第一篇：數學文化課程論文

淺談數學機械化

一、數學機械化的概念 何為數學機械化？所謂數學問題的機械化,就是要求在運算或證明過程中，每前進一步之后，都有一個確定的、必須選擇的下一步，這樣沿著一條有規律的、刻板的道路，一直達到結論。即將數學的主要內容，方程求解與定理證明，轉變為計算機可以接受的形式并利用計算機強大的計算功能解決數學與高新技術中的理論問題。即所謂的機械化就是刻板化和規格化，也就是對一類定理(可以是成千上萬)提供一種統一的算法，使得該類定理中的每個定理，都可依此方法給出證明。從而實現從“一理一證”到“一類一證”的飛躍。在數學中，要通過推理和證明來建立定理，證明的每一個步驟都是通過邏輯推理，推出另一些命題。從它們出發進行推理的命題稱為前提，由此推出的命題稱為結論。而機器證明，就是要把這項推理和證明的工作交由計算機去完成。它是現代數學中一種新興的邊緣性學科，是現代人工智能發展的一個重要方向。

二、數學機械化的理論基礎

數學機械化研究，是在初等幾何定理的機器證明研究方面取得突破的。公理化體系的幾何定理證明非常不機械化。以中學課程中的幾何為例，－個定理的證明，往往要經過冥思苦想，奇巧構思，無章可循地填加輔助線，迂回曲拆地給出證明。如何利用計算機進行自動惟理，特別是進行幾何定理的自動證明，是學術界長期研究的課題。所謂定理的機械化證明，就是對一類定理（這類定理可能成千上萬）提供一種統一的方法，使得該類定理中每個定理，都可依此方法給出證明。在證明過程中，每前進一步，都有章可循地確定下一步該做什么和如何做。從“一理一證”到“－類一證”，是數學的認識和實踐的飛躍。吳先生創立了初等幾何（泛指不具有微分運算的幾何，如歐氏幾何、非歐幾何、仿射幾何、投影幾何、代數幾何等等）定理證明的機械化方法，國際上稱“吳方法”，首次實現了高效的幾何定理的機器證明?！皡欠椒ā币部捎糜趲缀味ɡ淼淖詣影l現和未知關系的自動推導。吳文俊先生的開創性成果，打破了國際自動推理界在幾何定理自動證明研究中長期徘徊不前的局面，也使我國在這一領域處于領先地位。吳先生的杰出貢獻，使他獲得1998年度國際自動推理界的最高獎“Herbrand獎”。

例如機械化證明幾何定理：首先引進坐標，使待證定理的假設與終結都轉換成多項式方程。這在通常的情形都是如此的。然后依照某種確定的方式對代表假設的多項式方程進行處理，使在有限步驟后到達代表結論的那一個多項式方程，或與之相反。這就給出了一個機械地進行的證明或否定一個幾何定理的過程。這一方法還具有普適的性質。即不論所考慮的定理出自何種初等幾何，不論是歐氏的，還是非歐的，只要像通常出現的那樣，假設與終結都可用多項式方程來表示，就可應用這同一的方法與過程

三、數學機械化的發展歷程

歷史上一些大師級的數學家，曾在幾何定理的機器證明這條道路上艱辛地探索過。笛卡兒為了用代數的方法來處理千變萬化的幾何問題，發明了坐標方法，創立了解析幾何，這是科學上的一件大事，從而為用計算機解決幾何問題打下了基礎。

萊布尼滋，微積分的創始人之一，曾有過“推理機器”的設想。他還提出了現代計算機上所用二進制記數法，這項工作促進了數理邏輯的早期工作。

大數學家希爾伯特在他的《幾何基礎》中，曾給出了一類幾何問題的機械化解題方法。9 4 5年，波蘭數理邏輯學家塔爾斯基(A．A．Tarski)證明了一個值得稱道的定理——塔爾斯基定理：一切初等幾何和初等代數的命題，都可以機器證明。(前提和結論都可以用有限個整系數多項式的等式或不等式來表達的命題，叫做初等幾何和初等代數命題。)1 9 7 5年，考林斯(Collins)提出了“柱面代數分解方法”，比塔爾斯基的方法提高了許多，但在計算機上仍然只能解決個別稍難點的幾何問題。

20世紀70年代以來，吳文俊研究機器證明問題。他提出的機械化方法，國際上稱之為“吳方法”，被認為是機器證明的里程碑式的貢獻。2001年，吳文俊獲首屆中國國家最高科技獎，而機器證明是獲獎的主要原因。

1984年，吳文俊院士的學術專著《集合定理機器證明的基本原理(初等幾何部分)》由科學出版社出版。這本專著遵循機械化思想引進數系和公理，依照機械化觀點系統地分析了各類幾何體系，諸如Pascal幾何、垂直幾何、度量幾何，以及歐氏幾何，證明確立了各類幾何的機械化定理，系統地闡明了幾何定理機器證明代數方法的基本原理。

后來，洪加威等人提出了通過數值實例的檢驗（即列舉法）來證明幾何定理的思

想方法，張景中、楊路提出了數值并行法和面積法，李洪波、王車明發展了不變量方法，極大地促進了數學機械化的發展。

四、數學機械化的應用

1.證明幾何學問題

幾何學包括定理證明、幾何作圖和幾何不等式證明。在吳先生開刨性成果的影響和啟迪下，在幾何學的機械化方面，如定理機器證明、幾何自動作圖和幾何不等式機器證明，我國學者都取得了很大成績。

眾所周知，直線和平面等幾何概念可由一次代數方程描述，多項式方程則用于描

述曲線和曲面等。數學科學中，從線性到非線性的第一步跨躍，是由多項式實觀的。因此，多項式方程組求解是非線性數學最基本的課題，這個問題的研究已經持續幾百年。數學不同分支中許多的問題、自然科學不同領域中很多的問題、高新技術中大量的問題，都可轉化為多項式方程組求解。在幾何定理機器證明的過程中，必須理清多項式方程組的零點結構。這一需求，促使吳先生創立了多項式方程組求解的理論和方法，國際上稱“特征列法”或“吳消元法”。吳先生還把這些方法拓展到微分情形，建立了微分幾何定理機器證明和微分代數方程組求解的機械化理論和方法。自然，較之代數情形，微分代數的應用范圍更為廣闊，同時，問題的研究更為復雜和困難。

2.四色問題的證明

人工智能定理證明最有說服力的例子，是機器證明了困擾數學界長達100余年之久的難題——“四色定理”。據說，“四色問題”最早是1852年一位21歲的大學生提出的數學難題：任何地圖都可以用最多四種顏色著色，就能區分任何兩相鄰的國家或區域。這個看似簡單的問題，就象“哥德巴赫猜想”一樣，不知難倒了多少著名數學家和獻身數學的業余愛好者，屬于世界上最著名的數學難題之一。

1976年6月，美國伊利諾斯大學的兩位數學家沃爾夫岡·哈肯（W.Haken）和肯尼斯·阿佩爾（K.Apple）自豪地宣布，他們用電腦證明了這一定理。哈肯和阿佩爾攻克這一難題使用的方法仍然是前人提出的“窮舉歸納法”，只是別人用的是手工計算，無論如何也不能“窮舉”所有的可能性。哈肯和阿佩爾編制出一種很復雜的程序，讓3臺

IBM360大型電腦去自動高速尋找各種可能的情況，并逐一判斷它們是否可以被“歸納”。十幾天后，共耗費了1200個機時，做完了200億個邏輯判斷，電腦終于證明了“四色定理”。

3.數學定理的自動發現

數學機械化的發展方向不僅僅是定理自動證明，它還應該能使用戶發現他以前并不知道的定理，即定理的自動發現或猜想的自動提出。

以HR系統為例，來闡述如何自動發現定理。

HR系統是一種主要做描述性歸納工作的機器學習系統，它能基于所給的背景知識提出經驗性的猜想，并嘗試使用第三方軟件來證明該猜想的正確性。下面我們把該系統所能做的工作分為6大類：（?。┦褂糜捎脩籼峁┑谋尘靶畔ⅲáⅲ┌l明新的概念（ⅲ）提出經驗性猜想（ⅳ）尋找反例（ⅴ）證明該定理（ⅵ）報告結果。

計算技術在純數學領域一個最要的應用就是使用CAS進行數學家無法通過手工完成的計算工作，在計算過程中通過對由CAS內部產生數據的分析來探索新的函數和提出經驗性猜想。在該探索和發現過程中，我們通過使用HR系統提出關于用戶所給的Maple函數的猜想，使這個探索和發現過程完全機械化。在該過程中，HR先用用戶所提供的Maple函數的信息來發明新的概念，進而提出與這些新概念相關的數學猜想，然后把這個猜想交給第三方定理證明機，通常是Otter theorem prover, 來證明該猜想的真偽。這種方法已經成功運用在20多個有限代數理論體系中，其中主要包括數論、圖論、集合理論和ring理論，發現了很多重要的新定理。

五、數學機械化的發展前景

自20世紀70年代以來，計算機解幾何問題的本領已飛躍提高。但是更難的問題的解決，要求發展更有力的新方法。發展非線性代數方程組的并行插值求解方法，綜合不同方法的長處以建立有效的人機交互求解系統，都是極有希望的研究方向。對于幾何不等式和幾何作圖的機器求解的研究，這不但有傳統的興趣，更有廣泛的應用，是目前國際上一個很活躍的領域。這一方向方興未艾，有大量的工作可做。在幾何定理的機器證明的各種方法都有長足的發展，如何把不同的方法綜合起來，組織成有效的幾何問題計算機自動求解或人機交互求解系統，將成為更有意義的研究方向。

在研究幾何定理機器求解時，創造或發展了一些新的方法或代數工具，它們也可以用來解決其他領域的問題。如機構設計、曲面造型、計算機輔助設計、機器人控制、計算機視覺、自動控制、化學平衡、幾何模型等領域都有著廣泛的應用。但這些都是本領域人員自己的設想，與技術領域的實際需求有一定的距離。因此，有必要做更具體的分析，并開發界面友好、易學易用的軟件。另一種應用是把幾何定理機器證明的程序發展成軟件，或者直接嵌入計算機應用軟件中。在這些方面，數學機械化有很大的發展前景。

【參考文獻】

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[2] 易南軒，王芝平《多遠視角下的數學文化》 科學出版社 2007年9月

[3] 林東岱《數學與數學機械化》 山東教育出版社 2001

第二篇：數學文化論文

數學文化

論文題目：數學文化與人類文明

學院：經濟管理學院

專業：工商管理

學號：2134031755

姓名：丁岳鳳

數學文化

引言

在當今社會,科學技術正以迅猛的勢頭強烈地影響、滲透并沖擊著人類社會幾乎所有的領域,數學與數學技術是其中最強勁的浪潮之一。在新技術革命和信息革命中,數學理論與技術起著十分重要的作用。縱觀人類科學與文明發展的歷史,我們可以發現:數學一直是人類文明發展的主要文化力量,同時人類文化的發展又極大地影響了數學的進步。按照現代數學研究，數學文化可以表述為以數學科學為核心，以數學的思想、精神、方法、內容等所輻射的相關文化領域為有機組成部分的一個具有特定功能的動態系統，其基本要素是數學及與數學有關的各種文化現象。數學文化研究開展以來，數學的抽象、確定、繼承、簡潔、統一的文化屬性和滲透、傳播、應用、預見的功能特征被挖掘出來，數學的藝術性也深深吸引了人們的眼球。本文就是著重研究數學文化與人類文明的聯系，發掘數學的文化功能。關鍵詞：

數學，數學文化，數學教育，人類文明 1.數學文化的內涵

數學作為一種文化現象，早已是人們的常識。歷史地看，古希臘和文藝復興時期的文化名人，往往本身就是數學家。最著名的如柏拉圖和達·芬奇．近代，愛因斯坦、希爾伯特、羅素、馮·諾依曼等都是 20 世紀數學文明的締造者。“廣義的文化概念強調的是文化對人類創造活動的依賴性。數學對象終究不是物質世界中的真實存在,從這個意義上說,數學就是一種文化。狹義的文化概念強調的是文化對人的行為、觀念、態度、精神等的影響?！雹贁祵W除了在科學技術方面的應用外,其在精神領域的功效,特別是在對人類理性精神方面的影響也是有目共睹的。作為一種人類的理性精神,作為理性精神最有力的倡導者和體現者,今天數學已在一定程度上滲透到以前由權威、習慣和風俗所統治的領域,成為人們思想和行動的先導之一。某些數學成果如無理數和非歐幾何的發現所產生的精神方面的影響,并不亞于對數學本身產生的影響,它們對認識論、倫理觀乃至人生觀都產生了巨大的影響。因此,在這種意義上說,數學還是一種文化。

按照現代數學研究，廣義地講，數學文化可以表述為以數學科學為核心，以數學的思想、精神、方法、內容等所輻射的相關文化領域為有機組成部分的一個具有特定功能的動態系統，其基本要素是數學及與數學有關的各種文化對象。2.數學文化與一般人類文化、科學文化

數學文化有與一般人類文化的共性,因為它既是人類文化的組成部分,也是人類文化發展的產物,都有對人類智力、美學和道德方面培養的功能。但數學文化有與一般人類文化相比又具有特殊性,即數學文化的個性:數學有自己獨一無二的語言—數學語言,數學具有獨特的價值判斷標準一一數學認識論和真理觀。這使得數學不僅與文學、藝術有很大差別,而且與科學(包括自然科學和社會科學)也有著巨大的不同。從社會學的角度看,數學還具有獨特的發展模式。這些獨特的個性,一 方面使數學自身構成了一種獨立的文化體系,同時也使數學與一般人類文化有本質的區別。

數學文化與科學文化也有著本質的不同,從學科分類中數學與自然科學的關系可以說明這一點。歷史上,數學曾經是哲學的一個分支,亞里士多德護Jistotle)將數學放在關于純知識學問的理論哲學中,歐洲中世紀的學者也將數學作為哲學的分支放在神學類之下。古希臘早期的數學家都是哲學家,中國先秦對數學有貢獻的數學家也均是哲學家(如管子、老子、莊子、墨子等)。直到文藝復興時期,培根.F(Bacno)

數學文化

才把數學化歸在自然科學的實用部分,認為數學是研究自然的工具。18世紀法國數學家達朗貝爾(J.Dalembe)rt明確地把數學放在自然科學之內,由此在理論上數學是自然科學的一個門類。但隨著19世紀以后的日趨抽象化,數學在研究內容與研究方法上與自然科學有了越來越大的區別,學術界已不再將數學看作自然科學的一部分了。正如著名科學家錢學森所闡明的,數學已經與自然科學和社會科學相并列,成為一個獨立的學科。這一新的劃分標準適應了現代數學的發展要求,對于理解數學文化的本質有很大幫助。數學文化或許與科學文化有交叉重疊部分,但數學文化絕不簡單是科學文化的一部分。數學作為聯結自然科學與人文、社會科學的紐帶,扮演著溝通文理、兼容并蓄、彌合裂痕的文化使者角色。3.數學的藝術特征（1）數學的藝術性

用美學的原則衡量數學，使得數學本身成為具有特定美學性質的藝術。

數的美妙性質令探尋的人折服；幻方、魔方神秘的美令人震顫；黃金分割使藝術家們創作出令人贊嘆的作品；永無休止的莫比烏斯圈，四葉玫瑰線同樣吸引著人們的目光，帶給人們無盡的美的享受。數學追求的目標是，從混沌中找出秩序，使經驗升華為規律，將復雜還原為基本，所有這些都是美的標志，而進行數學創造的最主要的動力就是對美的追求。法國數學家阿達瑪（J．Hndamard）說：數學家的美感猶如一個篩子，沒有它的人永遠成不了數學家?？梢姡瑪祵W美感和審美能力是進行一切數學研究和創造的基礎。

阿根廷《21 世紀趨勢》周刊網站報道，挪威卑爾根大學的數學家和心理學家首次證明，美是發現真理的源泉，無論是對美感還是對真理的判斷，都取決于大腦思維處理的流暢性。卑爾根大學數學家羅爾夫·雷伯用數學實驗證明了這一推斷。在實驗中專家發現，人們使用對稱性來作為檢驗算術結果是否正確的指標。對稱性被視為是美的代表。結合此前在數學認知和直覺判斷領域的研究，科學家指出，人的直覺判斷可能受某種與美感有關的機制指揮，至少在解決簡單數學問題時是這樣的。

（2）數學與音樂

在我們現行的教育體制中，數學與音樂似乎處在了兩個極端的位置，數學讓學生感到疲勞、辛苦，音樂讓學生感到輕松、愉快，而這樣的兩門科目之間卻有剝離不開的聯系。

事實上，早在公元前 6 世紀，畢達哥拉斯就發現了數學與音樂間的比率關系。即一根拉緊的弦，取原長的 1/2 可彈出八度音調，取 2/3 可彈出五度音調，取 3/4可彈出四度音調，也就是說音調的和諧由弦長與標準弦長的比決定。通過試驗，他創造了畢達哥拉斯八弦里拉理論，而后，他又發現弦的長度和振動數比例構成逆數形態，經過計算創造出了畢達哥拉斯音階理論，也是現在西方音樂的雛形。

對于數學與音樂兩者之間關系的研究，從數學的觀點看，最高成就應當屬于法國數學家傅立葉，他讓我們了解了音樂聲音的本質以及聲音本質所具有的數學特征。傅立葉證明了所有的聲音，無論是噪音還是儀器發出的聲音，復雜的還是簡單的聲音，都可以用數學方式進行全面的描述。聲音的本質包括音高、音調和音色，表現在數學函數圖上則是波的振幅、頻率和形狀。這樣一來，任何復雜的聲音實際都能用音叉一樣的簡單聲音經過適當的組合完全表現出來，也就是說從理論上講，我們完全可以僅利用音叉就演奏出一曲由一個樂團才可以完成的交響樂。音樂聲音的數學分析具有十分重大的意義，電話就是這種分析的產物之一，現在的數學文化

樂器制造商還將樂器的聲音轉化為波形圖，然后比較這些圖形與理想圖形的匹配程度進而判斷產品的優劣。（3）數學與美術

數量、形狀和結構是數學研究的內容，也是美術繪畫所要表現的對象，它們將數學與美術聯系在一起，可以說，滲透了數學內容的美術作品更加具有感染力、親和力，更能給人舒適、愉悅的感受。將三維空間的物象真實生動地表現在二維的畫紙上是繪畫的基本功——素描。通過對物象的形體結構、比例關系、明暗變化等因素的觀察綜合表現物象則需要透視理論。透視是制造繪畫空間感、立體感的主要手段，將平面視覺提升為三維，很大程度上決定了作品“型”的準確性。15 世紀意大利畫家阿爾貝蒂(L.B.Alberti)著書《繪畫論》，專門敘述了繪畫的數學基礎，論述了透視的重要性，他認為數學是認識自然的鑰匙，希望畫家們能夠通曉幾何學。文藝復興時期，經過眾多畫家、建筑師、工程師的共同努力，繪畫透視學產生了，素描藝術也得到了空前的發展。黃金分割是數學術語，同時也是藝術家的摯愛，因為可以給人最舒適、最愉悅、最美麗的感受，像黃金一樣珍貴，故稱黃金分割，它就像一把金鑰匙，靈動地活躍在藝術殿堂的每一處。繪畫顏料的黃金配比能夠使色澤更自然，繪畫布局中黃金分割處的亮點能夠突出畫的鮮活，雕塑結構的黃金比例使作品更美麗，建筑物黃金分割處的裝飾能夠平添建筑的靈氣??如果說對稱給人以視覺精確平衡的美感，那么黃金分割則給人心理張弛平衡的美感，更讓人著迷、神往，所以

世界聞名的藝術珍品大多可以看到黃金分割的影子。（4）數學與文學

數學與文學的同一性來源于人類兩種基本思維方式——藝術思維與科學思維的同一性。文學是以感覺經驗的形式傳達人類理性思維的成果，而數學則是以理性思維的形式描述人類的感覺經驗。文學與數學的統一歸根結底是在符號上的統一，數學揭示的是隱秘的物質世界運動規律的符號體系，而文學則是揭示隱秘的精神世界的符號體系。五言、七言詩共有十六種格式，平仄變化十分復雜，但從數學的角度理解，卻具有簡單的運算規律，只需知道第一句的平仄格式就可推斷后面所有的格式。

數學語言中的量與序的概念和文字的結合能產生無窮的文學魅力，深化時空意境，使得文學作品更加引人入勝。例如“飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”，借助數字表現出對高度的藝術夸張；“千山鳥飛絕，萬徑人蹤滅”，用數字體現尖銳的對比和襯托；卓文君的數字家書“一別之后，兩地相思，只說是三四月，又誰知五六年，七弦琴無心彈，八行書無可傳，九連環從中拆斷，十里長亭望眼欲穿。百思想，千系念，萬般無奈把郎怨??”從一寫到萬，又從萬寫回一，情感遞進，心思巧妙，悲憤之意躍然紙上；華羅庚的妙對“三強韓趙魏，九章勾股弦”隱喻嵌入，對仗工整，令人拍案叫絕。對文學作品的語言研究也應用了大量的數學原理，形成了數理語言學，包括統計語言學、代數語言學、計算語言學和模糊語言學等分支。運用統計學、概率

論、信息論統計某種語言詞匯出現的頻率和概率可以確定這種語言的基本詞匯；根據幾部作品的詞匯、詞頻統計，經過計算可以大致推定作者的詞匯總量；對于作者不詳的文獻可以根據詞匯的使用頻率經過計算繪制成圖形以判斷作品的風格、年代，找出文獻的主人。語言學的發展對數學不斷提出新的要求，借助數學手段精確客觀的分析必將使語言學的研究呈現新面貌。4.數學的作用

數學文化

（1）數學喚醒人類理性精神 數學的本質是邏輯的，數學關注的是邏輯上的必然性而不是偶然性，當人們討論數學問題的時候，探求的是具有普遍意義的必然結果。古希臘哲學家柏拉圖在論及數學的這一屬性時便說：這門科學的真正目的在于探究關于永恒事物的知識，而不是關于某種有時產生有時滅亡的具體事物的知識。美國當代著名數學哲學家斯圖爾特·夏皮羅（Stewart Sharpiro）也說：“數學至少表面上與其他求知的努力不同，特別是與科學追求的其他方面不同。基本數學命題似乎沒有科學命題的偶然性”。夏皮羅的這一說法實際上與柏拉圖是一致的，在他們看來，數學不是一門有關任何具體事物的知識，而是超越一切具體存在物的永恒的知識。

（2）數學促進人類思想解放

在以往有關數學史和文化史的研究中，人們更多注意到的是數學與自然科學之間的關系，但卻很少談到數學史與思想史之間的聯系。事實上，數學的發展與人類思想的發展有著密切的相關性，甚至可以說，在歷史上，這種相關性遠遠超過了自然科學對思想史的影響。思想解放，顧名思義就是解除思維禁錮，發展思想觀念的一種創新活動。無論是過去還是現在，思想解放對社會發展、經濟繁榮、政治文明都有巨大的社會功能。數學家齊民友說：“歷史已經證明，而且將繼續證明，一種沒有相當發達的數學的文化是注定要衰落的，一個不掌握數學作為一種文化的民族也是注定要衰落的。數學作為一種文化，在過去和現在都大大地促進了人類思想的解放。與發展生產力、發展經濟相比，人類思想的轉變和解放是更漫長、更困難的過程，同時，生產力、經濟等的發展又受到人類思想意識的制約。可以推翻一時的壓迫、一時的政權，但思想意識上的迷信和偏見卻不是容易解除的。人是理性的存在者，人類社會的歷史所以能夠不斷地從野蠻走向文明，就是因為人類在長期的生產活動中，通過知識的積累，不斷地提高自己的認識能力，從而形成理性的生活態度。理性地對待生活是人類所特有的品質。知識和理性是思想解放的前提，只有掌握知識、掌握真理才能擺脫思想的桎梏、精神的枷鎖。此種意義下，數學在人類思想解放的歷史中發揮了至高無上的作用。（3）數學改善人類生活

數學深刻滲透到科學研究領域的方方面面早已成為不爭的事實，從大的方面講，數學發展促進科學技術的進步，進而大大促進了社會生活的進步。從小的方面講，掌握數學知識、領會數學思想使我們具有解決問題的能力，很大程度上有助于改善生活方式、提高生活質量。用容易計算的數簡化計算過程，根據需要確定向上或向下的估計方式是這個案例的中心思想，這就是估算。估算是對情況的一種整體把握，是對事物的直覺判斷，進而對事物的發展前景和結果進行判斷，洞察事物本質，具有很大的靈活性和變通性。計算稅款、均攤消費、估計占地面積等都可以使用類似的方法簡化計算。

結束語

數學文化研究站在人類文化與文明的高度反思數學的本質，使我們對數學有更高層次的理解。隨著科學研究的發展與進步，數學已經空前廣泛地滲入到數學以外的其他學科和我們的生活。數學的起源、發展、完善和應用的過程對于人類產生重大的影響，既包括對人類生產生活方式的改變，也包括對人的觀念、思想和思維方式的潛移默化的作用，同時體現了人類在探索、認識真理過程中展現的精神和崇高境界。人類無論在物質生活上和精神生活上都大大得益于數學，所以，數學的教育價值不只在于科學，還在于人文。成功的數學教育應當同時體現出數學

數學文化 的應用價值、思維價值、精神價值。教育是國之根本，歷來都是重要議題。應對復雜的經濟局面，要提升中國在國際社會中的競爭力，讓中國真正地發展騰飛，就必須全面提升人的素養。數學文化的研究引導我們重新思考數學的本質，重新認識數學教育，重新樹立數學教育的目標和思考數學課程的建設。從全面提升人的素質角度出發，重視數學文化教育勢在必行。

參考文獻

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第三篇：文化哲學課程論文

淺析卡西爾的藝術本質論

摘要：《人論》是德國哲學家恩斯特?卡西爾的著作。在《人論》中，卡西爾深刻地分析和批判了西方歷史上流行的兩種藝術本質觀：摹仿說和表現論，由此出發，他沿著康德藝術自律論的方向，提出了自己關于藝術本質的幾個規定。同時，從他的學生蘇珊?朗格的著作中，我們也可以得到關于卡西爾的一些新的認識。Abstract: “An Essay on man” is the German philosopher Ernst Cassirer’s work.In this book, Cassirer analyzed and criticized the two views about the essence of art which were popular in the western history deeply: imitation and performance.Based on this, he observed Kant’s “self-discipline theory”, and put forward his own several provisions about the essence of art.At the same time, from his student Susan Langer's works, we can also get some new understanding about Cassirer.關鍵詞：藝術本質；符號；形式

Key words: the essence of art;symbol;form 在20世紀西方美學的眾多流派中德國哲學家恩斯特?卡西爾獨樹一幟地創立了他的符號——形式美學，開辟了一個從文化與符號的雙重視角來研究美學與藝術的新方向，構成了20世紀西方美學的不可或缺的重要一極?？ㄎ鳡柼岢鏊囆g是“感性的符號形式的創造”。他回顧了藝術從他律到自律的歷史，認為藝術和美本來就是最清楚明白的人類現象之一，是人類經驗的組成部分。然而，哲學思想史上關于美的現象卻一直是混亂不清，不是把美從屬于理論的知識，就是把美規定在道德的范圍內，這種現象在西方直到康德才告一段落：“康德在他的《判斷力批判》中第一次清晰而令人信服地證明了藝術的自主性?！雹倏ㄎ鳡栮P于藝術的本質論的探討是沿著康德開辟的藝術自律的方向進行的，同樣在與科學和道德的區別中界定藝術的本質。

一、對兩種藝術本質論的批判

卡西爾在提出自己的藝術本質觀前，首先考察了歷史上的兩種藝術觀：摹仿說和表現論。摹仿說是自亞里士多德以來雄霸西方兩千多年的傳統藝術本質論，這種觀點認為：藝術是對自然的摹仿，摹仿的程度越高，藝術的價值越大。也就 ①（德）恩斯特?卡西爾：《人論》，甘陽譯，上海譯文出版社，2013年，第234頁。是說，藝術的價值由外在的自然來決定，外在的自然成了衡量藝術的標準。卡西爾不同意這種觀點，理由有二：第一，傳統的摹仿說是個不徹底的理論。如果摹仿是藝術的本質，藝術以摹仿的逼真性來決定優劣，那么，這個決定藝術的標準是不嚴謹的，任何藝術家的摹仿也不可能是純粹的摹仿，“所有的摹仿說都不得

①不在某種程度上為藝術家的創造性留有余地”。也就是說摹仿說在事實上并不徹底，它避免不了創作主體的能動性的創造?？ㄎ鳡栒f：“如果摹仿是藝術的真正目的，藝術家的自發性和創造力就是一種干擾性的因素而不是一種建設性的因②素。”這就是說藝術不可能是純粹的摹仿，把藝術的本質定位摹仿乃是古典藝術觀的最大缺陷。第二，摹仿說使藝術失去了藝術的自主性和獨立性，這正是康德以前的藝術現實，摹仿說強調藝術和摹仿對象的逼真性，以真實性作為藝術的標準，藝術就永遠充當摹仿對象的婢女和附屬，因為作為摹仿的藝術永遠也得不到摹仿的對象的真實性，就像畫家畫的蘋果遠沒有真正的蘋果那樣真實，這樣藝術始終處于依附的地位。同時，藝術和科學糾纏在一起，以科學的真實來替代藝術真實，混淆了科學真實和藝術真實的區別，導致藝術失去自己的藝術特性?？傊?，摹仿說使藝術在科學和道德的領域內徘徊，忽視了藝術家的創造性?？ㄎ鳡栒J為，為了得到藝術的最高的美，藝術家不僅要復寫自然，更重要的是要偏離自然，但偏離的程度和比例則是藝術理論的主要任務之一。

在否定摹仿說的同時，卡西爾對藝術的情感表現說也進行了尖銳的批判。在西方，持情感表現說的主要代表人物有：英國浪漫主義詩歌流派的詩人及理論家華茲華斯、意大利“表現主義”美學家克羅齊以及他的英國學生科林伍德等。浪漫主義詩人華茲華斯提出藝術是“強烈情感的自發流溢”的論斷，認為藝術就是這種主體情感的自然流露。卡西爾認為，“表現說”對傳統的摹仿說的反駁具有決定性的意義，但是它又走向另一個極端，這種藝術觀也是片面的。他說：“如果我們不加保留地接受了這個華茲華斯派的定義??藝術就仍然是復寫；只不過不是作為對物理對象的事物之復寫，而成了對我們的內部生活對我們的情感和情③緒的復寫?！边@就是說，浪漫主義的表現說雖然對反對傳統的摹仿說有重大的意義，但是，強調藝術是“強烈情感的自發流溢”這個觀點在本質上仍然是一種摹 ①②（德）恩斯特?卡西爾：《人論》，甘陽譯，上海譯文出版社，2013年，第237頁。

同上。③（德）恩斯特?卡西爾：《人論》，甘陽譯，上海譯文出版社，2013年，第241頁。仿，只是摹仿的對象不是自然的物理對象，而是藝術家內心的情感，這樣，藝術還是沒有走上自己獨立的道路，評判藝術的標準還是真實性原則，即是否真實地表達藝術家的真實情感，這樣藝術的真實還是和藝術家的生活真實混為一談，從而也是取消了藝術的獨立性?？ㄎ鳡栒J為藝術雖然離不開情感的表現，但單純的情感表現還不能稱為藝術。為此，他又批判了克羅齊的表現主義詩學觀，克羅齊提出“藝術即表現”“表現即直覺”等理論，克羅齊認為，直覺就是心靈賦形于雜亂無章的物質世界的活動，并稱之為心靈事實，它自在自為，不受理智、知覺等的限制，唯有表現能夠說明。即直覺就是表現，兩者不可分割，是合二而一的東西。他說：“直覺必須以某一種形式的表現出現”，“直覺和表現是無法可分的，此出現則彼同時出現，因為它們并非二物而是一體”①，藝術即直覺即表現，克羅齊的形式只是內在的，直覺的表現活動也是內在的，藝術家的創作從印象開始，從印象而達成一種內在的表現，然后將內在于心的表現外化為藝術形式?？ㄎ鳡栒J為克羅齊和他的學生提倡藝術的“表現說”也有著致命的缺點。首先，他把藝術直接看作是表現，是藝術家內心的直覺功能，藝術和直覺之間沒有任何中介，而忽視了藝術家對藝術形式的創造?？ㄎ鳡柵u說：“克羅齊只對表現的事實感興趣，而不管表現的方式??唯一要緊的事就是藝術家的直覺，而不是這種直覺在一種特殊物質中的具體化”。②這就是說克羅齊的“表現說”只重視表現，而不管表現的方式，這樣就抹殺了藝術家的創造性。在卡西爾看來，克羅齊等人的錯誤就在于他們忽略了作為藝術創造和觀照藝術品的構造過程。其次，如果從情感表現說的理論界定藝術，藝術仍然是他律的，以主體的情感作為評價和衡量藝術的標準，導致藝術的泛化，人人都是藝術家，任何表現都是藝術，從而陷入使藝術成了沒有自己獨立性的工具論的深淵。

二、卡西爾關于藝術本質的幾個規定

卡西爾認為“摹仿說”只注意到了藝術對現實的單純摹仿再現的一面，卻忽視了藝術家的自覺性和創造性；相反，“情感表現說”只注意到了藝術表現情感的一面，卻忽視了藝術的再現和解釋的功能。這二者均不能很好地揭示藝術的本質。由此，卡西爾提出了自己關于藝術本質的幾個規定。

①②（意）克羅齊：《美學原理? 美學綱要》，朱光潛譯，外國文學出版社，1983年，第16頁。（德）恩斯特?卡西爾：《人論》，甘陽譯，上海譯文出版社，2013年，第241~242頁。首先，卡西爾從歌德的“藝術早在其成為美之前，就已經是構型的了”①這一論斷受到啟發，認為藝術的構型性更為重要，“藝術確實是表現的，但如果沒有構型，它就不可能表現，而這種構型是在某種感性媒介物中進行的?！雹谒^構型，就是運用一定的感性媒介物來創造形式，把藝術要表現的情感與意象等加以具體化客觀化，使之成為可傳達的東西。因此，對一個偉大的藝術家來說，“色彩、線條、韻律和語詞不只是他技術手段的一部分，它們是創造過程本身的必要③要素。”據此，卡西爾批評了克羅齊等人的直覺表現主義美學只強調藝術是情感的直接表現，卻極度忽視藝術的物質傳達的做法，在他們那里只有“胸中之竹”，卻無“手中之竹”，這就完全忽略了作為創造和觀照藝術品的一個先決條件的整個構造過程，即他們完全忽視了藝術的創造形式的構型過程。因此，藝術在摹仿性與表現性之上還有一個更重要的本質——構型性，這是卡西爾關于藝術本質的第一個規定。

其次，卡西爾認為，藝術同科學等符號形式一樣，“它不只是對實在的摹仿，而是對實在的發現”。④當然，藝術的“發現”不同于科學的“發現”。具體說來，它們的區別如下：第一，科學是對實在的縮寫，藝術則是對實在的夸張?？茖W的符號是以一種高度概括性的簡潔凝煉的方式來反映實在世界的，而藝術家則以藝術的符號來“重構”這個世界，這種“重構”為藝術的想象虛構和變形留有充分的余地。第二，科學依賴于同一個抽象過程，而藝術是一個持續的具體化的過程。正是由于上述本質性的區別，就必然導致科學與藝術的發現或運作過程的截然不同。前者是一個不斷抽象的過程，而后者總是一個具體化的過程，它始終不脫離活生生的具體事物的感性形態和個別特征。第三，科學的目的是追溯事物的性質和原因，而藝術是給我們以對事物形式的直觀。第四，科學是各種事實和自然法則的發現者，而藝術家是自然形式的發現者，也就是說，科學發現的是“自然”之真，藝術則發現的是“自然”之美。這樣，卡西爾就得出結論：藝術是對自然形式的發現。這是他對藝術本質的第二個規定。

第三，卡西爾從藝術的符號特征出發，把藝術的構型看成是對世界(實在)意義的解釋。他指出，藝術“既不是對物理事實的摹仿，也不只是強烈感情的流溢。①②（德）歌德：“論德國建筑”，《歌德全集》第37卷，第148頁。（德）恩斯特?卡西爾：《人論》，甘陽譯，上海譯文出版社，2013年，第241頁。③ 同上，第242頁。④ 同上，第244頁。它是對實在的再解釋，不過不是靠概念而是靠直觀，不是以思想為媒介而是以感性形式為媒介?！雹龠@樣，藝術直觀和感性形式就具有了“符號”的價值。它是象征性的，既是顯示實在意義的媒介，又是對實在的一種能動的再解釋。“符號”是卡西爾的文化哲學的一個核心概念，當然也是其藝術哲學的一個核心概念。藝術的符號就存在于藝術的直觀形式中，它是感性的具體的，而不是概念的和推演的?？ㄎ鳡栒f：“藝術確實是符號體系，但是藝術的符號體系必須以內在的而不是超驗的意義來理解。藝術的真正主題既不是謝林的形而上學的無限，也不是黑格爾的絕對。我們應當從感性經驗本身的某些基本的結構要素中去尋找，在線條、布局，在建筑的、音樂的形式中去尋找。”②這是對藝術符號的經驗主義解釋。藝術是用感性經驗形式的藝術符號對世界意義的解釋，這是卡西爾對藝術本質的第三個規定。

第四，卡西爾還認為，藝術是我們內在生命的真正顯現。在卡西爾看來，在日常經驗中，我們往往只有實踐和理論的興趣，只關心事物的原因和效用。但一旦進入藝術的領域，我們就必須忘掉這一切，因為“在存在、自然、事物的經驗屬性背后，我們突然發現了它們的形式。這些形式不是靜止的成分。它們所顯示的是運動的秩序，這種秩序向我們展示了自然的新地平線?！雹踋這也就是說，在藝術中我們發現的是形式和它所顯示的與我們內在生命的動態過程同構的運動的秩序。他進一步指出，“只有把藝術理解為是我們的思想、想象、情感的一種特殊傾向，一種新的態度，我們才能夠把握它的真正意義和功能?！雹苓@種“特殊傾向”與“新的態度”，就是指關注與觀照事物的直觀形式，將事物形象化，而不是僅僅將它概念化或功利化的傾向與態度，也即是一種審美的態度。因此，正是在這個意義上，造型藝術使我們看見了感性世界的全部豐富性和多樣性．詩則展示了我們的個人生活。我們常人所具備的但只是朦朧地預感到的無限可能性，卻被藝術家們揭示了出來。因此，這樣的藝術品決不是單純的仿造品或摹本，而就是我們內在生命的真正顯現。這是卡西爾關于藝術本質的第四個規定。

最后，卡西爾從藝術與科學和道德的區別人手，得出一個總結性的看法：區別于科學在思想中給予人們以秩序和道德在行動中給予人們以秩序，藝術則是在 ①②（德）恩斯特?卡西爾：《人論》，甘陽譯，上海譯文出版社，2013年，第250頁。

同上，第269頁。③ 同上，第289頁。④ 同上。對可見、可觸和可聽的外觀之把握中給予我們以秩序的。這是卡西爾關于藝術本質的第五個規定。應該說，通過揭示藝術的形式本質，卡西爾找到了藝術符號系統的“特殊種差”，這樣，他就達到了確認審美與藝術的自律性的目標。

三、從蘇珊?朗格看卡西爾

卡西爾的藝術哲學思想，經他的學生蘇珊?朗格進一步發揮，形成了在20世紀中葉影響很大的卡西爾——朗格符號論美學。在朗格那里，我們往往可以獲得對卡西爾新的認識。

卡西爾所謂的“符號形式”實際上就是指的人類的文化形式，卡西爾認為，人類的文化形式都是由符號構成的，符號(symbol)與信號(sign)的不同在于信號只屬于物理世界，而符號卻還屬于人的意義世界。朗格對構成藝術形式的符號作了詳細深入的說明，并極其強調源于卡西爾的觀點，即藝術是人的內在生命的顯現。朗格認為，人的內在生命以情感為特質，“這樣一些東西在我們的感受中就像森林中的燈火那樣變化不定，互相交叉和重疊；當它們沒有相互抵消和掩蓋時，便又聚集成一定的形狀，但這種形狀又在時時地分解著，或是在激烈的沖突中爆發為激情，或是在這種種沖突中變得面目全非。所有這些交融為一體不可分割的主觀現實就組成了我們稱之為‘內在生命’的東西?！雹俣鴮τ谶@種內在生命，語言是無法忠實再現和表達的，因此，朗格反對柯林武德把藝術稱為“語言”，認為作為“符號”的藝術不是語言可以取代的，“人類情感的特征是各種因素互相溝通，一切處于無絕對界限的狀態中，語言的描述只能強調它們的區別?！雹诶矢裾J為，藝術對客觀實在的描繪，都是“虛幻”的。在《情感與形式》一書中，她把建筑稱為“虛幻的空間”，音樂稱為“虛幻的時間”，舞蹈稱為“虛幻的力”，抒情詩稱為“虛幻的記憶”，戲劇里充滿“虛幻的節奏”。但這種客觀的“虛幻”恰恰作為符號描繪了人的內在生命的真實，這樣的藝術真實同時也具有客觀性。這也是對卡西爾反復強調的歌德所說“詩與真”同源的解釋?？ㄎ鳡栠@樣評說柯林伍德帶有后現代主義意味的藝術觀：“柯林武德說：‘藝術家企圖做的，就是表現某一特定的情緒。表現它與令人滿意地表現它，都是一回事。??我們每一個人發出的每一個聲音、做的每一個姿勢都是一件藝術品?！窃谶@里，作為創造和觀照藝術品的一個先決條件的整個構造過程又一次被完全忽略了。每一個姿勢 ①②（美）蘇珊?朗格：《藝術問題》，滕守堯、朱疆源譯，中國社會科學出版社，1983年，第21頁。（美）蘇珊?郎格：《情感與形式》，劉大基等譯，中國社會科學出版社，1986年，第441頁。并不就是一件藝術品，就像每一聲感嘆并不就是一個言語行為一樣?！雹?/p>

朗格與卡西爾的藝術哲學思想的確是一脈相承的，在他們的符號論美學中認為，如果藝術不以符號表現人的內在生命的情感，如果不是創造性地將這樣的符號構造成形式，單純的非理性自我表現不能稱之為藝術，從這個意義上講，藝術具有相當大的客觀性。卡西爾甚至認為這種客觀性可以和歷史相提并論，都可以成為人類自我認識的工具。

參考文獻：

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第四篇：數學文化課程作業

教育科學學院 12初等教育班 鐘舒怡 201213032131

數學文化課程作業

（三）1.分形：分形理論是人們在自然界和社會的實踐活動中所遇到的不完全規則事物的一種數學抽象。分形理論自從20世紀70年代被提出以來，經過幾十年的發展，已經成為一門重要的新學科，被廣泛應用于數學、計算機科學、力學、物理學、化學、生物學、地質學、社會學、人文學以及藝術學等各個領域，成為當今國際上許多學科的前沿研究課題之一。分形理論是研究和處理自然與工程項目中不完全規則圖形的強有力的理論工具，分形理論正起著把現代科學各個領域連接起來的作用，人們把它與耗散結構及混沌理論共稱為20世紀70年代中期科學上的三大重要發現。隨著電子計算機的迅速發展和廣泛應用，分形的思想和方法正在不斷的應用發展，日益影響著現代社會的生產和生活活動。隨著分形理論的廣泛應用，一些新的數學方法和數學工具被不斷提出，顯示了分形理論的強大生命力。

分形理論是非線性科學的前沿和重要分支，在分形造型、自然景物模擬以及圖象壓縮等方面具有廣闊的應用前景，隨著圖形學和軟件技術的迅速發展，分形理論的研究和應用日見受到人們重視。對具有分形特征的圖形圖像進行變形也越來越成為熱門，分形變形技術是計算機圖形學中重要的研究領域之一。

2.感想與建議：數學文化與人類一般文化的不同，與人類一般文化相比較，數學文化具有如下特點：首先，它具有自己獨一無二的語言系統——數學語言。數學語言是按照簡化自然語言的方向，按克服

自然語言中含糊不清的毛病的方向按擴充它的表達范圍的方向去改進自然語言的結果。數學語言和自然語言的本質區別之一是變元的使用。由于使用了各種變元，數學語言能夠較好地表示一般規律。其次，它具有獨特的價值判斷標準 —數學認識論、數學真理觀。數學在它長期發展的過程中，形成了以邏輯論證來檢驗真理性的學科標準。這些集中地、淋漓盡致地反映了人類思維中極寶貴的邏輯性和簡約性。再次，它具有獨特的發展模式。在數學課程中談數學文化，與在數學教育中倡導人文性并不能混為一談。一方面，數學中蘊含的人文精神與數學知識建構中的人性特征，固然可以作為數學文化的生動材料，但是，對于數學教育的人文性來說，需要考慮的東西顯然要更多一些。換句話說，后者比前者有更為豐富的內涵。在數學教育中倡導人文性，其含義應該不囿于數學文化語境中的“人文性”。另一方面，數學文化的基本素材并不必然對等于數學教育中的人文性。這是因為，數學文化兼有科學文化與

人文文化的共同特征，這一特點使得數學文化在數學課程建設中扮演著培育科學精神與人文精神的雙重功效。數學文化保留了既有的數學活動的痕跡，是有關數學現象的一種客觀紀錄。在數學課程中談數學文化，有一個很重要的功能選擇問題，這至少包括3個方面的含義。第一，數學文化必須與數學課程的總體目標相協調、相一致。想的課程設計應該是融知識與文化于一體的。第二，數學文化應

它體現出對于數學前進方向和數學思想方法的一種傾向、一種引導和一種歸結，而不僅僅是事實的陳述與歷史的展現。第三，數學文

化應該與學習者的既有文化系統做一個很好的切合。所以，數學文化在數學課程中予以滲透，這一思想傾向總體上是值得肯定的。

但是如果在數學課堂上過度糾纏于數學史的枝節，就會偏離數學課堂的核心目標。數學課程的核心是教數學，而不應該是數學知識的演化史，或者數學故事、數學家生平，甚至數學的應用價值，都不代替數學本身。這里，數學課程的過濾與選擇功能應該發揮其對于數學文化材料的更大的作用。在有限的課程容量與資源的限制之下，數學課程應該把什么樣的“目標”和“素材”放在優先和重要的位置，是一個十分關鍵的問題。我們的理解是，“數學文化”應該包含這樣的意思，就是一種數的印象、數學的“感覺”和“知道”，即不一定非要會證明、非要把細節和來龍去脈弄得一清二楚，知道個大概和有這回事就行了。所以，希望以后上這門課的老師能更加形象的介紹這門課程。

第五篇：數學文化欣賞論文

主題：數學文化

數字的神奇

姓名：楊晨 學院：經管-土管院 班級：土規1102 學號：2011306200619

摘要：在現實世界中，大到宇宙星系，小至生物微粒及人類所處事宜都散發著數學的氣息。而數字作為數學的重要組成部分，伴著人類的發展直至今日。經過無數學者對數字的研究與探索，發現了數字獨有的魅力。

關鍵字：數學 數字 走馬燈數 黃金分割率 神奇

正文：

數字，美妙且神奇，不僅吸引了眾多科學家、文學家、藝術家們，讓他們大為感嘆，投身其中，還有眾多對數字有著獨特感覺的普通人，他們認為“8”代表著“發”，意味著發財致富，“6”則代表六六大順?；蛟S，僅是這樣并不足以看出它對人們的吸引力究竟有多大，但是，以下的例子卻足以調足你的胃口，引發你的好奇，讓你贊嘆它的美妙，驚嘆它的神奇。

神奇的數----142857 142857,又名走馬燈數。它發現于埃及金字塔內，它是一組神奇數字，它證明一星期有7天，它自我累加一次，就由它的6個數字，依順序輪值一次，到了第7天，它們就放假，由999999去代班，數字越加越大，每超過一星期輪回，每個數字需要分身一次，你不需要計算機，只要知道它的分身方法，就可以知道繼續累加的答案。

142857×1＝142857（原數字）142857×2＝285714（輪值）142857×3＝428571（輪值）142857×4＝571428（輪值）142857×5＝714285（輪值）142857×6＝857142（輪值）

142857×7＝999999（放假由9代班）

142857×8＝1142856（7分身，即分為頭一個數字1與尾數6，數列內少了7）142857×9＝1285713（4分身）142857×10＝1428570（1分身）142857×11＝1571427（8分身）142857×12＝1714284（5分身）142857×13＝1857141（2分身）

142857×14＝1999998（9也需要分身變大）繼續算下去??

以上各數的單數和都是“9”。而且，同樣的數字，只是調換了位置，反復的出現。如果把它乘與7，我們會驚人的發現是 999999，然后，142 + 857 = 999 14 + 28 + 57 = 99，挑三段 1+8 4+5 2+7 都等于9 若我們把142857再乘于142857，結果是142857x142857=20408122449 再把20408122449分解兩組數字，20408和122449，而他們的和正是142857。

黃金分割率

15世紀末期，法蘭圖教會的傳教士路卡·巴喬里(LUCAPACIOLI)發現金字塔之所以能屹立數千年不倒，且形狀優美，原因在于其高度與基座每邊的結構比例為“5：8”。因為有感于這個神秘比值的奧妙與價值，而使用了黃金一詞，將描述此比例法的書籍命名為“黃金分割”。

數百年來，一些學者專家陸續發現，包括建筑結構、力學工程、音樂藝術，甚至于很多大自然的事物，都與“5：8”比例近似的0．382和0．618這兩個神秘數字有關：

5／(5＋8)＝0．3846 8／(5＋8)＝0．6154 而由于0．382與0．618這兩個神秘數字相加正好等于1，所以，將“0．382”及“0．618”的比率稱之為“黃金分割率”或“黃金切割率”。

其實,黃金分割比在未發現之前，在客觀世界中就存在的，只是當人們揭示了這一奧秘之后，才對它有了明確的認識。當人們根據這個法則再來觀察自然界時，就驚奇的發現原來在自然界的許多優美的事物中的能看到它，如植物的葉片、花朵，雪花，五角星??許多動物、昆蟲的身體結構中，特別是人體中更是有著豐富的黃金比的關系。當人們認識了這一自然法則之后，就被廣泛地應用于人類的生活之中。此后，在我們的生活環境中，就隨處可見了，如建處門窗、櫥柜、書桌；我們常接觸的書本、報紙、雜志；現代的電影銀幕。電視屏幕，以及許多家用器物都是近似這個數比關系構成的。它特別表現藝術中，在美術史上曾經把它作為經典法則來應用。有許多美術家運用它創造了不少不朽的名著。

你從電視中見過碧水輕流的安大略湖畔的加拿大名城多倫多嗎?這個高樓大廈鱗次櫛比的現 代化城市中，最醒目的建筑就是高聳的多倫多電視塔，它器宇軒昂，直沖云霄。有趣的是嵌 在塔中上部的扁圓的空中樓閣，恰好位于塔身全長的0.618倍處，即在塔高的黃金分割點上。它使瘦削的電視塔顯得和諧、典雅、別具一格。多倫多電視塔被稱為“高塔之王”，這個 奇妙的“0.618”起了決定性作用。與此類似，舉世聞名的法蘭西國土上的“高塔之祖”——埃菲爾鐵塔，它的第二層平臺正好坐落在塔高的黃金分割點上，給鐵塔增添了無窮的魅力。

氣勢雄偉的建筑物少不了“0.618”，藝術上更是如此。舞臺上，演員既不是站在正中間，也 不會站在臺邊上，而是站在舞臺全長的0.618倍處，站在這一點上，觀眾看上去才愜意。我們所熟悉的米洛斯的“維納斯”、“雅典娜”女神像及“海姑娘”阿曼達等一些名垂千古的 雕像中，都可以找到“黃金比值”——0.618，因而作品達到了美的奇境。

達·芬奇的《蒙娜麗莎》、拉斐爾筆下溫和俊秀的圣母像，都有意無意地用上了這個比值。因為人體的很多部位，都遵循著黃金分割比例。人們公認的最完美的臉型——“鵝蛋”形，臉寬與臉長的比值約為0.618，如果計算一下翩翩欲仙的芭蕾演員的優美身段，可以得知，他們的腿長與身 長的比值也大約是0.618，組成了人體的美。

總而言之，黃金律歷來被染上瑰麗詭秘的色彩，也被人們稱為“天然合理”的最美妙的形式比例。

兩個簡單的例子、幾頁紙的文字是無法言說數字的奧妙，數學的神奇的。這些并不是巧合，這是人類智慧的結晶，更是人類對美的追求，不僅是對表象的美的追求，更是對學術中美的熱愛。數學很美，數字很神奇，是不可置否的。然而它與我們的學習、生活又是那樣密切，難道這些還不足以成為我們熱愛它的理由嗎？

參考書目及網站：

《數學文化欣賞》鄒庭榮編著 《數學中的美》吳振奎 《數學發展史》普羅克魯斯

黃金分割http://baike.baidu.com/view/52401.htm 142857 http://baike.baidu.com/view/812117.htm