第一篇：基于APOS理論的函數概念教學設計

一、概念同化教學與APOS 理論

高中新課程實行已經有四年多了，然而目前，相當多教師仍然采取傳統的概念同化教學方式，其教學步驟為[1]：(1)揭示概念的本質屬性，給出定義、名稱和符號;(2)對概念進行特殊分類，揭示概念的外延;(3)鞏固概念，利用概念的定義進行簡單的識別活動;(4)概念的應用與聯系，用概念解決問題，并建立所學概念與其它概念間的聯系。

這種教學方式有其精妙之處，但是過快的抽象過程只能有一少部分學生進行有意義的學習，難以引發全體學生的學習活動，大部分學生理解不了數學概念，只能靠死記硬背。事實上，概念的同化教學對幫助學生構建良好的概念圖式、原理圖式，作用十分有限。因為心理意義是不能傳授的，必需由學生自我構建，不能由教師代替學生操作、思考、體驗。

美國數學教育學家 Ed.Dubinsky認為：一個人是不可能直接學習到數學概念的，更確切地說,人們透過心智結構(mental structure)使所學的數學概念產生意義。如果一個人對于給予的數學概念擁有適當的心智結構，那么他幾乎自然就學到了這個概念。反之，如果他無法建立起適當的心智結構，那么他學習數學概念幾乎是不可能的。因此，Ed Dubinsky認為，學生學習數學概念就是要建構心智結構，這一建構過程要經歷以下4個階段[2]：

二、基于APOS理論的函數教學設計

從數學教育的研究內容來看，關于代數內容已經逐漸從以解方程為中心轉到以研究函數為中心了[3]。函數概念已經成為中學數學中最為重要的概念之一。函數概念本身不好理解。國外關于函數教學的研究表明了這一點斯法德調查了60 名16 歲和18 歲的學生，結論是大多數學生認為函數的概念是個過程而不是靜止的結構。中國學者也進行了相關的研究，見文獻[4].可見，函數確實成了中學數學中最難教、最難學的概念之一。函數的教學在我國設置成螺旋式的教學，初中是用運動變化的觀點對函數進行定義，雖然這種定義較為直觀，但并未完全揭示出函數概念的本質。例如，對于函數

如果用運動變化的觀點去看它，就不好解釋，顯得牽強。但如果用集合與對應的觀點來解釋，就十分自然。筆者在浙江省義烏市第三中學陳向陽老師設計的《函數的概念》基礎上進行思考，嘗試用APOS理論來設計高中函數概念的教學。

(一)創設問題情境，引出課題

教師提出問題1：

我們在初中學習過函數的概念，它是如何定義的呢?在初中已經學過哪些函數?(在學生回答的基礎上出示投影)

我們已經學習了一些具體的函數，那么為什么還要學習函數呢?先請同學們思考下面的問題：

問題2：由上述定義你能判斷y=1是否表示一個函數?函數y=x與函數表示同一個函數嗎?

學生思考、討論后，教師點撥：僅用上述函數概念很難回答這些問題，我們需要從新的角度來認識函數概念。

(二)生活實例演示，操作練習[活動(A)]

問題3：下圖中哪幾個圖像與下述三件事分別吻合得最好?請你為剩下的那個圖像寫出一件事.(1)我離開家不久，發現自己把作業本可能忘在家里了，于是停下來找，沒找到，就返回家里找到了作業本再上學;

(2)我騎著車一路勻速行駛，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽擱了一些時間;

(3)我出發后，心情輕松，緩緩行進，后來為了趕時間開始加速.活動小結：每一個時刻，按照圖像，都有唯一確定的距離與它對應。

(三)借助信息技術，討論歸納[過程(P)]

師：(實例1)演示動畫，用《幾何畫板》動態地顯示炮彈高度關于炮彈發射時間的函數。啟發學生觀察、思考、討論，嘗試用集合與對應的語言描述變量之間的依賴關系：在的變化范圍內，任給一個，按照給定的解析式，都有唯一的一個高度與之相對應。

生：用計算器計算，然后用集合與對應的語言描述變量之間的依賴關系。

師：(實例2)引導學生看圖，并啟發：在的變化范圍內，任給一個t，按照給定的圖象，都有唯一的一個臭氧空洞面積與之相對應。

生：動手測量，然后用集合與對應的語言描述變量之間的依賴關系。

師生：(實例3)共同讀表，然后用集合與對應的語言描述變量之間的依賴關系。

(四)從特殊到一般，引出函數概念[對象(O)]

問題4：分析、歸納以上三個實例，它們有什么共同特點?

生：分組討論三個實例的共同特點，然后歸納出函數定義，并在全班交流。

師生：由學生概括，教師補充，引導學生歸納出三個實例中變量之間的關系均可描述為：

對于數集中的每一個，按照某種對應關系，在數集中都有唯一確定的與它對應，記作

教師強調指出僅僅是數學符號。為了更好地理解函數符號的含義，教師提出下一個問題：

問題5：一定就是函數的解析式嗎?

師生：函數的解析式、圖象、表格都是表示函數的方法。

問題6：函數能否看做是兩個集合之間的一種對應呢?如果能，怎樣給函數重新下一個定義呢?(在學生回答的基礎上教師歸納總結)

補充練習：下列圖象中不能作為函數的圖象的是()

例1.已知函數，(1)求函數、的定義域;

(2)求的值;

(3)當時，求的值。

(4)求

(5)求

讓學生思考，并提問個別學生。

師問：怎樣求函數的定義域?

追問：與有何區別與聯系? 點撥：表示當自變量時函數的值，是一個常量，而是自變量的函數，它是一個變量，是的一個特殊值。

追問：如何求，又如何求一般情況的?

具體地，可以將2帶入函數求出具體值，再代入求出函數值。

對于抽象的，應該將看成一個整體，帶入的解析式，求出的解析式。

問題7：函數的三要素是什么?

教師引導學生歸納總結：函數的三要素是定義域、值域及對應法則。在函數的三要素中，當其中的兩要素已確定時，則第三個要素也就隨之確定了。如當函數的定義域，對應法則已確定，則函數的值域也就確定了。

追問：如何判斷兩個函數是否相同?

以學生已解決的問題出發創設情境，引起學生的學習興趣，再次引發學生在構建自身基礎上的再創造，并通過獨立思考后的討論，培養學生分析解決問題、用數學語言交流溝通的能力。

例2.下列函數中哪個與函數相等?

(1)

(2)

(3)

(4)

師問：判斷函數相等的依據是什么?

變式：若改(2)為呢?

思考：你能舉出一些函數相等的具體例子嗎?

啟發并引導學生思考、討論、交流，教師歸納總結出函數的要點：

1.函數是一種特殊的對應非空數集到非空數集的對應;

2.函數的核心是對應法則，通常用記號表示函數的對應法則，在不同的函數中，的具體含義不一樣。函數記號表明，對于定義域的任意一個在對應法則的作用下，即在中可得唯一的.當在定義域中取一個確定的，對應的函數值即為.集合中并非所有的元素在定義域中都有元素和它對應;值域;

3.函數符號

的說明：

(1)即為是的函數的符號表示;(2)不一定能用解析式表示;(3)與是不同的，通常，表示函數

當時的函數值;(4)在同時研究兩個或多個函數時，常用不同符號表示不同的函數，除用符號外，還常用、、等符號來表示。

4.定義域是函數的重要組成部分，如與是不同的兩個函數。

(五)借助熟悉的函數，加深對函數概念的理解[圖式(S)]

問題8：集合A(A=R)到集合B(B=R)的對應：

: AB，使得集合B中的元素與集合A中的元素對應，如何表示這個函數?定義域和值域各是什么?函數呢?函數呢?

教師演示動畫，用《幾何畫板》顯示這三種函數的動態圖象，啟發學生觀察、分析，并請同學們思考之后填寫下表：

函數

一次函數

反比例函數

二次函數

對應關系

a＞0 a＜0

定義域

值域

用函數的定義去解釋學過的一次函數、反比例函數、二次函數，使得對函數的描述性定義上升到集合與對應語言刻畫的定義。同時利用信息技術工具畫出函數的圖象，是讓學生進一步體會數與形結合在理解函數中的作用，更好地幫助理解上述函數的三個要素，從而加強學生對函數概念的理解，進一步挖掘函數概念中集合與函數的聯系。明確定義域、值域和對應關系是決定函數的三要素，這是一個整體，以此更好地培養學生深層次思考問題的習慣。

(六)再創情境，引導探究函數概念的新認識[圖式(S)]

問題9：比較函數的近代定義與傳統定義(即初中課本函數的定義)的異同點，你對函數有什么新的認識?

學生思考、討論，教師點撥：函數近代定義與傳統定義在實質上是一致的，兩個定義中的定義域與值域的意義完全相同。兩個定義中的對應法則實際上也一樣，只不過敘述的出發點不同，傳統定義是從運動變化的觀點出發，近代定義的對應法則是從集合與對應的觀點出發。

問題10：學生在前面學習的基礎上，反思對問題2的解答，重新思考問題2，談談自己的認識。教師啟發、引導學生畫圖，以形求數。

師生：是函數;與不是同一個函數。

引導學生對問題2進行反思和總結，并將之一般化，利用數學語言來表達，培養學生反思問題、總結歸納的習慣和善于運用數學語言抽象所發現的結論的能力。

(七)舉例應用，深化目標[圖式(S)]

例3.已知函數

(1)畫出函數的圖象;(2)求的值;(3)你從(2)中發現了什么結論?(4)求函數的值域。

為了讓學生體會到從特殊到一般的思想方法，同時也后面研究函數的性質(奇函數)作準備。

教師引導學生解決此題的關鍵點，并進行變式：

變式1：已知，① 當時，求函數的值域;

② 當時，求函數的值域。

變式2：已知，① 當函數值域為時，求函數定義域;② 當函數值域為時，求函數定義域。

變式3：(1)已知，求的值。(2)已知，求函數.變式4：已知，求①的解析式;②

的解析式;③的解析式。

以一個問題為背景，一題多用，一題多變，由淺入深，體現梯度，使不同程度的學生都有發展。通過一組精心設計的問題鏈來引導和激發學生的參與意識、創新意識，培養學生探究問題的能力，從而提升學生的思維品質。借助三個變式層層深入，是理論到實踐的升華，使概念深化、強化、類化的作用與含義印入心底，得到再次認同，初步掌握與應用能力也就自然形成了。

(八)練習交流，反饋鞏固

以學生回答、板演的形式進行課堂練習，充分發揮師與生、生與生的互動，以教師、學生相互交流來鞏固本節課的學習。(九)學生歸納小結，教師評價

以同桌之間一人小結一人傾聽的方式，以四人為一小組進行小組討論，對本節課所學的內容進行自主小結，教師及時進行歸納總結：1.函數的近代定義與傳統定義的異同點;2.集合與函數的聯系、區別;3.函數的三要素;4.數形結合的思想。

三、幾點啟示

APOS理論對學生的函數概念的理解作出了分層分析，可以預測學生已經在多大程度上對性質作出了心理建構，從而推知學生對函數概念的掌握起點。基于APOS理論的理念設計數學性質教學，實質是以學生為主體的理念在課堂探究中的體現，有利于學生理解函數的概念。

教學中教師要關注數學本身的特點，更重要的是要關注課堂上學生的掌握概念的思維狀況，將數學知識和學生探究活動有機結合，要求教師要重視學生的學習活動，讓學生親身創設問題情境。數學教師要意識到：一個數學概念由過程到對象的建立, 有時既困難又漫長, 需要經過多次反復,循序漸進,螺旋上升, 直至學生真正理解,對象的建立要注意簡練的文字形式和符號表示,使學生在頭腦中建立起數學知識的直觀結構形象。

學生對于函數概念的認識不是一蹴而就的，這就要要教師在教學過程中整體處理教材，把握教學的度，結合具體的問題有意識地在各個階段的學習過程中，幫助學生逐步形成函數完整的知識鏈。在往后的教學中要注意學生對知識的圖式的建立, 即加強知識間的聯系和應用,如在講解具體的指數函數、對數函數、冪函數時，可以以具體函數為載體，在一般函數概念的指導下對其性質進行研究，體現了具體──抽象──具體的過程，是函數概念理解的深化。又如，在講解不等式、方程的求解及應用后，可以與函數相結合，進行對比，從而加深對函數概念的理解，幫助學生在頭腦中建立起完整的數學知識的心理圖式。

當然，APOS 理論的四個階段并非一定體現在一堂數學課當中, 也不是每一課都必須遍歷四個階段, 它適用于數學概念在學生頭腦中建立的一段時期,并不局限于某一堂課。比如，函數圖式的形成是需要一個長期實踐與反思。有些學生需要在接觸了大量的具體的函數模型以后，甚至在學習了函數的復合、微分、積分以后，才能漸漸地實現從過程到對象的理解，再由對象到圖式的發展。作為老師，我們應該理解學生的實際，作為數學的學習過程，也是允許學生有折返的現象。

第二篇：基于APOS理論的數學概念教學設計

銳角三角函數概念基于APOS理論教學設計

張云秀

上課開始，出示兩個傾斜角不同的斜面（圖

1、圖2）.圖1

圖2 操作階段: AB

物體在兩個不同傾斜角的斜面上前進的距離都是a，圖1中的角A為600，圖2中的角B為300，觀察和測量各自對邊的值.繼續操作.在角A（圖

3、圖4）邊上任意取一點B，作BC?AC，垂足為點C，計算BCACBC、、的值，并將所得的結果與其他同學所得的結果做比較.ABABACBBAABDC

AC

CE

圖3

圖4

圖5 通過上面兩個活動，讓學生從特殊的角度中去計算出線段的比值，為三角函數概念做鋪墊.其中活動1是學生最熟悉的特殊角30，活動2是非特殊角50，要通過度量再計算，通過比較得到相等的結論.讓學生初步感悟到這三個比值與點B的位置無關，那么與什么有關呢？

程序階段: 一般地問，若圖3和圖4中的兩個AB相等，那么

00BCACBC、、還相等嗎？ ABABAC很容易得到結果——不相等.目的是讓學生體會到比值與角度有關.然后就可以進入程序性的思考.如圖5，B、D是??一邊上的任意兩點，作BC?AC，垂足為點C，DE?AE,垂足為點E,判斷比值

BCDEACAEBCDE與、與、與是否相等，并說ADADABABACAE明理由.通過相似三角形很容易得到它們的比值都相等.本活動的目的是讓學生確認這三個比值與角度有關.隨著角度的變化，比值也變化，所以根據函數的概念就可以得到這三個比值是角度的函數，而這個函數就是三角函數，水到渠成地得出三級哦啊函數的概念.通過上述三個活動，學生就初步內化為三角函數的這個“程序”，形成了三角函數的特征：一是三角函數是比值；二是三角函數的值與角度有關.對象階段: 這時，三角比，例如正弦，符號sin，成為獨立的對象.我們可以離開程序直接進行運算，例如sinA?cos(900?A)，sin2A?cos2A?1，等等.在運算過程中，正弦、余弦都是獨立的對象，不再有三角比的過程了.圖式階段: 這是一個長期積累的過程，在以后高中階段通過對三角函數進一步的學習后，三角函數在腦海里儲備的是正弦、余弦、正切、余切等的總稱，它們的圖像，彼此間的恒等變換，與“波”的關系等，那是一個豐富的有組織的結構.這個教學環節是按照完全A—P—O—S的順序來進行的，但是在有些概念教學過程中，我們有“開門見山”的教學設計，所以對于概念性知識的教學我們也可以試著用O—A—P—S的順序來進行.也就是說，首先把三角比當做一個“對象”出示，然后再慢慢通過操作加以理解.下面是一個新的設計.上課開始時，出示本節課的題目：銳角三角函數.問題1：本節課我們一起來學習研究“銳角三角函數”，請問在這個課題中，你對什么，內容比較熟悉？

學生：銳角、三角、函數.（學生說的三角是指三角形）.問題2：我們學過的函數有哪些？

學生：正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數共4個.問題3：函數的定義是什么？

學生：在某一變化過程中，有兩個變量x，y，如果對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么我們就說y是x的函數.以上的目的是為后面引出三角函數的概念做鋪墊.教師：三角函數是初中學習的第五個函數，它到底是什么？具有那些性質？有怎樣的應用？現在我們開始學習研究.這樣做的目的是提示學生就進行聯想類比.原來學過的有四種函數，現在的三角函數布置會是什么？從而激發學生的學習興趣，到最后學習完成，就成了學生主動建構的過程.在操作階段，我們也可以有另外的設計面BC上，梯子在墻面上的投影為BC，向上的折扣率

?3?:如圖6，現有一梯子DE斜靠在一豎直的墻

CE是DE在豎直方向上的折扣率，我們把豎直方DECE成為?EDC的正弦函數.然后進行相關的符號、書寫的介紹.DEBEADC

圖6

折扣概念是日常生活中常見的問題，由此入手，更能使學生接受新知識.既然正弦函數相當于一個折扣率，正如商品打折，打幾折，就是原商品的價格乘以零點幾.因為折扣率的取值范圍是在0~1之間，所以銳角的正弦函數的取值范圍也在0~1之間.x.當折扣確定時，商品的實際價格與原10價格就有了正比例的關系.同樣在圖6的Rt?CDE中，DE相當于商品的原價，CE相當于

CECE?sin?EDC.商品打折后的實際價格，即sin?EDC，相當于折扣率，就有

DEDE商品打幾折（x折），那就是商品的原價乘以我們是先給出的對象，這樣可以使學生一目了然地了解本節課的重點，然后再由針對性的進行相關內容的學習，亦即活動，通過活動來達到程序的境界，最終深刻理解銳角三角函數的概念，形成自己的圖式.

第三篇：基于APOS理論的數學概念教學設計

基于APOS理論的數學概念教學設計：銳角三角函數概念

145413 霍思達 摘要：APOS理論是近年來美國數學家杜賓斯基（Dubinsky）等人提出的一種數學教學理論.他將數學概念的建立分為四個階段：Action,Process,Object,Scheme，并用于指導教學實踐.早期APOS理論只是被用在大學數學的教學中，現在該理論正逐步地滲透于我們的中學數學教學中.本文首先談了對APOS理論的認識，然后通過銳角三角函數的教學設計嘗試了一下APOS理論在數學概念教學中的應用.關鍵詞：APOS理論；數學概念；教學設計；銳角三角函數

任何一個數學教育中的理論或模型都應該致力于對“學生是如何學數學的”及“什么樣的教學計劃可以幫助這種學習”的理解，而不僅僅是陳述一些事實.基于這樣的考慮，杜賓斯基等人建立了APOS理論—一個可以促進我們有效教學的數學教學理論.從20世紀90年代起，APOS理論就被介紹到我國的數學教育界，它是為數不多的依據數學學科特點而建立的教學理論，因此，對這樣的理論進行深入的研究是十分有意義的.我國的數學概念教學大多采用“屬+種差”的概念同化方式進行，這種教學過程雖然簡明，但卻忽視了許多數學概念具有過程—對象的雙重性.近年來，相關學者的研究結果表明，將APOS理論應用到我們的概念教學中可以彌補我們一以前那種概念教學方式的缺點.什么是APOS理論？

APOS理論是20世紀80年代末至90年代初由美國的杜賓斯基等人在數學教育研究實踐中發展起來的一種數學教學理論.杜賓斯基認為，一個人是不可能直接學習到數學概念的.更確切地說，人們透過心智結構（mental structure）使所學習的數學概念產生意義.如果一個人對于給予的數學概念擁有適當的心智結構，那么他幾乎自然就學到了這個概念.相反的，如果一個人無法建立起適當的心智結構，那么他學習數學概念幾乎是不可能的.因此，教學的目的就在于如何幫助學生建立適當的心智結構.杜賓斯基等人認為，APOS理論可以看做是對皮亞杰的“反思性抽象（reflective abstraction）”的擴展.APOS理論的一個基本假設是：數學知識是個體在解決所感知到的數學問題的過程中獲得的，在這個過程中，個體依序建構了心理活動（actions）、程序（processes）和對象（objects），最終組織成用以理解問題情境的圖式結構（schemas）.根據APOS理論，學生學習數學概念的心理建構過程要經歷以下的四個階段?2??1?：

活動（actions）階段.“活動”是指個體通過一步一步的外顯性（或記憶性）指令去變換一個客觀的數學對象.例如在理解函數概念時需要活動或操作，對于y?x2，需要用具體的數字構造對應：2?4;3?9;4?16;5?25;??通過操作活動理解函數的意義.程序（processes）階段.當“活動”經過多次重復而被個體熟悉后，就可以內化為一種稱之為“程序（processes）”的心理操作.有了這種“程序”，個體就可以想象這個“活動”，而不需要通過外部的刺激；他可以在頭腦中實施這個程序，而不需要具體操作；進而，他還可以對這個程序進行逆轉以及與其他程序進行組合.例如把上述例子中的操作活動綜合為一個函數過程.一般地有x?x2;其他的各種函數也可以概括為一般的對應過程x?f(x).對象（objects）階段.當個體能夠把“程序”作為一個整體進行操作時，這一程序就變成了一種心理“對象（objects）”.接著上面的例子，然后可以把函數過程當作一個獨立的對象來處理，比如函數的加減乘除、符合運算等.在表達式f(x)?g(x)中，函數f(x)和g(x)都是作為一個整體對象出現的.最后是“圖式（或者說圖式結構，schema）”.一個數學概念的“圖式”是指由相應的“活動”、“程序”、“對象”以及與某些一般原理相聯系的其他“圖式”所形成的一種個體頭腦中的認知框架，它可以用以解決與這個概念相關的問題.按照杜賓斯基的解釋，上述四個成分中，“活動”、“程序”和“對象”也可以看作是數學知識的三種狀態，而“圖式”則是由這三種知識構成的一種認知結構（cottrill,et al.,1996）.此外，上述四種成分的排列雖然在理論上具有一種等級結構，也就是說，一般情況下前一成分的建構是后一成分的基礎，但實際上，個體對某個數學概念的理解并不一定遵循這種線性的途徑.例如函數函數概念，學習者一開始的“活動”是把函數看作一個簡單的公式，其中含有一些可以運算和賦值的字母變量；隨后，函數被看作是一種可以“輸入—輸出”的機器（函數機），于是得到了初步的“程序”.但是當學生遇到更為復雜的函數表達式時，往往又回到了“活動”階段，并在“活動”的基礎上，又進一步完善了函數“程序”.如此經過多個循環之后，學生才最終形成明確而完整的函數“對象”

?4?.從數學學習心理學角度分析，APOS理論的四個學習層次是合理的，反應了學生學習數學概念過程中真實的思維活動.其中的“活動階段”是學生理解概念的一個必要條件，通過“活動”讓學生親身體驗、感受直觀背景和概念間的關系.“程序階段”是學生對“活動”進行思考，經歷思維的內化、壓縮過程，學生在頭腦中對活動進行描述和反思，抽象出概念所特有的性質;“對象階段”是通過前面的抽象認識到了概念本質，對其賦予形式化的定義及符號，使其達到精致化，成為一個具體的對象，在以后的學習中一次為對象進行新的活動；“圖式階段”的形成是要經過長期的學習活動進一步完善，起初的圖式包含反應概念的特例、抽象過程、定義及符號，經過學習，建立起與其他概念、規則、圖形等的聯系，在頭腦中形成綜合的心智結構.銳角三角函數概念的教學設計

上課開始，出示兩個傾斜角不同的斜面（圖

1、圖2）.圖1

圖2 AB操作階段: 物體在兩個不同傾斜角的斜面上前進的距離都是a，圖1中的角A為60，圖2中的角B為30，觀察和測量各自對邊的值.繼續操作.在角A（圖

3、圖4）邊上任意取一點B，作BC?AC，垂足為點C，計算00BCACBC、、的值，并將所得的結果與其他同學所得的結果做比較.ABABACBBAABDCACCE

圖3

圖4

圖5 通過上面兩個活動，讓學生從特殊的角度中去計算出線段的比值，為三角函數概念做鋪墊.其中活動1是學生最熟悉的特殊角30，活動2是非特殊角50，要通過度量再計算，通過比較得到相等的結論.讓學生初步感悟到這三個比值與點B的位置無關，那么與什么有關呢？

程序階段: 一般地問，若圖3和圖4中的兩個AB相等，那么

00BCACBC、、還相等嗎？ ABABAC很容易得到結果——不相等.目的是讓學生體會到比值與角度有關.然后就可以進入程序性的思考.如圖5，B、D是??一邊上的任意兩點，作BC?AC，垂足為點C，DE?AE,垂足為點E,判斷比值

BCDEACAEBCDE與、與、與是否相等，并說ADADABABACAE明理由.通過相似三角形很容易得到它們的比值都相等.本活動的目的是讓學生確認這三個比值與角度有關.隨著角度的變化，比值也變化，所以根據函數的概念就可以得到這三個比值是角度的函數，而這個函數就是三角函數，水到渠成地得出三級哦啊函數的概念.通過上述三個活動，學生就初步內化為三角函數的這個“程序”，形成了三角函數的特征：一是三角函數是比值；二是三角函數的值與角度有關.對象階段: 這時，三角比，例如正弦，符號sin，成為獨立的對象.我們可以離開程序直接進行運算，例如sinA?cos(900?A)，sinA?cosA?1，等等.在運算過程中，正弦、余弦都是獨立的對象，不再有三角比的過程了.圖式階段: 這是一個長期積累的過程，在以后高中階段通過對三角函數進一步的學習后，三角函數在腦海里儲備的是正弦、余弦、正切、余切等的總稱，它們的圖像，彼此間的恒等變換，與“波”的關系等，那是一個豐富的有組織的結構.這個教學環節是按照完全A—P—O—S的順序來進行的，但是在有些概念教學過程中，我們有“開門見山”的教學設計，所以對于概念性知識的教學我們也可以試著用O—A—P—S的順序來進行.也就是說，首先把三角比當做一個“對象”出示，然后再慢慢通過操作

22加以理解.下面是一個新的設計.上課開始時，出示本節課的題目：銳角三角函數.問題1：本節課我們一起來學習研究“銳角三角函數”，請問在這個課題中，你對什么，內容比較熟悉？

學生：銳角、三角、函數.（學生說的三角是指三角形）.問題2：我們學過的函數有哪些？

學生：正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數共4個.問題3：函數的定義是什么？

學生：在某一變化過程中，有兩個變量x，y，如果對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么我們就說y是x的函數.以上的目的是為后面引出三角函數的概念做鋪墊.教師：三角函數是初中學習的第五個函數，它到底是什么？具有那些性質？有怎樣的應用？現在我們開始學習研究.這樣做的目的是提示學生就進行聯想類比.原來學過的有四種函數，現在的三角函數布置會是什么？從而激發學生的學習興趣，到最后學習完成，就成了學生主動建構的過程.在操作階段，我們也可以有另外的設計面BC上，梯子在墻面上的投影為BC，向上的折扣率

?3?:如圖6，現有一梯子DE斜靠在一豎直的墻

CE是DE在豎直方向上的折扣率，我們把豎直方DECE成為?EDC的正弦函數.然后進行相關的符號、書寫的介紹.DEBEADC

圖6

折扣概念是日常生活中常見的問題，由此入手，更能使學生接受新知識.既然正弦函數相當于一個折扣率，正如商品打折，打幾折，就是原商品的價格乘以零點幾.因為折扣率的取值范圍是在0~1之間，所以銳角的正弦函數的取值范圍也在0~1之間.x.當折扣確定時，商品的實際價格與原10價格就有了正比例的關系.同樣在圖6的Rt?CDE中，DE相當于商品的原價，CE相當于

CECE?sin?EDC.商品打折后的實際價格，即sin?EDC，相當于折扣率，就有

DEDE商品打幾折（x折），那就是商品的原價乘以我們是先給出的對象，這樣可以使學生一目了然地了解本節課的重點，然后再由針對性的進行相關內容的學習，亦即活動，通過活動來達到程序的境界，最終深刻理解銳角三角函數的概念，形成自己的圖式.3 小結

張景中院士把學數學比做吃核桃，作為教師需要研究的是如何砸核桃，讓學生吃到核桃.數學概念有其本身的特點，許多數學概念具有二重性，既表現為一種過程操作，又表現為一種對象、結構，所以在實際學習理解的過程中應根據其具體的特點需要靈活地改變認識的角度—有時要將某個概念當做有操作步驟的過程，有時又需要把它作為一個整體性的固定的對象，做出最有效的教學設計.APOS理論是適應數學概念特點的教學理論，對其在數學概念教學中的應用不必拘泥于固定的模式，領會其精髓，合理地將其運用于數學教學中制定出最有效的教學策略才是最重要的.[參考文獻]

[1]鮑建生，周超.數學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.10.[2]張奠宙，李士锜，李俊.數學教育學導論 [M].高等教育出版社，2003.4.[3]王繼光，龔輝.APOS理論與銳角三角函數概念的形成 [J].中學數學教學參考（上旬）,2011（11）：13-14 [4]濮安山，史寧中.從APOS理論看高中生對函數概念的理解[J].數學教育學報，2007（5）:48-50.

第四篇：函數概念教學設計

函數的概念

一．教材分析

函數是數學中最重要的概念之一，且貫穿在中學數學的始終，只有對概念作到深刻理解，才能正確靈活地加以應用。本課中學生對函數概念理解的程度會直接影響數學其它知識的學習，結合教學課程標準與學生的認知水平，函數的第一課應以函數概念的理解為中心進行教學。

二、學情分析

從學生知識層面看：學生在初中初步探討了函數的相關知識，通過高一 “集合”的學習，對集合思想的認識也日漸提高，為重新定義函數提供了知識保證。

從學生能力層面看：通過以前的學習，學生已有一定的分析、推理和概括能力，初步具備了學習函數概念的基本能力。

三、教學目標

知識與技能：讓學生理解構成函數的三要素、函數概念的本質、抽象的函數符號f(x)的意義。

過程與方法：在教師設置的問題引導下，學生通過自主學習交流，反饋精講、當堂訓練，經歷函數概念的形成過程，滲透歸納推理的數學思想，發展學生的抽象思維能力。

情感態度價值觀：在學習過程中，學會數學表達和交流，體驗獲得成功的樂趣，建立自信心。

四、教學難重點 重點：理解函數的概念；

難點：概念的形成過程及理解函數符號y = f(x)的含義。

[重難點確立的依據]：函數的概念抽象性都比較強，要求學生的理性認識的能力也比較高，對于剛剛升入高中不久的學生來說不易理解。而且由于函數在高考中可以以低、中、高擋題出現，所以近年來高考有一種“函數熱”的趨勢，所以本節的重點難點必然落在和函數的概念及函數符號的理解與運用上。

從多個角度創設多個問題情境，組織學生圍繞重點自主思考，讓學生自主、合作探索,體會函數概念的本質從而突破難點。

五、教法與學法選擇

充分尊重學生的主體地位，讓學生在教師設置的問題的引導下、通過自主學習等環節自主構建知識體系，自主發展數學思維，教師采用問題教學法、探究教學法、交流討論法等多種學習方法，充分調動學生的積極性。

六、教學過程設計 引入

現實世界是充滿變化的，函數是描述變化規律的重要數學模型，也是數學的基本概念，也是基本思想，另外函數的概念也是不斷發展的。引出課題

問題提出

1.請回憶在初中我們學過那些函數？（學生回答老師補充）

2、回憶初中函數的定義是什么? 一般地,設在一個變化過程中有兩個變量x、y,如果給定一個x值,相應地就確定了一個y值,那么我們稱y是x的函數，其中x是自變量,y是因變量。

知識探究一 函數

給定兩個非空的數集A，B，如果按照某個對應關系f，對于集合A中的任何一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)與之對應，那么就把對應關系f叫做定義在集合A上的函數記作f：A→B 或y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，與x值相對應的f(x)值叫做函數值.x的取值范圍稱為定義域，函數值f(x)的取值范圍稱為值域.定義理解一——y=f(x)1.x是自變量，它是法則所施加的對象。

2.f是對應法則，它可以是解析式，可以是表格，也可以是圖像。

3.y=f(x)表示y是x的函數，不是f與x的乘積。f(x)只是函數值，f才是函數，（）表示f對自變量x作用。

定義理解二——唯一確定

通過三個例子和學生共同總結出：

1.函數中每個x與y的對應關系，可以是一對一，也可以是多對一，但不能是一對多，即y是唯一確定的

2.A中元素不能剩，B中元素可以剩下。

定義理解三——定義域值域

根據定義，函數是兩個數集A，B間的對應關系

自變量的集合A叫做函數的定義域；函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域.例如：A={0,1,2}，B={0,2,4,5}，f：A→B f(x)=2x

定義域為{0,1,2}，值域為{0,2,4} 從而共同探究出：值域是集合B的子集

函數的三要素：

定義域、對應關系、值域；

函數的值域由函數的定義域和對應關系所確定； 定義域相同，對應關系完全一致,則兩個函數相等.f(x)=3x+1與f(t)=3t+1是同一個函數.x2f(x)=x與f(x)=不是同一個函數.x然后和學生共同探究常見的已學函數的定義域和值域：

知識探究二 區間

(設a, b為實數,且a

（1）{x|x ≤-1或5 ≤ x<6}（2）{x|x ≥9}（3）{x|1

(5){x|x≥0且x≠1}

練習作業：把常見的函數的定義域和值域用區間表示.七、小結

1.用集合的語言描述函數的概念 2.函數的三要素 3.用區間表示數集

八、作業

1.P28 練習1,2 2.P34習題2-1A組：1,2

第五篇：函數的概念教學設計

《函數的概念》的教學設計

【教材分析】

本節課選自《普通高中課程標準實驗教科書數學Ⅰ必修本（A版）》的第一章1.2.1函 數的概念。函數是中學數學中最重要的基本概念之一，它貫穿在中學代數的始終，從初一字母表示數開始引進了變量，使數學從靜止的數的計算變成量的變化，而且變量之間也是相互聯系、相互依存、相互制約的，變量間的這種依存性就引出了函數。在初中已初步探討了函數概念、函數關系的表示法以及函數圖象的繪制。到了高一再次學習函數，是對函數概念的再認識，是利用集合與對應的思想來理解函數的定義，從而加深對函數概念的理解。函數與數學中的其他知識緊密聯系，與方程、不等式等知識都互相關聯、互相轉化。函數的學習也是今后繼續研究數學的基礎。在中學不僅學習函數的概念、性質、圖象等知識，尤為重要的是函數的思想要更廣泛地滲透到數學研究的全過程。

函數是中學數學的主體內容，起著承上啟下的作用。函數又是初等數學和高等數學銜接的樞紐，特別在應用意識日益加深的今天，函數的實質是揭示了客觀世界中量的相互依存又互有制約的關系。因此對函數概念的再認識，既有著不可替代的重要位置，又有著重要的現實意義。本節的內容較多，分二課時。本課時的內容為：函數的概念、函數的三要素、簡單函數的定義域及值域的求法、區間表示等。（第二課時內容為：函數概念的復習、較復雜函數的定義域及值域的求法、分段函數、函數圖象等）

【學情分析】

學生在學習本節內容之前，已經在初中學習過函數的概念，并且知道可以用函數描述變量之間的依賴關系。然而，函數概念本身的表述較為抽象，學生對于動態與靜態的認識尚為薄弱，對函數概念的本質缺乏一定的認識，對進一步學習函數的圖象與性質造成了一定的難度。初中是用運動變化的觀點對函數進行定義，雖然這種定義較為直觀，但并未完全揭示出函數概念的本質。由于數學符號的抽象性，學生因此會望而卻步，從而影響了學生學習數學的積極性。高一學生雖然在初中已接觸了函數的概念，但在重新學習它時還是存在一定的障礙，其中一個原因就是對新引進的函數符號“y=f(x)”不甚其解。教師應在教學中有意識地挖掘函數符號的審美因素，以美啟真。在本節課的教學過程中，教師應該給學生提供實踐動手的機會，為學生創設熟悉的問題情境，引導學生觀察、計算、思考，從而理解問題的本質，歸納總結出結論。【教學目標】

1、正確理解函數的概念，能用集合和對應的語言來刻畫函數；

2、理解函數的三要素及函數符號的深刻含義；會解決一些相關簡單問題；

3、滲透從特殊到一般、數形結合的數學思想方法，培養學生觀察、分析、歸納的邏輯思維能力。

【教學重點】函數的概念及的理解與深化。的理解。【教學難點】函數的概念及函數符號【教學方法】

本節課采用“問題啟發式”教學方法：本節課是概念課,結合初中所學，根據學生的心理特征和認知規律，我采取問題啟發式的教學法；以問題串為主線，通過設置多個具體問題情景，發現問題中兩個變量的關系，讓學生歸納、概括出函數概念的本質,也通過問題的處理加強對函數概念的理解，這也符合建構主義的教學理論。【教學過程】

一、回顧舊知，引出課題。

【設計意圖】通過初中函數概念的復習，重點強調初中函數概念是從變量變化的觀點出發的，為后面學習和理解高中函數概念與初中概念區別做必要的準備。

問題3：由上述定義你能判斷“y＝1”是否表示一個函數？ 【設計意圖】通過已有概念但不太容易回答的問題，引發學生的認知沖突，有著承上啟下的作用。既是對初中已學的函數概念的進一步深入，又是為下一步用集合語言來刻畫函數的本質做好伏筆。

二、觀察分析、探索新知。

實例一、一枚炮彈發射后，經過26s落到地面擊中目標．炮彈的射高為845m，且炮彈距地面的高度h（單位：m）隨時間t（單位：s）變化的規律是：h＝130t-5。

問題4：t的范圍是什么？h的范圍是什么？分別用集合表示出來。

問題5：對于集合A中的每一個t值按照圖象所示是否在集合B中都有唯一的h值與它對應?

實例

二、如圖下表是2015年11月16日，深證指數合肥百貨從9：30開盤到11：30收盤每股價格波動圖像

問題6：(1)時間和指數的變化范圍可以分別用集合A、B表示出來嗎？

(2)對于集合A中的每一個 t 值按照圖象所示是否在B中都有唯一的價格指數S值與它對應?

實例三：國際上常用恩格爾系數反映一個國家人民生活質量的高低，恩格爾系數越低，生活質量越高．表1—

中恩格爾系數隨時間（年）變化的情況表明，“八五”計劃以來，我國城鎮居民的生活質量發生了顯著變化

問題7：請仿照實例一、二，描述恩格爾系數和時間的關系。

【設計意圖】通過三個不同形式的實例和問題4、5、6、7的提出及幾何畫板動態地顯示炮彈高度h關于炮彈發射時間t的函數來啟發學生觀察、思考、討論，嘗試用集合與對應的語言描述變量之間的依賴關系：對于數集A中的每一個x，按照某種對應關系f，在數集B中都有唯一確定的y與它對應，記作f：A→B。

三、形成概念、深化理解

函數概念：

設是AB、是非空的數集，如果按某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f（x）和它對應，那么就稱f：A→

為集合A到集合B的一個函數，記作y＝f（x）。其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y的值叫做函數值,函數值的集合叫做函數的值域．顯然，值域是集合B的子集。請同學們勾畫出概念中的關鍵詞，通過交流得出以下幾點： ①非空的數集； ② 確定的對應關系 ③任意性與唯一性。

利用用《幾何畫板》顯示這三種函數的動態圖象，啟發學生觀察、分析，并請同學們思考之后填寫下表：

【設計意圖】在前面三個實例的基礎上深化理解符號y＝f（x），f（a）f（x）與的區別與聯系，同時利用信息技術工具畫出函數的圖象，是讓學生進一步體會“數”與“形”結合在理解函數中的作用，更好地幫助理解上述函數的三個要素，從而加強學生對函數概念的理解，進一步挖掘函數概念中集合與函數的聯系。明確定義域、值域和對應關系是決定函數的三要素，這是一個整體，以此更好地培養學生深層次思考問題的習慣。

問題10:函數定義中有哪幾個要素?

三要素：定義域、值域、對應法則，缺一不可。

四、知識應用，深化目標。

【設計意圖】例題的處理以學生回答、板演的形式進行，充分發揮師與生、生與生的互動，以教師、學生相互交流來鞏固本節課的學習。利用課堂練習鞏固所學的知識內容、數學

思想和方法，以求達到教學目標。

五、課堂小結，教師評價。

學生對本節課所學的內容進行自主小結，教師及時進行歸納總結： 1．函數的概念； 2．函數的三要素； 3．數形結合的思想；

【設計意圖】再現課堂，小結提升，有助于學生明確重點。

六、作業布置

課本Ｐ24，習題1.2 A組，第 1、3、4 題。

作業補充：求下列函數的定義