第一篇：張齊華平均數教學設計

一、張齊華《平均數》教學實錄

（請注意他的語言表述）【教學內容】

蘇教版《義務教育課程標準實驗教科書

數學》三年級（下冊）第92～94頁?！窘虒W目標】

1．在具體問題情境中，感受求平均數是解決一些實際問題的需要，通過操作和思考體會平均數的意義，學會并能靈活運用方法求簡單數據的平均數（結果是整數）。

2．能運用平均數的知識解釋簡單的生活現象，解決簡單實際問題，進一步積累分析和處理數據的方法，發展統計觀念。

3．進一步發展學生的思維能力，增強與同伴交流的意識與能力，體驗運用知識解決問題的樂趣，建立學好數學的信心。

一、初步建立平均數的意義

師：你們喜歡體育運動嗎?

生：(齊)喜歡!

師：如果張老師告訴大家，我最喜歡并且最拿手的體育運動是籃球，你們相信嗎?

生：不相信?；@球運動員通常都很強壯，就像姚明和喬丹那樣。張老師，您也太瘦了點。

師：真是哪壺不開提哪壺啊。不過還別說，和你們一樣，我們班上的小力、小林、小剛對我的投籃技術也深表懷疑。就在上星期，他們三人還約我進行了一場“1分鐘投籃挑戰賽”。怎么樣，想不想了解現場的比賽情況?

生：(齊)想!

師：首先出場的是小力，他1分鐘投中了5個球?？墒?，小力對這一成績似乎不太滿意，覺得好像沒有發揮出自己的真實水平，想再投兩次。如果你是張老師，你會同意他的要求嗎?

生：我不同意。萬一他后面兩次投中的多了，那我不就危險啦!

生：我會同意的。做老師的應該大度一點。

師：呵呵，還真和我想到一塊兒去了。不過，小力后兩次的投籃成績很有趣。

(師出示小力的后兩次投籃成績：5個，5個。生會心地笑了)師：還真巧，小力三次都投中了5個。現在看來，要表示小力1分鐘投中的個數，用哪個數比較合適? 生：5。

師：為什么?

生：他每次都投中5個，用5來表示他1分鐘投中的個數最合適了。

師：說得有理!接著該小林出場了。小林1分鐘又會投中幾個呢?我們也一起來看看吧。

(師出示小林第一次投中的個數：3個)

師：如果你是小林，會就這樣結束嗎?

生：不會!我也會要求再投兩次的。師：為什么? 生：這也太少了，肯定是發揮失常。

師：正如你們所說的，小林果然也要求再投兩次。不過，麻煩來了。(出示小林的后兩次成績：5個，4個)三次投籃，結果怎么樣? 生：(齊)不同。

師：是呀，三次成績各不相同。這一回，又該用哪個數來表示小林1分鐘投籃的一般水

平呢?

生：我覺得可以用5來表示，因為他最多，二次投中了5個。

生：我不同意川、強每次都投中5個，所以用5來表示他的成績。但小林另外兩次分別投中4個和3個，怎么能用5來表示呢? 師：也就是說，如果也用5來表示，對小力來說—— 生：(齊)不公平!

師：該用哪個數來表示呢?

生：可以用4來表示，因為3、4、5三個數，4正好在中間，最能代表他的成績。

師：不過，小林一定會想，我畢竟還有一次投中5個，比4個多1呀。生：(齊)那他還有一次投中3個，比4個少1呀。師：哦，一次比4多1，一次比4少1??

生：那么，把5里面多的1個送給3，這樣不就都是4個了嗎?

師：數學上，像這樣從多的里面移一些補給少的，使得每個數都一樣多。這一過程就叫“移多補少”。移完后，小林每分鐘看起來都投中了幾個?

生：(齊)4個。

師：能代表小林1分鐘投籃的一般水平嗎?

生：(齊)能!

師：輪到小剛出場了。(出示圖)小剛也投了三次，成績同樣各不相同。這一回，又該用幾來代表他1分鐘投籃的一般水平呢?同學們先獨立思考，然后在小組里交流自己的想法。

生：我覺得可以用4來代表他1分鐘的投籃水平。他第二次投中7個，可以移1個給第一次，再移2個給第三次，這樣每一次看起來好像都投中了4個。所以用4來代表比較合適。

師：還有別的方法嗎?

生：我們先把小剛三次投中的個數相加，得到12個，再用12除以3等于4個。所以，我們也覺得用4來表示小剛1分鐘投籃的水平比較合適。

[師板書：3+7+2=12(個)，12÷3=4(個)]

師：像這樣先把每次投中的個數合起來，然后再平均分給這三次(板書：合并、平分)，能使每一次看起來一樣多嗎?

生：能!都是4個。

師：能不能代表小剛1分鐘投籃的一般水平? 生：能!師：其實，無論是剛才的移多補少，還是這回的先合并再平均分，目的只有一個，那就是——

生：使原來幾個不相同的數變得同樣多。

師：數學上，我們把通過移多補少后得到的同樣多的這個數，就叫做原來這幾個數的平均數。(板書課題：平均數)比如，在這里(出示圖)，我們就說4是3、4、5這三個數的平均數。那么，在這里(出示圖)，哪個數是哪幾個數的平均數呢?在小組里說說你的想法。

生：在這里，4是3、7、2這三個數的平均數。

師：不過，這里的平均數4能代表小剛第一次投中的個數嗎?

生：不能!

師：能代表小剛第二次、第三次投中的個數嗎?

生：也不能!

師：奇怪，這里的平均數4既不能代表小剛第一次投中的個數，也不能代表他第二次、第三次投中的個數，那它究竟代表的是哪一次的個數呢?

生：這里的4代表的是小剛三次投籃的平均水平。

生：是小剛1分鐘投籃的一般水平。

(師板書：一般水平)

師：最后，該我出場了。知道自己投籃水平不怎么樣，所以正式比賽前，我主動提出投四次的想法。沒想到，他們竟一口答應了。前三次投籃已經結束，怎么樣，想不想看看我每一次的投籃情況?(師呈現前三次投籃成績：4個、6個、5個)師：猜猜看，三位同學看到我前三次的投籃成績，可能會怎么想?

生：他們可能會想：完了完了，肯定輸了。

師：從哪兒看出來的?

生：你們看，光前三次，張老師平均1分鐘就投中了5個，和***并列第一。更何況，張老師還有一次沒投呢。

生：我覺得不一定。萬一張老師最后一次發揮失常，一個都沒投中，或只投中一兩個，張老師也可能會輸。

生：萬一張老師最后一次發揮超常，投中10個或更多，那豈不贏定了?

師：情況究竟會怎么樣呢?還是讓我們趕緊看看第四次投籃的成績吧。(師出示圖)師：憑直覺，張老師最終是贏了還是輸了? 生：輸了。因為你最后一次只投中1個，也太少了。

師：不計算，你能大概估計一下，張老師最后的平均成績可能是幾個嗎?

生：大約是4個。

生：我也覺得是4個。

師：英雄所見略同呀。不過，第二次我明明投中了6個，為什么你們不估計我最后的平均成績是6個?

生：不可能，因為只有一次投中6個，又不是次次都投中6個。

生：前三次的平均成績只有5個，而最后一次只投中1個，平均成績只會比5個少，不可能是6個。

生：再說，6個是最多的一次，它還要移一些補給少的。所以不可能是6個。

師：那你們為什么不估計平均成績是1個呢?最后一次只投中1個呀!生：也不可能。這次盡管只投中1個，但其他幾次都比1個多，移一些補給它后，就不止1個了。

師：這樣看來，盡管還沒得出結果，但我們至少可以肯定，最后的平均成績應該比這里最大的數——

生：小一些。

生：還要比最小的數大一些。生：應該在最大數和最小數之間。

師：是不是這樣呢?趕緊想辦法算算看吧。

[生列式計算，并交流計算過程：4+6+5+1=16(個)，16÷4=4(個)]

師：和剛才估計的結果比較一下，怎么樣?

生：的確在最大數和最小數之間。

師：現在看來，這場投籃比賽是我輸了。你們覺得問題主要出在哪兒? 生：最后一次投得太少了。

生：如果最后一次多投幾個，或許你就會贏了。

師：試想一下：如果張老師最后一次投中5個，甚至更多一些，比如9個，比賽結

果又會如何呢?同學們可以通過觀察來估一估，也可以動筆算一算，然后在小組里交流你的想法。

(生估計或計算，隨后交流結果)

生：如果最后一次投中5個，那么只要把第二次多投的1個移給第一次，很容易看出，張老師1分鐘平均能投中5個。

師：你是通過移多補少得出結論的。還有不同的方法嗎?

生：我是列式計算的。4+6+5+5=20(個)，20÷4=5(個)。

生：我還有補充!其實不用算也能知道是5個。大家想呀，原來第四次只投中1個，現在投中了5個，多出4個。平均分到每一次上，每一次正好能分到1個，結果自然就是5個了。

師：那么，最后一次如果從原來的1個變成9個，平均數又會增加多少呢?

生：應該增加2。因為9比1多8，多出的8個再平均分到四次上，每一次只增加了2個。所以平均數應增加2個。

生：我是列式計算的，4+6+5+9=24(個)，24÷4=6(個)。結果也是6個。

二、深化理解，延伸思維

師：現在，請大家觀察下面的三幅圖，你有什么發現?把你的想法在小組里說一說。(師出示三圖，并排呈現)(生獨立思考后，先組內交流想法，再全班交流)

生：我發現，每一幅圖中，前三次成績不變，而最后一次成績各不相同。師：最后的平均數—— 生：也不同。

師：看來，要使平均數發生變化，只需要改變其中的幾個數?

生：一個數。

師：瞧，前三個數始終不變，但最后一個數從1變到5再變到9，平均數——

生：也跟著發生了變化。

師：難怪有人說，平均數這東西很敏感，任何一個數據的“風吹草動”，都會使平均數發生變化。現在看來，這話有道理嗎?(生：有)其實呀，善于隨著每一個數據的變化而變化，這正是平均數的一個重要特點。在未來的數學學習中，我們將就此作更進一步的研究。大家還有別的發現嗎?

生：我發現平均數總是比最大的數小，比最小的數大。師：能解釋一下為什么嗎? 生：很簡單。多的要移一些補給少的，最后的平均數當然要比最大的小，比最小的大了。師：其實，這是平均數的又一個重要特點。利用這一特點，我們還可以大概地估計出一組數據的平均數。

生：我還發現，總數每增加4，平均數并不增加4，而是只增加1。

師：那么，要是這里的每一個數都增加4，平均數又會增加多少呢?還會是1嗎?

生：不會，應該增加4。師：真是這樣嗎?課后，同學們可以繼續展開研究?；蛟S你們還會有更多的新發現!不過，關于平均數，還有一個非常重要的特點隱藏在這幾幅圖當中。想不想了解? 生：想!

師：以圖6為例。仔細觀察，有沒有發現這里有些數超過了平均數，而有些數還不到平均數?(生點頭示意)比較一下超過的部分與不到的部分，你發現了什么?

生：超過的部分和不到的部分一樣多，都是3個。

師：會不會只是一種巧合呢?讓我們趕緊再來看看另兩幅圖吧?

生：(觀察片刻)也是這樣的。

師：這兒還有幾幅圖，情況怎么樣呢?

生：超過的部分和不到的部分還是同樣多。

師：奇怪，為什么每一幅圖中，超出平均數的部分和不到平均數的部分都一樣多呢? 生：如果不一樣多，超過的部分移下來后，就不可能把不到的部分正好填滿。這樣就得不到平均數了。

生：就像山峰和山谷一樣。把山峰切下來，填到山谷里，正好可以填平。如果山峰比山谷大，或者山峰比山谷小，都不可能正好填平。

師：多生動的比方呀!其實，像這樣超出平均數的部分和不到平均數的部分一樣多，這是平均的第三個重要特點。把握了這一特點，我們可以巧妙地解決相關的實際問題。

(師出示如下三張紙條)師：張老師大概估計了一下，覺得這三張紙條的平均長度大約是10厘米。(呈現圖10)不計算，你能根據平均數的特點，大概地判斷一下，張老師的這一估計對嗎? 生：我覺得不對。因為第二張紙條比10厘米只長了2厘米，而另兩張紙條比10厘米一共短了5厘米，不相等。所以，它們的平均長度不可能是10厘米。

師：照你看來，它們的平均長度會比10厘米長還是短? 生：應該短一些。

生：大約是9厘米。

生：我覺得是8厘米。

生：不可能是8厘米。因為7比8小了1，而12比8大了4。師：它們的平均長度到底是多少，還是趕緊口算一下吧。??

三、實際應用，鞏固新知

師：下面這些問題，同樣需要我們借助平均數的特點來解決。瞧，學?；@球隊的幾位同學正在進行籃球比賽。我了解到這么一份資料，說李強所在的快樂籃球隊，隊員的平均身高是160厘米。那么，李強的身高可能是155厘米嗎?

生：有可能。

師：不對呀!不是說隊員的平均身高是160厘米嗎?

生：平均身高160厘米，并不表示每個人的身高都是160厘米。萬一李強是隊里最矮的一個，當然有可能是155厘米了。

生：平均身高160厘米，表示的是籃球隊員身高的一般水平，并不代表隊里每個人的身高。李強有可能比平均身高矮，比如155厘米，當然也可能比平均身高高，比如170 厘米。

師：說得好!為了使同學們對這一問題有更深刻的了解，我還給大家帶來了一幅圖。(出示中國男子籃球隊隊員的合影)畫面中的人，相信大家一定不陌生。

生：姚明!

師：沒錯，這是以姚明為首的中國男子籃球隊隊員。老師從網上查到這么一則數據，中國男子籃球隊隊員的平均身高為200厘米。這是不是說，籃球隊每個隊員的身高都是200厘米?

生：不可能。

生：姚明的身高就不止2米。

生：姚明的身高是226厘米。

師：看來，還真有超出平均身高的人。不過，既然隊員中有人身高超過了平均數——

生：那就一定有人身高不到平均數。

師：沒錯。據老師所查資料顯示，這位隊員的身高只有178厘米，遠遠低于平均身高?？磥恚骄鶖抵环从骋唤M數據的一般水平，并不代表其中的每一個數據。好了，探討完身高問題，我們再來看看池塘的平均水深。

(師出示圖)師：冬冬來到一個池塘邊。低頭一看，發現了什么?

生：平均水深110厘米。

師：冬冬心想，這也太淺了，我的身高是130厘米，下水游泳一定沒危險。你們覺得冬冬的想法對嗎?

生：不對!

師：怎么不對?冬冬的身高不是已經超過平均水深了嗎?

生：平均水深110厘米，并不是說池塘里每一處水深都是110厘米?？赡苡械牡胤奖容^淺，只有幾十厘米，而有的地方比較深，比如150厘米。所以，冬冬下水游泳可能 會有危險。

師：說得真好!想看看這個池塘水底下的真實情形嗎?(師出示池塘水底的剖面圖)生：原來是這樣，真的有危險!

師：看來，認識了平均數，對于我們解決生活中的問題還真有不少幫助呢。當然，如果不了解平均數，鬧起笑話來，那也很麻煩。這不，前兩天，老師從最新的《健康報》上查到這么一份資料。

(師出示：《2007年世界衛生報告》顯示，目前中國男性的平均壽命大約是71歲)師：可別小看這一數據哦130年前，也就在張老師出生那會兒，中國男性的平均壽命大約只有68歲。比較一下，發現了什么? 生：中國男性的平均壽命比原來長了。

師：是呀，平均壽命變長了，當然值得高興嘍。可是，一位70歲的老伯伯看了這份資料后，不但不高興，反而還有點難過。這又是為什么呢?

生：我想，老伯伯可能以為平均壽命是71歲，而自己已經70歲了，看來只能再活1年了。

師：老伯伯之所以這么想，你們覺得他懂不懂平均數。

生：不懂!師：你們懂不懂?(生：懂)既然這樣，那好，假如我就是那位70歲的老伯伯，你們打算怎么勸勸我? 生：老伯伯，別難過。平均壽命71歲，并不是說每個人都只能活到71歲。如果有人只活到六十幾歲，那么，你不就可以活到七十幾歲了嗎?

師：原來，你是把我的幸福建立在別人的痛苦之上呀!(生笑)不過，還是要感謝你的勸告。別的同學又是怎么想的呢?

生：老伯伯，我覺得平均壽命71歲反映的只是中國男性壽命的一般水平，這些人中，一定會有人超過平均壽命的。弄不好，你還會長命百歲呢!

師：謝謝你的祝福!不過，光這么說，好像還不足以讓我徹底放心。有沒有誰家的爺爺或是老太爺，已經超過71歲的?如果有，那我可就更放心了。

生：我爺爺已經78歲了。

生：我爺爺已經85歲了。

生：我老太爺都已經94歲了。

師：真有超過71歲的呀!猜猜看，這一回老伯伯還會再難過嗎? 生：不會了。

師：探討完男性的平均壽命，想不想了解女性的平均壽命?有誰愿意大膽地猜猜看?

生：我覺得中國女性的平均壽命大約有65歲。

生：我覺得大

第二篇：張齊華的平均數教學實錄

平均數教學實錄

課前交流：

2.測試：這個題我測過六年級學生，也測過五年級、四年級的學生，今天想測測我們三年級的孩子，愿意接受挑戰嗎？這道題，9秒鐘完成就是聰明；6秒完成就是很聰明；3秒完成那是相當的聰明。拿出筆、打開作業本；把筆和作業本以外的所有東西收到抽屜里面去。兩個善意的小測試讓學生在緊張有趣中完成了上課的準備。

3.語速：老師說話怎么樣？快但是很清晰、不拖沓，希望孩子們也能用最簡短的話語把自己的意思表達出來。教學過程：

一、建立意義

師：我們隨便聊個輕松點的話題，你們喜歡體育運動嗎? 生：(齊)喜歡!最拿手的是什么？師：說說看呢？（跑步、打籃球、踢毽子等，教師均簡短評價等等）師：猜猜張老師喜歡什么運動？（身輕如燕、看不出來有生猜到喜歡籃球，并且絕大多數學生認同）

（師：如果張老師告訴大家，我最喜歡并且最拿手的體育運動是籃球，你們相信嗎? 生：不相信?；@球運動員通常都很強壯，就像姚明和喬丹那樣。張老師，您也太瘦了點。師：真是哪壺不開提哪壺啊。不過還別說，和你們一樣，我們班上的小強、小林、小剛對我的投籃技術也深表懷疑。）

就在上星期，我班上有三人（分別是小強、小林和小剛）對我的籃球水平表示懷疑，約我進行了一場“1分鐘投籃挑戰賽”。怎么樣，想不想了解現場的比賽情況? 生：(齊)想!

師：首先出場的是小強，鐺鐺 他1分鐘投中了5個球?？墒牵妼@一成績似乎不太滿意，覺得好像沒有發揮出自己的真實水平，想再投兩次。如果你老師，你會同意他的要求嗎?

生：我不同意。萬一他后面兩次投中的多了，那我不就危險啦!

生：我會同意的。做老師的應該大度一點。

師：呵呵，還真和我想到一塊兒去了。不過，小強后兩次的投籃成績很有趣。鐺鐺

(師出示小強的后兩次投籃成績：5個，5個。生會心地笑了)師：還真巧，小強三次都投中了5個?，F在看來，要表示小強1分鐘投中的個數，用哪個數比較合適?生：5。

師：為什么?

生：他每次都投中5個，用5來表示他1分鐘投中的個數最合適了。師：說得有理!接著該小林出場了。小林1分鐘又會投中幾個呢?我們也一起來看看吧。(師出示小林第一次投中的個數：3個)

師：如果你是小林，會就這樣結束嗎? 搖啊搖，到老師來說

生：不會!我也會要求再投兩次的。

師：正如你們所說的，小林果然也要求再投兩次。(出示小林的后兩次成績： 4個，5個)不過，麻煩來了。三次投籃，用什么表示比較合適？結果怎么樣?生：(齊)不同。

師：是呀，三次成績各不相同。這一回，又該用哪個數來表示小林1分鐘投籃的一般水平呢? 生：3。師：是老師反正不算，不仁不義嘛。

生：我覺得可以用5來表示，因為它最多，第三次投中了5個。

生：我不同意，小強每次都投中5個，所以用5來表示他的成績。但小林另外兩次分別投中4個和3個，怎么能用5來表示呢? 小強不樂意

師：也就是說，如果也用5來表示，對小強來說——生：(齊)不公平!師：該用哪個數來表示呢?

生：可以用4來表示，因為3、4、5三個數，4正好在中間，最能代表他的成績。

師：不過，小林一定會想，我畢竟還有一次投中5個，比4個多1呀。生：(齊)那他還有一次投中3個，比4個少1呀。

師：哦，一次比4多1，一次比4少1??靠近，往哪靠，就選誰

那么，把5里面多的1個挪送給3，這樣不就都是4個了嗎? 3種舉手比較舉手，3的眼睛只盯著

‘。。只有4的都考慮到了。平衡(師結合學生的交流，呈現移多補少的過程，如圖1)

師：數學上，像這樣從多的里面移一些補給少的，使得每個數都一樣多。這一過程就叫“移多補少”。移完后，小林每分鐘看起來都投中了幾個? 生：(齊)4個。

師：能代表小林1分鐘投籃的一般水平嗎?

生：(齊)能!

師：輪到小剛出場了。(出示圖2)小剛也投了三次，成績不看不知道，一看嚇一跳穩定嗎？一會超強，一會跌倒谷底。這一回，又該用幾來代表他1分鐘投籃的一般水平呢7 還有理，中間數無中生有?

最高水平。同學們先獨立思考，然后在小組里交流自己的想法。

生：我覺得可以用4來代表他1分鐘的投籃水平。他第二次投中7個，可以移1個給第一次，再移2個給第三次，這樣每一次看起來好像都投中了4個。所以用4來代表比較合適。(結合學生交流，師再次呈現移多補少過程，如圖3)

師：我可不是移多補少

生：我們先把小剛三次投中的個數相加，得到12個，再用12除以3等于4個。所以，我們也覺得用4來表示小剛1分鐘投籃的水平比較合適。善于解決問題

[師板書：3+7+2=12(個)，12÷3=4(個)]

師：像這樣先把每次投中的個數合起來，然后再平均分給這三次(板書：合并、平分)，能使每一次看起來一樣多嗎?列個總格算式輕松搞定

生：能!都是4個。

師：能不能代表小剛1分鐘投籃的一般水平?生：能!師：其實，無論是剛才的移多補少，還是這回的先合并再平均分，目的只有一個，那就是——生：使原來幾個不相同的數變得同樣多。

師：數學上，我們把通過移多補少后或先合并再平均分，得到的同樣多，同樣多的這個數，就叫做原來這幾個數的平均數。(板書課題：平均數)比如，在這里(出示圖1)，我們就說4是3、4、5這三個數的平均數。那么，在這里(出示圖3)，哪個數是哪幾個數的平均數呢?在小組里說說你的想法。生：在這里，4是3、7、2這三個數的平均數。

師：不過，這里的平均數4能代表小剛第一次投中的個數嗎?

生：不能!

師：能代表小剛第二次、第三次投中的個數嗎?

生：也不能!

師：奇怪，這里的平均數4既不能代表小剛第一次投中的個數，也不能代表他第二次、第三次投中的個數，那它究竟代表的是哪一次的個數呢?整體水平

生：這里的4代表的是小剛三次投籃的平均水平。

生：不能代表某一次的水平，是代表一組數據的一般水平。(師板書：一般水平)直接說：我要4次機會師：最后，該我出場了。知道自己投籃水平不怎么樣，老師很聰明，所以正式比賽前，我主動提出投四次的想法。沒想到，他們竟一口答應了。嘰嘰咕咕商量沒關系說反正比平均數、5

不可能投出姚明 21 前三次投籃已經結束，怎么樣，想不想看看我每一次的投籃情況?(師呈現前三次投籃成績：4個、6個、5個，如圖4)當3次成績出來呀 20

師：那個后悔啊。商量

就此結束，他們同意嗎？

師：猜猜看，三位同學看到我前三次的投籃成績，可能會怎么想?

生：他們可能會想：完了完了，肯定輸了。

調3次比一比

生：你們看，光前三次，張老師平均1分鐘就投中了5個，和小強并列第一。更何況，張老師還有一次沒投呢。他們會同意嗎？ 老師會贏嗎？加油脆弱

師：情況究竟會怎么樣呢?還是讓我們趕緊看看第四次投籃的成績吧。(師出示圖5)

師：算式

憑什么我除以4

師：英雄所見略同呀?；丶易聊?，關鍵輸在哪 ？前半夜

5后半夜

[生列式計算，并交流計算過程：4+6+5+1=16(個)，16÷4=4(個)]

師：現在看來，這場投籃比賽是我輸了。你們覺得問題主要出在哪兒? 生：最后一次投得太少了。

生：如果最后一次多投幾個，或許你就會贏了。

師：試想一下：如果張老師最后一次投中5個，甚至更多一些，比如9個，比賽結果又會如何呢?同學們可以通過觀察來估一估，也可以動筆算一算，然后在小組里交流你的想法。

(生或計算，隨后交流結果)

生：如果最后一次投中5個，那么只要把第二次多投的1個移給第一次，很容易看出，張老師1分鐘平均能投中5個。

師：你是通過移多補少得出結論的。還有不同的方法嗎?

生：我是列式計算的。4+6+5+5=20(個)，20÷4=5(個)。

生：我還有補充!其實不用算也能知道是5個。大家想呀，原來第四次只投中1個，現

在投中了5個，多出4個。平均分到每一次上，每一次正好能分到1個，結果自然就是5個了。

師：那么，最后一次如果從原來的1個變成9個，平均數又會增加多少呢?

生：應該增加2。因為9比1多8，多出的8個再平均分到四次上，每一次只增加了2個。所以平均數應增加2個。

生：我是列式計算的，4+6+5+9=24(個)，24÷4=6(個)。結果也是6個。

二、深化理解

師：現在，請大家觀察下面的三幅圖，你有什么發現?把你的想法在小組里說一說。(師出示圖

6、圖

7、圖8，三圖并排呈現)

(生獨立思考后，先組內交流想法，再全班交流)

生：我發現，每一幅圖中，前三次成績不變，而最后一次成績各不相同。

師：最后的平均數—— 生：也不同。

師：看來，要使平均數發生變化，只需要改變其中的幾個數?

生：一個數。

師：瞧，前三個數始終不變，但最后一個數從1變到5再變到9，平均數——

生：也跟著發生了變化。

師：難怪有人說，平均數這東西很敏感，任何一個數據的“風吹草動”，都會使平均數發生變化。現在看來，這話有道理嗎?(生：有)其實呀，善于隨著每一個數據的變化而變化，這正是平均數的一個重要特點。在未來的數學學習中，我們將就此作更進一步的研究。大家還有別的發現嗎?

生：我發現平均數總是比最大的數小，比最小的數大。師：能解釋一下為什么嗎? 生：很簡單。多的要移一些補給少的，最后的平均數當然要比最大的小，比最小的大了。師：其實，這是平均數的又一個重要特點。利用這一特點，我們還可以大概地估計出一組數據的平均數。生：我還發現，總數每增加4，平均數并不增加4，而是只增加1。

師：那么，要是這里的每一個數都增加4，平均數又會增加多少呢?還會是1嗎? 生：不會，應該增加4。

師：真是這樣嗎?課后，同學們可以繼續展開研究?；蛟S你們還會有更多的新發現!不過，關于平均數，還有一個非常重要的特點隱藏在這幾幅圖當中。想不想了解? 生：想!師：以圖6為例。仔細觀察，有沒有發現這里有些數超過了平均數，而有些數還不到平均數?(生點頭示意)比較一下超過的部分與不到的部分，你發現了什么? 生：超過的部分和不到的部分一樣多，都是3個。

師：會不會只是一種巧合呢?讓我們趕緊再來看看另兩幅圖(指圖

7、圖8)吧? 生：(觀察片刻)也是這樣的。

師：這兒還有幾幅圖，(出示圖1和圖3)情況怎么樣呢? 生：超過的部分和不到的部分還是同樣多。

師：奇怪，為什么每一幅圖中，超出平均數的部分和不到平均數的部分都一樣多呢? 生：如果不一樣多，超過的部分移下來后，就不可能把不到的部分正好填滿。這樣就得不到平均數了。

生：就像山峰和山谷一樣。把山峰切下來，填到山谷里，正好可以填平。如果山峰比山谷大，或者山峰比山谷小，都不可能正好填平。

師：多生動的比方呀!其實，像這樣超出平均數的部分和不到平均數的部分一樣多，這是平均的第三個重要特點。把握了這一特點，我們可以巧妙地解決相關的實際問題。

（以上環節，齊華增加了一個排球環節，把多的拍給少的，即移多補少的過程，的確非常之妙，學生學得興趣盎然，而且印象深刻）

師：張老師大概估計了一下，覺得這三張紙條的平均長度大約是10厘米。(呈現圖10)不計算，你能根據平均數的特點，大概地判斷一下，張老師的這一估計對嗎?

生：我覺得不對。因為第二張紙條比10厘米只長了2厘米，而另兩張紙條比10厘米一共短了5厘米，不相等。所以，它們的平均長度不可能是10厘米。

師：照你看來，它們的平均長度會比10厘米長還是短? 生：應該短一些。生：大約是9厘米。生：我覺得是8厘米。生：不可能是8厘米。因為7比8小了1，而12比8大了4。師：它們的平均長度到底是多少，還是趕緊口算一下吧。??

三、拓展展開

師：下面這些問題，同樣需要我們借助平均數的特點來解決。瞧，學校籃球隊的幾位同學正在進行籃球比賽。我了解到這么一份資料，說李強所在的快樂籃球隊，隊員的平均身高是160厘米。那么，李強的身高一定是160厘米嗎? 師：不對呀!不是說隊員的平均身高是160厘米嗎? 生：平均身高160厘米，并不表示每個人的身高都是160厘米。萬一李強是隊里最矮的一個，當然有可能是155厘米了。

生：平均身高160厘米，表示的是籃球隊員身高的一般水平，并不代表隊里每個人的身高。李強有可能比平均身高矮，比如155厘米，當然也可能比平均身高高，比如170 厘米。

師：說得好!為了使同學們對這一問題有更深刻的了解，我還給大家帶來了一幅圖。(出示中國男子籃球隊隊員的合影，圖略)畫面中的人，相信大家一定不陌生。生：姚明!師：沒錯，這是以姚明為首的中國男子籃球隊隊員。老師從網上查到這么一則數據，中國男子籃球隊隊員的平均身高為200厘米。這是不是說，籃球隊每個隊員的身高都是200厘米? 生：不可能。生：姚明的身高就不止2米。生：姚明的身高是226厘米。

師：看來，還真有超出平均身高的人。不過，既然隊員中有人身高超過了平均數——

生：那就一定有人身高不到平均數。

師：沒錯。據老師所查資料顯示，這位隊員的身高只有178厘米，遠遠低于平均身高?？磥恚骄鶖抵环从骋唤M數據的一般水平，并不代表其中的每一個數據。好了，探討完身高問題，我們再來看看池塘的平均水深。(師出示圖11)

師：冬冬來到一個池塘邊。低頭一看，發現了什么? 生：平均水深110厘米。

師：冬樂開了花，這也太淺了，我的身高是130厘米，下水游泳一定沒危險。你們覺得冬冬的想法對嗎? 生：不對!師：怎么不對?冬冬的身高不是已經超過平均水深了嗎? 生：平均水深110厘米，并不是說池塘里每一處水深都是110厘米。可能有的地方比較淺，只有幾十厘米，而有的地方比較深，比如150厘米。所以，冬冬下水游泳可能 會有危險。師：說得真好!想看看這個池塘水底下的真實情形嗎?(師出示池塘水底的剖面圖，如圖12)

生：原來是這樣，真的有危險!師：看來，認識了平均數，對于我們解決生活中的問題還真有不少幫助呢。當然，如果不了解平均數，鬧起笑話來，那也很麻煩。這不，前兩天，老師從最新的《健康報》上查到這么一份資料。(師出示：《2009年世界衛生報告》顯示，目前中國男性的平均壽命大約是71歲)師：可別小看這一數據哦30年前，也就在張老師出生那會兒，中國男性的平均壽命大約只有68歲。比較一下，發現了什么?生：中國男性的平均壽命比原來長了。

師：是呀，平均壽命變長了，當然值得高興嘍?？墒?，一位70歲的老伯伯看了這份資料后，不但不高興，反而還有點難過。這又是為什么呢? 生：我想，老伯伯可能以為平均壽命是71歲，而自己已經70歲了，看來只能再活1年了。

師：老伯伯之所以這么難過，你們覺得他懂不懂平均數。師：你們懂不懂?(生：懂)既然這樣，那好，假如我就是那位70歲的老伯伯，你們打算怎么勸勸我? 生：老伯伯，別難過。平均壽命71歲，并不是說每個人都只能活到71歲。如果有人只活到六十幾歲，那么，你不就可以活到七十幾歲了嗎? 師：原來，你是把我的幸福建立在別人的痛苦之上呀!(生笑)不過，還是要感謝你的勸告。別的同學又是怎么想的呢? 生：老伯伯，我覺得平均壽命71歲反映的只是中國男性壽命的一般水平，這些人中，一定會有人超過平均壽命的。弄不好，你還會長命百歲呢!師：謝謝你的祝福!不過，光這么說，好像還不足以讓我徹底放心。有沒有誰家的爺爺或是老太爺，已經超過71歲的?如果有，那我可就更放心了。

生：我爺爺已經78歲了。生：我爺爺已經85歲了。生：我老太爺都已經94歲了。師：真有超過71歲的呀!猜猜看，這一回老伯伯還會再難過嗎?生：不會了。

師：探討完男性的平均壽命，想不想了解女性的平均壽命?有誰愿意大膽地猜猜看? 生：我覺得中國女性的平均壽命大約有65歲。生：我覺得大約有73歲。(師呈現相關資料：中國女性的平均壽命大約是74歲)師：發現了什么? 生：女性的平均壽命要比男性長。

師：既然這樣，那么，如果有一對60多歲的老夫妻，是不是意味著，老奶奶的壽命一定會比老爺爺長? 生：不一定!生：雖然女性的平均壽命比男性長，但并不是說每個女性的壽命都會比男性長。萬一這老爺爺特別長壽，那么，他完全有可能比老奶奶活得更長些。

師：說得真好!走出課堂，愿大家能帶上今天所學的內容，更好地認識生活中與平均數有關的各種問題。下課!帶上你所有的東西：）

第三篇：《可能性》教學設計(借鑒張齊華老師)

《可能性》教學設計

課型：新授課

課時：一課時

? 設計理念

古希臘著名教育家畢達哥拉斯曾說過：“在數學的天地里，重要的不是我們知道掃描，而是我們怎么知道什么?！蓖瑫r，建構主義心理學認為，在學生主動建構知識的過程中，已有知識經驗和信念起到關鍵的作用。本課的設計，我注重學生的過程體驗，并注重喚起學生對生活中確定現象和隨機現象的認識，搭起本課教學的大門。

? 教學內容

《義務教育課程標準實驗教科書·數學》（人教版）三年級上冊第104~105頁。

? 教材學情分析

可能性是四個學習領域中“統計與概率”中的一部分，“統計與概率”中的統計初步知識在一、二年級已經涉及，但概率知識對于學生來說是全新的概念，它是學生以后學習有關知識的基礎，并且概率問題一個是與社會關系密切的重要問題。在現實世界中，有些事件的結果一定的條件下可以預知，即確定現象；有些事件的結果在一定的條件下無法事先預知，即隨機現象，不確定現象。為了幫助學生認識現實生活中的確定現象和隨機現象，本單元的《可能性》是在引導學生觀察、分析生活中的現象，初步體驗現實世界中存在的不確定現象，認識事件發生的確定性和不確定性。

? 教學目標

知識與技能：

1、通過具體的操作活動，直觀感受有些事件的發生是確定的，有些事件的發生是不確定的。

2、結合具體的問題情境，能用“一定”“不可能”“可能”簡單描述事件發生結果。

過程與方法：

1、創設有趣的活動與游戲（如摸球活動），讓學生經歷猜想、實踐、驗證、推測的過程，體驗事件發生的可能性和不確定性。

2、充分關注學生的學習過程，對積極參與勇于交流的行為給予充分的肯定與表揚。

情感態度價值觀：

1、在同伴的合作和交流中，獲得良好的交流體驗，感受到數學與生活的密切聯系。

? 教學重難點

教學重點：結合已有經驗和情境，理解“一定”“不可能”“可能”發生的事件，并能列舉生活中的一些實例。

《可能性》教學設計

教學難點：

1、培養初步的判斷、推理能力，能判斷事物發生的可能性。

2、通過游戲，使學生在經歷觀察、猜測和試驗中，經歷知識的形成過程。

? 教法學法

《新課標》強調：教學要建立在學生已有的知識經驗基礎和發展水平之上，要親身經歷將實際問題抽象成數學模型。教法采用情景教學法、探索教學法，學法：觀察發現法，自助探究法等。

? 教學準備

1、每組一袋球（1~4號3紅3白、5號袋2紅2黃2白，6號袋5白1紅，發給左側兩小組）

2、四個硬紙板口袋；三塊黑卡紙；4紅4黃4綠吸鐵石。

3、教師有3口袋，7號4紅3黃（小花，用作猜球練習），8號7白（備10白1紅），9號3白2紅2黃（例題演示）。

4、分好6人小組，按坐的順序定好1-6號，中間一人組長，培訓組長、示范摸球。

5、備紅粉筆1支，確認磁性黑板，在黑板上布好點，放好12個吸鐵石。

? 教學流程

一、摸球前的準備。

師：今天啊，徐老師帶來了一些小禮物，猜猜是什么？ 預設：乒乓球

師：咱們看看，里邊有什么顏色，好不好，注意觀察，看誰的反應最快。（滿面含笑摸出一個球，高舉這是一個——），預設：齊答：黃球

師：當然（放進去再摸出一個），里面啊還有——（預設接：白球），這兩種顏色太平常了，對不對??？生活中我們都能見到，徐老師還帶了一種特殊的乒乓球——（預設接：紅球）

師：（欣喜）可不要小看了這個乒乓球，那是徐老師前兩天單獨給同學們定做的，喜歡嗎？（預設接：喜歡）

師：那要是徐老師把這個紅色的乒乓球重新放回到口袋里，然后讓你像這樣任意的從中摸一個，你覺得你會把紅色的乒乓球從這里摸出來么? 預設：不會、可能

師：想試試嗎？（預設斬釘截鐵：想）

師：不著急，徐老師這兒帶來了3個口袋。那這三個口袋里都裝了什么顏色的球呢？瞪大眼睛。（貼1號袋）1號袋，什么顏色？

預設：黃色和白色

師：4個黃色，2個白色!真快，繼續，2號袋（貼2號袋）預設（齊答）：3個紅色，3個白色

師：三紅三白最簡潔，3號袋（預設接：全紅）概括得很好！

《可能性》教學設計

二、摸球游戲 感受“可能、不可能、一定” 1.感受“一定”

師：現在，如果你特別想從某口袋里摸出一個紅球，你會選擇到幾號袋子里去摸？1號、2號還是3號？

預設1：第3個

師：想摸3號口袋的舉手。哇，你們都想摸第3個袋子？奇怪，為什么你們都選3號？說理由 預設：因為3號口袋全部都是紅球。

師：是呀，3號袋里全是紅球，孩子們？任意的從中摸一個??會怎么樣??？（預設接：都是紅球）師：數學上還可以說——任意摸一個，‘一定’摸出紅球，對吧？（板書：一定）2.感受“不可能”

師：奇怪，1號袋里也有6個球，為什么不去1號袋里摸？ 預設1：因為1號口袋里沒有紅球。

師：所以徐老師從里面去任意摸一個會怎么樣？ 預設：就肯定摸不到紅球。

師：嗯，這詞兒用得真好。這1號口袋里一個紅球都沒有，任意摸一個，有可能摸出紅球嗎？ 預設齊：不可能

師：（贊賞地）嗯，沒有紅球怎么可能摸到紅球呢？（在1號口袋下寫“不可能”）3.體驗摸球游戲，感受并理解“可能”

（1）驗證有“可能”摸到紅球，初步認識“可能”

師：我很奇怪，2號袋好像也沒任何人想去摸，看來，在2號袋中任意摸一個好像也不可能摸出紅球，你們覺得對嗎？

預設：（預設反對）我覺得這2號口袋里有可能摸出紅球的。（其余學生點頭認同）

師：也就是大家都覺得2號口袋里既有紅，可又不全是紅。因此，你們覺得任意從中摸一個??（學生接：有可能），有可能，但是也不是很踏實，對不對？（齊答：對）光這樣說是不夠的，想動手來試試嗎？（預設接：想）

【摸球環節課前準備】：

1.將學生分組，將球和表格分給各個組長

2.交待給3個組長：1.不能看袋里的球，拿到座位上后放地上 2.聽清楚老師要求，說拿出袋子再拿出袋子 3.按順時針的方向摸球（組長第一個，組長左手邊的同學是第二個，依次類推），摸一個就記錄一個 4.組員都摸完之后，將袋子放回地上，舉手示意

師：我們就一起來進行摸球比賽：比什么？我們不比你摸到的球是什么顏色，就比一比哪一組摸得最快，最遵守秩序。孩子們，怎樣摸最快呢？（邊演示邊說）像這樣手一伸，一拿，拿到那個就哪個！

師：聽清楚摸球規則：第一、大家能不能偷看？（不能），摸之前還要像這樣？（搖一搖）【學生活動：摸球，師了解學預設摸球的情況，做及時的方法的指導與紀律的引導：動作快、組長可要

《可能性》教學設計

把好關哦/不能看，其他組員也不能看/有的小組已經5位同學摸完了，加油/】

師：好，迅速放到地上，趕快藏到地上

師：孩子們，徐老師現在特別特別期待，摸球的情況到底怎樣呢？有沒有哪個小組愿意給大家展示一下的？第一小組（點出），有請你們組，來（直接說顏色就行）【結合學預設回答，在ppt上展示學預設的摸球情況?！?/p>

師：有不一樣的嗎？奇怪，球都是3紅3白，摸出的情況竟然會不同。來，第二組，有請你們組。師：說得還不夠快！/機會留給誰？/好的！/ 展出4組的摸球情況： 第一組：白白紅紅白紅 第二組：紅白紅紅紅紅 第三組：紅白紅紅紅紅 第四組：白白白白紅白

師：因為時間關系，匯報先到此為止?，F在，觀察一下這四個小組的摸球情況，是不是每組都有人摸到了紅球？

預設：摸到了。

師：看來，這2號口袋里有3個紅球、3個白球，從中任意摸一個球，有可能摸到紅球嗎？（結合回答寫：可能）

（2）感受在哪一次摸到紅球的不確定性，進一步理解“可能”

師：真好，實踐證明，有紅有白的時候，的確是有可能摸到紅色。別高興得太早，孩子們。有可能歸有可能，但是到底會在第幾次摸到紅球，你們覺得能確定嗎？

預設：不能。

師：讓我們再來看看他們摸球的情況吧。跟著徐老師的手，先看看第一小組，第幾次摸到了紅球？ 預設：3、4、6。師：再看第二小組呢。預設：1、3、4、5、6。

師：不一樣?。〉谌〗M呢？預設：1、3、4、5、6。師：第四小組呢？ 預設： 5。

（預設：假如第2次都顯示紅球，師反問：第二次你們確定能摸到紅球嗎？那我想說的是再請一個小組也這么摸6次，那你們覺得第2次也肯定是紅球嗎？）

師：那這樣看來，雖然有可能，但到底第幾次才會摸到紅球，能確定嗎？ 預設：不能。

師：但是你們別著急。盡管第幾次摸到紅球沒法確定。但我們相信，只要我們不停地摸下去，有沒有可能摸到紅球??？（預設接：有）

師：像這樣，雖然不能確定什么時候摸到，但只要一直摸下去、摸下去，總會摸到紅球，數學上，《可能性》教學設計

我們就把它叫做可能?。ò鍟嚎赡埽┟靼琢藛幔?/p>

預設：明白。

（3）加強對不同概率的事件中，“可能”的理解 A.對“2紅2黃2白”的探討

師：忘了告訴你們，剛才再給你們在發球的時候，有幾個小組，我給他們的球里面稍微動了點手腳，師：想不想知道那幾個小組，我給他們口袋里藏了什么球？ 預設：想。

師：瞪大眼睛，觀察一下，這一小組里的球和這個口袋里的球一樣嗎？（預設：不一樣）誰的眼睛最尖？

預設：2紅2黃2白。預設：顏色比原來多了。師：但是紅色的球？ 預設：紅球比原來少了。

師：孩子們，球的顏色多了，紅球少了，變少了之后，任意摸一個還有可能摸到紅球嗎？ 預設：可能。

師：覺得有可能的請舉手，說說你的理由? 預設：有紅球就有可能。

師：概括很簡練，他的意思是說只要里面有紅球，摸著摸著，總有可能把紅球給摸出來。同不同意？（預設接：同意）

【預設：學生發現紅球記號，師：這可不是我們所允許的，好樣的。除了這些小小的歪門邪道以外，如果正常的摸的話，是有可能摸到紅球的吧？】

師：到底有沒有可能呢？光這么說也不行，怎么辦？（預設：試）

師：這個字用得好，還試什么，都有人摸過了。是哪一組呢？（預設：有學生拒收）多聰明，你們是怎么發現里面的球有問題的？摸出了什么球就發現里面有問題（黃球）厲害，都是高手。來，驗證一下，看看是不是2紅2黃2白（打開口袋給一預設驗證）。

師：老師現在很忐忑，到底有沒有摸到紅球呢？不著急，我來采訪一下，什么顏色？從1號開始說吧。

【預設一：沒有一個人摸到紅球】 預設1：白 預設2：黃 預設3：白 預設4：白 預設5：黃 預設6：黃

師：很多同學都笑了，笑得真傻。剛才是誰說可能會摸到紅球的，別賴。徐老師是根據實驗結果得

《可能性》教學設計

出來的，這個袋子里是不可能摸到紅球的。

預設：有可能。

預設：反對，一直這么摸下去就能摸到。師：（把球重新裝回口袋）想試試嗎？ 預設：想。師：還請這一組。預設：不可能，還想試。

預設接著摸球，終于摸到了一個紅球。

師：就出一個球就讓你們這么高興啊。看來，是可能摸到紅球的，就是幾率小了點。

那么這一組的結果說明了什么問題??？在這個口袋里任意摸一個（球），大聲的說會怎么樣？就（有可能摸到紅球）。雖然紅球少了點兒，沒關系。

【預設二：有摸到紅球】 預設：紅色

師：還要再往下問嗎？孩子們，2紅、2黃、2白的時候，任意摸一個有可能摸到紅球嗎？（預設：有）那么這一組的結果說明了什么問題??？在這個口袋里任意摸一個（球），大聲的說會怎么樣？就（有可能摸到紅球）。雖然紅球少了點兒，沒關系。

B.對“5白1紅”的探討

師：還有一個小組的球，想看看嗎？不看（不知道），一看（嚇一跳），我專來嚇你們來著。（出示1紅5白，學生感嘆：哇）

師：哇什么？你說？ 預設：只有一個紅球

師：語言簡潔，意思到位，紅球又（變少了）。孩子們，考驗你們的時候到了，現在，從中任意摸一個球，還有可能摸到紅球嗎？（預設：有）認為有的請舉手，說理由。

預設：只要里面有一個紅球，就有可能

師：我很擔心呀，白球這么多，還有可能嗎？怎么辦？ 預設：試、問

師：組長把球給我，先驗證一下，是1紅5白嗎？（請一名學生看）是不是？（是）真好。師：我現在心理有點緊張，還有可能嗎？不著急，先采訪。（逐一問學生）太好了，我太喜歡你們倆了。要沒你們倆，我心里真有點兒不踏實。6個同學里面有2個摸到了紅球，看來從這個口袋里任意摸一個會怎么樣？告訴我！

預設：有可能摸到紅球

師：盡管紅球很（少），那現在看來你們覺得在什么情況下就有可能摸到紅球？ 預設：只要有紅球

C.對“紅球摸到的概率更小”的探討

師：同意嗎（同意）別忙著下結論，只要有紅球，那我想問的是假如說紅球就那么一個，白球再多

《可能性》教學設計

一點兒，你們覺得還有可能嗎？（可能/可能性越來越小）你還出現了不同聲音了。瞧，徐老師給大家帶來了。（出示：1紅10白的口袋）

師：1個紅球，10個白球了，有可能摸到紅球嗎？（有可能）堅決認為有的請舉手，手放下。再挑戰一下（出示：1紅100白），我數過了1個紅球，100個白球。還有可能摸出紅球嗎？（有可能）看來刺激度還不夠啊，我現在裝了1000個白球，紅球只有個（1個）（出示：1000個白球，1個紅球）。那現在我要問的是，就是在這個非常極端的袋子里，任意摸一個，只要告訴我，還有沒有可能摸到紅球？（齊答：有）同意的坐直。

師：現在還有可能嗎？（出示：1000個白球，移走白球）怎么了，移走一個就沒有可能了，說。預設：沒有紅球了，不可能摸到紅球

師：要是有的話，那真叫做無中生有了，對吧。4.小結“一定”“不可能”“可能”，并用“可能”說一說

師：好樣的孩子們，通過剛才的學習，我相信大家結合摸球充分認識到了：在一個口袋里，瞧，如果都是紅球的話，任意摸一個（預設接：一定是紅球）一定摸到紅球，真好。那如果從1號袋里任意摸一個，（預設接：不可能）不可能摸到紅球。那要是口袋里，既有紅球，又有白球，任意摸一個（有可能），除了有可能摸到紅球，還有可能摸到（黃球）?？隙ǎ浚隙ǎ┠俏覇柲銈冊?號袋里和3號袋里，有可能摸到白球嗎？噓??把你的想法說給同桌聽，開始

預設：同桌間交流 師：好，誰來說。

預設：1號袋有可能摸到白球 師：同意嗎？理由？

預設：1號袋里有白球，就有可能摸到白球。

師：3號袋，誰想說，有可能嗎？（沒有）對紅球來說是“一定”，對白球來所就是“不可能”了。

二、放球，應用“可能、不可能、一定” 1.第一關：運用一定

師：剛才，是老師裝球，同學們摸球。現在，想不想自己也來裝一裝球？看瞧，這兒第一個空口袋，還有一些球，幾個紅的？（4個）反應最快在這兒，幾個黃的？（4個）幾個綠的（4個）看要求，球可不是隨便往里邊裝的，現在，我希望你們往里裝一些球，但從中任意摸一個球，要一定是綠球。

預設：會。

師：你準備放什么顏色，放幾個？誰來試試？ 預設：放3個綠球。

師：我們一起來看看?。ê诎迳喜僮鳎?，來。同學們給他一個判斷，從中任意摸一個是綠球，對嗎？對就掌聲通過。（學生擊掌通過）鼓勵別人有的時候也是肯定自己。

師:我在想啊，何必要3個（擺2個），行嗎？（行）也沒看到掌聲鼓勵我一下。師：那除了3個還可以怎樣？（1個），還能再拿嗎

《可能性》教學設計

師：一句話，只要怎樣放，就一定能摸到綠球？ 預設：只要全部都是綠球。

師：純色的，任意摸一個就是綠球，ok？ 2.第二關：運用“不可能”

師：第一關，恭喜你們都通過了，想試試第二關嗎？（想）現在，要改變要求了——任意摸一個，不可能摸到綠球？行嗎？悄悄將思路說給同桌聽聽。

師：好了沒有？不可能摸到綠球，你準備怎么放？ 預設：紅球、白球全部放進去。

師：聰明的孩子，我在等待著你的判斷：不同意舉手抗議，同意掌聲。還有不一樣的嗎？ 預設：全部紅，放1個白。

師：一句話，誰來概括一下，只要怎樣放，就不可能摸到綠球？ 預設：只要袋子里不放綠球。

師：只要不放綠球，就不可能摸到綠球，對嗎？（對）總之一句話，什么東西堅決不能放進去？（綠球）恭喜你，答對了。3.第三關：運用“可能”

師：第三關，任意摸一個球，可能是綠球。這個有點兒難了，我給大家4人一小組，說說你的想法，好不好？比一比。要求小組里4人說4種不同的方法，哪個組的方法最多。

師：好了沒有，來吧。請沒有回答過問題的，你說?！绢A設一：只要放一個綠球，就有可能摸到綠球】 預設：只要里面有一個綠球，就有可能摸到綠球。

師：好丫頭，考驗我們呢。這句話太狠了，把所有機會都擋掉了。好嘞，成功，yeah（黑板上放一個綠球）。

預設：錯了

師:看來他對了一半對不對，你看我里面不是有一個綠球嗎？我現在變成什么了？ 預設：現在變成了肯定綠球

師：現在能怎么辦？他想概括的想法我很欣賞，你來。預設：再放幾個其他顏色的球

師：你的意思是再隨便再放幾個其他顏色的球，可以嗎？掌聲鼓勵。接下來，我就不一一問了，我想你們應該理解很透了。誰來概括一下，只要怎樣放，就有可能摸到綠球？

預設：既要有綠球，也要有其他顏色的球。

師：掌聲在等什么呢？有綠色，又不全是綠色，任意摸一個可能是綠球，對吧？ 【預設二：各種具體的回答】 預設1：2紅2黃2綠 預設2：全放

預設3：紅球黃球都放，只放1個綠球

《可能性》教學設計

師：孩子們，可能嗎？（可能）。師：看來，只要怎樣放，就可能摸到綠球？ 預設：只要有一個綠球就行，再放點其他的球。

師：掌聲在等什么呢？有綠色，又不全是綠色，任意摸一個可能是綠球，對吧？

三、猜球

1.摸球并猜一猜

師：球摸過了，放也放過了，最后，還想不想和老師玩個猜球游戲？很有挑戰性哦。瞧，老師這兒有三個口袋。記住，這三個袋子，剛才趁你們在活動的時候把里面的球都換了，可不是這里面的三個袋子了。里面都有些怎樣的球呢？我可以透露一下——第一個袋子：三紅三黃四白，反應真快，小伙子?。ㄈS四紅）yes，第三個口袋（5紅2綠）

師：現在注意觀察了，劉謙來啦?，F在，我要從中拿一個口袋，拿的是哪個口袋呢，我可不想告訴你？（打亂順序）

師：現在，我就拿了一個口袋，你們猜猜看這可能是幾號口袋？（1號2號）還有不同的嗎（3號），完了，光這樣猜，能猜得出來嗎？（看、試）看一下，太沒有挑戰性了，我肯定不會讓你看。

預設：摸一個。

師：我太喜歡你的創意了，好！滿足你的想法，誰愿意上來摸？齊刷刷的，我找一個最遠端的，坐得遠也有好處啊。（請一名學生）最關鍵的任務就交給你了。

師：孩子，你得和我互相配合好，可以嗎？注意要求，不能偷看。我得先干嘛？（搖球）對，這個很重要。（搖球）堅決不能偷看噢。

師：你們也有任務，你們的是什么？（監督）對，一個是監督，另外一個是猜！當這個球一出來，你就得憑感覺，或者憑你的推理，你覺得這應該可能是幾號袋子，或者不可能是幾號袋？Ok? 師：黃的出來了，想說什么話？能確定是哪個嗎？（不能）那不能你還舉啥手？你說？ 預設：有可能是2號袋。

師：不可能是幾號袋（3號袋）為什么不可能是3號袋？ 預設：因為3號袋里沒有黃色的。師：沒有黃色的可能摸出黃色嗎？

師：你的這一摸太牛了！破解了徐老師一半的難題。（隱去三號袋）還剩2個袋了，怎么辦？（再摸）這個“再”字可用得真好！來吧，孩子，希望你有一只神奇的手。不好意思，我還沒有晃夠。（晃一晃，請生摸：黃）

師：大聲告訴我能確定嗎？（不能）不能我也先攆出來，免得等會兒忘掉了，兩次

師：孩子，再摸一次（晃），動作要快啊。（生摸出紅）我看到很多同學都很激動，也就是說，摸了3次，出現黃黃紅的情況，有可能在幾號袋？

預設：2號、1號口袋都有可能。

師：都可能，小伙子，時間限制，只有1次機會了，把握好機會！好嗎？（生齊喊：白球）小伙子，《可能性》教學設計

采訪你一下好不好，你猜他們為什么特別希望你摸出白球？

預設：因為1號袋沒有白球，2號袋有白球。

師：那么如果你真要摸出白球的話，你能確定是幾號袋？（1號袋）

師：同意嗎？（同意）掌聲送給你們和他。想得好，說得也好。但是想得再好，說得再好，還不如??讓他看看

師：現在，我們有個約定好不好，我把口袋打開給你看，但是你要回答我一個問題：在這里邊，有可能摸到白球嗎？好不好，只要回答就行了（不可能）孩子們幾號袋？（2號袋）恭喜你，答對了，yeah。沒錯，這個袋不是1號袋，是2號袋。（隱去1號袋）好了，答案已經出來了，他剛才沒有摸第四次，你想摸嗎？（想）不摸了，讓你猜猜看，如果讓你從這個口袋里摸第四次，會摸到什么顏色的球？我看誰說得準確，是一定、不可能、還是可能？誰來試試？

預設：有可能摸到紅色和黃色的球

師：同意嗎？（同意）還有補充（預設：紅色的可能要大一點，不可能白色）看來啊，不管你前面摸的是什么，都不影響第四次。

2.再猜一次

師：猜球有意思嗎？湊巧的是，徐老師表弟今年也上三年級，前兩天，我們也一起玩了幾次摸球游戲。我也給他準備了三個口袋，一起來看看——（1號：2黃、2白、2紅。2號：3綠。3號：2紅2綠）

師：最后，我們選擇了其中一個進行了摸球游戲，但用的究竟是幾號口袋，記不起來了。想不想知道最后的摸球情況——

預設：想

師：我們一共摸了4次，是綠球、綠球、綠球、綠球。他是幾號口袋呢？ 預設：2號。師：有不一樣的嗎？ 預設：3號口袋也有可能。

師：感興趣嗎？回家讓媽媽也買幾個乒乓球，做個袋子，好好的玩一玩這個游戲吧！下課！

第四篇：張齊華 1

張齊華

張齊華，男，1976年出生，南京市北京東路小學副校長，小學一級教師。曾多次獲南通市和海門縣數學教學評比一等獎，2003年獲江蘇省小學數學評比一等獎，連續三次在“教海探航”征文評比中獲一等獎，50余篇教育教學論文發表在省級以上刊物。參與蘇教版數學國標本教材的編寫。曾獲“南通市跨世紀學術技術帶頭人培養對象”、南京市優秀青年教師、“海門市學科帶頭人”等稱號。

1簡介

從最初課堂上蹣跚學步的“丑小鴨”，到如今眾多數學教師心目中追隨的“數學王子”，有人驚嘆于他教學技藝的高速攀升，有人折服于他對數學課堂的深刻見解，亦有人陶醉于他對數學課堂的詩化演繹因為熱愛、執著和超越，在小學數學教學的藝術王國里演繹精彩自我的真實歷程。男，1976年出生，本科學歷，南京市北京東路小學教導處副主任，小學一級教師。曾獲“南通市跨世紀學術技術帶頭人培養對象”、“海門市學科帶頭人”等稱號，被譽為“數學王子”。一直致力于數學課堂文化的探索與研究，《人民教育》《小

楊瑞科

學青年教師》先后對其在數學文化領域的探索給予報道。曾多次獲南通市和海門縣數學教學評比一等獎，2003年獲江蘇省小學數學評比一等獎，連續三次在“教海探航”征文評比中獲一等獎，50余篇教育教學論文發表在省級以上刊物。參與蘇教版數學國標本教材的編寫。2005年代表江蘇參加全國小學數學優課大賽獲一等獎，連續四次在江蘇省教育廳舉辦的征文大賽中獲一等獎，六十余篇教育教學論文在國家、省級刊物發表。參與數學課程標準蘇教版小學數學教材的編寫工作。

2榮譽成就

1998年，執教的“圓的面積”一課，因引導學生自主探索新知，合理滲透數學思想方法而在數學教學領域引起積極反響。1999年，執教的“兩步計算應用題”因大膽突破傳統應用題教學封閉、陳舊、機械的套路，有效溝通數學與現實生活的聯系，引導學生體驗數學學習的價值，給傳統應用題教學注入新的生機和活力。

2000年，執教的“平均數”因充分關注“平均數的統計學意義”，在聽課教師中引起頗大反響和思考，并引發了一場有關“平均數內涵”的大討論。

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2001年，執教的“簡單的統計”因引導學生經歷統計活動的全過程，并借助現場的調查，增進學生對統計方法及價值的理解，在江蘇省“教海探航”頒將活動中獲得充分肯定。

進入新世紀，永不滿足的他開始了對于數學文化的關注、思考和實踐。其間，從“走進圓的世界”中對于數學歷史性及數學美的關注，到“美妙的軸對稱圖形”中對于自然、社會、民俗等眾多文化領域的有機涉獵，再到“因數和倍數”中對于數學本身所內涵的魅力、人類不斷探索的精神等文化力量的有效開掘。每一次探索，都見證著他不斷思考、不斷探索的足音。

3教學方法

每個兒童都是一個獨特、完整的生命個體。他們與眾不同的個性特征、生活閱歷、文化背景，尤其是在日常生活、游戲等活動中所積淀下的“前數學經驗”，使得他們每個人的數學背景都是如此豐富而獨特。我們可以稱之為“街頭數學”，或者是“民間數學”，但它們的存在至少對我們的數學教育提出一種嶄新的要求與表達方式，那就是：唯有走進兒童的數學世界，才能真正和孩子們一起并肩看風景！

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走進兒童，首先就意味著一種寬容、一種理解和欣賞。當孩子與眾不同的想法、思想以及思考問題的視角展現在你面前時，你是否首先能保持一種審慎的態度，是否善于從孩子們的角度去換位思考，是否能排除自我經驗的干擾和成人的“文化優越感”，而以一種“平等中的首席”之身份介入對問題的思考，進而與他們一起交流、溝通、協商？其次，作為教師，我們是否具有自我批判的勇氣與氣度。一個不善于進行自我批判和深刻反思的教師是很難真正看清孩子眼中那片美麗的風景的。當孩子們的想法與你發生沖突時，你首先考慮的是什么？是否定、改造他們的想法，還是更愿意相信他們思維的合理性，更愿意從肯定、理解、揣摩的角度去對待？事實上，這當中面對的恰恰是一種教育的抉擇，而抉擇的背后映射的正是為師者思想和人格的魅力。

生活本身就是開放的，我們無法預設兒童的生活，也就勢必無法看透和把握每個兒童的前數學世界。試想，如果沒有“幫我剪圓”的經歷，“剪出圓的周長”這一怪誕的想法又將從何而來？是生活豐富了兒童的世界，而兒童世界的豐富又拓展了我們的數學和教育。充分認識到這一點之后，我們的數學教育必將走向一個更為開闊的高原，數學課堂亦將走向一個更加開放、更加流動不居、更富理智挑戰的嶄新歷程。

4教學藝術

“永遠不重復別人，更不重復自己”，這是工作格言。“課誰都能上好，但如何上出特色，走出別人沒曾走過的路，讓別人從你的探索中獲得啟迪，這才是我真正努力的方向”。就這樣，人無我有、人有我新、人新我精，攜著一股小年青永不言敗的闖勁，齊華踏上了一條不斷超越、不斷創新的教學之路；

“不重復別人，更不重復自己?！边@是張齊華的座右銘，更是他每一堂課留給大家的真實寫照。有人說，張齊華課堂的這份獨特源自于他過人的語言功底，我以為這話至少說對了一半。數學是一門理性十足的學科，數學語言本身的準確、概括、凝練自然制約著數學教學語言的風格。然而，從小喜好文學，博覽群書，對朗誦、表演等又頗為愛好的他，無形中成就了那種既有數學教師的準確、凝練，又有語文教師的激情、詩意的教學語言，加上在課堂上快捷的反應與準確的判斷，又使其教學語言多了一份特有的敏銳與智慧。至今，我們都能清晰地記起，“圓的認識”一課，那段詩意盎然的課堂結語，“軸對稱圖形”一課，那段妙語連珠的師生對話，以及更多的課堂上，那用無數個渾然天成的語言細節連綴起的華彩的教學樂章。教學首先是一門語言的藝術，是一門借助于外部言語實現內在心靈溝通的藝術。獨特而風格化的教學語言，恰恰構成了他數學教學藝術的第一張名片。

當然，張齊華課堂的那份獨特，絕不僅僅源自于他風格化的教學語言。一旦進入到他課堂的“內里”，教學目標的多元、課堂立意的深遠、教學結構的精巧、課堂進程的豐富，則又構成了他數學教學藝術的另一張獨特名片?！奥爮堼R華上課，你很難預料到他下一個環節可能會做什么?！边@種對課堂莫大的心理期待，既吸引著聽課教師，更撥弄著每一位學生對數學學習的好奇與向往?！皥A的認識”一課上，從水面上漾起的層層漣漪，到陽光下綻放的向日葵，從光線折射后形成的美妙光環，到用特殊儀器拍攝到的電磁波、雷達波、月球上的環形山，進而再到建筑、美學、民俗、藝術等各個領域，“圓”這一抽象的平面圖形以一種瑰麗的姿態走進了孩子們的視野，并悄悄改變著他們對數學抽象面孔的最初印象?！罢J識分數”一課，當張齊華呈現出他一周歲和成人后的兩張照片，進而探討“不同年齡階段，人的頭長占身高的幾分之一”時，倍感驚訝后，所有人都會心地笑了；結束新課前，他為孩子們播放的那則“多美滋奶粉”的廣告，則讓大家又一次品讀出了其匠心獨運的教學智慧。有人慨嘆：“哪有這么巧，這則廣告簡直就是為這節課量身定做的！”可是，又有誰知道，為了設計好這則教學結尾，讓孩子們真切體驗到“分數對于生活不可或缺的意義”，他翻遍了多少資料、開展了多少教學調查！頓悟源自于持續思考與強烈關注。可以說，正是這份“不重復別人，更不重復自己”的自我約束，成就了其教學的內在獨特。

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然而，如果這種獨特僅僅源自于“為創新而創新”的話，其又未免失之于標新立異。在張齊華的思想深處，他對獨特有著更深刻的體悟?！罢J識整萬數”一課，張齊華為每個學生準備了一個簡易的“四位計數器”。為了撥出像30000這樣的整萬數，已有的計數器數位不夠了，怎么辦？有學生在千位后添了一個數位萬位，問題迎刃而解；更有學生靈機一動，同桌合作將兩個計算器“拼”在一起，“四位計算器”一下成了“八位計數器”??至此，所有聽課教師恍然大悟。原來，這一“拼”不只是解決了數位不夠需要添加的問題，“4+4”的“拼合”過程，恰恰暗合了我國計數方法中“四位一級”的規則，并為學生深刻理解這一新的計數規則奠定了堅實的基礎。新穎的教學設計在這里因為有了教師對教學內容本身的深刻理解作支撐，而獲得了更加豐富的內涵。

5教學思想

在張齊華看來，數學不只是數學知識、方法、過程的簡單堆砌與疊加，數學教學也不僅僅是數學知識、技能和方法的機械傳遞與搬運。作為基礎教育乃至高等教育中必修的一門課程，她擁有其他學科所無法替代的特有的教育與文化價值，比如理性精神的滋養，或者數學思想方法的培育，等等。數學就是一種文化。這種“作為文化的數學”一旦進入課程，尤其是教學視野，勢必會呈現出一般課堂所不具有的文化氣質，她既可能表現在對數學內容的理解和組織上，也可能表現在對兒童數學需要的把握上，更多的還表現在對具體教學策略的選擇與運作上。有人說，張齊華的數學課有一種淡淡的“文化味”，大抵就是指這層意思。有人說，張齊華的課堂很特別，他的教學藝術是由他個人的內在氣質、個性和風格所決定的。這同樣只說對了一半。個人既有的教學風格、氣質固然是影響一個人形成獨特教學藝術的重要因素，但與此同時，教師是否擁有相當的專業自覺，比如，能否在對自我教學特質作出清晰把握與深刻洞察的基礎上，結合自身的教學特點，確立個性化的教學主張與見解，進而以此為基礎，構建出屬于自己獨有的教學哲學，則是教師形成教學藝術的更深層次的原因。張齊華雖然年輕，但他卻以過人的專業自覺，憑著對數學教學的敏銳洞察與深刻理解，從理論與實踐層面搭建出了“文化數學”這一嶄新的教學平臺。

不妨還是回到“圓的認識”一課。眾所周知，“在所有平面圖形中，圓是最美的！”這已經成為大家的共識?？墒?，如何引導學生去感受圓這一平面圖形的美，進而獲得真切的審美體驗？課堂上，張齊華設計的幾個問題耐人回味：“和其他直線圖形相比，你覺得圓美在哪里？”（圓由曲線圍成）“可是，不規則的曲線圖形或者橢圓也是由曲線圍成的呀，和他們相比，圓又有什么特別之處？”（圓看起來更光滑、勻稱）“除了外表光滑、勻稱以外，還有沒有什么內在的原因，讓圓成為最美的平面圖形？”“所有的半徑都相等，這與圓的美有什么重要的關聯嗎？”（事實上，正因為半徑處處相等，才使得圓具備了一種無限對稱的和諧結構，美因此而生）一連串的問題，看似都在探尋“圓為什么最美”，但探究的最終結果卻指向了圓的內在特征，以及由這些特征所構成的圓的和諧結構。至此，數學知識的習得、數學方法的滲透、數學美的體驗，三者有機融合為一體，共同構筑起了這節具有濃郁文化氣質的數學課。

此外，張齊華始終堅持，具有文化訴求的數學課堂并不排斥具體的數學知識或方法，相反，數學課程的文化價值和意義正是依托于具體數學知識、方法的學習而得以實現的。知識和方法是載體，是數學的文化價值賴以彰顯、實現的母體和根系。在他看來，只有讓知識的學習伴隨著豐富的數學思考，讓方法的滲透伴隨著理性精神的培育，這樣的數學課堂才是真正具有文化意蘊的，而他的教學藝術的精髓也正在于此。

正如蘇霍姆林斯基所言：“教師的語言素養在極大程度上決定著學生在課堂上腦力勞動的效率?！睆埰嫒A老師充滿幽默、激情、機智的語言，不僅能促進學生思維的敏捷和靈活，更能使課堂妙趣橫生，充分調動學生的學習積極性。張齊華老師不愧為小學數學界的“數學王子”，他集配音演員的音色、相聲演員的幽默、演員的表演天份、數學家的睿智??于一身。正如一位名師評價張奇華老師所用的三個詞：“高”，“富”，“帥”，正是恰如其分?！案摺保簭埨蠋煹腎Q高，EQ更高！他每一堂課都令人深深陶醉，每一堂課都給大家帶來意外的驚喜，每一堂課都能吸引住學生，“吸”住學生的學習欲望，“引”出學生的探究欲望?！案弧保簭埨蠋煂W富五車。他的知識豐富，具備的深厚的數學素養、人文素養，才能將看似干巴巴的方程，講得如此生動，解釋的如此清晰明了，令學生、老師豁然開朗！“帥”：張老師的每堂課都如此引人入勝，輕而易舉地撩起個個如火爐似的學生的學習欲望。讓原本沉悶課堂不再沉悶，讓枯燥無味的數學知識成為每個學生探索的目標，讓學生主動思考并且迫切的發表想法！

在去三明聽課之前，我在網上搜索了關于張齊華的許多課例，閱讀了許多他的文章，算是提前領略了一下名師風采：《認識整萬數》、《因數和倍數》、《運算律》、《認識分數》、《走進圓的世界》、《美妙的軸對稱圖形》無不精彩；對《數學教師理應具備的幾種視角》、《數學究竟姓什么》、《學校為誰而“美麗”？》、《為孩子的數學心靈積蓄一種力量》頗有感慨

講座《孩子的“問題”哪兒去了？》

第五篇：圓的認識教學設計--張齊華

“圓的認識”教學設計

南京市北京東路小學 張齊華

一、教學目標

1.引導學生在觀察、畫圓、測量等活動中感受并發現圓的有關特點，知道什么是圓心、半徑和直徑，能用圓規畫指定大小的圓。

2.在活動中，感受圓與其它圖形的區別，溝通它們的聯系，獲得對數學美的豐富體驗，提升學生對數學文化的認同。

二、教學線索

（一）在活動中整體感知

1．思考：如何從各種平面圖形中摸出圓？

2．操作并體會：圓與其它圖形有怎樣的區別？在交流中整體感知圓的特征。

（二）在操作中豐富感受 1．交流：圓規的構造。

2．操作：學生嘗試畫圓，交流中歸納用圓規畫圓的一般方法。3．體會（學生第二次畫圓）：如果方法正確，為什么用圓規畫不出其它的曲線圖形？

4．引導（教師示范畫圓）：使學生將思維聚焦于圓規兩腳之間的距離，體會到圓規兩腳距離的恒等，恰是“圓之所以為圓”的內在原因。

（三）在交流中建構認識

1．引導：引導學生將上述距離畫下來，由此揭示圓心及半徑，進而介紹各自的字母表示。

2．思考：半徑有多少條、長度怎樣，你是怎么發現的？

3．概括：介紹古代數學家的相關發現，并與學生的發現作比較。4．類比：學生嘗試猜直徑，進而引導學生借助類比展開思考，發現直徑的特征，并提出同一圓中直徑與半徑的關系。

5．溝通：圓的內部特征與外部形象之間具有怎樣的有機聯系？

（四）在比較中深化認識

1．比較：正三角形、正方形、正五邊形??中類似等長的“徑”各有多少條？圓的半徑又有多少條？

2．溝通：這些正多邊形與圓這一曲線圖形之間又有著怎樣的內在聯系？

（五）在練習中形成結構

1．尋找：給定的圓中沒有標出圓心，半徑是多少厘米？ 2．想像：半徑不同，圓的大小會怎樣？圓的大小與什么有關？ 3．猜測：不用圓規，還可能怎樣畫出一個圓？在交流中進一步豐富學生對半徑、直徑之間關系的認識。

4．溝通：用圓規如何畫出指定大小的圓？

（六）在拓展中深化體驗

1．滲透：在與直線圖形的對比中，揭示圓的旋轉不變性。2．介紹：呈現直線圖形旋轉后的情形，再一次引導學生感受圓與直線圖形的聯系，體會圓與旋轉的內在關聯，豐富對圓這一曲線圖形內在美感的認識。