第一篇：小學數學典型題型

數學典型題型

一、和差問題

【含義】已知兩數的和與差，求這兩數。【數量關系】

大數=（和+差）÷2 小數=（和-差）÷2 例1：已知兩數和是10，差是2，求這兩數。

大數：（10+2）÷2=6 小數：（10-2）÷2=4 答：這兩數分別是6和4。

例2：有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩袋共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克？ 解題思路：甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多32-30=2千克，且甲是大數，丙是小數，由此可解：

32-30=2（千克）

甲：（22+2）÷2=12（千克）丙：（22-2）÷2=10（千克）乙：32-12=20（千克）

答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。例3：甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？

解題思路：“從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐”，這說明甲車是大數，乙車是小數，甲與乙的差是14 X 2+3=31，由此可解：

甲：（97+14 X 2+3）÷2=64（筐）乙：97-64=33（筐）

答:甲車原來裝蘋果64筐，乙車原來裝蘋果33筐。

二、和倍問題

【含義】已知兩數的和及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），求這兩數。【數量關系】

小數=總和÷（幾倍+1）大數=總和-小數

例1：果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？

杏樹：248÷（3+1）=62（棵）桃樹：62 X 3=186（棵）

答：杏樹是62棵，桃樹是186棵。

例2：甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數是甲站的2倍？ 解題思路：每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當于每天從甲站開往乙站（28-24）輛。把幾天以后甲站的車輛數當作1倍量，這是乙站的車輛數就是2倍量，兩站的車輛總數（52+32）就相當于（2+1）倍，那么，幾天后甲站的車輛數為：（52+32）÷（2+1）=28（輛）天數：（52-28）÷（28-24）=6（天）答：6天后乙站車輛數是甲站的2倍。

例3：甲乙丙三數之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數各是多少？

解題思路：乙丙兩數都與甲數有關，因此把甲數作為1倍量。因為乙比甲的2倍少4，所以給乙加上4，乙數就變成甲數的2倍；又因為丙比甲的3倍多6，所以丙數減去6就變成甲數的3倍；這時（170+4-6）就相當于（1+2+3）倍。那么：

甲數：（170+4-6）÷（1+2+3）=28 乙數：28X2-4=52 丙數：28X3+6=90 答：甲數是28，乙數是52，丙數是90。

三、和比問題

【含義】已知整體，求部分。

例：甲乙丙三數和為27，甲：乙：丙=2:3:4，求甲乙丙三數。【口訣】

家要眾人合，分家有原則。分母比數和，分子自己的。和乘以比例，就是該得的。

分母比數和，即分母為：2+3+4=9 分子自己的，則甲乙丙三數占和的比例分別為2/9,3/9,4/9。和乘以比例，則甲為27X2/9=6，乙為27X3/9=9，丙為27X4/9=12

四、差倍問題（差比問題）

【含義】已知兩個數的差及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），求這兩個數各是多少。【數量關系】

小數=兩個數的差÷（幾倍-1）大數=小數X 幾倍

【口訣】

我的比你多，倍數是因果。分子實際差，分母倍數差。

商是一倍的，乘以各自的倍數，兩數便可求得。

例1：甲數比乙數大12，甲：乙=7:4，求兩數。先求一倍的量，12÷（7-4）=4 所以 甲數為：4 X 7=28 乙數為：4 X 4=16 例2：果園里桃樹的棵數是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？

杏樹：124÷（3-1）=62（棵）桃樹：62 X 3=186（棵）

答：杏樹是62棵，桃樹是186棵。

例3：商場改革經營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元？

解題思路：如果把上月盈利作為1倍量，則（30-12）萬元就相當于上月盈利的（2-1）倍，因此：

上月盈利：（30-12）÷（2-1）=18（萬元）本月盈利：18+30=48（萬元）

答：上月盈利是18萬元，本月盈利是48萬元。

例4：糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運出小麥和玉米各9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？

解題思路：由于每天運出的小麥和玉米的數量相等，所以剩下的數量差等于原來的數量差（138-94）。把幾天后剩下的小麥看著1倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（138-94）÷（3-1）倍，因此：

剩下的小麥數量：（138-94）÷（3-1）=22（噸）運出的小麥數量：94-22=72（噸）運糧的天數：72÷9=8（天）

答：8天后剩下的玉米是小麥的3倍。

五、倍比問題

【含義】有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題是先求出這個倍數，再用倍比的方法算出要求的數。【數量關系】

倍數=總量÷一個數量 另一總量=另一數量X倍數 例：100千克油菜可以榨油40千克，現在有油菜3700千克，可以榨油多少？

3700÷100=37（倍）40X37=1480（千克）答：可以榨油1480千克。

六、相遇問題

【含義】兩個運動的物體同時由兩地出發相向而行，在途中相遇。【數量關系】

相遇時間=總路程÷（甲速+乙速）總路程=（甲速+乙速）X相遇時間

例1：南京到上海的水路長392千米，同時從兩港開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行駛28千米，從上海開出的船每小時行駛21千米，經過幾小時兩船相遇？

392÷（28+21）=8（小時）答：經過8小時兩船相遇。

例2：小李和小劉在周長為400米的環形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點同時出發，反向而跑，那么，二人從出發到第二次相遇需多長時間？

例3：甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的距離。

七、追及問題

【含義】兩個運動物體在不同地點同時出發（或者在同一地點不同時出發），作同向運動，在后面的行進速度要快一些，在前面的行進速度要慢一些，在一定時間內，后面的物體追上前面的。【數量關系】

追及時間=追及路程÷（快速-慢速）追及路程=（快速-慢速）X追及時間

例1：好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？

解：劣馬先走12天能走多少千米？75X12=900（千米）

好幾天能追上劣馬？

900÷（120-75）=20（天）

答：好馬20天能追上劣馬。

例2：小明和小亮在200米環形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點同時出發，同向而跑。小明第一次追上小亮時跑了500米。求小亮的速度是每秒多少米。

解：小明第一次追上小亮時比小亮多跑了一圈，即200米，此時小亮跑了（500-200）米，要知小亮的速度，須知追及時間，即小明跑了500米所用的時間。又知小明200米用40秒，則跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是：

（500-200）÷［40×（500÷200）］=3（米）答：小亮的速度是每秒3米。

例3：我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在16點從甲地以每小時10千米的速度逃跑，解放軍在22點接到命令，以每小時30千米的速度從乙地開始追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾小時可以追上敵人？

解:敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是（22－16）小時，這段時間敵人逃跑的路程是［10×（22－6）］千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知

追及時間＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）

＝220÷20＝11（小時）

答：解放軍在11小時后可以追上敵人。

例4：一輛客車從甲站開往乙站，每小時行48千米；一輛貨車同時從乙站開往甲站，每小時行40千米，兩車在距離兩站中點16千米處相遇。求甲乙兩站的距離。

解: 這道題可以由相遇問題轉化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車（16×2）千米，客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間，這個時間為 16×2÷（48－40）＝4（小時）所以兩站間的距離為（48＋40）×4＝352（千米）

列成綜合算式（48＋40）×［16×2÷（48－40）］ ＝352（千米）答：甲乙兩站的距離是352千米。

例5：兄妹二人同時由家上學，哥哥沒分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時發現忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家里學校有多遠？

例6：孫亮打算上課前5分鐘到學校，他以每小時4千米的速度從家步行去學校，當他走了1千米時，發現手表慢了10分鐘，因此立即跑步前進，到學校恰好準時上課。后來算了一下，如果孫亮一開始就從家跑步，可比原來步行早9分鐘到學校。求孫亮跑步的速度。

八、植樹問題

【含義】按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數這三個量之間，已知其中的兩個量，求第三個量。【數量關系】

線性植樹 棵數=距離÷棵距+1 環形植樹 棵數=距離÷棵距

面積植樹 棵數=面積÷（棵距X行距）

【口訣】

植樹多少棵，要問路如何？ 直的加上1，圓的是結果。

例1：在一條長為120米的路上植樹，間距為4米，植樹多少棵？ 路是直的，因而植樹為：120÷4+1=31（棵）

例2：在一條長為120米的圓形花壇邊植樹，間距為4米，植樹多少棵？

路是圓的，因而植樹為：120÷4=30（棵）

九、年齡問題

【含義】這類問題是根據題目的內容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是兩人的年齡倍數關系隨著年齡的增長在發生變化。【數量關系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點。

【解題思路和方法】可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。例1：母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？

解：（1）母親比女兒的年齡大多少歲？

37－7＝30（歲）（2）幾年后母親的年齡是女兒的4倍？30÷（4－1）－7＝3（年）

列成綜合算式

（37－7）÷（4－1）－7＝3（年）

答：三年后母親的年齡是女兒的4倍。

例2：3年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子的4倍，父子今年各多少歲？

例3：甲對乙說，“當我的歲數是你現在的歲數時，你才4歲”。乙對甲說“當我的歲數將來是你現在的歲數時，你講61歲”。求甲乙現在的歲數各是多少？

十、行船問題

【含義】行船問題也就是與航行有關的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順水航行的速度是船速與水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差。【數量關系】

（順水速度+逆水速度）÷2=船速

（順水速度-逆水速度）÷2=水速 順水速度=船速X2-逆水速度=逆水速度+水速X2 逆水速度=船速X2-順水速度=順水速度-水速X2 例1：一只船順水行駛320千米需用8小時，水流速度為每小時15千米，這只船逆水行駛這段路程需用幾小時？

解：由條件知 順水速度=船速+水速=320÷8，而水速為每小時15千米，所以船速為 320÷8-15=25（千米）船的逆水速度為 25-15=10（千米）

船逆水行駛這段路程需用 320÷10=32（小時）答：這只船逆水行駛這段路程需用32小時。

例2：甲船逆水行駛360千米需要18小時，返回原地需要10小時，乙船逆水行駛同樣一段距離需要15小時，返回原地需要多少時間？

例3：一架飛機飛行在兩個城市之間，飛機速度是每小時576千米，風速為每小時24千米，飛機逆風飛行3小時到達，順風飛行幾小時到達？

十一、列車問題

【含義】這是與列車行駛有關的問題，解答時要注意列車車身的長度。【數量關系】

火車過橋：過橋時間=（橋長+車長）÷車速

火車追擊：追擊時間=（甲車長+乙車長+距離）÷（甲車速-乙車速）火車相遇：相遇時間=（甲車長+乙車長+距離）÷（甲車速+乙車速）例1：一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？ 解：火車3分鐘行駛的路程，就是橋長與車長之和。

900X3=2700（米）2700-2400=300（米）答：這列火車長300米。

例2：一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒的時間，大橋的長度是多少米？

例3：一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需多少時間？

十二、時鐘問題

【含義】就是研究鐘面上時針與分針關系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60°等。時間問題可與追擊問題想類比。

【數量關系】分針的速度是時針的12倍，二者的速度差為11/12。通常按追擊問題來對待，也可按差倍問題來計算。例1：從時針指向4點開始，再經過多少分鐘時針與分針正好重合？ 解：鐘面的一周為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格，時針每小時走5格，每分鐘走5/60=1/12格。每分鐘分針比時針多走（1-1/12）=11/12。4點整，時針在前，分針在后，兩針相距20格，所以分針追上時針的時間為：20÷（1-1/12）≈22（分）答：再經過22分鐘時針與分針正好重合。例2：四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角？

解：鐘面一周有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時候相差15格（包括分針在時針前或后兩種情況）。四點整的時候，分針在時針后（5X4）格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走（5X4+15）格。再根據一分鐘分針比時針多走（1-1/12）格就可以求二針成直角的時間。

四、雞兔同籠問題

例：雞兔同籠，有頭36，有腳120，求雞兔數。【口訣】

假設全是雞，假設全是兔。多了幾只腳，少了幾只足？ 除以腳的差，便是雞兔數。

求兔時，假設全是雞，則兔子數=（120-36X2）÷（4-2）=24（只）求雞時，假設全是兔，則雞數=（36X4-120）÷（4-2）=12（只）

五、工程問題

例：一項工程，甲單獨做4天完成，乙單獨做6天完成。甲乙同時做兩天后，由乙單獨做，幾天完成？ 【口訣】

工程總量設為1,1除以時間就是工作效率。

單獨做時工作效率就是自己的，一起做時工作效率是眾人的效率和。1減去已經做的便是沒有做的，沒有做的除以工作效率就是結果。

[1-（1/6+1/4）X2] ÷（1/6）=1（天）

七、盈虧問題 【口訣】

全盈全虧，大的減去小的；一盈一虧，盈虧加在一起。除以分配的差，結果就是分配的東西或者是人。例1：小朋友分桃子，每人10個少9個，每人8個多7個，求有多少小朋友？多少桃子？ 一盈一虧，則為：

（9+7）÷（10-8）=8（人）8X10-9=71（個）

例2：士兵背子彈，每人45發則多680發，每人50發則多200發，多少士兵？多少子彈？ 全盈問題，則大的減去小的：

（680-200）÷（50-45）=96（人）96X50+200=5000（發）

例3：學生發書，每人10本則差90本，每人8本則差8本，多少學生？多少書？

全盈問題，則大的減去小的：

（90-8）÷（10-8）=41（人）41X10-90=320（本）

八、余數問題

例：時鐘現在表示的時間是18點整，分針旋轉1990圈后是幾點？ 【口訣】

余數有（N-1）個，最小的是1，最大的是（N-1）。周期性變化時，不要看商，只看余數。

分析：分針旋轉1圈是1小時，旋轉24圈就是時針轉1圈，也就是時針回到原位。1990÷24的余數是22，所以相當于分針向前旋轉22圈，分針向前旋轉22圈相當于時針向前走22個小時，時針向前走22小時，也相當于時針向后走24-22=2個小時，即相當于時針向后撥了2小時。

即：18-2=16（點）

第二篇：小學數學典型應用題歸納匯總30種題型

小學數學典型應用題歸納匯總30種題型 歸一問題

【含義】在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標準，求出所要求的數量。這類應用題叫做歸一問題。

【數量關系】總量÷份數＝1份數量

1份數量×所占份數＝所求幾份的數量 另一總量÷（總量÷份數）＝所求份數

【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數量。

例1

買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？ 解（1）買1支鉛筆多少錢？

0.6÷5＝0.12（元）（2）買16支鉛筆需要多少錢？0.12×16＝1.92（元）列成綜合算式

0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元）答：需要1.92元。歸總問題

【含義】解題時，常常先找出“總數量”，然后再根據其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數量”是指貨物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產量、幾小時行的總路程等。

【數量關系】

1份數量×份數＝總量 總量÷1份數量＝份數

總量÷另一份數＝另一每份數量

【解題思路和方法】先求出總數量，再根據題意得出所求的數量。

例1

服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現在可以做多少套？

解（1）這批布總共有多少米？

3.2×791＝2531.2（米）（2）現在可以做多少套？

2531.2÷2.8＝904（套）列成綜合算式

3.2×791÷2.8＝904（套）答：現在可以做904套。和差問題

【含義】已知兩個數量的和與差，求這兩個數量各是多少，這類應用題叫和差問題。

【數量關系】大數＝（和＋差）÷ 2

小數＝（和－差）÷ 2

【解題思路和方法】簡單的題目可以直接套用公式；復雜的題目變通后再用公式。例1

甲乙兩班共有學生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？ 解甲班人數＝（98＋6）÷2＝52（人）乙班人數＝（98－6）÷2＝46（人）答：甲班有52人，乙班有46人。4 和倍問題

【含義】已知兩個數的和及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做和倍問題。

【數量關系】總和÷（幾倍＋1）＝較小的數 總和－較小的數＝較大的數 較小的數×幾倍＝較大的數

【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

例1

果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？ 解（1）杏樹有多少棵？

248÷（3＋1）＝62（棵）（2）桃樹有多少棵？

62×3＝186（棵）答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。5 差倍問題

【含義】已知兩個數的差及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做差倍問題。

【數量關系】兩個數的差÷（幾倍－1）＝較小的數 較小的數×幾倍＝較大的數

【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

例1

果園里桃樹的棵數是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？

解（1）杏樹有多少棵？

124÷（3－1）＝62（棵）（2）桃樹有多少棵？

62×3＝186（棵）答：果園里杏樹是62棵，桃樹是186棵。6 倍比問題

【含義】有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出這個倍數，再用倍比的方法算出要求的數，這類應用題叫做倍比問題。

【數量關系】總量÷一個數量＝倍數 另一個數量×倍數＝另一總量

【解題思路和方法】先求出倍數，再用倍比關系求出要求的數。

例1

100千克油菜籽可以榨油40千克，現在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？ 解（1）3700千克是100千克的多少倍？

3700÷100＝37（倍）（2）可以榨油多少千克？

40×37＝1480（千克）列成綜合算式

40×（3700÷100）＝1480（千克）答：可以榨油1480千克。7 相遇問題 【含義】兩個運動的物體同時由兩地出發相向而行，在途中相遇。這類應用題叫做相遇問題。

【數量關系】相遇時間＝總路程÷（甲速＋乙速）總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時間

【解題思路和方法】簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。

例1

南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28千米，從上海開出的船每小時行21千米，經過幾小時兩船相遇？ 解

392÷（28＋21）＝8（小時）答：經過8小時兩船相遇。8 追及問題

【含義】兩個運動物體在不同地點同時出發（或者在同一地點而不是同時出發，或者在不同地點又不是同時出發）作同向運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內，后面的追上前面的物體。這類應用題就叫做追及問題。

【數量關系】追及時間＝追及路程÷（快速－慢速）追及路程＝（快速－慢速）×追及時間

【解題思路和方法】簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

例1

好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？ 解（1）劣馬先走12天能走多少千米？

75×12＝900（千米）（2）好馬幾天追上劣馬？

900÷（120－75）＝20（天）列成綜合算式

75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）答：好馬20天能追上劣馬。植樹問題

【含義】按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應用題叫做植樹問題。

【數量關系】線形植樹棵數＝距離÷棵距＋1 環形植樹棵數＝距離÷棵距 方形植樹棵數＝距離÷棵距－4 三角形植樹棵數＝距離÷棵距－3 面積植樹棵數＝面積÷（棵距×行距）

【解題思路和方法】先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。

例1

一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？ 解

136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）答：一共要栽69棵垂柳。10 年齡問題

【含義】這類問題是根據題目的內容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數關系隨著年齡的增長在發生變化。

【數量關系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點。

【解題思路和方法】可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。

例1

爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？ 解

35÷5＝7（倍）（35+1）÷（5+1）＝6（倍）

答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍，明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。11 行船問題

【含義】行船問題也就是與航行有關的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順水航行的速度是船速與水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差。

【數量關系】（順水速度＋逆水速度）÷2＝船速（順水速度－逆水速度）÷2＝水速

順水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2 逆水速＝船速×2－順水速＝順水速－水速×2

【解題思路和方法】大多數情況可以直接利用數量關系的公式。

例1

一只船順水行320千米需用8小時，水流速度為每小時15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時？

解由條件知，順水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速為每小時15千米，所以，船速為每小時

320÷8－15＝25（千米）

船的逆水速為

25－15＝10（千米）

船逆水行這段路程的時間為

320÷10＝32（小時）答：這只船逆水行這段路程需用32小時。列車問題

【含義】這是與列車行駛有關的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。

【數量關系】火車過橋：過橋時間＝（車長＋橋長）÷車速 火車追及：追及時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速－乙車速）

火車相遇：相遇時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速＋乙車速）【解題思路和方法】大多數情況可以直接利用數量關系的公式。

例1

一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？

解火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。（1）火車3分鐘行多少米？

900×3＝2700（米）（2）這列火車長多少米？

2700－2400＝300（米）列成綜合算式

900×3－2400＝300（米）答：這列火車長300米。時鐘問題

【含義】就是研究鐘面上時針與分針關系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比。

【數量關系】分針的速度是時針的12倍，二者的速度差為11/12。

通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。

【解題思路和方法】變通為“追及問題”后可以直接利用公式。

例1

從時針指向4點開始，再經過多少分鐘時針正好與分針重合？

解鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格；時針每小時走5格，每分鐘走5/60＝1/12格。每分鐘分針比時針多走（1－1/12）＝11/12格。4點整，時針在前，分針在后，兩針相距20格。所以

分針追上時針的時間為

20÷（1－1/12）≈ 22（分）答：再經過22分鐘時針正好與分針重合。14 盈虧問題 【含義】根據一定的人數，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數或物品數，這類應用題叫做盈虧問題。

【數量關系】一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有： 參加分配總人數＝（盈＋虧）÷分配差 如果兩次都盈或都虧，則有：

參加分配總人數＝（大盈－小盈）÷分配差 參加分配總人數＝（大虧－小虧）÷分配差

【解題思路和方法】大多數情況可以直接利用數量關系的公式。

例1

給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就余11個；若每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？

解按照“參加分配的總人數＝（盈＋虧）÷分配差”的數量關系：（1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人）（2）有多少個蘋果？

3×12＋11＝47（個）答：有小朋友12人，有47個蘋果。工程問題

【含義】工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量。

【數量關系】解答工程問題的關鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數（它表示單位時間內完成工作總量的幾分之幾），進而就可以根據工作量、工作效率、工作時間三者之間的關系列出算式。工作量＝工作效率×工作時間 工作時間＝工作量÷工作效率

工作時間＝總工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

【解題思路和方法】變通后可以利用上述數量關系的公式。

例1

一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成，現在兩隊合作，需要幾天完成？

解題中的“一項工程”是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體數量，因此，把此項工程看作單位“1”。由于甲隊獨做需10天完成，那么每天完成這項工程的1/10；乙隊單獨做需15天完成，每天完成這項工程的1/15；兩隊合做，每天可以完成這項工程的（1/10＋1/15）。由此可以列出算式：

1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）答：兩隊合做需要6天完成。正反比例問題

【含義】兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。正比例應用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。

兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。反比例應用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用。

【數量關系】判斷正比例或反比例關系是解這類應用題的關鍵。許多典型應用題都可以轉化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷。

【解題思路和方法】解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數）轉化為比，應用比和比例的性質去解應用題。

正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。

例1

修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？

解由條件知，公路總長不變。

原已修長度∶總長度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12 現已修長度∶總長度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12 比較以上兩式可知，把總長度當作12份，則300米相當于（4－3）份，從而知公路總長為

300÷（4－3）×12＝3600（米）答：這條公路總長3600米。17 按比例分配問題

【含義】所謂按比例分配，就是把一個數按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數量的份數，另一種是直接給出份數。

【數量關系】從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少。總份數＝比的前后項之和

【解題思路和方法】先把各部分量的比轉化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數作分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。

例1

學校把植樹560棵的任務按人數分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？ 解總份數為

47＋48＋45＝140 一班植樹

560×47/140＝188（棵）二班植樹

560×48/140＝192（棵）三班植樹

560×45/140＝180（棵）

答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。18 百分數問題

【含義】百分數是表示一個數是另一個數的百分之幾的數。百分數是一種特殊的分數。分數常常可以通分、約分，而百分數則無需；分數既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分數只能表示“率”；分數的分子、分母必須是自然數，而百分數的分子可以是小數；百分數有一個專門的記號“%”。

在實際中和常用到“百分點”這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%。

【數量關系】掌握“百分數”、“標準量”“比較量”三者之間的數量關系： 百分數＝比較量÷標準量 標準量＝比較量÷百分數

【解題思路和方法】一般有三種基本類型：（1）求一個數是另一個數的百分之幾；（2）已知一個數，求它的百分之幾是多少；（3）已知一個數的百分之幾是多少，求這個數。

例1

倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？

解（1）用去的占

720÷（720＋6480）＝10%（2）剩下的占

6480÷（720＋6480）＝90% 答：用去了10%，剩下90%。19 “牛吃草”問題 【含義】“牛吃草”問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素。

【數量關系】草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數

【解題思路和方法】解這類題的關鍵是求出草每天的生長量。

例1

一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？

解草是均勻生長的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說5 天內的草總量要5 天吃完的話，得有多少頭牛？設每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：（1）求草每天的生長量

因為，一方面20天內的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天內的草總量又等于原有草量加上20天內的生長量，所以

1×10×20＝原有草量＋20天內生長量 同理

1×15×10＝原有草量＋10天內生長量 由此可知（20－10）天內草的生長量為

1×10×20－1×15×10＝50 因此，草每天的生長量為

50÷（20－10）＝5 20 雞兔同籠問題

【含義】這是古典的算術問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。

【數量關系】第一雞兔同籠問題： 假設全都是雞，則有

兔數＝（實際腳數－2×雞兔總數）÷（4－2）假設全都是兔，則有

雞數＝（4×雞兔總數－實際腳數）÷（4－2）第二雞兔同籠問題： 假設全都是雞，則有

兔數＝（2×雞兔總數－雞與兔腳之差）÷（4＋2）假設全都是兔，則有

雞數＝（4×雞兔總數＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）

【解題思路和方法】解答此類題目一般都用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設都是兔。如果先假設都是雞，然后以兔換雞；如果先假設都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設，再置換，使問題得到解決。

例1

長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數數頭有三十五，腳數共有九十四。請你仔細算一算，多少兔子多少雞？ 解假設35只全為兔，則

雞數＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）兔數＝35－23＝12（只）

也可以先假設35只全為雞，則 兔數＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）雞數＝35－12＝23（只）答：有雞23只，有兔12只。21 方陣問題

【含義】將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據已知條件求總人數或總物數，這類問題就叫做方陣問題。

【數量關系】（1）方陣每邊人數與四周人數的關系： 四周人數＝（每邊人數－1）×4 每邊人數＝四周人數÷4＋1（2）方陣總人數的求法：

實心方陣：總人數＝每邊人數×每邊人數

空心方陣：總人數＝（外邊人數）?－（內邊人數）? 內邊人數＝外邊人數－層數×2（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則： 總人數＝（每邊人數－層數）×層數×4

【解題思路和方法】方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據具體情況確定。

例1

在育才小學的運動會上，進行體操表演的同學排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學一共有多少人？

解

22×22＝484（人）

答：參加體操表演的同學一共有484人。商品利潤問題

【含義】這是一種在生產經營中經常遇到的問題，包括成本、利潤、利潤率和虧損、虧損率等方面的問題。

【數量關系】利潤＝售價－進貨價

利潤率＝（售價－進貨價）÷進貨價×100% 售價＝進貨價×（1＋利潤率）虧損＝進貨價－售價

虧損率＝（進貨價－售價）÷進貨價×100%

【解題思路和方法】簡單的題目可以直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

例1

某商品的平均價格在一月份上調了10%，到二月份又下調了10%，這種商品從原價到二月份的價格變動情況如何？

解設這種商品的原價為1，則一月份售價為（1＋10%），二月份的售價為（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售價比原價下降了

1－（1＋10%）×（1－10%）＝1% 答：二月份比原價下降了1%。23 存款利率問題 【含義】把錢存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個因素有關。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分數；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分數。

【數量關系】年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）數×100% 利息＝本金×存款年（月）數×年（月）利率 本利和＝本金＋利息

＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）數］

【解題思路和方法】簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。

例1

李大強存入銀行1200元，月利率0.8%，到期后連本帶利共取出1488元，求存款期多長。

解因為存款期內的總利息是（1488－1200）元，所以總利率為（1488－1200）÷1200

又因為已知月利率，所以存款月數為（1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月）答：李大強的存款期是30月即兩年半。24 溶液濃度問題

【含義】在生產和生活中，我們經常會遇到溶液濃度問題。這類問題研究的主要是溶劑（水或其它液體）、溶質、溶液、濃度這幾個量的關系。例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質，溶解后的混合物叫溶液。溶質的量在溶液的量中所占的百分數叫濃度，也叫百分比濃度。

【數量關系】溶液＝溶劑＋溶質 濃度＝溶質÷溶液×100%

【解題思路和方法】簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。

例1

爺爺有16%的糖水50克，（1）要把它稀釋成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它變成30%的糖水，需加糖多少克？

解（1）需要加水多少克？

50×16%÷10%－50＝30（克）（2）需要加糖多少克？

50×（1－16%）÷（1－30%）－50 ＝10（克）答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。25 構圖布數問題

【含義】這是一種數學游戲，也是現實生活中常用的數學問題。所謂“構圖”，就是設計出一種圖形；所謂“布數”，就是把一定的數字填入圖中。“構圖布數”問題的關鍵是要符合所給的條件。

【數量關系】根據不同題目的要求而定。

【解題思路和方法】通常多從三角形、正方形、圓形和五角星等圖形方面考慮。按照題意來構圖布數，符合題目所給的條件。例1

十棵樹苗子，要栽五行子，每行四棵子，請你想法子。解符合題目要求的圖形應是一個五角星。

4×5÷2＝10 因為五角星的5條邊交叉重復，應減去一半。幻方問題

【含義】把n×n個自然數排在正方形的格子中，使各行、各列以及對角線上的各數之和都相等，這樣的圖叫做幻方。最簡單的幻方是三級幻方。

【數量關系】每行、每列、每條對角線上各數的和都相等，這個“和”叫做“幻和”。三級幻方的幻和＝45÷3＝15

五級幻方的幻和＝325÷5＝65

【解題思路和方法】首先要確定每行、每列以及每條對角線上各數的和（即幻和），其次是確定正中間方格的數，然后再確定其它方格中的數。

例1

把1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數填入九個方格中，使每行、每列、每條對角線上三個數的和相等。

解幻和的3倍正好等于這九個數的和，所以幻和為（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）÷3＝45÷3＝15 九個數在這八條線上反復出現構成幻和時，每個數用到的次數不全相同，最中心的那個數要用到四次（即出現在中行、中列、和兩條對角線這四條線上），四角的四個數各用到三次，其余的四個數各用到兩次。看來，用到四次的“中心數”地位重要，宜優先考慮。

設“中心數”為Χ，因為Χ出現在四條線上，而每條線上三個數之和等于15，所以（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4 2 7 6 9 5 1 4 3 8 即

45＋3Χ＝60

所以Χ＝5 接著用奇偶分析法尋找其余四個偶數的位置，它們 分別在四個角，再確定其余四個奇數的位置，它們分別 在中行、中列，進一步嘗試，容易得到正確的結果。27 抽屜原則問題

【含義】把3只蘋果放進兩個抽屜中，會出現哪些結果呢？要么把2只蘋果放進一個抽屜，剩下的一個放進另一個抽屜；要么把3只蘋果都放進同一個抽屜中。這兩種情況可用一句話表示：一定有一個抽屜中放了2只或2只以上的蘋果。這就是數學中的抽屜原則問題。

【數量關系】基本的抽屜原則是：如果把n＋1個物體（也叫元素）放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中放著2個或更多的物體（元素）。

抽屜原則可以推廣為：如果有m個抽屜，有k×m＋r（0＜r≤m）個元素那么至少有一個抽屜中要放（k＋1）個或更多的元素。

通俗地說，如果元素的個數是抽屜個數的k倍多一些，那么至少有一個抽屜要放（k＋1）個或更多的元素。【解題思路和方法】（1）改造抽屜，指出元素；（2）把元素放入（或取出）抽屜；（3）說明理由，得出結論。

例1 育才小學有367個1999年出生的學生，那么其中至少有幾個學生的生日是同 一天的？

解由于1999年是潤年，全年共有366天，可以看作366個“抽屜”，把367個1999年出生的學生看作367個“元素”。367個“元素”放進366個“抽屜”中，至少有一個“抽屜”中放有2個或更多的“元素”。

這說明至少有2個學生的生日是同一天的。28 公約公倍問題

【含義】需要用公約數、公倍數來解答的應用題叫做公約數、公倍數問題。

【數量關系】絕大多數要用最大公約數、最小公倍數來解答。

【解題思路和方法】先確定題目中要用最大公約數或者最小公倍數，再求出答案。最大公約數和最小公倍數的求法，最常用的是“短除法”。

例1

一張硬紙板長60厘米，寬56厘米，現在需要把它剪成若干個大小相同的最大的正方形，不許有剩余。問正方形的邊長是多少？ 解硬紙板的長和寬的最大公約數就是所求的邊長。

60和56的最大公約數是4。答：正方形的邊長是4厘米。29 最值問題

【含義】科學的發展觀認為，國民經濟的發展既要講求效率，又要節約能源，要少花錢多辦事，辦好事，以最小的代價取得最大的效益。這類應用題叫做最值問題。

【數量關系】一般是求最大值或最小值。

【解題思路和方法】按照題目的要求，求出最大值或最小值。

例1

在火爐上烤餅，餅的兩面都要烤，每烤一面需要3分鐘，爐上只能同時放兩塊餅，現在需要烤三塊餅，最少需要多少分鐘？

解先將兩塊餅同時放上烤，3分鐘后都熟了一面，這時將第一塊餅取出，放入第三塊餅，翻過第二塊餅。再過3分鐘取出熟了的第二塊餅，翻過第三塊餅，又放入第一塊餅烤另一面，再烤3分鐘即可。這樣做，用的時間最少，為9分鐘。答：最少需要9分鐘。30 列方程問題 【含義】把應用題中的未知數用字母Χ代替，根據等量關系列出含有未知數的等式——方程，通過解這個方程而得到應用題的答案，這個過程，就叫做列方程解應用題。

【數量關系】方程的等號兩邊數量相等。

【解題思路和方法】可以概括為“審、設、列、解、驗、答”六字法。（1）審：認真審題，弄清應用題中的已知量和未知量各是什么，問題中的等量關系是什么。（2）設：把應用題中的未知數設為Χ。

（3）列；根據所設的未知數和題目中的已知條件，按照等量關系列出方程。（4）解；求出所列方程的解。

（5）驗：檢驗方程的解是否正確，是否符合題意。（6）答：回答題目所問，也就是寫出答問的話。

同學們在列方程解應用題時，一般只寫出四項內容，即設未知數、列方程、解方程、答語。設未知數時要在Χ后面寫上單位名稱，在方程中已知數和未知數都不帶單位名稱，求出的Χ值也不帶單位名稱，在答語中要寫出單位名稱。檢驗的過程不必寫出，但必須檢驗。

例1

甲乙兩班共90人，甲班比乙班人數的2倍少30人，求兩班各有多少人？ 解第一種方法：設乙班有Χ人，則甲班有（90－Χ）人。找等量關系：甲班人數＝乙班人數×2－30人。列方程：

90－Χ＝2Χ－30 解方程得Χ＝40

從而知

90－Χ＝50 第二種方法：設乙班有Χ人，則甲班有（2Χ－30）人。列方程（2Χ－30）＋Χ＝90 解方程得Χ＝40

從而得知

2Χ－30＝50 答：甲班有50

第三篇：不等式典型題型

2011高三文科必修（5）不等式經典題型

1、比較a2+b2+c2與ab+bc+ca的大小（做差后配方）

+abba2、已知a、b∈R,且a≠b,證明：ab＞ab（做比）

9（x＞5）的最小值（利用均值不等式）x?5

⑵設x>0,y>0,不等式x?y≤ax?y恒成立，求a的最小值（利用均值不等式或兩邊同時平方）

14、⑴求g(x)=(3-x)·(2x-1)(?x?3)的最大值（利用均值不等式）2

x2?3x?1⑵當x＞-1時，求f(x)= 的值域（利用均值不等式）x?1

4?5（利用均值不等式）

5、已知x＞1,求證：x+x?1

111+

6、已知：a、b∈R,且a+b+c=1,求證：???9（利用均值不等式，將左邊乘個a+b+c，然后打開括弧）abc117、已知a＞0,b＞0,a+b=1,求（2?1)(2?1)的最小值（利用均值不等式，采用1的代換）ab3、⑴求f(x)=4x+

a?ba2?b28、求函數y=x?3?x的最大值（利用均值不等式：）?229、若x,y∈R,x+y=5, 求3+3的最小值（利用均值不等式）10、11、12、已知銳角三角形ABC中，tanB+tanC=3.求證：∠A＞已知x＜xy?（利用到兩角和的正切公式和均值不等式）351,求函數y=4x-2+的最大值（利用均值不等式，注意先提個負號）44x?52x?1求不等式?0的解集（注意x不能為0）x

若關于x的不等式13、14、15、(x-a)（x?b)?0的解集為[-1,2]∪[3,+∞),求a+b的值(待定系數，多項分式的解法)x?c1

31｝,求a、c的值(待定系數)2

22若函數f(x)= kx?6kx?(k?8)的定義域為R，求實數k的取值范圍（恒成立問題）已知關于x的不等式ax+5x+c＞0的解集為｛x︱?x?

216、定義在（-3，3）上的奇函數f(x)在其定義域內遞減且f(2-a)+f(1-a-a)＞0,求實數a的取值范圍 ≥017、求不等式組≥0表示的平面區域的面積

≤

318、求（3，1）和（-4，6）在直線3x-2y+a=0的兩側，求a的取值范圍

≥019、設x,y滿足條件≥0

≤3

22⑴求p=2x-y+1和u= x+y的最大值和最小值

y的最大值和最小值（線性規劃中的斜率問題，可以看成（5，0）點與（x,y）點連線的直線斜率）x?520、求證：3?7?2（可用分析法證明）⑵求u=

21、若關于x的不等式ax-2x+2＞0對于滿足1＜x＜4的一切實數x恒成立，求a的范圍（恒成立問題，圖像分析法）

222、已知，當∣m∣≤2時，不等式2x-1＞m(x-1)恒成立，求實數x的取值范圍

第四篇：牛頓第二定律典型題型歸納

牛頓第二定律典型題型歸納

二.學習目標：

1、掌握牛頓第二定律解題的基本思路和方法。

2、重點掌握牛頓第二定律習題類型中典型題目的分析方法如瞬時問題、臨界問題及傳送帶問題。

考點地位：牛頓第二定律的應用問題是經典物理學的核心知識，是高考的重點和難點，突出了與實際物理情景的結合，出題形式多以大型計算題的形式出現，從近幾年的高考形式上來看，2007年江蘇單科卷第15題、上海卷第21題、上海卷第19B、2006年全國理綜Ⅰ卷、Ⅱ卷的第24題、2005年全國理綜Ⅰ卷的第14題、第25題均以計算題目的形式出現，2007年全國理綜Ⅰ卷第18題以選擇題的形式出現。

三.重難點解析：

1.動力學兩類基本問題

應用牛頓運動定律解決的問題主要可分為兩類：（1）已知受力情況求運動情況。（2）已知運動情況求受力情況。

分析解決這兩類問題的關鍵是抓住受力情況和運動情況之間聯系的橋梁——加速度。基本思路流程圖：

基本公式流程圖為：

2.動力學問題的處理方法

（1）正確的受力分析。

對物體進行受力分析，是求解力學問題的關鍵，也是學好力學的基礎。（2）受力分析的依據。

①力的產生條件是否存在，是受力分析的重要依據之一。

②力的作用效果與物體的運動狀態之間有相互制約的關系，結合物體的運動狀態分析受力情況是不可忽視的。

③由牛頓第三定律（力的相互性）出發，分析物體的受力情況，可以化難為易。

3.解題思路及步驟

（1）由物體的受力情況求解物體的運動情況的一般方法和步驟。①確定研究對象，對研究對象進行受力分析，并畫出物體的受力圖。②根據力的合成與分解的方法，求出物體所受合外力（包括大小和方向）③根據牛頓第二定律列方程，求出物體的加速度。

④結合給定的物體運動的初始條件，選擇運動學公式，求出所需的運動參量。（2）由物體的運動情況求解物體的受力情況。

解決這類問題的基本思路是解決第一類問題的逆過程，具體步驟跟上面所講的相似，但需特別注意：①由運動學規律求加速度，要特別注意加速度的方向，從而確定合力的方向，不能將速度的方向與加速度的方向混淆。②題目中求的力可能是合力，也可能是某一特定的作用力。即使是后一種情況，也必須先求出合力的大小和方向，再根據力的合成與分解知識求分力。

4.解題方法

牛頓運動定律是解決動力學問題的重要定律，具體應用的方法有好多，高中物理解題常用的方法有以下幾種：

（1）正交分解法：

表示方法

為減少矢量的分解，建立坐標系時，確定x軸正方向有兩種方法： ①分解力而不分解加速度。

分解力而不分解加速度，通常以加速度a的方向為x軸正方向，建立直角坐標系，將物體所受的各個力分解在x軸和y軸上，分別得x軸和y軸的合力

。根據力的獨立作用原理，各個方向上的力分別產生各自的加速度，得方程組

②分解加速度而不分解力。

若物體受幾個相互垂直的力作用，應用牛頓定律求解時，若分解的力太多，比較繁瑣，所以在建立直角坐標系時，可根據物體受力情況，使盡可能多的力位于兩坐標軸上而分解加速度a，得，根據牛頓第二定律得方程組

求解。這種方法一般是在以某個力的方向為x軸正方向時，其他力都落在兩個坐標軸上而不需要分解的情況下應用。

（2）程序法：

在解題過程中，按照時間或者空間的先后順序，對題目給定的物理過程（或者物理狀態）進行分析、判斷、計算的解題方法叫程序法。

運用程序法解題的基本思路是：

①根據題意，明確題設中有幾個不同的運動過程，有多少個不同的運動狀態，有多少個不同的研究對象。

②根據解題選定了的研究對象，對各個運動過程或者各個不同的運動狀態，進行具體的分析。

③分析判斷前、后兩個物理過程之間的銜接點的物理意義與特點，此銜接點往往是解決物理問題的“切入口”或者是解題的“命門”。

④選用相應的物理規律、公式計算求解。

【典型例題】

問題1：瞬時問題分析方法與思路： 例：如圖所示，A、B兩小球質量相等，用細線相連，A用彈簧吊起，且懸于天花板上，整個系統都處于靜止狀態。現突然剪斷細線的瞬間，A和B的加速度分別為方向__________，__________，方向_____________________。

_______，解析：本題考查的是牛頓第二定律的瞬時性。在突然剪斷細線的瞬間，B受的細線的拉力突然消失，所以它的加速度不再為零，但這一瞬間，A由于慣性無位移，所以彈簧形變不變，仍保持原來的彈力，若分別對A，B進行受力分析，由牛頓第二定律可求解。

系統剪斷線以前，處于平衡狀態，分析A，B整體的受力情況。如圖甲所示，彈力。

當剪斷線瞬間，B只受力重力，由牛頓第二定律乙所示，由牛頓第二定律，向上。，向下，A受力情況如圖

答案：g 向下 g 向上

變式：如圖A所示，一質量為m的物體系于長度分別為端懸掛在天花板上，與豎直方向夾角為求剪斷瞬時物體的加速度。的兩根細線上，的一

線剪斷，水平拉直，物體處于平衡狀態。現將

（1）下面是某同學對該題的一種解法：

解：設l1線上拉力為T1，l2線上拉力為T2，重力為mg，物體在三力作用 下保持平衡

T1cosθ＝mg，T1sinθ＝T2，T2＝mgtgθ

剪斷線的瞬間，T2突然消失，物體即在T2反方向獲得加速度。因為mg tgθ＝ma，所以加速度a＝g tgθ，方向在T2反方向。

你認為這個結果正確嗎？請對該解法作出評價并說明理由。

（2）若將圖A中的細線l1改為長度相同、質量不計的輕彈簧，如圖B所示，其他條件不變，求解的步驟和結果與（l）完全相同，即a＝gtgθ，你認為這個結果正確嗎？請說明理由。

解：（1）錯。

因為l2被剪斷的瞬間，l1上的張力大小發生了變化。（2）對。

因為G被剪斷的瞬間，彈簧U的長度未及發生變化，乃大小和方向都不變。問題2：臨界問題分析：

例：（臨界加速度問題）如圖所示，一細線的一端固定于傾角為45°的光滑楔形滑塊A的頂端P處，細線的另一端拴一質量為m的小球。試求當滑塊以動時線中的拉力。的加速度向左運

解析：本題中當滑塊向左運動的加速度較小時，滑塊對小球存在支持力；當滑塊向左運動的加速度較大時，小球將脫離滑塊斜面而“飄”起來。因此，本題存在一個臨界條件：當滑塊向左運動的加速度為某一臨界值時，斜面對小球的支持力恰好為零（小球將要離開斜面而“飄”起來）。我們首先求此臨界條件。此時小球受兩個力：重力mg；繩的拉力根據牛頓第二定律的正交表示，有，①

②

聯立①②兩式并將代入，得，即當斜面體滑塊向左運動的加速度為當時，小球將“飄”起來，當。

時，小球恰好對斜面無壓力。

時，小球已“飄”起來了，此時小球的受力代入，解得

。情況如圖所示，故根據①②兩式并將

此即為所求線中的拉力。

變式（2005年全國卷III）如圖所示，在傾角為θ的光滑斜面上有兩個用輕質彈簧相連接的物塊A、B。它們的質量分別為mA、mB，彈簧的勁度系數為k，C為一固定擋板。系統處于靜止狀態。現開始用一恒力F沿斜面方向拉物塊A使之向上運動，求物塊B剛要離開C時物塊A的加速度a和從開始到此時物塊A的位移d。重力加速度為g。

解：令x1表示未加F時彈簧的壓縮量，由胡克定律和牛頓定律可知

mAgsinθ＝kx ①

令x2表示B剛要離開C時彈簧的伸長量，a表示此時A的加速度，由胡克定律和牛頓定律可知

kx2＝mBgsinθ

②

F－mAgsinθ－kx2＝mAa ③

由②③式可得a= ④ 由題意 d＝x1＋x2 ⑤

由①②⑤式可得d＝ ⑥

問題3：傳送帶問題分析：

情景

1、水平放置的傳送帶類問題： 例： 水平傳送帶被廣泛地應用于機場和火車站，如圖所示為一水平傳送帶裝置示意圖。緊繃的傳送帶AB始終保持恒定的速率運行，一質量為的行李無初速度地放在A處，傳送帶對行李的滑動摩擦力使行李開始做勻加速直線運動，隨后行李又以與傳送帶相等的速率做勻速直線運動。設行李與傳送帶之間的動摩擦因數離L=2m，g取。，A、B間的距

（1）求行李剛開始運動時所受滑動摩擦力的大小與加速度的大小；（2）求行李做勻加速直線運動的時間；

（3）如果提高傳送帶的運行速率，行李就能被較快地傳送到B處，求行李從A處傳送到B處的最短時間和傳送帶對應的最小運行速率。

解析：（1）滑動摩擦力加速度。

（2）行李達到與傳送帶相同速率后不再加速，則。

（3）行李始終勻加速運行時間最短，加速度仍為，所以傳送帶的最小運行速率為行李最短運行時間由答案：（1）（2）。

。，當行李到達右端時，（3），情景

2、傾斜放置的傳送帶類問題： 例：如圖所示，傳輸帶與水平面間的傾角為，皮帶以10m/s的速率運行，在傳輸帶上端A處無初速度地放上質量為0.5kg的物體，它與傳輸帶間的動摩擦因數為0.5，若傳輸帶A到B的長度為16m，則物體從A運動到B的時間為多少？

解析：首先判定與的大小關系，所以物體一定沿傳輸帶對地下滑，不可能對地上滑或對地相對靜止，其次皮帶運動速度方向未知，而皮帶運動速度方向影響物體所受摩擦力方向，所以應分別討論。

（1）當皮帶的上表面以10m/s速度向下運動時，剛放上的物體相對皮帶有向上的相對速度，物體所受滑動摩擦力方向沿斜坡向下，（如圖所示）該階段物體對地加速度，方向沿斜面向下。

物體趕上皮帶對地速度需時間在內物體沿斜面對地位移。

由于，物體在重力作用下將繼續加速下滑，當物體速度超過皮帶運動速度時物體所受滑動摩擦力沿斜面向上，物體對地加速度。

物體以則即加速度運行剩下的11m位移需時間

，所需總時間。

（2）當皮帶上表面以10m/s速度向上運動時，物體相對于皮帶一直具有沿斜面向下的相對速度，物體所受滑動摩擦方向沿斜面向上且不變，設加速度為

。。即。物體從傳輸帶頂滑到底所需時間為，則。答案：順時針轉2s，逆時針轉4s。情景

3、組合型傳送帶類問題：

例：如圖所示，將一物體A放在勻速傳送的傳動帶的a點，已知傳動帶速度大小，A與傳動帶的動摩擦因數需要多長時間？（，，試求物塊A運動到C點共）

解析：物塊A相對地的運動可分為三個過程：①初速為零的勻加速直線運動。加速度；②當速度達到與傳送帶相等時，物體與傳送帶間無相對運動趨勢，做勻速直線運動到達b點；③物體在bc段做勻加速直線運動，物塊與傳送帶有相對滑動。

則第一階段做初速為零的勻加速直線運動時所用時間

；

第二階段勻速直線運動時的時間； 第三階段做初速度勻加速直線運動所用時間：

即故物塊A運動到C所需時間：答案：2.4s。

【模擬試題】

1.鋼球在盛有足夠深油的油罐中由靜止開始下落，若油對球的阻力正比于其速率，則球的運動情況是（）

A.先加速后勻速

B.先加速后減速最后靜止 C.先加速后減速最后勻速 D.加速度逐漸減小到零

2.如圖所示，一木塊在水平恒力的作用下，沿光滑水平面向右做加速運動，前方墻上固定有一勁度系數足夠大的彈簧，當木塊接觸彈簧后，將（）

A.立即做減速運動 B.立即做勻速運動 C.在一段時間內速度繼續增大

D.當彈簧壓縮量為最大時，物體速度為零，處于平衡狀態

3.如圖所示，一物體從曲面上的Q點由靜止開始下滑，通過一段粗糙的傳送帶，傳送帶靜止，從A運動到B的時間為；若傳送帶的皮帶在輪子轉動的帶動下，上表面向左勻速運動，再次把物體從曲面的Q點由靜止開始下滑，達到A點時速度與第一次相同，從A到B運動的時間為A.C.，則（）

B.D.無法確定

4.質量為的物體放在A地，用豎直向上的力F拉物體，物體的加速度a與拉力F的關的物體在B地做類似實驗，測得和

由圖可判定（）

關系如圖中的②所示，系如圖中的①所示；質量為設兩地重力加速度分別為A.C.B.D.5.勻速上升的升降機頂部懸有一輕質彈簧，彈簧下端掛一小球，若升降機突然停止，在地面觀察者看來，小球在繼續上升的過程中（）

A.速度逐漸減小 B.速度先增大后減小 C.加速度先減小后增大 D.加速度逐漸減小

6.從加速豎直上升的氣球上落下一個物體，在物體剛離開氣球的瞬間，下列說法正確的是（）

A.物體立即向下做自由落體運動 B.物體具有豎直向上的加速度

C.物體的速度為零，但具有豎直向下的加速度 D.物體具有豎直向上的速度和豎直向下的加速度

7.如圖所示，用細線拉著小球A向上做加速運動，小球A、B間用彈簧相連，兩球的質量分別為m和2m，加速度的大小為a，若拉力F突然撤去，則A、B兩球的加速度大小分別為_______________，=_____________。

8.2008年奧運會將在我國北京舉行，為此北京交通部門規定市區內某些區域汽車行駛速度不得超過30km/h。一輛汽車在規定的范圍內行駛，突然采取車輪抱死緊急剎車，沿直線滑行了10m而停止，查得汽車與該路面的動摩擦因數為0.72，試判斷該汽車是否違章超速行駛并說明理由。（g取）

9.如圖所示，幾個不同傾角的光滑斜面底邊相同，頂點在同一豎直面內，物體從哪個斜面的頂端由靜止滑下時，滑到底端所用時間最短？（）

10.如圖所示的傳送皮帶，其水平部分AB長，一小物體P與傳送帶的動摩擦因數體從A點被傳送到C點所用的時間。（BC與水平面夾角，長度，皮帶沿A至B方向運行，速率為），若把物體P放在A點處，它將被傳送帶送到C點，且物體P不脫離皮帶，求物

第五篇：數列典型題型

數列典型題型

1、已知數列?an?中，Sn是其前n項和，并且Sn?1?4an?2(n?1,2,?),a1?1，⑴設數列bn?an?1?2an(n?1,2,??)，求證：數列?bn?是等比數列； a,(n?1,2,??)，求證：數列?cn?是等差數列； ⑵設數列cn?n

2n

⑶求數列?an?的通項公式及前n項和。

2、已知a1=2，點(an,an+1)在函數f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，…

（1）證明數列｛lg(1+an)｝是等比數列；

（2）設Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及數列｛an｝的通項；

3、已知數列{an}為等差數列，公差d≠0，其中ak1，ak2，…，akn恰為等比數列，若k1=1，k2=5，k3=17，求k1+k2+…+kn4、設數列{an}為等差數列，Sn為數列{an}的前n項和，已知S7=7，S15=75,Tn為數列{

求Tn5、、正數數列{an}的前n項和為Sn，且2n?an?1，求：

（1）數列{an}的通項公式；

（2）設bn?11，數列{bn}的前n項的和為Bn，求證：Bn?.anan?12Sn}的前n項和，n6、在等比數列{an}中，an?0(n?N*)，公比q?(0,1)，且a1a5?2a3a5?a2a8?25，又a3與a5的等比

中項為2.（1）求數列{an}的通項公式；

SnS1S2????（2）設bn?log2an，數列{bn}的前n項和Sn，當最大時，求n的值.12n7、已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1?

（Ⅰ）判斷1,an?2SnSn?1?0(n?2)，21是否為等差數列？并證明你的結論； Sn

（Ⅱ）求Sn和an8、已知二次函數y?f(x)的圖像經過坐標原點，其導函數為f(x)?6x?2，數列{an}的前n項和為Sn，點(n,Sn)(n?N?)均在函數y?f(x)的圖像上。

（Ⅰ）、求數列{an}的通項公式； '

（Ⅱ）、設bn?m1?，Tn是數列{bn}的前n項和，求使得Tn?對所有n?N都成立的最小正整數m； 20anan?1