，且滿足．
⑴證明：矩陣可逆；
⑵若，求矩陣Ａ．
十二、（本題滿分６分）已知四階方陣，均為四維列向量，其中線性無關，．若，求線性方程組的通解．
2001年全國碩士研究生入學統一考試數學(二)試題
一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分)
1、=（）．
2、曲線在點（0，1）處的切線方程為
：（）．
3、=（）．
4、微分方程滿足=0的特解為：（）．
5、方程組有無窮多解，則=（）．
二、單項選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分．)
1、則=
（A）
0；（B）1；（C）；
（D）．
2、時，是比高階的無窮小，而是比
高階的無窮小，則正整數等于
（A）1；（B）2；（C）3；（D）4．
3、曲線的拐點的個數為
（A）０；（B）１；（C）２；（D）３．
4、函數在區間（1-δ，1+δ）內二階可導，嚴格單調減小，且
==1，則
（A）在（1-δ，1）和（1，1+δ）內均有；
（B）在（1-δ，1）和（1，1+δ）內均有；
（C）在（1-δ，1）內有，在（1，1+δ）內有；
（D）在（1-δ，1）內有，在（1，1+δ）內有．
5、設函數在定義域內可導，的圖形如右圖所示：
則的圖形為
（）
三、（本題滿分6分）求．
四、（本題滿分7分）求函數=的表達式，并指出函數的間斷點及其類型．
五、（本題滿分7分）設是拋物線上任意一點M（）（）處的曲率半徑，是該拋物線上介于點A（1，1）與M之間的弧長，計算的值（曲率K＝）．
六、（本題滿分7分）在[0，+）可導，=0，且其反函數為．
若，求．
七、（本題滿分7分）設函數，滿足=，=2－
且=0，=2，求
八、（本題滿分9分）設L為一平面曲線，其上任意點P（）（）到原點的距離，恒等于該點處的切線在軸上的截距，且L過點（0.5，0）．
1、求L的方程
2、求L的位于第一象限部分的一條切線，使該切線與L以及兩坐標軸所圍成的圖形的面積最小．
九、（本題滿分7分）一個半球型的雪堆，其體積的融化的速率與半球面積S成正比
比例系數K>0．假設在融化過程中雪堆始終保持半球形狀，已知半徑為
r0的雪堆
在開始融化的3小時內，融化了其體積的7/8，問雪堆全部融化需要多少時間？
十、（本題滿分8分）在[-a，a]上具有二階連續導數，且=01、寫出的帶拉格朗日余項的一階麥克勞林公式；
2、證明在[-a，a]上至少存在一點，使
十一、（本題滿分6分）已知且滿足
AXA+BXB=AXB+BXA+E，求X．
十二、（本題滿分6分）設為線性方程組AX=O的一個基礎解系，其中為實常數
試問滿足什么條件時也為AX=O的一個基礎解系．
2000
年全國碩士研究生入學統一考試
一、填空題
1．2．
3.4.5.二、選擇題
6.7.8.9.10.三、解答題
11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.
點擊咨詢