第一篇：函數模型的應用實例教學設計[定稿]

函數模型的應用實例教學設計

教學目標：

1、能夠利用給定的函數模型或建立確定性函數模型解決實際問題.2、感受運用函數概念建立模型的過程和方法,對給定的函數模型進行簡單的分析評價.3、體會數學在實際問題中的應用價值.教學過程：

一、創(chuàng)設情景，引入新課

通過一個情境，了解建立一次函數模型和指數函數型模型。一次函數、二次函數、指數函數、對數函數以及冪函數，不只是理論上的數學問題，它們都與現實世界有著緊密的聯(lián)系，我們如何利用這些函數模型來解決實際問題？利用這些函數模型預測未來，改造世界。

二、實例分析

實例

1、一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時間的關系如圖所示:(1)求圖中陰影部分的面積,并說明所求面積的實際含義;設問：圖中每一個矩形的面積的意義是什么? 單位時間內行駛的路程。

陰影部分的面積為360，陰影部分的面積表示汽車在這5小時內行駛的路程為360km(2)試建立汽車行駛路程 S km與時間t h的函數解析式，并作出相應的圖象.設問：如何建立函數關系式？根據S= vt建立函數關系。單位小時內速度不同，所以構成了一次函數的分段形式.（3）假設這輛汽車的里程表在行駛這段路程前的讀數為2004km，試建立汽車行駛這段路程時汽車里程表讀數 s km與時間 t h的函數解析式，與（２）的結論有何關系？

汽車的行駛里程=里程表讀數-2004，分段函數的定義域是指每個范圍的并集.說明：1.本例所給出的函數模型是一個速度-時間圖象，向另一種圖象模型和解析式模型轉化，建立了分段函數模型。

2.解決應用題的一般步驟：

①審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系；

②建模：將文字語言轉化為數學語言，利用數學知識，建立相應的數學模型； ③解模：求解數學模型，得出數學結論；

④還原：將用數學知識和方法得出的結論，還原為實際問題的意義．

實例2.人口問題是當今世界各國普遍關注的問題。認識人口數量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長

y ?y0e提供依據。早在1798年，英國經濟學家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：

r?t(1)如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率(精確到0.000 1),用馬爾薩斯人口增

長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型,并檢驗所得模型與實際人口數據是否相符;設問：描述所涉及數量之間關系的函數模型是否是確定的,確定這種函數模型需要幾個因素? y0和r 設問：根據表中數據如何確定函數模型? 先求1951-1959年各年的人口增長率,再求年平均增長率r,確定y0的值,從而確定人口增長模型.y?55196e得到馬爾薩斯人口增長模型：

0.0221t,t?N設問：對所確定的函數模型怎樣進行檢驗?根據檢驗結果對函數模型又應作出如何評價? 作出人口增長函數的圖象,再在同一直角坐標系上根據表中數據作出散點圖,觀察散點是否在圖象上.由圖可以看出,所得模型1950-1959年的實際人口數據基本吻合.(2)如果按數據表的增長趨勢,大約在哪一年我國的人口達到13億? 該模型只能大致描述自然狀態(tài)下的人口增長情況，而對于受到人為影響的人口增長情況，如計劃生育。如果不實行計劃生育，我國將面臨難以承受的壓力，計劃生育政策，利國利民.設問：如何根據所確定的函數模型具體預測我國某個時期的人口數,實質是何種計算方法? 已知函數值,求自變量的值.設問：依據表中增長趨勢，你算一算我國2050年的人口數？ 利用函數模型既能解決現實問題，也可預測未來走向.說明：本題體現數學建模的思想，檢驗模型，更體現模型的實際應用價值。

練習1：某人開汽車以60km/h的速率從A地到150km遠處的 B 地，在B地停留1小時后，再以50km/h的速率返回A 地。把汽車與A地的距離S表示為從A地出發(fā)時開始經過的時間t（小時）的函數，并畫出函數的圖像。

?60t?0?t?2.5??S??150?2.5?t?3.5??150?50(t?3.5)?3.5?t?6.5??練習2：水庫蓄水量隨時間而變化，現有t表示時間，以月為單位，年初為起點，根據歷年數據，某水庫的蓄水量V(t)(單位：億立方米）關于t的近似函數關系式為

(1)該水庫的蓄求量小于40的時期稱為枯水期.以 i?1?t?i2???t?14t?0?t?10?V(t)????4?t?10??3t?40??40?10?t?12?

i月份 ?i?1,2，12?表示第 問一年內哪幾個月份是枯水期？

(2)求一年內該水庫的最大蓄水量.設問：想一想：生活中我們該如何節(jié)約用水？

三、小結： 本節(jié)重點是：

1、體驗函數模型是用來解決客觀世界中存在的有關實際問題；

2、建立分段函數的函數模型時，要注意定義域“不重、不漏”的原則；

3、利用函數模型既能解決現實問題，也可預測未來走向。

4、建立（確定）函數模型的基本步驟： 第一步：審題

讀懂題中的文字敘述，理解敘述所反映的實際背景，領悟從背景中概括出來的數學實質，尤其是理解題中所給的圖形、表格的現實意義，進而把握住新信息，確定相關變量的關系。第二步：建模

確定相關變量后，根據問題已知條件，運用已掌握的數學知識、物理知識及其他相關知識建立函數關系式，將實際問題轉化為一個數學問題，實現問題的數學化，即所謂建立數學模型。第三步：求模

利用數學的方法將得到的常規(guī)數學問題（即數學模型）予以解答，求得結果。第四步：還原再轉譯為具體問題作出解答。

四、作業(yè):（1）教材107頁1、2、4.（2）社會實踐題：找到身邊的函數應用模型實例兩例。

第二篇：3．2 函數模型及其應用 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

1.知識與技能 能夠利用給定的函數模型或建立確定性函數模型解決實際問題.2.過程與方法 進一步感受運用函數概念建立函數模型的過程和方法，對給定的函數模型進行簡單的分析評價.2.教學重點/難點

重點 利用給定的函數模型或建立確定性質函數模型解決實際問題.難點 將實際問題轉化為數學模型，并對給定的函數模型進行簡單的分析評價.3.教學用具

投影儀等.4.標簽

數學，函數的應用

教學過程

（一）創(chuàng)設情景，揭示課題.現實生活中有些實際問題所涉及的數學模型是確定的，但需我們利用問題中的數據及其蘊含的關系來建立.對于已給定數學模型的問題，我們要對所確定的數學模型進行分析評價，驗證數學模型的與所提供的數據的吻合程度.（二）實例嘗試，探求新知

例1.一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時間的關系如圖所示.1）寫出速度v關于時間t的函數解析式；

2）寫出汽車行駛路程y關于時間t的函數關系式，并作圖象； 3）求圖中陰影部分的面積，并說明所求面積的實際含義；

4）假設這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數為2004km，試建立汽車行駛這段路程時汽車里程表讀數s與時間t的函數解析式，并作出相應的圖象.本例所涉及的數學模型是確定的，需要利用問題中的數據及其蘊含的關系建立數學模型，此例分段函數模型刻畫實際問題.教師要引導學生從條塊圖象的獨立性思考問題，把握函數模型的特征.注意培養(yǎng)學生的讀圖能力，讓學生懂得圖象是函數對應關系的一種重要表現形式.例2.人口問題是當今世界各國普遍關注的問題，認識人口數量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據.早在1798，英國經濟家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：

其中t表示經過的時間，表示

時的人口數，r表示人口的年均增長率.下表是1950~1959年我國的人口數據資料：（單位：萬人）

1）如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率（精確到0.0001），用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型，并檢驗所得模型與實際人口數據是否相符；

2）如果按表中的增長趨勢，大約在哪一年我國的人口將達到13億？ 探索以下問題：

1）本例中所涉及的數量有哪些？

2）描述所涉及數量之間關系的函數模型是否是確定的，確定這種模型需要幾個因素？

3）根據表中數據如何確定函數模型？

4）對于所確定的函數模型怎樣進行檢驗，根據檢驗結果對函數模型又應做出如何評價？ 如何根據確定的函數模型具體預測我國某個時間的人口數，用的是何種計算方法？

本例的題型是利用給定的指數函數模型

解決實際問題的一類問題，引

與t.導學生認識到確定具體函數模型的關鍵是確定兩個參數完成數學模型的確定之后，因為計算較繁，可以借助計算器.在驗證問題中的數據與所確定的數學模型是否吻合時，可引導學生利用計算器或計算機作出所確定函數的圖象，并由表中數據作出散點圖，通過比較來確定函數模型與人口數據的吻合程度，并使學生認識到表格也是描述函數關系的一種形式.引導學生明確利用指數函數模型對人口增長情況的預測，實質上是通過求一個對數值來確定t的近似值.課堂練習：某工廠今年1月、2月、3月生產某種產品的數量分別為1萬件，1.2萬件，1.3萬件，為了估計以后每個月的產量，以這三個月的產品數量為依據用一個函數模擬該產品的月產量t與月份的x關系，模擬函數可以選用二次函數或函數.已知4月份該產品的產量為1.37萬件，請問用以上哪個函數作為模擬函數較好，并說明理由.探索以下問題：

1）本例給出兩種函數模型，如何根據已知數據確定它們？ 2）如何對所確定的函數模型進行評價？

本例是不同函數的比較問題，要引導學生利用待定系數法確定具體的函數模型.引導學生認識到比較函數模型優(yōu)劣的標準是4月份產量的吻合程度，這也是對函數模評價的依據.本例滲透了數學思想方法，要培養(yǎng)學生有意識地運用.三.歸納小結，發(fā)展思維.利用給定函數模型或建立確定的函數模型解決實際問題的方法； 1）根據題意選用恰當的函數模型來描述所涉及的數量之間的關系； 2）利用待定系數法，確定具體函數模型； 3）對所確定的函數模型進行適當的評價； 4）根據實際問題對模型進行適當的修正.從以上各例體會到：根據收集到的數據，作出散點圖，然后通過觀察圖象，判斷問題適用的函數模型，借助計算器或計算機數據處理功能，利用待定系數法得出具體的函數解析式，再利用得到的函數模型解決相應的問題，這是函數應用的一個基本過程.圖象、表格和解析式都可能是函數對應關系的表現形式.在實際應用時，經常需要將函數對應關系的一種形式向另一種轉化.（四）布置作業(yè)：教材P120習題32（A組）第6~9題.課堂小結

1）根據題意選用恰當的函數模型來描述所涉及的數量之間的關系； 2）利用待定系數法，確定具體函數模型； 3）對所確定的函數模型進行適當的評價； 4）根據實際問題對模型進行適當的修正.課后習題

作業(yè)：教材P107習題3.2（A組）第5、6題.板書 略

第三篇：3．2 函數模型及其應用教學設計教案

教學準備

1.教學目標

1、知識與技能 能夠收集圖表數據信息，建立擬合函數解決實際問題。

2、過程與方法 體驗收集圖表數據信息、擬合數據的過程與方法，體會函數擬合的思想方法。

3、情感、態(tài)度、價值觀 深入體會數學模型在現實生產、生活及各個領域中的廣泛應用及其重要價值。

2.教學重點/難點

重點：收集圖表數據信息、擬合數據，建立函數模解決實際問題。難點：對數據信息進行擬合，建立起函數模型，并進行模型修正。

3.教學用具

投影儀等.4.標簽

數學，函數的應用

教學過程 教學設想

（一）創(chuàng)設情景，揭示課題

2003年5月8日，西安交通大學醫(yī)學院緊急啟動“建立非典流行趨勢預測與控制策略數學模型”研究項目，馬知恩教授率領一批專家晝夜攻關，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供決策部門參考的應用軟件。

這一數學模型利用實際數據擬合參數，并對全國和北京、山西等地的疫情進行了計算仿真，結果指出，將患者及時隔離對于抗擊非典至關重要、分析報告說，就全國而論，菲非典病人延遲隔離1天，就醫(yī)人數將增加1000人左右，推遲兩天約增加工能力100人左右；若外界輸入1000人中包含一個病人和一個潛伏病人，將增加患病人數100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔離措施，則高峰期病人人數將達60萬人。這項研究在充分考慮傳染病控制中心每日工資發(fā)布的數據，建立了非典流行趨勢預測動力學模型和優(yōu)化控制模型，并對非典未來的流行趨勢做了分析預測。本例建立教學模型的過程，實際上就是對收集來的數據信息進行擬合，從而找到近似度比較高的擬合函數。

（二）嘗試實踐

探求新知

例1．某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值發(fā)下表（身高：cm；體重：kg）

1）根據表中提供的數據，建立恰當的函數模型，使它能比較近似地反映這個地區(qū)未成年男性體重與身高ykg與身高xcm的函數模型的解析式。

2）若體重超過相同身高男性平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區(qū)一名身高為4375px，體重為78kg的在校男生的體重是事正常？ 探索以下問題：

1）借助計算器或計算機，根據統(tǒng)計數據，畫出它們相應的散點圖； 2）觀察所作散點圖，你認為它與以前所學過的何種函數的圖象較為接近？ 3）你認為選擇何種函數來描述這個地區(qū)未成年男性體重數關系比較合適？

4）確定函數模型，并對所確定模型進行適當的檢驗和評價.5）怎樣修正所確定的函數模型，使其擬合程度更好？

本例給出了通過測量得到的統(tǒng)計數據表，要想由這些數據直接發(fā)現函數模型是困難的，要引導學生借助計算器或計算機畫圖，幫助判斷.根據散點圖，利用待定系數法確定幾種可能的函數模型，然后進行優(yōu)劣比較，選定擬合度較好的函數模型.在此基礎上，引導學生對模型進行適當修正，并做出一定的預測.此外，注意引導學生體會本例所用的數學思想方法.與身高的函例2.將沸騰的水倒入一個杯中，然后測得不同時刻溫度的數據如下表：

1）描點畫出水溫隨時間變化的圖象；

2）建立一個能基本反映該變化過程的水溫y（℃）關于時間x的函數模型，并作出其圖象，觀察它與描點畫出的圖象的吻合程度如何.3）水杯所在的室內溫度為18℃，根據所得的模型分析，至少經過幾分鐘水溫才會降到室溫？再經過幾分鐘會降到10℃？對此結果，你如何評價？ 本例意圖是引導學生進一步體會，利用擬合函數解決實際問題的思想方法，可依照例1的過程，自主完成或合作交流討論.課堂練習：某地新建一個服裝廠，從今年7月份開始投產，并且前4個月的產量分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件、1.37萬件.由于產品質量好，服裝款式新穎，因此前幾個月的產品銷售情況良好.為了在推銷產品時，接收定單不至于過多或過少，需要估測以后幾個月的產量，你能解決這一問題嗎？ 探索過程如下：

1）首先建立直角坐標系，畫出散點圖；

2）根據散點圖設想比較接近的可能的函數模型： 一次函數模型：二次函數模型：

冪函數模型：

指數函數模型：

（＞0，）利用待定系數法求出各解析式，并對各模型進行分析評價，選出合適的函數模型；由于嘗試的過程計算量較多，可同桌兩個同學分工合作，最后再一起討論確定.（三）歸納小結，鞏固提高.通過以上三題的練習，師生共同總結出了利用擬合函數解決實際問題的一般方法，指出函數是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數學模型，是解決實際問題的重要思想方法.利用函數思想解決實際問題的基本過程如下：

（四）布置作業(yè)：

作業(yè)：教材P107習題32（B組）第1、2題：

課堂小結

通過以上三題的練習，師生共同總結出了利用擬合函數解決實際問題的一般方法，指出函數是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數學模型，是解決實際問題的重要思想方法.利用函數思想解決實際問題的基本過程如下：

課后習題 作業(yè)：

教材P107習題32（B組）第1、2題：

板書 略

第四篇：3.4 函數模型及其應用 教學設計 教案

教學準備

1.教學目標

函數應用

2.教學重點/難點

函數應用建模

3.教學用具 4.標簽

教學過程

1．某企業(yè)去年銷售收入1000萬元，年成本為生產成本500萬元與年廣告成本200萬元兩部分．若年利潤必須按p%納稅，且年廣告費超出年銷售收入2%的部分也按p%納稅，其他不納稅．已知該企業(yè)去年共納稅120萬元．則稅率p%為

()A．10%

B．12% C．25%

D．40% 解析：利潤300萬元，納稅300·p%萬元，年廣告費超出年銷售收入2%的部分為 200－1000×2%＝180(萬元)，納稅180·p%萬元，共納稅300·p%＋180·p%＝120(萬元)，p%＝＝25%.答案：C 2．生產一定數量的商品的全部費用稱為生產成本，某企業(yè)一個月生產某種商品x萬件時的生產成本為C(x)＝x2＋2x＋20(萬元)．一萬件售價是20萬元，為獲取更大利潤，該企業(yè)一個月應生產該商品數量為

()A．36萬件

B．18萬件

C．22萬件

D．9萬件

解析：利潤L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，當x＝18時，L(x)有最大值． 答案：B 3．某商店已按每件80元的成本購進某商品1000件，根據市場預測，銷售價為每件100元時可全部售完，定價每提高1元時銷售量就減少5件，若要獲得最大利潤，銷售價應定為每件

()A．100元

B．110元 C．150元

D．190元 解析：設售價提高x元，則依題意 y＝(1 000－5x)×(20＋x)＝－5x2＋900x＋20 000 ＝－5(x－90)2＋60 500.故當x＝90時，ymax＝60 500，此時售價為每件190元． 答案：D 4．已知A、B兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/小時的速度從A地到達B地，在B地停留1小時后再以50千米/小時的速度返回A地，汽車離開A地的距離x(千米)與時間t(小時)之間的函數表達式是

()A．x＝60t B．x＝60t＋50t C．x＝ D．x＝

解析：到達B地需要＝2.5小時，所以當0≤t≤2.5時，x＝60t； 當2.5＜t≤3.5時，x＝150；

當3.5＜t≤6.5時，x＝150－50(t－3.5)． 答案：D 5．某電視新產品投放市場后第一個月銷售100臺，第二個月銷售200臺，第三個月銷售400臺，第四個月銷售790臺，則下列函數模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數x之間關系的是

()A．y＝100x

B．y＝50x2－50x＋100 C．y＝50×2x

D．y＝100log2x＋100 解析：根據函數模型的增長差異和題目中的數據可知，應為指數型函數模型． 答案：C

二、填空題

6．某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料(如圖)，為降低消耗，開源節(jié)流，現要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖陰影部分)備用，則截取的矩形面積的最大值為________．

解析：依題意知：＝，即x＝(24－y)，∴陰影部分的面積

S＝xy＝(24－y)y＝(－y2＋24y)，∴當y＝12時，S有最大值為180.答案：180 7．(2011·浙江高考)某商家一月份至五月份累計銷售額達3860萬元，預測六月份銷售額為500萬元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等．若一月份至十月份銷售總額至少達7000萬元，則x的最小值是________．

解析：七月份的銷售額為500(1＋x%)，八月份的銷售額為500(1＋x%)2，則一月份到十月份的銷售總額是3 860＋500＋2 [500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，根據題意有

3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66，令t＝1＋x%，則25t2＋25t－66≥0，解得t≥或者t≤－(舍去)，故1＋x%≥，解得x≥20.答案：20

三、解答題

8．某公司生產一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產一臺儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數： R(x)＝.其中x是儀器的月產量．

(1)將利潤表示為月產量的函數f(x)；

(2)當月產量為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收益＝總成本＋利潤)解：(1)設每月產量為x臺，則總成本為20 000＋100x，從而f(x)＝.(2)當0≤x≤400時，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，∴當x＝300時，有最大值25 000；

當x＞400時，f(x)＝60 000－100x是減函數，f(x)＜60 000－100×400＜25 000.∴當x＝300時，f(x)的最大值為25 000.∴每月生產300臺儀器時，利潤最大，最大利潤為25 000元．

9．當前環(huán)境問題已成為世界關注的焦點，2009年哥本哈根世界氣候大會召開后，為減少汽車尾氣對城市空氣的污染，某市決定對出租車實行使用液化氣替代汽油的改裝工程，原因是液化氣燃燒后不產生二氧化硫、一氧化氮等有害氣體，對大氣無污染，或者說污染非常小．現有以下數據：

①當前汽油價格為2.8元/升，市內出租車耗油情況是一升汽油大約跑12千米；②當前液化氣價格為3元/千克，一千克液化氣平均可跑15～16千米；③一輛出租車日平均行程為200千米． 請根據以上數據回答問題：

(1)從經濟角度衡量一下使用液化氣和使用汽油哪一種更經濟(即省錢)；(2)假設出租車改裝液化氣設備需花費5000元，請問多長時間省出的錢等于改裝設備花費的錢？

解：(1)設出租車行駛的時間為t天，所耗費的汽油費為W元，耗費的液化氣費為W′元，由題意可知，W＝200×＝(t≥0，t∈N＋)，200×≤W′≤200×，即37.5t≤W′≤40t(t≥0，t∈N＋)，又>40t，即W>W′，所以使用液化氣比使用汽油省錢．(2)①設37.5t＋5 000＝，解得t≈545.5，又t≥0，t∈N＋，所以t＝546.②設40t＋5 000＝，解得t＝750.所以，若改裝液化氣設備，則當行駛天數t∈[546,750]且t∈N＋時，省出的錢可以等于改裝設備花費的錢．

10．某人要做一批地磚，每塊地磚(如圖1所示)是邊長為0.4米的正方形ABCD，點E、F分別在邊BC和CD上，且CE＝CF，△CFE、△ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價格之比依次為3∶2∶1.若將此種地磚按圖2所示的形式鋪設，能使中間的深色陰影部分成四邊形EFGH.(1)求證：四邊形EFGH是正方形；

(2)E、F在什么位置時，做這批地磚所需的材料費用最省？

解：(1)證明：圖2是由四塊圖1所示地磚組成，由圖1依次逆時針旋轉90°，180°，270°后得到，∴EF＝FG＝GH＝HE.∴△CFE為等腰直角三角形． ∴四邊形EFGH是正方形．(2)設CE＝x，則BE＝0.4－x，每塊地磚的費用為W，制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD三種材料的每平方米價格依次為3a、2a、a(元)，W＝x2·3a＋×(0.4－x)×0.4×2a＋ a ＝a(x2－0.2x＋0.24)＝a[(x－0.1)2＋0.23](0＜x＜0.4)，由a＞0，當x＝0.1時，W有最小值，即總費用最省． 答：當CE＝CF＝0.1米時，總費用最省．

第五篇：高中數學論文集A版高一年級函數模型的應用實例內容的教學設計

A版高一年級函數模型的應用實例內容的教學設計

寧波市武嶺中學

楊建軍 315502 yjianjunls@163.com 一個實際問題的解決方案應該是有多種的，因此本課采用“預設和生成”的教育理念，兼容多種方案，使學生真正能夠在利用函數模型來解決實際問題的同時，如何來處理與采納某種方案。本教學設計注重了學生的探究能力的培養(yǎng)，突出了學生的主體地位，體現了新課程的其它新的理念。

本課是在學習了初中一次、二次及反比例函數與高中基本函數模型的基礎上，通過建立和運用函數基本模型，體驗數學建模、擬合等數學基本思想，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識和數學應用意識。本授課班級雙基能力較強，但是由于學生剛剛接觸對數型函數等新知識點，有可能對于建立這些函數模型比較困難。1 教學三維目標、重點、難點、準備。1．1教學三維目標

（1）知識與技能：使學生學會建立恰當的函數模型，并利用所得函數模型解釋有關現象或對有關發(fā)展趨勢進行預測。

（2）過程與方法：通過例題與作業(yè)中的具體實例，讓學生了解函數模型的廣泛應用。

（3）情感態(tài)度與價值觀：利用函數模型解決問題前，進行擬合檢驗，培養(yǎng)學生的負責態(tài)度。

1．2教學重點：由面臨的實際問題建立函數模型，檢驗函數模型，并利用得到的函數模型解決問題。

1．3教學難點：如何根據面臨的實際問題建立函數模型。1．4教學準備：PPT制作與幾何畫板制作。2 教學過程。

（學生）：（對5種基本初等函數進行回顧）（教師）：（打開PPT）函數建模的基本思想與方法：

把實際問題用數學語言抽象概括，從數學角度來反映或近似地反映實際問題，得出的關于實際問題的數學描述稱為數學建模。數學建模的形式是多樣的。解應用題的關鍵是建立數學建模，把實際問題通過分析、聯(lián)想、抽象轉化為數學問題。函數知識內容豐富、應用廣泛，不僅數學問題，而且社會生活、生產和自然科學領域中有許多問題都需要用函數知識來解決，如成本最底、利潤最高、用料最省、路程最短等常可歸納為函數的最值問題。

運用建模思想解函數應用題的一般步驟是： 讀(閱讀材料，審題，找基本量或關系)；

建(提取信息，抽象成數學語言，根據相關定義及數學知識建立模型)； 求(根據數學思想和方法，求解函數模型，得出結論)；

還(把數學結論還原到實際問題中，通過分析、判斷、檢驗得到實際正確解答，寫出答案)。

一.由變量之間的依存關系建立函數關系；

二.由所掌握的數據資料,即根據確定性,隨機性數據建立函數關系,這種往往要畫散點圖。

例：某地新建一個服裝廠，從今年7月份開始投產,并且前4個月的產量分別為1萬件，1.2萬件，1.3萬件，1.37萬件。由于產品質量好服裝款式新穎，因此前幾個月的產品銷售情況良好，為使推銷員在推銷產品時，接收定單不至于過多或過少，需要估測以后幾個月的產量，假如你是廠長，將會采用什么辦法？

（學生）：畫散點圖。（學生們接下來畫散點圖，過1分鐘。）板書：畫散點圖

圖1（教師）：（打開幾何畫板），如圖1所示各點：把4個點分別記為A、B、C、D。觀察這4個點有何聯(lián)系？

（學生）：這4個點基本上在同一條直線上。（學生）：應該是一次函數，是y?ax?b,(a?0)。

板書：由圖可知：①用一次函數f(x)?ax?b,(a?0)擬合，把B、C坐標值代入，得 2 ?f(2)?2a?b?1.2?a?0.1，故f(x)?0.1x?1。????f(3)?3a?b?1.3?b?1∴f(1)?1.1與實際的誤差為0.1，f(4)?1.4與實際的誤差為0.03（教師）：（打開幾何畫板），如圖1藍線所示：

（教師）：我們仔細地觀察圖形，發(fā)現A、D都在直線的下方，我們可以——（學生）：二次函數可以嗎？（有點不肯定）

板書：②用二次函數g(x)?ax2?bx?c,(a?0)擬合，把A、B、C坐標值代入，得?g(1)?a?b?c?1?a??0.05??2?g(2)?4a?2b?c?1.2??b?0.35，故g(x)??0.05x?0.35x?0.7 ?g(3)?9a?3b?c?1.3?c?0.7??∴g(4)??0.05?42?0.35?4?0.7?1.3與實際誤差為0.07（教師）：（打開幾何畫板），如圖1黑線所示。

（教師）：觀察這些數據，我們可以發(fā)現隨著自變量的增加函數值也在增加，但是增加的速度是越來越慢的，那我們可以——

（學生甲）：對數函數。（學生乙）：冪函數。（學生丙）：指數函數。（教師）：要求掌握的是可以用

11次的冪函數，從經過的點來看不是次的冪函數，但是我們221次的冪型函數來擬合。212板書：③用冪型函數q(x)?ax?b,(a?0)擬合，把A、B坐標值代入，得

1?q(1)?a?b?1?a?0.48，故q(x)?0.48x2?0.52 ????q(2)?2a?b?1.2?b?0.52∴q(3)?1.35與實際誤差為0.05，q(4)?1.48與實際誤差為0.11，（教師）：（打開幾何畫板），如圖1紅線所示：

（教師）：因為圖象不經過(0,1)這個點，可以肯定不是指數函數。

（學生）：課本上有個例子是用y?a?b來擬合的，是不是這個也可以的？（學生基本上已經開始打開思路）

板書：④用指數型函數s(t)?a?b?c,(a?0)擬合，把A、B、C坐標值代入，得

xx 3

(1)?s(1)?a?b?c?1?2?s(2)?a?b?c?1.2(2)，?s(3)?a?b3?c?1.3(3)??a?b2?a?b?0.2?a??0.8（2）-（1）、（3）-（1）得?，∴c?1.4 ??3b?0.5??a?b?a?b?0.3故s(x)??0.8?0.5x?1.4。∴s(4)?1.35與實際的誤差為0.02

（教師）：（打開幾何畫板），如圖1綠線所示：

（學生）：（議論，基本能想到在整個函數式子后面加一個常數，很少想到圖象的左右平移，即在x后邊加一個常數）

（教師）：同學們都能想到在整個式子后加一個常數，我們知道這是圖象的上下平移；難道同學們就不能想到圖象的左右平移，那這樣的式子應該是——

（學生）：x后邊加一個常數。

板書：⑤用對數型函數t(x)?loga(x?b)?c,(a?0且a?1)擬合，把A、B、C坐標值

??t(1)?loga(1?b)?c?1(1)?loga?代入，得?t(2)?loga(2?b)?c?1.2(2)，（2）-（1）、（3）-（1）得??t(3)?log(3?b)?c?1.3(3)?logaa???0.22?b?a?1?b(4)2?b33?b2)?()，∵(a0.2)3?(a0.3)2，∴(??3?b1?b1?b(5)?a0.3?1?b?2?b52?0.38250.25)?()?123，∴b??0.382，a?(a)?(1?b1?0.382,b??0.382代入（1）得c?1.100，把a?1232?b?0.21?b，3?b?0.31?b故t(x)?log123(x?0.382)?1.100，∴t(4)?1.367與實際的誤差為0.003（教師）：剛才我們算了一個比較小的誤差，現在這個誤差是更小的。（教師）：（打開幾何畫板），如圖1墨綠線所示：

（教師）：從圖象中我們可以看到D點更加接近于曲線，所以說假如你們作為廠長的話，你們選擇的函數模型應該是t(x)?log123(x?0.382)?1.100，以這個函數模型作為依據來估計以后幾個月的需求量。由實際的趨勢我們也可以知道當一種新的產品投入市場后的一段時間內，假如產品好的話，肯定會比較暢銷。過了這段時間由于市場飽和及工廠設備或另一 4 種新的產品出現等情況，必定要導致原來產品的平穩(wěn)期。所以說我們也應該選擇這一函數模型。在剛才的函數模擬中有同學提出是否可以在式子前乘上一個系數，這是完全可以的。由于時間的關系我們就不繼續(xù)展開了，同學們可以在課后去研究一下是否可行。

實際上對于這樣一個具體的問題，我們假如繼續(xù)去模擬新的函數模型有可能會更加吻合。這里只能說沒有最好的，只有更好的，所以說答案也是不一定唯一的。馬爾薩斯人口增長模型也是在他經過無數次的擬合后得到的一個模型。

下面我們來看一下我們剛才的基本過程：（打開PPT）（如圖2）（說明：各方塊在PPT中是逐一出現的）

圖2 實行了新的課程之后，我們要學習的一門重要學科就是《研究性學習》。剛才的過程給了我們一個比較好的實例，如何來解決實際的問題，對于同學們搜集到的數據如何進行處理。

（打開PPT）小結：（1）（2）（3）（說明：小結部分可由學生自己總結得到）作業(yè)：某廠生產一種機器的固定投入為0.5萬元,但每生產100 臺,需要另投入0.25萬元.市場對此產品的需求量為500臺,銷售收入函數為1R(x)?5x??x2(萬元),其中x是產品售出的數量(單位:百臺).2(1)把利潤表示為年產量的函數;(2)年產量是多少時,工廠所得利潤最大?(3)年產量是多少時,工廠才不會虧本?

3 板書設計

函數建模： ③ 小結： 步驟： ④ 解：① ⑤ 作業(yè)：

② 4 教學反思。

作為新課改下的一節(jié)研究性的課堂教學，主要有以下幾個理念的體現：（1）“預設和生成”的教育理念

一個問題擺上講臺，首先要有自己的一份思想，同時人與人的思想都不相同，總是有許多學生能夠提出新的問題，這時我們要學會去引導與解決。

（2）導積極主動、勇于探索的學習方式

新課程里倡導的是學生的主動探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習方式。這節(jié)課里的5種函數模型基本上都是學生在主動探索中來發(fā)現，這樣有助于發(fā)展他們的創(chuàng)新意識。

（3）提高學生的數學思維能力

同學們在運用所學的數學知識解決問題時，不斷地運用了直觀感知、數據處理、觀察發(fā)現、歸納類比、反思與建構等思維過程。

（4）發(fā)展學生的數學應用意識

越來越多的學生認為高中數學的學習已經是越來越沒用了。實際上數學越來越多地在生活、經濟、政治、文化等領域中發(fā)揮了不可替代的作用。

（5）與時俱進地體現“雙基”

我國的數學教學具有重視基礎知識教學、基本技能訓練和能力培養(yǎng)的傳統(tǒng)。新課改要求著我們繼續(xù)發(fā)揚這種傳統(tǒng)，但也要適當的改變。例如一些計算可以由計數器來完成，不加入一些人為性的計算技巧等。

（6）注重信息技術與數學課程的整合

現代信息技術的廣泛應用正在對數學課程內容、數學教學、數學學習等方面產生深刻的影響。本節(jié)課中的散點圖以及各函數圖象如果不是在幾何畫板中來完成就會影響了時間又影響了各函數擬合效果。

參考文獻：1.課標教案 數學A版 必修1 人民教育出版社、延邊教育出版社 2006.7 2.數學教材標準學案 數學 必修1 中國廣播電視出版社 2006.6 3.數學教材學習講義 內蒙古人民出版社 2005.8 4.數學1 必修 人民教育出版社 2004.5 5.數學課程標準 人民教育出版社 2003.4