第一篇：復數的幾何意義教案

課題：復數的幾何意義

學校

姓名

一、教學目標：

（1）能夠類比實數的幾何意義說出復數幾何意義（2）會利用幾何意義求復數的模；（3）能夠說出共軛復數的概念

二、教學重點、難點：

重點：復數的幾何意義以及復數的模 難點：復數的幾何意義及模的綜合應用

三、教學方法：

本節主要讓學生類比實數的幾何意義和實數的絕對值的幾何意義，探究出復數的幾何意義和復數的模公式。

四、教學過程：

（一）課題引入 實數的幾何意義

1.提問：在幾何上，我們用什么來表示實數? 實數可以用數軸上的點來表示

? 數軸上的點 實數 ????(數)(形)

（二）新知探究

探究一：復數的幾何意義

思考1: 實數與數軸上的點的對應關系是什么？類比實數的表示，是否也存在一個點與之對應？若存在，這個點的形式是什么？ 問：你能找出復數與有序實數對、坐標點的對應關系嗎？（教師提出問題，學生思考，進行小組討論）。

通過類比，找出復數與有序實數對、坐標點的一一對應關系。從而找到復數的幾何意義。

思考2：平面向量oz的坐標為 ,由此你能得出復數的另一個幾何意義嗎？

一一對應

通過思考2，讓學生能夠把復數和位置向量相結合，從而推導復數的另一個幾何意義。

復數集C和復平面內所有的點所成的集合是一一對應關系，即

一一對應一一對應復數 ?????復平面內的點 ?????平面向量

（數）（形）

建立了平面直角坐標系來表示------復數平面(簡稱復平面)x軸------實軸 y軸------虛軸 小結：復數的幾何意義：

1復數與復平面內的點是一一對應的 2復數與復平面內向量oz一一對應的 復平面的有關概念介紹 1復平面

2實軸 表示實數

3虛軸 除原點外都是純虛數 探究二：復數的模

思考：實數絕對值的幾何意義？通過類比，你能說出復數的模幾何意義嗎? 復數z=a+bi(a，b∈R)的模：|z|=OZ= 共軛復數：

（三）典型例題 例1．辨析

下列命題中的假命題是（）

(A)在復平面內，對應于實數的點都在實軸上；(B)在復平面內，對應于純虛數的點都在虛軸上；(C)在復平面內，實軸上的點所對應的復數都是實數；(D)在復平面內，虛軸上的點所對應的復數都是純虛數。變式（或跟蹤）訓練

1．“a=0”是“復數a+bi(a , b∈R)是純虛數”的（）。(A)必要不充分條件(B)充分不必要條件

(C)充要條件(D)不充分不必要條件

2．“a=0”是“復數a+bi(a , b∈R)所對應的點在虛軸上”的（）。

(A)必要不充分條件(B)充分不必要條件

(C)充要條件(D)不充分不必要條件

例2．已知復數z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在復平面內所對應的點位于第二象限，求實數m允許的取值范圍

方法總結：表示復數的點所在象限的問題 轉化 復數的實部與虛部所滿足的不等式組的問題

(幾何問題)(代數問題)一種重要的數學思想：數形結合思想

變式（或跟蹤）訓練：

1、已知復數z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在復平面內所對應的點在直線x-2y+4=0上，求實數m的值。

解：∵復數z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在復平面內所對應的點是（m2+m-6，m2+m-2），∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0 ∴m=1或m=-2。

2：證明對一切m，此復數所對應的點不可能位于第四象限。

（四）拓展提升

探究

三、復數的模 的幾何意義: 對應平面向量 的模| Z|，即復數 z=a+bi在復平面上對應的點Z(a,b)到原點的距離。

（五）歸納小結

1、復數幾何意義

2、復數模的幾何意義

3、數學思想方法：類比、數形結合

五、作業布置 1.書面作業： 2.探究性作業：思考：

(1)滿足|z|=5(z∈R)的z值有幾個？

（2)滿足|z|=5(z∈C)的z值有幾個？這些復數對應的點在復平面上構成怎樣的圖形？

六、教學反思

七、超級鏈接

1、在復平面內，分別用點和向量表示下列復數：

4，3+i，-1+4i，-3-2i，-i

13?i，試比較它們模的大小 223、若復數Z=4a+3ai(a<0)，則其模長為

2、已知復數Z1=3-4i，Z2=4滿足|z|=1(z∈R)的z值有幾個？滿足|z|=1(z∈C)的z值有幾個？這些復數對應的點在復平面內構成怎樣的圖形？其軌跡方程是什么？

5、復數z1=1+2i，z2=－2+i，z3=－1－2i，它們在復平面上的對應點是一個平行四邊形的三個頂點，求這個平行四邊形的第四個頂點對應的復數.6.設Z為純虛數，且z?1??1?i，求復數Z

7、設Z為純虛數，且|z+2|=|4-3 i |，求復數Z

第二篇：復數·復數的乘法及其幾何意義

復數·復數的乘法及其幾何意義·教案

教學目標

1．掌握用復數的三角形式進行乘法運算的法則及其推導過程． 2．掌握復數乘法的幾何意義．

3．讓學生領悟到“轉化”這一重要數學思想方法． 4．培養學生探索問題、分析問題、解決問題的能力． 教學重點與難點

重點：復數的三角形式是本節內容的出發點，復數的乘法運算． 難點：復數乘法運算的幾何意義，不易為學生掌握． 教學過程設計

師：前面我們學習了復數的代數形式的運算和復數的三角形式，請大家用5分鐘的時間，完成以下兩道題的演算．（利用投影儀出示）

1．（1-2i）（2+i）（4+3i）；

想出算法后，請大家在筆記本上演算，允許同學之間交換意見．

（教師在教室里巡視，稍過幾分鐘，請一位已經做完的同學在黑板上寫出推導過程）學生板演：

z1·z2=r1（cosθ1+isinθ1）·r2（cosθ2+isinθ2）=（r1cosθ1+ir1sinθ1）·（r2cosθ2+ir2sinθ2）

=（r1r2cosθ1cosθ2-r1r2sinθ1sinθ2）+i（r1r2sinθ1cosθ2+r1r2cosθ1sinθ2）=r1r2[（cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i（sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2] =r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）]． 師：很好，你是怎樣想出來的？為什么這樣想？

生：我們已經學過復數的代數形式運算，因此把三角形式化為代數形式，按著代數形式的乘法運算法則就可以完成運算．根據數學求簡的原則，運用三角公式把結果化簡． 在已知的基礎上發展和探索未知的東西，解題時，把未知轉化成已知，這是重要的思想方法．我是根據這個思想才想出來的．

師：觀察這個問題的已知和結論，同學們能發現有什么規律嗎？

生：兩個復數相乘，積的模等于各復數模的積，積的復角等于各復數的輻角的和． 師：利用這個結論，請同學們計算：

這就是復數的三角形式乘法運算公式．

三角形式是由模和輻角兩個量確定的，進行乘法運算時要清楚模怎樣算？輻角怎樣算？ 使用復數的三角形式進行運算的條件是復數必須是三角形式的標準式，輻角不要求一定是主值．

同學們已經了解，復數通過幾何表示，把復數與復平面內的點或從原點出發的向量建立起一一對應后，復數不僅取得了實際的解釋，而且確實逐步展示了它的廣泛應用．我們已經研究了復數加、減法的幾何意義，并感覺到了它的用途，請大家討論一下，學習了復數的三角形式運算對復數乘法的幾何意義有什么啟發呢？

（同學分組討論，請小組代表發言．如果條件允許，在學生發言同時，用多媒體輔助教學，演示模伸縮情況，輻角終邊的旋轉）

生：復數的乘法對應的向量，就是由對應于被乘數所對應的向量按逆時針方向旋轉一個角θ2（θ2＞0，如果θ2＜0，按順時針方向旋轉一個角|θ2|，再把其模變為原來的r2倍（r2＞1，應伸長；0＜r2＜1，應縮短；r2=1，模長不變），所得的向量就表示積z1·z2．這是復數乘法的幾何意義．

師：解此題復數是否一定化成三角形式？

生：復數與從原點出發的向量建立了一一對應關系，無論是代數形式還是三角形式都表示同一個復數和向量，運算結果是一個數，因此不一定化成三角形式，應根據需要來選擇．

師：說得好，請同學們寫一下解題過程．（找一名同學到黑板板演）

解：所求的復數就是-1+i乘以一個復數z0的積，這個復數z0的模是1，輻角的主值是120°．所求的復數是：（-1+i）·1·（cos 120°+isin 120°）

師：為什么？

生丙：乘數sin30°+icos 30°不是復數三角形式的標準式，應化為cos 60°＋isin 60°，這樣才能應用復數乘法的幾何意義來解題．

師：同學們應注意到旋轉的角度是輻角來確定的，而輻角的大小又是由復數的三角形式的標準式來確定．

同學們開始討論解決：

生庚：復數運算的幾何意義是在復平面內實施的，因此要建立直角坐標系． 師：你分析得正確，如圖8－13，建立坐標系．取正方形的邊長為單位長1．

生辛：∠B1Ox=∠1，∠B2Ox=∠2，∠B3Ox=∠3，這樣，∠1+∠2+∠3=∠B1Ox+∠B2Ox+∠B3Ox．而∠B1Ox，∠B2Ox，∠B3Ox可以分別看作B1，B2，B3三個點對應復數的輻角主值，下面應考慮B1，B2，B3對應復數是什么？

按著老師規定的單位長，B1，B2，B3三點對應的復數分別為1＋i，2＋i，3＋i． 師：好，你先談到這里，如果單位長度有新的規定，例如邊長為2，則三點對應復數分別為2＋2i，4＋2i，6＋2i，并未影響復數的輻角主值的大小，不過計算要繁一些．同學們繼續討論．

生壬：2＋i，3＋i的輻角主值都不是特殊角，只能查表求近似值再相加，誤差較大．根據復數乘法的幾何意義，積的輻角等于兩個乘數輻角之和，可以先作乘法，看乘積是什么？假若其輻角主值也不是特殊角，但只取一次近似值． 師：你分析得很好，請你計算一下：

師：今天這節課，從知識上要掌握用復數的三角形式進行乘法運算的法則和乘法的幾何意義及其推導過程．從思考方法上要善于從未知與已知、數與形以及復數的各種形式互相轉換角度上考慮問題．現在布置作業：

第三篇：復數·復數的減法及其幾何意義

復數·復數的減法及其幾何意義·教案

教學目標

1．理解并掌握復數減法法則和它的幾何意義．

2．滲透轉化，數形結合等數學思想和方法，提高分析、解決問題能力． 3．培養學生良好思維品質（思維的嚴謹性，深刻性，靈活性等）． 教學重點和難點 重點：復數減法法則．

難點：對復數減法幾何意義理解和應用． 教學過程設計

（一）引入新課

師：上節課我們學習了復數加法法則及其幾何意義，今天我們研究的課題是復數減法及其幾何意義．

（板書課題：復數減法及其幾何意義）

（二）復數減法

師：首先規定，復數減法是加法逆運算，那么復數減法法則為（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i，（板書）1．復數減法法則

（1）規定：復數減法是加法逆運算；

（2）法則：（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i（a，b，c，d∈R）． 如何推導這個法則呢？

生：把（a+bi）-（c+di）看成（a+bi）+（-1）（c+di）．（學生口述，教師板書）

（a+bi）-（c+di）=（a+bi）+（-1）（c+di）=（a+bi）+（-c-di）=（a-c）+（b-d）i． 師：說一下這樣推導的想法和依據是什么？

生：把減法運算轉化為加法運算，利用乘法分配律和復數加法法則．

師：轉化的想法很好．但復數和乘法分配律在這里作為依據不合適，因為復數乘法還沒有學，邏輯上出現一些問題． 生：我覺得可以利用復數減法是加法逆運算的規定來推導．（學生口述，教師板書）

推導：設（a+bi）-（c+di）=x+yi（x，y∈R）．即復數x+yi為復數a+bi減去復數c+di的差．由規定，得（x+yi）+（c+di）=a+bi，依據加法法則，得（x+c）+（y+d）i=a+bi，依據復數相等定義，得

故（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i． 師：這樣推導每一步都有合理依據．

我們得到了復數減法法則，那么兩個復數的差是什么數？ 生：仍是復數．

師：兩個復數相減所得差的結果會不會是不同的復數？ 生：不會． 師：這說明什么？

生：兩個復數的差是唯一確定的復數．

師：復數的加（減）法與多項式加（減）法是類似的．就是把復數的實部與實部，虛部與虛部分別相加（減），即（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i．

（三）復數減法幾何意義

師：我們有了做復數減法的依據——復數減法法則，那么復數減法的幾何意義是什么？（板書：2．復數減法幾何意義）生：用向量表示兩個做減法的復數．（學生口述，教師板書）設z=a+bi（a，b∈R），z1=c+di（c，d∈R），對應向量分別

師：我們應該如何認識這個方程？（學生困惑，教師引導）

師：我們先看方程左式，右式分別表示什么？

生：方程左式可以看成|z-（1+i）|，是復數Z與復數1+i差的模． 師：有什么幾何意義嗎？

生：是動點Z與定點（1，1）間的距離．（學生活躍起來，紛紛舉手回答）

生：方程右式也可以寫成|z-（-2-i）|，是復數z與復數-2-i差的模，也就是動點Z與定點（-2，-1）間距離．這個方程表示的是到兩點（+1，1），（-2，-1）距離相等的點的軌跡方程，這個動點軌跡是以點（+1，1），（-2，-1）為端點的線段的垂直平分線．（2）|z+i|+|z-i|=4；（學生議論后，舉手回答）

生：方程可以看成|z-（-i）|+|z-i|=4，表示的是到兩個定點（0，-1）和（0，1）距離和等于4的動點軌跡．

師：這個動點軌跡是什么曲線呢？（學生稍有遲疑，有些同學小聲議論）生：是橢圓吧．

師：似乎回答的不夠肯定，不妨回憶一下橢圓的定義．

（學生在教師的提示下一起回答）生：在平面內，與兩個定點F1，F2距離的和等于常數（大于|F1F2|）的點的軌跡叫橢圓． 師：滿足這個方程的動點軌跡是不是橢圓呢？

生：是．因為點Z到兩個定點的距離和是常數4，并且大于兩點（0，-1），（0，1）間的距離2，所以滿足方程的動點軌跡是橢圓．（3）|z+2|-|z-2|=1．（3）|z+2|-|z-2|=1．（學生議論后，舉手回答）

生：這個方程可以寫成|z-（-2）|-|z-2|=1，所以表示到兩個定點（-2，0），（2，0）距離差等于1的點的軌跡，這個軌跡是雙曲線． 師：說的再準確些． 生：是雙曲線右支．

師：很好．由z1-z2幾何意義，將z1-z2取模得到復平面內兩點間距離公式d=|z1-z2|，由此得到線段垂直平分線，橢圓、雙曲線等復數方程．使有些曲線方程形式變得更為簡捷．且反映曲線的本質特征．

例4 設動點Z與復數z=x+yi對應，定點P與復數p=a+bi對應．求（1）復平面內圓的方程；（學生口述，教師板書）

解：復平面內滿足不等式|z-p|＜r（r∈R+）的點的集合是以P為圓心，r為半徑的圓面部分（不包括周界）．

師：利用復平面內兩點間距離公式，可以用復數解決解析幾何中某些曲線方程．不等式等問題．

（五）小結

師：我們通過推導得到復數減法法則，并進一步得到了復數減法幾何意義，應用復數減法幾何意義和復平面內兩點間距離公式，可以用復數研究解析幾何問題，不等式以及最值問題．

（六）布置作業P193習題二十七：2，3，8，9． 課堂教學設計說明

1．復數加法法則是規定的，而復數減法法則需要推導．推導過程要求每一步都要有合理依據，滲透轉化思想，培養學生嚴謹思維品質．復數減法幾何意義是教學難點，主要由于學生對復數及其幾何表示還不很熟悉，在復數加法幾何意義學習基礎上，引導學生自己得到復數減法幾何意義，有利于學生對復數幾何意義以及復數減法幾何意義理解． 2．對復數減法幾何意義應分三個層次．

例1主要訓練學生對復數減法幾何意義應用，并通過此例題使學生對復數減法幾何意義有具體認識，進一步使學生理解向量與向量終點表示復數的區別與聯系，并體會兩個相等向量表示兩個復數差的各自方便之處．

例2是對復平面內兩點間距離公式的推導，這既是對復數減法幾何意義再次應用，同時也為對復數方程的認識打下基礎．

例3和例4是在例2公式基礎上將復數幾何意義應用推廣到用復數研究解析幾何某些曲線、不等式等問題，使學生進一步體會復數減法幾何意義的重要性．

第四篇：復數與幾何教案

復數與幾何·教案

教學目標

1．掌握復平面、向量等有關概念；弄清復數集C與復平面內所有的點組成的集合之間一一對應關系，以及復數與從原點出發的向量之間的一一對應關系；弄清復數模的幾何意義．

2．通過數形結合研究復數，提高學生的數形結合能力，突出比較與類比的研究方法．

3．感受到為真理執著追求的精神．進行辯證唯物主義教育． 教學重點與難點

重點：復數與點與向量的對應關系以及復數的模．

難點：自由向量與位置向量的區別，以及它們與復數的對應關系． 教學過程設計

師：我們已經學習了復數的概念．什么是復數？ 生：形如a＋bi的數叫復數．（學生有不同意見，小聲議論）師：誰有補充？

生：形如a＋bi（a，b∈R）的數叫復數．（教師給予肯定）

師：a，b∈R的條件很重要，實際上我們是用實數來定義的復數，雖然我們知道了復數的定義，但是復數對于我們來說，總感到摸不著抓不住，不像實數，任何一個實數，都可以在數軸上找到一個點與它對應，那么復數到底在哪里呢？我們能不能像實數那樣來表示復數呢？

生：數軸上的點不能表示虛數，只能表示實數．

師：那么用什么可以表示復數呢？注意復數是由a，b兩個實數決定的，可以大膽設想一下，我們可以利用什么來表示復數？

生：可以用直角坐標系里的點來表示嗎？ 師：××提出了一個想法，用直角坐標系內的點來表示復數．這種想法行不行呢？

（在黑板上畫出直角坐標系，任取一點（a，b））師：能不能用點來表示復數呢？

生：可以．因為有一個復數a＋bi（a，b∈R），就有一個點（a，b），而有一個點（a，b），就有一個復數a＋bi．

師：他剛才所說的實際想說明一點復數集與坐標系中的點構成的集合是一一對應的．的確，由復數相等的概念，我們知道一個復數a＋bi由一個有序實數對（a，b）唯一確定，而有序實數對與直角坐標系中的點是一一對應的．因此我們完全可以建立復數集與點集之間的一一對應．看來，用點來表示復數是完全可以的．為了區別表示復數的點與其它的點，我們把這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面．那么在這個坐標系中x軸上的點與y軸上的點所表示的復數分別具有什么特點呢？

生：x軸上的點的縱坐標為0，即復數的虛部為0，因此x軸上的點代表實數．

師：既然x軸上的點代表了所有實數，我們就把復平面中的x軸叫實軸．那么y軸上的點代表什么樣的復數呢？

生：由于y軸上的點的橫坐標都是零，因此y軸上的點表示的是純虛數． 師：同學們認為他說得對嗎？

（大多數同學認為他說得對，少數人有疑惑）

生：原點也在y軸上，但0不是純虛數，而是實數．所以y軸上的點除原點外表示的都是純虛數．

師：他說得很對．y軸上只有這個原點搗亂，不然就可以表示所有的純虛數．因此，我們把去掉原點后的y軸叫虛軸．這樣虛軸上所有的點都表示純虛數．那么，直角坐標平面與復平面有什么區別？

生：直角坐標平面中的x軸與y軸交于原點，而復平面中的實軸與虛軸沒有交點．

師：我們通過建立復平面，將復數集與復平面上的點建立了一一對應的關系，這樣復數對我們來說，也就不顯得那樣遙遠了．但對于復數的認可，在19世紀可沒那么簡單．第一次認真討論這種數的是文藝復興時期意大利有名的數學“怪杰”卡丹，他是1545年開始討論這種數的，當時復數被他稱作“詭辯量”，幾乎過了100年，笛卡爾才給這種“虛幻之數”取了一個名字——虛數．但是又過了140年，歐拉還是說這種數只是存在于“幻想之中”，并用i（imaginary，即虛幻的縮寫）來表示它的單位．后來德國數學家高斯給出了復數的定義，但他們仍感到這種數有點虛無縹緲，盡管他也感到它的作用．1830年，高斯詳細論述了用直角坐標系的復平面上的點表示復數a＋bi，使復數有了立足之地，人們才最終承認了它．看來復數從發現到最終被人們承認，的確經過了一個漫長坎坷的過程，可最終使人們接受他的還是它的幾何表示，用點表示復數后，人們才覺得復數的存在．

（學生對數學史方面的知識很感興趣，因為他們感到數學的發展是那樣神秘，可以憑空造出數來，學生聽得聚精會神，當最后得知是用點來表示復數這一理論使復數得以被人承認后，甚至還有些成就感）

師：用點表示復數后，我們還要介紹一種表示復數的方法，連接坐標原點O與點Z，得到一個具有長度且有方向的線段，這種既有大小又有方向的線段叫有向線段，而有向線段表示的量就叫向量．那么什么叫向量呢？

生：既有大小又有方向的量叫向量． 師：能不能舉出一些向量的例子？

生：物理中的力、速度、加速度等都是又有大小又有方向的量，它們都是向量．

師：現在的問題是我們能不能用向量來表示復數？我們一般將起點為O，終點為Z的向量記作

．

生：當然可以．因為有一個向量就對應一個點，而有一個點就對應一個向量，而點與復數有一一對應的關系，因此可用向量表示復數．

（學生議論紛紛，看起來有不同意見）生：那我在復平面內任意畫一個有向線段（大家在思考）

師：這個問題提得很好．實際上，大家可以想一想，剛才××同學說一個向量對應一個點，一個點對應一個向量，對不對？怎么樣改一下就對了？ 生：應改為起點為原點的向量對應一個點，也就是起點為原點的向量與點構成一一對應．

師：既然這樣，我們就知道，起點為原點的向量與復數是一一對應的．那其它向量怎么辦？它們對應什么復數？能不能將他們移到原點來？，這個向量表示哪個復數呢？

生：只要它們的長度和方向與合的位置上．

相同，就可以平移到起點為原點，與 重師：實際上，我們把長度相等方向相同的向量叫做相等的向量，其實，我們只要規定相等的向量對應同一個復數，我們就可以用向量來表示復數了．對那些起點不在原點的向量，我們只要怎么做就可以知道它所對應的復數了呢？ 生：只要將它們平移到起點與原點重合，這時向量終點所確定的復數就是那些起點不在原點的向量所表示的復數．

（教師給予肯定）

師：在這個正六邊形中有多少對向量相等，它們分別對應著哪些復數？

師：這樣我們完成了今天我們要討論的第二個問題：復數與向量．我們弄清楚了向量可以來表示復數，相等的向量對應著同一個復數．一個復數所對應的向量唯一嗎？

生：一個復數實際上可以對應無數個長度相等、方向相同的向量，只是這些向量的位置不同．

師：現在我們知道復數可以用點和向量來表示，它們之間的對應關系可以用下圖來表示．

有了這種一一對應關系后，我們常把復數z=a＋bi說成點Z（a，b），或說成向量 ．

師：在用有向線段表示向量時，有向線段的長度我們定義為向量的模，即線段OZ的長度為向量 的模．那么

可以表示復數z=a＋bi，那么 的模可以表示復數的哪個量呢？在實數集中，一個數的絕對值的幾何意義就是數軸上的點到原點的距離．在復數集中呢？

生：向量 的模就是復數的絕對值．

師：他的意思說出來了，但在復數中，我們一般不叫絕對值，叫復數的模．因此 的模就叫復數的模，只有復數為實數時，我們叫絕對值．那么復數的模具有什么樣的幾何意義？

生：復數的模的幾何意義是表示復數的點到原點的距離．

（教師給予肯定，并指出復數模的幾何意義與實數的絕對值的幾何意義是統一的．）

師：復數的模用什么表示呢？

生：用實數集中絕對值的符號表示，z的模，記作|z|． 師：復數z=a+bi，（a，b∈R），那么|z|=？

（學生板演）

師：我們知道復數一般不能比較大小，而復數的模是實數，可以比較大小．（將z1，z2所表示的點畫在復平面上，再將它們所表示的向量畫出來，強調這三者的轉化）

例2 設z∈C，滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？（1）|z|=4；（2）2≤|z|＜4． 生：（1）表示到原點距離為4的點． 師：這樣的點構成一個什么圖形？ 生：是原點為圓心，半徑為4的圓． 師：是圓面還是只有邊界的圓？為什么？

生：應該是表示只有邊界的圓．因為與復數z對應的點Z，由|z|=4，知道|OZ|=4，即點Z到原點的距離為4．所以z表示的點Z構成一個半徑為4的圓． 生：（2）表示一個圓環．由于|z|的幾何意義是點Z到原點的距離，所以2≤|z|＜4表示到原點距離大于等于2，小于4的點所構成的圖形．

師：準確地說這個圖形應當是半徑為2與半徑為4的圓構成的圓環內容及內邊界．包不包括邊界，主要是由原不等式中的等與不等決定的．

例3 用復數表示下圖中的陰影部分．

生甲：|z|＜3且虛部＜-1．由于圖中所示的點在半徑為3的圓中，且縱坐標小于-1．

師：這種表示是否正確？（學生小聲議論）

生：是兩條直線．

師：夾在這兩條直線中間又滿足|z|＜3的點顯然不僅僅是陰影部

（學生到黑板畫出圖）

師：因此剛才乙同學的想法是好在不滿足于用一種方法表示，肯思考，但這個題無法用實部來表示．

（下面提問第2小題）生：|z|≥3，且實部≤-1．

生：不對．

師：看來用實部還是虛部表示，一定要全盤考慮，表示出來后，還要反過來檢查一下是否符合題設條件．

（教師小結）

師：這節課我們共同探尋了復數的幾何表示方法以及復數模的幾何意義．要特別重視數與點與向量之間的對應關系，在研究的過程中要特別注意與實數的聯系與區別．

補充作業

1．判斷下列命題的真假，并說明理由：

2．已知|x+yi|=2，求表示復數x+yi的點的軌跡．

4．設z∈C，滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？

（1）|z|=3；（2）|z|＜3；（3）3＜|z|≤5；（4）實部＞0，虛部＞0且|z|＜4．

作業答案或提示

1．①√；②×；③√；④×；⑤√；⑥×． 2．x2+y2=4．3．略．

4．（1）以原點為圓心，半徑為3的圓；

（2）以原點為圓心，半徑為3的圓面，不包括邊界；

（3）以原點為圓心，半徑為3和5的圓構成的圓環內部，包括外邊界；（4）以原點為圓心，半徑為4的圓在第一象限的部分，不包括邊界． 課堂教學設計說明

本節課是一節內容較為簡單的概念課，但所涉及的知識內容，非常重要，它是學習復數的重要一環．

本設計著重突出主體性教學的原則，盡量做到讓學生來發現復數的幾何表示法，由實數自然地過渡到復數．本節課還將復數的點的表示與向量的表示集中在一節課處理，筆者認為這樣有利于學生對復數幾何意義的整體把握． 在教學中還注意通過數學史的故事，激發學生的學習興趣，增強學生的自信心，并自然地將思想教育滲透到教學中．

第五篇：2017向量減法運算及其幾何意義教案.doc

2.2.2 向量減法運算及其幾何意義

一、教學分析

向量減法運算是加法的逆運算.學生在理解相反向量的基礎上結合向量的加法運算掌握向量的減法運算.因此,類比數的減法(減去一個數等于加上這個數的相反數),首先引進相反向量的概念,然后引入向量的減法(減去一個向量,等于加上這個向量的相反向量),通過向量減法的三角形法則和平行四邊形法則,結合一定數量的例題,深刻理解向量的減法運算.通過闡述向量的減法運算,可以轉化為向量加法運算,滲透化歸的數學思想,使學生理解事物之間的相互轉化、相互聯系的辨證思想,同時由于向量的運算能反映出一些物理規律,從而加強了數學學科與物理學科之間的聯系,提高學生的應用意識.二、教學目標：

1、知識與技能：

了解相反向量的概念；掌握向量的減法，會作兩個向量的減向量，并理解其幾何意義。

2、過程與方法：

通過將向量運算與熟悉的數的運算進行類比，使學生掌握向量減法運算及其幾何意義，并會用它們進行向量計算，滲透類比的數學方法。

3、情感態度與價值觀：

通過闡述向量的減法運算可以轉化成向量的加法運算，使學生理解事物之間可以相互轉化的辯證思想。

三、重點難點

教學重點:向量的減法運算及其幾何意義.教學難點:對向量減法定義的理解.四、學法指導

減法運算是加法運算的逆運算，學生在理解相反向量的基礎上結

合向量的加法運算掌握向量的減法運算；并利用三角形做出減向量。

五、教學設想

（一）導入新課

思路1.(問題導入)上節課,我們定義了向量的加法概念,并給出了求作和向量的兩種方法.由向量的加法運算自然聯想到向量的減法運算:減去一個數等于加上這個數的相反數.向量的減法是否也有類似的法則呢?引導學生進一步探究,由此展開新課.思路2.(直接導入)數的減法運算是加法運算的逆運算.本節課,我們繼續學習向量加法的逆運算——減法.引導學生去探究、發現.（二）推進新課、新知探究、提出問題

①向量是否有減法？

②向量進行減法運算,必須先引進一個什么樣的新概念？ ③如何理解向量的減法？

④向量的加法運算有平行四邊形法則和三角形法則,那么,向量的減法是否也有類似的法則？

活動:數的減法運算是數的加法運算的逆運算,數的減法定義即減去一個數等于加上這個數的相反數,因此定義數的減法運算,必須先引進一個相反數的概念.類似地,向量的減法運算也可定義為向量加法運算的逆運算.可類比數的減法運算,我們定義向量的減法運算,也應引進一個新的概念,這個概念又該如何定義? 引導學生思考,相反向量有哪些性質? 由于方向反轉兩次仍回到原來的方向,因此a和-a互為相反向量.于是-(-a)=a.我們規定,零向量的相反向量仍是零向量.任一向量與其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果a、b是互為相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(1)平行四邊形法則

圖1 如圖1,設向量AB=b,AC=a,則AD=-b,由向量減法的定義,知AE=a+(-b)=a-b.又b+BC=a,所以BC=a-b.由此,我們得到a-b的作圖方法.圖2(2)三角形法則

如圖2,已知a、b,在平面內任取一點O,作OA=a,OB=b,則BA=a-b,即a-b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量,這是向量減法的幾何意義.討論結果:①向量也有減法運算.②定義向量減法運算之前,應先引進相反向量.與數x的相反數是-x類似,我們規定,與a長度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,記作-a.③向量減法的定義.我們定義

a-b=a+(-b), 即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量.規定:零向量的相反向量是零向量.④向量的減法運算也有平行四邊形法則和三角形法則,這也正是向量的運算的幾何意義所在,是數形結合思想的重要體現.提出問題

①上圖中,如果從a的終點到b的終點作向量,那么所得向量是什么? ②改變上圖中向量a、b的方向使a∥b,怎樣作出a-b呢? 討論結果:①AB=b-a.②略.（三）應用示例

如圖3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.圖3

活動:教師讓學生親自動手操作,引導學生注意規范操作,為以后解題打下良好基礎;點撥學生根據向量減法的三角形法則,需要選點平

移作出兩個同起點的向量.作法:如圖3(2),在平面內任取一點O,作OA=a,OB=b,OC=c,OD=d.則BA=a-b,DC=c-d.變式訓練

(2006上海高考)在ABCD中,下列結論中錯誤的是（）A.AB=DC

B.AD+AB=AC

C.AB-AD=BD

D.AD+BC=0 分析:A顯然正確,由平行四邊形法則可知B正確,C中,AB-AD=BD錯誤,D中,AD+BC=AD+DA=0正確.答案:C

例2 如圖4,ABCD中, AB=a,AD=b,你能用a、b表示向量AC、DB嗎?

圖4

活動:本例是用兩個向量表示幾何圖形中的其他向量,這是用向量證明幾何問題的基礎.要多注意這方面的訓練,特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對角線的關系.解:由向量加法的平行四邊形法則,我們知道AC=a+b, 同樣,由向量的減法,知DB=AB-AD=a-b.變式訓練

1.(2005高考模擬)已知一點O到ABCD的3個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c,則向量OD等于（）A.a+b+c

B.a-b+c

C.a+b-c

D.a-b-c

圖5 解析:如圖5,點O到平行四邊形的三個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c, 結合圖形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B 2.若AC=a+b,DB=a-b.①當a、b滿足什么條件時,a+b與a-b垂直？ ②當a、b滿足什么條件時,|a+b|=|a-b|？

③當a、b滿足什么條件時,a+b平分a與b所夾的角 ？ ④a+b與a-b可能是相等向量嗎？

圖6 解析:如圖6,用向量構建平行四邊形,其中向量AC、DB恰為平行四邊形的對角線.由平行四邊形法則,得

AC=a+b,DB=AB-AD=a-b.由此問題就可轉換為: ①當邊AB、AD滿足什么條件時,對角線互相垂直？(|a|=|b|)②當邊AB、AD滿足什么條件時,對角線相等？(a、b互相垂直)③當邊AB、AD滿足什么條件時,對角線平分內角？(a、b相等)④a+b與a-b可能是相等向量嗎？(不可能,因為對角線方向不同)

點評:靈活的構想,獨特巧妙,數形結合思想得到充分體現.由此我們可以想到在解決向量問題時,可以利用向量的幾何意義構造幾何圖形,轉化為平面幾何問題,這就是數形結合解題的威力與魅力,教師引導學生注意領悟.例3 判斷題:(1)若非零向量a與b的方向相同或相反,則a+b的方向必與a、b之一的方向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,則A、B、C三點是一個三角形的三頂點.(4)|a+b|≥|a-b|.活動:根據向量的加、減法及其幾何意義.解:(1)a與b方向相同,則a+b的方向與a和b方向都相同;若a與b方向相反,則有可能a與b互為相反向量, 此時a+b=0的方向不確定,說與a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法則AB+BC=AC,AC與CA是互為相反向量,所以有上述結論.(3)因為當A、B、C三點共線時也有AB+BC+AC=0,而此時構不成三角形.(4)當a與b不共線時,|a+b|與|a-b|分別表示以a和b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長,其大小不定.當a、b為非零向量共線時,同向則有|a+b|>|a-b|,異向則有|a+b|<|a-b|;當a、b中有零向量時,|a+b|=|a-b|.綜上所述,只有(2)正確.例4 若|AB|=8,|AC|=5,則|BC|的取值范圍是（）A.[3,8]

B.(3,8)

C.[3,13]

D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)當AB、AC同向時,|BC|=8-5=3;(2)當AB、AC反向時,|BC|=8+5=13;(3)當AB、AC不共線時,3<|BC|<13.綜上,可知3≤|BC|≤13.答案:C 點評:此題可直接應用重要性質||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.變式訓練

已知a、b、c是三個非零向量,且兩兩不共線,順次將它們的終點和始點相連接而成一三角形的充要條件為a+b+c=0.證明:已知a≠0,b≠0,c≠0,且ab,bc,ca,(1)必要性:作AB=a,BC=b,則由假設CA=c, 另一方面a+b=AB+BC=AC.由于CA與AC是一對相反向量, ∴有AC+CA=0, 故有a+b+c=0.(2)充分性:作AB=a,BC=b,則AC=a+b,又由條件a+b+c=0, ∴AC+c=0.等式兩邊同加CA,得CA+AC+c=CA+0.∴c=CA,故順次將向量a、b、c的終點和始點相連接成一三角形.（四）課堂小結

1.先由學生回顧本節學習的數學知識:相反向量,向量減法的定義,向量減法的幾何意義,向量差的作圖.2.教師與學生一起總結本節學習的數學方法,類比,數形結合,幾何作圖,分類討論.（五）作業