第一篇：張齊華教學藝術系列(一)

張齊華教學藝術系列

（一）教學智慧彰顯在細節中

密斯·凡·德羅是20世紀最偉大的建筑師之一，在被要求用一句話來描述他成功的原因時，他只說了5個字，“成功在細節”。成功的課堂教學又何嘗不是如此。對細節的正確把握，是一堂課出彩的關鍵。

在教學《分數的初步認識》一課時，張齊華老師將教材(圖略)中的等分線作了隱藏處理，先出示第一條，告訴學生把一張紙條全部涂色，可以用數“1”來表示，請學生估計一下，現在涂色部分是幾分之一。

學生有的猜1/3，有的猜1/2。課件驗證后得出涂色部分是1/3。教師繼續出示第三張紙條，同樣請學生估計。許多學生一下子就估計出是1/6，老師讓學生交流是怎么估的，有沒有什么竅門。原來學生用第三張與第二張紙條的1/3進行比較，發現這次涂色部分只有它的一半，所以確定用1/6來表示。

教師隨即總結說：“瞧，借助觀察和比較進行估計，這是多好的思考策略呀！”這個小小的一個細節卻有思想在其中。然而，精彩的還不僅僅停留于此，接下去，張老師憑借這張小紙條做大文章，讓學生觀察這里的涂色部分和對應的數，并談談發現。學生有的發現了同樣一張紙條，它的1/3要比1/6大；1里面有3個1/3，1里面有6個1/6；平均分的份數越多，涂色的一份也就越小……學生唧唧喳喳，思維異常活躍。這是一個充滿靈性的課堂，從預設教案到動態生成，從學生估計意識的培養，到數學思維策略的綜合訓練，再到極限思想的有機滲透，樸素的內容承載著豐厚的數學內涵，一切精彩源于老師關注細節。

從這樣的角度去分析，筆者還發現在教學《交換律》一課時，張老師勇

做教材的創造者，而不是消費者。

張老師先講了一個“朝三暮四”的故事，接著問學生想說些什么。

結合學生發言，教師板書：3+4=4+3。

師：觀察這一等式，你有什么發現？

生1：我發現，交換兩個加數的位置和不變。(教師板書這句話)

師：其他同學呢？(見沒有補充)老師的發現和他很相似，但略有不同。(教師隨即出示：交換3和4的位置和不變)比較我們倆給出的結論，你想說些什么？

生2：我覺得您(老師)給出的結論只代表了一個特例，但他(生1)給出的結論能代表許多情況。

生3：我也同意他(生2)的觀點，但我覺得單就黑板上的這一個式子，就得出“交換兩個加數的位置和不變”好像不太好。萬一其他兩個數相加的時候，交換它們的位置和不等呢！我還是覺得您的觀點更準確、更科學一些。

師：的確，僅憑一個特例就得出“交換兩個加數的位置和不變”這樣的結論，似乎草率了點。但我們不妨把這一結論當作一個猜想(教師隨即將生1給出的結論中的“。”改為“？”)。既然是猜想，那么我們還得——

生：驗證……

北京師范大學數學科學學院曹一鳴先生在評課時認為：從整節課看，“加法結合律”只是一個觸點，“減法中是否也會有交換律？”“乘法、除法中呢？”等新問題，則是原有觸點中誕生的一個個新的生長點。統整到一起時，作為某一特定運算的“交換律知識”被弱化了，而“交換律”本身、“變與不變”的辯證關系、“猜想－實驗－驗證”的思考路線、由“此知”及“彼知”的數學聯想等卻一一獲得凸顯，成為超越于知識之上的更高的數學課堂追求。當我們在課堂上欣賞孩子沉思時的寧靜、疑惑時的迷茫、頓悟時的愉悅、爭辯時的激越，聆聽時的驚訝、論證時的流暢，成功后的歡暢時……一個享受思辨的課堂，皆因張老師對細節的關注而精彩

紛呈。

基于這樣的思考，我還發現課堂上密切關注學習動態、對學生資源的有效利用，也是張老師引領學生進入思考境界的法寶。在學生寫36約數的練習中，他有意選擇了兩份不同的作品進行講評：

36的約數：1、2、3、4、6、9、12、18、36。

36的約數：

1、36，2、18，3、12，4、9，6。

他首先讓兩個孩子分別介紹自己尋找約數的方法：第一個孩子說采用的“逐一法”，第二個孩子采用的是“配對法，兩個兩個找”。張老師不動聲色，讓其他同學比較哪一種方法最好，為什么？很多孩子自然認為“配對法”好，一一尋找，不易丟失答案。張老師并不滿足于這樣的“異口同聲”，立即反問：“難道第一種方法沒有值得肯定的嗎？”這幽默一問，化解了第一個孩子的窘境。孩子們靜心思考，獨立反省，終獲頓悟。最后，他追問那個采用“逐一法”的孩子：“如果繼續讓你找因數，你打算采用哪一種方法？”在這個教學細節中，張老師將“比較”方法演繹得淋漓盡致：第一層次的比較，學生學會了不同方法之間獲得“最優化”的思想；第二個層次比較，學會了“辯證分析”的思想，看問題不能簡單化；第三個層次的比較，獲得了“欣賞借鑒”的思想，只有放大別人的優點，才能共享智慧之果。三次“比較”，不僅僅是一種數學方法的傳授，更是一種思想價值的滲透。

用一顆靈動的心去感應，用一雙智慧的眼睛去捕捉，用“蹲下身，走進去”的育人情懷引領學生觸摸數學的精彩，貴在于細微處著筆墨。張老師對教材的深加工，對文本的精加工，隨時捕捉學生的疑問、想法、創見等精彩瞬間，使課堂成為師生互動、心靈對話的舞臺，成為師生共同創造奇跡、喚醒各自沉睡的潛能的時空。

張齊華教學藝術系列

（二）評價的智慧：如芬芳的野花一路綻放

“聽張齊華的課很舒服、很輕松、很悅耳，很自在……”這是老師們的共識，而這又或許與張老師豐厚的人文底蘊、扎實的語言功底，尤其是他那清新自然、精煉灑脫的評價語有關。細數他的數學課堂，我們能聽到：

當有學生提出不同意見時，張老師沒有忽略前一位學生的心理感受，而是面帶微笑著對他說：“有人挑戰你了，高興嗎？”“高興！”學生自信地回答。

當出示了練習題時，張老師會伴著溫暖的眼光問：“同學們，有困難嗎？那么，誰先來說？”在展示學生作品時，張老師會用關注的目光問：“你想給這份作業提點什么？”“還有什么需要補充嗎，對于他的方法想不想說點什么？”然后轉身告訴其他學生，沒有必要迷信別人。當覺得沒有其他答案時，張老師會提醒大家：“沒有不同想法也可以大聲說出來。”他的話語不由得讓人感到溫馨。

我們還欣賞到這樣一組鏡頭：

師：瞧！剛才的一折，一撕，還真創造出了數學中的軸對稱圖形。說實話，數學呀，有時就這么簡單。如果沒有記錯的話，大家對軸對稱圖形并不陌生，在我們認識的平面圖形中，應該也有一些軸對稱圖形。

（出示軸對稱圖形的習題，讓學生判斷是否為軸對稱圖形）

師：練習之前，我要給你們一些忠告，有時候，不要過分相信自己的眼睛，看上去像軸對稱圖形的也許不是，看上去不像的也許偏偏卻是。

（教師讓學生根據經驗大膽猜想，選擇自己最有把握的說一說，也可以結合手中的學具，6人小組合作，一起折折，驗證自己的猜想。學生在小組內進行交流，對于平行四邊形是不是軸對稱圖形引起了爭論。）

生1：我認為平行四邊形是軸對稱圖形，沿著高把它剪下來，可以拼成一個長方形，對折后，左右兩邊能完全重合。

生2：我認為平行四邊形不是軸對稱圖形，把平行四邊形對折后，兩邊的圖形不能完全重合，所以我認為它不是。

師：（特意走過去，跟生2握著手）我跟你握手不是我贊成你的說法，而是感謝你為課堂創造出了兩種不同的聲音。想想，要是我們的課堂只有一種聲音，那該多單調啊！

（在學生再次進行操作實踐后，第一個學生改變了自己的看法，知道了平行四邊形不是軸對稱圖形）

師：你的退讓我們更接近真理！

（在接下去的環節中，教師引導學生找出對稱圖形的對稱軸）

師：都說實踐出真知。數學講究的是深究，就這5個圖形，難道你們就不想深入研究說點什么？這個梯形是軸對稱圖形，但是……

此時無聲勝有聲。充滿智慧的評價一下子扣緊了學生的心弦，激活了學生的思維。學生盯著那5個圖形，繼續找呀，辯呀，老師精彩的旁白無疑成了學生思維的推進器。

他的評價語極富哲理。學生在探討9個珠子組成的兩位數能被9整除時，馬上誤以為8也有這樣的規律。“真是這樣嗎？”張老師誘發學生進一步思考。當學生發現8個珠子不行，7個珠子也不行的時候，又產生了“其他都不行”的錯誤想法。張老師接口說：“可別盲目地否定一切。”寥寥數語，張弛有度。

在“圓的認識”一課中，有學生交流畫圓經驗時說：“我們組在繩子的一端系上一塊橡皮，抓住繩子的另一端一甩，也同樣出現了一個圓。”對于這樣的意外生成，張老師評價說：“盡管這一方法沒有能在白紙上最終?畫?出一個圓，但他們的創造仍然是十分美妙，不是嗎？”課堂里響起了熱烈的掌聲。這掌聲，源于學生內心的一種欣賞與激勵，一種接納與認可，是一種真情流淌。

張老師的語言富有磁力，常常是“未成曲調先有情”，蘊含著無限的意趣。如“省略號來得太遲”、“邊做作業邊思考，再作出決策”、“不要忙于下結論”，他時刻召喚學生積極地思考。

一位學生在寫36的因數時，漏掉了2。面對學生的錯誤，張老師幽默地說道：“看了以后，你想說點什么嗎？”“聽聽他是怎么找的。”“有很多人一個也沒漏掉，相信他們一定有竅門，一起看看吧！”……一句句簡短的心靈對話，一個個與學生心靈交匯的眼神動作，無不滲透著關愛。

“感人心者，莫先乎情”。有人說，語言的舒展即是思想的流暢，語言的優美源于思想的精致，語言是世界上最美的智慧之花。課堂上，常聽到張老師不失時機的贊美：“非常善于聯想！”“很不錯！”“哎呀，真了不起！”“太棒了！”不經意的一句評價語，一句鼓勵話，他娓娓道來，或幽默、或詼諧、或深情、或睿智，總能將學生的學習情緒調適到最佳狀態，使之產生自主學習的積極心理傾向。他那流轉自如的教學語言，亦詩亦歌亦畫的教學韻味，用渲染創設美好的意境，用真情激起心靈的震撼，用啟迪撥開重重的迷惑，用誘導觸發深遠的思考，使課堂時時彌漫著與生命萌發相通的濃郁的人文氣息。他用真情言說引發學生的真知灼見，他用自信從容催發學生的創新火花，他用詩情解讀引領學生走向數學學習的美妙境界，課堂上時時有“傾聽幼竹拔節聲”的情景圖。這種獨特而富有魅力的課堂評價，詮釋著師生新角色，靈動演繹著課堂。分享他的課堂，我們分明感到在教育生命的跋涉中，智慧如芬芳的野花，在課堂里一路綻放，每踏出堅實的一步，便會看到山花爛漫……

張齊華教學藝術系列

（三）用情境營造情趣盎然的教學磁場

張齊華老師善于在數學課堂上設置一些情境，將教育、教學內容鑲嵌在一個多姿多彩的生活大背景中。

在認識“長方體”一課中，“長方體的長、寬、高”作為一個知識點，教師一般都直接告訴學生。然而，張齊華老師教學時卻創設了這樣的問題情景：如果將長方體12條棱擦掉1條，你還能想象出這個長方體的大小嗎？如果擦掉2條、3條甚至更多條呢？試一試，看至少留下幾條棱，才能確保想象出長方體的大小？當學生在經歷嘗試、探索、操作、優化等數學活動后不約而同地選擇了長、寬、高三條棱時，規定性的數學常識“長、寬、高”在這一刻被“活化”了。張齊華老師認為，像這樣的“頭腦創造”可以還原數學概念的內在生命力，相對于概念的授受而言，其文化價值更大。這種基于問題研究而設計的有趣的教學情境，由一個問題逐步引發新問題的產生，學生始終圍繞問題去研究，從而實現思維的攀升。在這個教學環節中，學生尋找的是途徑，感悟的是規律，掌握的是方法而不僅僅是知道了長方體的“長、寬、高”，對后續學習無疑很有價值。

張齊華老師認為，一個真正意義上的情境應該能激發學生樂于參與、關注和活動的“情”，并引導學生浸潤于探索、思維和發現之“境”，它固然需要以具體的場景作背景、載體，然而，場景的呈現能否有效喚起學生的認識不平衡感、問題意識以及認知沖突，場景本身是否能吸引學生主動參與到問題的探究、思考中來等問題還都有待進一步探索。

基于這樣的數學思考，執教“分數的初步認識”一課時，張老師出示了自己1周歲時直立的照片。他讓學生猜照片上的孩子是誰？一位學生激動地說：“我覺得是張老師。”

師：真有眼力！這是1周歲時的我。仔細觀察。（動畫演示：身高約是頭高的4倍）

師：發現了嗎，1周歲嬰兒，頭的高度約是身高的幾分之一？

生：1/4。

師：長大后，情況又會怎樣呢？

教師出示現在自己的直立照片，并動畫演示：頭高約是身高的1/7。

師：現在，頭的高度約是身高的幾分之一？

生：1/7。

師：其實，不同的年齡階段，相應的分數也不一樣。同學們今年10歲左右，那么，一個10歲左右的兒童，他的頭高又約是身高的幾分之一呢？想知道嗎？

生：（激動地）想！

教師隨即邀請一個學生上臺，其他同學一起現場估計。

學生有猜頭的高度約是身高的1/5，有的認為是1/6，有的說比較接近1/7。張老師告訴大家：估計時出現誤差很正常。至于10歲左右兒童頭的高度究竟大約是身高的幾分之一呢，課后同學們不妨去查一查資料。那位學生回到了座位上，其余孩子仍興趣盎然，面露喜色。

我想此時由一張照片創設猜想分數的教學情境，其“醉翁之意不在酒”。題材的新穎、活潑且不說，關鍵是學生在看一看、比一比、估一估等一系列的操作活動中加深了對分數的認識。這一引入，有機拓展了學生的認識視野，使他們真切感受到分數在日常生活中的廣泛應用，切實體驗到學習分數的價值。

在“因數與倍數”新課導入部分，張老師創設了操作情境，巧用模型來建構知識，揭示概念內涵；“交換律”課始又創設了故事情境，為新課學習搭建思考平臺；“簡單統計”中，創設讓學生現場調查的情境，增進學生對統計方法及價值的理解；教學“認識整萬數”時，又從撥數游戲開始，在撥數過程中，喚起了學生對計數器、計數單位、數位等相關經驗的回憶。

誠然，新課改背景下如何創設有效的教學情境一直是大家關注的熱點，而在張老師的數學課堂中，不管是賞心悅目、富有情趣的童話故事，還是新穎別致、妙趣橫生的操作情境，每節課的設計都基于學生不同的文化背景和生活經歷，努力挖掘生活實際中可能出現的新鮮的活動內容，以情境為亮點，以情感為紐帶，以思維為核心，以生活世界為源泉，將數學知識融入到廣闊的生活背景下，融入到生命成長的舞臺里。

張老師在創設教學情境時，已打通了學科課堂的堡壘，以各學科的整合來制造課堂的熱能效應，拓展了學習活動的外延，將學習活動立體化，學生在習得知識的同時，積累文化，積淀人文精神。他以問題帶動和砥礪學生思辨的深入，以課堂上師生對話實現智慧的碰撞和經驗的共享，以師生之間、生生之間的有效互動，或喚起認同，或觸動聯想，或引導猜測，或激發疑慮……從而使學生對于知識的認識趨于豐富、完整、準確和深刻，以此來打造充滿活力、情趣盎然的教學磁場。

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（四）一路詩意地追尋數學文化

提起張齊華，便不能不提到數學文化。

張齊華常常思考，數學究竟能否從根本上改變一個人，使其變得更有力量和精神涵養？數學學習，對于學生的生命和精神成長能給予怎樣的影響和潤澤。于是，他把教學看作生命中的一部分，課堂上，為孩子搭建了一個個展示自我的舞臺，動手折折、剪剪、拼拼，小組說說、議議，讓孩子在體驗的過程中去經歷審美、想象，去感悟數學的自然美。這樣的師生交往意味著對話，意味著參與，意味著心態的開放，個性的張顯，教學過程變成了一種分享理解的過程，課堂里時時閃動著師生生命的靈光。

在“圓的認識”一課，他借助大自然中美妙的水紋、向日葵、光環、電磁波以及人類社會、生活、文化、藝術領域中美輪美奐的圓的介入，充分展示圓的美麗和內蘊的文化氣息。“軸對稱圖形”一課，又從剪紙中的對稱、建筑物中的對稱、著名標志中的對稱、桂林山水中的對稱現象來展示軸對稱圖形的美妙。或許剛開始理解的數學文化之美，更多依賴數學以外的一些東西，依托媒體的精彩演示，把自然、科學、社會、文化等加以整合，而在“因數和倍數”一課的諸多環節，卻折射出張老師對于數學文化的深度思考與文化張力的高度關注。

我們不妨做個鏡頭回放：師：同學們的想法都很有價值！的確，100以內的自然數中，60不算大，但它的因數卻最多。正是60的這一特點，使它在數學和天文學的發展歷史上扮演了重要的角色。（出示資料：我們都知道，1小時＝60分，1分＝60秒。然而，史學家通過考證卻發現，時間的進率之所以定為60，是因為“在100以內的自然數中，60的因數最多，共有12個”。據說，這樣就可以使許多有關時間的運算變得十分簡便。）

師：怎么樣，沒想到時、分、秒之間的進率定為60竟和我們數學中因數的個數有著密不可分的聯系，數學的奇妙有時真是讓人難以置信！其實，作為數論的一個小分支，因數和倍數領域中類似美妙的數學現象比比皆是。這里，老師還想給大家介紹一個特別的數，那就是6。想知道為什么嗎？

生：想。

師：那就讓我們一起來做個小實驗吧！第一，寫下6所有的因數；第二，除去6本身，將剩下的因數相加。你發現了什么？

生：（驚訝地）結果還是等于6。

師：正因為這樣的數很特別，所以數學家們將具有這一特點的數稱之為完美數。6就是第一個完美數。千萬別小看這些數，因為，它們非常罕見。想知道第二個完美數是多少嗎？

生：想！

師：透露一下，比20大，比30小。組內分工合作，看看哪一小組最先找出第二個完美數！學生分組合作，很快，幾個小組都找出了第二個完美數28，興奮之情溢于言表。

師：其實，人們對于數探索的興趣是永無止境的，找到了第二個完美數，人們就開始尋找第三個、第四個……就這樣，一個又一個新的完美數被不斷發現。這時，課件配樂依次呈現：496,8128，33550336，8589869056……

不難發現，在引領孩子尋找“完美數”的過程中，完美數之少，凸顯數學家求索之路的艱辛，這無疑是對數學精神的引領。接著，在古羅馬建筑宏偉壯麗中，張老師告訴孩子，這座建筑之所以歷經千年滄桑，因為里面隱藏著倍數和因數的秘密。伴隨著一首首優美和諧的旋律緩緩流淌，張老師又提醒孩子，音符之間的和諧源自于倍數和因數的關系，這不就是數學的魅力展示嗎！可以想像，豐富的數學猜想，希臘建筑、音樂、完美數的神奇美感，孩子們發自內心地體會到了數學的應用價值和神奇力量，在對完美數的驚訝中，為我國古代人民的勤勞智慧興奮不已時，愛祖國、愛科學、愛數學的種子已悄然萌發，這不正是數學的力量嗎？

至此，我還憶起“分數的初步認識”課尾張老師給大家帶來那則有趣的廣告。男孩冬冬將蛋糕平均分成4份后，卻發現一共有8個小伙伴，靈機一動，他從中間橫著切了一刀，將蛋糕平均分成8份，正在這時，第9個男孩出現了。怎么辦呢？冬冬又將自己分得的一份分成2份，將1份送給了他……小小的一個廣告，蘊含著豐富的數學內涵及濃濃的人文關懷，及時關注了學生的情感體驗，鞏固了分數的認識，還喚醒了學生心靈深處的那份愛心，那份純真，那份友誼，那份責任。學生不僅僅收獲了知識，還收獲了一種高尚的品德，一個美好的心靈。這種文化代表著學生對于這個世界的認識和經驗，顯示著學生特有的價值觀、思維方式和行為方式。這也許就是張老師所說的“臻善，享受數學給予的精神力量”吧！

在張齊華老師的講座《從樸素走向深刻》一文中，我還知道“簡單統計”中，如何滲透統計思想；“找規律”中，如何從變中求同，上升為“一一對應”的數學思想；“確定位置”中坐標思想如何落實，尤其是那個不規則圖形鋼琴背面的面積計算---化曲為直，其間所滲透的微積分思想……

張齊華老師以一種古典、審美的情懷，關注學生數學思考的提升、數學思維方式的培養，關注數學精神品質的有機滲透，不僅豐富了數學文化的內涵，更為今后開展數學文化的理論探索和實踐研究，開掘出新的思路，展現新的契機，描摹新的未來。

如今，在他的數學課堂上，我們可以隨時隨地觸覺到數學的源頭、數學的歷史、數學的精神乃至數學的力量，似乎呈現在我們眼前的不再是一兩頁薄薄的教材，而是一幅源遠流長的數學畫卷。數學從表面上看是枯燥無味的，然而卻有著一種隱蔽的、深邃的美，一種感性與理***融的美，數學美是數學科學本質力量的感性與理性的呈現，是一種人的本質力量通過人的數學思維結構的呈現，是一種真實意義上的美，是一種彰顯人文精神的科學美。

“我喜歡旅行，因為旅行見證著一種姿態，一種不斷行走、不斷思索的姿態。在數學教育的旅途中，我甘愿做一個行者。“這是張齊華老師的肺腑之言，我深信，對于數學文化，張齊華老師還會添加諸多新的“精神元素”；對于數學教育，在他精心演繹的智慧課堂里，一定會更加充滿生命的活力，彌漫詩意的人性光輝，更加靈動與飄逸。

第二篇：張齊華平均數教學設計

一、張齊華《平均數》教學實錄

（請注意他的語言表述）【教學內容】

蘇教版《義務教育課程標準實驗教科書

數學》三年級（下冊）第92～94頁。【教學目標】

1．在具體問題情境中，感受求平均數是解決一些實際問題的需要，通過操作和思考體會平均數的意義，學會并能靈活運用方法求簡單數據的平均數（結果是整數）。

2．能運用平均數的知識解釋簡單的生活現象，解決簡單實際問題，進一步積累分析和處理數據的方法，發展統計觀念。

3．進一步發展學生的思維能力，增強與同伴交流的意識與能力，體驗運用知識解決問題的樂趣，建立學好數學的信心。

一、初步建立平均數的意義

師：你們喜歡體育運動嗎?

生：(齊)喜歡!

師：如果張老師告訴大家，我最喜歡并且最拿手的體育運動是籃球，你們相信嗎?

生：不相信。籃球運動員通常都很強壯，就像姚明和喬丹那樣。張老師，您也太瘦了點。

師：真是哪壺不開提哪壺啊。不過還別說，和你們一樣，我們班上的小力、小林、小剛對我的投籃技術也深表懷疑。就在上星期，他們三人還約我進行了一場“1分鐘投籃挑戰賽”。怎么樣，想不想了解現場的比賽情況?

生：(齊)想!

師：首先出場的是小力，他1分鐘投中了5個球。可是，小力對這一成績似乎不太滿意，覺得好像沒有發揮出自己的真實水平，想再投兩次。如果你是張老師，你會同意他的要求嗎?

生：我不同意。萬一他后面兩次投中的多了，那我不就危險啦!

生：我會同意的。做老師的應該大度一點。

師：呵呵，還真和我想到一塊兒去了。不過，小力后兩次的投籃成績很有趣。

(師出示小力的后兩次投籃成績：5個，5個。生會心地笑了)師：還真巧，小力三次都投中了5個。現在看來，要表示小力1分鐘投中的個數，用哪個數比較合適? 生：5。

師：為什么?

生：他每次都投中5個，用5來表示他1分鐘投中的個數最合適了。

師：說得有理!接著該小林出場了。小林1分鐘又會投中幾個呢?我們也一起來看看吧。

(師出示小林第一次投中的個數：3個)

師：如果你是小林，會就這樣結束嗎?

生：不會!我也會要求再投兩次的。師：為什么? 生：這也太少了，肯定是發揮失常。

師：正如你們所說的，小林果然也要求再投兩次。不過，麻煩來了。(出示小林的后兩次成績：5個，4個)三次投籃，結果怎么樣? 生：(齊)不同。

師：是呀，三次成績各不相同。這一回，又該用哪個數來表示小林1分鐘投籃的一般水

平呢?

生：我覺得可以用5來表示，因為他最多，二次投中了5個。

生：我不同意川、強每次都投中5個，所以用5來表示他的成績。但小林另外兩次分別投中4個和3個，怎么能用5來表示呢? 師：也就是說，如果也用5來表示，對小力來說—— 生：(齊)不公平!

師：該用哪個數來表示呢?

生：可以用4來表示，因為3、4、5三個數，4正好在中間，最能代表他的成績。

師：不過，小林一定會想，我畢竟還有一次投中5個，比4個多1呀。生：(齊)那他還有一次投中3個，比4個少1呀。師：哦，一次比4多1，一次比4少1??

生：那么，把5里面多的1個送給3，這樣不就都是4個了嗎?

師：數學上，像這樣從多的里面移一些補給少的，使得每個數都一樣多。這一過程就叫“移多補少”。移完后，小林每分鐘看起來都投中了幾個?

生：(齊)4個。

師：能代表小林1分鐘投籃的一般水平嗎?

生：(齊)能!

師：輪到小剛出場了。(出示圖)小剛也投了三次，成績同樣各不相同。這一回，又該用幾來代表他1分鐘投籃的一般水平呢?同學們先獨立思考，然后在小組里交流自己的想法。

生：我覺得可以用4來代表他1分鐘的投籃水平。他第二次投中7個，可以移1個給第一次，再移2個給第三次，這樣每一次看起來好像都投中了4個。所以用4來代表比較合適。

師：還有別的方法嗎?

生：我們先把小剛三次投中的個數相加，得到12個，再用12除以3等于4個。所以，我們也覺得用4來表示小剛1分鐘投籃的水平比較合適。

[師板書：3+7+2=12(個)，12÷3=4(個)]

師：像這樣先把每次投中的個數合起來，然后再平均分給這三次(板書：合并、平分)，能使每一次看起來一樣多嗎?

生：能!都是4個。

師：能不能代表小剛1分鐘投籃的一般水平? 生：能!師：其實，無論是剛才的移多補少，還是這回的先合并再平均分，目的只有一個，那就是——

生：使原來幾個不相同的數變得同樣多。

師：數學上，我們把通過移多補少后得到的同樣多的這個數，就叫做原來這幾個數的平均數。(板書課題：平均數)比如，在這里(出示圖)，我們就說4是3、4、5這三個數的平均數。那么，在這里(出示圖)，哪個數是哪幾個數的平均數呢?在小組里說說你的想法。

生：在這里，4是3、7、2這三個數的平均數。

師：不過，這里的平均數4能代表小剛第一次投中的個數嗎?

生：不能!

師：能代表小剛第二次、第三次投中的個數嗎?

生：也不能!

師：奇怪，這里的平均數4既不能代表小剛第一次投中的個數，也不能代表他第二次、第三次投中的個數，那它究竟代表的是哪一次的個數呢?

生：這里的4代表的是小剛三次投籃的平均水平。

生：是小剛1分鐘投籃的一般水平。

(師板書：一般水平)

師：最后，該我出場了。知道自己投籃水平不怎么樣，所以正式比賽前，我主動提出投四次的想法。沒想到，他們竟一口答應了。前三次投籃已經結束，怎么樣，想不想看看我每一次的投籃情況?(師呈現前三次投籃成績：4個、6個、5個)師：猜猜看，三位同學看到我前三次的投籃成績，可能會怎么想?

生：他們可能會想：完了完了，肯定輸了。

師：從哪兒看出來的?

生：你們看，光前三次，張老師平均1分鐘就投中了5個，和***并列第一。更何況，張老師還有一次沒投呢。

生：我覺得不一定。萬一張老師最后一次發揮失常，一個都沒投中，或只投中一兩個，張老師也可能會輸。

生：萬一張老師最后一次發揮超常，投中10個或更多，那豈不贏定了?

師：情況究竟會怎么樣呢?還是讓我們趕緊看看第四次投籃的成績吧。(師出示圖)師：憑直覺，張老師最終是贏了還是輸了? 生：輸了。因為你最后一次只投中1個，也太少了。

師：不計算，你能大概估計一下，張老師最后的平均成績可能是幾個嗎?

生：大約是4個。

生：我也覺得是4個。

師：英雄所見略同呀。不過，第二次我明明投中了6個，為什么你們不估計我最后的平均成績是6個?

生：不可能，因為只有一次投中6個，又不是次次都投中6個。

生：前三次的平均成績只有5個，而最后一次只投中1個，平均成績只會比5個少，不可能是6個。

生：再說，6個是最多的一次，它還要移一些補給少的。所以不可能是6個。

師：那你們為什么不估計平均成績是1個呢?最后一次只投中1個呀!生：也不可能。這次盡管只投中1個，但其他幾次都比1個多，移一些補給它后，就不止1個了。

師：這樣看來，盡管還沒得出結果，但我們至少可以肯定，最后的平均成績應該比這里最大的數——

生：小一些。

生：還要比最小的數大一些。生：應該在最大數和最小數之間。

師：是不是這樣呢?趕緊想辦法算算看吧。

[生列式計算，并交流計算過程：4+6+5+1=16(個)，16÷4=4(個)]

師：和剛才估計的結果比較一下，怎么樣?

生：的確在最大數和最小數之間。

師：現在看來，這場投籃比賽是我輸了。你們覺得問題主要出在哪兒? 生：最后一次投得太少了。

生：如果最后一次多投幾個，或許你就會贏了。

師：試想一下：如果張老師最后一次投中5個，甚至更多一些，比如9個，比賽結

果又會如何呢?同學們可以通過觀察來估一估，也可以動筆算一算，然后在小組里交流你的想法。

(生估計或計算，隨后交流結果)

生：如果最后一次投中5個，那么只要把第二次多投的1個移給第一次，很容易看出，張老師1分鐘平均能投中5個。

師：你是通過移多補少得出結論的。還有不同的方法嗎?

生：我是列式計算的。4+6+5+5=20(個)，20÷4=5(個)。

生：我還有補充!其實不用算也能知道是5個。大家想呀，原來第四次只投中1個，現在投中了5個，多出4個。平均分到每一次上，每一次正好能分到1個，結果自然就是5個了。

師：那么，最后一次如果從原來的1個變成9個，平均數又會增加多少呢?

生：應該增加2。因為9比1多8，多出的8個再平均分到四次上，每一次只增加了2個。所以平均數應增加2個。

生：我是列式計算的，4+6+5+9=24(個)，24÷4=6(個)。結果也是6個。

二、深化理解，延伸思維

師：現在，請大家觀察下面的三幅圖，你有什么發現?把你的想法在小組里說一說。(師出示三圖，并排呈現)(生獨立思考后，先組內交流想法，再全班交流)

生：我發現，每一幅圖中，前三次成績不變，而最后一次成績各不相同。師：最后的平均數—— 生：也不同。

師：看來，要使平均數發生變化，只需要改變其中的幾個數?

生：一個數。

師：瞧，前三個數始終不變，但最后一個數從1變到5再變到9，平均數——

生：也跟著發生了變化。

師：難怪有人說，平均數這東西很敏感，任何一個數據的“風吹草動”，都會使平均數發生變化。現在看來，這話有道理嗎?(生：有)其實呀，善于隨著每一個數據的變化而變化，這正是平均數的一個重要特點。在未來的數學學習中，我們將就此作更進一步的研究。大家還有別的發現嗎?

生：我發現平均數總是比最大的數小，比最小的數大。師：能解釋一下為什么嗎? 生：很簡單。多的要移一些補給少的，最后的平均數當然要比最大的小，比最小的大了。師：其實，這是平均數的又一個重要特點。利用這一特點，我們還可以大概地估計出一組數據的平均數。

生：我還發現，總數每增加4，平均數并不增加4，而是只增加1。

師：那么，要是這里的每一個數都增加4，平均數又會增加多少呢?還會是1嗎?

生：不會，應該增加4。師：真是這樣嗎?課后，同學們可以繼續展開研究。或許你們還會有更多的新發現!不過，關于平均數，還有一個非常重要的特點隱藏在這幾幅圖當中。想不想了解? 生：想!

師：以圖6為例。仔細觀察，有沒有發現這里有些數超過了平均數，而有些數還不到平均數?(生點頭示意)比較一下超過的部分與不到的部分，你發現了什么?

生：超過的部分和不到的部分一樣多，都是3個。

師：會不會只是一種巧合呢?讓我們趕緊再來看看另兩幅圖吧?

生：(觀察片刻)也是這樣的。

師：這兒還有幾幅圖，情況怎么樣呢?

生：超過的部分和不到的部分還是同樣多。

師：奇怪，為什么每一幅圖中，超出平均數的部分和不到平均數的部分都一樣多呢? 生：如果不一樣多，超過的部分移下來后，就不可能把不到的部分正好填滿。這樣就得不到平均數了。

生：就像山峰和山谷一樣。把山峰切下來，填到山谷里，正好可以填平。如果山峰比山谷大，或者山峰比山谷小，都不可能正好填平。

師：多生動的比方呀!其實，像這樣超出平均數的部分和不到平均數的部分一樣多，這是平均的第三個重要特點。把握了這一特點，我們可以巧妙地解決相關的實際問題。

(師出示如下三張紙條)師：張老師大概估計了一下，覺得這三張紙條的平均長度大約是10厘米。(呈現圖10)不計算，你能根據平均數的特點，大概地判斷一下，張老師的這一估計對嗎? 生：我覺得不對。因為第二張紙條比10厘米只長了2厘米，而另兩張紙條比10厘米一共短了5厘米，不相等。所以，它們的平均長度不可能是10厘米。

師：照你看來，它們的平均長度會比10厘米長還是短? 生：應該短一些。

生：大約是9厘米。

生：我覺得是8厘米。

生：不可能是8厘米。因為7比8小了1，而12比8大了4。師：它們的平均長度到底是多少，還是趕緊口算一下吧。??

三、實際應用，鞏固新知

師：下面這些問題，同樣需要我們借助平均數的特點來解決。瞧，學校籃球隊的幾位同學正在進行籃球比賽。我了解到這么一份資料，說李強所在的快樂籃球隊，隊員的平均身高是160厘米。那么，李強的身高可能是155厘米嗎?

生：有可能。

師：不對呀!不是說隊員的平均身高是160厘米嗎?

生：平均身高160厘米，并不表示每個人的身高都是160厘米。萬一李強是隊里最矮的一個，當然有可能是155厘米了。

生：平均身高160厘米，表示的是籃球隊員身高的一般水平，并不代表隊里每個人的身高。李強有可能比平均身高矮，比如155厘米，當然也可能比平均身高高，比如170 厘米。

師：說得好!為了使同學們對這一問題有更深刻的了解，我還給大家帶來了一幅圖。(出示中國男子籃球隊隊員的合影)畫面中的人，相信大家一定不陌生。

生：姚明!

師：沒錯，這是以姚明為首的中國男子籃球隊隊員。老師從網上查到這么一則數據，中國男子籃球隊隊員的平均身高為200厘米。這是不是說，籃球隊每個隊員的身高都是200厘米?

生：不可能。

生：姚明的身高就不止2米。

生：姚明的身高是226厘米。

師：看來，還真有超出平均身高的人。不過，既然隊員中有人身高超過了平均數——

生：那就一定有人身高不到平均數。

師：沒錯。據老師所查資料顯示，這位隊員的身高只有178厘米，遠遠低于平均身高。看來，平均數只反映一組數據的一般水平，并不代表其中的每一個數據。好了，探討完身高問題，我們再來看看池塘的平均水深。

(師出示圖)師：冬冬來到一個池塘邊。低頭一看，發現了什么?

生：平均水深110厘米。

師：冬冬心想，這也太淺了，我的身高是130厘米，下水游泳一定沒危險。你們覺得冬冬的想法對嗎?

生：不對!

師：怎么不對?冬冬的身高不是已經超過平均水深了嗎?

生：平均水深110厘米，并不是說池塘里每一處水深都是110厘米。可能有的地方比較淺，只有幾十厘米，而有的地方比較深，比如150厘米。所以，冬冬下水游泳可能 會有危險。

師：說得真好!想看看這個池塘水底下的真實情形嗎?(師出示池塘水底的剖面圖)生：原來是這樣，真的有危險!

師：看來，認識了平均數，對于我們解決生活中的問題還真有不少幫助呢。當然，如果不了解平均數，鬧起笑話來，那也很麻煩。這不，前兩天，老師從最新的《健康報》上查到這么一份資料。

(師出示：《2007年世界衛生報告》顯示，目前中國男性的平均壽命大約是71歲)師：可別小看這一數據哦130年前，也就在張老師出生那會兒，中國男性的平均壽命大約只有68歲。比較一下，發現了什么? 生：中國男性的平均壽命比原來長了。

師：是呀，平均壽命變長了，當然值得高興嘍。可是，一位70歲的老伯伯看了這份資料后，不但不高興，反而還有點難過。這又是為什么呢?

生：我想，老伯伯可能以為平均壽命是71歲，而自己已經70歲了，看來只能再活1年了。

師：老伯伯之所以這么想，你們覺得他懂不懂平均數。

生：不懂!師：你們懂不懂?(生：懂)既然這樣，那好，假如我就是那位70歲的老伯伯，你們打算怎么勸勸我? 生：老伯伯，別難過。平均壽命71歲，并不是說每個人都只能活到71歲。如果有人只活到六十幾歲，那么，你不就可以活到七十幾歲了嗎?

師：原來，你是把我的幸福建立在別人的痛苦之上呀!(生笑)不過，還是要感謝你的勸告。別的同學又是怎么想的呢?

生：老伯伯，我覺得平均壽命71歲反映的只是中國男性壽命的一般水平，這些人中，一定會有人超過平均壽命的。弄不好，你還會長命百歲呢!

師：謝謝你的祝福!不過，光這么說，好像還不足以讓我徹底放心。有沒有誰家的爺爺或是老太爺，已經超過71歲的?如果有，那我可就更放心了。

生：我爺爺已經78歲了。

生：我爺爺已經85歲了。

生：我老太爺都已經94歲了。

師：真有超過71歲的呀!猜猜看，這一回老伯伯還會再難過嗎? 生：不會了。

師：探討完男性的平均壽命，想不想了解女性的平均壽命?有誰愿意大膽地猜猜看?

生：我覺得中國女性的平均壽命大約有65歲。

生：我覺得大

第三篇：名師張齊華《交換律》教學實錄

名師張齊華《交換律》教學實錄

關于問題導學學習筆記

教學過程：

一個例子，究竟能說明什么？

師：喜歡聽故事嗎？

生：喜歡。

師：那就給大家講一個“朝三暮四”的故事吧。(故事略)聽完故事，想說些什么嗎？

結合學生發言，教師板書：3+4=4+3。

師：觀察這一等式，你有什么發現？

生1：我發現，交換兩個加數的位置和不變。

(教師板書這句話)

師：其他同學呢？(見沒有補充)老師的發現和他很相似，但略有不同。(教師隨即出示：交換3和4的位置和不變)比較我們倆給出的結論，你想說些什么？

生2：我覺得您(老師)給出的結論只代表了一個特例，但他(生1)給出的結論能代表許多情況。

生3：我也同意他(生2)的觀點，但我覺得單就黑板上的這一個式子，就得出“交換兩個加數的位置和不變”好像不太好。萬一其它兩個數相加的時候，交換它們的位置和不等呢！我還是覺得您的觀點更準確、更科學一些。

師：的確，僅憑一個特例就得出“交換兩個加數的位置和不變”這樣的結論，似乎草率了點。但我們不妨把這一結論當作一個猜想(教師隨即將生1給出的結論中的“。”改為“？”)。既然是猜想，那么我們還得——

生：驗證。

驗證猜想，需要怎樣的例子？

師：怎么驗證呢？

生1：我覺得可以再舉一些這樣的例子？

師：怎樣的例子，能否具體說說？

生1：比如再列一些加法算式，然后交換加數的位置，看看和是不是跟原來一樣。（學生普遍認可這一想法）

師：那你們覺得需要舉多少個這樣的例子呢？

生2：五、六個吧。

生3：至少要十個以上。

生4：我覺得應該舉無數個例子才行。不然，你永遠沒有說服力。萬一你沒有舉到的例子中，正好有一個加法算式，交換他們的位置和變了呢？（有人點頭贊同）

生5：我反對！舉無數個例子是不可能的，那得舉到什么時候才好？如果每次驗證都需要這樣的話，那我們永遠都別想得到結論！

師：我個人贊同你（生5）的觀點，但覺得他（生4）的想法也有一定道理。綜合兩人的觀點，我覺得是不是可以這樣，我們每人都來舉三、四個例子，全班合起來那就多了。同時大家也留心一下，看能不能找到“交換加數位置和發生變化”的情況，如果有及時告訴大家行嗎？

學生一致贊同，隨后在作業紙上嘗試舉例。

師：正式交流前，老師想給大家展示同學們在剛才舉例過程中出現的兩種不同的情況。

（教師展示如下兩種情況：1．先寫出12＋23和23＋12，計算后，再在兩個算式之間添上“＝”。2．不計算，直接從左往右依次寫下“12＋23＝23＋12”。）

師：比較兩種舉例的情況，想說些什么？

生6：我覺得第二種情況根本不能算舉例。他連算都沒算，就直接將等號寫上去了。這叫不負責任。（生笑）

生7：我覺得舉例的目的就是為了看看交換兩個加數的位置和到底等不等，但這位同學只是照樣子寫了一個等式而已，至于兩邊是不是相等，他想都沒想。這樣舉例是不對的，不能驗證我們的猜想。

（大家對生6、生7的發言表示贊同。）

師：哪些同學是這樣舉例的，能舉手示意一下嗎？

（幾位同學不好意思地舉起了手。）

師：明白問題出在哪兒了嗎？（生點頭）為了驗證猜想，舉例可不能亂舉。這樣，再給你們幾位一次補救的機會，迅速看看你們寫出的算式，左右兩邊是不是真的相等。

師：其余同學，你們舉了哪些例子，又有怎樣的發現？

生8：我舉了三個例子，7＋8＝8＋7，2＋9＝9＋2，4＋7＝7＋4。從這些例子來看，交換兩個加數的位置和不變。

生9：我也舉了三個例子，5＋4＝4＋5，30＋15＝15＋30，200＋500＝500＋200。我也覺得，交換兩個加數的位置和不變。

（注：事實上，選生8、生9進行交流，是教師有意而為之。）

師：兩位同學舉的例子略有不同，一個全是一位數加一位數，另一個則有一位數加一位數、二位數加兩位數、三位數加三位數。比較而言，你更欣賞誰？

生10：我更欣賞第一位同學，他舉的例子很簡單，一看就明白。

生11：我不同意。如果舉得例子都是一位數加一位數，那么我們最多只能說，交換兩個一位數的位置和不變。至于加數是兩位數、三位數、四位數等等，就不知道了。我更喜歡第二位同學的。

生12：我也更喜歡第二位同學的，她舉的例子更全面。我覺得，舉例就應該這樣，要考慮到方方面面。

（多數學生表示贊同。）

師：如果這樣的話，那你們覺得下面這位同學的舉例，又給了你哪些新的啟迪？

教師出示作業紙：0+8＝8+0，6＋21＝21+6，1/9+4/9＝4/9＋1/9。

生：我們在舉例時，都沒考慮到0的問題，但他考慮到了。

生：他還舉到了分數的例子，讓我明白了，不但交換兩個整數的位置和不變，交換兩個分數的位置和也不變。

師：沒錯，因為我們不只是要說明“交換兩個整數的位置和不變”，而是要說明，交換——

生：任意兩個加數的位置和不變。

師：看來，舉例驗證猜想，還有不少的學問。現在，有了這么多例子，能得出“交換兩個加數的位置和不變”這個結論了嗎？（學生均表示認同）有沒有誰舉例時發現了反面的例子，也就是交換兩個加數位置和變了？（學生搖頭）這樣看來，我們能驗證剛才的猜想嗎？

生：能。

（教師重新將“？”改成“。”，并補充成為：“在加法中，交換兩個加數的位置和不變。”）

師：回顧剛才的學習，除了得到這一結論外，你還有什么其它收獲？

生：我發現，只舉一、兩個例子，是沒法驗證某個猜想的，應該多舉一些例子才行。

生：舉的例子盡可能不要雷同，最好能把各種情況都舉到。

師：從“朝三暮四”的寓言中，我們得出“3+4＝4+3”，進而形成猜想。隨后，又通過舉例，驗證了猜想，得到了這一規律。該給這一規律起什么名稱呢？

（學生交流后，教師揭示“加法交換律”，并板書。）

師：在這一規律中，變化的是兩個加數的――（板書：變）

生：位置。

師：但不變的是――

生：它們的和。（板書：不變）

師：原來，“變”和“不變”有時也能這樣巧妙地結合在一起。

結論，是終點還是新的起點？

師：從個別特例中形成猜想，并舉例驗證，是一種獲取結論的方法。但有時，從已有的結論中通過適當變換、聯想，同樣可以形成新的猜想，進而形成新的結論。比如（教師指讀剛才的結論，加法的“加”字予以重音），“在加法中，交換兩個加數的位置和不變。”那么，在——

生1：（似有所悟）減法中，交換兩個數的位置，差會不會也不變呢？

（學生中隨即有人作出回應，“不可能，差肯定會變。”）

師：不急于發表意見。這是他（生1）通過聯想給出的猜想。

（教師隨即板書：“猜想一：減法中，交換兩個數的位置差不變？”）

生2：同樣，乘法中，交換兩個乘數的位置積會不會也不變？

（教師板書：“猜想二：乘法中，交換兩個數的位置積不變？”）

生3：除法中，交換兩個數的位置商會不變嗎？

（教師板書：“猜想三：除法中，交換兩個數的位置商不變？”）

師：通過聯想，同學們由“加法”拓展到了減法、乘法和除法，這是一種很有價值的思考。除此以外，還能通過其它變換，形成不一樣的新猜想嗎？

生4：我在想，如果把加法交換律中“兩個加數”換成“三個加數”、“四個加數”或更多個加數，不知道和還會不會不變？

師：這是一個與眾不同的、全新的猜想!如果猜想成立，它將大大豐富我們對“加法交換律”的認識。(教師板書“猜想四：在加法中，交換幾個加數的位置和不變？”)現在，同學們又有了不少新的猜想。這些猜想對嗎？又該如何去驗證呢？選擇你最感興趣的一個，用合適的方法試著進行驗證。

（學生選擇猜想，舉例驗證。教師參與，適當時給予必要的指導。然后全班交流。）

師：哪些同學選擇了“猜想一”，又是怎樣驗證的？

生5：我舉了兩個例子，結果發現8－6＝2，但6－8卻不夠減；3/5－1/5＝2/5，但1/5－3/5卻不夠減。所以我認為，減法中交換兩個數的位置差會變的，也就是減法中沒有交換律。

師：根據他舉的例子，你們覺得他得出的結論有道理嗎？

生：有。

師：但老師舉的例子中，交換兩數位置，差明明沒變嘛。你看，3－3＝0，交換兩數的位置后，3－3還是得0；還有，14－14＝14－14，100－100＝100－100，這樣的例子多著呢。

生6：我反對，老師您舉的例子都很特殊，如果被減數和減數不一樣，那就不行了。

生7：我還有補充，我只舉了一個例子，2－1≠1－2，我就沒有繼續往下再舉例。師：哪又是為什么呢？

生7：因為我覺得，只要有一個例子不符合猜想，那猜想肯就錯了。

師：同學們怎么理解他的觀點。

生8：（略。）

生9：我突然發現，要想說明某個猜想是對的，我們必須舉好多例子來證明，但要想說明某個猜想是錯的，只要舉出一個不符合的例子就可以了。

師：瞧，多深刻的認識！事實上，你們剛才所提到的符合猜想的例子，數學上我們就稱作“正例”，至于不符合猜想的例子，數學上我們就稱作――

生：反例。

（有略。）

師：關于其它幾個猜想，你們又有怎樣的發現？

生10：我研究的是乘法。通過舉例，我發現乘法中交換兩數的位置積也不變。

師：能給大家說說你舉的例子嗎？

生10：5×4＝4×5，0×100＝100×0，18×12＝12×18。

（另有數名同學交流自己舉的例子，都局限在整數范圍內。）

師：那你們都得出了怎樣的結論？

生11：在乘法中，交換兩數的位置積不變。

生12：我想補充。應該是，在整數乘法中，交換兩數的位置積不變，這樣說更保險一些。

師：你的思考很嚴密。在目前的學習范圍內，我們暫且先得出這樣的結論吧，等學完分數乘法、小數乘法后，再補充舉些例子試試，到時候，我們再來完善這一結論，你們看行嗎？

（對猜想三、四的討論略。）

隨后，教師引導學生選擇完成教材中的部分習題（略），從正、反兩面鞏固對加法、乘法交換律的理解，并借助實際問題，溝通“交換律”與以往算法多樣化之間的聯系。

怎樣的收獲更有價值？

師：通過今天的學習，你有哪些收獲？

生：我明白了，加法和乘法中有交換律，但卻沒有減法交換律或除法交換律。

生：我發現，有了猜想，還需要舉許多例子來驗證，這樣得出的結論才準確。

生：我還發現，只要能舉出一個反例，那我們就能肯定猜想是錯誤的。

生：舉例驗證時，例子應盡可能多，而且，應盡可能舉一些特殊的例子，這樣，得出的結論才更可靠。

師：只有一個例子，行嗎？

生：不行，萬一遇到特殊情況就不好了。

（作為補充，教師給學生介紹了如下故事：三位學者由倫敦去蘇格蘭參加會議，越過邊境不久，發現了一只黑羊。“真有意思，”天文學家說：“蘇格蘭的羊都是黑的。”“不對吧。”物理學家說，“我們只能得出這樣的結論：在蘇格蘭有一些羊是黑色的。”數學家馬上接著說：“我覺得下面的結論可能更準確，那就是：在蘇格蘭，至少有一個地方，有至少一只羊，它是黑色的。”）

必要的拓展：讓結論增殖！

師：在本課即將結束的時候，依然有一些問題需要留給大家進一步展開思考。

（教師出示如下算式：20－8－6○20－6－8

;

60÷2÷3○60÷3÷2）

師：觀察這兩組算式，你發現什么變化了嗎？

生：我發現，第一組算式中，兩個減數交換了位置，第二組算式中，兩個除數也交換了位置。

師：交換兩個減數或除數，結果又會怎樣？由此，你是否又可以形成新的猜想？利用本課所掌握的方法，你能通過進一步的舉例驗證猜想并得出結論嗎？這些結論和我們今天得出的結論有沖突嗎，又該如何去認識？

第四篇：張齊華的平均數教學實錄

平均數教學實錄

課前交流：

2.測試：這個題我測過六年級學生，也測過五年級、四年級的學生，今天想測測我們三年級的孩子，愿意接受挑戰嗎？這道題，9秒鐘完成就是聰明；6秒完成就是很聰明；3秒完成那是相當的聰明。拿出筆、打開作業本；把筆和作業本以外的所有東西收到抽屜里面去。兩個善意的小測試讓學生在緊張有趣中完成了上課的準備。

3.語速：老師說話怎么樣？快但是很清晰、不拖沓，希望孩子們也能用最簡短的話語把自己的意思表達出來。教學過程：

一、建立意義

師：我們隨便聊個輕松點的話題，你們喜歡體育運動嗎? 生：(齊)喜歡!最拿手的是什么？師：說說看呢？（跑步、打籃球、踢毽子等，教師均簡短評價等等）師：猜猜張老師喜歡什么運動？（身輕如燕、看不出來有生猜到喜歡籃球，并且絕大多數學生認同）

（師：如果張老師告訴大家，我最喜歡并且最拿手的體育運動是籃球，你們相信嗎? 生：不相信。籃球運動員通常都很強壯，就像姚明和喬丹那樣。張老師，您也太瘦了點。師：真是哪壺不開提哪壺啊。不過還別說，和你們一樣，我們班上的小強、小林、小剛對我的投籃技術也深表懷疑。）

就在上星期，我班上有三人（分別是小強、小林和小剛）對我的籃球水平表示懷疑，約我進行了一場“1分鐘投籃挑戰賽”。怎么樣，想不想了解現場的比賽情況? 生：(齊)想!

師：首先出場的是小強，鐺鐺 他1分鐘投中了5個球。可是，小強對這一成績似乎不太滿意，覺得好像沒有發揮出自己的真實水平，想再投兩次。如果你老師，你會同意他的要求嗎?

生：我不同意。萬一他后面兩次投中的多了，那我不就危險啦!

生：我會同意的。做老師的應該大度一點。

師：呵呵，還真和我想到一塊兒去了。不過，小強后兩次的投籃成績很有趣。鐺鐺

(師出示小強的后兩次投籃成績：5個，5個。生會心地笑了)師：還真巧，小強三次都投中了5個。現在看來，要表示小強1分鐘投中的個數，用哪個數比較合適?生：5。

師：為什么?

生：他每次都投中5個，用5來表示他1分鐘投中的個數最合適了。師：說得有理!接著該小林出場了。小林1分鐘又會投中幾個呢?我們也一起來看看吧。(師出示小林第一次投中的個數：3個)

師：如果你是小林，會就這樣結束嗎? 搖啊搖，到老師來說

生：不會!我也會要求再投兩次的。

師：正如你們所說的，小林果然也要求再投兩次。(出示小林的后兩次成績： 4個，5個)不過，麻煩來了。三次投籃，用什么表示比較合適？結果怎么樣?生：(齊)不同。

師：是呀，三次成績各不相同。這一回，又該用哪個數來表示小林1分鐘投籃的一般水平呢? 生：3。師：是老師反正不算，不仁不義嘛。

生：我覺得可以用5來表示，因為它最多，第三次投中了5個。

生：我不同意，小強每次都投中5個，所以用5來表示他的成績。但小林另外兩次分別投中4個和3個，怎么能用5來表示呢? 小強不樂意

師：也就是說，如果也用5來表示，對小強來說——生：(齊)不公平!師：該用哪個數來表示呢?

生：可以用4來表示，因為3、4、5三個數，4正好在中間，最能代表他的成績。

師：不過，小林一定會想，我畢竟還有一次投中5個，比4個多1呀。生：(齊)那他還有一次投中3個，比4個少1呀。

師：哦，一次比4多1，一次比4少1??靠近，往哪靠，就選誰

那么，把5里面多的1個挪送給3，這樣不就都是4個了嗎? 3種舉手比較舉手，3的眼睛只盯著

‘。。只有4的都考慮到了。平衡(師結合學生的交流，呈現移多補少的過程，如圖1)

師：數學上，像這樣從多的里面移一些補給少的，使得每個數都一樣多。這一過程就叫“移多補少”。移完后，小林每分鐘看起來都投中了幾個? 生：(齊)4個。

師：能代表小林1分鐘投籃的一般水平嗎?

生：(齊)能!

師：輪到小剛出場了。(出示圖2)小剛也投了三次，成績不看不知道，一看嚇一跳穩定嗎？一會超強，一會跌倒谷底。這一回，又該用幾來代表他1分鐘投籃的一般水平呢7 還有理，中間數無中生有?

最高水平。同學們先獨立思考，然后在小組里交流自己的想法。

生：我覺得可以用4來代表他1分鐘的投籃水平。他第二次投中7個，可以移1個給第一次，再移2個給第三次，這樣每一次看起來好像都投中了4個。所以用4來代表比較合適。(結合學生交流，師再次呈現移多補少過程，如圖3)

師：我可不是移多補少

生：我們先把小剛三次投中的個數相加，得到12個，再用12除以3等于4個。所以，我們也覺得用4來表示小剛1分鐘投籃的水平比較合適。善于解決問題

[師板書：3+7+2=12(個)，12÷3=4(個)]

師：像這樣先把每次投中的個數合起來，然后再平均分給這三次(板書：合并、平分)，能使每一次看起來一樣多嗎?列個總格算式輕松搞定

生：能!都是4個。

師：能不能代表小剛1分鐘投籃的一般水平?生：能!師：其實，無論是剛才的移多補少，還是這回的先合并再平均分，目的只有一個，那就是——生：使原來幾個不相同的數變得同樣多。

師：數學上，我們把通過移多補少后或先合并再平均分，得到的同樣多，同樣多的這個數，就叫做原來這幾個數的平均數。(板書課題：平均數)比如，在這里(出示圖1)，我們就說4是3、4、5這三個數的平均數。那么，在這里(出示圖3)，哪個數是哪幾個數的平均數呢?在小組里說說你的想法。生：在這里，4是3、7、2這三個數的平均數。

師：不過，這里的平均數4能代表小剛第一次投中的個數嗎?

生：不能!

師：能代表小剛第二次、第三次投中的個數嗎?

生：也不能!

師：奇怪，這里的平均數4既不能代表小剛第一次投中的個數，也不能代表他第二次、第三次投中的個數，那它究竟代表的是哪一次的個數呢?整體水平

生：這里的4代表的是小剛三次投籃的平均水平。

生：不能代表某一次的水平，是代表一組數據的一般水平。(師板書：一般水平)直接說：我要4次機會師：最后，該我出場了。知道自己投籃水平不怎么樣，老師很聰明，所以正式比賽前，我主動提出投四次的想法。沒想到，他們竟一口答應了。嘰嘰咕咕商量沒關系說反正比平均數、5

不可能投出姚明 21 前三次投籃已經結束，怎么樣，想不想看看我每一次的投籃情況?(師呈現前三次投籃成績：4個、6個、5個，如圖4)當3次成績出來呀 20

師：那個后悔啊。商量

就此結束，他們同意嗎？

師：猜猜看，三位同學看到我前三次的投籃成績，可能會怎么想?

生：他們可能會想：完了完了，肯定輸了。

調3次比一比

生：你們看，光前三次，張老師平均1分鐘就投中了5個，和小強并列第一。更何況，張老師還有一次沒投呢。他們會同意嗎？ 老師會贏嗎？加油脆弱

師：情況究竟會怎么樣呢?還是讓我們趕緊看看第四次投籃的成績吧。(師出示圖5)

師：算式

憑什么我除以4

師：英雄所見略同呀。回家琢磨，關鍵輸在哪 ？前半夜

5后半夜

[生列式計算，并交流計算過程：4+6+5+1=16(個)，16÷4=4(個)]

師：現在看來，這場投籃比賽是我輸了。你們覺得問題主要出在哪兒? 生：最后一次投得太少了。

生：如果最后一次多投幾個，或許你就會贏了。

師：試想一下：如果張老師最后一次投中5個，甚至更多一些，比如9個，比賽結果又會如何呢?同學們可以通過觀察來估一估，也可以動筆算一算，然后在小組里交流你的想法。

(生或計算，隨后交流結果)

生：如果最后一次投中5個，那么只要把第二次多投的1個移給第一次，很容易看出，張老師1分鐘平均能投中5個。

師：你是通過移多補少得出結論的。還有不同的方法嗎?

生：我是列式計算的。4+6+5+5=20(個)，20÷4=5(個)。

生：我還有補充!其實不用算也能知道是5個。大家想呀，原來第四次只投中1個，現

在投中了5個，多出4個。平均分到每一次上，每一次正好能分到1個，結果自然就是5個了。

師：那么，最后一次如果從原來的1個變成9個，平均數又會增加多少呢?

生：應該增加2。因為9比1多8，多出的8個再平均分到四次上，每一次只增加了2個。所以平均數應增加2個。

生：我是列式計算的，4+6+5+9=24(個)，24÷4=6(個)。結果也是6個。

二、深化理解

師：現在，請大家觀察下面的三幅圖，你有什么發現?把你的想法在小組里說一說。(師出示圖

6、圖

7、圖8，三圖并排呈現)

(生獨立思考后，先組內交流想法，再全班交流)

生：我發現，每一幅圖中，前三次成績不變，而最后一次成績各不相同。

師：最后的平均數—— 生：也不同。

師：看來，要使平均數發生變化，只需要改變其中的幾個數?

生：一個數。

師：瞧，前三個數始終不變，但最后一個數從1變到5再變到9，平均數——

生：也跟著發生了變化。

師：難怪有人說，平均數這東西很敏感，任何一個數據的“風吹草動”，都會使平均數發生變化。現在看來，這話有道理嗎?(生：有)其實呀，善于隨著每一個數據的變化而變化，這正是平均數的一個重要特點。在未來的數學學習中，我們將就此作更進一步的研究。大家還有別的發現嗎?

生：我發現平均數總是比最大的數小，比最小的數大。師：能解釋一下為什么嗎? 生：很簡單。多的要移一些補給少的，最后的平均數當然要比最大的小，比最小的大了。師：其實，這是平均數的又一個重要特點。利用這一特點，我們還可以大概地估計出一組數據的平均數。生：我還發現，總數每增加4，平均數并不增加4，而是只增加1。

師：那么，要是這里的每一個數都增加4，平均數又會增加多少呢?還會是1嗎? 生：不會，應該增加4。

師：真是這樣嗎?課后，同學們可以繼續展開研究。或許你們還會有更多的新發現!不過，關于平均數，還有一個非常重要的特點隱藏在這幾幅圖當中。想不想了解? 生：想!師：以圖6為例。仔細觀察，有沒有發現這里有些數超過了平均數，而有些數還不到平均數?(生點頭示意)比較一下超過的部分與不到的部分，你發現了什么? 生：超過的部分和不到的部分一樣多，都是3個。

師：會不會只是一種巧合呢?讓我們趕緊再來看看另兩幅圖(指圖

7、圖8)吧? 生：(觀察片刻)也是這樣的。

師：這兒還有幾幅圖，(出示圖1和圖3)情況怎么樣呢? 生：超過的部分和不到的部分還是同樣多。

師：奇怪，為什么每一幅圖中，超出平均數的部分和不到平均數的部分都一樣多呢? 生：如果不一樣多，超過的部分移下來后，就不可能把不到的部分正好填滿。這樣就得不到平均數了。

生：就像山峰和山谷一樣。把山峰切下來，填到山谷里，正好可以填平。如果山峰比山谷大，或者山峰比山谷小，都不可能正好填平。

師：多生動的比方呀!其實，像這樣超出平均數的部分和不到平均數的部分一樣多，這是平均的第三個重要特點。把握了這一特點，我們可以巧妙地解決相關的實際問題。

（以上環節，齊華增加了一個排球環節，把多的拍給少的，即移多補少的過程，的確非常之妙，學生學得興趣盎然，而且印象深刻）

師：張老師大概估計了一下，覺得這三張紙條的平均長度大約是10厘米。(呈現圖10)不計算，你能根據平均數的特點，大概地判斷一下，張老師的這一估計對嗎?

生：我覺得不對。因為第二張紙條比10厘米只長了2厘米，而另兩張紙條比10厘米一共短了5厘米，不相等。所以，它們的平均長度不可能是10厘米。

師：照你看來，它們的平均長度會比10厘米長還是短? 生：應該短一些。生：大約是9厘米。生：我覺得是8厘米。生：不可能是8厘米。因為7比8小了1，而12比8大了4。師：它們的平均長度到底是多少，還是趕緊口算一下吧。??

三、拓展展開

師：下面這些問題，同樣需要我們借助平均數的特點來解決。瞧，學校籃球隊的幾位同學正在進行籃球比賽。我了解到這么一份資料，說李強所在的快樂籃球隊，隊員的平均身高是160厘米。那么，李強的身高一定是160厘米嗎? 師：不對呀!不是說隊員的平均身高是160厘米嗎? 生：平均身高160厘米，并不表示每個人的身高都是160厘米。萬一李強是隊里最矮的一個，當然有可能是155厘米了。

生：平均身高160厘米，表示的是籃球隊員身高的一般水平，并不代表隊里每個人的身高。李強有可能比平均身高矮，比如155厘米，當然也可能比平均身高高，比如170 厘米。

師：說得好!為了使同學們對這一問題有更深刻的了解，我還給大家帶來了一幅圖。(出示中國男子籃球隊隊員的合影，圖略)畫面中的人，相信大家一定不陌生。生：姚明!師：沒錯，這是以姚明為首的中國男子籃球隊隊員。老師從網上查到這么一則數據，中國男子籃球隊隊員的平均身高為200厘米。這是不是說，籃球隊每個隊員的身高都是200厘米? 生：不可能。生：姚明的身高就不止2米。生：姚明的身高是226厘米。

師：看來，還真有超出平均身高的人。不過，既然隊員中有人身高超過了平均數——

生：那就一定有人身高不到平均數。

師：沒錯。據老師所查資料顯示，這位隊員的身高只有178厘米，遠遠低于平均身高。看來，平均數只反映一組數據的一般水平，并不代表其中的每一個數據。好了，探討完身高問題，我們再來看看池塘的平均水深。(師出示圖11)

師：冬冬來到一個池塘邊。低頭一看，發現了什么? 生：平均水深110厘米。

師：冬樂開了花，這也太淺了，我的身高是130厘米，下水游泳一定沒危險。你們覺得冬冬的想法對嗎? 生：不對!師：怎么不對?冬冬的身高不是已經超過平均水深了嗎? 生：平均水深110厘米，并不是說池塘里每一處水深都是110厘米。可能有的地方比較淺，只有幾十厘米，而有的地方比較深，比如150厘米。所以，冬冬下水游泳可能 會有危險。師：說得真好!想看看這個池塘水底下的真實情形嗎?(師出示池塘水底的剖面圖，如圖12)

生：原來是這樣，真的有危險!師：看來，認識了平均數，對于我們解決生活中的問題還真有不少幫助呢。當然，如果不了解平均數，鬧起笑話來，那也很麻煩。這不，前兩天，老師從最新的《健康報》上查到這么一份資料。(師出示：《2009年世界衛生報告》顯示，目前中國男性的平均壽命大約是71歲)師：可別小看這一數據哦30年前，也就在張老師出生那會兒，中國男性的平均壽命大約只有68歲。比較一下，發現了什么?生：中國男性的平均壽命比原來長了。

師：是呀，平均壽命變長了，當然值得高興嘍。可是，一位70歲的老伯伯看了這份資料后，不但不高興，反而還有點難過。這又是為什么呢? 生：我想，老伯伯可能以為平均壽命是71歲，而自己已經70歲了，看來只能再活1年了。

師：老伯伯之所以這么難過，你們覺得他懂不懂平均數。師：你們懂不懂?(生：懂)既然這樣，那好，假如我就是那位70歲的老伯伯，你們打算怎么勸勸我? 生：老伯伯，別難過。平均壽命71歲，并不是說每個人都只能活到71歲。如果有人只活到六十幾歲，那么，你不就可以活到七十幾歲了嗎? 師：原來，你是把我的幸福建立在別人的痛苦之上呀!(生笑)不過，還是要感謝你的勸告。別的同學又是怎么想的呢? 生：老伯伯，我覺得平均壽命71歲反映的只是中國男性壽命的一般水平，這些人中，一定會有人超過平均壽命的。弄不好，你還會長命百歲呢!師：謝謝你的祝福!不過，光這么說，好像還不足以讓我徹底放心。有沒有誰家的爺爺或是老太爺，已經超過71歲的?如果有，那我可就更放心了。

生：我爺爺已經78歲了。生：我爺爺已經85歲了。生：我老太爺都已經94歲了。師：真有超過71歲的呀!猜猜看，這一回老伯伯還會再難過嗎?生：不會了。

師：探討完男性的平均壽命，想不想了解女性的平均壽命?有誰愿意大膽地猜猜看? 生：我覺得中國女性的平均壽命大約有65歲。生：我覺得大約有73歲。(師呈現相關資料：中國女性的平均壽命大約是74歲)師：發現了什么? 生：女性的平均壽命要比男性長。

師：既然這樣，那么，如果有一對60多歲的老夫妻，是不是意味著，老奶奶的壽命一定會比老爺爺長? 生：不一定!生：雖然女性的平均壽命比男性長，但并不是說每個女性的壽命都會比男性長。萬一這老爺爺特別長壽，那么，他完全有可能比老奶奶活得更長些。

師：說得真好!走出課堂，愿大家能帶上今天所學的內容，更好地認識生活中與平均數有關的各種問題。下課!帶上你所有的東西：）

第五篇：《可能性》教學設計(借鑒張齊華老師)

《可能性》教學設計

課型：新授課

課時：一課時

? 設計理念

古希臘著名教育家畢達哥拉斯曾說過：“在數學的天地里，重要的不是我們知道掃描，而是我們怎么知道什么。”同時，建構主義心理學認為，在學生主動建構知識的過程中，已有知識經驗和信念起到關鍵的作用。本課的設計，我注重學生的過程體驗，并注重喚起學生對生活中確定現象和隨機現象的認識，搭起本課教學的大門。

? 教學內容

《義務教育課程標準實驗教科書·數學》（人教版）三年級上冊第104~105頁。

? 教材學情分析

可能性是四個學習領域中“統計與概率”中的一部分，“統計與概率”中的統計初步知識在一、二年級已經涉及，但概率知識對于學生來說是全新的概念，它是學生以后學習有關知識的基礎，并且概率問題一個是與社會關系密切的重要問題。在現實世界中，有些事件的結果一定的條件下可以預知，即確定現象；有些事件的結果在一定的條件下無法事先預知，即隨機現象，不確定現象。為了幫助學生認識現實生活中的確定現象和隨機現象，本單元的《可能性》是在引導學生觀察、分析生活中的現象，初步體驗現實世界中存在的不確定現象，認識事件發生的確定性和不確定性。

? 教學目標

知識與技能：

1、通過具體的操作活動，直觀感受有些事件的發生是確定的，有些事件的發生是不確定的。

2、結合具體的問題情境，能用“一定”“不可能”“可能”簡單描述事件發生結果。

過程與方法：

1、創設有趣的活動與游戲（如摸球活動），讓學生經歷猜想、實踐、驗證、推測的過程，體驗事件發生的可能性和不確定性。

2、充分關注學生的學習過程，對積極參與勇于交流的行為給予充分的肯定與表揚。

情感態度價值觀：

1、在同伴的合作和交流中，獲得良好的交流體驗，感受到數學與生活的密切聯系。

? 教學重難點

教學重點：結合已有經驗和情境，理解“一定”“不可能”“可能”發生的事件，并能列舉生活中的一些實例。

《可能性》教學設計

教學難點：

1、培養初步的判斷、推理能力，能判斷事物發生的可能性。

2、通過游戲，使學生在經歷觀察、猜測和試驗中，經歷知識的形成過程。

? 教法學法

《新課標》強調：教學要建立在學生已有的知識經驗基礎和發展水平之上，要親身經歷將實際問題抽象成數學模型。教法采用情景教學法、探索教學法，學法：觀察發現法，自助探究法等。

? 教學準備

1、每組一袋球（1~4號3紅3白、5號袋2紅2黃2白，6號袋5白1紅，發給左側兩小組）

2、四個硬紙板口袋；三塊黑卡紙；4紅4黃4綠吸鐵石。

3、教師有3口袋，7號4紅3黃（小花，用作猜球練習），8號7白（備10白1紅），9號3白2紅2黃（例題演示）。

4、分好6人小組，按坐的順序定好1-6號，中間一人組長，培訓組長、示范摸球。

5、備紅粉筆1支，確認磁性黑板，在黑板上布好點，放好12個吸鐵石。

? 教學流程

一、摸球前的準備。

師：今天啊，徐老師帶來了一些小禮物，猜猜是什么？ 預設：乒乓球

師：咱們看看，里邊有什么顏色，好不好，注意觀察，看誰的反應最快。（滿面含笑摸出一個球，高舉這是一個——），預設：齊答：黃球

師：當然（放進去再摸出一個），里面啊還有——（預設接：白球），這兩種顏色太平常了，對不對啊？生活中我們都能見到，徐老師還帶了一種特殊的乒乓球——（預設接：紅球）

師：（欣喜）可不要小看了這個乒乓球，那是徐老師前兩天單獨給同學們定做的，喜歡嗎？（預設接：喜歡）

師：那要是徐老師把這個紅色的乒乓球重新放回到口袋里，然后讓你像這樣任意的從中摸一個，你覺得你會把紅色的乒乓球從這里摸出來么? 預設：不會、可能

師：想試試嗎？（預設斬釘截鐵：想）

師：不著急，徐老師這兒帶來了3個口袋。那這三個口袋里都裝了什么顏色的球呢？瞪大眼睛。（貼1號袋）1號袋，什么顏色？

預設：黃色和白色

師：4個黃色，2個白色!真快，繼續，2號袋（貼2號袋）預設（齊答）：3個紅色，3個白色

師：三紅三白最簡潔，3號袋（預設接：全紅）概括得很好！

《可能性》教學設計

二、摸球游戲 感受“可能、不可能、一定” 1.感受“一定”

師：現在，如果你特別想從某口袋里摸出一個紅球，你會選擇到幾號袋子里去摸？1號、2號還是3號？

預設1：第3個

師：想摸3號口袋的舉手。哇，你們都想摸第3個袋子？奇怪，為什么你們都選3號？說理由 預設：因為3號口袋全部都是紅球。

師：是呀，3號袋里全是紅球，孩子們？任意的從中摸一個??會怎么樣啊？（預設接：都是紅球）師：數學上還可以說——任意摸一個，‘一定’摸出紅球，對吧？（板書：一定）2.感受“不可能”

師：奇怪，1號袋里也有6個球，為什么不去1號袋里摸？ 預設1：因為1號口袋里沒有紅球。

師：所以徐老師從里面去任意摸一個會怎么樣？ 預設：就肯定摸不到紅球。

師：嗯，這詞兒用得真好。這1號口袋里一個紅球都沒有，任意摸一個，有可能摸出紅球嗎？ 預設齊：不可能

師：（贊賞地）嗯，沒有紅球怎么可能摸到紅球呢？（在1號口袋下寫“不可能”）3.體驗摸球游戲，感受并理解“可能”

（1）驗證有“可能”摸到紅球，初步認識“可能”

師：我很奇怪，2號袋好像也沒任何人想去摸，看來，在2號袋中任意摸一個好像也不可能摸出紅球，你們覺得對嗎？

預設：（預設反對）我覺得這2號口袋里有可能摸出紅球的。（其余學生點頭認同）

師：也就是大家都覺得2號口袋里既有紅，可又不全是紅。因此，你們覺得任意從中摸一個??（學生接：有可能），有可能，但是也不是很踏實，對不對？（齊答：對）光這樣說是不夠的，想動手來試試嗎？（預設接：想）

【摸球環節課前準備】：

1.將學生分組，將球和表格分給各個組長

2.交待給3個組長：1.不能看袋里的球，拿到座位上后放地上 2.聽清楚老師要求，說拿出袋子再拿出袋子 3.按順時針的方向摸球（組長第一個，組長左手邊的同學是第二個，依次類推），摸一個就記錄一個 4.組員都摸完之后，將袋子放回地上，舉手示意

師：我們就一起來進行摸球比賽：比什么？我們不比你摸到的球是什么顏色，就比一比哪一組摸得最快，最遵守秩序。孩子們，怎樣摸最快呢？（邊演示邊說）像這樣手一伸，一拿，拿到那個就哪個！

師：聽清楚摸球規則：第一、大家能不能偷看？（不能），摸之前還要像這樣？（搖一搖）【學生活動：摸球，師了解學預設摸球的情況，做及時的方法的指導與紀律的引導：動作快、組長可要

《可能性》教學設計

把好關哦/不能看，其他組員也不能看/有的小組已經5位同學摸完了，加油/】

師：好，迅速放到地上，趕快藏到地上

師：孩子們，徐老師現在特別特別期待，摸球的情況到底怎樣呢？有沒有哪個小組愿意給大家展示一下的？第一小組（點出），有請你們組，來（直接說顏色就行）【結合學預設回答，在ppt上展示學預設的摸球情況。】

師：有不一樣的嗎？奇怪，球都是3紅3白，摸出的情況竟然會不同。來，第二組，有請你們組。師：說得還不夠快！/機會留給誰？/好的！/ 展出4組的摸球情況： 第一組：白白紅紅白紅 第二組：紅白紅紅紅紅 第三組：紅白紅紅紅紅 第四組：白白白白紅白

師：因為時間關系，匯報先到此為止。現在，觀察一下這四個小組的摸球情況，是不是每組都有人摸到了紅球？

預設：摸到了。

師：看來，這2號口袋里有3個紅球、3個白球，從中任意摸一個球，有可能摸到紅球嗎？（結合回答寫：可能）

（2）感受在哪一次摸到紅球的不確定性，進一步理解“可能”

師：真好，實踐證明，有紅有白的時候，的確是有可能摸到紅色。別高興得太早，孩子們。有可能歸有可能，但是到底會在第幾次摸到紅球，你們覺得能確定嗎？

預設：不能。

師：讓我們再來看看他們摸球的情況吧。跟著徐老師的手，先看看第一小組，第幾次摸到了紅球？ 預設：3、4、6。師：再看第二小組呢。預設：1、3、4、5、6。

師：不一樣啊！第三小組呢？預設：1、3、4、5、6。師：第四小組呢？ 預設： 5。

（預設：假如第2次都顯示紅球，師反問：第二次你們確定能摸到紅球嗎？那我想說的是再請一個小組也這么摸6次，那你們覺得第2次也肯定是紅球嗎？）

師：那這樣看來，雖然有可能，但到底第幾次才會摸到紅球，能確定嗎？ 預設：不能。

師：但是你們別著急。盡管第幾次摸到紅球沒法確定。但我們相信，只要我們不停地摸下去，有沒有可能摸到紅球啊？（預設接：有）

師：像這樣，雖然不能確定什么時候摸到，但只要一直摸下去、摸下去，總會摸到紅球，數學上，《可能性》教學設計

我們就把它叫做可能！（板書：可能）明白了嗎？

預設：明白。

（3）加強對不同概率的事件中，“可能”的理解 A.對“2紅2黃2白”的探討

師：忘了告訴你們，剛才再給你們在發球的時候，有幾個小組，我給他們的球里面稍微動了點手腳，師：想不想知道那幾個小組，我給他們口袋里藏了什么球？ 預設：想。

師：瞪大眼睛，觀察一下，這一小組里的球和這個口袋里的球一樣嗎？（預設：不一樣）誰的眼睛最尖？

預設：2紅2黃2白。預設：顏色比原來多了。師：但是紅色的球？ 預設：紅球比原來少了。

師：孩子們，球的顏色多了，紅球少了，變少了之后，任意摸一個還有可能摸到紅球嗎？ 預設：可能。

師：覺得有可能的請舉手，說說你的理由? 預設：有紅球就有可能。

師：概括很簡練，他的意思是說只要里面有紅球，摸著摸著，總有可能把紅球給摸出來。同不同意？（預設接：同意）

【預設：學生發現紅球記號，師：這可不是我們所允許的，好樣的。除了這些小小的歪門邪道以外，如果正常的摸的話，是有可能摸到紅球的吧？】

師：到底有沒有可能呢？光這么說也不行，怎么辦？（預設：試）

師：這個字用得好，還試什么，都有人摸過了。是哪一組呢？（預設：有學生拒收）多聰明，你們是怎么發現里面的球有問題的？摸出了什么球就發現里面有問題（黃球）厲害，都是高手。來，驗證一下，看看是不是2紅2黃2白（打開口袋給一預設驗證）。

師：老師現在很忐忑，到底有沒有摸到紅球呢？不著急，我來采訪一下，什么顏色？從1號開始說吧。

【預設一：沒有一個人摸到紅球】 預設1：白 預設2：黃 預設3：白 預設4：白 預設5：黃 預設6：黃

師：很多同學都笑了，笑得真傻。剛才是誰說可能會摸到紅球的，別賴。徐老師是根據實驗結果得

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出來的，這個袋子里是不可能摸到紅球的。

預設：有可能。

預設：反對，一直這么摸下去就能摸到。師：（把球重新裝回口袋）想試試嗎？ 預設：想。師：還請這一組。預設：不可能，還想試。

預設接著摸球，終于摸到了一個紅球。

師：就出一個球就讓你們這么高興啊。看來，是可能摸到紅球的，就是幾率小了點。

那么這一組的結果說明了什么問題啊？在這個口袋里任意摸一個（球），大聲的說會怎么樣？就（有可能摸到紅球）。雖然紅球少了點兒，沒關系。

【預設二：有摸到紅球】 預設：紅色

師：還要再往下問嗎？孩子們，2紅、2黃、2白的時候，任意摸一個有可能摸到紅球嗎？（預設：有）那么這一組的結果說明了什么問題啊？在這個口袋里任意摸一個（球），大聲的說會怎么樣？就（有可能摸到紅球）。雖然紅球少了點兒，沒關系。

B.對“5白1紅”的探討

師：還有一個小組的球，想看看嗎？不看（不知道），一看（嚇一跳），我專來嚇你們來著。（出示1紅5白，學生感嘆：哇）

師：哇什么？你說？ 預設：只有一個紅球

師：語言簡潔，意思到位，紅球又（變少了）。孩子們，考驗你們的時候到了，現在，從中任意摸一個球，還有可能摸到紅球嗎？（預設：有）認為有的請舉手，說理由。

預設：只要里面有一個紅球，就有可能

師：我很擔心呀，白球這么多，還有可能嗎？怎么辦？ 預設：試、問

師：組長把球給我，先驗證一下，是1紅5白嗎？（請一名學生看）是不是？（是）真好。師：我現在心理有點緊張，還有可能嗎？不著急，先采訪。（逐一問學生）太好了，我太喜歡你們倆了。要沒你們倆，我心里真有點兒不踏實。6個同學里面有2個摸到了紅球，看來從這個口袋里任意摸一個會怎么樣？告訴我！

預設：有可能摸到紅球

師：盡管紅球很（少），那現在看來你們覺得在什么情況下就有可能摸到紅球？ 預設：只要有紅球

C.對“紅球摸到的概率更小”的探討

師：同意嗎（同意）別忙著下結論，只要有紅球，那我想問的是假如說紅球就那么一個，白球再多

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一點兒，你們覺得還有可能嗎？（可能/可能性越來越小）你還出現了不同聲音了。瞧，徐老師給大家帶來了。（出示：1紅10白的口袋）

師：1個紅球，10個白球了，有可能摸到紅球嗎？（有可能）堅決認為有的請舉手，手放下。再挑戰一下（出示：1紅100白），我數過了1個紅球，100個白球。還有可能摸出紅球嗎？（有可能）看來刺激度還不夠啊，我現在裝了1000個白球，紅球只有個（1個）（出示：1000個白球，1個紅球）。那現在我要問的是，就是在這個非常極端的袋子里，任意摸一個，只要告訴我，還有沒有可能摸到紅球？（齊答：有）同意的坐直。

師：現在還有可能嗎？（出示：1000個白球，移走白球）怎么了，移走一個就沒有可能了，說。預設：沒有紅球了，不可能摸到紅球

師：要是有的話，那真叫做無中生有了，對吧。4.小結“一定”“不可能”“可能”，并用“可能”說一說

師：好樣的孩子們，通過剛才的學習，我相信大家結合摸球充分認識到了：在一個口袋里，瞧，如果都是紅球的話，任意摸一個（預設接：一定是紅球）一定摸到紅球，真好。那如果從1號袋里任意摸一個，（預設接：不可能）不可能摸到紅球。那要是口袋里，既有紅球，又有白球，任意摸一個（有可能），除了有可能摸到紅球，還有可能摸到（黃球）。肯定？（肯定）那我問你們在1號袋里和3號袋里，有可能摸到白球嗎？噓??把你的想法說給同桌聽，開始

預設：同桌間交流 師：好，誰來說。

預設：1號袋有可能摸到白球 師：同意嗎？理由？

預設：1號袋里有白球，就有可能摸到白球。

師：3號袋，誰想說，有可能嗎？（沒有）對紅球來說是“一定”，對白球來所就是“不可能”了。

二、放球，應用“可能、不可能、一定” 1.第一關：運用一定

師：剛才，是老師裝球，同學們摸球。現在，想不想自己也來裝一裝球？看瞧，這兒第一個空口袋，還有一些球，幾個紅的？（4個）反應最快在這兒，幾個黃的？（4個）幾個綠的（4個）看要求，球可不是隨便往里邊裝的，現在，我希望你們往里裝一些球，但從中任意摸一個球，要一定是綠球。

預設：會。

師：你準備放什么顏色，放幾個？誰來試試？ 預設：放3個綠球。

師：我們一起來看看啊（黑板上操作），來。同學們給他一個判斷，從中任意摸一個是綠球，對嗎？對就掌聲通過。（學生擊掌通過）鼓勵別人有的時候也是肯定自己。

師:我在想啊，何必要3個（擺2個），行嗎？（行）也沒看到掌聲鼓勵我一下。師：那除了3個還可以怎樣？（1個），還能再拿嗎

《可能性》教學設計

師：一句話，只要怎樣放，就一定能摸到綠球？ 預設：只要全部都是綠球。

師：純色的，任意摸一個就是綠球，ok？ 2.第二關：運用“不可能”

師：第一關，恭喜你們都通過了，想試試第二關嗎？（想）現在，要改變要求了——任意摸一個，不可能摸到綠球？行嗎？悄悄將思路說給同桌聽聽。

師：好了沒有？不可能摸到綠球，你準備怎么放？ 預設：紅球、白球全部放進去。

師：聰明的孩子，我在等待著你的判斷：不同意舉手抗議，同意掌聲。還有不一樣的嗎？ 預設：全部紅，放1個白。

師：一句話，誰來概括一下，只要怎樣放，就不可能摸到綠球？ 預設：只要袋子里不放綠球。

師：只要不放綠球，就不可能摸到綠球，對嗎？（對）總之一句話，什么東西堅決不能放進去？（綠球）恭喜你，答對了。3.第三關：運用“可能”

師：第三關，任意摸一個球，可能是綠球。這個有點兒難了，我給大家4人一小組，說說你的想法，好不好？比一比。要求小組里4人說4種不同的方法，哪個組的方法最多。

師：好了沒有，來吧。請沒有回答過問題的，你說。【預設一：只要放一個綠球，就有可能摸到綠球】 預設：只要里面有一個綠球，就有可能摸到綠球。

師：好丫頭，考驗我們呢。這句話太狠了，把所有機會都擋掉了。好嘞，成功，yeah（黑板上放一個綠球）。

預設：錯了

師:看來他對了一半對不對，你看我里面不是有一個綠球嗎？我現在變成什么了？ 預設：現在變成了肯定綠球

師：現在能怎么辦？他想概括的想法我很欣賞，你來。預設：再放幾個其他顏色的球

師：你的意思是再隨便再放幾個其他顏色的球，可以嗎？掌聲鼓勵。接下來，我就不一一問了，我想你們應該理解很透了。誰來概括一下，只要怎樣放，就有可能摸到綠球？

預設：既要有綠球，也要有其他顏色的球。

師：掌聲在等什么呢？有綠色，又不全是綠色，任意摸一個可能是綠球，對吧？ 【預設二：各種具體的回答】 預設1：2紅2黃2綠 預設2：全放

預設3：紅球黃球都放，只放1個綠球

《可能性》教學設計

師：孩子們，可能嗎？（可能）。師：看來，只要怎樣放，就可能摸到綠球？ 預設：只要有一個綠球就行，再放點其他的球。

師：掌聲在等什么呢？有綠色，又不全是綠色，任意摸一個可能是綠球，對吧？

三、猜球

1.摸球并猜一猜

師：球摸過了，放也放過了，最后，還想不想和老師玩個猜球游戲？很有挑戰性哦。瞧，老師這兒有三個口袋。記住，這三個袋子，剛才趁你們在活動的時候把里面的球都換了，可不是這里面的三個袋子了。里面都有些怎樣的球呢？我可以透露一下——第一個袋子：三紅三黃四白，反應真快，小伙子！（三黃四紅）yes，第三個口袋（5紅2綠）

師：現在注意觀察了，劉謙來啦。現在，我要從中拿一個口袋，拿的是哪個口袋呢，我可不想告訴你？（打亂順序）

師：現在，我就拿了一個口袋，你們猜猜看這可能是幾號口袋？（1號2號）還有不同的嗎（3號），完了，光這樣猜，能猜得出來嗎？（看、試）看一下，太沒有挑戰性了，我肯定不會讓你看。

預設：摸一個。

師：我太喜歡你的創意了，好！滿足你的想法，誰愿意上來摸？齊刷刷的，我找一個最遠端的，坐得遠也有好處啊。（請一名學生）最關鍵的任務就交給你了。

師：孩子，你得和我互相配合好，可以嗎？注意要求，不能偷看。我得先干嘛？（搖球）對，這個很重要。（搖球）堅決不能偷看噢。

師：你們也有任務，你們的是什么？（監督）對，一個是監督，另外一個是猜！當這個球一出來，你就得憑感覺，或者憑你的推理，你覺得這應該可能是幾號袋子，或者不可能是幾號袋？Ok? 師：黃的出來了，想說什么話？能確定是哪個嗎？（不能）那不能你還舉啥手？你說？ 預設：有可能是2號袋。

師：不可能是幾號袋（3號袋）為什么不可能是3號袋？ 預設：因為3號袋里沒有黃色的。師：沒有黃色的可能摸出黃色嗎？

師：你的這一摸太牛了！破解了徐老師一半的難題。（隱去三號袋）還剩2個袋了，怎么辦？（再摸）這個“再”字可用得真好！來吧，孩子，希望你有一只神奇的手。不好意思，我還沒有晃夠。（晃一晃，請生摸：黃）

師：大聲告訴我能確定嗎？（不能）不能我也先攆出來，免得等會兒忘掉了，兩次

師：孩子，再摸一次（晃），動作要快啊。（生摸出紅）我看到很多同學都很激動，也就是說，摸了3次，出現黃黃紅的情況，有可能在幾號袋？

預設：2號、1號口袋都有可能。

師：都可能，小伙子，時間限制，只有1次機會了，把握好機會！好嗎？（生齊喊：白球）小伙子，《可能性》教學設計

采訪你一下好不好，你猜他們為什么特別希望你摸出白球？

預設：因為1號袋沒有白球，2號袋有白球。

師：那么如果你真要摸出白球的話，你能確定是幾號袋？（1號袋）

師：同意嗎？（同意）掌聲送給你們和他。想得好，說得也好。但是想得再好，說得再好，還不如??讓他看看

師：現在，我們有個約定好不好，我把口袋打開給你看，但是你要回答我一個問題：在這里邊，有可能摸到白球嗎？好不好，只要回答就行了（不可能）孩子們幾號袋？（2號袋）恭喜你，答對了，yeah。沒錯，這個袋不是1號袋，是2號袋。（隱去1號袋）好了，答案已經出來了，他剛才沒有摸第四次，你想摸嗎？（想）不摸了，讓你猜猜看，如果讓你從這個口袋里摸第四次，會摸到什么顏色的球？我看誰說得準確，是一定、不可能、還是可能？誰來試試？

預設：有可能摸到紅色和黃色的球

師：同意嗎？（同意）還有補充（預設：紅色的可能要大一點，不可能白色）看來啊，不管你前面摸的是什么，都不影響第四次。

2.再猜一次

師：猜球有意思嗎？湊巧的是，徐老師表弟今年也上三年級，前兩天，我們也一起玩了幾次摸球游戲。我也給他準備了三個口袋，一起來看看——（1號：2黃、2白、2紅。2號：3綠。3號：2紅2綠）

師：最后，我們選擇了其中一個進行了摸球游戲，但用的究竟是幾號口袋，記不起來了。想不想知道最后的摸球情況——

預設：想

師：我們一共摸了4次，是綠球、綠球、綠球、綠球。他是幾號口袋呢？ 預設：2號。師：有不一樣的嗎？ 預設：3號口袋也有可能。

師：感興趣嗎？回家讓媽媽也買幾個乒乓球，做個袋子，好好的玩一玩這個游戲吧！下課！