第一篇：張齊華《軸對稱圖形》課堂實錄及賞析

張齊華《軸對稱圖形》課堂實錄及賞析

筆者：蘇小虎

推薦：呂曉婷

素有“數學王子”之稱的張齊華老師，認識他的人都知道，聽他的課是一種享受，優美的音樂、詩情畫意的語言、美倫美幻的圖畫、巧妙的課堂環節，在張老師的課堂中處處彰顯著他扎實的教學功底。我有機會再次觀摩了張老師的一節《軸對稱圖形》，課中的種種情節記憶猶新。【課堂全景】

一、活動激趣 出一張紙。

如果是你的話，怎么玩？ 生：我們折飛機 生：我會折青蛙，生：我們折出星星

生：我會把這張紙剪成窗花。

師：先把紙對折，然后從折痕的地方，撕下一塊。會玩嗎？大家玩一玩。學生撕紙

在黑板上展示學生的作品

【評析：課伊始，張老師就讓孩子們以一張紙怎么玩激發了學生的興趣。讓學生通過對折，然后再從折痕的地方撕下，再展示出來，這一過程其實教師是讓學生在動手撕紙的過程中初步感知了數學的美?！?/p>

二、探究新知

1、師：如果我們這些紙看作一個個圖形的話？大家看一看這些圖形大小？（不一樣），你們有沒有發現共同的地方？ 生：左右兩邊都相同。生：我認為它們軸對稱圖形的 師：你是怎么知道的這個詞兒的？ 生：我是從書上看到的。（板書課題：軸對稱圖形）

【評析：從撕出的紙中尋找數學的知識，教師真實獨具匠心，在這樣的巧妙設計中，學生自然而然地被教師引導去尋找這些圖形的相同點，初步體會了左右兩邊相同的特點，也從學生課前的預習中得到了軸對稱圖形這一詞，讓學生初步感知圖形的特點。】

2、師：再深入的觀察，左右大小就是一樣的嗎？試想一下，假如我們把這些圖形再對折的話，會怎樣？ 生1：我認為形狀也是一樣的 生2：我認為面積也是一樣的。生3：我認為把它疊在一起的，會重合。

師：想象一下，假如我們把這些圖形沿中間的折痕對折，折痕的兩側是不是完全重合？你手中的作品有沒有這樣的特點。學生動手試一試。

師：現在張老師有個問題，既然這樣的圖形對折后可以左右完全重合的。那用剛才這個同學取的名稱合適不合適？ 生：合適 師：為什么合適？

生：因為把它對折以后，中間的線就稱為軸，而它的兩邊都是對稱的，所以稱之為軸對稱圖形。

師：特別了不起，剛才這位同學，一下子就抓住了兩個關鍵的地方。她覺得，第一個你說是軸對稱，那它感覺當中折痕所在的這條直線就是對稱軸，你們覺得可不可以？（生：可以）可以，那咱們就把它寫下來。事實上我們把對稱軸所在的這條直線就稱為對稱軸，對稱軸通常我們點畫線來表示。（教師示范畫對稱軸）看清楚了嗎？在自己的作品上也畫上一條對稱軸。學生動手畫

師：通過剛才的學習，像這樣的圖形，沿著一條對稱軸對折后，兩邊可以完全重合。這樣的圖形就是我們今天要研究的軸對稱圖形。

師：瞧，大家可能沒有想到吧。我通過折一折、撕一撕，還真創造出了我們數學上的軸對稱圖形，說實話，有時數學就這么簡單。

【評析：在初步感知之后，張老師引導學生進一步探索圖形的特點，利用折一折、疊一疊、比一比、畫一畫等方法探索、驗證了軸對稱圖形的特點，讓學生明確數學知識的呈現通過動手操作更容易記牢，也為下面的進一步學習做了鋪墊?！?/p>

三、鞏固深化

1、出示一組圖形

師：在判斷前，張老師提醒一下大家，不要過份的相信自己的眼睛的。因為有些圖形看起來像軸對稱圖形，但它卻不是，有些圖形不像軸對稱圖形，但它卻確確是軸對稱圖形。

師：有沒有辦法呢？大家可以先猜猜，然后在口袋拿出這些圖形折一折，驗證一下。

學生猜，驗證。

生：我認為平行四邊形是軸對稱圖形。因為平行四邊形分成兩個部分，就可以完全重合了。

生：不是，因為平行四邊形的沿著對軸稱不可能重合。

師：我想你與握一次。握手并不是表示贊同你的意見。而且因為你給我們課堂帶來了第二種聲音。大家想一想，如果我們的課堂只有一種聲音那多單調啊。師：認為對的，說理由，認為不是的，說理由。

生：如果單講這個圖形，不讓剪的話，就不是平行四邊形了。討論圓，正五邊形，等腰梯形，三角形。

【評析：在學習深入時，教師及時引導學生對一些圖形進行猜測、判斷是否是軸對稱圖形，并通過折一折的方法來驗證猜測的正確性。在對圖形的一個個的猜測、驗證的過程中，學生對于軸對稱圖形的特點有了深入的認識?！?/p>

2、師：數學學習講究的是要深入。如果說我們今天的探討就到此位置的話，我想我們的學習還是比較膚淺的。因為就這五個圖形，我心里還有話想說，不同同學們有沒有什么話想說？我先說說想說的話，舉個例子就如第一個梯形，張老師想說的話是，這個梯形是軸對稱，但是??？

生：圖上的這個梯形是軸對稱圖形，但是并不是所有的梯形都是軸對稱圖形。通過對其他梯形紙片的對折，得出沒法重合。

師：學習深入了，關于梯形，話說完了。關于其它圖形，你有話說嗎？ 生：我想說三角形的，因為有些三角形是軸對稱圖形的。師：比如說？ 生：比如說??（低頭找）

老師給教具（等腰三角形，等邊三角形）。師：這兩個合適不合適？

生：合適。像這個圖形，如果把它對折的話，它就是一個軸對稱圖形。對折以后，兩邊完全重合。所以我認為它是軸對稱圖形。

師：同學們你們有沒有發現，這個三角形是一個什么三角形？ 生：等邊三角形。(有一個學生說的是等腰三角形)師：有一個聲音不太和諧，說的是等腰三角形，其實等腰三角形也是軸對稱圖形，這些特殊的三角形就是軸對稱圖形。師：還有話要說嗎？

生：認為平行四邊形并不是都不是軸對稱圖形的。有一種平行四邊形就是軸對稱圖形，比如菱形。

師：大家認為平行四邊形當中，還有那些還會是軸對稱圖形。生：長方形，正方形。師：還有話要說嗎？

生：我認為所有的圓都是軸對稱圖形。師：還有話要說嗎？

生：我認為中間的正五邊形，有的五邊形也不一定是軸對稱圖形。師：你補充。

生：有些五邊形不是正的，就不是軸對稱圖形。

【評析：在猜測判斷驗證了上面五個圖形是否是軸對稱圖形后，張老師并沒就此結束了學生的思維，而是進一步調動學生的學習熱情，開發學生的思維，深入圖形的內在聯系去感受不同的圖形的特點。】

3、師：我覺得剛才的學習還不夠深入。出示等腰梯形、正五邊形、圓

師：這三個都是軸對稱圖形，它們有什么不一樣的嗎？ 生：我覺得它們的面積不同

師：我覺得有點偏題了，我們今天討論的是軸對稱圖形。生：它們的形狀也不同 生：圓無論怎么折，都可以是軸對稱圖形。那邊的正五邊形和梯形和圓不一樣。師：在講圓的時候，我非常欣賞他用到一個詞??是哪個詞兒？ 生：我認為是無論。師：無論是什么意思？ 生：不管怎么折。

師：其實如果從這個男孩的思路往下挖掘的話，我想他已經把我們研究的眼光集中到了對稱軸上面來了。

師：這個圓無論怎么折，它都能重合。換句話說，你認為圓有多少條對稱軸？ 生：無數條

師：肯定嗎？（生肯定）我不太肯定，同學們身邊都有圓，自己折折看，是不是有無數條對稱軸？ 學生動手折一折。

師：已經確定是圓有無數條的，請把你的手高高舉起來。（全班舉手）全班統一，的確，圓是有無數條對稱軸。電腦演示圓的對稱軸。

師：另外兩個圖形，誰有什么要說的？

生1：另外兩個圖形不像圓有無數條對稱軸，它們只有指定的幾條對稱軸。比如梯形只有一條對稱軸。生2：正五邊形有五條對稱軸。生3：正五邊形有五條對稱軸。師：有沒有不同聲音。

師：雖然張老師喜歡聽不同的聲音，不過當只有一個聲音的時候，那就要堅信這個聲音。

指名上臺來邊折邊指一指五條對稱軸。

【評析：張老師的層層遞進的引導，讓學生在老師的由淺入深的引導中，思維也在逐步地發展和提升?！?/p>

4、師：在我們一些熟悉的標志圖案中都可以找到軸對稱圖形。看一看這四個國旗。長方形的國旗是軸對稱圖形，但我們要考查的是國旗的圖案是不是軸對稱圖形。誰來說一說？ 生：我認為加拿大國旗中的圖案是軸對稱圖形的。生：我認為俄羅斯國旗中的圖案也是軸對稱圖形的。

師：中國國旗和美國國旗都不是軸對稱圖形，來說一說，為什么？ 說說中國和美國國旗都不是軸對稱圖形。

5、出示交通圖標

讓學生自己找一找標志中軸對稱圖形的序號。生：1、2、4、6.生2：我也認為是1、2、4、6.師：為什么3不是？

生：3的標志對折以后不能重合，所以不是軸對稱圖形。

6、師：根據軸對稱圖形的一半，根據軸對稱圖形的特征，想一想它是什么標志。不說只想。然后說說，這些是什么標志。

師：很想說嗎？給你一個機會，在小組內說一說。生：我選的是第4個，是奧運五環的標志。生：我選的是第2個，是中國銀行的標志。生：我認為是中國古代的銅錢。

師：先來看看，中國銀行的標志設計是就是參考古代銅錢的。師：第三個是什么標志呢？ 生1：我認為是奔馳汽車的標志。生2：我認為是上海大眾的標志。

師：一下子男女差距就體現出來，同意男同學說的奔馳標志的舉手。（多數舉手）看來男同學的可信度高些。不過女同學，你可以想象的出它的右邊是什么樣子的？

生2：右邊應該是和左邊一樣的。

師：不僅僅是一樣，而且是對折以后完全重合的，想象一下，把右邊補充完像什么？大概像什么樣子，你能想象出來嗎？ 生：有點像方向盤。師點出奔馳標志。師：還有第一個。生：是中國聯通的標志。

師：今天的學習還不夠，下課后，還有到網絡中去搜集一些標志，看看哪些也是軸對稱圖形。

【評析：生活中處處有數學。在學生深入了解了軸對稱圖形的特點后，張老師巧妙運用了生活常見的交通標志、國旗、汽車標志、銀行標志讓學生來辨別是否是軸對稱圖形，也讓學生在理解軸對稱圖形的特點的基礎上，也體會了數學與生活的聯系?！?/p>

7、師：你們想不想自己動手做一個軸對稱圖形？ 出示材料袋了。

讓學生利用這些材料下課后做出一個圖形。

四、欣賞延續 欣賞：桂林山水

師：張老師給大家帶來了一些軸對稱的東西想給大家展示一下，大家能不能給張老師提供一個機會。不過這些東西，它不是張老師自己創造的，甚至說從根本上來說它壓根也不是軸對稱圖形，它是什么呢？我想，如果待會每一個同學用心體會的話，一定會從中體會到對稱的味道。這個事情還得追溯到去年的夏天，張老師和學校的四位同事一起去廣西參加一個活動，大家都知道廣西有一個什么景點？（桂林）那回來的時候就有了一次非常難忘的桂林之旅。當我們蕩舟漓江，邁入那桂林的山和桂林的水所創造的美好意境的時候，我卻被展現在面前的畫面所深深的震撼了，這哪里是桂林的山，桂林的水，這分明是大自然為我們創作的最完美的杰作。

讓學生欣賞桂林山水，感受桂林山水的互相倒映所形成的對稱現象。師：同學們，雖然沒去成桂林，但你能從中感覺到對稱的味道嗎？

師：其實大自然對于對稱的創造還遠不止這些，仰望蒼天，俯瞰大地，擁有生命的地方，何處沒有對稱的足跡。

播放生活中的動物、鳥內，昆蟲，人都有對稱的圖形。

師：看那花叢間翻飛的蝴蝶、蜜蜂，那翱翔天地的大雁、白鴿，那橫跨天空的彩虹，片片翻飛的落葉，以至于我們每一個人、每一張綻開的笑臉，同學們，難道你們就沒有從中感受到對稱的力量嗎？有人說，是因為美，所以大自然選擇了對稱，但同學們，如果我們再深入地想一想，這當中僅僅因為是美嗎？好，這節就上到這里，下課。

【評析：耳邊聽優美的音樂、張老師那詩情畫意的語言、眼前的美倫美幻的圖畫仿佛把我們都帶進了美麗的桂林山水間，一起去體會大自然的對稱美。在這樣的氣氛渲染下，學生被帶動起來，學習的熱情一定會延續到了課后，繼續去探索大自然中的對稱美，也進一步對軸對稱圖形的特點有了深入理解。】

【總評】

聽完張老師的這節課，讓我有了些許的感想。張老師在這節課中始終以學生的發展為本，結合生活實際，為學生的創設了許多活動情境，使學生在這些活動中提升了對軸對稱圖形的認識。

課一開始，張老師就設計了撕紙活動，讓學生在撕紙的過程中，感受撕紙所運用的方法，從而對軸對稱圖形的特征有了初步的認識。

在學生有了初步的感知后，張老師充分利用了一些圖形給學生提供了參與數學活動和交流的機會，使學生在自主探索的過程中得到提高。在通過撕一撕、折一折、比一比、辨一辨等活動，讓學生在猜測、思考、探索、驗證中加深了對軸對稱圖形特征的理解。

數學是一門科學，一門藝術，同時也是一種文化。課末，張老師通過用多媒體課件對桂林山水的演示，學生邊在欣賞圖片、邊聆聽張老師的講解，放佛置身于真實的桂林山水的情境中來，激發了學生祖國大好河山的熱愛，同時也從所感知的軸對稱圖形的特點中有了對稱美的體會，激發了學生對學習的熱情，也使學生感受了數學在生活中的應用價值、文化價值和美學價值。

第二篇：認識負數 張齊華 課堂實錄（模版）

認識負數教學設計

T:：現在我想叫出每個人的名字，請把你的名字寫在紙條上，放在課桌右上角，最近老師總是忘記字，請大家寫上拼音。

T：今天我們學習一種新的數類，叫做負數。有誰見過負數？在哪里？（預設）S：電梯；溫度計、、、T：電梯按鈕去1層以下的，溫度計上0度以下都用負數來表示；…… T：好，誰能在圖里面寫上負數（叫5個學生）記住，盡量寫跟別人不一樣的；（學生寫負數）

T：好的。誰能來說說負數有什么特點？（預設）S：數字前面有減號（負號）

T：有人認為這是減號；有人認為這是負號。其實，這個符號在運算過程中是減號，在單獨的數字上則是負號。T：除了這個特點，還有嗎？（預設）S：負數都要比0小。

T：好的這位同學不緊看到了負數的表面，還看透了負數的本質。透過現象看本質，火眼金睛。誰能來總結一下負數的特點。（預設）S：負數有負號而且比0小。T：說的不錯。誰能再來說一下；（預設）S：負數有負號而且比0小。

T：恩，說的真不錯。好，同桌之間說一說。說完以后再紙上寫上負數。（學生說）

T：既然有負數，那么相對的，肯定有（S：正數）

T：誰能上來寫一下正數，一人寫一個，有沒有跟他們不一樣的（直到學生寫+）

T：我也寫個數，0，認為是正數的請舉手；認為是負數的請舉手；沒有舉手的請舉手，好，你來說一下為什么不舉手？

（預設）S：0既不是正數，也不是負數。T：為什么呢？也就是說正數要怎么樣？（預設）S：正數都要比0大。

T：好的，那我這個0應該寫在哪里？邊上？還是中間？（預設）S：中間

T：寫大點，還是寫小點？（預設）S：大點

T：好我們來看這些同學寫的數，有什么不一樣？

（預設）S:有正號（T：+號在運算中是加號，在單獨的數字上則是正號）T：那不寫正號還是正數嗎？（預設）S：是。

T：既然可以不寫；為什么有時候要寫上呢？（預設）S：為了看起來方便。

T：看來有沒有正號不是正數的關鍵；那你認為，正數的的共同特點是什么？（預設）S：比0大。

T：好的。剛才說到0,0除了表示數，還能表示什么？（預設）S：表示起點。

T：好的，這是數軸（PPT出示數軸），負數應該寫在0的哪邊？（預設）S：左邊。

T：（PPT數軸顯示負數）沒有負數的時候，數軸是一條什么線？（射線）有了負數呢？（直

線）而這個0就是他們的（分界點）；

T:（出示PPT5個-2）這里有5個-2，四人小組討論下，然后把這里-2的意思按你的跟同學說一說。

T：某盆地的海報高度是-2.我們先來看第一個-2，誰已經理解盆地海拔-2米的請舉手，先給大家介紹一下海拔？聽懂的請舉手，掌聲送給他。（PPT出現海撥）盆地在哪里？這個盆地是要比什么還要低？為了準確的表示某一個地方的高度，我們都把海平面所在的高度看成什么？（0米）好，現在誰能換句話說說某盆地的海報高度是-2米，是什么意思？ 好，下面鄭老師隨便點一個地方，你覺得它的海拔高度是正數還是負數？有誰知道我們地球上最高的海拔高度在哪里嗎？最低的呢？這2個數一正一負，分別表示什么含義，你能不能，結合海平面來具體的說一說，同桌一人說一個

T：北京最低氣溫-2，第二個-2，這是溫度計，畫的好不好？對不對？確定嗎？很堅決，那好，我也帶了了4個溫度計，大家找找哪個才是真正的-2°。同意第一個舉手……

千萬不要看他是0下面一格就是-2攝氏度。來說說這些是幾度？ T：張老師把車停在-2樓。第三個-2，樓房中什么是0？（預設）S：地面

T：（第四個-2，我的銀行卡還剩-2，PPT顯示）這個專業術語叫透支。想知道張老師為什么卡里還剩2快錢嗎？（PPT顯示）我的銀行卡還剩98元，買電影票用去100，還剩（），買爆米花又刷去10元，還剩（）?；氐姐y行，趕緊給卡里沖了100元，現在卡里還剩（）。

T:張老師的兒子高-2cm，到底是什么意思？

T：（PPT出售我國10歲男孩的平均身高約是140cm）現在知道-2cm是什么意思了嗎？誰來說一下？

（預設）S：比平均身高矮2cm T：在這里我們把哪一個身高看做了0，如果用140cm做標準，我每指一個人，看你能不能理解他真正的身高是多少？這里有一個人的身高很標準，誰？因為他是0，正好是平均身高（+3,143；-2,138；-4,136）看來身高能成為負數，那體重能不能成為負數？ T：我們在做這些題目的時候都在找一個數，是什么？（預設）S：0 T：我們現在回顧一下，這里的5個負數都是用誰當做0的?看誰反應快，我就知道誰今天掌握的做好。T：這些0都一樣嗎？（預設）S：不一樣。

T：是的，有的時候0是約定俗成的，有的時候是要去規定的。

第三篇：張齊華《交換律》課堂實錄與評析（范文）

張齊華 《加法交換律》課堂實錄

師：喜歡聽故事嗎？ 生：喜歡。

師：那就給大家講一個“朝三暮四”的故事吧。聽完故事，想說些什么？（結合生發言板書：3+4=4+3）

師：觀察這一等式，你有什么發現？

生1：我發現，交換兩個加數的位置和不變。(教師板書這句話)師：其他同學呢？(見沒有補充)老師的發現和他很相似，但略有不同。(教師出示：交換3和4的位置和不變)比較我們倆給出的結論，你想說些什么？

生2：我覺得您(老師)給出的結論只代表了一個特例，但他(生1)給出的結論能代表許多情況。

生3：我也同意他(生2)的觀點，但我覺得單就黑板上的這一個式子，就得出“交換兩個加數的位置和不變”好像不太好。萬一其它兩個數相加的時候，交換它們的位置和不等呢！我還是覺得您的觀點更準確、更科學一些。

師：的確，僅憑一個特例就得出“交換兩個加數的位置和不變”這樣的結論，似乎草率了點。但我們不妨把這一結論當作一個猜想(教師將生1結論中的“。”改為“？”)。既然是猜想，那么我們還得——

生：驗證。師：怎么驗證呢？

生1：我覺得可以再舉一些這樣的例子？ 師：怎樣的例子，能否具體說說？

生1：比如再列一些加法算式，然后交換加數的位置，看看和是不是跟原來一樣。（學生普遍認可）

師：那你們覺得需要舉多少個這樣的例子呢？ 生2：

五、六個吧。生3：至少要十個以上。

生4：我覺得應該舉無數個例子才行。不然，永遠沒有說服力。萬一你沒有舉到的例子中，正好有一個加法算式，交換他們的位置和變了呢？（有人點頭贊同）

生5：我反對！舉無數個例子，那得舉到什么時候才好？如果每次驗證都需要這樣的話，那我們永遠都別想得到結論！

師：我個人贊同你（生5）的觀點，但覺得他（生4）的想法也有一定道理。綜合兩人的觀點，我覺得是不是可以這樣，我們每人都來舉三、四個例子，全班合起來那就多了。同時大家也留心一下，看能不能找到“交換加數位置和發生變化”的情況，如果有及時告訴大家行嗎？（學生贊同，隨后在作業紙上嘗試舉例。）

師：正式交流前，老師想給大家展示同學們在剛才舉例過程中出現的兩種不同的情況。

（教師展示：1．先寫出12＋23和23＋12，計算后，再在兩個算式之間添上“＝”。2．不計算，直接從左往右依次寫下“12＋23＝23＋12”。）

師：比較兩種舉例的情況，想說些什么？

生6：我覺得第二種情況根本不能算舉例。他連算都沒算，就直接將等號寫上去了。這叫不負責任。（生笑）

生7：我覺得舉例的目的就是為了看看交換兩個加數的位置和到底等不等，但這位同學只是照樣子寫了一個等式而已，至于兩邊是不是相等，他想都沒想。這樣舉例是不對的，不能驗證我們的猜想。（大家對生

6、生7的發言表示贊同。）

師：哪些同學是這樣舉例的，能舉手示意一下嗎？

師：明白問題出在哪兒了嗎？（生點頭）為了驗證猜想，舉例可不能亂舉。這樣，再給你們幾位一次補救的機會，迅速看看你們寫出的算式，左右兩邊是不是真的相等。

師：其余同學，你們舉了哪些例子，又有怎樣的發現？

生8：我舉了三個例子，7＋8＝8＋7，2＋9＝9＋2，4＋7＝7＋4。從這些例子來看，交換兩個加數的位置和不變。生9：我也舉了三個例子，5＋4＝4＋5，30＋15＝15＋30，200＋500＝500＋200。我也覺得，交換兩個加數的位置和不變。

（注：事實上，選生

8、生9進行交流，是教師有意而為之。）

師：兩位同學舉的例子略有不同，一個全是一位數加一位數，另一個則有一位數加一位數、二位數加兩位數、三位數加三位數。比較而言，你更欣賞誰？

生10：我更欣賞第一位同學，他舉的例子很簡單，一看就明白。生11：我不同意。如果舉得例子都是一位數加一位數，那么我們最多只能說，交換兩個一位數的位置和不變。至于加數是兩位數、三位數、四位數等等，就不知道了。我更喜歡第二位同學的。

生12：我也更喜歡第二位同學的，她舉的例子更全面。我覺得，舉例就應該這樣，要考慮到方方面面。（多數學生表示贊同。）

師：如果這樣的話，那你們覺得下面這位同學的舉例，又給了你哪些新的啟迪？

教師出示作業紙：0+8＝8+0，6＋21＝21+6，1/9+4/9＝4/9＋1/9。生：我們在舉例時，都沒考慮到0的問題，但他考慮到了。

生：他還舉到了分數的例子，讓我明白了，不但交換兩個整數的位置和不變，交換兩個分數的位置和也不變。

師：沒錯，因為我們不只是要說明“交換兩個整數的位置和不變”，而是要說明，交換——

生：任意兩個加數的位置和不變。

師：看來，舉例驗證猜想，還有不少的學問。現在，有了這么多例子，能得出“交換兩個加數的位置和不變”這個結論了嗎？（學生均認同）有沒有誰舉例時發現了反面的例子，也就是交換兩個加數位置和變了？這樣看來，我們能驗證剛才的猜想嗎？

生：能。

（教師重新將“？”改成“?！?，并補充成為：“在加法中，交換兩個加數的位置和不變。”）師：回顧剛才的學習，除了得到這一結論外，你還有其它收獲嗎？ 生：我發現，只舉

一、兩個例子，是沒法驗證某個猜想的，應該多舉一些例子才行。

生：舉的例子盡可能不要雷同，最好能把各種情況都舉到。

師：從“朝三暮四”的寓言中，我們得出“3+4＝4+3”，進而形成猜想。隨后，又通過舉例，驗證了猜想，得到了這一規律。該給這一規律起什么名稱呢？（學生交流后，教師揭示“加法交換律”，并板書。）

師：在這一規律中，變化的是兩個加數的――（板書：變）生：位置。師：但不變的是――

生：它們的和。（板書：不變）

師：原來，“變”和“不變”有時也能這樣巧妙地結合在一起。結論，是終點還是新的起點？

師：從個別特例中形成猜想，并舉例驗證，是一種獲取結論的方法。但有時，從已有的結論中通過適當變換、聯想，同樣可以形成新的猜想，進而形成新的結論。比如（教師指讀剛才的結論，加法的“加”字予以重音），“在加法中，交換兩個加數的位置和不變?！蹦敲矗凇?/p>

生1：減法中，交換兩個數的位置，差會不會也不變呢？（學生中隨即有人作出回應，“不可能，差肯定會變?！保?/p>

師：不急于發表意見。這是他（生1）通過聯想給出的猜想。（板書：“猜想一：減法中，交換兩個數的位置差不變？”）生2：同樣，乘法中，交換兩個乘數的位置積會不會也不變？（板書：“猜想二：乘法中，交換兩個數的位置積不變？”）生3：除法中，交換兩個數的位置商會不變嗎？

（教師板書：“猜想三：除法中，交換兩個數的位置商不變？”）師：通過聯想，同學們由“加法”拓展到了減法、乘法和除法，這是一種很有價值的思考。除此以外，還能通過其它變換，形成不一樣的新猜想嗎？

生4：我在想，如果把加法交換律中“兩個加數”換成“三個加數”、“四個加數”或更多個加數，不知道和還會不會不變？

師：這是一個與眾不同的、全新的猜想!如果猜想成立，它將大大豐富我們對“加法交換律”的認識。(教師板書“猜想四：在加法中，交換幾個加數的位置和不變？”)現在，同學們又有了不少新的猜想。這些猜想對嗎？又該如何去驗證呢？選擇你最感興趣的一個，用合適的方法試著進行驗證。

（學生選擇猜想，舉例驗證。教師參與，適當時給予必要的指導。然后全班交流。）

師：哪些同學選擇了“猜想一”，又是怎樣驗證的？

生5：我舉了兩個例子，結果發現8－6＝2，但6－8卻不夠減；3/5－1/5＝2/5，但1/5－3/5卻不夠減。所以我認為，減法中交換兩個數的位置差會變的，也就是減法中沒有交換律。

師：根據他舉的例子，你們覺得他得出的結論有道理嗎？ 生：有。

師：但老師舉的例子中，交換兩數位置，差明明沒變嘛。你看，3－3＝0，交換兩數的位置后，3－3還是得0；還有，14－14＝14－14，100－100＝100－100，這樣的例子多著呢。

生6：我反對，老師您舉的例子都很特殊，如果被減數和減數不一樣，那就不行了。

生7：我還有補充，我只舉了一個例子，2－1≠1－2，我就沒有繼續往下再舉例。

師：哪又是為什么呢？

生7：因為我覺得，只要有一個例子不符合猜想，那猜想就錯了。師：同學們怎么理解他的觀點。生8：（略。）生9：我突然發現，要想說明某個猜想是對的，我們必須舉好多例子來證明，但要想說明某個猜想是錯的，只要舉出一個不符合的例子就可以了。

師：瞧，多深刻的認識！事實上，你們剛才所提到的符合猜想的例子，數學上我們就稱作“正例”，至于不符合猜想的例子，數學上我們就稱作――

生：反例。（有略。）

師：關于其它幾個猜想，你們又有怎樣的發現？

生10：我研究的是乘法。通過舉例，我發現乘法中交換兩數的位置積也不變。

師：能給大家說說你舉的例子嗎？

生10：5×4＝4×5，0×100＝100×0，18×12＝12×18。（另有數名同學交流自己舉的例子，都局限在整數范圍內。）師：那你們都得出了怎樣的結論？

生11：在乘法中，交換兩數的位置積不變。

生12：我想補充。應該是，在整數乘法中，交換兩數的位置積不變，這樣說更保險一些。

師：你的思考很嚴密。在目前的學習范圍內，我們暫且先得出這樣的結論吧，等學完分數乘法、小數乘法后，再補充舉些例子試試，到時候，我們再來完善這一結論，你們看行嗎？（對猜想三、四的討論略。）

隨后，教師引導學生選擇完成教材中的部分習題（略），從正、反兩面鞏固對加法、乘法交換律的理解，并借助實際問題，溝通“交換律”與以往算法多樣化之間的聯系。

怎樣的收獲更有價值？

師：通過今天的學習，你有哪些收獲？

生：我明白了，加法和乘法中有交換律，但卻沒有減法交換律或除法交換律。生：我發現，有了猜想，還需要舉許多例子來驗證，這樣得出的結論才準確。生：我還發現，只要能舉出一個反例，那我們就能肯定猜想是錯誤的。生：舉例驗證時，例子應盡可能多，而且，應盡可能舉一些特殊的例子，這樣，得出的結論才更可靠。

師：只有一個例子，行嗎？

生：不行，萬一遇到特殊情況就不好了。

（作為補充，教師給學生介紹了如下故事：三位學者由倫敦去蘇格蘭參加會議，越過邊境不久，發現了一只黑羊。“真有意思，”天文學家說：“蘇格蘭的羊都是黑的。”“不對吧?！蔽锢韺W家說，“我們只能得出這樣的結論：在蘇格蘭有一些羊是黑色的?！睌祵W家馬上接著說：“我覺得下面的結論可能更準確，那就是：在蘇格蘭，至少有一個地方，有至少一只羊，它是黑色的?！保?/p>

必要的拓展：讓結論增殖！

師：在本課將結束時，依然有一些問題需要留給大家進一步思考。（教師出示：20－8－6○20－6－8;60÷2÷3○60÷3÷2）師：觀察這兩組算式，你發現什么變化了嗎？

生：我發現，第一組算式中，兩個減數交換了位置，第二組算式中，兩個除數也交換了位置。

師：交換兩個減數或除數，結果又會怎樣？由此，你是否又可以形成新的猜想？利用本課所掌握的方法，你能通過進一步的舉例驗證猜想并得出結論嗎？這些結論和我們今天得出的結論有沖突嗎，又該如何去認識？

專家評析張齊華教學的《交換律》一課

曹一鳴 轉貼：人民教育

一堂有價值的數學課，給予學生的影響應該是多元而立體的。有知識的豐厚、技能的純熟，更有方法的領悟、思想的啟迪、精神的熏陶。事實上，數學的確擁有這一切，而且，也可能傳遞這一切。然而，出于對知識與技能的盲目追逐，當今數學課堂忽視了本該擁有的文化氣度和從容姿態。知識化、技巧化、功利化思想的不斷彌散，讓數學思想、方法和精神失卻了可能生長的土壤，并逐漸為數學課堂所遺忘，這不能不說是當今眾多數學課堂的悲哀。近年來，在觀念層面的探討不少，真正落實到課堂教學實踐的卻不多?？上驳氖?，在張老師的這一節課中，我們看到了另一種努力，以及由此而帶來的變化。透過課堂，我們似乎觸及到了數學更為豐厚的內涵，感受到數學教學可能呈現的更為開闊的景象。

對于“交換律”，一貫的教學思路是：結合具體情境，得出某一具有交換律特征的實例，由此引發猜想，并借助舉例驗證猜想、形成結論，進而在解釋和應用的過程中進一步深化認識。本課，在宏觀架構上并未作太大開拓。然而，在保持其整體架構的基礎上，這一堂課在更多細節上所給予的突破卻是十分顯見。我們不妨重歷課堂，去找尋這些細節，并探尋細節背后的意蘊所在。由“3+4=4+3”得出“交換兩數的位置，和不變”的猜想，似乎再自然不過了。然而，教師略顯突兀的介入，以“交換的位置，和不變”的細微變化，確又發人于深思。正如案例中所提及的，“一個例子究竟能說明什么”，是得出結論？還是僅僅是觸發猜想和驗證的一根引線？這里關乎知識的習得，更關乎方法的生成，關乎學生對于如何從事數學思考的思考?！膀炞C猜想，需要怎樣的例子”的探討，更是折射出了張老師獨特的教學智慧。曾經，在太多的課堂里，我們目睹這樣的情形：學生舉例三、四，教師引導學生匆匆過場，似乎也有觀察、也有比較、也有提煉。然而，我們卻很少琢磨：觀察也好、提煉也罷，它究竟該建立在怎樣的基石之上，再換言之，在“簡潔”和“豐富”之間，誰才是“舉例驗證猜想”時應該遵循的規則。張老師的嘗試與表達無疑是對傳統教學的一種突破?！芭e例”不應只追求簡約，例子的多元化、特殊性恰恰是結論準確和完整的前提。沒有老師適時的點撥與引導，學生如何才能有此深度體驗？無此體驗，我們如何能說，學生已經歷過程，并已感悟思想與方法？

觸及我深思的問題還在于，是什么原因觸發了這一節課將原來的“加法交換律”置換成了“交換律”？是內容的簡單擴張？是教學結構的適度調整？隨后的課堂，給了我清晰的答復?！凹臃ńY合律”只是一個觸點，“減法中是否也會有交換律？”“乘法、除法中呢？”等新問題，則是原有觸點中誕生的一個個新的生長點。統整到一起時，作為某一特定運算的“交換律知識”被弱化了，而“交換律”本身、“變與不變”的辯證關系、“猜想－實驗－驗證”的思考路線、由“此知”及“彼知”的數學聯想等卻一一獲得突顯，成為超越于知識之上的更高的數學課堂追求。這何嘗不是一種有意義、有價值的探索？

課堂的結尾，我們依然看到了教師對傳統保守思路的背叛。確定的、可靠的結論已經不再是這一堂課的終極追求，結論的可增殖性、結論的重新表達、問題的不斷生成和卷入，仿佛成為了這堂課最后的價值取向。即便是顛覆原有的結論，也在所不惜。在這里，我們再一次看到了教師對于數學知識的“戰略性”忽視，因為，教師心有大氣象。

數學是什么，數學可以留下些什么，數學可以形成怎樣的影響力？答案并不唯一。但我以為，數學可以在人的內心深處培植理性的種子，她可以讓你擁有一顆數學的大腦，學會數學地思考，學會理性、審慎地看待問題、關注周遭、理解世界，這恰是這節課給予我們的最大啟迪。而數學的文化特性，恰也在于此。閱讀(2121)| 評論(0)

第四篇：張齊華《倍數和因數》課堂實錄

張齊華《倍數和因數》課堂實錄

上傳: 邱艷萍

更新時間：2013-8-25 16:44:57 《倍數和因數》課堂實錄

張齊華

教學過程：

一、認識倍數和因數

師：一起看大屏幕，數一數，幾個正方形？（12）第一個問題是如果老師請你把12個正方形擺成一個長方形，會擺嗎？行不行？能不能就用一道非常簡單的乘法算式表達出來?

生：1×12

師：猜猜看，他每排擺了幾個，擺了幾排？

生：12個，擺了一排。

師：（屏幕顯示擺法）是這樣嗎？第二種擺法我們只要把他旋轉一下就跟第一種怎么樣？（一樣）。我們可以把他忽略不計。還可以怎么擺？同樣用一道乘法算式表達出來？

生：三四十二

師：這一次每排擺了幾個，擺了幾排？（屏幕顯示擺法）同樣第二種擺法也可以省。還有嗎？

生齊：2×6

師：張老師來猜測一下同學們腦子里怎么想的，有同學可能想每排擺6個，擺2排。也有同學可能想每排擺2個，擺6排。（屏幕顯示擺法）同樣第二種擺法也可以省。

師：還有不同的想法嗎？每排能擺5個嗎？12個同樣大小的正方形能擺3種不同的乘法算式，千萬別小看這些乘法算式，今天我們研究的內容就在這里。咱們就以第一道乘法算式為例，3×4=12，數學上把3是12的因數，以往我們把他叫約數，現在叫因數，3是12的因數，那4（也是12的因數，）倒過來12是3的倍數，12（也是4的倍數）。同學們很有遷移的能力，這就是我們今天所要研究的因數和倍數。

師板書：因數和倍數

師：這兒還有兩道乘法算式，先自己說一說誰是誰的因數？誰是誰的倍數？行不行？

師：誰先來？

生說略

師：剛才在聽的時候發現1×12說因數和倍數時有兩句特別拗口，是哪兩句??？

生：12是12的因數，12是12的倍數。

師：雖然是拗口了點，不過數學上還真是這么回事，12的確是12的因數，12也是12的倍數。為了研究方便，以后來探討因數和倍數的時候所說的數都是什么數??？

生：自然數

師：而且誰得除外。

生：0

師：好了，剛才我們已經初步研究了因數和倍數，屏幕顯示：試一試：你能從中選兩個數，說一說誰是誰的因數？誰是誰因數和倍數？行不行？先自己試一試。3、5、18、20、36

生說略。

二、探索找因數倍數的方法

師：看來同學們對于因數和倍數已經掌握的不錯了。不過剛才張老師在聽的時候發現一個奧秘，好幾個數都是36的因數，你發現了嗎？誰能在五個數中把哪些數是36的因數一口氣說完？

生1：

3、18

師：還有誰？

生2：36

師：3、18、36都是36的因數，只有這3個嗎？

生1：1

生2：4

生3：6

師：其實要找出36的一個因數并不難，難就難在你有沒有能力把36的所有因數全部找出來？能不能？張老師作一下詳細說明，因為這個問題有點難度，你可以獨立完成也可以同桌完成，下面你選擇你喜歡的方式，可以合作，也可以單干，想一想怎么不遺漏，注意了，當你找出了36的所有因數，別忘了填在作業紙上，如果能把怎么找到的方法寫在下面更好。

學生填寫時師巡視搜集作業。

師：張老師找到了3份不同的作業，大家仔細觀察這三份作業，可有意思了。我把他命名為A、B、C師板書。

A：2、4、13、12、18、36

B：1、2、4、3、6、9、12、18、36

C：1、36、2、18、3、12、4、9、6

師：關于A這種方法你有什么話要說？（學生紛紛舉手）能不能從正面的角度說一說，這個同學找出的因數有沒有值得肯定的地方？（學生沉默）一點都沒有我們值得肯定的地方嗎？你先來。

生1：都對的

師：有沒有道理？看來要找一個人的優點挺困難的。

生2：寫全了

生大聲說：沒有！

師：正好觸及了大家的公憤，看來要找一個人的優點不太好找了，是吧？其實這個同學挺不容易的，他已經找出不少了，對不對？說說有什么問題？

生：沒有寫全，少了3、6、9。

師：大伙來思考一下，6、9這兩個因數是36的因數嗎？看來這個同學是沒有找全，沒有找全僅僅是因為粗心嗎？是因為什么？

生：36÷4，只寫了4，沒寫9

師：他的意思是說用除法來做的話，找一個數的因數，一個個找，還是兩個兩個找？

生齊：兩個兩個找。

生2：先把1寫在頭，36寫在尾，然后再把2寫中間，這樣依次寫下去，這樣比較美觀。

師：張老師提煉出兩個字：“順序”，好象還不僅僅是因為粗心的問題，沒有按照一定的順序。

師：第二個同學有沒有找全，有沒有更好的建議送給他。

生：他應該把4、3調換一下。

師：做了一個微調就不僅僅是美觀的問題，更帶給我們一種尋找的有序。第三個同學是最沒有順序的，什么1、36，2、18了，你們覺得有道理嗎？

師：你想提出抗議嗎？你們覺得有順序嗎？（有）你自己來說？

生：他們那樣還要頭對尾頭對尾的，像這樣直接就可以寫了。

師：有沒有聽明白，也是同樣一對一對出現的。

生：大小沒有排，B大小排完后從小到大很舒服。

師：你看你那個舒服嗎？

生：舒服

師：正是因為你的質疑，他把方法說了出來。他用了什么？

生：乘法口訣

師：非常感謝同學們給出的發言，正是你們的發言讓我們感受到了如何尋找一個數的因數，有沒有問題。

師：雖然這個同學找到了嘗試完了1，找到

36、嘗試完了2，找到18、3、12、4、9、6，自然數有很多，那你的7、8沒有試，你怎么知道找全了呢？

生1：找到開始重復就不找了

生2：我認為應該找到比較接近如5、6，7、8找到比較接近就可以了。

師：體會體會

1、學生：36、2、學生：18、3、12、4、9、6這兩個因數在不斷接近，接近到相差無幾。

生：

生：直接找更大數的所有的因數，這個同學很厲害，已經在用分解質因數的方法在找一個因數的個數了。

師：通過剛才的交流，有辦法了嗎？有沒有方法不遺漏。試一個。20

生齊：1、2、4、5、10、20

再試一個：15，寫在練習紙上。學生匯報

師：尋找一個數掌握的不錯，這節課還要研究倍數呢。會找一書的倍數嗎？找一個小一點的，3的倍數，誰來找一個。

生：

21、300

師：你能把3的倍數全部寫下來嗎？

生：不能。太多太多了。

師：那怎么辦？寫不完可以用省略號表示。試試看。

學生練習紙上完成，匯報。

師：同學們雖然找的答案差不多，但腦子里的方法各不相同。我想聽聽你是怎樣找的？

生1：3×1、3×2

師：能理解嗎？

生1：3＋3=6、6＋3＝9

師：有理嗎？不要小看加3了，當到數大的時候也比較方便。

生：略

師：尋找一個數的倍數的方法掌握了嗎？試一試。7的倍數

學生練習紙上完成：50以內7的倍數。

師：誰來說說這一次你找了哪幾個？

生：7、14、21、28

師：為什么不加省略號？

生：因為給了一個限制。

師：任何自然數的倍數是無限的。會尋找一個數的因數嗎？

生：略

三、感受倍數和因數的神奇奧秘

師：透出一個信息，關于因數和倍數是不是蘊藏了很有意思的規律，下面這題就隱藏了一條規律。屏幕顯示：老師這有9顆珠子全部放到十位和個位，1顆放十位，另外8顆放個位。這樣就得到幾？（18）要是不這樣放，你還能得到其他的兩位數嗎？

生1：27

生2：36

師：把你知道的兩位數跟同桌說一說。

學生同桌說，師：如果把你們說的兩位數按一定順序排出來，就得到了這樣的一排數，是這樣嗎？屏幕展示：18、27、36、45、54、63、72、81

仔細觀察9顆珠子撥的兩位數，你發現了什么？

生：都是9的倍數

師：9顆珠子撥的兩位數都是9的倍數，8顆珠子撥的兩位數都是（8的倍數）

師：發現了什么？9顆珠子撥的兩位數都是9的倍數，8顆珠子撥的兩位數（不一定都是8的倍數），7顆珠子、6顆珠子呢？其實這里的學問沒有同學想的那么簡單，張老師給大家布置一個小任務，自己在草稿本上畫一畫珠子，看看6顆5顆4顆撥出的兩位數到底和珠子的個數有什么關系？這里蘊藏著非常豐富的規律，等待著同學們去發現。其實不僅在計數器上找到一些有趣的規律。

師：張老師問一個問題，好不好？1—100這100個數，思考一下，哪個數的因數最多？

生1：1

生2：99

師：還有誰要發表的？

生3：9

師問生2：為什么認為99的因數最多？

生：9是最大的。

師：張老師公布一下答案： 60

師：可以一起找一找。可以負責任的告訴你，比99多多了。是不是數越大，因數就越多。你們知道一小時有多少分？（60分），一分=60秒，這里的60和剛才的60有關系嗎？這里的60就和100以內的因數有關系，你們相信嗎？特意給大家帶來一本書。書的名字叫《數字王國》，學生讀有關資料。

師：相信了吧，其實張老師一開始也是特別不相信，咱們歷法上面的 1小時=60分，一分=60秒的進率竟然和100以內的數的因數有著這么大的關系，這本書詳細記載著為什么一年有12個月，一天有24小時，同學們知道為什么用12、24作為進率，道理是一樣的。數學中發現的規律

師：更有意思的在后面，張老師給大家介紹一個數，數學家把6稱為“完美數”。想知道為什么嗎？用最快的速度說一說6的因數？

生：1、2、3、6

師：把6劃去，1+2+3=6，又回到了6本身，正是因為這樣的數非常特別，所以數學家把這樣特點的數稱為是完美數。數學家找到了第一個完美數，就會去找第一個完美數，猜猜看，找到了沒有？今天張老師不把答案直接告訴你們，我透露一下資料好不好？第二個完美數比20大，比30小，而且還是一個雙數，好猜了吧。數學上的規律不是一下子直覺說出來的，那么這樣先來說一說雙數：22、24、26、28，猜猜看，可能是誰？

學生試這四個數。

師：寫出所有的因數，然后把自己給去掉。

師：正確答案應該是22，我們一起來找一找，人們開始找第三個完美數，想知道第5個嗎？師板書。為什么這么驚訝？同學們驚訝的背后張老師體會的過老，剛才找一個也花了一分多鐘，要從幾十億數中找出這6個完美數，數學家們要付出多大的心血。你覺得什么力量使數學家們去不斷努力？

生：好奇心

師：數學家們能透過枯燥的數學本身看到里面的東西，就像我們今天這堂課一樣，透過數字蘊藏著大量豐富的規律。高斯曾經說過的把數學比作科學的皇后，數論是數學皇后頭頂上的皇冠，我們研究的只是數論中的最最基本的一些小常識，換句話說這堂課我們沒有摘取數學皇后頭頂上的皇冠，我們摘取的只是皇冠上一小粒一小粒的珠子。

第五篇：張齊華《圓的認識》課堂實錄

張齊華《圓的認識》課堂實錄

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師：今天上課我們學什么？大聲地說“學什么” 生齊：圓的認識

師：從哪里看到的？只給我看，生指屏幕

師：屏幕上有，還有呢？ 師：說，哪有？

師：沒錯，圓片，還有嗎？ 生：圓規

師：沒錯，還有圓規。孩子們都很善于觀察、善于聯想。老師的信封里還有一個圓，想看看嗎？ 生齊：想

師出示一個信封，摸出一個圓片，師：是圓嗎？ 生：是

師：聽說咱們班的同學特別的聰明，所以，一會兒老師要把這個圓片放進信封了，讓同學們把他摸出來，有沒有信心？ 生齊：有 師：我不會輕易的給你們這樣一個簡單的問題的，這里面不僅僅有著一個圓，還有其他的圖形，想看看嗎？ 師：好，現在看誰的反應最快？ 師從信封里摸出一個長方形 生：長方形

師：男孩的反應快，狀態也不錯。師從信封里摸出一個正方形 生：正方形

師：還有一個圖形

師從信封里摸出一個三角形 生：三角形

師：猜猜還有嗎？

師從信封里摸出一個平行四邊形 生：平行四邊形

師從信封里摸出一個梯形 生：梯形

師：行了行了，孩子們，都別你們猜到了。教師課件演示各種圖形，師；同學們能不能從各種圖形中把圓摸出來？你覺得有難度嗎？ 生齊：沒有 師：為什么？

生：因為圓是由曲線圍成。師：而其他圖形呢？

生：都是由直線，哎！線段圍成。師：同意嗎？

師：再仔細看看，正因為這些圖形都是由線段圍成的，所以他們都有什么？ 生：角

師：圓有角嗎？ 生：沒有。

師:所以圓特別的？ 生：光滑 師：說的真好

師：數學上，我們把左面的這些由線段圍成的圖形給它個名稱：直線圖形。（課件演示）孩子們，圓是由什么圍成的？ 生齊：曲線

師：給它一個名稱。生：曲線圖形

師：曲線圖形，行了，現在讓你們再直線圖形中將圓這個唯一的曲線圖形摸出來，難不難？ 生齊：不難。

師：誰讓你們聰明呢？還有難的。師出師一個不規則圖形

師：它也是有曲線圍成的吧？彎彎曲曲的。那么你們會不會把它也摸出來？ 生齊：不會 師：為什么？

師：有的同學說，因為它有的地方凹，有的地方凸。而圓怎么樣？顯得特別的飽??，說出來，特別的?? 生齊：飽滿

師：嘿！瞧，還有一個 師出示一個橢圓，師：看，沒有凹進去的地方了吧？看上去有光滑，有飽滿，你們待會兒會不會也把它也當作圓給摸出來？ 生：不會，師：為什么？

師利用學具演示，師：因為它這樣看上去扁扁的，這樣看上去?? 生：瘦瘦的

師：瘦瘦的。圓呢？

教師出示圓形教具，轉動。師：怎么樣？ 生：一樣

師：怎么看到的一樣？

師：好了孩子們，現在從這些圖形里把圓摸出來難不難？口說無憑，誰愿意上來試試？

行，就你吧，近水樓臺

師：咱們協商一下，這些圖形我就不放進信封里去了，要是放進去咱們同學還看得見嗎？ 生：看不見了

師：看不見，就讓他一個人在里面摸多沒意思呀。所以我請你閉上眼睛，我把圖形一個一個往你手上放。你要是感覺是就大聲地喊一聲“是”，要是覺得不是?? 生：不是 師：可以嗎？ 生齊：可以

師：你閉上眼睛，你能做到嗎？其他同學你們能出聲嗎？ 生：不能

師：對，不能提醒。但是可以做一件事情，當你認為他的判斷正確的時候，可以大聲的喊一聲“對”，給它鼓勵一下，ok？ 生齊：ok！

師：好，伸出你最拿手的一只手，右邊，準備好了嗎？ 生：準備好了 生1:不是.師:對不對? 生:對.生1:不是.師:對不對? 生:對.生1:更不是.師:瞧,這更字用的多好.生1:更不是.師:小家伙厲害.生1:不是.生:對.生1:是.生:對.師:掌聲鼓勵一下.圓是曲線圖形

可是和下面這些凹凸的或者橢圓這樣的曲線圖形相比,圓看起來又是那樣的飽滿,那樣的光滑,那樣勻稱.2000多年前,偉大的數學家畢達哥拉斯贊美”在一切平面圖形中圓最美”, 畫圓

張老師發現絕大多數的同學畫的都非常的好,不過也不排除有個別同學到現在也沒畫完,有個別同學畫完了,可似乎還有缺口,明明是這樣畫的,可是怎么就繞不回去了呢?聰明的孩子猜一猜,他們之所以沒有成功的畫一個圓,你們覺得可能是哪里的問題，生2:我認為是圓的半徑變了.師:半徑是個新詞,我們用圓規來說,院的半徑變了,也就是畫圓的時候,量角的距離變了.在畫圓的過程中能不能改變? 生:不能.師:除了這個地方改變以外,還有那些地方不能動? 生3:圓心改變了.師:在畫圓的過程中,針不能改變.畫圓看起來簡單,大家琢磨一下,里面還是有學問的.下面我們把剛才大家提出的建議綜合起來,手握柄,中間扎的地方固定,兩角的距離不能變,三個要素綜合起來,輕輕的繞一圈,圓就畫出來了.孩子們,掌握了這三要素,有沒有信心,比剛才畫的又快又好? 生:能.師:先別動筆,邊畫邊思考.圓和什么有關系? 生:圓心和半徑.師:我知道你們說的半徑是什么意思?

誰能到前面來,說說哪個距離是不變的?其他的孩子要注意觀察 生4(到黑板前畫出遠的半徑)師:對不對? 生:對.師:同學們,可千萬不要小看這條線段,在圓中,這條線段有著特殊并且很重要的地位,我發安閑,剛才這位同學畫完圓以后,還擦了擦,對這兩條線段似乎有特殊的要求,大家來看一下,一端在哪里? 生:圓心.師:這點是圓心,也就是針尖留下的,那圓心可用用哪個字母表示? 生:O.師:請在你剛才畫的圓上,標出圓心,寫出字母O.繼續看這條線段,圓心的另一端在哪里? 生;圓上.師:象這樣,連接圓和圓上兩個點的線段,叫做半徑.半徑可以用小寫字母r來表示,現在畫出一條半徑,寫出字母r.剛才我發現喲個同學,上次畫的非常快.刻畫司這次畫的非常慢,你們知道是什么原因嗎?不知道是他沒有聽清楚,還是自己在想辦法,在琢磨.因為我們畫的是一條圓的半徑,他畫的是四條,我們想一想:一個圓里只有一條半徑嗎? 生:不是.師:那有多少個? 生:無數個.師:數學重要的不是結論,最怕的是哪三個字,你們知道嗎? 生;不知道.師:不知道不怕,怕的是別人說這三個字:為什么?

我一旦問為什么有無數條,敢舉手的人就不多了.所以僅僅依靠感覺,看起來似乎是無數條,是不夠的.可為什么說無數條呢?先聽聽這位同學的意見,別的同學繼續思考.生5:因為圓是一種曲線圖形,它的表面非常平滑,所以半徑有無數條.師:因為平滑,所以有無數條.生6:因為圓心到圓上的距離全部相等

生7:因為半徑是圓上任意一點的,圓上有無數個點,所以有無數條半徑.師;我最喜歡剛才她說的一個詞,任意一點.什么叫任意一點? 生:隨便

師:請問,在圓上有多少個這樣隨便的點? 生:無數.師:有無數個點,就對應無數個半徑.所以孩子們,在學習數學時,不能只圖于表面,要問自己三個字? 生:為什么? 師:現在邊看我的板書,邊思考問題,既然圓有無數條半徑,那么它的長度怎么半呢? 生:相等.師:同意的請舉手,我的三個字又來了.生:為什么.師:為什么在一個圓里半徑都相等?回想一下,張老師讓你們準備了什么工具? 生:圓規.師:還有尺寸,尺寸讓你們用來干什么的? 生:量.師:現在就動手量一量.雖然是有無數條,但是我們不必全都量,找幾條代表一下就可以了.同學們,剛才我們畫一畫,量一量,在你們的圓中,半徑都相等的請舉手.有沒有同學說,老師我不用畫,不用量也知道,有嗎? 生8:從畫圓的時候,我就注意到,畫圓的時候,兩角的距離沒有發生變化.師:既然兩角的距離沒有變,那么兩角的距離其實就是半徑的距離.兩角的距離不變,也就以為著半徑的距離不變.孩子們,畫一畫量一量是研究問題的方法,看一看想一想,對畫圓的方法進行推理,同樣是一種方法.我們現在簡單回憶一下剛才的學習過程,認識了是很么是圓心,什么是半徑,大家知道半徑很有特點.生:半徑有無數條,長度都相等,都一樣.師:其實早在2000多年前,中國古時候的哲人也對這個問題進行了研究,你們猜他們的出結論了嗎? 生:得出來了.師:而且他們得出的結論和同學們得出的幾乎相同.不過表述不一樣,就是六個字,圓,一中同長也.我們的古人很聰明,但是我覺得你們更聰明,因為你們只用了幾分鐘就總結出來了.不過現代人在研究這句話的時候,他們說古人說的不完全準確,因為這個同長,不只是半徑同長,還有直徑.因此又提出了另外一個概念:直徑.連接圓心和圓上某一點的線段叫做半徑.那怎樣的線段叫直徑呢?說不出沒有關系,你能在這個圓上比畫比畫嗎?現在我來畫一畫,盡管我是老師,如果畫錯的話,也不要客氣,大聲喊錯.看看誰的膽子最大.生:錯.師:我還沒有畫呢,聰明的孩子不看結果,看過程就知道了,畫直徑要通過圓心,概括一下,通過圓心,并且兩端都在圓上,這樣的餓線段才叫直徑.可以用小寫字母d來表示,現在請畫出圓的直徑,并用小寫字母d來表示.孩子們,數學學習,除了問剛才的三個字為什么以外,還要善于聯想,不要一切都從頭在來,.剛才我們已經證實了半徑,知道它的特點:半徑有無數條,而且都相等.那直徑呢? 生:也有無數條,直徑都相等.師:直徑有無數條,我們就不檢驗了,那直徑都相等,這是為什么呢?

除了六個舉手的同學以外,其他同學可不恩能夠喪失一次思考的機會呀.帶工具了嗎,一起來畫一畫.通過畫一畫,量一量,我們發現圓里的直徑的長度都是一樣的.有沒有同學說我不量也知道這個結果? 生9:因為我們知道所有的半徑都相等.師:聰明的眼睛看出的不一樣,我們看這條線段,看出的是一條直徑,他除了看出一條直徑以外,還看到了兩條半徑,一條直徑包含兩條半徑,而所有半徑的長度相等,所以直徑也相等.我們又一次借助推理,完成了直徑的發現.剛才這個男同學,不僅告訴我們為什么直徑相等,還給我們帶出了一個新的結論,在同一個圓里,直徑和半徑有關心嗎? 生:有.直徑是半徑的二倍.師:這樣描述太復雜了,用簡潔的數學語言來描述好嗎?也就是d=2r，就這樣.兩個字母加一個數字,我們剛才的結果就出來了.我們剛才學習了圓心,半徑,直徑,而且半徑和直徑有無數條,長度相等.我們試想一下,在同一個圓里,如果它們的半徑不是都相等的,而是有的長,有的短,那你覺得最后連起來的還是一個圓嗎?還可能光華飽滿勻稱光華飽滿勻稱嗎?想一想是什么原因,使圓看起來那樣光華飽滿勻稱? 生:半徑和直徑都相等.師:很準確.是半徑的長度都相等.在一個圓里有無數條半徑,長度都相等,所以才使圓看起來光華飽滿勻稱,圓的美通過研究終于在這里找到了.有人會說在同一個圖形中,具有等長線段的又不是只有圓一個，你們相信嗎?我們來看一下,這是一個正三角形,從中心出發,連接三個頂點,這三條線段一樣長,這樣的線段有三條.正方形有幾條? 生:四條.師:正五邊形,有幾條? 生:五條.師:正六邊形? 生:六條.師:正八邊形? 生:八條.師:圓形? 生:無數條.師:難怪有人說圓是一個正無數邊形.我們會發現隨著三角形,正四邊形,正五邊形,正六邊形,正八邊形,更多邊形的邊數越來越多的時候,這個圖形越來越接近圓形.有的同學說還不是很接近,給同學們兩分鐘思考的時間,假如邊數在增加,你猜猜看會怎么樣?是否會更接近圓.我們借助一個小實驗一起來驗證一下我們的猜想,看一看這個正十六邊形,和剛才的正八邊形相比,更接近圓,但不是圓.現在看看32邊形,更接近圓.但還不是圓.有時思維需要跳躍一下,現在看看100邊形,更接近了,才正100邊形,想象一下,如果正1000邊形,正10000邊形,1億,10億,直到無窮無盡,直線圖形居然在它最

的地方和曲線圖形圓交融在一起.現在把張老師給你們準備的圓拿出來,哪個女孩子一直在觀察,看這個圓是否有圓心,肯定有,只是我沒有標,請看大屏幕,這是一個半徑()厘米的圓,聰明的你們能量出它的半徑嗎?看看誰能想到好辦法?同伴合作,開始.這邊的同學量得的半徑是5厘米.這邊也是5厘米,這邊是4厘米,這邊是3厘米,大家請思考,張老師畫的圓很奇怪,居然有的是半徑3厘米,有的是4厘米,有的是5厘米,那半徑不同,你就想象一下,圓的大小一樣嗎? 生:不一樣.師:半徑幾厘米的圓比較大? 生:5厘米.半徑幾厘米的圓比較小? 生:3厘米.師:現在把所有的圓舉起來,看看,思考一個問題,圓的大小和誰有關? 生:半徑.師:雖然量出來了,可是我要看看是怎樣能夠量出來的?誰愿意給大家交流一下,你是怎樣量出半徑的? 生10:先把圓對折一下,就是一個半圓,然后再把它對折一下,這個點就是它的圓心,知道了圓心,半徑也就知道了.師:在三年級的時候,我們也學過對折,這就說明圓是一個軸對稱圖形,折線就是它的對稱軸.圓有無數條對稱軸,這名同學是對折兩次,那么對折一次是否可以量出? 生11:先對折一次,然后折痕就是圓的直徑,除以2就是半徑.師:有的同學是通過量得出的結果,雖然比我們剛才說的方法都在混卻，但是在數學學習過程中,要先嘗試,在調整,其實也是一種可行的方法.嘎嘎年菜有個女孩子悄悄的問我,張老師,你這個圓怎么就沒有針眼呢?那沒有針眼,想一想,我這個圓是用圓規畫出來的嗎? 生:不是.師:那就奇怪了,張老師不用圓規,是喲功能什么辦法畫的圓呢? 生12:用一個碗扣在白紙上,描一下.師:有可能,但不是.生13:可能是一端是線,另一端是筆,把線一繞,圓就出來了.師:人造圓規.生4:先把紙對折,然后想要畫多少直徑,有了半圓,就可以得到一個圓了.師:這個方法至少給我們開拓了思路,他用的是三年集學的軸對稱圖形的知識,也可以,很善于思考.可是你們都猜錯了,正確的答案是用電腦畫的.但是我們發現用電腦畫圓的的大小太隨意了,怎么能更好的畫出半徑是3厘米,4厘米或者5厘米呢?看,雙擊一下,對于圓來說,高度就是直徑.如果我要畫一個半徑3厘米,那高度就是6厘米,不對呀,怎么變成橢圓了? 生15:少了寬度.師:多精明的孩子呀!所以光有高度還不行.還要有寬度,寬度也要是6厘米,我再按一下回車,就出來一個半徑是3厘米,直徑是6厘米的圓.我們來看一下是不是這樣的.概括一下,畫圓的方法,只有圓規一種嗎? 生:不是.師:可以是多種多樣的,在所有畫圓的方法中,有一種是最最基本的,是圓規.假如張老師非要用圓規畫一個半徑是5厘米的圓,你覺得我的兩角應該張開有多大? 生:5厘米.師:4厘米呢? 生:4厘米.師:如果半徑是3厘米,那么直徑呢? 生:6厘米.師:是不是我把圓扯開6厘米,就可以畫圓了/ 生;不是.要扯開3厘米.師:所以圓規兩角張開的距離是半徑,回顧一下,今天我們一起認識了圓,又近一步感受了圓的特別,其實圓、還有一個更特別的地方,我們一起來看大屏幕:這是一個正三角形,現在我們把它的中心點稍微選中一下,結果發現和原來的三角形沒有完全吻合.現在來看看圓,饒著中心旋轉,隨便怎樣轉,都能吻合.數學上我們把圓的這個特點叫做旋轉不變性.那三角形有旋轉不變性嗎? 生:沒有.師:如果我們照這樣的角度繼續望下轉,你會發現什么奇怪的現象? 生:近似一個圓, 師:想一想,剛才我們旋轉的是什么呀? 生:中心.師:如果不用中心旋轉,就不行.這里有一個正方形,饒這個頂點來旋轉,不知道行還是不行?一邊觀察,一邊思考,能轉成一個近似的圓嗎?所以可以知道正方形,三角形,繞著一邊,隨便旋轉,都可以得出一個近似的圓.一條線段繞中點旋轉,請同學們仔細盯著線段的兩個端點,看它的運動結束以后,成了一個什么? 生:圓.師:其實就是特定的點運動的軌跡.今天我們還接觸了什么平行四邊形,梯形,甚至是任意的區別行等等,那么它們繞某一點旋轉,能出現圓嗎?回家去試試,也許一幅一幅美倫美幻的圖形就在你們的手下誕生了,到時別忘了帶給咱班的數學老師和其他同學一起去交流和欣賞.