第一篇：初三上冊數學《一元二次方程》知識點復習資料

習是一架保持平衡的天平，一邊是付出，一邊是收獲，少付出少收獲，多付出多收獲，那么你們知道關于初三上冊數學《一元二次方程》知識點復習資料內容還有哪些呢?下面是小編為大家準備初三上冊數學《一元二次方程》知識點復習資料大全，歡迎參閱。

初三上冊數學《一元二次方程》知識點復習資料

等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(一元)，并且未知數的次數是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。注意一下幾點：

①只含有一個未知數;②未知數的次數是2;③是整式方程。知識點二一元二次方程的一般形式

一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).其中，ax2是二次項，a是二次項系數;bx是一次項，b是一次項系數;c是常數項。知識點三一元二次方程的根

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定義是解方程過程中驗根的依據。21.2降次——解一元二次方程21.2.1配方法

知識點一直接開平方法解一元二次方程

(1)如果方程的一邊可以化成含未知數的代數式的平方，另一邊是非負數，可以直接

開平方。一般地，對于形如x2=a(a≥0)的方程，根據平方根的定義可解得x1=a,x2=?a.(2)直接開平方法適用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可

以利用直接開平方法。

(3)用直接開平方法求一元二次方程的根，要正確運用平方根的性質，即正數的平方

根有兩個，它們互為相反數;零的平方根是零;負數沒有平方根。

(4)直接開平方法解一元二次方程的步驟是：①移項;②使二次項系數或含有未知數的式子的平方項的系數為1;③兩邊直接開平方，使原方程變為兩個一元二次方程;④解一元一次方程，求出原方程的根。知識點二配方法解一元二次方程

通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解。配方法的一般步驟可以總結為：一移、二除、三配、四開。

(1)把常數項移到等號的右邊;⑵方程兩邊都除以二次項系數;

⑶方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，把左邊配成完全平方式;⑷若等號右邊為非負數，直接開平方求出方程的解。

【21.2.2公式法】

(1)一般地，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，我們可以由一元二方程的系數a,b,c的值直接求得方程的解，這種解方程的方法叫做公式法。

(2)一元二次方程求根公式的推導過程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的過程。

(3)公式法解一元二次方程的具體步驟：

①方程化為一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化為正值②確定公式中a,b,c的值，注意符號;

③求出b2-4ac的值;④若b2-4ac≥0，則把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac<0，則方程無實數根。知識點二一元二次方程根的判別式

式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式，通常用希臘字母△表示它，即△=b2-4ac.△>0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個不相等的實數根

△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個相等的實數根根的判別式

△<0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實數根

初中數學學習方法

1.突出一個“勤”字(克服一個“惰”字)

數學家華羅庚曾經說過：“聰明在于學習，天才在于勤奮”

我們在學習的時候要突出一個勤字，克服一個“懶”字，怎么突出“勤”字，怎么個勤法，答案是要做到五勤：“耳勤”“眼勤”(耳朵聽，眼睛看，接受信息)“口勤”(討論，回答問題,而不是講話)“腦勤”(善于思考問題，積極思考問題——吸收、儲存信息)那是不是做到以上四點就行了呢?不是。還有一個非常重要的是“手勤”(動手多實踐，不僅光做題，還要嘗試做模型，用到實踐中去)

2.學好初中數學還有兩個要點：

一要(動手)，二要(動腦)。

動腦就是要學會觀察分析問題，學會思考，不要拿到題就做，找到已知和未知想象之間有什么聯系，多問幾個為什么。動手就是多實踐，多做題，要“題至少不離腦”，“動腦又動手，才能最大地發揮大腦的效率”

3.做到“三個一遍”

大家聽過“失敗是成功之母”和“重復是學習之母”嗎?

培根(18-19世紀英國的哲學家)——“知識就是力量”

“重復是學習之母”

如何重復，我給你們解釋一下：

“上課要認真聽一遍，動手推一遍，想一遍”

“下課看一遍”，“考試前再回憶一遍”

4.重視“四個依據”

讀好一本教科書——它是教學、中考的主要依據;

記好一本筆記 ——它是教師多年經驗的結晶;

做好做凈一本習題集——它能使知識拓寬;

記好一本心得筆記，最好每人自己準備一本錯題集，老師的經驗旁證了錯題集對突破數學瓶頸有奇效

二、分課前、課上、課后三個方面來談一談數學的學習。

1.課前做什么，預習。預習些什么內容呢?如何預習?第一，要看課本，看課本上的基本概念和基本例題，對這部分內容要做到理解。第二，在理解基本概念的基礎上完成課后的隨堂練習。預習的過程中有不懂的地方，要在書上做好記號，上課時就要著重聽這部分內容;如果內容簡單，自己能理解，那上課時就要聽老師是如何講解的，和自己對照一下，看看自己的理解是否正確，或者看看有沒有其他的更簡單的解題思路

2.課上做什么，認真聽講。聽課是學習中最重要的環節，是準確的掌握所學知識的關鍵。那么上課該如何認真聽講，聽什么。第一、帶著在預習中未懂的問題聽課，注意力集中，盡可能把疑點在課中解決。

第二，對于在預習中認為弄懂了的問題，主要聽老師的講解是否和自己的理解一致，糾正自己在預習中對一些知識的片面理解或錯誤理解。

第三，在預習中沒有弄懂的問題，通過老師講懂了或還有疑問，要在課堂上把關鍵的地方記下來，課后要及時進行向老師請教，弄懂、弄明白。

第四，在聽課中注意不能只聽問題的答案，關鍵是聽老師講解例題的解題思路，明白了解題思路，你是學會了做這一類題，而不是只是一道題。

例題是為鞏固數學知識而講，例題的作用是舉一反三。有人做過這樣一個實驗：

一個老師帶著一個初一班，他每周都測驗他的學生，而且公開告訴他的學生，考題全部他上課講的例題。學生開始一片嘩然，90%的學生有信心拿滿分，只有班上幾個最差的學生不敢這么說，很快第一次測驗結果出來了，及格率48%，滿分率不到8%，第二次情況有所好轉，初一時這個班數學成績與同年級數學特長班平均分相差12.5分。初二時與數學班只差1.5分，比年級平均分高10分。初三畢業，這個班幾乎與數學特長班沒有區別。

第五，注意聽老師在課堂中補充的例題，這些例題通常具有代表性，聽老師的解題思路，拓寬自己的知識，要學會自己可以動手解決這一類問題。

3.課后該怎么做，完成練習和作業。要學好數學，必須多做練習，但并不是題海戰術。只顧看書，而不做或少做練習，是不可能學好數學的。而一味的做題，而不顧解題方法，也是很難在學習上收到成效的。

做練習要在有充分的準備之后，認真獨立地完成。所謂有充分準備，就是要先復習今天所學的知識和老師補充的例題，把課本上的知識弄懂之后才能做練習。如果課本知識還有不懂之處，應先復習課文，詢問同學或老師，直至懂了之后再做練習。

所謂認真，是指對每個習題都要認真思考，對問題的每個細節都應思考清楚。注意養成一個全面細致地思考問題的習慣。這種良好習慣一旦養成，它會在你的一生中大有益處。另一方面，要認真演算，注意解答表述的條理性和解題格式的規范性。許多同學常常在考試中馬虎出錯，究其根源，必然形成馬馬虎虎的壞習慣。而“馬虎”會長久地帶來危害，這種壞習慣一旦養成，十分頑固，很難克服。

所謂獨立完成作業，就是要靠自己的能力完成作業。因為做練習的目的，一是鞏固所學知識，二是檢查對知識的理解是否正確，培養和提高分析解決問題的能力。

要敢于啃難題。遇到難題一定要反復仔細推敲條件，深入思考，在山窮水盡、自己能力確實承受不了的情況下，問問別人是可以的，不要一覺得難，就不想做了。當然，做難題要耗費較長的時間。有些同學以為這樣做不合算，不如問問省事，這種想法是不全面的。其實，帳得算兩筆，比如你由于解難題耗費的時間較長聯想過很多知識，設想了很多解法，都失敗了，似乎收獲是“零”，但事實上，你獲得了大量的“副產品”，而這“副產品“的價值會遠遠大于本題目的價值。因為，由于解題的迫切需要聯想了很多知識，恰好是對這許許多多知識積極的復習;你想出了很多方法，雖然沒有能解決這個題目，但它是很好的思維訓練，對提高思維能力起到了不可低估的作用，況且這一個個方法很可能在解決其他題目上奏效。大數學家希爾伯特把“費爾馬大定理”這道難題叫做“能下金蛋的母雞”。正是因為有很多數學家在攻克“費爾馬大定理”的失敗中，發現和開創了許多新的數學領域，大大地推進了數學的發展。

做過的題目希望大家一段時間(一周之類)要消化，對于這類題目的解題方法要掌握，爭取做到舉一反三，觸類旁通，在練習當中，我認為“做”是次要的，而“思”是主要的。出錯的地方也正是我們學習中最薄弱的地方，把這些地方弄懂弄通，避免在同一地方摔倒二次，這比把十道習題演算正確收效也許更大一些。

4.復習與總結。每學完一章，要及時做好階段復習。階段復習要圍繞每一節知識的重點、難點，閱讀教材、聽課筆記、練習本，從中提煉出本章的知識重點和難點，特別對于曾不大懂和理解錯誤或不夠深度的地方，要著重復習鞏固。凡是在作業或測驗中不會做或做錯了的題目，在階段復習中要獨立做一遍，檢查一下對這些題目自己是否已經掌握。有些同學多次在某一類問題上出現錯誤，或曾不會做的題目，再考時仍不會做，正是沒有完成復習任務的結果。較難的知識與題日，不僅難做、難理解，而且很容易忘。反復復習的本身，則是與遺忘作斗爭的有效方法。階段總結是十分必要的，通過階段復習，應該有較大的提高。華羅庚有句名言：“讀書要由薄到厚，再由厚到薄”。階段總結，正是要完成由厚到薄的過程?？偨Y要提煉出每一章知識的重點、難點，每一小節知識的重點與本章知識重點的聯系，做出條理性的歸納和概括，從而積累解題經驗，提高分析解題的能力。

5.課外自學與研究。課外自學與研究的目的是擴大知識面，開闊眼界，掌握與積累思維方法和解題方法，進一步提高分析解題能力。圍繞所學的教材進度看一些課外參考書及數學雜志，作一些較新鮮或難度較大的習題。課外自學應該是有計劃地有節制地進行，不要影響以上環節的學習，更不要影響其它學科的學習。在課外自學的過程中，發現一些新穎而有價值的習題、一些好地思維方法與解題方法，應該記下來，以便進一步學習掌握。

愛因斯坦說過：“成功==艱苦的勞動+正確的方法+少說廢話”。對于渴望成功的同學來說，艱苦的勞動與少說廢話是比較容易做到的，而正確的方法卻不是每個人都能摸索得出來的?！瓕W習方法因人而異，望大家，“擇其善者而從之，其不善者而改之”。務使你擁有一套適合自己的學習方法。

第二篇：初三數學一元二次方程

《一元二次方程的解》

知識回顧：

1、整式方程中只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2，這樣的方程叫做一元二次方程。

2、一般地，任何一個關于x的一元二次方程都可以化成ax2+bx+c=0（a，b，c為常數，a≠0）的形式，我們稱之為一元二次方程的一般形式。

探究新知：

認識了一元二次方程，接下來我們就要探求一元二次方程的解。

方程解的定義是怎樣的呢？

能使方程左右兩邊相等的未知數的值就叫方程的解。

問題1：要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩隊之間都要比賽一場，根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應邀請多少個隊參加比賽？

解：設邀請了x個隊參加比賽，根據題意得：

1/2x（x-1）=28

即：x2-x=56

當x=8時，x2-x=56，所以，x=8是x2-x=56的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。思考：

你能否說出下列方程的解？

（1）x2-36=0（2）x2+36=0（3）（x-6）2=0

練習：

1、下面哪些數是方程x2-x-6=0的根？

-4-3-2-1012342、你能寫出方程x2-x=0的根嗎？（即：平方后是它本身的數是哪些？）

例題講解

例1：已知關于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2-1=0的一根是0，則a的值為（）。

A、1B、-1C、1或-1D、0

例2：關于x的方程（m+2）2x2+3m2x+m2-4=0有一根為0，則2m2-4m+3的值為多少？

例3：已知m，n都是方程x2+2006x-2008=0的根，試求（m2+2006m-2007）（n2+2006n+2007）的值。

練習：

1、若a+b+c=0，則一元二次方程ax2+bx+c=0必有一解為_____。

2、若a-b+c=0，則一元二次方程ax2+bx+c=0必有一解為_____。

3、若4a+2b+c=0，則一元二次方程ax2+bx+c=0必有一解為_____。

4、根據下表的對應值，試判斷一元二次方程ax2+bx+c=0的一解的范圍是（）

A、3＜x＜3.23B、3.23＜x＜3.24C、3.24＜x＜3.25D、3.25＜x＜3.26

小結：

1、認識了一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

2、會檢驗一個數是不是一個一元二次方程的根。

3、能根據一元二次方程的根的定義代入方程求出待定字母的取值。

第三篇：九年級數學上冊教學計劃《一元二次方程》

九年級數學上冊教學計劃《一元二次方程》

初三是初中三年的一個過渡年級，打好基礎對于初中生來說是十分重要的，下文為大家推薦了九年級數學上冊教學計劃，希望對大家有用。

一、內容和內容解析

（一）內容

一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式.（二）內容解析

一元二次方程是方程在一元一次方程基礎上 “次”的推廣，同時它是解決諸多實際問題的需要，為勾股定理、相似等知識提供運算工具，是二次函數的基礎.針對一系列實際問題，建立方程，引導學生觀察這些方程的共同特點，從而歸納得出一元二次方程的概念及一般形式.在這個過程中，通過歸納具體方程的共同特點，得出一元二次方程的概念，體現了研究代數學問題的一般方法;一般形式ax2+bx+c=0也是對具體方程從“元”(未知數的個數)、“次數”和“項數”等角度進行歸納的結果;a≠0的條件是確保滿足 “二次”的要求，從另一個側面為理解一元二次方程的概念提供了契機.二、目標和目標解析

（一）教學目標

1.體會一元二次方程是刻畫實際問題的重要數學模型，初步理解一元二次方程的概念;

2.了解一元二次方程的一般形式，會將一元二次方程化成一般形式.（二）目標解析

1.通過建立一元方程解決相關的實際問題，讓學生體會到未知數相乘導致方程的次數升高，繼而產生一元二次方程.學生能舉例說明一元二次方程存在的實際背景，感受一元二次方程是重要的數學模型，體會到學習的必要性;2.將不同形式的一元二次方程統一為一般形式，學生從數學符號的角度，體會概括出數學模型的簡潔和必要，針對“二次”規定a≠0的條件，完善一元二次方程的概念.學生能夠將一元二次方程整理成一般形式，準確的說出方程的各項系數，并能確定簡單的字母系數方程為一元二次方程的條件.三、教學問題診斷分析

一元二次方程是學生學習的第四個方程知識，首先在初一學習了一元一次方程，接著擴展“元”得到二元一次、三元一次方程，完成了二元一次方程組的學習，初二分式的教學，使得對實際問題的刻畫從整式推廣到有理式，分式方程得以出現，到一元二次方程第一次實現 “次”的提升.學生必然存在著疑問，為什么有些背景列得的方程是二次的呢?教學中要直面學生的疑問，顯化學生的疑問，啟發學生自己解釋疑問，才能避免“灌輸”，體現知識存在的必要性，增強學好的信念.培養建模思想，進一步提升數學符號語言的應用能力，讓學生自己概括出一元二次方程的概念，得出一般形式，對初三學生是必須的，也是適可的.本課的教學重點應該放在形成一元二次方程概念的過程上，不能草草給出方程的概念就反復辨析練習，在概念的理解上要下功夫.本課的教學難點是一元二次方程的概念.四、教學過程設計

（一）創設情境，引入新知

教師展示教科書本章的章前圖，請同學們閱讀章前問題，并回答：

問題1．這個方程屬于我們學過的某一類方程嗎?

師生活動:學生整理已經學過的方程類型，復習方程的概念，元與次的概念，觀察新方程，分析此方程的元與次，嘗試為新方程命名.【設計意圖】使學生認識到一元二次方程是刻畫某些實際問題的模型，體會學習的必要性，在學生已有的知識的體系中合理的構建一元二次方程這一新知識.問題2．這樣的方程在其他實際問題中是否還存在呢?你能再想出一個例子嗎?

師生活動:學生思考二次項產生的原因，從熟悉的實際背景中，很有可能從矩形的面積出發，設計情境.【設計意圖】讓學生從“接受式”的學習方式中走出來，走向對一元二次方程產生的根源的探求，在編制情境的過程中，他們將加深對一元二次方程概念的理解.部分學生能夠獨立解決問題，自己編制情境并列出方程，部分學生可以根據同學給出的情境去列方程，或者閱讀課本上的實際問題.（二）拓寬情境，概括概念

給出課本問題

1、問題2的兩個實際問題，設未知數，建立方程.問題1 如圖21.1-1，有一塊矩形鐵皮，長100 cm，寬50 cm.在它的四個角各切去一個同樣的正方形，然后將四周突出的部分折起，就能制作一個無蓋方盒.如果要制作的無蓋方盒的底面積是3 600 cm2，那么鐵皮各角應切去多大的正方形?

問題2 要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，你說組織者應邀請多少個隊參賽?

教師引導學生思考并回答以下幾個問題：

全部比賽共有______場

若設應邀請

個隊參賽，則每個隊要與其他____個隊各賽一場，全部比賽共有___ 場.由此，我們可以列出方程______________，化簡得________________.問題3． 這些方程是幾元幾次方程?

師生活動:學生將實際問題中的語言轉化成數學的符號語言，體會運算關系，尋找等量關系，學習建模.將列得的方程化簡整理，判斷出方程的次數.【設計意圖】在建模的過程中不僅加強學生的數學思維能力，而且對二次項產生的根源將更加明晰，加深對一元二次方程的理解.讓學生回答方程的元與次，一是讓他們體會統一成一般形式的必要性，為概念的形成做鋪墊，分解教學的難點;二是讓他們明確教學的主線，從被動學習走向主動學習.問題4．這些方程是什么方程?

師生活動:觀察本課得出的一些方程，思考它們的共性，同學們嘗試給出一元二次方程的定義，并且概括出一元二次方程的一般形式.1.一元二次方程的概念：

等號兩邊都是整式，只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2(二次)的方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是

.其中

是二次項，a是二次項系數;

是一次項，b是一次項系數;c是常數項.?

【設計意圖】讓學生自己給出定義就是對過去所學一元一次方程的定義的類比和對比，概括一般形式是對一元二次方程另一個角度的理解，是對數學符號語言的應用能力的提升.（三）辨析應用，加深理解

問題5．請你說出一個一元二次方程，和一個不是一元二次方程的方程.師生活動:可以由學生舉手回答，也可以隨機選擇學生回答，調動學生廣泛的參與.追問學生所舉的反例為什么不是一元二次方程?是什么方程?

【設計意圖】學生自己舉例，應用概念，從正反兩個方向強化了對概念的理解，在追問的過程中，幫助學生將已有的方程梳理成比較清晰的知識體系，如下：

開發學生認識的資源，激發學生從不同角度、不同形式去深入理解同一概念，讓不同的學生在此過程中獲得不同的收獲，實現分層教學分層指導的效果.問題6． 下列方程哪些是一元二次方程?

例1.下列方程哪些是一元二次方程?(1)

;(2);(3)

;(4)

;(5)

;(6)

.答案(2)(5)(6).師生活動:用概念指導辨析，方程(3)與(4)同學們可能會產生爭議，(3)幫助學生明確一元二次方程是整式方程，(4)體會化為一般形式的必要性，對a≠0條件加深認識.【設計意圖】補足學生所舉正反例的缺漏，追問：有二次項的一元方程就是一元二次方程嗎?幫助學生進一步鞏固概念，深化對一元、二次的認識.問題7．指出下列方程的二次項、一次項和常數項及它們的系數.例2.將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項、一次項和常數項及它們的系數：

(1)

;(2)師生活動:(1)將方程

去括號得：，移項，合并同類項得：，其中二次項是，二次項系數是3;一次項是，一次項系數是，常數項是

.教師應及時分析可能出現的問題(比如系數的符號問題).(2)一元二次方程的一般形式是，過程略.例3.關于x的方程，在什么條件下此方程為一元二次方程?在什么條件下此方程為一元一次方程? 答案：

時此方程為一元二次方程;，時此方程為一元一次方程.【設計意圖】在形式比較復雜的方程面前，通過辨析方程的元、次、項看清方程的本質，深化理解，淡化對一元二次方程概念的記憶.（四）鞏固概念，學以致用

教科書第4頁： 練習

【設計意圖】鞏固性練習，同時檢驗一元二次方程概念的掌握情況.（五）歸納小結，反思提高

請學生總結今天這節課所學內容，通過對比之前所學其它方程，談對一元二次方程概念的認識，反思學習過程中的典型錯誤.（六）布置作業：教科書習題21.1

復習鞏固：第1，2，3題.五、目標檢測設計

1.下列方程哪些是關于x的一元二次方程

(1)

;(2)

;(3)

;(4)

.【設計意圖】考查對一元二次方程概念的理解.2.關于 的方程

是一元二次方程，則().A.B.C.D.【設計意圖】考查

的條件.3.將關于的一元二次方程

化為一般形式，并指出二次項系數.【設計意圖】考查化簡方程的能力，及對一元二次方程一般式的掌握情況.以上就是查字典數學網為大家推薦的九年級數學上冊教學計劃，更多參考內容請及時關注本網站。

第四篇：一元二次方程知識點的總結

一元二次方程知識點的總結

知識點歸類

建立一元二次方程模型

知識點一一元二次方程的定義

如果一個方程通過移項可以使右邊為0，而左邊只含有一個未知數的二次多項式，那么這樣的方程叫做一元二次方程。

注意：一元二次方程必須同時滿足以下三點：①方程是整式方程。②它只含有一個未知數。③未知數的最高次數是2.同時還要注意在判斷時，需將方程化成一般形式。例下列關于x的方程，哪些是一元二次方程？ 222?3；⑴2⑵x?6x?0；（3x?x?5；（4）?x?0；（5）2x(x?3)?2x2?1 x?5

知識點二 一元二次方程的一般形式

2一元二次方程的一般形式為ax?bx?c?0（a，b，c是已知數，a?0）。其中a，b，c分別叫做二次項系數、一次項系數、常數項。

注意：（1）二次項、二次項系數、一次項、一次項系數，常數項都包括它前面的符號。

（2）要準確找出一個一元二次方程的二次項系數、一次項系數和常數項，必須把它先化為一般形式。

2（3）形如ax?bx?c?0不一定是一元二次方程，當且僅當a?0時是一元二次

方程。

例1 將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項系數、一次項系數和常數項。

（1）5x?27x；（2）?x?2??x?3??8；（3）?3x?4??x?3???x?2?2 2

2例2 已知關于x的方程?m?1?xm

知識點三一元二次方程的解 ?2??m?1?x?2?0是一元二次方程時，則m?

x2?3x?2?0使方程左、右兩邊相等的未知數的值叫做方程的解，如：當x?2時，所以x?2是x?3x?2?0方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。知識點一因式分解法解一元二次方程

如果兩個因式的積等于0，那么這兩個方程中至少有一個等于0，即若pq=0時，則p=0或q=0。

用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：（1）將方程的右邊化為0；（2）將方程左邊分解成兩個一次因式的乘積。（3）令每個因式分別為0，得兩個一元一次方程。（4）解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。

關鍵點：（1）要將方程右邊化為0；（2）熟練掌握多項式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。

例用因式分解法解下列方程：

（1）5x2222?4x；（2）(2x?3)?25?0；（3）x?6x?9??5?2x?。2

知識點二直接開平方法解一元二次方程

若x?a?a?0?，則x叫做a的平方根，表示為x??a，這種解一元二次方程2的方法叫做直接開平方法。

（1）x?a?a?0?的解是x??a；（2）?x?m??n?n?0?的解是22

x??n?m；（3）?mx?n??c?m?0,且c?0?的解是x?2?c?n。m

2例用直接開平方法解下列一元二次方程（1）9x?16?0；（2）?x?5??16?0；（3）?x?5???3x?1? 222

知識點三靈活運用因式分解法和直接開平方法解一元二次方程

形如?ax?b??k?0?k?0?的方程，既可用因式分解法分解，也可用直接開平方2

法解。

例運用因式分解法和直接開平方法解下列一元二次方程。

（1）4?x?5??36?0；（2）?1?2x??3?0 22

知識點四用提公因式法解一元二次方程

把方程左邊的多項式（方程右邊為0 時）的公因式提出，將多項式寫出因式的乘積形式，然后利用“若pq=0時，則p=0或q=0”來解一元二次方程的方法，稱為提公因式法。

t?2t?0，將原方程變形為t?0.01如：0.01t?2??0，由此可得出2

t?0或0.0t?2?0，即t1?0,t2?200

注意：在解方程時，千萬注意不能把方程兩邊都同時除以一個含有未知數的式子，否則可能丟失原方程的根。

知識點五形如“x2??a?b?x?b?0?a,b為常數?”的方程的解法。

對于形如“x??a?b?x?b?0a,b為常數”的方程（或通過整理符合其形2??

式的），可將左邊分解因式，方程變形為?x?a??x?b??0，則x?a?0或x?b?0，即x1??a,x2??b。

注意：應用這種方法解一元二次方程時，要熟悉“x2??a?b?x?b?0?a,b為常數?”型方程的特征。

2例 解下列方程：（1）x?5x?6?0；（2）x?x?12?0 2

配方法

知識點一配方法

解一元二次方程時，在方程的左邊加上一次項系數一半的平方，再減去這個數，使得含

未知數的項在一個完全平方式里，這種方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接開平方法了，這樣解一元二次方程的方法叫做配方法。

注意：用配方法解一元二次方程x2?px?q?0，當對方程的左邊配方時，一定記住在方程的左邊加上一次項系數的一半的平方后，還要再減去這個數。

例用配方法解下列方程：

22（1）x?6x?5?0；（2）x?7x?2?0 2

知識點二用配方法解二次項系數為1的一元二次方程

用配方法解二次項系數為1的一元二次方程的步驟：

（1）在方程的左邊加上一次項系數的一半的平方，再減去這個數；

（2）把原方程變為?x?m??n的形式。2

（3）若n?0，用直接開平方法求出x的值，若n﹤0，原方程無解。

例 解下列方程：x?4x?3?0

知識點三用配方法解二次項系數不是1的一元二次方程

當一元二次方程的形式為ax2?bx?c?0?a?0,a?1?時，用配方法解一元二次方程的步驟：（1）先把二次項的系數化為1：方程的左、右兩邊同時除以二項的系數；

(2)移項：在方程的左邊加上一次項系數的一半的平方，再減去這個數，把原方程化為?x?m??n的形式； 22

（3）若n?0，用直接開平方法或因式分解法解變形后的方程。

例用配方法解下列方程：

（1）3x?9x?2?0；（2）?x?4x?3?0

公式法

知識點一一元二次方程的求根公式 22

?b?b2?4ac一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的求根公式是：x? 2a2

用求根公式法解一元二次方程的步驟是：（1）把方程化為ax?bx?c?0?a?0?的形式，2

確定的值a,b.c（注意符號）；（2）求出b?4ac的值；（3）若b?4ac?0，則a,b.把及22

?b?b2?4acb?4ac的值代人求根公式x?，求出x1,x2。2a2

例用公式法解下列方程

（1）2x?3x?1?0；（2）2xx?2?2?1?0；（3）x2?x?25?0 ?

知識點二選擇適合的方法解一元二次方程

直接開平方法用于解左邊的含有未知數的平方式，右邊是一個非負數或也是一個含未知

數的平方式的方程

因式分解要求方程右邊必須是0，左邊能分解因式；

公式法是由配方法推導而來的，要比配方法簡單。

注意：一元二次方程解法的選擇，應遵循先特殊，再一般，即先考慮能否用直接開平方法或因式分解法，不能用這兩種特殊方法時，再選用公式法，沒有特殊要求，一般不采用配方法，因為配方法解題比較麻煩。

例用適當的方法解下列一元二次方程：

（1）?2x?3??9?2x?3?；（2）x?8x?6?0；（3）?x?2?(x?1)?0 222

知識點三一元二次方程根的判別式

一元二次方程ax2?bx?c?0?a?0?根的判別式 △=b?4ac 2

運用根的判別式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情況：

（1）△=b?4ac﹥0?方程有兩個不相等的實數根；

（2）△=b?4ac=0?方程有兩個相等的實數根；

（3）△=b?4ac﹤0?方程沒有實數根；

利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：①把所有一元二次方程化為一般形式；②確定a,b.c的值；③計算b?4ac的值；④根據b?4ac的符號判定方程根的情況。例不解方程，判斷下列一元二次方程根的情況：

（1）2x?3x?5?0；（2）9x

知識點四根的判別式的逆用

在方程ax?bx?c?0?a?0?中，2222?30x?25；（3）x?6x?10?0 22222

（1）方程有兩個不相等的實數根?b?4ac﹥0 2

（2）方程有兩個相等的實數根?b?4ac=0 2

（3）方程沒有實數根?b?4ac﹤0 2

注意：逆用一元二次方程根的判別式求未知數的值或取值范圍，但不能忽略二次項系數不為0這一條件。

例m為何值時，方程?2m?1?x?4mx?2m?3?0的根滿足下列情況： 2

（1）有兩個不相等的實數；（2）有兩個相等的實數根；（3）沒有實數根； 知識點五一元二次方程的根與系數的關系

2若x1,x2是一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的兩個根，則有x1?x2??bb，x1x2?aa

根據一元二次方程的根與系數的關系求值常用的轉化關系：

（1）x1?x2??x1?x2??2x1x2（2）222x?x211 ??1

x1x2x1x2

（3）(x1?a)(x2?a)?x1?x2?a?x1?x2??a2；

（4）│x1?x2│=

2x1?x22=x1?x22?4x1x2 例已知方程2x?5x?3?0的兩根為x1,x2，不解方程，求下列各式的值。

（1）x1?x2；（2）?x1?x2?。222

知識點六根據代數式的關系列一元二次方程

利用一元二次方程解決有關代數式的問題時，要善于用一元二次方程表示題中的數量關系（即列出方程），然后將方程整理成一般形式求解，最后作答。

2例當x取什么值時，代數式x?x?6?0與代數式3x?2的值相等？

一元二次方程的應用

知識點一列一元二次方程解應用題的一般步驟

（1）審題，（2）設未知數，（3）列方程，（4）解方程，（5）檢驗，（6）作答。關鍵點：找出題中的等量關系。

知識點二用一元二次方程解與增長率（或降低率）有關得到問題

增長率問題與降低率問題的數量關系及表示法：（1）若基數為a，增長率x為，則一次增長后的值為a?1?x?，兩次增長后的值為a?1?x?；（2）若基數為a，降低率x為，則2

一次降低后的值為a?1?x?，兩次降低后的值為a?1?x?。2

例 某農場糧食產量在兩年內由3000噸增加到3630噸，設這兩年的年平均增長率為x，列出關于x的方程為

知識點三用一元二次方程解與市場經濟有關的問題

與市場經濟有關的問題：如：營銷問題、水電問題、水利問題等。與利潤相關的常用關系式有：（1）每件利潤=銷售價-成本價；（2）利潤率=（銷售價—進貨價）÷進貨價×100%；

（3）銷售額=售價×銷售量

例 某商店如果將進貨價為8 元的商品每件10元售出，每天可售200件，現在采取提高售價，減少進貨價的方法增加利潤，已知這種商品每漲價0.5元，其銷量減少10件。

（1）要使每天獲得700 元，請你幫忙確定售價。

（2）當售價定為多少時，能使每天獲得的利潤最多？并求出最大利潤。

第五篇：初三數學上冊知識點

初三數學上冊知識點

一、圓的基本性質

1．圓的定義（兩種）

2．有關概念：弦、直徑;弧、等弧、優弧、劣弧、半圓;弦心距;等圓、同圓、同心圓。

3．“三點定圓”定理

4．垂徑定理及其推論

5．“等對等”定理及其推論

5． 與圓有關的角：⑴圓心角定義（等對等定理）

⑵圓周角定義（圓周角定理，與圓心角的關系）

⑶弦切角定義（弦切角定理）

二、直線和圓的位置關系

1.三種位置及判定與性質：

2.切線的性質（重點）

3.切線的判定定理（重點）。圓的切線的判定有⑴?⑵?

4．切線長定理

三、圓換圓的位置關系

1.五種位置關系及判定與性質：(重點：相切)

2.相切（交）兩圓連心線的性質定理

3.兩圓的公切線：⑴定義⑵性質

四、與圓有關的比例線段

1.相交弦定理

2.切割線定理

五、與和正多邊形

1.圓的內接、外切多邊形（三角形、四邊形）

2.三角形的外接圓、內切圓及性質

3.圓的外切四邊形、內接四邊形的性質

4.正多邊形及計算

中心角：

內角的一半：(右圖)

（解Rt△OAM可求出相關元素,、等）

六、一組計算公式

1.圓周長公式

2.圓面積公式

3.扇形面積公式

4.弧長公式

5.弓形面積的計算方法

6.圓柱、圓錐的側面展開圖及相關計算

七、點的軌跡

六條基本軌跡

八、有關作圖

1.作三角形的外接圓、內切圓

2.平分已知弧

3.作已知兩線段的比例中項

4.等分圓周：

4、8;

6、3等分