第一篇：函數與方程教案

第四章：函數應用

§1：函數與方程

教學分析:課本選取探究具體的一元二次方程的根與其對應二次函數的圖像與x軸交點的橫坐標之間的關系作為本節的入口。其意圖是讓學生從熟悉的環境中發現新知識，使新知識與原有知識形成聯系。教學目標：

1、讓學生明確“方程的根”與“函數的零點”的密切聯系，學會結合函數圖像性質判斷方程根的個數，學會用多種方法求方程的根和函數的零點。

2、通過本節學習讓學生掌握“由特殊到一般”的認識規律，在今后學習中利用這一規律探索更多的未知世界。重點難點：根據二次函數圖像與x軸的交點個數判斷一元二次方程的根的個數；函數零點的概念。復習引入：

同學們好，今天我們來進行第四章函數應用的學習，這一節課我們先來學習第一節函數與方程。在講新課之前，我們已經學習過一元一次方程、一元二次方程，并會對它們進行求解。現在來看幾個方程：①ax+b=0(a?0)這是一個一元一次方程，我們能很容易求出方程的解是x=－.②ax2+bx+c=0(a?0)這是一個一元二次方程，在對一ab元二次方程求解時我們會先用判別式△=b2－4ac來判斷方程是否有實解。當△＞0時，一元二次方程有兩個不相等的實數根，x1≠x2;當△=0時，一元二次方程有兩個相等的實數根，x1=x2;當△＜0時，一元二次方程沒有實數根。當方程有實數根時，我們可以通過求根公式求出一元二次方程的根：x=

?b?b?4ac2a2。③x5+4x3+3x2+2x+1=0

函數的零點。

說明：①零點是所在函數圖像與x軸交點的橫坐標。

②零點是一個實數，并不是一個點。③函數的零點就是相應方程的根。

④函數零點的個數與相應方程的根的個數相等。

學習過零點概念及以上4點說明，我們已經學會判斷零點：要求函數的零點就要看函數圖像與x軸是否有交點，也即相應方程是否有實根。因此得到判斷零點的方法。

2． 判斷零點的方法：方程f(x)=0有實根?函數y=f(x)的圖像與x軸有交點?函數y=f(x)有零點。可得出：方程f(x)=0的實根與函數y=f(x)的零點是一一對應的。

那如果所給的函數的圖像不易畫出，又不能求出其對應方程的根時，我們怎樣判斷函數有沒有零點呢？

觀察例1中第一個方程的對應圖像：f(x)= x2-2x-3 從圖像上看，我們知道函數f(x)= x2-2x-3有兩個零點：-1,3.而能找到區間[-2,0]使零點-1在[-2,0]內，區間[2,4]使零點3在[2,4]內。且有f(-2)=5＞0,f(0)=-3＜0, f(-2)×f(0)＜0;f(2)=-3＜0, f(4)=5＞0, f(2)×f(4)＜0.可以發現f(-2)×f(0)＜0，函數f(x)= x2-2x-3在區間（-2,0）內有零點-1是方程x2-2x-3=0的一個根；同樣地，f(2)×f(4)＜0，函數f(x)= x2-2x-3在區間（2,4）內有零點3是方程x2-2x-3=0的另一個根。因此可以得到以下結論：

3.零點存在性定理： 若函數y=f(x)在閉區間[a,b]的圖像是連續曲

5，一個小于2。

分析：轉化判斷函數f(x)=（x-2）（x-5）-1在區間（-∞，2）和(5, +∞)內各有一個零點。

解：考慮函數f(x)=（x-2）（x-5）-1，有f(2)=（2-2）（2-5）-1=-1＜0，f(5)=（5-2）（5-5）-1=-1＜0，又因為f(x)的圖像是開口向上的拋物線，在（-∞，2）內存在一點a，使f(a)＞0；在(5, +∞)內存在一點b，使f(b)＞0，所以拋物線與橫軸在（a，2）內有一個交點，在(5, b)內也有一個交點，而該交點即是方程的解。所以方程（x-2）（x-5）=1有兩個相異的實數解，且一個大于5，一個小于2。

四、零點存在性定理說：“若f(a)×f(b)＜0，則在區間（a,b）內，函數y=f(x)至少有一個零點，即相應的方程f(x)=0在區間（a,b）內至少有一個實數解”，它只指出了方程f(x)=0實數解的存在，并不能判斷具體有多少個實數解。那改為f(a)×f(b)＞0時，問題：如果函數y=f(x)在區間[a,b]上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且f(a)×f(b)＞0，那么函數y=f(x)在區間（a,b）內是否有零點?可能有幾個零點？

解：零點個數可以是任意自然數。可討論在區間[-3,3]上函數零點個數，來畫圖進行觀察。

第二篇：函數與方程教案

函數與方程教案

27.3實踐與探索(第二課時)二次函數與一元二次方程的關系 晉城四中 李前進 【教學目標】

1、知識與技能:(1)體會函數與方程之間的聯系，初步體會利用函數圖象研究方程問題的方法;(2)理解二次函數圖象與x軸(橫軸)交點的個數與一元二次方程的根的個數之

間的關系，理解方程有兩個不等的實根、兩個相等的實根和沒有實根的函數 圖象特征;22(3)理解一元二次方程ax+bx+c=0的根就是二次函數與y=ax+bx+c圖象與x軸交

點的橫坐標。

2、過程與方法:(1)由一次函數與一元一次方程根的聯系類比探求二次函數與一元二次方程之間 的聯系;(2)經歷類比、觀察、發現、歸納的探索過程，體會函數與方程相互轉化的數學

思想和數形結合的數學思想。

3、情感、態度與價值觀: 培養學生類比與猜想、不完全歸納、認識到事物之間的聯系與轉化、體驗 探究的樂趣和學會用辨證的觀點看問題的思維品質。【重點與難點】

重點:經歷“類比--觀察--發現--歸納”而得出二次函數與一元二次方程的關系的探

索過程。

難點:準確理解二次函數與一元二次方程的關系。【教法與學法】

教法:采用“發現式學習”的方式，注重“最近發展區”，尋根問源，以舊知識為

基礎創設問題情境，引導學生經歷“類比—猜想—觀察—發現—歸納—應用” 的探究過程。學法:探究式學習。

appearance of the weld appearance quality technical requirements of the project must not have a molten metal stream does not melt the base metal to weld, weld seam and heat-affected zone surface must not have cracks, pores, defects such as crater and ash, surface smoothing, weld and base metal should be evenly smooth transition.Width 2-3 mm from the edge of weld Groove.Surface reinforcement should be less than or equal to 1 + 0.2 times the slope edge width, and should not be greater than 4 mm.Depth of undercut should be less than or equal to 0.5 mm, total length of the welds on both sides undercut not exceed 10% of the weld length, and long continuous should not be greater than 100 mm.Wrong side should be less than or at 0.2T, and should not be greater than 2 mm(wall thickness mm t)incomplete or not allow 7.5 7.5.1 installation quality process standards of the electrical enclosure Cabinet surface is clean, neat, no significant phenomenon of convex, close to nature, close the door.7.5.2 Cabinet Cabinet face paints no paint, returned to rusted, consistent color.7.5.3 uniform indirect gap from top to bottom, slot width <1.5mm 7.5.4 adjacent Cabinet surface roughness is 0.7.5.5 the cabinets firmly fixed, crafts beautiful.7.5.6 Cabinet surface gauge, switch cabinet mark clear, neat, firm paste.7.5.7 Terminal row of neat, is reliable, the appearance is clean and not damaged.7.5.8 cables neat and clean, solid binding, binding process in appearance.7.5.9 the first cable production firm, crafts beautiful, clear signage does not fade.7.5.10 fireproof plugging tight, no cracks and pores.7.6 7.6.1 of the standard electrical wiring quality technology cable a, the multi-core wire bunch arrangement should be parallel to each other, horizontal wire harness or wire should be perpendicular to the longitudinal multi-core wire bunch.The distance between the wire harness and wire harness symmetry, and as close as possible.B-core wiring harness into round, multi-core wire bunch used g wire binding, fastening 【教學過程】

一、詩詞導入

教師投影:我國著名數學家華羅庚曾經說過:“數缺形時少直觀，形少數 時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休。”(學生齊讀)師:數學家的寥寥數語就將數與形之間的內在聯系表達的淋漓盡致。今天，我們通過研究二次函數中的數形結合來體會“數形結合百般好”的奧妙～ 設計思路:從學生熟悉的小詩入手，激發學生探究學習的積極性。

二、溫故知新 y3那些年，我們一起做過的題: 2(1)解一元一次方程x+1=0;1(2)畫一次函數y=x+1的圖象，并指出函數y=x+1的圖象 x –2–11O 與x軸的交點坐標。–1(3)你會不畫圖象求函數y=3x,3與x軸的交點坐標嗎, 師生共同總結:一次函數y,kx，b的圖象與x軸的交點的橫坐標就是一元一次方程kx，b,0的根

設計思路:這一環節讓學生通過對舊知識的回顧及對新知識的思考，梳理舊知識，起到承上啟下之效，同時通過老師的引導，培養學生的形成解決一類問題的通用方法的思維品質

三、類比猜想

22你覺得一元二次方程ax+bx+c=0的根與二次函數y=ax+bx+c之間有聯系嗎，四、問題探究

教師分配研究的任務，然后小組合作完成，教師提問，學生展示研究成果。設計思路: 學生畫函數圖象比較慢，分配任務既可以節約時間，又可以使 每個學生都有事可做，能夠很好地完成學習任務。

appearance of the weld appearance quality technical requirements of the project must not have a molten metal stream does not melt the base metal to weld, weld seam and heat-affected zone surface must not have cracks, pores, defects such as crater and ash, surface smoothing, weld and base metal should be evenly smooth transition.Width 2-3 mm from the edge of weld Groove.Surface reinforcement should be less than or equal to 1 + 0.2 times the slope edge width, and should not be greater than 4 mm.Depth of undercut should be less than or equal to 0.5 mm, total length of the welds on both sides undercut not exceed 10% of the weld length, and long continuous should not be greater than 100 mm.Wrong side should be less than or at 0.2T, and should not be greater than 2 mm(wall thickness mm t)incomplete or not allow 7.5 7.5.1 installation quality process standards of the electrical enclosure Cabinet surface is clean, neat, no significant phenomenon of convex, close to nature, close the door.7.5.2 Cabinet Cabinet face paints no paint, returned to rusted, consistent color.7.5.3 uniform indirect gap from top to bottom, slot width <1.5mm 7.5.4 adjacent Cabinet surface roughness is 0.7.5.5 the cabinets firmly fixed, crafts beautiful.7.5.6 Cabinet surface gauge, switch cabinet mark clear, neat, firm paste.7.5.7 Terminal row of neat, is reliable, the appearance is clean and not damaged.7.5.8 cables neat and clean, solid binding, binding process in appearance.7.5.9 the first cable production firm, crafts beautiful, clear signage does not fade.7.5.10 fireproof plugging tight, no cracks and pores.7.6 7.6.1 of the standard electrical wiring quality technology cable a, the multi-core wire bunch arrangement should be parallel to each other, horizontal wire harness or wire should be perpendicular to the longitudinal multi-core wire bunch.The distance between the wire harness and wire harness symmetry, and as close as possible.B-core wiring harness into round, multi-core wire bunch used g wire binding, fastening 表格一: 二次函數 函數圖象 圖象與x軸方程的根 一元二次 方程 的交點坐 標 22 y=x+2x x+2x=0 22y=x-2x+1 x-2x+1=0 22y=x-2x+2-2x+2=0 x

五、歸納結論

2(1)從“數”的方面看，當二次函數y=ax+bx+c的函數值y=_0_ 時，二次函數 x2-2x+ 2 變為一元二次方程ax+bx+c=0,此時相應的_自變量的值即為二次方程 2ax+bx+c=0的_根_;2=0(2)從“形”的方面看，當二次函數的y值為0時，從圖像看指的是二次函數圖 像與_x軸_的交點，此時二次函數y=ax+bx+c與x軸交點的_橫坐標_即為二x2-2x+ 2次方程ax+bx+c=0的_根_。表格二: 2=0 2一元二次方程二次函數y=ax+bx+c的圖象一元二次方程根的判別式 222b,4ac ax+bx+c=0的根的個數 與x軸交點的個數

x-2x+ 22=0 b,4ac>0 2 b,4ac=0 2 b,4ac<0 教師和學生一起總結: 2二次函數y=ax+bx+c的圖象與x軸的交點有三種情況:有兩個交點、有一 2個交點、沒有交點。當二次函數y=ax+bx+c的圖象與x軸有交點時，交點的橫 2坐標就是當y=0時自變量x的值，即一元二次方程ax+bx+c=0的根。appearance of the weld appearance quality technical requirements of the project must not have a molten metal stream does not melt the base metal to weld, weld seam and heat-affected zone surface must not have cracks, pores, defects such as crater and ash, surface smoothing, weld and base metal should be evenly smooth transition.Width 2-3 mm from the edge of weld Groove.Surface reinforcement should be less than or equal to 1 + 0.2 times the slope edge width, and should not be greater than 4 mm.Depth of undercut should be less than or equal to 0.5 mm, total length of the welds on both sides undercut not exceed 10% of the weld length, and long continuous should not be greater than 100 mm.Wrong side should be less than or at 0.2T, and should not be greater than 2 mm(wall thickness mm t)incomplete or not allow 7.5 7.5.1 installation quality process standards of the electrical enclosure Cabinet surface is clean, neat, no significant phenomenon of convex, close to nature, close the door.7.5.2 Cabinet Cabinet face paints no paint, returned to rusted, consistent color.7.5.3 uniform indirect gap from top to bottom, slot width <1.5mm 7.5.4 adjacent Cabinet surface roughness is 0.7.5.5 the cabinets firmly fixed, crafts beautiful.7.5.6 Cabinet surface gauge, switch cabinet mark clear, neat, firm paste.7.5.7 Terminal row of neat, is reliable, the appearance is clean and not damaged.7.5.8 cables neat and clean, solid binding, binding process in appearance.7.5.9 the first cable production firm, crafts beautiful, clear signage does not fade.7.5.10 fireproof plugging tight, no cracks and pores.7.6 7.6.1 of the standard electrical wiring quality technology cable a, the multi-core wire bunch arrangement should be parallel to each other, horizontal wire harness or wire should be perpendicular to the longitudinal multi-core wire bunch.The distance between the wire harness and wire harness symmetry, and as close as possible.B-core wiring harness into round, multi-core wire bunch used g wire binding, fastening 設計思路:通過教師引導學生完成表格，使學生對命題的內涵理解，“學生對數學命題中各部分符號的含義能深刻理解，發現并知道各部分間的內在聯系。”填空使學生從“形”與“數”的角度體會數形結合思想，以及方程與函數互相轉化的思想，從而歸納出具一般性的結論。y22y = x x 6

1六、基礎練習x–3–2–1123O2–1(1)已知二次函數y=x-x-6的圖象如圖所示: –2 –3圖象與x軸有2個交點，交點的橫坐標 –42 是______,則方程x-x-6=0有__個根，方程的根是________ 2(2)函數y= x-5x+6的圖象與x軸有___個交點,其交點坐標為_________、__________。(3)自命題

每個小組按照教師的要求，小組內通過討論寫出一個一般式的二次函數關系式，用關系式出一道有關二次函數和一元二次方程的簡單的題，(七個大組分三種情況布置有目的性的布置，各小組只知道自己小組的任務)。教師通過在教師內觀察學生活動情況，選兩個代表性題由其他小組來做。

設計思路:小組活動，激發學生的學習熱情，鞏固對上面總結結論的認識。

七、例題講解 2 例1:已知二次函數y=ax+bx+c(a?0)的對稱軸是x=2,它與x軸的一個交 2點坐標是(4，0)，則方程ax+bx+c=0的兩個解是__________ 設計思路:鼓勵學生自主思考，然后小組討論，派代表上講臺講解。

八、鞏固練習

2(1)拋物線y=ax+bx+c(a?0)的圖象全部在x軸下方的條件是()22(A)a,0 b,4ac?0(B)a,0 b , 4ac,0 22(C)a,0 b , 4ac,0(D)a,0 b , 4ac,0(2)下列函數中其圖象與x軸有兩個交點的是()11112222(A)y=()x23+155(B)y=()x+23+155(C)y=()x23155(D)y=()x+23+1554444 appearance of the weld appearance quality technical requirements of the project must not have a molten metal stream does not melt the base metal to weld, weld seam and heat-affected zone surface must not have cracks, pores, defects such as crater and ash, surface smoothing, weld and base metal should be evenly smooth transition.Width 2-3 mm from the edge of weld Groove.Surface reinforcement should be less than or equal to 1 + 0.2 times the slope edge width, and should not be greater than 4 mm.Depth of undercut should be less than or equal to 0.5 mm, total length of the welds on both sides undercut not exceed 10% of the weld length, and long continuous should not be greater than 100 mm.Wrong side should be less than or at 0.2T, and should not be greater than 2 mm(wall thickness mm t)incomplete or not allow 7.5 7.5.1 installation quality process standards of the electrical enclosure Cabinet surface is clean, neat, no significant phenomenon of convex, close to nature, close the door.7.5.2 Cabinet Cabinet face paints no paint, returned to rusted, consistent color.7.5.3 uniform indirect gap from top to bottom, slot width <1.5mm 7.5.4 adjacent Cabinet surface roughness is 0.7.5.5 the cabinets firmly fixed, crafts beautiful.7.5.6 Cabinet surface gauge, switch cabinet mark clear, neat, firm paste.7.5.7 Terminal row of neat, is reliable, the appearance is clean and not damaged.7.5.8 cables neat and clean, solid binding, binding process in appearance.7.5.9 the first cable production firm, crafts beautiful, clear signage does not fade.7.5.10 fireproof plugging tight, no cracks and pores.7.6 7.6.1 of the standard electrical wiring quality technology cable a, the multi-core wire bunch arrangement should be parallel to each other, horizontal wire harness or wire should be perpendicular to the longitudinal multi-core wire bunch.The distance between the wire harness and wire harness symmetry, and as close as possible.B-core wiring harness into round, multi-core wire bunch used g wire binding, fastening

七、拓展提高:

21、已知二次函數y=ax+bx+c(a?0)的圖象 如圖所示，根據圖象回答下列問題: 2(1)方程ax+bx+c=0的兩個解是__________ 2(2)方程ax+bx+c=4的兩個解是__________ 設計思路:讓學生對二次函數和一元二次方程的關系的認識上升高度。

22、你會利用二次函數的圖象求出一元二次不等式x,x,2，0的解集嗎,(看課堂時間情況決定是否出示)

八、課堂小結，提高認識

函數 方程 22ax+bx+c=0(a ?0)y=ax+bx+c(a?0)橫坐標的

值 圖象與x軸交點 根 個數

一個關系:二次函數圖象與一元二次方程根的關系: 兩種思想:函數與方程互相轉化的思想;數形結合思想(設計思路:用精煉的語言，使得學生記憶簡便，而且印象加深，同時讓學生在 總結中反思，完成升華。學生再次齊讀華羅庚名言，下課。

九、布置作業，鞏固提升

十、板書設計

課題:??.課題:??.方程與函數轉化 例1: 方程與函數轉化 例1: 函數 方程 22y=ax+bx+c(a?0)ax+bx+c=0(a ?0)橫坐標的

值 圖象與x軸交點 根 個數 數形結合 數形結合

appearance of the weld appearance quality technical requirements of the project must not have a molten metal stream does not melt the base metal to weld, weld seam and heat-affected zone surface must not have cracks, pores, defects such as crater and ash, surface smoothing, weld and base metal should be evenly smooth transition.Width 2-3 mm from the edge of weld Groove.Surface reinforcement should be less than or equal to 1 + 0.2 times the slope edge width, and should not be greater than 4 mm.Depth of undercut should be less than or equal to 0.5 mm, total length of the welds on both sides undercut not exceed 10% of the weld length, and long continuous should not be greater than 100 mm.Wrong side should be less than or at 0.2T, and should not be greater than 2 mm(wall thickness mm t)incomplete or not allow 7.5 7.5.1 installation quality process standards of the electrical enclosure Cabinet surface is clean, neat, no significant phenomenon of convex, close to nature, close the door.7.5.2 Cabinet Cabinet face paints no paint, returned to rusted, consistent color.7.5.3 uniform indirect gap from top to bottom, slot width <1.5mm 7.5.4 adjacent Cabinet surface roughness is 0.7.5.5 the cabinets firmly fixed, crafts beautiful.7.5.6 Cabinet surface gauge, switch cabinet mark clear, neat, firm paste.7.5.7 Terminal row of neat, is reliable, the appearance is clean and not damaged.7.5.8 cables neat and clean, solid binding, binding process in appearance.7.5.9 the first cable production firm, crafts beautiful, clear signage does not fade.7.5.10 fireproof plugging tight, no cracks and pores.7.6 7.6.1 of the standard electrical wiring quality technology cable a, the multi-core wire bunch arrangement should be parallel to each other, horizontal wire harness or wire should be perpendicular to the longitudinal multi-core wire bunch.The distance between the wire harness and wire harness symmetry, and as close as possible.B-core wiring harness into round, multi-core wire bunch used g wire binding, fastening

第三篇：函數與方程知識點總結[范文]

在中國古代把數學叫算術，又稱算學，最后才改為數學。數學分為兩部分，一部分是幾何，另一部分是代數。小編準備了高一數學函數與方程知識點，希望你喜歡。

一、函數的概念與表示

1、映射

(1)映射：設A、B是兩個集合，如果按照某種映射法則f，對于集合A中的任一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，則這樣的對應(包括集合A、B以及A到B的對應法則f)叫做集合A到集合B的映射，記作f：AB。注意點：(1)對映射定義的理解。(2)判斷一個對應是映射的方法。一對多不是映射，多對一是映射

2、函數

構成函數概念的三要素 ①定義域②對應法則③值域

二、函數的解析式與定義域

1、求函數定義域的主要依據：(1)分式的分母不為零;

(2)偶次方根的被開方數不小于零，零取零次方沒有意義;(3)對數函數的真數必須大于零;

(4)指數函數和對數函數的底數必須大于零且不等于1;

2求函數定義域的兩個難點問題

(1)已知f(x)的定義域是[-2,5],求f(2x+3)的定義域。

(2)已知f(2x-1)的定義域是[-1,3],求f()x的定義域

三、函數的值域

1求函數值域的方法

①直接法：從自變量x的范圍出發，推出y=f(x)的取值范圍，適合于簡單的復合函數;②換元法：利用換元法將函數轉化為二次函數求值域，適合根式內外皆為一次式;

③判別式法：運用方程思想，依據二次方程有根，求出y的取值范圍;適合分母為二次且xR的分式;

④分離常數：適合分子分母皆為一次式(x有范圍限制時要畫圖);⑤單調性法：利用函數的單調性求值域;⑥圖象法：二次函數必畫草圖求其

四、函數的奇偶性

1.定義: 設y=f(x)，xA，如果對于任意xA，都有f(?x)?f(x)，則稱y=f(x)為偶函數。

如果對于任意xA，都有f(?x)??f(x)，則稱y=f(x)為奇函數。

2.性質：

①y=f(x)是偶函數?y=f(x)的圖象關于y軸對稱, y=f(x)是奇函數?y=f(x)的圖象關于原點對稱,②若函數f(x)的定義域關于原點對稱，則f(0)=0

高一數學函數與方程知識點就為大家介紹到這里，希望對你有所幫助。

[函數與方程知識點總結]相關文章：

第四篇：“函數與方程思想”案例分析

教學設計案例分析

——“函數與方程思想”案例

一．主題

函數與方程是中學數學的重要概念，他們之間有著密切的聯系；函數與方程的思想是中學的基本思想，主要依據題意，構造恰當的函數，或建立相應的方程來解決問題。函數思想在解題中的應用主要表現在兩個方面：一是借助有關初等函數的性質，解有關求值，解（證）不等式，解方程以及討論參數的取值范圍等問題；二是在問題的研究中，通過建立函數關系式或構造中間函數，把所研究的問題轉化為討論函數的有關性質，達到化難為易，化繁為簡的目的。函數與方程的思想是歷年高考的重點和熱點。

1.函數的思想

用運動和變化的觀點，集合與對應的思想分析和研究具體問題中的數量關系，建立函數關系或構造函數，運用函數的圖像和性質去分析問題，轉化問題使問題獲得解決，函數思想是對函數概念的本質認識。

2.方程的思想

在解決問題時，用事先設定的未知數溝通問題中所涉及的各量間的等量關系，建立方程或方程組，求出未知數及各量的值，或者用方程的性質去分析，轉化問題，使問題獲得解決。

3.函數的思想與方程的思想的關系

在中學數學中，很多函數的問題需要用方程的知識和方法來支持，很多方程的問題需要用函數的知識和方法去解決。對于函數，當

時，就轉化為方程，也可以把函數

看作二元方程，函數與方程可相互轉化。

4.函數與方程的思想在解題中的應用

（1）函數與不等式的相互轉化，對函數，當

時，就化為不等式，借助于函數的圖像和性質可解決有關問題，而研究函數的性質也離不開不等式。，當

時，就化為不等式，借助于函數的圖像和性質可解決有關問題，而研究函數的性質也離不開不等式。

時，就化為不等式，借助于函數的圖像和性質可解決有關問題，而研究函數的性質也離不開不等式。，借助于函數的圖像和性質可解決有關問題，而研究函數的性質也離不開不等式。

（2）數列的通項與前

項和是自變量為正整數的函數，用函數的觀點去處理數列問題十分重要。

項和是自變量為正整數的函數，用函數的觀點去處理數列問題十分重要。

（3）解析幾何中的許多問題，需要通過解二元方程組才能解決。這都涉及二次方程與二次函數的有關理論。

（4）立體幾何中有關線段，角，面積，體積的計算，經常需要運用列方程或建立函數表達式的方法加以解決，建立空間直角坐標系后，立體幾何與函數的關系更加密切。

二．背景

此案例的背景主要是：這是一堂與函數與方程思想有關的中學數學課，雖然本節教材是實施新的課程改革，但是這節內容與老教材的內容基本一致。選用此案例的原因是雖然該案例的授課老師授課時是一節平常課，采用的上課方式是組討論式，但是該授課老師以前曾有過用此節內容開公開課的經歷，當時采用的上課方式是普通的啟發式教學。通過此案例我們可以將其進行分析比較，進而得到結果。

三．情景描述

四．教學反思研究

五．教學設想

第五篇：研究性學習14 函數與方程

2013屆高三理科數學研究性學習（14）

專題十一：函數與方程相關問題研究（復合函數的根的問題研究）

例：（教學與測試第4課時）已知函數f(x)?x2?x?q，集合A?xf(x)?0,x?R，??B??xf(f(x))?0,x?R?.（1）若q??2，試求集合A,B

（2）若B為單元素集，試求q的值.變式1：已知c?0，函數f(x)??cx2?cx，g(x)?x3?cx2?cx，如果函數y?f(x)與函數y?g(f(x))有相同的零點，試求實數c的取值范圍；

變式2：（2007年江蘇高考）已知a，b，c，d是不全為零的實數，函數f(x)?bx2?cx?d，）g(x)?ax3?bx2?cx?d，方程f（x）=0有實根，且f（x）=0的實數根都是g（f（x）

=0的根，反之，g（f（x））=0的實數根都是f（x）=0的根

（1）求d的值；（2）若a=0，求c的取值范圍；

變式3：（2012年江蘇高考）已知a，b是實數，1和?1是函數f(x)?x3?ax2?bx的兩個極值點．（1）求a和b的值；（2）設函數g(x)的導函數g?(x)?f(x)?2，求g(x)的極值

2]，求函數y?h(x)的零點個數． 點；（3）設h(x)?f(f(x))?c，其中c?[?2，