第一篇：《向量的加法運算及其幾何意義》教案

2.2.1向量加法運算及其幾何意義

知識目標(biāo)：

1、掌握向量的加法運算，并理解其幾何意義；

2、會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的 和，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合解決問題的能力；

3、通過將向量運算與熟悉的數(shù)的運算進行類比，使學(xué)生掌握向

量加法運算的交換律和結(jié)合律，并會用它們進行向量計算，滲透類比的數(shù)學(xué)方法； 教學(xué)重點與難點: 教學(xué)重點：會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個

向量的和向量.教學(xué)難點：理解向量加法的定義.教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入

問題1：向量的定義以及相等向量的定義是什么？

1、什么叫向量？

2、長度為零的向量叫做。零向量的方向具有 性。

3、長度等于一個單位的向量叫做。

4、方向相同或相反的非零向量叫做，也叫。

5、長度相等且方向相同的向量叫做。

強調(diào)：向量是既有大小又有方向的量.長度相等、方向相同的向量相等.因此，我們研究的向量是與起點無關(guān)的自由向量，即任何向量

可以在不改變它的方向和大小的前提下，移到任何位置 問題2：數(shù)能進行運算,向量是否也能進行運算呢？

二、探究新知 活動一

元旦假期將到，某人計劃外出去三亞旅游，從重慶（記作A）到昆明（記作B），再從B到三亞（記作C），這兩次的位移和可以用哪個向量表示？ 形成概念： 1． 向量加法的定義

求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。2． 向量加法的法則(1)向量加法的三角形法則

如圖3,已知非零向量a、b,在平面內(nèi)任取一點A,作AB=a,BC=b,則向量AC叫做a與b的和,記作a+b,即a+b=AB+BC=AC.這種求向量和的方法叫做向量加法的三角形法則(2)向量加法的平行四邊形法則

如圖4,以同一點O為起點的兩個已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形,則以O(shè)為起點的對角線OC就是a與b的和.把這種求向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.問題4： 對于零向量與任一向量的加法,結(jié)果又是怎樣的呢？ 對于零向量與任意向量a，我們規(guī)定：a+0=0+a=a.總結(jié): 三角形法則:

圖4

①要特別注意“首尾相接”,即第二個向量要以第一個向量的終點為起點,則由第一個向量的起點指向第二個向量的終點的向量即為和向量.②適用于任何兩個非零向量求和；

②位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型.平行四邊形法則: ①適用于兩個不共線向量求和，且兩向量要共起點； ②力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型.三、應(yīng)用舉例

例1 如圖5，已知向量a、b，求作向量a+b

作法1（三角形法則）：

作法2（平行四邊形法則）：

a 圖5

b

探究合作: ||a|-|b||,|a+b|,|a|,|b|存在著怎樣的關(guān)系？（1）當(dāng)向量a與b不共線時，|a+b| |a|+|b|；（2）當(dāng)a與b同向時，則a+b、a、b（填同向或反向），且|a+b| |a|+|b|；當(dāng)a與b反向時，若|a|>|b|，則a+b的方向與a相同，且|a+b| |a|-|b|；若|a|<|b|，則a+b的方向與b相同，且|a+b| |b|-|a|.結(jié)論：一般地：

四、練習(xí)鞏固： 教材84頁1、2題

五、小結(jié) 1.向量加法的定義 2.向量加法的兩種法則：(1)三角形法則：首尾相接

(2)平行四邊形法則：作平移,共起點,四邊形,連對角

六、作業(yè)：

高考調(diào)研課時作業(yè)十七

????a?b?|a?b|?|a|?|b|

第二篇：2017向量減法運算及其幾何意義教案.doc

2.2.2 向量減法運算及其幾何意義

一、教學(xué)分析

向量減法運算是加法的逆運算.學(xué)生在理解相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的加法運算掌握向量的減法運算.因此,類比數(shù)的減法(減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)),首先引進相反向量的概念,然后引入向量的減法(減去一個向量,等于加上這個向量的相反向量),通過向量減法的三角形法則和平行四邊形法則,結(jié)合一定數(shù)量的例題,深刻理解向量的減法運算.通過闡述向量的減法運算,可以轉(zhuǎn)化為向量加法運算,滲透化歸的數(shù)學(xué)思想,使學(xué)生理解事物之間的相互轉(zhuǎn)化、相互聯(lián)系的辨證思想,同時由于向量的運算能反映出一些物理規(guī)律,從而加強了數(shù)學(xué)學(xué)科與物理學(xué)科之間的聯(lián)系,提高學(xué)生的應(yīng)用意識.二、教學(xué)目標(biāo)：

1、知識與技能：

了解相反向量的概念；掌握向量的減法，會作兩個向量的減向量，并理解其幾何意義。

2、過程與方法：

通過將向量運算與熟悉的數(shù)的運算進行類比，使學(xué)生掌握向量減法運算及其幾何意義，并會用它們進行向量計算，滲透類比的數(shù)學(xué)方法。

3、情感態(tài)度與價值觀：

通過闡述向量的減法運算可以轉(zhuǎn)化成向量的加法運算，使學(xué)生理解事物之間可以相互轉(zhuǎn)化的辯證思想。

三、重點難點

教學(xué)重點:向量的減法運算及其幾何意義.教學(xué)難點:對向量減法定義的理解.四、學(xué)法指導(dǎo)

減法運算是加法運算的逆運算，學(xué)生在理解相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)

合向量的加法運算掌握向量的減法運算；并利用三角形做出減向量。

五、教學(xué)設(shè)想

（一）導(dǎo)入新課

思路1.(問題導(dǎo)入)上節(jié)課,我們定義了向量的加法概念,并給出了求作和向量的兩種方法.由向量的加法運算自然聯(lián)想到向量的減法運算:減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù).向量的減法是否也有類似的法則呢?引導(dǎo)學(xué)生進一步探究,由此展開新課.思路2.(直接導(dǎo)入)數(shù)的減法運算是加法運算的逆運算.本節(jié)課,我們繼續(xù)學(xué)習(xí)向量加法的逆運算——減法.引導(dǎo)學(xué)生去探究、發(fā)現(xiàn).（二）推進新課、新知探究、提出問題

①向量是否有減法？

②向量進行減法運算,必須先引進一個什么樣的新概念？ ③如何理解向量的減法？

④向量的加法運算有平行四邊形法則和三角形法則,那么,向量的減法是否也有類似的法則？

活動:數(shù)的減法運算是數(shù)的加法運算的逆運算,數(shù)的減法定義即減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù),因此定義數(shù)的減法運算,必須先引進一個相反數(shù)的概念.類似地,向量的減法運算也可定義為向量加法運算的逆運算.可類比數(shù)的減法運算,我們定義向量的減法運算,也應(yīng)引進一個新的概念,這個概念又該如何定義? 引導(dǎo)學(xué)生思考,相反向量有哪些性質(zhì)? 由于方向反轉(zhuǎn)兩次仍回到原來的方向,因此a和-a互為相反向量.于是-(-a)=a.我們規(guī)定,零向量的相反向量仍是零向量.任一向量與其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果a、b是互為相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(1)平行四邊形法則

圖1 如圖1,設(shè)向量AB=b,AC=a,則AD=-b,由向量減法的定義,知AE=a+(-b)=a-b.又b+BC=a,所以BC=a-b.由此,我們得到a-b的作圖方法.圖2(2)三角形法則

如圖2,已知a、b,在平面內(nèi)任取一點O,作OA=a,OB=b,則BA=a-b,即a-b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量,這是向量減法的幾何意義.討論結(jié)果:①向量也有減法運算.②定義向量減法運算之前,應(yīng)先引進相反向量.與數(shù)x的相反數(shù)是-x類似,我們規(guī)定,與a長度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,記作-a.③向量減法的定義.我們定義

a-b=a+(-b), 即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量.規(guī)定:零向量的相反向量是零向量.④向量的減法運算也有平行四邊形法則和三角形法則,這也正是向量的運算的幾何意義所在,是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn).提出問題

①上圖中,如果從a的終點到b的終點作向量,那么所得向量是什么? ②改變上圖中向量a、b的方向使a∥b,怎樣作出a-b呢? 討論結(jié)果:①AB=b-a.②略.（三）應(yīng)用示例

如圖3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.圖3

活動:教師讓學(xué)生親自動手操作,引導(dǎo)學(xué)生注意規(guī)范操作,為以后解題打下良好基礎(chǔ);點撥學(xué)生根據(jù)向量減法的三角形法則,需要選點平

移作出兩個同起點的向量.作法:如圖3(2),在平面內(nèi)任取一點O,作OA=a,OB=b,OC=c,OD=d.則BA=a-b,DC=c-d.變式訓(xùn)練

(2006上海高考)在ABCD中,下列結(jié)論中錯誤的是（）A.AB=DC

B.AD+AB=AC

C.AB-AD=BD

D.AD+BC=0 分析:A顯然正確,由平行四邊形法則可知B正確,C中,AB-AD=BD錯誤,D中,AD+BC=AD+DA=0正確.答案:C

例2 如圖4,ABCD中, AB=a,AD=b,你能用a、b表示向量AC、DB嗎?

圖4

活動:本例是用兩個向量表示幾何圖形中的其他向量,這是用向量證明幾何問題的基礎(chǔ).要多注意這方面的訓(xùn)練,特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對角線的關(guān)系.解:由向量加法的平行四邊形法則,我們知道AC=a+b, 同樣,由向量的減法,知DB=AB-AD=a-b.變式訓(xùn)練

1.(2005高考模擬)已知一點O到ABCD的3個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c,則向量OD等于（）A.a+b+c

B.a-b+c

C.a+b-c

D.a-b-c

圖5 解析:如圖5,點O到平行四邊形的三個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c, 結(jié)合圖形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B 2.若AC=a+b,DB=a-b.①當(dāng)a、b滿足什么條件時,a+b與a-b垂直？ ②當(dāng)a、b滿足什么條件時,|a+b|=|a-b|？

③當(dāng)a、b滿足什么條件時,a+b平分a與b所夾的角 ？ ④a+b與a-b可能是相等向量嗎？

圖6 解析:如圖6,用向量構(gòu)建平行四邊形,其中向量AC、DB恰為平行四邊形的對角線.由平行四邊形法則,得

AC=a+b,DB=AB-AD=a-b.由此問題就可轉(zhuǎn)換為: ①當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時,對角線互相垂直？(|a|=|b|)②當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時,對角線相等？(a、b互相垂直)③當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時,對角線平分內(nèi)角？(a、b相等)④a+b與a-b可能是相等向量嗎？(不可能,因為對角線方向不同)

點評:靈活的構(gòu)想,獨特巧妙,數(shù)形結(jié)合思想得到充分體現(xiàn).由此我們可以想到在解決向量問題時,可以利用向量的幾何意義構(gòu)造幾何圖形,轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,這就是數(shù)形結(jié)合解題的威力與魅力,教師引導(dǎo)學(xué)生注意領(lǐng)悟.例3 判斷題:(1)若非零向量a與b的方向相同或相反,則a+b的方向必與a、b之一的方向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,則A、B、C三點是一個三角形的三頂點.(4)|a+b|≥|a-b|.活動:根據(jù)向量的加、減法及其幾何意義.解:(1)a與b方向相同,則a+b的方向與a和b方向都相同;若a與b方向相反,則有可能a與b互為相反向量, 此時a+b=0的方向不確定,說與a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法則AB+BC=AC,AC與CA是互為相反向量,所以有上述結(jié)論.(3)因為當(dāng)A、B、C三點共線時也有AB+BC+AC=0,而此時構(gòu)不成三角形.(4)當(dāng)a與b不共線時,|a+b|與|a-b|分別表示以a和b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長,其大小不定.當(dāng)a、b為非零向量共線時,同向則有|a+b|>|a-b|,異向則有|a+b|<|a-b|;當(dāng)a、b中有零向量時,|a+b|=|a-b|.綜上所述,只有(2)正確.例4 若|AB|=8,|AC|=5,則|BC|的取值范圍是（）A.[3,8]

B.(3,8)

C.[3,13]

D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)當(dāng)AB、AC同向時,|BC|=8-5=3;(2)當(dāng)AB、AC反向時,|BC|=8+5=13;(3)當(dāng)AB、AC不共線時,3<|BC|<13.綜上,可知3≤|BC|≤13.答案:C 點評:此題可直接應(yīng)用重要性質(zhì)||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.變式訓(xùn)練

已知a、b、c是三個非零向量,且兩兩不共線,順次將它們的終點和始點相連接而成一三角形的充要條件為a+b+c=0.證明:已知a≠0,b≠0,c≠0,且ab,bc,ca,(1)必要性:作AB=a,BC=b,則由假設(shè)CA=c, 另一方面a+b=AB+BC=AC.由于CA與AC是一對相反向量, ∴有AC+CA=0, 故有a+b+c=0.(2)充分性:作AB=a,BC=b,則AC=a+b,又由條件a+b+c=0, ∴AC+c=0.等式兩邊同加CA,得CA+AC+c=CA+0.∴c=CA,故順次將向量a、b、c的終點和始點相連接成一三角形.（四）課堂小結(jié)

1.先由學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識:相反向量,向量減法的定義,向量減法的幾何意義,向量差的作圖.2.教師與學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法,類比,數(shù)形結(jié)合,幾何作圖,分類討論.（五）作業(yè)

第三篇：《平面向量加法運算及其幾何意義 》教學(xué)設(shè)計

《平面向量加法運算及其幾何意義 》教學(xué)設(shè)計

〖教學(xué)目標(biāo)〗

（1）知識與技能：理解掌握向量加法運算，能夠運用向量加法三角形法則和平行四邊形法則求任意兩個向量的和向量；初步嘗試用向量方法解決幾何問題及實際問題；

（2）過程與方法：經(jīng)歷概念的形式過程，提高數(shù)學(xué)建設(shè)模能力；通過自主探究活動，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，提高概括、分析歸納，數(shù)學(xué)表達等基本數(shù)學(xué)思維能力；（3）情態(tài)與價值：通過師生互動，生生互動的教學(xué)活動，形成學(xué)生的體驗性認識，體會成功的愉悅，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。形成鍥而不舍的鉆研精神和合作交流的科學(xué)態(tài)度。

〖教學(xué)重點、難點〗

教學(xué)重點：理解向量加法的意義，掌握向量加法三角形法則和平行四邊形法則； 教學(xué)難點：向量加法概念的形成過程；

〖教學(xué)方法與教學(xué)手段〗 教學(xué)方法：啟發(fā)探究式教學(xué) 教學(xué)手段：多媒體輔助教學(xué)

〖教學(xué)過程〗

一、設(shè)置情境、嘗試探求 1．設(shè)置問題情境

今年夏天，我國某些地區(qū)洪災(zāi)泛濫，某城外有一條東西流向的大河，河兩岸高筑堤壩，河寬4km, 水深10km，當(dāng)時河水流速為4km/h, 有一天，三名巡防隊員在巡邏中發(fā)現(xiàn)正對岸堤壩有一處決口，情急之下，三人跳上船以8km/h 的速度直向決口處駛?cè)ィ瑢W(xué)們想一想，如果船不改變方向，他們能否準(zhǔn)確、及時到達出事地點？

2、學(xué)生自主探究與研討 學(xué)生會直觀猜測：不能及時準(zhǔn)確及時到達（有了猜測就有探式的欲望）

V船

V

教師引導(dǎo)學(xué)生：能否運用你所學(xué)的知識進行說明；

V水

學(xué)生得出：船的實際速度應(yīng)是船行駛速度和水的速度的合成。如圖

教師小結(jié)：速度是一個看矢量，矢量的合成與數(shù)量相加不同，要同時考慮方向。提問，根據(jù)已有知識你還能舉出一些有關(guān)矢量合成的例子嗎？

3、師生共同探究

學(xué)生舉例：（1）位移的合成（2）力的合成；（1）如圖：某對象從A點經(jīng)B點到C點，兩次位移點的位移 結(jié)果相同。

，的結(jié)果，與A點直接到C

（2）如圖：表示橡皮條在兩個力F1、F2的作用下，沿GE的方向伸長了EO，與力F的作用結(jié)果相同。

教師：兩個既有大小又有方向的量的合成運算，物理上叫做矢量的合成，在數(shù)學(xué)上叫做向量的加法。

二、形成概念，歸納方法。

向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法

1、提問：對于平面上任意兩個向量，如何定義它們的加法？ 同學(xué)們?nèi)我庾鞒鰞蓚€向量試一試。

2、學(xué)生自主探究 學(xué)生可能答案：

（1）共起點的兩個向量相加，用平行四邊形法則；

（2）首尾相接的兩個向量相加，模仿位移的合成，作出和向量；（3）任意兩個向量相加，先平移到共點，再作出和向量；（4）共線的兩個向量相加（同向或反向）

3、交流、研討、辯析 投影同學(xué)們的研究成果，引導(dǎo)學(xué)生對幾種作圖方法進行辯析，它們有什么共同和不同之處？如何理解“任意”？和向量的方向和大小有何變化？能否對作圖過程進行語言表達。

4、歸納總結(jié)

在師生、生生的互動交流中，形成以下共識：

一、向量加法的定義

1、三角形法則：

已知非零向量a、ｂ.在平面內(nèi)任取一點和，記作a＋ｂ，即 a＋ｂ，作

=a，=ｂ，則向量

叫做a與ｂ的 a

a＋ｂ ｂ

ｂ

a

位移合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型

2平行四邊形法則

以同一點O為起點的兩個已知向量a、ｂ，為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點的對角線就是與的和。

力的合成可以看作向量加法平行四邊形法則的物理模型。對于零向量與任一向量我們規(guī)定：

提問：你能從向量加法的幾何意義，說明規(guī)定的合理性嗎？

思考：當(dāng)在數(shù)軸表示兩個共線向量時，它們的加法與數(shù)的加法有什么關(guān)系？ a a

ｂ ｂ

a+b

a+b

探究：|+|與||+||的大小關(guān)系：

當(dāng)向量與不共線時，|+|<||+||； 一般的有：|+|≤||+|| 思考：、處于什么位置時，（1）|+|=||+||（2）|+|=||-||（或|+b|=||-||）

三、實踐探索 形成能力

1、探究：數(shù)的加法滿足交換侓和結(jié)合侓，即對任意a、b a+b=b+a(a+b)+c= a+(b+c)任意向量、的加法是否也滿足交換侓和結(jié)合侓？（1）讓學(xué)生通過畫圖探索驗證：+=+（2）提問：你能否驗證：

有

(+)+=+(+)

小結(jié)：向量的加法滿足交換律：+=+ 向量的加法滿足結(jié)合律：(+)+=+(+)

2、練習(xí)P93 3、4題

3、例2：長江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過輪渡進行運輸，如圖2.2-12所示，一艘船從長江南岸A點出發(fā)，以5km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時江水的速度為向東2km/h。

（1）試用向量表示江水速度、船速以及船實際航行的速度（保留兩個有效數(shù)字）；（2）求船實際航行的速度的大小與方向（用與江水速度間的夾角表示，精確到度）（引導(dǎo)學(xué)生正確理解題意，把問題化歸為向量的加法運算。注意規(guī)范學(xué)生的解題格式。）

4、鞏固作業(yè)

（1）P103習(xí)題2。2：第２，３，4（1）（2）（3）題（2）選做題：在△ABC中，求證：

四、歸納小結(jié)：內(nèi)化知識

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們談?wù)勛约后w會最深刻的是什么？

1、向量加法的幾何意義； ２、交換律和結(jié)合律；

３、注意：|+| ≤ || + ||，當(dāng)且僅當(dāng)方向相同時取等號.

第四篇：《2.2.1向量加法運算及其幾何意義》教學(xué)設(shè)計說明

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第五篇：示范教案(2.2.2向量減法運算及其幾何意義)

2.2.2 向量減法運算及其幾何意義

整體設(shè)計

教學(xué)分析

向量減法運算是加法的逆運算.學(xué)生在理解相反向量的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的加法運算掌握向量的減法運算.因此,類比數(shù)的減法(減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)),首先引進相反向量的概念,然后引入向量的減法(減去一個向量,等于加上這個向量的相反向量),通過向量減法的三角形法則和平行四邊形法則,結(jié)合一定數(shù)量的例題,深刻理解向量的減法運算.通過闡述向量的減法運算,可以轉(zhuǎn)化為向量加法運算,滲透化歸的數(shù)學(xué)思想,使學(xué)生理解事物之間的相互轉(zhuǎn)化、相互聯(lián)系的辨證思想,同時由于向量的運算能反映出一些物理規(guī)律,從而加強了數(shù)學(xué)學(xué)科與物理學(xué)科之間的聯(lián)系,提高學(xué)生的應(yīng)用意識.三維目標(biāo)

1.通過探究活動,使學(xué)生掌握向量減法概念,理解兩個向量的減法就是轉(zhuǎn)化為加法來進行,掌握相反向量.2.啟發(fā)學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)問題和提出問題,善于獨立思考,學(xué)會分析問題和創(chuàng)造地解決問題.能熟練地掌握用三角形法則和平行四邊形法則作出兩向量的差向量.重點難點

教學(xué)重點:向量的減法運算及其幾何意義.教學(xué)難點:對向量減法定義的理解.課時安排 1課時

教學(xué)過程

導(dǎo)入新課

思路1.(問題導(dǎo)入)上節(jié)課,我們定義了向量的加法概念,并給出了求作和向量的兩種方法.由向量的加法運算自然聯(lián)想到向量的減法運算:減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù).向量的減法是否也有類似的法則呢?引導(dǎo)學(xué)生進一步探究,由此展開新課.思路2.(直接導(dǎo)入)數(shù)的減法運算是加法運算的逆運算.本節(jié)課,我們繼續(xù)學(xué)習(xí)向量加法的逆運算——減法.引導(dǎo)學(xué)生去探究、發(fā)現(xiàn).推進新課 新知探究 提出問題

①向量是否有減法？

②向量進行減法運算,必須先引進一個什么樣的新概念？ ③如何理解向量的減法？

④向量的加法運算有平行四邊形法則和三角形法則,那么,向量的減法是否也有類似的法則？

活動:數(shù)的減法運算是數(shù)的加法運算的逆運算,數(shù)的減法定義即減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù),因此定義數(shù)的減法運算,必須先引進一個相反數(shù)的概念.類似地,向量的減法運算也可定義為向量加法運算的逆運算.可類比數(shù)的減法運算,我們定義向量的減法運算,也應(yīng)引進一個新的概念,這個概念又該如何定義? 引導(dǎo)學(xué)生思考,相反向量有哪些性質(zhì)? 由于方向反轉(zhuǎn)兩次仍回到原來的方向,因此a和-a互為相反向量.于是-(-a)=a.我們規(guī)定,零向量的相反向量仍是零向量.任一向量與其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果a、b是互為相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(1)平行四邊形法則

圖1 如圖1,設(shè)向量AB=b,AC=a,則AD=-b,由向量減法的定義,知AE=a+(-b)=a-b.又b+BC=a,所以BC=a-b.由此,我們得到a-b的作圖方法.圖2(2)三角形法則

如圖2,已知a、b,在平面內(nèi)任取一點O,作OA=a,OB=b,則BA=a-b,即a-b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量,這是向量減法的幾何意義.討論結(jié)果:①向量也有減法運算.②定義向量減法運算之前,應(yīng)先引進相反向量.與數(shù)x的相反數(shù)是-x類似,我們規(guī)定,與a長度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,記作-a.③向量減法的定義.我們定義

a-b=a+(-b), 即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量.規(guī)定:零向量的相反向量是零向量.④向量的減法運算也有平行四邊形法則和三角形法則,這也正是向量的運算的幾何意義所在,是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn).提出問題

①上圖中,如果從a的終點到b的終點作向量,那么所得向量是什么? ②改變上圖中向量a、b的方向使a∥b,怎樣作出a-b呢? 討論結(jié)果:①AB=b-a.②略.應(yīng)用示例

如圖3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.圖3

活動:教師讓學(xué)生親自動手操作,引導(dǎo)學(xué)生注意規(guī)范操作,為以后解題打下良好基礎(chǔ);點撥學(xué)生根據(jù)向量減法的三角形法則,需要選點平移作出兩個同起點的向量.作法:如圖3(2),在平面內(nèi)任取一點O,作OA=a,OB=b,OC=c,OD=d.則BA=a-b,DC=c-d.變式訓(xùn)練

(2006上海高考)在ABCD中,下列結(jié)論中錯誤的是（）A.AB=DC

B.AD+AB=AC

C.AB-AD=BD

D.AD+BC=0 分析:A顯然正確,由平行四邊形法則可知B正確,C中,AB-AD=BD錯誤,D中,AD+BC=AD+DA=0正確.答案:C 例2 如圖4,ABCD中, AB=a,AD=b,你能用a、b表示向量AC、DB嗎?

圖4

活動:本例是用兩個向量表示幾何圖形中的其他向量,這是用向量證明幾何問題的基礎(chǔ).要多注意這方面的訓(xùn)練,特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對角線的關(guān)系.解:由向量加法的平行四邊形法則,我們知道AC=a+b, 同樣,由向量的減法,知DB=AB-AD=a-b.變式訓(xùn)練

1.(2005高考模擬)已知一點O到向量OD等于（）A.a+b+c

B.a-b+c

C.a+b-c

D.a-b-c

ABCD的3個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c,則

圖5 解析:如圖5,點O到平行四邊形的三個頂點A、B、C的向量分別是a、b、c, 結(jié)合圖形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B 2.若AC=a+b,DB=a-b.①當(dāng)a、b滿足什么條件時,a+b與a-b垂直？ ②當(dāng)a、b滿足什么條件時,|a+b|=|a-b|？

③當(dāng)a、b滿足什么條件時,a+b平分a與b所夾的角 ？

④a+b與a-b可能是相等向量嗎？

圖6 解析:如圖6,用向量構(gòu)建平行四邊形,其中向量AC、DB恰為平行四邊形的對角線.由平行四邊形法則,得

AC=a+b,DB=AB-AD=a-b.由此問題就可轉(zhuǎn)換為: ①當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時,對角線互相垂直？(|a|=|b|)②當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時,對角線相等？(a、b互相垂直)③當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時,對角線平分內(nèi)角？(a、b相等)④a+b與a-b可能是相等向量嗎？(不可能,因為對角線方向不同)

點評:靈活的構(gòu)想,獨特巧妙,數(shù)形結(jié)合思想得到充分體現(xiàn).由此我們可以想到在解決向量問題時,可以利用向量的幾何意義構(gòu)造幾何圖形,轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,這就是數(shù)形結(jié)合解題的威力與魅力,教師引導(dǎo)學(xué)生注意領(lǐng)悟.例3 判斷題:(1)若非零向量a與b的方向相同或相反,則a+b的方向必與a、b之一的方向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,則A、B、C三點是一個三角形的三頂點.(4)|a+b|≥|a-b|.活動:根據(jù)向量的加、減法及其幾何意義.解:(1)a與b方向相同,則a+b的方向與a和b方向都相同;若a與b方向相反,則有可能a與b互為相反向量, 此時a+b=0的方向不確定,說與a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法則AB+BC=AC,AC與CA是互為相反向量,所以有上述結(jié)論.(3)因為當(dāng)A、B、C三點共線時也有AB+BC+AC=0,而此時構(gòu)不成三角形.(4)當(dāng)a與b不共線時,|a+b|與|a-b|分別表示以a和b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長,其大小不定.當(dāng)a、b為非零向量共線時,同向則有|a+b|>|a-b|,異向則有|a+b|<|a-b|;當(dāng)a、b中有零向量時,|a+b|=|a-b|.綜上所述,只有(2)正確.例4 若|AB|=8,|AC|=5,則|BC|的取值范圍是（）A.[3,8]

B.(3,8)

C.[3,13]

D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)當(dāng)AB、AC同向時,|BC|=8-5=3;

(2)當(dāng)AB、AC反向時,|BC|=8+5=13;(3)當(dāng)AB、AC不共線時,3<|BC|<13.綜上,可知3≤|BC|≤13.答案:C 點評:此題可直接應(yīng)用重要性質(zhì)||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.變式訓(xùn)練

已知a、b、c是三個非零向量,且兩兩不共線,順次將它們的終點和始點相連接而成一三角形的充要條件為a+b+c=0.證明:已知a≠0,b≠0,c≠0,且a

b,b

c,c

a,(1)必要性:作AB=a,BC=b,則由假設(shè)CA=c, 另一方面a+b=AB+BC=AC.由于CA與AC是一對相反向量, ∴有AC+CA=0, 故有a+b+c=0.(2)充分性:作AB=a,BC=b,則AC=a+b,又由條件a+b+c=0, ∴AC+c=0.等式兩邊同加CA,得CA+AC+c=CA+0.∴c=CA,故順次將向量a、b、c的終點和始點相連接成一三角形.知能訓(xùn)練 課本本節(jié)練習(xí)解答: 1.直接在課本上據(jù)原圖作(這里從略).2.DB,CA,AC,AD,BA.點評:解題中可以將減法變成加法運算,如AB-AD=DA+AB=DB,這樣計算比較簡便.3.圖略.課堂小結(jié)

1.先由學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識:相反向量,向量減法的定義,向量減法的幾何意義,向量差的作圖.2.教師與學(xué)生一起總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法,類比,數(shù)形結(jié)合,幾何作圖,分類討論.作業(yè)

課本習(xí)題2.2 A組6、7、8.設(shè)計感想

1.向量減法的幾何意義主要是結(jié)合平行四邊形法則和三角形法則進行講解的,兩種作圖方法各有千秋.第一種作法結(jié)合向量減法的定義,第二種作法結(jié)合向量的平行四邊形法則,直接作出從同一點出發(fā)的兩個向量a、b的差,即a-b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量,第二種作圖方法比較簡捷.2.鑒于上述情況,教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合向量減法的幾何意義,注意差向量的方向,也就是箭頭的方向不要搞錯了,a-b的箭頭方向要指向a,如果指向b則表示b-a,在幾何證明題目中,特別要掌握用向量表示平行四邊形的四條邊與兩條對角線的關(guān)系.