第一篇：新人教版四年級《點到直線的距離》教學設計與反思（最終版）

教學內容：第59頁

教學目標

1、讓學生經歷垂直線段的性質的探索過程，知道從直線外一點到已知直線所畫的線段中垂直線段最短，知道點到直線的距離。

2、會測量點到直線的距離，會利用垂直線段的性質解釋一些生活現象。

3、讓學生在學習過程中進一步發展觀察能力、實踐能力，體會數與形的聯系，發展空間觀念。

4、讓學生進一步體會數學和現實生活的聯系，進一步培養數學應用意識和學習數學的積極情感。

教學重點、難點：

認識點到直線的距離，并能解決一些實際的問題。教學準備：課件

教學過程設計

一、導入

1、提問：在同一個平面內兩條直線的位置關系有哪幾種特殊情況？特殊在哪兒？

2、談話：請大家在白紙上畫一條直線，在較遠處畫一個點A，并利用工具經過A點畫出已知直線的垂線。

學生畫圖，指名到黑板上板演。指出垂足。

3、談話：今天這節課我們要繼續學習有關垂直的重要知識——點到直線的距離（板書課題）

二、新授

（一）認識“點到直線的距離”

1、剛才大家過A點作直線的垂線，那么，從A點到垂足之間的這條線是線段？還是射線？還是直線？

2、教師指出：從A點到垂足之間這條垂直線段的長度，叫做這點到這條直線的距離。

指明學生說說什么叫“點到直線的距離”

（二）認識垂直線段的性質

1、談話：剛才我們畫了從A點到直線的垂直線段。你能從A點向直線畫幾條不垂直的線段嗎？任意畫幾條。

2、把這些線段的長度與剛才那條垂直線段的長度比一比，你發現了什么？

3、把你的發現與同桌交流一下。

4、指名交流。

5、小結：正因為這條垂直的線段最段，所以“點到直線的距離”其實就是指這個點到這條直線的垂直線段的長度。

三、鞏固練習：第59頁上“做一做”

（一）第1題：

1、出示題目，談話：題目要求我們量出點到直線的距離，那么什么是點到直線的距離？

2、學生動手作圖，測量。

3、匯報測量結果。

（二）第2題：

1、指明說明題目要求

2、學生操作

3、交流操作結果。

4、你發現了什么？先和同桌說一說，再指名交流。

5、小結：兩條平行線之間可以畫無數條垂直線段，這些垂直線段的長度都相等。我們也可以說：平行線之間的距離處處相等。這個結論很重要，而且在生活中廣泛的運用。

6、到現在為止，我們已經研究了關于圖形距離的三種情況：（1）兩點之間的距離

（2）點到直線的距離

（3）兩條平行線之間的距離。

你能畫圖表示這三種距離嗎？

學生畫圖表示，同桌交流，展出學生畫圖情況。

四、練習十第7-11題

五、總結全課：這節課你學會了什么知識?

課前思考：

本節課的重點是點到直線的距離，課堂上要通過討論讓學生明確：一個點到一條直線可以畫出無數條直線，但是這個點到已知直線的距離只有一條，而這條就是可以借助畫垂線得到，課堂上引導學生通過親自測量、比較自己得出結論：從直線外一點到這條直線所畫的垂直線段的長度最短。

本節課還有一個不是新授的重點是畫出平行線之間的距離，需要讓學生在動手畫垂線的過程中體會，（1）像這樣的垂線可以畫出無數條，（2）當一條垂線與一組平行線中的一條直線垂直，那么這條垂線與另一條直線也是垂直的，（3）通過測量發現平行線之間的距離是處處相等的。

本節課還有一個不是新授的重點是畫出平行線之間的距離，需要讓學生在動手畫垂線的過程中體會，（1）像這樣的垂線可以畫出無數條，（2）當一條垂線與一組平行線中的一條直線垂直，那么這條垂線與另一條直線也是垂直的，（3）通過測量發現平行線之間的距離是處處相等的。

教后反思：

第59頁例題從Ａ點向一條已知直線畫出了一些線段，其中有一條線段與已知直線垂直，其他線段都不和已知直線垂直。讓學生量一量畫出的這些線段的長度，學生能發現垂直線段的長度最短，并體會到這個發現是合理的。教材適時告訴學生“所畫的垂直線段的長度，是點到已知直線的距離”，并通過第59頁第１題鞏固這個知識。第59頁第２題在兩條平行線中間，畫幾條與平行線都垂直的線段，并量量畫出的線段的長度。學生能從中發現，畫出的這些線段的長度都相等，從而進一步體會兩條互相平行的直線為什么永遠不會相交，也為畫已知直線的平行線增添了新的操作方法。

第二篇：《畫垂線、點到直線距離》教學設計

《畫垂線、點到直線的距離》教學設計

教學內容：人教版四年級上冊P58頁例

2、P59例3 教學目標：

1、使學生經歷畫垂線的過程，正確掌握畫垂線的方法。

2、通過動手操作活動，學會用三角板準確的畫垂線，會驗證兩條直線是否互相垂直。培養學生的作圖能力。

3、認識垂線的性質。

4、培養學生良好的觀察能力、作圖能力和應用意識。教學重難點：

1、畫垂線，使學生明確垂線的重要性質，直線外一點到這條直線間的距離垂線最短。

2、垂線的畫法。

教學準備：課件、三角板、直尺 教學過程：

一、創設情境

生成問題

1、回憶一下，你記得什么叫垂直嗎？

2、看我們的數學書，每兩條邊都是怎樣的？怎樣用三角板畫垂線呢？這節課我們來學習畫垂線

板書課題：畫垂線

二、探索交流，解決 問題。

1、過直線上一點畫這條直線的垂線三角板上有一個角是直角，通常可以用三角尺來畫垂線。（1）先畫一條直線。（2）把三角板的一條直角邊與這條直線重合，沿著另一條直角邊畫出的直線就是前一條直線的垂線（直角頂點是垂足）。強調：讓三角板的直角頂點落在給定的這點上。（3）學生嘗試畫過直線上一點畫這條直線的垂線

2、過直線外一點畫這條直線的垂線（1）學生先嘗試畫（2）師示范：

畫線前讓三角尺的另一條直角邊通過這個已知點。

一般用左手持三角板，右手畫線。當要求直線通過其一點時，要考慮到筆畫的粗細度，三角板的邊與已知點之間可稍留一些空隙。

3、教師講解示范后，學生自己動手嘗試著畫一個，然后互相交流一下。

過直線外一點畫這條直線垂線，該怎么畫呢？學生動手嘗試，小組內交流。

4、直線外一點Ａ與直線上任意一點連接起來，可以畫出很多條線段。（1）學生獨立的畫出幾條線段，其中包括一條垂線。（2）小組內研究交流：這幾條線段在長度上有什么特點？（3）匯報：

小結：從直線外一點到這條直線所畫的垂直線段最短，它的長度叫做這點到直線的距離。

三、鞏固應用

內化提高

1、６８頁４題畫一畫（1）

2、６９頁５題 我們在測定跳遠成績時，怎樣測量比較準確呢？為什么？

3、６９頁６題：怎樣修路最近呢？

四、回顧整理

反思提升

通過學習畫垂線，你有什么體會？

拓展延伸：課本第69頁第8題

你能用一把直尺和一個量角器畫一條直線的垂線嗎？

第三篇：《點到直線的距離》教學設計人教版原創

《點到直線的距離》教學設計

常州市第二中學 季明銀

一、教學設計意圖：

本節內容是“直線的方程”的最后一個內容，它是在研究了直線的方程和兩直線的位置關系的基礎上，探索如何用坐標和方程來定量研究距離問題，既是對前面知識體系的完善，又為后面研究直線與圓、圓與圓的位置關系奠定基礎。具有承上啟下的作用。同時，教材通過讓學生經歷點到直線的距離公式的探究與應用過程，進一步體會解析幾何的本質：用代數方法解決幾何問題。

二、教學目標描述：

知識與技能：探索并掌握點到直線的距離公式，會求兩平行線間的距離。能力與方法：經歷點到直線的距離公式的探究與應用過程，體驗用數形結合、轉化、函數等數學思想來解決數學問題的方法，形成用代數方法解決幾何問題的能力；通過不同形式的自主學習和探究活動，體驗數學發現和創造的歷程，提高抽象概括，分析總結，數學表達等基本數學思維能力。

情感、態度與價值觀：通過師生互動、生生互動的教學活動過程，形成學生的體驗性認識，體會成功的愉悅，提高數學學習的興趣，樹立學好數學的信心，形成鍥而不舍的鉆研精神和合作交流的科學態度。

三、教學過程設計

1、創設問題情境

本節課的課題引入方式有多種，可以通過實際問題引題，也可以直接引題。我設計通過提出問題：“初中平面幾何中，已知一點和一條直線，如何求點到直線的距離？”來創設問題情景，調動學生積極思維，盡快投入到課堂中來，同時通過復習，再現點到直線距離公式的幾何特征，為一部分同學掃除知識障礙，為后面“學生自主探索”環節中“幾何問題代數化”埋下伏筆。

2、知識建構

（1）、自主探究與研討

在上一環節的基礎上，建立坐標系，提出：“如何用解析幾何的方法解決上述問題？”引出本節課要研究的主要問題，通過大屏幕展示出來，布置學生自主探究，這一過程分兩個階段，一是獨立思考階段：首先給學生2-3分鐘獨立思考的時間，使學生完成從“形”到“數”的思維轉化，初步形成自己的思路；二是合作交流階段：按學習小組交流、討論，最后整理出本組同學所想到的各種解決教師所提問題的思路。這樣設計的目的是：通過不同形式，給學生探索的空間，體現學生的主體地位，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，提高分析問題的能力。

（2）、師生共同辨析研討

（1）、通過多種方法的呈現，使學生逐步體會到用數形結合，轉化、函數等數學思想解決問題的方法，提高學生發散思維。

（2）、在整個交流討論中，教師既有對正確認識的贊賞，又有對錯誤見解的分析及對本人的鼓勵，使學生在合作交流、與人分享、探討的氛圍中傾聽、質疑、表述，體驗成功的喜悅，學會合作，并在合作中懂得欣賞他人。

（3）、教師在展示各種思路時，有意識的以程序框圖的形式出現，融入算法思想，符合教材特點，為以后學習算法作鋪墊。

教材中給出的推導方法，技巧性強，學生不易想到，需要教師進行引導，思路一雖然運算過程繁雜，但對教材中的思路有一定的啟迪作用。因此，對思路一給學生一定的時間進行求解，有的學生能夠推導出來，但是大多數學生則在得到（1），（2）兩式后遇到障礙，此時教師加以引導“P0點的坐標能否設而不求？” 并且引導學生作如下分析：要求點到直線的距離d，就要求，也就是要求 =，由此想到，能否將 或 或 作為整體出現？再觀察（1）、（2）兩式的特點，從而想到將（2）式變形，湊成(3)，觀察（1）、（3）系數的特點，就能想到兩式平方相加，使難點得以突破。這一方法既簡化了運算過程；又不需要對A、B是否為零進行討論。（3）、能力提升

1、推導出公式后，本環節通過例題解答和鞏固練習，得到求點到直線的距離的計算步驟。使學生悟出公式特征及使用公式時應注意的問題，通過不同形式的練習讓學生掌握公式結構，能熟練運用公式。其中，練習第一題可直接帶入公式計算；第二題中直線與x軸垂直，學生可以帶入公式求解，2、將教材中的例題2改為“開放式”，提出問題2：探究兩平行直線：，之間的距離公式，并給出證明。使學生在上次成功體驗的基礎上，再次探究，將兩平行線間的距離化為點到直線的距離，既是對點到直線距離的靈活運用，又使學生充分體驗數學中的類比、轉化思想。學生得出兩平行線間的距離公式引導學生分析公式特點，說明用途并進行練習。至此，基本完成本節課的預定目標。

（4）總結和評估

讓學生大膽發言，歸納總結本節課的收獲，教師及時點評并歸納總結，通過大屏幕展示出來，使學生對所學內容有一個系統的認識。在本節課中充分體現了“整體代換”的運算技巧。掌握這一技巧，對后面選修教材中《圓錐曲線》的學習具有一定啟迪作用；同時，培養學生在《解析幾何》的學習中優化運算過程的意識。在情感態度方面，鼓勵學生在困難面前要樹立信心，多角度分析問題，形成鍥而不舍的鉆研精神。

四、教后反思

學生在解決問題的的過程中，由于課堂時間有限，學生討論給出的方法在課堂上不能一一實現，根據學生的認知水平，思路一學生很容易想到，所以從思路一入手進行公式推導。其他方法作為課后研究性學習的作業，學生在課堂研究的基礎上繼續探究，尋求更多的解決問題的方法，并用各種方法完成公式的推導，將該部分知識加以升華。同時鼓勵學生自己動手學寫論文：《求點到直線的距離方法種種》，使學生將課堂所學內容進一步認識和升華。

第四篇：高中數學 點到直線的距離教案 新人教A版必修2

點到直線的距離

一、教材分析

1．教學內容

《點到直線的距離》是全日制普通高級中學教科書（必修·人民教育出版社）第二冊（上），“§7．3兩條直線的位置關系”的第四節課，主要內容是點到直線的距離公式的推導過程和公式應用．

2．地位與作用

本節對“點到直線的距離”的認識，是從初中平面幾何的定性作圖，過渡到了高中解析幾何的定量計算，其學習的平臺是學生已掌握了直線傾斜角、斜率、直線方程和兩條直線的位置關系等相關知識．對本節的研究，為以后直線與圓的位置關系和圓錐曲線的進一步學習，奠定了基礎，具有承上啟下的重要作用．

二、目標分析

１．學情分析

我校高二年級學生已掌握了三角函數、平面向量等有關知識，具備了一定的利用代數方法研究幾何問題的能力．我班學生基礎知識比較扎實、思維較活躍，但處理抽象問題的能力還有待進一步提高．

２．教學目標

根據新課程標準的理念以及前面對教材、學情的分析，我制定了如下教學目標．

【知識技能】

⑴ 理解點到直線的距離公式的推導過程；

用心

愛心

專心 ⑵ 掌握點到直線的距離公式； ⑶ 掌握點到直線的距離公式的應用． 【數學思考】

⑴ 通過探索點到直線的距離公式的推導過程，滲透算法的思想；

⑵ 通過自學教材上利用直角三角形的面積公式的推導過程，培養學生的數學閱讀能力；

⑶ 通過靈活運用公式的過程，提高學生類比化歸、數形結合的能力． 【解決問題】

由探索點到直線的距離，推廣到探索點到直線的距離的過程中，使學生體會由特殊到一般、從具體到抽象的數學研究方法，并使學生在經歷反饋練習的過程中，進一步提高靈活運用公式，解決問題的能力．

【情感態度】

結合現實模型，將教材知識和實際生活聯系起來，使學生感受數學的實用性，有效激發學習興趣．

３．教學重點、難點

為更好地完成教學目標，本課教學重點設置為： 【重點】

⑴ 點到直線的距離公式的推導思路分析； ⑵ 點到直線的距離公式的應用．

用心

愛心

專心 【難點】

點到直線的距離公式的推導思路和算法分析． 【難點突破】

本課在設計上采用了由特殊到一般、從具體到抽象的教學策略．利用類比歸納的思想，由淺入深，讓學生自主探究，分析、整理出推導公式的不同算法思路．同時，借助于多媒體的直觀演示，幫助學生理解，并通過逐步深入的課堂練習，師生互動、講練結合，從而突出重點、突破教學難點．

三、教學方法

根據教學內容和學生的學習狀況、認知特點，本課采用類比發現式教學模式．從學生熟知的實際生活背景出發，通過由特殊到一般、從具體到抽象的課堂教學方式，引導學生探索點到直線的距離的求法．讓學生在合作交流、共同探討的氛圍中，認識公式的推導過程及知識的運用，進一步提高學生幾何問題代數化的數學能力．

四、過程設計

結合教材知識內容和教學目標，本課分為以下四個教學環節．

用心

愛心

專心 環節１ 創設情境

在教學環節1中，以學生熟知的地質勘探、鐵軌寬度、人離高壓電線的安全距離等生活圖片的欣賞，以及一個具體實例：當火車在高速行駛時，如果旅客離鐵軌中心的距離小于的安全距離時，就可能被吸入車輪下而發生危險．創設情景，讓學生直觀感受幾何要素——“點到直線的距離”，從而有效調動學生的學習興趣．

（設計意圖：以學生熟悉的實際生活為教學背景，引入新課，有效調動學生的學習興趣．）

那么“應該如何求點到直線的距離呢？”帶著這個問題，教學進入環節2．

環節２ 點到直線的距離公式的推導過程

首先，由學生回答，初中有關“點到直線的距離”的定義：過點垂線，垂足為點，線段的長度叫做點

到直線的距離．

作直線的（設計意圖：引導學生復習舊知，為新課的學習打下基礎．）

接著，師生共同探討如何求點到直線的距離．由于點和直線處在一般位置，所以公式的推導過程含有字母運算，比較抽象．為幫助學生更好地理解，可以補充兩個由淺入深的具體問題，為后面推廣到一般情況作好鋪墊．

問題1 如何求點到直線的距離？

補充的問題1，由于點和直線的位置非常特殊，所以學生容易回答，應該鼓勵學生利用多種解法解決本問．

方法① 利用定義

由于本課之前，學生已掌握了兩條直線交點的求法等知識，所以容易通過定義，用心

愛心

專心 將點到直線的距離，轉化為點、垂足兩點之間距離來解決．

解：過點作的垂線，設垂足為

方法② 利用直角三角形的面積公式

結合圖形，學生也能利用面積構造法來解決，這一方法的難點是如何添作輔助線．教學時給予提示：由垂直條件，可以聯想到三角形的高或直角三角形等相關知識．

解：過點

作的垂線

用心

愛心

專心，交點為點在Rt方法③ 利用三角函數

根據定義作出圖象后，由于涉及到Rt利用三角函數知識解決問題．

和直線傾斜角，學生容易聯想

解：過點作的垂線，垂足為

方法④ 利用函數的思想

在初中，學生已初步認識了點到直線的距離的幾何特征：連接直線外一點與直線上任意點，所得線段中垂線段最短．以此為背景，學生可能通過函數的思想來解決．

用心

愛心

專心

解：設直線上的點，則

當時，取得等號，即此時點

對于問題1，學生可能提供的解法不完全，我要引導學生補充完整．改變點和直線的位置，引出補充問題2．

問題2 如何求點到直線的距離？

組織學生類比問題1，獨立思考本問的解決方法．在課堂上只要求學生說明解法思路，而不要求解題過程．

用心

愛心

專心（設計意圖：為了推導點到直線的距離公式，學生會面臨比較抽象的字母運算．通過補充兩個由淺入深的具體問題，使學生能夠類比思考，解決當點和直線處在一般位置時，點到直線的距離的求法．）

在解決問題1、2的基礎上，將點和直線的位置推廣到一般情況，進一步提出問題3．

問題3 如何求點到直線（）的距離？

方法① 利用定義的推導方法

通過前面兩個補充問題，學生已經積累了一些求點到直線距離的經驗和方法，學生可能會類比考慮利用定義，將點

到直線的距離轉化為點

與垂足，兩點之間距離來處理．這種方法雖然思路自然，但運算較繁瑣，所以只要求學生結合教材，說明算法步驟、明確算法框圖，而不要求推導過程．盡管在前面的學習中，學生已掌握了兩條直線垂直的充要條件，但學生仍然可能忽略，這一前提條件，而直接得到與垂直直線的斜率為．我要加以糾正，并強調對于的特殊情況，可以結合圖象直接得出結論，所以在算法中暫不考慮．

用心

愛心

專心

方法② 利用直角三角形的面積公式的的推導方法

學生也可能類比補充問題1、2中，添作輔助線的方式，構造直角三角形，通過面積構造法解決問題．對于這種方法，由于教材已經給出了推導過程，所以學

用心

愛心

專心 生代表可以只說明算法步驟．與傳統教材相比，新教材更關注學生思維能力的培養，淡化形式、注重實質．由于新教材刪減了一些同角三角函數的基本關系式，所以舊教材利用三角函數的方法推導公式就顯得繁雜，教科書選擇的借助直角三角形的面積公式推導公式的方法，簡潔、明了．所以，可以讓學生根據算法框圖，自學教材的推導過程，培養學生的數學閱讀能力．在此過程中，應該提醒學生注意Rt三邊邊長的求法．

用心

愛心

專心 方法③ 利用平面向量的推導方法

由于在前面直線方程的學習中，教材引入了直線方向向量的概念，并運用了向量的有關知識討論直線的一些問題．所以我班部分思維能力較強的學生，可能會提出利用向量知識推導公式，我要給予肯定．盡管這種方法具有一定難度，但根據我班學生思維能力較強的特點，可以先引導學生復習向量有關知識，使學生明確向量數量積的兩種表示方式及其幾何意義，再結合圖象，師生互動，共同討論得出，利用向量數量積推導公式的算法步驟、算法框圖．在這一過程中，學生可能會遇到，無法表示與直線垂直的向量的坐標的困難，我給予提示：可以借助于，向量與直線的方向向量互相垂直的充要條件來解決．對于這種方法的具體推導過程，要求學生課后，在自學教材

閱讀材料“向量與直線”的基礎上，作為思考作業完成．這種利用向量的算法，為今后在立體幾何中，利用這種方法得到點到平面的距離公式奠定了基礎．

用心

愛心

專心

（設計意圖：在點到直線的距離公式的推導過程中，通過問題獲得知識，讓學生經歷“發現問題——提出問題——解決問題”的過程，使學生感受到用坐標的方法研究幾何問題是一種重要的數學方法．由于點和直線處在一般位置，所以公式的推導中會涉及字母運算，比較抽象．為幫助學生理清思路，在教學中強調了算法的思想，讓學生在明確算法步驟和算法框圖的前提下，再進行有效的公式證明和自學閱讀．）

點到直線的距離公式

點到直線（其中）的距離

在學生通過多種方法推導得出公式后，引導學生根據公式的形式特點，記憶公式．同時強調：當論．

用心

愛心

專心

時，公式仍然適用，也可以結合圖象直接求出結在此基礎上，要求學生利用公式計算補充問題1、2，并與前面的計算結果進行比較，前后呼應，使學生體會運用公式計算的簡便性．點到直線的距離公式的應用是本課的一個重點，為了強化學生對公式的記憶和運用，教學進入環節3．

環節３ 點到直線的距離公式的應用

在本環節，我安排了三個典型例題．其中例1是引用教材，由于例題中所給直線的方程已經是一般式，所以學生容易忽略運用公式的前提：首先應將直線方程化為一般式，在確定了系數的值之后，再代入公式進行計算．這一點對于直線方程中含參數的問題尤為重要．為了強調運用公式的這一前提條件，我在例1中補充設置了⑶、⑷兩個小問．

例1 求點到下列直線的距離：

⑴ ⑵

⑶

⑷

（設計意圖：通過例題練習，強化學生對公式的記憶和應用．同時，“代入公式計算前，首先應將直線方程化為一般式，以便確定系數的值”是學生在應用公式中，容易忽略的環節．將這一薄弱環節設置在補充例題中，使學生在“錯誤體驗”加深記憶，以期達到強化訓練的目的．）

在解決了例1的基礎上，由淺入深，補充了直線方程含有參數的例2，進一步提高學生靈活運用公式的能力．

例2 ⑴ 已知點到直線的距離為，求的值；

⑵ 已知點到直線的距離為，求的值．

用心

愛心

專心 由于例2的兩個問題中，直線方程所含參數都具有明顯的幾何意義：一個表示直線的斜率，另一個表示直線在軸上的截距．所以解出參數的值后，在“幾何畫板”中，以數學實驗的形式，通過度量進行操作確認．其中⑴隨直線的不斷變化，學生可觀察點勢．當時，度量出圖1）；在⑵中，學生可觀察點變化趨勢．當

到直線距離的度量值、直線斜率的度量值的變化趨時，可發現此時兩條直線的斜率的度量值，與計算結果吻合．同，說明點

落在兩條直線所成角的角平分線上（如

到直線距離的度量值、直線在軸上截距的時，直線在軸上的截距的度量值，也與計算結果吻合（如圖2）．本例既考察了學生對公式的掌握情況，又為下節課對稱問題和直線系的研究設下伏筆，并由問題⑵中兩平行線間距離為，引出教材 的例題．

圖

圖2

（設計意圖：點到直線距離公式的應用，是本課的一個重點內容．在例1的基礎上，增補直線方程含有參數的例2，進一步提高學生靈活運用公式的能力．在幾何畫板的軟件平臺中，通過數學實驗，讓學生感受在利用代數方法研究幾何問題后，再回歸幾何本身的重要性．）

例3 求平行線和的距離．

教材上采用了類比化歸的思想，將兩平行直線之間的距離，轉化為點到直線的距離來解決問題．由于兩平行線間的距離處處相等，所以教材選擇了一條直線

用心

愛心

專心 上的特殊點，便于簡化計算．學生可能會提出如果在直線上任選一點否得到這兩條平行線之間的距離的問題，由此引出了教材剩余時間，此題作為機動練習．

此時，本課教學任務已基本完成，為進一步鞏固知識，教學進入環節4．

能的習題15．根據課堂（設計意圖：緊扣教材，讓學生體會類比化歸的思想方法，同時，為課后作業中推導兩平行線之間的距離公式，設下伏筆．）環節４ 課堂總結

由學生自主歸納、總結本節課所學習的主要內容，教師加以補充說明． ⑴ 點到直線的距離公式的推導中不同的算法思路； ⑵ 點到直線的距離公式；

⑶ 點到直線的距離公式的應用前提條件．

（設計意圖：通過小結，使學生本節所學的知識系統化、條理化，進一步鞏固知識，明確方法．）

課后作業

① 在自學教材距離公式； 閱讀材料“向量與直線”后，利用向量的方法證明點到直線的② 教材13、14、16

用心

愛心

專心

板書設計

五、教學反思

根據教學經歷和學生的反饋信息，我對本課有如下五點反思：

1．對于這一節內容，有兩種不同的處理方式：一種是讓學生理解、記憶公式，直接應用而不講公式的探尋過程，這樣的處理不利于我校學生數學思維的培養；二是本課方式，通過強調對公式的探索過程，提高學生利用代數方法處理幾何問題的能力；

2．點到直線的距離的推導過程，含有比較抽象的字母運算．如果沒有整體算法步驟的分析，學生的思路會缺乏連貫性，所以本課重點分析了三種算法思想：利用定義的算法、利用直角三角形面積的算法、利用平面向量的算法．讓學生在明了算法步驟的前提下，再進行有效的公式推導和自學閱讀；

用心

愛心

專心 3．向量是一種重要的運算工具，根據我班學生的實際，本課涉及了利用向量的數量積推導點到直線的距離公式的方法．實際上，在以后立體幾何的學習中，還將利用這種算法思路得到點到平面的距離公式．又由于這種方法在思維上有一定的難度，所以，我根據學生的實際情況，提出了分層要求：基本要求是能夠理解教材所給的推導方法，并能夠應用公式，較高要求是能夠利用向量的方法推導點到直線的距離公式；

4．現代數學認為“幾何是可視邏輯”，所以我重視在補充的例題中，突出幾何直觀和數形結合的思想方法；

5．學生在練習中的“錯誤體驗”將會有助于加深記憶，所以我重視在學生應用公式中容易忽略的環節,并在補充的例題中給予了設置，以期達到強化訓練的目的．

用心

愛心

專心

第五篇：向量與點到直線的距離公式的證明

向量與點到直線的距離公式的證明

安金龍

（蘇州工業園區

這樣處理，既避開了分類討論，又體現了平面向量的工具性。當然，解析幾何作為一個內涵豐富的數學分支，它和其它數學知識也會有密切的聯系，下面筆者列舉另外幾種推導方法： 2用習題結論巧推點到直線距離公式

老教材代數課本（人教版，下冊.必修）第15頁習題十五第6題：

已知：

ad?,求證：（bc

?（a)

2b?2)c?(d當cad?,b即c?，a)bd

ab

?時，有（a2?b2（）c2?d2)?（ac?bd)2.cd

上式實為柯西不等式的最簡形式，很容易證明.故略去。下面給出點到直線的距離公式的最簡推導。

已知點P(x0,y0)和直線l:Ax?By?C?0,則點到直線的距離即為點P到直線l上任意點所連結的線段中的最短線段.設M

?x,y?為直線l上任意一點，點P到直線l的距離為d，則：

(Ax?Ax0)2(By?By0)2

PM?PM??22

AB2

(By?By0)222222(Ax?Ax0)?(A?B)PM?(A?B)[?] 22

AB

?(Ax?Ax0?By?By0)2＝(?Ax0?By0?

C)2

AB

??d?PMmin?，當且僅當時等號成立。

x?x0y?y03用直線的參數方程推導點到直線距離公式

證明：當A?B?0時易驗證公式成立，下證A?B?0時的情形：

（1）B>0時,過點P作直線L的垂線，垂足為H，則直線PH的標準參數方程為：

?

x?x?t0??(t為參數）?

?y?y?t0

??

將直線PH的參數方程代入直線L的方程得：

A（?x0?t+B（?y0?t??x，解之得點H

對應的參數t

?C?0

?PH?d?PH?

（2）當B時，直線PH的標準參數方程為：

?

x?x?t?0??(t為參數）

?

?y?y?t0

??

可得?PH

?

?d?PH?

4構造引理推導點到直線距離公式

引理：如圖1，直角三角形MPN中，?MPN?90，MP?a,NP?b,則點P到直線MN的距離d滿足

?

a 圖

1N

??.222

dab

證明：由直角三角形的面積公式得：

?MP?NP??MN?d，22

11111即ab?，所以2?2?2.d，即?

dab2dab

下面就用引理證明點P?x0,y0?到直線l：Ax?By?C?0的距d?

證明：當0時易證公式成立.當A?B?0時，如圖2所示,過點

P?x0,y0?分別作平行于x軸,y軸的兩條直線,分別交直線l：Ax?By?C?0

By?CAx?C于點M(-,y0)、N(x0,-)，則AB

B0?yC

M?P0?,AAx?C

NP?y0?0.?MP?NP,?在RT?MPN中，B

點P到直線MN的距離d滿足：

1111

1??＝?22

222dMPNP(x0?0)(y

0?0)BA2?B2,所以d? ＝2(Ax0?By0?C)

參考文獻：

[1] 全日制普通高級中學教科書（人教版）（試驗修訂本.必修）第二冊（上）第55～56頁.[2] 王國平.中學生數學.用習題結論巧推點線距離公式2001年1月上 [3] 張乃貴、段萍中學生數學.點到直線的距離公式的又一證明.2001年1月上

[4] 陳志新.點到直線距離公式的又一證法.中學生數學.2001年6月上

離為

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