第一篇：張齊華 1

張齊華

張齊華，男，1976年出生，南京市北京東路小學副校長，小學一級教師。曾多次獲南通市和海門縣數學教學評比一等獎，2003年獲江蘇省小學數學評比一等獎，連續三次在“教海探航”征文評比中獲一等獎，50余篇教育教學論文發表在省級以上刊物。參與蘇教版數學國標本教材的編寫。曾獲“南通市跨世紀學術技術帶頭人培養對象”、南京市優秀青年教師、“海門市學科帶頭人”等稱號。

1簡介

從最初課堂上蹣跚學步的“丑小鴨”，到如今眾多數學教師心目中追隨的“數學王子”，有人驚嘆于他教學技藝的高速攀升，有人折服于他對數學課堂的深刻見解，亦有人陶醉于他對數學課堂的詩化演繹因為熱愛、執著和超越，在小學數學教學的藝術王國里演繹精彩自我的真實歷程。男，1976年出生，本科學歷，南京市北京東路小學教導處副主任，小學一級教師。曾獲“南通市跨世紀學術技術帶頭人培養對象”、“海門市學科帶頭人”等稱號，被譽為“數學王子”。一直致力于數學課堂文化的探索與研究，《人民教育》《小

楊瑞科

學青年教師》先后對其在數學文化領域的探索給予報道。曾多次獲南通市和海門縣數學教學評比一等獎，2003年獲江蘇省小學數學評比一等獎，連續三次在“教海探航”征文評比中獲一等獎，50余篇教育教學論文發表在省級以上刊物。參與蘇教版數學國標本教材的編寫。2005年代表江蘇參加全國小學數學優課大賽獲一等獎，連續四次在江蘇省教育廳舉辦的征文大賽中獲一等獎，六十余篇教育教學論文在國家、省級刊物發表。參與數學課程標準蘇教版小學數學教材的編寫工作。

2榮譽成就

1998年，執教的“圓的面積”一課，因引導學生自主探索新知，合理滲透數學思想方法而在數學教學領域引起積極反響。1999年，執教的“兩步計算應用題”因大膽突破傳統應用題教學封閉、陳舊、機械的套路，有效溝通數學與現實生活的聯系，引導學生體驗數學學習的價值，給傳統應用題教學注入新的生機和活力。

2000年，執教的“平均數”因充分關注“平均數的統計學意義”，在聽課教師中引起頗大反響和思考，并引發了一場有關“平均數內涵”的大討論。

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2001年，執教的“簡單的統計”因引導學生經歷統計活動的全過程，并借助現場的調查，增進學生對統計方法及價值的理解，在江蘇省“教海探航”頒將活動中獲得充分肯定。

進入新世紀，永不滿足的他開始了對于數學文化的關注、思考和實踐。其間，從“走進圓的世界”中對于數學歷史性及數學美的關注，到“美妙的軸對稱圖形”中對于自然、社會、民俗等眾多文化領域的有機涉獵，再到“因數和倍數”中對于數學本身所內涵的魅力、人類不斷探索的精神等文化力量的有效開掘。每一次探索，都見證著他不斷思考、不斷探索的足音。

3教學方法

每個兒童都是一個獨特、完整的生命個體。他們與眾不同的個性特征、生活閱歷、文化背景，尤其是在日常生活、游戲等活動中所積淀下的“前數學經驗”，使得他們每個人的數學背景都是如此豐富而獨特。我們可以稱之為“街頭數學”，或者是“民間數學”，但它們的存在至少對我們的數學教育提出一種嶄新的要求與表達方式，那就是：唯有走進兒童的數學世界，才能真正和孩子們一起并肩看風景！

楊瑞科

走進兒童，首先就意味著一種寬容、一種理解和欣賞。當孩子與眾不同的想法、思想以及思考問題的視角展現在你面前時，你是否首先能保持一種審慎的態度，是否善于從孩子們的角度去換位思考，是否能排除自我經驗的干擾和成人的“文化優越感”，而以一種“平等中的首席”之身份介入對問題的思考，進而與他們一起交流、溝通、協商？其次，作為教師，我們是否具有自我批判的勇氣與氣度。一個不善于進行自我批判和深刻反思的教師是很難真正看清孩子眼中那片美麗的風景的。當孩子們的想法與你發生沖突時，你首先考慮的是什么？是否定、改造他們的想法，還是更愿意相信他們思維的合理性，更愿意從肯定、理解、揣摩的角度去對待？事實上，這當中面對的恰恰是一種教育的抉擇，而抉擇的背后映射的正是為師者思想和人格的魅力。

生活本身就是開放的，我們無法預設兒童的生活，也就勢必無法看透和把握每個兒童的前數學世界。試想，如果沒有“幫我剪圓”的經歷，“剪出圓的周長”這一怪誕的想法又將從何而來？是生活豐富了兒童的世界，而兒童世界的豐富又拓展了我們的數學和教育。充分認識到這一點之后，我們的數學教育必將走向一個更為開闊的高原，數學課堂亦將走向一個更加開放、更加流動不居、更富理智挑戰的嶄新歷程。

4教學藝術

“永遠不重復別人，更不重復自己”，這是工作格言。“課誰都能上好，但如何上出特色，走出別人沒曾走過的路，讓別人從你的探索中獲得啟迪，這才是我真正努力的方向”。就這樣，人無我有、人有我新、人新我精，攜著一股小年青永不言敗的闖勁，齊華踏上了一條不斷超越、不斷創新的教學之路；

“不重復別人，更不重復自己。”這是張齊華的座右銘，更是他每一堂課留給大家的真實寫照。有人說，張齊華課堂的這份獨特源自于他過人的語言功底，我以為這話至少說對了一半。數學是一門理性十足的學科，數學語言本身的準確、概括、凝練自然制約著數學教學語言的風格。然而，從小喜好文學，博覽群書，對朗誦、表演等又頗為愛好的他，無形中成就了那種既有數學教師的準確、凝練，又有語文教師的激情、詩意的教學語言，加上在課堂上快捷的反應與準確的判斷，又使其教學語言多了一份特有的敏銳與智慧。至今，我們都能清晰地記起，“圓的認識”一課，那段詩意盎然的課堂結語，“軸對稱圖形”一課，那段妙語連珠的師生對話，以及更多的課堂上，那用無數個渾然天成的語言細節連綴起的華彩的教學樂章。教學首先是一門語言的藝術，是一門借助于外部言語實現內在心靈溝通的藝術。獨特而風格化的教學語言，恰恰構成了他數學教學藝術的第一張名片。

當然，張齊華課堂的那份獨特，絕不僅僅源自于他風格化的教學語言。一旦進入到他課堂的“內里”，教學目標的多元、課堂立意的深遠、教學結構的精巧、課堂進程的豐富，則又構成了他數學教學藝術的另一張獨特名片。“聽張齊華上課，你很難預料到他下一個環節可能會做什么。”這種對課堂莫大的心理期待，既吸引著聽課教師，更撥弄著每一位學生對數學學習的好奇與向往。“圓的認識”一課上，從水面上漾起的層層漣漪，到陽光下綻放的向日葵，從光線折射后形成的美妙光環，到用特殊儀器拍攝到的電磁波、雷達波、月球上的環形山，進而再到建筑、美學、民俗、藝術等各個領域，“圓”這一抽象的平面圖形以一種瑰麗的姿態走進了孩子們的視野，并悄悄改變著他們對數學抽象面孔的最初印象。“認識分數”一課，當張齊華呈現出他一周歲和成人后的兩張照片，進而探討“不同年齡階段，人的頭長占身高的幾分之一”時，倍感驚訝后，所有人都會心地笑了；結束新課前，他為孩子們播放的那則“多美滋奶粉”的廣告，則讓大家又一次品讀出了其匠心獨運的教學智慧。有人慨嘆：“哪有這么巧，這則廣告簡直就是為這節課量身定做的！”可是，又有誰知道，為了設計好這則教學結尾，讓孩子們真切體驗到“分數對于生活不可或缺的意義”，他翻遍了多少資料、開展了多少教學調查！頓悟源自于持續思考與強烈關注。可以說，正是這份“不重復別人，更不重復自己”的自我約束，成就了其教學的內在獨特。

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然而，如果這種獨特僅僅源自于“為創新而創新”的話，其又未免失之于標新立異。在張齊華的思想深處，他對獨特有著更深刻的體悟。“認識整萬數”一課，張齊華為每個學生準備了一個簡易的“四位計數器”。為了撥出像30000這樣的整萬數，已有的計數器數位不夠了，怎么辦？有學生在千位后添了一個數位萬位，問題迎刃而解；更有學生靈機一動，同桌合作將兩個計算器“拼”在一起，“四位計算器”一下成了“八位計數器”??至此，所有聽課教師恍然大悟。原來，這一“拼”不只是解決了數位不夠需要添加的問題，“4+4”的“拼合”過程，恰恰暗合了我國計數方法中“四位一級”的規則，并為學生深刻理解這一新的計數規則奠定了堅實的基礎。新穎的教學設計在這里因為有了教師對教學內容本身的深刻理解作支撐，而獲得了更加豐富的內涵。

5教學思想

在張齊華看來，數學不只是數學知識、方法、過程的簡單堆砌與疊加，數學教學也不僅僅是數學知識、技能和方法的機械傳遞與搬運。作為基礎教育乃至高等教育中必修的一門課程，她擁有其他學科所無法替代的特有的教育與文化價值，比如理性精神的滋養，或者數學思想方法的培育，等等。數學就是一種文化。這種“作為文化的數學”一旦進入課程，尤其是教學視野，勢必會呈現出一般課堂所不具有的文化氣質，她既可能表現在對數學內容的理解和組織上，也可能表現在對兒童數學需要的把握上，更多的還表現在對具體教學策略的選擇與運作上。有人說，張齊華的數學課有一種淡淡的“文化味”，大抵就是指這層意思。有人說，張齊華的課堂很特別，他的教學藝術是由他個人的內在氣質、個性和風格所決定的。這同樣只說對了一半。個人既有的教學風格、氣質固然是影響一個人形成獨特教學藝術的重要因素，但與此同時，教師是否擁有相當的專業自覺，比如，能否在對自我教學特質作出清晰把握與深刻洞察的基礎上，結合自身的教學特點，確立個性化的教學主張與見解，進而以此為基礎，構建出屬于自己獨有的教學哲學，則是教師形成教學藝術的更深層次的原因。張齊華雖然年輕，但他卻以過人的專業自覺，憑著對數學教學的敏銳洞察與深刻理解，從理論與實踐層面搭建出了“文化數學”這一嶄新的教學平臺。

不妨還是回到“圓的認識”一課。眾所周知，“在所有平面圖形中，圓是最美的！”這已經成為大家的共識。可是，如何引導學生去感受圓這一平面圖形的美，進而獲得真切的審美體驗？課堂上，張齊華設計的幾個問題耐人回味：“和其他直線圖形相比，你覺得圓美在哪里？”（圓由曲線圍成）“可是，不規則的曲線圖形或者橢圓也是由曲線圍成的呀，和他們相比，圓又有什么特別之處？”（圓看起來更光滑、勻稱）“除了外表光滑、勻稱以外，還有沒有什么內在的原因，讓圓成為最美的平面圖形？”“所有的半徑都相等，這與圓的美有什么重要的關聯嗎？”（事實上，正因為半徑處處相等，才使得圓具備了一種無限對稱的和諧結構，美因此而生）一連串的問題，看似都在探尋“圓為什么最美”，但探究的最終結果卻指向了圓的內在特征，以及由這些特征所構成的圓的和諧結構。至此，數學知識的習得、數學方法的滲透、數學美的體驗，三者有機融合為一體，共同構筑起了這節具有濃郁文化氣質的數學課。

此外，張齊華始終堅持，具有文化訴求的數學課堂并不排斥具體的數學知識或方法，相反，數學課程的文化價值和意義正是依托于具體數學知識、方法的學習而得以實現的。知識和方法是載體，是數學的文化價值賴以彰顯、實現的母體和根系。在他看來，只有讓知識的學習伴隨著豐富的數學思考，讓方法的滲透伴隨著理性精神的培育，這樣的數學課堂才是真正具有文化意蘊的，而他的教學藝術的精髓也正在于此。

正如蘇霍姆林斯基所言：“教師的語言素養在極大程度上決定著學生在課堂上腦力勞動的效率。”張奇華老師充滿幽默、激情、機智的語言，不僅能促進學生思維的敏捷和靈活，更能使課堂妙趣橫生，充分調動學生的學習積極性。張齊華老師不愧為小學數學界的“數學王子”，他集配音演員的音色、相聲演員的幽默、演員的表演天份、數學家的睿智??于一身。正如一位名師評價張奇華老師所用的三個詞：“高”，“富”，“帥”，正是恰如其分。“高”：張老師的IQ高，EQ更高！他每一堂課都令人深深陶醉，每一堂課都給大家帶來意外的驚喜，每一堂課都能吸引住學生，“吸”住學生的學習欲望，“引”出學生的探究欲望。“富”：張老師學富五車。他的知識豐富，具備的深厚的數學素養、人文素養，才能將看似干巴巴的方程，講得如此生動，解釋的如此清晰明了，令學生、老師豁然開朗！“帥”：張老師的每堂課都如此引人入勝，輕而易舉地撩起個個如火爐似的學生的學習欲望。讓原本沉悶課堂不再沉悶，讓枯燥無味的數學知識成為每個學生探索的目標，讓學生主動思考并且迫切的發表想法！

在去三明聽課之前，我在網上搜索了關于張齊華的許多課例，閱讀了許多他的文章，算是提前領略了一下名師風采：《認識整萬數》、《因數和倍數》、《運算律》、《認識分數》、《走進圓的世界》、《美妙的軸對稱圖形》無不精彩；對《數學教師理應具備的幾種視角》、《數學究竟姓什么》、《學校為誰而“美麗”？》、《為孩子的數學心靈積蓄一種力量》頗有感慨

講座《孩子的“問題”哪兒去了？》

第二篇：認識負數 張齊華 課堂實錄（模版）

認識負數教學設計

T:：現在我想叫出每個人的名字，請把你的名字寫在紙條上，放在課桌右上角，最近老師總是忘記字，請大家寫上拼音。

T：今天我們學習一種新的數類，叫做負數。有誰見過負數？在哪里？（預設）S：電梯；溫度計、、、T：電梯按鈕去1層以下的，溫度計上0度以下都用負數來表示；…… T：好，誰能在圖里面寫上負數（叫5個學生）記住，盡量寫跟別人不一樣的；（學生寫負數）

T：好的。誰能來說說負數有什么特點？（預設）S：數字前面有減號（負號）

T：有人認為這是減號；有人認為這是負號。其實，這個符號在運算過程中是減號，在單獨的數字上則是負號。T：除了這個特點，還有嗎？（預設）S：負數都要比0小。

T：好的這位同學不緊看到了負數的表面，還看透了負數的本質。透過現象看本質，火眼金睛。誰能來總結一下負數的特點。（預設）S：負數有負號而且比0小。T：說的不錯。誰能再來說一下；（預設）S：負數有負號而且比0小。

T：恩，說的真不錯。好，同桌之間說一說。說完以后再紙上寫上負數。（學生說）

T：既然有負數，那么相對的，肯定有（S：正數）

T：誰能上來寫一下正數，一人寫一個，有沒有跟他們不一樣的（直到學生寫+）

T：我也寫個數，0，認為是正數的請舉手；認為是負數的請舉手；沒有舉手的請舉手，好，你來說一下為什么不舉手？

（預設）S：0既不是正數，也不是負數。T：為什么呢？也就是說正數要怎么樣？（預設）S：正數都要比0大。

T：好的，那我這個0應該寫在哪里？邊上？還是中間？（預設）S：中間

T：寫大點，還是寫小點？（預設）S：大點

T：好我們來看這些同學寫的數，有什么不一樣？

（預設）S:有正號（T：+號在運算中是加號，在單獨的數字上則是正號）T：那不寫正號還是正數嗎？（預設）S：是。

T：既然可以不寫；為什么有時候要寫上呢？（預設）S：為了看起來方便。

T：看來有沒有正號不是正數的關鍵；那你認為，正數的的共同特點是什么？（預設）S：比0大。

T：好的。剛才說到0,0除了表示數，還能表示什么？（預設）S：表示起點。

T：好的，這是數軸（PPT出示數軸），負數應該寫在0的哪邊？（預設）S：左邊。

T：（PPT數軸顯示負數）沒有負數的時候，數軸是一條什么線？（射線）有了負數呢？（直

線）而這個0就是他們的（分界點）；

T:（出示PPT5個-2）這里有5個-2，四人小組討論下，然后把這里-2的意思按你的跟同學說一說。

T：某盆地的海報高度是-2.我們先來看第一個-2，誰已經理解盆地海拔-2米的請舉手，先給大家介紹一下海拔？聽懂的請舉手，掌聲送給他。（PPT出現海撥）盆地在哪里？這個盆地是要比什么還要低？為了準確的表示某一個地方的高度，我們都把海平面所在的高度看成什么？（0米）好，現在誰能換句話說說某盆地的海報高度是-2米，是什么意思？ 好，下面鄭老師隨便點一個地方，你覺得它的海拔高度是正數還是負數？有誰知道我們地球上最高的海拔高度在哪里嗎？最低的呢？這2個數一正一負，分別表示什么含義，你能不能，結合海平面來具體的說一說，同桌一人說一個

T：北京最低氣溫-2，第二個-2，這是溫度計，畫的好不好？對不對？確定嗎？很堅決，那好，我也帶了了4個溫度計，大家找找哪個才是真正的-2°。同意第一個舉手……

千萬不要看他是0下面一格就是-2攝氏度。來說說這些是幾度？ T：張老師把車停在-2樓。第三個-2，樓房中什么是0？（預設）S：地面

T：（第四個-2，我的銀行卡還剩-2，PPT顯示）這個專業術語叫透支。想知道張老師為什么卡里還剩2快錢嗎？（PPT顯示）我的銀行卡還剩98元，買電影票用去100，還剩（），買爆米花又刷去10元，還剩（）。回到銀行，趕緊給卡里沖了100元，現在卡里還剩（）。

T:張老師的兒子高-2cm，到底是什么意思？

T：（PPT出售我國10歲男孩的平均身高約是140cm）現在知道-2cm是什么意思了嗎？誰來說一下？

（預設）S：比平均身高矮2cm T：在這里我們把哪一個身高看做了0，如果用140cm做標準，我每指一個人，看你能不能理解他真正的身高是多少？這里有一個人的身高很標準，誰？因為他是0，正好是平均身高（+3,143；-2,138；-4,136）看來身高能成為負數，那體重能不能成為負數？ T：我們在做這些題目的時候都在找一個數，是什么？（預設）S：0 T：我們現在回顧一下，這里的5個負數都是用誰當做0的?看誰反應快，我就知道誰今天掌握的做好。T：這些0都一樣嗎？（預設）S：不一樣。

T：是的，有的時候0是約定俗成的，有的時候是要去規定的。

第三篇：張齊華《因數和倍數》

張齊華《因數和倍數》

張齊華老師的《因數和倍數》，教學理念嶄新，教學設計獨特，文化底蘊豐富，談吐風趣幽默。課堂教學開放而又充滿活力。

感觸一：充滿人性化的評價語

聽張老師的課是一種享受，尤其是聆聽他那自然、精煉的評價語。如評價作業紙時，張老師說“關于A這種方法你有什么話要說？”（學生紛紛舉手想要指出錯誤）可張老師是這樣引導的：“能不能從正面的角度說一說，這個同學找出的因數有沒有值得肯定的地方？”還有，盡管學生是找錯了，他這樣說：“其實這個同學挺不容易的，他已經找出不少了，對不對？”……這些人性化的評價語在課堂中還有很多，這些樸實的語言，孩子們在潛移默化中感受到的是成功，是對數學學習的無限樂趣。

感觸二：豐富多彩的文化信息。

關于本堂課的文化氣息，是相當濃厚的，張老師一定查閱了不少的資料，進行了創造性的組合和優化，對激發學生的學習興趣是大有好處的。“計數器’九顆珠子的奧秘；神奇的完美數，讓學生在不知不覺中感受到了數學的奧秘。只有有了文化氣息，數學才變得有了靈魂，而再不會讓學生感到枯燥無味，只會樂在其中。感觸三：善于引導，讓學生學會思考

張老師善于捕捉學生發言過程中的信息，教師大膽地讓學生自己找出36的因數和3的倍數，再通過對幾份不同作業的比較，一步又一步，層次清晰地得出找因數和倍數的方法。在這一過程中，教師與學生進行互動，溝通聯系，交流想法，形成意見，真正做到了“教育的引導者。”如：“看來這個同學是沒有找全，沒有找全僅僅是因為粗心嗎？是因為什么？”、“他的意思是說用除法來做的話，找一個數的因數，一個個找，還是兩個兩個找？”……老師親切的話語引導學生去發現、思考。

這一堂課上了55分鐘，這在日常的教學中是不允許的，但在這節課中，沒有這增加的十幾分鐘，簡直是一種遺憾，那么如何解決現實與理想的矛盾呢？

教學過程：

一、認識倍數和因數

師：一起看大屏幕，數一數，幾個正方形？（12）第一個問題是如果老師請你把12個正方形擺成一個長方形，會擺嗎？行不行？能不能就用一道非常簡單的乘法算式表達出來? 生：1×12 師：猜猜看，他每排擺了幾個，擺了幾排？

生：12個，擺了一排。

師：（屏幕顯示擺法）是這樣嗎？第二種擺法我們只要把他旋轉一下就跟第一種怎么樣？（一樣）。我們可以把他忽略不計。還可以怎么擺？同樣用一道乘法算式表達出來？

生：三四十二

師：這一次每排擺了幾個，擺了幾排？（屏幕顯示擺法）同樣第二種擺法也可以省。還有嗎？

生齊：2×6 師：張老師來猜測一下同學們腦子里怎么想的，有同學可能想每排擺6個，擺2排。也有同學可能想每排擺2個，擺6排。（屏幕顯示擺法）同樣第二種擺法也可以省。

師：還有不同的想法嗎？每排能擺5個嗎？12個同樣大小的正方形能擺3種不同的乘法算式，千萬別小看這些乘法算式，今天我們研究的內容就在這里。咱們就以第一道乘法算式為例，3×4=12，數學上把3是12的因數，以往我們把他叫約數，現在叫因數，3是12的因數，那4（也是12的因數，）倒過來12是3的倍數，12（也是4的倍數）。同學們很有遷移的能力，這就是我們今天所要研究的因數和倍數。

師板書：因數和倍數

師：這兒還有兩道乘法算式，先自己說一說誰是誰的因數？誰是誰的倍數？行不行？

師：誰先來？

生說略

師：剛才在聽的時候發現1×12說因數和倍數時有兩句特別拗口，是哪兩句啊？

生：12是12的因數，12是12的倍數。

師：雖然是拗口了點，不過數學上還真是這么回事，12的確是12的因數，12也是12的倍數。為了研究方便，以后來探討因數和倍數的時候所說的數都是什么數啊？

生：自然數

師：而且誰得除外。

生：0 師：好了，剛才我們已經初步研究了因數和倍數，屏幕顯示：試一試：你能從中選兩個數，說一說誰是誰的因數？誰是誰因數和倍數？行不行？先自己試一試。3、5、18、20、36 生說略。

二、探索找因數倍數的方法

師：看來同學們對于因數和倍數已經掌握的不錯了。不過剛才張老師在聽的時候發現一個奧秘，好幾個數都是36的因數，你發現了嗎？誰能在五個數中把哪些數是36的因數一口氣說完？

生1：

3、18 師：還有誰？

生2：36 師：3、18、36都是36的因數，只有這3個嗎？

生1：1 生2：4 生3：6 師：其實要找出36的一個因數并不難，難就難在你有沒有能力把36的所有因數全部找出來？能不能？張老師作一下詳細說明，因為這個問題有點難度，你可以獨立完成也可以同桌完成，下面你選擇你喜歡的方式，可以合作，也可以單干，想一想怎么不遺漏，注意了，當你找出了36的所有因數，別忘了填在作業紙上，如果能把怎么找到的方法寫在下面更好。

學生填寫時師巡視搜集作業。

師：張老師找到了3份不同的作業，大家仔細觀察這三份作業，可有意思了。我把他命名為A、B、C師板書。

A：2、4、13、12、18、36 B：1、2、4、3、6、9、12、18、36 C：1、36、2、18、3、12、4、9、6 師：關于A這種方法你有什么話要說？（學生紛紛舉手）能不能從正面的角度說一說，這個同學找出的因數有沒有值得肯定的地方？（學生沉默）一點都沒有我們值得肯定的地方嗎？你先來。

生1：都對的

師：有沒有道理？看來要找一個人的優點挺困難的。

生2：寫全了 生大聲說：沒有！

師：正好觸及了大家的公憤，看來要找一個人的優點不太好找了，是吧？其實這個同學挺不容易的，他已經找出不少了，對不對？說說有什么問題？

生：沒有寫全，少了3、6、9。

師：大伙來思考一下，6、9這兩個因數是36的因數嗎？看來這個同學是沒有找全，沒有找全僅僅是因為粗心嗎？是因為什么？

生：36÷4，只寫了4，沒寫9 師：他的意思是說用除法來做的話，找一個數的因數，一個個找，還是兩個兩個找？

生齊：兩個兩個找。

生2：先把1寫在頭，36寫在尾，然后再把2寫中間，這樣依次寫下去，這樣比較美觀。

師：張老師提煉出兩個字：“順序”，好象還不僅僅是因為粗心的問題，沒有按照一定的順序。

師：第二個同學有沒有找全，有沒有更好的建議送給他。

生：他應該把4、3調換一下。

師：做了一個微調就不僅僅是美觀的問題，更帶給我們一種尋找的有序。第三個同學是最沒有順序的，什么1、36，2、18了，你們覺得有道理嗎？

師：你想提出抗議嗎？你們覺得有順序嗎？（有）你自己來說？

生：他們那樣還要頭對尾頭對尾的，像這樣直接就可以寫了。

師：有沒有聽明白，也是同樣一對一對出現的。

生：大小沒有排，B大小排完后從小到大很舒服。

師：你看你那個舒服嗎？

生：舒服

師：正是因為你的質疑，他把方法說了出來。他用了什么？

生：乘法口訣

師：非常感謝同學們給出的發言，正是你們的發言讓我們感受到了如何尋找一個數的因數，有沒有問題。

師：雖然這個同學找到了嘗試完了1，找到

36、嘗試完了2，找到18、3、12、4、9、6，自然數有很多，那你的7、8沒有試，你怎么知道找全了呢？

生1：找到開始重復就不找了

生2：我認為應該找到比較接近如5、6，7、8找到比較接近就可以了。

師：體會體會

1、學生：36、2、學生：18、3、12、4、9、6這兩個因數在不斷接近，接近到相差無幾。

生：直接找更大數的所有的因數，這個同學很厲害，已經在用分解質因數的方法在找一個因數的個數了。

師：通過剛才的交流，有辦法了嗎？有沒有方法不遺漏。試一個。20 生齊：1、2、4、5、10、20 再試一個：15，寫在練習紙上。學生匯報

師：尋找一個數掌握的不錯，這節課還要研究倍數呢。會找一書的倍數嗎？找一個小一點的，3的倍數，誰來找一個。

生：

21、300 師：你能把3的倍數全部寫下來嗎？

生：不能。太多太多了。

師：那怎么辦？寫不完可以用省略號表示。試試看。

學生練習紙上完成，匯報。師：同學們雖然找的答案差不多，但腦子里的方法各不相同。我想聽聽你是怎樣找的？

生1：3×1、3×2 師：能理解嗎？

生1：3＋3=6、6＋3＝9 師：有理嗎？不要小看加3了，當到數大的時候也比較方便。

生：略

師：尋找一個數的倍數的方法掌握了嗎？試一試。7的倍數

學生練習紙上完成：50以內7的倍數。

師：誰來說說這一次你找了哪幾個？

生：7、14、21、28 師：為什么不加省略號？

生：因為給了一個限制。

師：任何自然數的倍數是無限的。會尋找一個數的因數嗎？

三、感受倍數和因數的神奇奧秘

師：透出一個信息，關于因數和倍數是不是蘊藏了很有意思的規律，下面這題就隱藏了一條規律。屏幕顯示：老師這有9顆珠子全部放到十位和個位，1顆放十位，另外8顆放個位。這樣就得到幾？（18）要是不這樣放，你還能得到其他的兩位數嗎？

生1：27 生2：36 師：把你知道的兩位數跟同桌說一說。

學生同桌說，師：如果把你們說的兩位數按一定順序排出來，就得到了這樣的一排數，是這樣嗎？屏幕展示：18、27、36、45、54、63、72、81 仔細觀察9顆珠子撥的兩位數，你發現了什么？

生：都是9的倍數

師：9顆珠子撥的兩位數都是9的倍數，8顆珠子撥的兩位數都是（8的倍數）

師：發現了什么？9顆珠子撥的兩位數都是9的倍數，8顆珠子撥的兩位數（不一定都是8的倍數），7顆珠子、6顆珠子呢？其實這里的學問沒有同學想的那么簡單，張老師給大家布置一個小任務，自己在草稿本上畫一畫珠子，看看6顆5顆4顆撥出的兩位數到底和珠子的個數有什么關系？這里蘊藏著非常豐富的規律，等待著同學們去發現。其實不僅在計數器上找到一些有趣的規律。

師：張老師問一個問題，好不好？1—100這100個數，思考一下，哪個數的因數最多？

生1：1 生2：99 師：還有誰要發表的？

生3：9 師問生2：為什么認為99的因數最多？

生：9是最大的。

師：張老師公布一下答案： 60 師：可以一起找一找。可以負責任的告訴你，比99多多了。是不是數越大，因數就越多。你們知道一小時有多少分？（60分），一分=60 秒，這里的60和剛才的60有關系嗎？這里的60就和100以內的因數有關系，你們相信嗎？特意給大家帶來一本書。書的名字叫《數字王國》，學生讀有關資料。

師：相信了吧，其實張老師一開始也是特別不相信，咱們歷法上面的 1小時=60分，一分=60秒的進率竟然和100以內的數的因數有著這么大的關系，這本書詳細記載著為什么一年有12個月，一天有24小時，同學們知道為什么用12、24作為進率，道理是一樣的。數學中發現的規律

師：更有意思的在后面，張老師給大家介紹一個數，數學家把6稱為“完美數”。想知道為什么嗎？用最快的速度說一說6的因數？

生：1、2、3、6 師：把6劃去，1+2+3=6，又回到了6本身，正是因為這樣的數非常特別，所以數學家把這樣特點的數稱為是完美數。數學家找到了第一個完美數，就會去找第一個完美數，猜猜看，找到了沒有？今天張老師不把答案直接告訴你們，我透露一下資料好不好？第二個完美數比20大，比30小，而且還是一個雙數，好猜了吧。有幸去南京聆聽了張齊華老師執教的《因數和倍數》，感觸頗深。張老師那嶄新的教學理念，獨特的教學設計，豐富的文化底蘊，風趣幽默的談吐，深深打動了我。他那開放而又充滿活力的課堂教學，令我感觸很深。感觸一：充滿人性化的評價語

聽張老師的課是一種享受，尤其是聆聽他那自然、精煉的評價語。如評價作業紙時，張老師說“關于A這種方法你有什么話要說？”（學生紛紛舉手想要指出錯誤）可張老師是這樣引導的：“能不能從正面的角度說一說，這個同學找出的因數有沒有值得肯定的地方？”還有，盡管學生是找錯了，他這樣說：“其實這個同學挺不容易的，他已經找出不少了，對不對？”……這些人性化的評價語在課堂中還有很多，這些樸實的語言，孩子們在潛移默化中感受到的是成功，是對數學學習的無限樂趣。

感觸二：豐富多彩的文化信息。

關于本堂課的文化氣息，是相當濃厚的，張老師一定查閱了不少的資料，進行了創造性的組合和優化，對激發學生的學習興趣是大有好處的。“計數器’九顆珠子的奧秘；神奇的完美數，讓學生在不知不覺中感受到了數學的奧秘。只有有了文化氣息，數學才變得有了靈魂，而再不會讓學生感到枯燥無味，只會樂在其中。

感觸三：善于引導，讓學生學會思考

張老師善于捕捉學生發言過程中的信息，教師大膽地讓學生自己找出36的因數和3的倍數，再通過對幾份不同作業的比較，一步又一步，層次清晰地得出找因數和倍數的方法。在這一過程中，教師與學生進行互動，溝通聯系，交流想法，形成意見，真正做到了“教育的引導者。”如：“看來這個同學是沒有找全，沒有找全僅僅是因為粗心嗎？是因為什么？”、“他的意思是說用除法來做的話，找一個數的因數，一個個找，還是兩個兩個找？”……老師親切的話語引導學生去發現、思考。

只是這一堂課上了55分鐘，這在日常的教學中是不允許的，但在這節課中，沒有這增加的十幾分鐘，簡直是一種遺憾，那么如何解決現實與理想的矛盾呢？

課堂實錄如下：

教學過程：

一、認識倍數和因數

師：一起看大屏幕，數一數，幾個正方形？（12）第一個問題是如果老師請你把12個正方形擺成一個長方形，會擺嗎？行不行？能不能就用一道非常簡單的乘法算式表達出來?

生：1×12

師：猜猜看，他每排擺了幾個，擺了幾排？

生：12個，擺了一排。

師：（屏幕顯示擺法）是這樣嗎？第二種擺法我們只要把他旋轉一下就跟第一種怎么樣？（一樣）。我們可以把他忽略不計。還可以怎么擺？同樣用一道乘法算式表達出來？

生：三四十二

師：這一次每排擺了幾個，擺了幾排？（屏幕顯示擺法）同樣第二種擺法也可以省。還有嗎？

生齊：2×6

師：張老師來猜測一下同學們腦子里怎么想的，有同學可能想每排擺6個，擺2排。也有同學可能想每排擺2個，擺6排。（屏幕顯示擺法）同樣第二種擺法也可以省。

師：還有不同的想法嗎？每排能擺5個嗎？12個同樣大小的正方形能擺3種不同的乘法算式，千萬別小看這些乘法算式，今天我們研究的內容就在這里。咱們就以第一道乘法算式為例，3×4=12，數學上把3是12的因數，以往我們把他叫約數，現在叫因數，3是12的因數，那4（也是12的因數，）倒過來12是3的倍數，12（也是4的倍數）。同學們很有遷移的能力，這就是我們今天所要研究的因數和倍數。

師板書：因數和倍數

師：這兒還有兩道乘法算式，先自己說一說誰是誰的因數？誰是誰的倍數？行不行？

師：誰先來？

生說略

師：剛才在聽的時候發現1×12說因數和倍數時有兩句特別拗口，是哪兩句啊？

生：12是12的因數，12是12的倍數。

師：雖然是拗口了點，不過數學上還真是這么回事，12的確是12的因數，12也是12的倍數。為了研究方便，以后來探討因數和倍數的時候所說的數都是什么數啊？

生：自然數

師：而且誰得除外。

生：0

師：好了，剛才我們已經初步研究了因數和倍數，屏幕顯示：試一試：你能從中選兩個數，說一說誰是誰的因數？誰是誰因數和倍數？行不行？先自己試一試。3、5、18、20、36

生說略。

二、探索找因數倍數的方法

師：看來同學們對于因數和倍數已經掌握的不錯了。不過剛才張老師在聽的時候發現一個奧秘，好幾個數都是36的因數，你發現了嗎？誰能在五個數中把哪些數是36的因數一口氣說完？

生1：

3、18

師：還有誰？

生2：36

師：3、18、36都是36的因數，只有這3個嗎？

生1：1

生2：4

生3：6

師：其實要找出36的一個因數并不難，難就難在你有沒有能力把36的所有因數全部找出來？能不能？張老師作一下詳細說明，因為這個問題有點難度，你可以獨立完成也可以同桌完成，下面你選擇你喜歡的方式，可以合作，也可以單干，想一想怎么不遺漏，注意了，當你找出了36的所有因數，別忘了填在作業紙上，如果能把怎么找到的方法寫在下面更好。

學生填寫時師巡視搜集作業。

師：張老師找到了3份不同的作業，大家仔細觀察這三份作業，可有意思了。我把他命名為A、B、C師板書。

A：2、4、13、12、18、36

B：1、2、4、3、6、9、12、18、36

C：1、36、2、18、3、12、4、9、6

師：關于A這種方法你有什么話要說？（學生紛紛舉手）能不能從正面的角度說一說，這個同學找出的因數有沒有值得肯定的地方？（學生沉默）一點都沒有我們值得肯定的地方嗎？你先來。

生1：都對的

師：有沒有道理？看來要找一個人的優點挺困難的。

生2：寫全了

生大聲說：沒有！

師：正好觸及了大家的公憤，看來要找一個人的優點不太好找了，是吧？其實這個同學挺不容易的，他已經找出不少了，對不對？說說有什么問題？

生：沒有寫全，少了3、6、9。

師：大伙來思考一下，6、9這兩個因數是36的因數嗎？看來這個同學是沒有找全，沒有找全僅僅是因為粗心嗎？是因為什么？

生：36÷4，只寫了4，沒寫9

師：他的意思是說用除法來做的話，找一個數的因數，一個個找，還是兩個兩個找？

生齊：兩個兩個找。

生2：先把1寫在頭，36寫在尾，然后再把2寫中間，這樣依次寫下去，這樣比較美觀。

師：張老師提煉出兩個字：“順序”，好象還不僅僅是因為粗心的問題，沒有按照一定的順序。

師：第二個同學有沒有找全，有沒有更好的建議送給他。

生：他應該把4、3調換一下。

師：做了一個微調就不僅僅是美觀的問題，更帶給我們一種尋找的有序。第三個同學是最沒有順序的，什么1、36，2、18了，你們覺得有道理嗎？

師：你想提出抗議嗎？你們覺得有順序嗎？（有）你自己來說？

生：他們那樣還要頭對尾頭對尾的，像這樣直接就可以寫了。

師：有沒有聽明白，也是同樣一對一對出現的。

生：大小沒有排，B大小排完后從小到大很舒服。

師：你看你那個舒服嗎？

生：舒服

師：正是因為你的質疑，他把方法說了出來。他用了什么？

生：乘法口訣

師：非常感謝同學們給出的發言，正是你們的發言讓我們感受到了如何尋找一個數的因數，有沒有問題。

師：雖然這個同學找到了嘗試完了1，找到

36、嘗試完了2，找到18、3、12、4、9、6，自然數有很多，那你的7、8沒有試，你怎么知道找全了呢？

生1：找到開始重復就不找了

生2：我認為應該找到比較接近如5、6，7、8找到比較接近就可以了。

師：體會體會

1、學生：36、2、學生：18、3、12、4、9、6這兩個因數在不斷接近，接近到相差無幾。

生：

生：直接找更大數的所有的因數，這個同學很厲害，已經在用分解質因數的方法在找一個因數的個數了。

師：通過剛才的交流，有辦法了嗎？有沒有方法不遺漏。試一個。20

生齊：1、2、4、5、10、20

再試一個：15，寫在練習紙上。學生匯報

師：尋找一個數掌握的不錯，這節課還要研究倍數呢。會找一書的倍數嗎？找一個小一點的，3的倍數，誰來找一個。

生：

21、300

師：你能把3的倍數全部寫下來嗎？

生：不能。太多太多了。

師：那怎么辦？寫不完可以用省略號表示。試試看。

學生練習紙上完成，匯報。

師：同學們雖然找的答案差不多，但腦子里的方法各不相同。我想聽聽你是怎樣找的？

生1：3×1、3×2

師：能理解嗎？

生1：3＋3=6、6＋3＝9

師：有理嗎？不要小看加3了，當到數大的時候也比較方便。

生：略

師：尋找一個數的倍數的方法掌握了嗎？試一試。7的倍數

學生練習紙上完成：50以內7的倍數。

師：誰來說說這一次你找了哪幾個？

生：7、14、21、28

師：為什么不加省略號？

生：因為給了一個限制。

師：任何自然數的倍數是無限的。會尋找一個數的因數嗎？

生：略

三、感受倍數和因數的神奇奧秘

師：透出一個信息，關于因數和倍數是不是蘊藏了很有意思的規律，下面這題就隱藏了一條規律。屏幕顯示：老師這有9顆珠子全部放到十位和個位，1顆放十位，另外8顆放個位。這樣就得到幾？（18）要是不這樣放，你還能得到其他的兩位數嗎？

生1：27

生2：36

師：把你知道的兩位數跟同桌說一說。

學生同桌說，師：如果把你們說的兩位數按一定順序排出來，就得到了這樣的一排數，是這樣嗎？屏幕展示： 18、27、36、45、54、63、72、81

仔細觀察9顆珠子撥的兩位數，你發現了什么？

生：都是9的倍數

師：9顆珠子撥的兩位數都是9的倍數，8顆珠子撥的兩位數都是（8的倍數）

師：發現了什么？9顆珠子撥的兩位數都是9的倍數，8顆珠子撥的兩位數（不一定都是8的倍數），7顆珠子、6顆珠子呢？其實這里的學問沒有同學想的那么簡單，張老師給大家布置一個小任務，自己在草稿本上畫一畫珠子，看看6顆5顆4顆撥出的兩位數到底和珠子的個數有什么關系？這里蘊藏著非常豐富的規律，等待著同學們去發現。其實不僅在計數器上找到一些有趣的規律。

師：張老師問一個問題，好不好？1—100這100個數，思考一下，哪個數的因數最多？

生1：1

生2：99

師：還有誰要發表的？

生3：9

師問生2：為什么認為99的因數最多？

生：9是最大的。

師：張老師公布一下答案： 60

師：可以一起找一找。可以負責任的告訴你，比99多多了。是不是數越大，因數就越多。你們知道一小時有多少分？（60分），一分=60 秒，這里的60和剛才的60有關系嗎？這里的60就和100以內的因數有關系，你們相信嗎？特意給大家帶來一本書。書的名字叫《數字王國》，學生讀有關資料。

師：相信了吧，其實張老師一開始也是特別不相信，咱們歷法上面的 1小時=60分，一分=60秒的進率竟然和100以內的數的因數有著這么大的關系，這本書詳細記載著為什么一年有12個月，一天有24小時，同學們知道為什么用12、24作為進率，道理是一樣的。數學中發現的規律

師：更有意思的在后面，張老師給大家介紹一個數，數學家把6稱為“完美數”。想知道為什么嗎？用最快的速度說一說6的因數？

生：1、2、3、6

師：把6劃去，1+2+3=6，又回到了6本身，正是因為這樣的數非常特別，所以數學家把這樣特點的數稱為是完美數。數學家找到了第一個完美數，就會去找第一個完美數，猜猜看，找到了沒有？今天張老師不把答案直接告訴你們，我透露一下資料好不好？第二個完美數比20大，比30小，而且還是一個雙數，好猜了吧。數學上的規律不是一下子直覺說出來的，那么這樣先來說一說雙數：22、24、26、28，猜猜看，可能是誰？

學生試這四個數。

師：寫出所有的因數，然后把自己給去掉。

師：正確答案應該是22，我們一起來找一找，人們開始找第三個完美數，想知道第5個嗎？師板書。為什么這么驚訝？同學們驚訝的背后張老師體會的過老，剛才找一個也花了一分多鐘，要從幾十億數中找出這6個完美數，數學家們要付出多大的心血。你覺得什么力量使數學家們去不斷努力？

生：好奇心

師：數學家們能透過枯燥的數學本身看到里面的東西，就像我們今天這堂課一樣，透過數字蘊藏著大量豐富的規律。高斯曾經說過的把數學比作科學的皇后，數論是數學皇后頭頂上的皇冠，我們研究的只是數論中的最最基本的一些小常識，換句話說這堂課我們沒有摘取數學皇后頭頂上的皇冠，我們摘取的只是皇冠上一小粒一小粒的珠子。

子直覺說出來的，那么這樣先來說一說雙數：22、24、26、28，猜猜看，可能是誰？

學生試這四個數。

師：寫出所有的因數，然后把自己給去掉。

師：正確答案應該是22，我們一起來找一找，人們開始找第三個完美數，想知道第5個嗎？師板書。為什么這么驚訝？同學們驚訝的背后張老師體會的過老，剛才找一個也花了一分多鐘，要從幾十億數中找出這6個完美數，數學家們要付出多大的心血。你覺得什么力量使數學家們去不斷努力？

生：好奇心

師：數學家們能透過枯燥的數學本身看到里面的東西，就像我們今天這堂課一樣，透過數字蘊藏著大量豐富的規律。高斯曾經說過的把數學比作科學的皇后，數論是數學皇后頭頂上的皇冠，我們研究的只是數論中的最最基本的一些小常識，換句話說這堂課我們沒有摘取數學皇后頭頂上的皇冠，我們摘取的只是皇冠上一小粒一小粒的珠子。

第四篇：張齊華《交換律》課堂實錄與評析（范文）

張齊華 《加法交換律》課堂實錄

師：喜歡聽故事嗎？ 生：喜歡。

師：那就給大家講一個“朝三暮四”的故事吧。聽完故事，想說些什么？（結合生發言板書：3+4=4+3）

師：觀察這一等式，你有什么發現？

生1：我發現，交換兩個加數的位置和不變。(教師板書這句話)師：其他同學呢？(見沒有補充)老師的發現和他很相似，但略有不同。(教師出示：交換3和4的位置和不變)比較我們倆給出的結論，你想說些什么？

生2：我覺得您(老師)給出的結論只代表了一個特例，但他(生1)給出的結論能代表許多情況。

生3：我也同意他(生2)的觀點，但我覺得單就黑板上的這一個式子，就得出“交換兩個加數的位置和不變”好像不太好。萬一其它兩個數相加的時候，交換它們的位置和不等呢！我還是覺得您的觀點更準確、更科學一些。

師：的確，僅憑一個特例就得出“交換兩個加數的位置和不變”這樣的結論，似乎草率了點。但我們不妨把這一結論當作一個猜想(教師將生1結論中的“。”改為“？”)。既然是猜想，那么我們還得——

生：驗證。師：怎么驗證呢？

生1：我覺得可以再舉一些這樣的例子？ 師：怎樣的例子，能否具體說說？

生1：比如再列一些加法算式，然后交換加數的位置，看看和是不是跟原來一樣。（學生普遍認可）

師：那你們覺得需要舉多少個這樣的例子呢？ 生2：

五、六個吧。生3：至少要十個以上。

生4：我覺得應該舉無數個例子才行。不然，永遠沒有說服力。萬一你沒有舉到的例子中，正好有一個加法算式，交換他們的位置和變了呢？（有人點頭贊同）

生5：我反對！舉無數個例子，那得舉到什么時候才好？如果每次驗證都需要這樣的話，那我們永遠都別想得到結論！

師：我個人贊同你（生5）的觀點，但覺得他（生4）的想法也有一定道理。綜合兩人的觀點，我覺得是不是可以這樣，我們每人都來舉三、四個例子，全班合起來那就多了。同時大家也留心一下，看能不能找到“交換加數位置和發生變化”的情況，如果有及時告訴大家行嗎？（學生贊同，隨后在作業紙上嘗試舉例。）

師：正式交流前，老師想給大家展示同學們在剛才舉例過程中出現的兩種不同的情況。

（教師展示：1．先寫出12＋23和23＋12，計算后，再在兩個算式之間添上“＝”。2．不計算，直接從左往右依次寫下“12＋23＝23＋12”。）

師：比較兩種舉例的情況，想說些什么？

生6：我覺得第二種情況根本不能算舉例。他連算都沒算，就直接將等號寫上去了。這叫不負責任。（生笑）

生7：我覺得舉例的目的就是為了看看交換兩個加數的位置和到底等不等，但這位同學只是照樣子寫了一個等式而已，至于兩邊是不是相等，他想都沒想。這樣舉例是不對的，不能驗證我們的猜想。（大家對生

6、生7的發言表示贊同。）

師：哪些同學是這樣舉例的，能舉手示意一下嗎？

師：明白問題出在哪兒了嗎？（生點頭）為了驗證猜想，舉例可不能亂舉。這樣，再給你們幾位一次補救的機會，迅速看看你們寫出的算式，左右兩邊是不是真的相等。

師：其余同學，你們舉了哪些例子，又有怎樣的發現？

生8：我舉了三個例子，7＋8＝8＋7，2＋9＝9＋2，4＋7＝7＋4。從這些例子來看，交換兩個加數的位置和不變。生9：我也舉了三個例子，5＋4＝4＋5，30＋15＝15＋30，200＋500＝500＋200。我也覺得，交換兩個加數的位置和不變。

（注：事實上，選生

8、生9進行交流，是教師有意而為之。）

師：兩位同學舉的例子略有不同，一個全是一位數加一位數，另一個則有一位數加一位數、二位數加兩位數、三位數加三位數。比較而言，你更欣賞誰？

生10：我更欣賞第一位同學，他舉的例子很簡單，一看就明白。生11：我不同意。如果舉得例子都是一位數加一位數，那么我們最多只能說，交換兩個一位數的位置和不變。至于加數是兩位數、三位數、四位數等等，就不知道了。我更喜歡第二位同學的。

生12：我也更喜歡第二位同學的，她舉的例子更全面。我覺得，舉例就應該這樣，要考慮到方方面面。（多數學生表示贊同。）

師：如果這樣的話，那你們覺得下面這位同學的舉例，又給了你哪些新的啟迪？

教師出示作業紙：0+8＝8+0，6＋21＝21+6，1/9+4/9＝4/9＋1/9。生：我們在舉例時，都沒考慮到0的問題，但他考慮到了。

生：他還舉到了分數的例子，讓我明白了，不但交換兩個整數的位置和不變，交換兩個分數的位置和也不變。

師：沒錯，因為我們不只是要說明“交換兩個整數的位置和不變”，而是要說明，交換——

生：任意兩個加數的位置和不變。

師：看來，舉例驗證猜想，還有不少的學問。現在，有了這么多例子，能得出“交換兩個加數的位置和不變”這個結論了嗎？（學生均認同）有沒有誰舉例時發現了反面的例子，也就是交換兩個加數位置和變了？這樣看來，我們能驗證剛才的猜想嗎？

生：能。

（教師重新將“？”改成“。”，并補充成為：“在加法中，交換兩個加數的位置和不變。”）師：回顧剛才的學習，除了得到這一結論外，你還有其它收獲嗎？ 生：我發現，只舉

一、兩個例子，是沒法驗證某個猜想的，應該多舉一些例子才行。

生：舉的例子盡可能不要雷同，最好能把各種情況都舉到。

師：從“朝三暮四”的寓言中，我們得出“3+4＝4+3”，進而形成猜想。隨后，又通過舉例，驗證了猜想，得到了這一規律。該給這一規律起什么名稱呢？（學生交流后，教師揭示“加法交換律”，并板書。）

師：在這一規律中，變化的是兩個加數的――（板書：變）生：位置。師：但不變的是――

生：它們的和。（板書：不變）

師：原來，“變”和“不變”有時也能這樣巧妙地結合在一起。結論，是終點還是新的起點？

師：從個別特例中形成猜想，并舉例驗證，是一種獲取結論的方法。但有時，從已有的結論中通過適當變換、聯想，同樣可以形成新的猜想，進而形成新的結論。比如（教師指讀剛才的結論，加法的“加”字予以重音），“在加法中，交換兩個加數的位置和不變。”那么，在——

生1：減法中，交換兩個數的位置，差會不會也不變呢？（學生中隨即有人作出回應，“不可能，差肯定會變。”）

師：不急于發表意見。這是他（生1）通過聯想給出的猜想。（板書：“猜想一：減法中，交換兩個數的位置差不變？”）生2：同樣，乘法中，交換兩個乘數的位置積會不會也不變？（板書：“猜想二：乘法中，交換兩個數的位置積不變？”）生3：除法中，交換兩個數的位置商會不變嗎？

（教師板書：“猜想三：除法中，交換兩個數的位置商不變？”）師：通過聯想，同學們由“加法”拓展到了減法、乘法和除法，這是一種很有價值的思考。除此以外，還能通過其它變換，形成不一樣的新猜想嗎？

生4：我在想，如果把加法交換律中“兩個加數”換成“三個加數”、“四個加數”或更多個加數，不知道和還會不會不變？

師：這是一個與眾不同的、全新的猜想!如果猜想成立，它將大大豐富我們對“加法交換律”的認識。(教師板書“猜想四：在加法中，交換幾個加數的位置和不變？”)現在，同學們又有了不少新的猜想。這些猜想對嗎？又該如何去驗證呢？選擇你最感興趣的一個，用合適的方法試著進行驗證。

（學生選擇猜想，舉例驗證。教師參與，適當時給予必要的指導。然后全班交流。）

師：哪些同學選擇了“猜想一”，又是怎樣驗證的？

生5：我舉了兩個例子，結果發現8－6＝2，但6－8卻不夠減；3/5－1/5＝2/5，但1/5－3/5卻不夠減。所以我認為，減法中交換兩個數的位置差會變的，也就是減法中沒有交換律。

師：根據他舉的例子，你們覺得他得出的結論有道理嗎？ 生：有。

師：但老師舉的例子中，交換兩數位置，差明明沒變嘛。你看，3－3＝0，交換兩數的位置后，3－3還是得0；還有，14－14＝14－14，100－100＝100－100，這樣的例子多著呢。

生6：我反對，老師您舉的例子都很特殊，如果被減數和減數不一樣，那就不行了。

生7：我還有補充，我只舉了一個例子，2－1≠1－2，我就沒有繼續往下再舉例。

師：哪又是為什么呢？

生7：因為我覺得，只要有一個例子不符合猜想，那猜想就錯了。師：同學們怎么理解他的觀點。生8：（略。）生9：我突然發現，要想說明某個猜想是對的，我們必須舉好多例子來證明，但要想說明某個猜想是錯的，只要舉出一個不符合的例子就可以了。

師：瞧，多深刻的認識！事實上，你們剛才所提到的符合猜想的例子，數學上我們就稱作“正例”，至于不符合猜想的例子，數學上我們就稱作――

生：反例。（有略。）

師：關于其它幾個猜想，你們又有怎樣的發現？

生10：我研究的是乘法。通過舉例，我發現乘法中交換兩數的位置積也不變。

師：能給大家說說你舉的例子嗎？

生10：5×4＝4×5，0×100＝100×0，18×12＝12×18。（另有數名同學交流自己舉的例子，都局限在整數范圍內。）師：那你們都得出了怎樣的結論？

生11：在乘法中，交換兩數的位置積不變。

生12：我想補充。應該是，在整數乘法中，交換兩數的位置積不變，這樣說更保險一些。

師：你的思考很嚴密。在目前的學習范圍內，我們暫且先得出這樣的結論吧，等學完分數乘法、小數乘法后，再補充舉些例子試試，到時候，我們再來完善這一結論，你們看行嗎？（對猜想三、四的討論略。）

隨后，教師引導學生選擇完成教材中的部分習題（略），從正、反兩面鞏固對加法、乘法交換律的理解，并借助實際問題，溝通“交換律”與以往算法多樣化之間的聯系。

怎樣的收獲更有價值？

師：通過今天的學習，你有哪些收獲？

生：我明白了，加法和乘法中有交換律，但卻沒有減法交換律或除法交換律。生：我發現，有了猜想，還需要舉許多例子來驗證，這樣得出的結論才準確。生：我還發現，只要能舉出一個反例，那我們就能肯定猜想是錯誤的。生：舉例驗證時，例子應盡可能多，而且，應盡可能舉一些特殊的例子，這樣，得出的結論才更可靠。

師：只有一個例子，行嗎？

生：不行，萬一遇到特殊情況就不好了。

（作為補充，教師給學生介紹了如下故事：三位學者由倫敦去蘇格蘭參加會議，越過邊境不久，發現了一只黑羊。“真有意思，”天文學家說：“蘇格蘭的羊都是黑的。”“不對吧。”物理學家說，“我們只能得出這樣的結論：在蘇格蘭有一些羊是黑色的。”數學家馬上接著說：“我覺得下面的結論可能更準確，那就是：在蘇格蘭，至少有一個地方，有至少一只羊，它是黑色的。”）

必要的拓展：讓結論增殖！

師：在本課將結束時，依然有一些問題需要留給大家進一步思考。（教師出示：20－8－6○20－6－8;60÷2÷3○60÷3÷2）師：觀察這兩組算式，你發現什么變化了嗎？

生：我發現，第一組算式中，兩個減數交換了位置，第二組算式中，兩個除數也交換了位置。

師：交換兩個減數或除數，結果又會怎樣？由此，你是否又可以形成新的猜想？利用本課所掌握的方法，你能通過進一步的舉例驗證猜想并得出結論嗎？這些結論和我們今天得出的結論有沖突嗎，又該如何去認識？

專家評析張齊華教學的《交換律》一課

曹一鳴 轉貼：人民教育

一堂有價值的數學課，給予學生的影響應該是多元而立體的。有知識的豐厚、技能的純熟，更有方法的領悟、思想的啟迪、精神的熏陶。事實上，數學的確擁有這一切，而且，也可能傳遞這一切。然而，出于對知識與技能的盲目追逐，當今數學課堂忽視了本該擁有的文化氣度和從容姿態。知識化、技巧化、功利化思想的不斷彌散，讓數學思想、方法和精神失卻了可能生長的土壤，并逐漸為數學課堂所遺忘，這不能不說是當今眾多數學課堂的悲哀。近年來，在觀念層面的探討不少，真正落實到課堂教學實踐的卻不多。可喜的是，在張老師的這一節課中，我們看到了另一種努力，以及由此而帶來的變化。透過課堂，我們似乎觸及到了數學更為豐厚的內涵，感受到數學教學可能呈現的更為開闊的景象。

對于“交換律”，一貫的教學思路是：結合具體情境，得出某一具有交換律特征的實例，由此引發猜想，并借助舉例驗證猜想、形成結論，進而在解釋和應用的過程中進一步深化認識。本課，在宏觀架構上并未作太大開拓。然而，在保持其整體架構的基礎上，這一堂課在更多細節上所給予的突破卻是十分顯見。我們不妨重歷課堂，去找尋這些細節，并探尋細節背后的意蘊所在。由“3+4=4+3”得出“交換兩數的位置，和不變”的猜想，似乎再自然不過了。然而，教師略顯突兀的介入，以“交換的位置，和不變”的細微變化，確又發人于深思。正如案例中所提及的，“一個例子究竟能說明什么”，是得出結論？還是僅僅是觸發猜想和驗證的一根引線？這里關乎知識的習得，更關乎方法的生成，關乎學生對于如何從事數學思考的思考。“驗證猜想，需要怎樣的例子”的探討，更是折射出了張老師獨特的教學智慧。曾經，在太多的課堂里，我們目睹這樣的情形：學生舉例三、四，教師引導學生匆匆過場，似乎也有觀察、也有比較、也有提煉。然而，我們卻很少琢磨：觀察也好、提煉也罷，它究竟該建立在怎樣的基石之上，再換言之，在“簡潔”和“豐富”之間，誰才是“舉例驗證猜想”時應該遵循的規則。張老師的嘗試與表達無疑是對傳統教學的一種突破。“舉例”不應只追求簡約，例子的多元化、特殊性恰恰是結論準確和完整的前提。沒有老師適時的點撥與引導，學生如何才能有此深度體驗？無此體驗，我們如何能說，學生已經歷過程，并已感悟思想與方法？

觸及我深思的問題還在于，是什么原因觸發了這一節課將原來的“加法交換律”置換成了“交換律”？是內容的簡單擴張？是教學結構的適度調整？隨后的課堂，給了我清晰的答復。“加法結合律”只是一個觸點，“減法中是否也會有交換律？”“乘法、除法中呢？”等新問題，則是原有觸點中誕生的一個個新的生長點。統整到一起時，作為某一特定運算的“交換律知識”被弱化了，而“交換律”本身、“變與不變”的辯證關系、“猜想－實驗－驗證”的思考路線、由“此知”及“彼知”的數學聯想等卻一一獲得突顯，成為超越于知識之上的更高的數學課堂追求。這何嘗不是一種有意義、有價值的探索？

課堂的結尾，我們依然看到了教師對傳統保守思路的背叛。確定的、可靠的結論已經不再是這一堂課的終極追求，結論的可增殖性、結論的重新表達、問題的不斷生成和卷入，仿佛成為了這堂課最后的價值取向。即便是顛覆原有的結論，也在所不惜。在這里，我們再一次看到了教師對于數學知識的“戰略性”忽視，因為，教師心有大氣象。

數學是什么，數學可以留下些什么，數學可以形成怎樣的影響力？答案并不唯一。但我以為，數學可以在人的內心深處培植理性的種子，她可以讓你擁有一顆數學的大腦，學會數學地思考，學會理性、審慎地看待問題、關注周遭、理解世界，這恰是這節課給予我們的最大啟迪。而數學的文化特性，恰也在于此。閱讀(2121)| 評論(0)

第五篇：張齊華《倍數和因數》課堂實錄

張齊華《倍數和因數》課堂實錄

上傳: 邱艷萍

更新時間：2013-8-25 16:44:57 《倍數和因數》課堂實錄

張齊華

教學過程：

一、認識倍數和因數

師：一起看大屏幕，數一數，幾個正方形？（12）第一個問題是如果老師請你把12個正方形擺成一個長方形，會擺嗎？行不行？能不能就用一道非常簡單的乘法算式表達出來?

生：1×12

師：猜猜看，他每排擺了幾個，擺了幾排？

生：12個，擺了一排。

師：（屏幕顯示擺法）是這樣嗎？第二種擺法我們只要把他旋轉一下就跟第一種怎么樣？（一樣）。我們可以把他忽略不計。還可以怎么擺？同樣用一道乘法算式表達出來？

生：三四十二

師：這一次每排擺了幾個，擺了幾排？（屏幕顯示擺法）同樣第二種擺法也可以省。還有嗎？

生齊：2×6

師：張老師來猜測一下同學們腦子里怎么想的，有同學可能想每排擺6個，擺2排。也有同學可能想每排擺2個，擺6排。（屏幕顯示擺法）同樣第二種擺法也可以省。

師：還有不同的想法嗎？每排能擺5個嗎？12個同樣大小的正方形能擺3種不同的乘法算式，千萬別小看這些乘法算式，今天我們研究的內容就在這里。咱們就以第一道乘法算式為例，3×4=12，數學上把3是12的因數，以往我們把他叫約數，現在叫因數，3是12的因數，那4（也是12的因數，）倒過來12是3的倍數，12（也是4的倍數）。同學們很有遷移的能力，這就是我們今天所要研究的因數和倍數。

師板書：因數和倍數

師：這兒還有兩道乘法算式，先自己說一說誰是誰的因數？誰是誰的倍數？行不行？

師：誰先來？

生說略

師：剛才在聽的時候發現1×12說因數和倍數時有兩句特別拗口，是哪兩句啊？

生：12是12的因數，12是12的倍數。

師：雖然是拗口了點，不過數學上還真是這么回事，12的確是12的因數，12也是12的倍數。為了研究方便，以后來探討因數和倍數的時候所說的數都是什么數啊？

生：自然數

師：而且誰得除外。

生：0

師：好了，剛才我們已經初步研究了因數和倍數，屏幕顯示：試一試：你能從中選兩個數，說一說誰是誰的因數？誰是誰因數和倍數？行不行？先自己試一試。3、5、18、20、36

生說略。

二、探索找因數倍數的方法

師：看來同學們對于因數和倍數已經掌握的不錯了。不過剛才張老師在聽的時候發現一個奧秘，好幾個數都是36的因數，你發現了嗎？誰能在五個數中把哪些數是36的因數一口氣說完？

生1：

3、18

師：還有誰？

生2：36

師：3、18、36都是36的因數，只有這3個嗎？

生1：1

生2：4

生3：6

師：其實要找出36的一個因數并不難，難就難在你有沒有能力把36的所有因數全部找出來？能不能？張老師作一下詳細說明，因為這個問題有點難度，你可以獨立完成也可以同桌完成，下面你選擇你喜歡的方式，可以合作，也可以單干，想一想怎么不遺漏，注意了，當你找出了36的所有因數，別忘了填在作業紙上，如果能把怎么找到的方法寫在下面更好。

學生填寫時師巡視搜集作業。

師：張老師找到了3份不同的作業，大家仔細觀察這三份作業，可有意思了。我把他命名為A、B、C師板書。

A：2、4、13、12、18、36

B：1、2、4、3、6、9、12、18、36

C：1、36、2、18、3、12、4、9、6

師：關于A這種方法你有什么話要說？（學生紛紛舉手）能不能從正面的角度說一說，這個同學找出的因數有沒有值得肯定的地方？（學生沉默）一點都沒有我們值得肯定的地方嗎？你先來。

生1：都對的

師：有沒有道理？看來要找一個人的優點挺困難的。

生2：寫全了

生大聲說：沒有！

師：正好觸及了大家的公憤，看來要找一個人的優點不太好找了，是吧？其實這個同學挺不容易的，他已經找出不少了，對不對？說說有什么問題？

生：沒有寫全，少了3、6、9。

師：大伙來思考一下，6、9這兩個因數是36的因數嗎？看來這個同學是沒有找全，沒有找全僅僅是因為粗心嗎？是因為什么？

生：36÷4，只寫了4，沒寫9

師：他的意思是說用除法來做的話，找一個數的因數，一個個找，還是兩個兩個找？

生齊：兩個兩個找。

生2：先把1寫在頭，36寫在尾，然后再把2寫中間，這樣依次寫下去，這樣比較美觀。

師：張老師提煉出兩個字：“順序”，好象還不僅僅是因為粗心的問題，沒有按照一定的順序。

師：第二個同學有沒有找全，有沒有更好的建議送給他。

生：他應該把4、3調換一下。

師：做了一個微調就不僅僅是美觀的問題，更帶給我們一種尋找的有序。第三個同學是最沒有順序的，什么1、36，2、18了，你們覺得有道理嗎？

師：你想提出抗議嗎？你們覺得有順序嗎？（有）你自己來說？

生：他們那樣還要頭對尾頭對尾的，像這樣直接就可以寫了。

師：有沒有聽明白，也是同樣一對一對出現的。

生：大小沒有排，B大小排完后從小到大很舒服。

師：你看你那個舒服嗎？

生：舒服

師：正是因為你的質疑，他把方法說了出來。他用了什么？

生：乘法口訣

師：非常感謝同學們給出的發言，正是你們的發言讓我們感受到了如何尋找一個數的因數，有沒有問題。

師：雖然這個同學找到了嘗試完了1，找到

36、嘗試完了2，找到18、3、12、4、9、6，自然數有很多，那你的7、8沒有試，你怎么知道找全了呢？

生1：找到開始重復就不找了

生2：我認為應該找到比較接近如5、6，7、8找到比較接近就可以了。

師：體會體會

1、學生：36、2、學生：18、3、12、4、9、6這兩個因數在不斷接近，接近到相差無幾。

生：

生：直接找更大數的所有的因數，這個同學很厲害，已經在用分解質因數的方法在找一個因數的個數了。

師：通過剛才的交流，有辦法了嗎？有沒有方法不遺漏。試一個。20

生齊：1、2、4、5、10、20

再試一個：15，寫在練習紙上。學生匯報

師：尋找一個數掌握的不錯，這節課還要研究倍數呢。會找一書的倍數嗎？找一個小一點的，3的倍數，誰來找一個。

生：

21、300

師：你能把3的倍數全部寫下來嗎？

生：不能。太多太多了。

師：那怎么辦？寫不完可以用省略號表示。試試看。

學生練習紙上完成，匯報。

師：同學們雖然找的答案差不多，但腦子里的方法各不相同。我想聽聽你是怎樣找的？

生1：3×1、3×2

師：能理解嗎？

生1：3＋3=6、6＋3＝9

師：有理嗎？不要小看加3了，當到數大的時候也比較方便。

生：略

師：尋找一個數的倍數的方法掌握了嗎？試一試。7的倍數

學生練習紙上完成：50以內7的倍數。

師：誰來說說這一次你找了哪幾個？

生：7、14、21、28

師：為什么不加省略號？

生：因為給了一個限制。

師：任何自然數的倍數是無限的。會尋找一個數的因數嗎？

生：略

三、感受倍數和因數的神奇奧秘

師：透出一個信息，關于因數和倍數是不是蘊藏了很有意思的規律，下面這題就隱藏了一條規律。屏幕顯示：老師這有9顆珠子全部放到十位和個位，1顆放十位，另外8顆放個位。這樣就得到幾？（18）要是不這樣放，你還能得到其他的兩位數嗎？

生1：27

生2：36

師：把你知道的兩位數跟同桌說一說。

學生同桌說，師：如果把你們說的兩位數按一定順序排出來，就得到了這樣的一排數，是這樣嗎？屏幕展示：18、27、36、45、54、63、72、81

仔細觀察9顆珠子撥的兩位數，你發現了什么？

生：都是9的倍數

師：9顆珠子撥的兩位數都是9的倍數，8顆珠子撥的兩位數都是（8的倍數）

師：發現了什么？9顆珠子撥的兩位數都是9的倍數，8顆珠子撥的兩位數（不一定都是8的倍數），7顆珠子、6顆珠子呢？其實這里的學問沒有同學想的那么簡單，張老師給大家布置一個小任務，自己在草稿本上畫一畫珠子，看看6顆5顆4顆撥出的兩位數到底和珠子的個數有什么關系？這里蘊藏著非常豐富的規律，等待著同學們去發現。其實不僅在計數器上找到一些有趣的規律。

師：張老師問一個問題，好不好？1—100這100個數，思考一下，哪個數的因數最多？

生1：1

生2：99

師：還有誰要發表的？

生3：9

師問生2：為什么認為99的因數最多？

生：9是最大的。

師：張老師公布一下答案： 60

師：可以一起找一找。可以負責任的告訴你，比99多多了。是不是數越大，因數就越多。你們知道一小時有多少分？（60分），一分=60秒，這里的60和剛才的60有關系嗎？這里的60就和100以內的因數有關系，你們相信嗎？特意給大家帶來一本書。書的名字叫《數字王國》，學生讀有關資料。

師：相信了吧，其實張老師一開始也是特別不相信，咱們歷法上面的 1小時=60分，一分=60秒的進率竟然和100以內的數的因數有著這么大的關系，這本書詳細記載著為什么一年有12個月，一天有24小時，同學們知道為什么用12、24作為進率，道理是一樣的。數學中發現的規律

師：更有意思的在后面，張老師給大家介紹一個數，數學家把6稱為“完美數”。想知道為什么嗎？用最快的速度說一說6的因數？

生：1、2、3、6

師：把6劃去，1+2+3=6，又回到了6本身，正是因為這樣的數非常特別，所以數學家把這樣特點的數稱為是完美數。數學家找到了第一個完美數，就會去找第一個完美數，猜猜看，找到了沒有？今天張老師不把答案直接告訴你們，我透露一下資料好不好？第二個完美數比20大，比30小，而且還是一個雙數，好猜了吧。數學上的規律不是一下子直覺說出來的，那么這樣先來說一說雙數：22、24、26、28，猜猜看，可能是誰？

學生試這四個數。

師：寫出所有的因數，然后把自己給去掉。

師：正確答案應該是22，我們一起來找一找，人們開始找第三個完美數，想知道第5個嗎？師板書。為什么這么驚訝？同學們驚訝的背后張老師體會的過老，剛才找一個也花了一分多鐘，要從幾十億數中找出這6個完美數，數學家們要付出多大的心血。你覺得什么力量使數學家們去不斷努力？

生：好奇心

師：數學家們能透過枯燥的數學本身看到里面的東西，就像我們今天這堂課一樣，透過數字蘊藏著大量豐富的規律。高斯曾經說過的把數學比作科學的皇后，數論是數學皇后頭頂上的皇冠，我們研究的只是數論中的最最基本的一些小常識，換句話說這堂課我們沒有摘取數學皇后頭頂上的皇冠，我們摘取的只是皇冠上一小粒一小粒的珠子。