專題7：圓周運動

參考答案

1．向心力有哪些主要特點？

(1)大小：F向＝ma向＝m

＝mω2r＝m

r＝m(2πn)2r

(2)方向：總是沿半徑方向指向圓心，方向時刻改變，是變力．

(3)效果：產生向心加速度．僅改變速度的方向，不改變速度的大小．

(4)產生：向心力是按效果命名的，不是性質力，它可以是某一個力，也可以

是某一個力沿某方向的分力，也可以是某幾個力的合力．

題型1：描述勻速圓周運動的物理量及其關系

1.如圖所示，在驗證向心力公式的實驗中，質量相同的鋼球①放在A盤的邊緣，鋼球②放在B盤的邊緣，A、B兩盤的半徑之比為2∶1.a、b分別是與A盤、B盤同軸的輪．a輪、b輪半徑之比為1∶2，當a、b兩輪在同一皮帶帶動下勻速轉動時，鋼球①②受到的向心力之比為()

A．2∶1

B．4∶1

C．1∶4

D．8∶1

解析：本題考查圓周運動等知識．由題意“在同一皮帶帶動下勻速轉動”，說明a、b兩輪的線速度相等，即va＝vb，又因a輪與A盤同軸，b輪與B盤同軸，角速度相等，聯立并代入F＝得到D項正確．

答案：D

2.無級變速在變速范圍內任意連續地變換速度，性能優于傳統的擋位變速，很多種高檔汽車都應用了無級變速．如圖4－2－6是截錐式無級變速模型示意圖，兩個錐輪之間有一個滾輪，主動輪、滾輪、從動輪之間靠著彼此之間的摩擦力帶動．以下判斷中正確的是()

①．當位于主動輪與從動輪之間的滾輪從右向左移動時從動輪轉速降低，滾輪從左向右移動時從動輪轉速增加

②．當位于主動輪與從動輪之間的滾輪從左向右移動時從動輪轉速降低，滾輪從右向左移動時從動輪轉速增加

③．當滾輪位于主動輪直徑為D1、從動輪直徑為D2的位置上時，則主動輪轉速為n1、從動輪轉速為n2之間的關系為：n2＝

④．當滾輪位于主動輪直徑為D1、從動輪直徑為D2的位置上時，則主動輪轉速為n1、從動輪轉速為n2之間的關系為：n2＝

A

.①②正確

B

.③④正確

C

.①④正確

D

.②③正確

解析：設某一時刻，滾輪位于主動輪直徑為D1、從動輪直徑為D2的位置上，三個輪的輪緣的線速度相等，得n1D1＝n2D2，即n2＝，故③選項正確，④錯誤；當位于主動輪與從動輪之間的滾動輪從左向右移動時，D1變小，D2變大，在n1不變的情況下，n2變小，反之，當滾輪從右向左移動時，D1變大，D2變小，在n1不變的情況下，n2變大，故②正確，①錯誤

.答案：D

在分析傳動問題時，關鍵要抓住兩點

1．固定在一起共軸轉動的物體上各點的角速度相同．

2．不打滑的摩擦傳動和皮帶傳動的兩輪邊緣上各點的線速度大小相等．

3.圖示所示為某一皮帶傳動裝置．主動輪的半徑為r1，從動輪的半徑為r2.已知主動輪做順時針轉動，轉速為n，轉動過程中皮帶不打滑．下列說法正確的是()

①．從動輪做順時針轉動

②．從動輪做逆時針轉動

③．從動輪的轉速為n

④．從動輪的轉速為n

A．①③正確

B．②③正確

C．①④正確

D．②④正確

解析：本題考查的知識點是圓周運動．因為主動輪順時針轉動，從動輪通過皮帶的摩擦力帶動轉動，所以從動輪逆時針轉動，選項①錯誤②正確；由于通過皮帶傳動，皮帶與輪邊緣接觸處的速度相等，所以由2πnr1＝2πn2r2，得從動輪的轉速為n2＝，選項③正確④錯誤．

答案：B

4.圖是自行車傳動機構的示意圖，其中Ⅰ是大齒輪，Ⅱ是小齒輪，Ⅲ是后輪．

(1)假設腳踏板的轉速為n

r/s，則大齒輪的角速度是________

rad/s.(2)要知道在這種情況下自行車前進的速度有多大，除需要測量大齒輪Ⅰ的半徑r1，小齒輪Ⅱ的半徑r2外，還需要測量的物理量是________．

(3)用上述量推導出自行車前進速度的表達式：________________.解析：(1)大齒輪的角速度ω1＝2πn.(2)對Ⅰ、Ⅱ兩齒輪有ω1r1＝ω2r2，設后輪半徑為R，則自行車前進的速度v

＝ω2R＝·R＝.所以還需要測量的物理量是后輪的半徑R.(3)v＝

答案：(1)2πn(2)后輪的半徑R(3)v＝

題型2：勻速圓周運動的實例分析

圓周運動中動力學問題的解答方法

1．確定做圓周運動的物體作為研究對象．

2．明確運動情況，包括搞清楚運動的速率v、半徑R及圓心O的位置等．

3．分析受力情況，對物體實際受力情況進行正確的分析，畫出受力圖，確定指向圓心的合外力F(即提供向心力)．

4．合理選用公式F＝ma＝

5.如圖所示，固定的錐形漏斗內壁是光滑的，內壁上有兩個質量相等的小球A和B，在各自不同的水平面做勻速圓周運動，以下說法正確的是()

A．vA>vB

B．ωA>ωB

C．aA>aB

D．壓力NA>NB

答案：A

6.小球m用長為L的懸線固定在O點,在O點正下方有一光滑圓釘C(如圖所示).今把小球拉到懸線呈水平后無初速地釋放,當懸線呈豎直狀態且與釘相碰時下列說法錯誤的是（）

A.小球的角速度突然增大

B.小球的向心加速度突然增大

C.釘子的位置越靠近小球,線就越容易斷

D.釘子的位置越遠離小球,線就越容易斷

【解析】

當繩豎直碰到釘子的瞬間,小球的速度不變,但轉動半徑減小,由知增大,選項A正確;由知,向心加速度變大,選項B正確;根據/r知,r越小,則懸線的拉力越大,懸線越容易斷,選項C對D錯.【答案】D

7.隨著經濟的持續發展，人民生活水平的不斷提高，近年來我國私家車數量快速增長，高級和一級公路的建設也正加速進行．為提高公路彎道部分的行車速度，防止發生側滑，常將彎道部分設計成外高內低的斜面．如果某品牌汽車的質量為m，汽車行駛時彎道部分的半徑為r，汽車輪胎與路面的動摩擦因數為μ，路面設計的傾角為θ，如圖4－2－8所示．(重力加速度g取10

m/s2)

(1)為使汽車轉彎時不打滑，汽車行駛的最大速度是多少？

(2)若取sin

θ＝，r＝60

m，汽車輪胎與雨雪路面的動摩擦因數為μ＝0.3，則彎道部分汽車行駛的最大速度是多少？

解析：(1)汽車彎道處的運動可認為是勻速圓周運動，其軌道平面在水平面

內對汽車受力分析如圖所示，豎直方向：Ncos

θ＝mg＋fsinθ

水平方向：Nsin

θ＋fcos

θ＝

又f＝μN，可得v＝

(2)代入數據可得：v＝14.6

m/s.8.如圖甲所示，一根細線上端固定在S點，下端連一小鐵球A，讓小鐵球在水平面內做勻速圓周運動，此裝置構成一圓錐擺(不計空氣阻力)．下列說法中正確的是()

A．小球做勻速圓周運動時，受到重力、繩子的拉力和向心力作用

B．小球做勻速圓周運動時的角速度一定大于

(l為擺長)

C．另有一個圓錐擺，擺長更大一點，兩者懸點相同，如圖4－2－19乙所示，如果改變兩小球的角速度，使兩者恰好在同一水平面內做勻速圓周運動，則B球的角速度大于A球的角速度

D．如果兩個小球的質量相等，則在圖乙中兩條細線受到的拉力相等

解析：如下圖所示，小鐵球做勻速圓周運動時，只受到重力和繩子的拉力，而向心力

是由重力和拉力的合力提供的，故A項錯誤．根據牛頓第二定律和向心力公式可得：mgtan

θ＝mlω2sin

θ，即ω＝.當小鐵球做勻速圓周運動時，θ一定大于零，即cos

θ一定小于1，因此，當小鐵球做勻速圓周運動時角速度一定大于，故B項正確．設點S到點O的距離為h，則mgtan

θ＝mhω2tan

θ，即ω＝，若兩圓錐擺的懸點相同，且兩者恰好在同一水平面內做勻速圓周運動時，它們的角速度大小一定相等，即C項錯誤．如右上圖所示，細線受到的拉力大小為T＝，當兩個小球的質量相等時，由于θA＜θB，即cos

θA＞cos

θB，所示A球受到的拉力小于B球受到的拉力，進而可以判斷兩條細線受到的拉力大小不相等，故D項錯誤．

答案：B

9.(2010·衡水模擬)如圖所示，在豎直的轉動軸上，a、b兩點間距為40

cm，細線ac長50

cm，bc長30

cm，在c點系一質量為m的小球，在轉動軸帶著小球轉動過程中，下列說法不正確的是()

A．轉速小時，ac受拉力，bc松弛

B．bc剛好拉直時ac中拉力為1.25mg

C．bc拉直后轉速增大，ac拉力不變

D．bc拉直后轉速增大，ac拉力增大

10.鐵路轉彎處常豎立一速度標示牌,即火車以此速度大小行駛時,車輪邊緣和內、外側鐵軌均無擠壓作用.如果火車轉彎時的速度小于標示速度,那么（）

A.外側鐵軌與輪緣間產生擠壓作用

B.內側鐵軌與輪緣間產生擠壓作用

C.內、外側鐵軌與輪緣均有擠壓作用

D.內、外側鐵軌與輪緣均無擠壓作用

【解析】

當火車轉彎時若對輪緣無擠壓,則火車只受重力和鐵軌的支持力如圖,由牛頓第二定律得:mgtan,此時有v=當火車轉彎速度小于時,所需的向心力減小,所以導致內軌對火車內側車輪輪緣有水平向左的壓力,B選項正確.【答案】

B

.11.如圖所示，一個豎直放置的圓錐筒可繞其中心OO′轉動，筒內壁粗糙，筒口半徑和筒高分別為R和H，筒內壁A點的高度為筒高的一半．內壁上有一質量為m的小物塊隨圓錐筒一起做勻速轉動，則下列說法正確的是()

A．小物塊所受合外力指向O點

B．當轉動角速度ω＝時，小物塊受摩擦力可能沿AO方向，也可能背離AO方向

C．當轉動角速度ω>

時，小物塊受摩擦力沿AO方向

D．當轉動角速度ω<

時，小物塊受摩擦力沿AO方向

解析：勻速圓周運動物體所受合外力提供向心力，指向物體圓周運動軌跡的圓心，A項錯；當小物塊在A點隨圓錐筒做勻速轉動，且其所受到的摩擦力為零時，小物塊在筒壁A點時受到重力和支持力的作用，它們的合力提供向心力，設筒轉動的角速度為ω，有：mgtan

θ＝mω2·，由幾何關系得：tan

θ＝，聯立以上各式解得ω＝，B項錯誤；當角速度變大時，小物塊所需向心力增大，故摩擦力沿AO方向，其水平方向分力提供部分向心力，C項正確；當角速度變小時，小物塊所需向心力減小，故摩擦力沿OA方向，抵消部分支持力的水平分力，D項錯．

答案：

C

12.如圖所示,一根細線下端拴一個金屬小球P,細線的上端固定在金屬塊Q上,Q放在帶小孔的水平桌面上.小球在某一水平面內做勻速圓周運動(圓錐擺).現使小球改到一個更高一些的水平面上做勻速圓周運動(圖上未畫出),兩次金屬塊Q都保持在桌面上靜止.則后一種情況與原來相比較,下面的判斷中正確的是

…（）

A.Q受到桌面的支持力變大

B.Q受到桌面的靜摩擦力變小

C.小球P運動的角速度變大

D.小球P運動的周期變大

【解析】

小球受力分析如圖,豎直方向有,Tcosmg,水平方向有Tsinsintan.當小球改到一個更高一些的水平面上做勻速圓周運動時,即變大,則角速度變大,選項C對D錯;豎直方向上仍有T′cos而Q受到桌面的支持力′cos選項A錯誤;Q受到桌面的靜摩擦力f=T′sinsin隨變大而增大,選項B錯誤.【答案】

C

13.當汽車通過拱橋頂點的速度為5

m/s時,車對橋頂的壓力為車重的3/4,如果要使汽車在粗糙的橋面行駛至橋頂時,不受摩擦力作用,則汽車通過橋頂的速度應為多少?

【解析】

設拱橋的半徑為r,速度為5

m/s時,根據牛頓第二定律和向心力公式,對車有/r,N=3mg/4.車不受摩擦力,即車對橋的壓力為零,有/r.解以上各式得

m/s.題型3：離心運動

(1)當F＝mrω2時，物體做勻速圓周運動；

(2)當F＝0時，物體沿切線方向飛出；

(3)當F

向心運動，當提供向心力的合外力大于做圓周運動所需向心力時，即F>mrω2，物體漸漸向圓心靠近．如圖所示．

14.如圖是摩托車比賽轉彎時的情形，轉彎處路面常是外高內低，摩托車轉彎有一個最大安全速度，若超過此速度，摩托車將發生滑動．對于摩托車滑動的問題，下列論述正確的是()

A．摩托車一直受到沿半徑方向向外的離心力作用

B．摩托車所受外力的合力小于所需的向心力

C．摩托車將沿其線速度的方向沿直線滑去

D．摩托車將沿其半徑方向沿直線滑去

解析：本題考查圓周運動的規律和離心現象．摩托車只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，沒有離心力，A項錯誤；摩托車正確轉彎時可看作是做勻速圓周運動，所受的合力等于向心力，如果向外滑動，說明提供的向心力即合力小于需要的向心力，B項正確；摩托車將在沿線速度方向與半徑向外的方向之間做離心曲線運動，C、D項錯誤．

答案：B

15.中央電視臺《今日說法》欄目最近報道了一起發生在湖南長沙某區湘府路上的離奇交通事故．

家住公路拐彎處的張先生和李先生家在三個月內連續遭遇了七次大卡車側翻在自家門口的場面，第八次有輛卡車沖進李先生家，造成三死一傷和房屋嚴重損毀的血腥慘案．經公安部門和交通部門協力調查，畫出的現場示意圖如圖4－2－12所示．交警根據圖示作出以下判斷，你認為正確的是()

①．由圖可知汽車在拐彎時發生側翻是因為車做離心運動

②．由圖可知汽車在拐彎時發生側翻是因為車做向心運動

③．公路在設計上可能內(東)高外(西)低

④．公路在設計上可能外(西)高內(東)低

A．①④正確

B．②③正確

C．①③正確

D．②④正確

解析：由題圖可知發生事故時，卡車在做圓周運動，從圖可以看出卡車沖入民宅時做離心運動，故選項①正確，選項②錯誤；如果外側高，卡車所受重力和支持力提供向心力，則卡車不會做離心運動，也不會發生事故，故選項③正確．

答案：

C

題型4：豎直平面內的圓周運動中的臨界問題

16.長L＝0.5

m質量可忽略的細桿，其一端可繞O點在豎直平面內轉動，另一端固定著一個物體A.A的質量為m＝2

kg，當A通過最高點時，如圖4－3－3所示，求在下列兩種情況下桿對小球的力：

(1)A在最低點的速率為m/s；

(2)A在最低點的速度為6

m/s.解析：對物體A由最低點到最高點過程，機械能守恒．

即

①

假設細桿對A的彈力F向下，則A的受力圖如右圖所示．

以A為研究對象，在最高點有mg＋F＝

所以F＝

(1)當v0＝m/s時，由①式得v＝1

m/s.F＝2×（－10)N＝－16

N，負值說明F的實際方向與假設向下的方向相反，即桿給A向上的16

N的支撐力．

(2)當v0＝6

m/s時，由①式得v＝4

m/s.F＝2×（－10)N＝44

N

正值說明桿對A施加的是向下的44

N的拉力．

答案：(1)16

N　向上(2)44

N　向下

在例1中若把細桿換成細繩，則在(1)(2)兩種情況下小球能通過最高點嗎？

若能，此時細繩對小球的拉力為多少？

答案：(1)v0＝

m/s時不能(2)v0＝6

m/s時能　44

N

由于兩種模型過最高點的臨界條件不同，所以在分析問題時首先明確是哪種模型，然后再利用條件討論．

17.m為在水平傳送帶上被傳送的小物體(可視為質點)，A為終端皮帶輪，如圖4－3－7所示，已知皮帶輪半徑為

r，傳送帶與皮帶輪間不會打滑，當m可被水平拋出時，A輪每秒的轉數最少是()

A.B.C.D.解析：當m被水平拋出時只受重力的作用，支持力N＝0.在圓周最高點，重力提供向心力，即mg＝，所以v＝.而v＝2πf·r，所以f＝＝，所以每秒的轉數最小為，A正確．

答案：A

18.如圖所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內做圓周運動，內側壁半徑為R，小球半徑為r，則下列說法正確的是()

A．小球通過最高點時的最小速度vmin＝

B．小球通過最高點時的最小速度vmin＝0

C．小球在水平線ab以下的管道中運動時，內側管壁對小球一定有作用力

D．小球在水平線ab以上的管道中運動時，外側管壁對小球一定有作用力

解析：小球沿管上升到最高點的速度可以為零，故A錯誤，B正確；小球在水平線ab以下的管道中運動時，由外側管壁對小球的作用力FN與球重力在背離圓心方向的分力Fmg的合力提供向心力，即：N－Fmg＝m，因此，外側管壁一定對球有作用力，而內側壁無作用力，C錯誤；小球在水平線ab以上的管道中運動時，小球受管壁的作用力與小球速度大小有關，D錯誤．

答案：B

19.如圖所示,一輕桿一端固定在O點,另一端固定一小球,在豎直平面內做圓周運動,通過最高點時,由于球對桿有作用,使桿發生了微小形變,關于桿的形變量與球在最高點時的速度大小關系,正確的是（）

A.形變量越大,速度一定越大

B.形變量越大,速度一定越小

C.形變量為零,速度一定不為零

D.速度為零,可能無形變

【解析】

桿的形變量可能是伸長量,也可能是壓縮量.如果伸長量越大,即桿對球向下的拉力越大,則小球的速度越大;如果壓縮量越大,即桿對球向上的支持力越大,則小球的速度越小,選項A、B錯誤;如果桿的形變量為零,即桿對球沒有力作用,則小球的重力提供向心力,速度不為零,選項D錯誤.【答案】

C

20.如圖所示,從光滑的1/4圓弧槽的最高點滑下的小滑塊,滑出槽口時速度方向為水平方向,槽口與一個半球頂點相切,半球底面為水平,若要使小物塊滑出槽口后不沿半球面下滑,已知圓弧軌道的半徑為半球的半徑為則和應滿足的關系是

（）

A.B.C.D.【解析】

小物塊滑到槽口時,若對球面沒有壓力即重力不大于向心力時,則其滑出槽口后不沿半球面下滑.根據機械能守恒可得小物塊滑到槽口時的速度為v,有/2.在槽口有/解得.【答案】

D

21.如圖所示，半徑為R，內徑很小的光滑半圓管道豎直放置，質量為m的小球以某一速度進入管內，小球通過最高點P時，對管壁的壓力為0.5mg.求：

(1)小球從管口飛出時的速率；

(2)小球落地點到P點的水平距離．

解析：(1)分兩種情況，當小球對管下部有壓力時，則有mg－0.5mg＝，v1＝.當小球對管上部有壓力時，則有mg＋0.5mg＝，v2＝

(2)小球從管口飛出做平拋運動，2R＝gt2，t＝2，S1＝v1t＝R，Sx2＝v2t＝R.答案：(1)

或

(2)R或R

題型5：勻速圓周運動中的臨界問題

22.用一根細繩，一端系住一個質量為m的小球，另一端懸在光滑水平桌面

上方h處，繩長l大于h，使小球在桌面上做勻速圓周運動．求若使小球不離開桌面，其轉速最大值是()

A.B．

C.D．

解析：以小球為研究對象，小球受三個力的作用：重力G、水平面支持力FN、繩子拉力F.在豎直方向合力為零，在水平方向合力為所需向心力，繩與豎直方向夾角為θ，則R＝htan

θ，Fcos

θ＋N＝mg

Fsin

θ＝mω2R＝m4π2n2htan

θ

當球即將離開水平面時N＝0，轉速n有最大值，即

mg＝，nmax＝

答案：A

23.如圖所示，物塊在水平圓盤上，與圓盤一起繞固定軸飛速轉動，下列說法中正確的是()

A．物塊處于平衡狀態

B．物塊受三個力作用

C．在角速度一定時，物塊到轉軸的距離越遠，物塊越不容易脫離圓盤

D．在物塊到轉軸距離一定時，物塊運動周期越小，越不容易脫離圓盤

解析：對物塊受力分析可知，物塊受豎直向下的重力、垂直圓盤向上的支持力及指向圓心的摩擦力共三個力作用，合力提供向心力，A錯，B正確．根據向心力公式F＝mrω2可知，當ω一定時，半徑越大，所需的向心力越大，越容易脫離圓盤；根據向心力公式F＝mr2可知，當物塊到轉軸距離一定時，周期越小，所需向心力越大，越容易脫離圓盤，C、D錯誤．

答案：B