第一篇：直通車推薦寶貝數量與費用關系

直通車推薦寶貝數量與費用關系

每個直通車賬戶都可以在后臺添加四個推廣計劃。每個推廣計劃中都可以添加2000多個寶貝。所以，對于一般的直通車賣家來說足夠了。

那么直通車推廣多少個寶貝才最合適－－質量得分最高，當然費用最低呢？

先來了解下直通車的是如何扣費的：

實際扣費＝下一名出價X下一名質量得分／您的質量得分 ＋ 0。01元

在投資總額一定的情況下，推薦多個寶貝的成本會大大降低。下面我們就一起來分析下。

降低單個寶貝推廣成本－這個要舉例說明哦，10個寶貝可能被點擊的概率是1個寶貝的10倍吧，根據公式（花費＝平均點擊費用×點擊）所以在花費金額不變的情況下是不是可以把出價降低10倍呢？當然這只是個例證，我們自然不會降低10倍的出價，只是說明了多推寶貝能夠適當的降低成本。這個例證還可以反過來用，就是在保證點擊率的情況下減少花費哦！

案例：推廣一個寶貝點擊要達到117時需要出價1。39元，總花費162。63元。

推廣25個寶貝總點擊達到148時每個寶貝的平均出價為0。39元，總花費57。2元。

如果大家自己在后臺仔細分析的話，就不難發現得出這個結論。想學習更多的直通車推廣知識，請關注流量客網官方網站！

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第二篇：數量關系講義

第一節數字拆分

一.數字加法拆分

1.某單位2011年招聘了65名畢業生，擬分配到該單位的7個不同的部門，假設行政部門分得的畢業生人數比其他部門都多，問行政部門分得的畢業生人數至少為多少名？

A10

B11

C12

D13 變形一：某單位2011年招聘了65名畢業生，擬分配到該單位的7個不同的部門，假設行政部門分得的畢業生人數比其他部門都少，問行政部門分得的畢業生人數至多為多少名？

變形二：某單位2011年招聘了65名畢業生，擬分配到該單位的7個不同的部門，假設行政部門分得的畢業生人數比其他部門都多，且每個部門分到的畢業生人數互不相同，問行政部門分得的畢業生人數至少為多少名？

變形三：某單位2011年招聘了65名畢業生，擬分配到該單位的7個不同的部門，假設行政部門分得的畢業生人數比其他部門都少，且每個部門分到的畢業生人數互不相同，問行政部門分得的畢業生人數至多為多少名？

變形四：某單位2011年招聘了65名畢業生，擬分配到該單位的7個不同的部門，且每個部門分到的畢業生人數互不相同，假設行政部門分得的人數為第四多，問行政部門分得的畢業生人數至多為多少名？

2.某連鎖企業在10個城市共有100家專賣店，每個城市的專賣店數量都不同。如果專賣店數量排名第5多的城市有12家專賣店，那么專賣店數量排名最后的城市，最多有幾家專賣店？ A2

B3

C4

D5 二.數字乘法拆分

3.趙先生34歲，錢女士30歲，一天，他們碰上了趙先生的三個鄰居，錢女士問起了他們的年齡，趙先生說：他們三人的年齡各不相同，三人的年齡之積是2450，三人的年齡之和是我倆年齡之和。問三個鄰居中年齡最大的是多少歲? A.42

B.45

C49

D50 4.孫兒孫女的平均年齡是10歲，孫兒年齡的平方減去孫女年齡的平方所得的數值，正好是爺爺出生年份的后兩位，爺爺生于上個世紀40年代。問孫兒孫女的年齡差是多少歲？

A.2

B.4

C.6

D.8

第二節工程問題

一.基本工程問題

1.3個人用3分鐘時間可以把3只箱子裝上車，按這個工作效率，用99分鐘把99只箱子裝上卡車需要幾個人？ A3

B9

C18

D99 2.一項工程，工作效率提高四分之一，完成這項工程的時間將由原來的十小時縮短到幾小時？

A4

B8

C12

D16 3.2臺大型收割機和4臺小型收割機在一天內可收完全部小麥3/10，8臺大型收割機和10臺小型收割機在一天內可收完全部小麥。如果單獨用大型收割機和單獨用小型收割機進行比較，要在一天內收完小麥，小型收割機要比大型收割機多用多少臺? A8

B10

C18

D20 二.全程合作工程問題

4.一項工程，甲一人做完需30天，甲、乙合作完成需18天，乙、丙合作完成需15天，甲、乙、丙三人共同完成該工程需多少天？ A10

B12

C8

D9 5.一項工程如果交給甲乙兩隊共同施工，8天能完成；如果交給甲丙兩隊共同施工，10天能完成；如果交給甲丁兩隊共同施工，15天能完成；如果交給乙丙丁三隊共同施工，6天就可以完成。如果甲隊獨立施工，需要多少天完成？ A.16

B.20

C.24

D.28 三.分階段工程問題

6.有20名工人修筑一段公路，計劃15天完成。動工3天后抽出5人去其他工地，其余人繼續修路。如果每人的工作效率不變，那么修完這段公路實際用多少天？ A.19天

B.18天

C.17天

D.16天

7.甲乙合作一項工作需要15天才能完成。現甲乙合作10天后，乙再單獨做6天，還剩下這項工作的1/10,則甲單獨做這項需要多少天？ A40

B38

C36

D32 四.兩項工程型問題

8.某市有甲乙丙三個工程隊，工作效率比為3:4:5。甲單獨完成A工程需要25天，丙單獨完成B工程需要9天。現由甲隊負責B工程，乙隊負責A工程，而丙隊先幫甲隊工作若干天后轉去幫助乙隊工作。如希望兩個工程同時開工同時竣工，則丙隊要幫乙隊工作多少天？ A 6

B 7

C8

D9

第三節濃度問題

一.溶液混合問題

1.某鹽溶液100克，加入20克水稀釋，濃度變為50%，然后加入80克濃度為25%的鹽溶液，此時，混合后的鹽溶液濃度為多少？ A.30%

B.40%

C.45%

D.50% 2.瓶中裝有濃度為20%的酒精溶液1000克，現在又分別倒入200克和400克的A、B兩種灑精溶液，瓶里的溶液濃度變為15%，已知A種酒精溶液的濃度是B種酒精溶液濃度的2倍。那么A種酒精溶液的濃度是多少? A.5%

B.6%

C.8%

D.10% 3.在某狀態下，將28g某種溶質放入99g水中恰好配成飽和溶液，從中取出1/4溶液加入4g溶質和11g水，請問此時濃度變為多少？ A.21.61%

B.22.05%

C.23.53%

D.24.15% 4.甲乙兩個容器中分別裝有17%的酒精溶液400克，9%的酒精溶液600克，從兩個容器中分別取出相同重量的酒精溶液倒入對方容器中，這時兩個容器的酒精濃度相同，則從甲容器倒入乙容器中的酒精溶液是多少？ A200

B240

C250

D260 二.等量揮發稀釋問題 5.一種溶液，蒸發掉一定量的水后，溶液的濃度為10%，再蒸發掉同樣多的水后，溶液濃度變為12%，第三次蒸發掉同樣多的水后，溶液的濃度將變為多少？ A.14%

B.17%

C.16%

D.15% 6.已知鹽水若干千克，第一次加入一定量的水后，鹽水濃度變為6％，第二次加入同樣多的水后，鹽水濃度變為4％，第三次再加入同樣多的水后鹽水濃度是多少？

A．3％

B．2.5％

C．2％

D．1.8％

第四節抽屜原理

1.在一個口袋里有10個黑球，6個白球，4個紅球，至少要取出幾個球才能保證其中有白球？

A14

B15

C17

D18 2.黑色布袋中裝有紅、黃、藍三種顏色的襪子各3種，如果閉上眼睛從布袋中拿這些襪子，為保證拿到兩雙（每雙顏色要相同）襪子，至少要拿多少只？ A5

B6

C7

D8 3.有紅黃綠三種顏色的手套各6雙，裝在一個黑色的布袋里，從袋子里任意取出手套來，為確保至少有2雙手套不同顏色，則至少要取出多少只手套？ A20

B25

C27

D30 4.有300名求職者參加高端人才專場招聘會，其中軟件設計類、市場營銷類、財務管理類和人力資源管理類分別有100、80、70和50人。問至少有多少人找到工作，才能保證一定有70名找到工作的人專業相同? A.71

B119

C258

D277

第五節計數模型

一.比賽問題

1.abcde這五個小組開展撲克比賽,每兩個小組之間都要比賽一場,到現在為止,a組己經比賽了4場,b組已經比賽了3場,c組已經比賽了2場,d組已經比賽1場,e組比了幾場? A0

B1

C2

D3 2.張、王、劉和李四人進行象棋比賽，每兩人之間都要賽一局。已知張勝了兩局，王平了三局，問劉和李加起來最多勝了幾局？ A0

B1

C2

D3 3.某羽毛球賽共有23支隊伍報名參賽，賽事安排23支隊伍抽簽兩兩爭奪下一輪的出線權,沒有抽到對手的隊伍輪空，直接進入下一輪。那么，本次羽毛球賽最后共會遇到多少次輪空的情況? A1

B2

C3

D4 二.植樹問題

4.某單位購買一批樹苗計劃在一段路兩旁植樹。若每隔5米種1棵樹，可以覆蓋整個路段，但這批樹苗剩20棵。若每隔4米種1棵樹且路尾最后兩棵樹之間的距離為3米，則這批樹苗剛好可覆蓋整個路段。這段路長為多少？ A195

B205

C375

D395 三.剪繩問題

5.一根繩子對折三次后，從中間剪斷，共剪成多少段？ A9

B6

C5

D3 6.李先生去10層樓的8層去辦事，恰趕上電梯停電，他只能步行爬樓。他從第1層爬到第4層用了48秒，請問以同樣的速度爬到第8層需要多少秒？ A112

B96

C64

D48 四.方陣問題

7.某學校的全體學生剛好排成一個方陣，最外層人數是108人，則這個學校共有多少名學生？

A724

B744

C764

D784 8.有一隊士兵排成若干層的中空方陣，外層人數共有60人，中間一層共有44人，則該方陣士兵的總人數是多少？ A156

B210

C220

D280 五.空瓶換酒

9.超市規定每3個空汽水瓶可以換一瓶汽水,小李有11個空汽水瓶,最多可以換幾瓶汽水？ A.5

B.4

C.3

D.2

第六節初等數學問題

一.牛吃草問題

1.一片草地（草以均勻速度生長），240只羊可以吃6天，200只羊可以吃10天，則這片草可供190只羊吃的天數是多少天？ A11

B12

C14

D15 2.某演唱會檢票前若干分鐘就有人開始排隊等候入場，而每分鐘來的觀眾人數一樣多。從開始檢票到等候隊伍消失，若同時開4個入場口需50分鐘，若同時開6個入場口則需30分鐘。問如果同時開7個入場口需幾分鐘？

A.18分鐘

B.20分鐘

C.22分鐘

D.25分鐘

二.盈虧問題

3.為加強綠色環保，某單位積極參加植樹活動。現有一批樹苗，若每人栽8棵，則剩下19棵；若每人栽9棵，則還少4棵。這批樹苗共有多少？ A186

B192

C203

D240 4.小王周末組織朋友自助游，費用均攤，結帳時，如果每人付450元，則多出100元;如果小王的朋友每人付430元，小王自己要多付60元才剛好，這次活動人均費用是多少？

A.437.5元

B.438.0元

C.432.5元

D.435.0元

三.雞兔同籠問題

5.雞和兔被關在同一籠子中，上有65個頭，下有198只腳，那么雞，兔各有多少只？

A28.37

B29.36

C30.35

D31.34 6.某地勞動部門租用甲、乙兩個教室開展農村實用人才計劃。兩教室均有5排座位，甲教室每排可坐10人，乙教室每排可坐9人。兩教室當月共舉辦該培訓27次，每次培訓均座無虛席，當月共培訓1290人次。問甲教室當月共舉辦了多少次這項培訓？

A.8

B.10

C.12

D.15 四.周期問題

7.把黑桃,紅桃,方片,梅花四種花色的撲克牌按黑桃10張,紅桃9張,方片7張,梅花5張的順序循環排列.問第2015張撲克牌是什么花色? A.黑桃

B.紅桃

C.梅花

D.方片

8.書架的某一層上有136本書，且是按照“3本小說、4本教材、5本工具書、7本科書、3本小說、4本教材??”的順序循環從左至右排列的。問該層最右邊的一本是什么書？

A.小說

B.教材

C.工具書

D.科技書

五.星期問題

9.2010年2月15日后第80天是？

A5月5日

B5月6日

C5月3日

D5月4日

六.分段計價

10.某市出租車運費計算方式如下：起步價2公里6元，2公里之后每增加1公里收費1．7元。6公里之后每增加1公里收費2．0元，不足1元按四舍五入計算。某乘客乘坐了31公里，應該付多少元車費? A63

B64

C65

D66

11.某市居民用電實行分段式收費，以人為單位設定了相同的基準用電度數，家庭人均用電量超過基準用電度數的部分按照基準電費的兩倍收取電費。某月，家庭5口人用電250度，電費175元；家庭3口人用電320，電費275元。該市居民每人的基準用電為多少度？ A50

B35

C30

D25 七．余數同余

12.四位數的自然數P滿足：除以9余2，除以8余2，除以7余2，則滿足條件的P有幾個？

A12

B15

C18

D20 13.有一個自然數X。除以3的余數是2.除以4的余數是3.問除以X的余數是多少？

A1

B5

C9

D11 14.一個三位數除以9余7，除以5余2，除以4余3.這樣的三位數有多少個？ A5

B6

C7

D8

第七節和差倍比

一.基本和差倍比

1.3月12日是植樹節，初三年級170名同學去參加義務植樹活動，如果每名男生平均一天能挖樹坑3個，每個女生平均一天能種樹7棵，正好是每個樹坑種上一棵樹，問該年級男女各多少人？

A115.55

B119.51

C130.40

D125.45 二.基本方程問題

2.某單位共有職工72人，年底考核平均分數為85分，根據考核分數，90分以上的職工評為優秀職工，已知優秀職工的平均分數為92分，其他職工的平均分數是80分，問優秀職工的人數是多少? A.12

B.24

C.30

D.42 3.某單位原有45名職工，從下級單位調入5名黨員職工后，該單位的黨員人數占總人數的比重上升了6個百分點。如果該單位又有2名職工入黨，那么該單位現在的黨員人數占總人數的比重為多少？ A.50%

B.40%

C.70%

D.60%

第八節平均數

一.基本平均數

1.一個房間里有10個人，平均年齡是27歲。另一個房間里有15個人，平均年齡是37歲。兩個房間的人合在一起，他們的平均年齡是多少歲？ A30

B31

C32

D33 2.有四個數，去掉最大的數，其余三個數的平均數是41，去掉最小的數，其余三個數的平均數是60，最大數與最小數的和是95.則這四個數的平均數是多少？ A49.75

B51.25

C53.75

D54.75 二.調和平均數 3.一輛汽車從A地到B地的速度為每小時60千米，返回時速度為每小時90千米，則它往返的平均速度為多少？ A64

B72

C75

D84 4.商店購進甲乙兩種不同的糖所用的錢數相等，已知甲種糖每千克6元，乙種每千克4元。如果把這兩種糖混在一起成為什錦糖，那么這種什錦糖每千克的成本是多少元？

A7

B8

C9

D10

第九節數列問題

一.等差數列求和

1.某條公交線路上共有10個車站，一輛公交車在始發站上了12個人，在隨后每一站上車的人數都比上一站少1人。到達終點站時，所有乘客均下了車。如果每個車站下車乘客數相同，那么有多少人在終點站下車？ A.7

B.9

C.10

D.8 2.在自然數1至50中，將所有不能被3除盡的數相加，所得的和是多少？ A865

B866

C867

D868 二.等差數列和項轉化

3.某天辦公桌上臺歷顯示是一周前的日期,將臺歷的日期翻到當天,正好所翻頁的日期加起來是168。那么當天是幾號? A20

B21

C27

D28 4.某成衣廠對9名縫紉工進行技術評比，9名工人的得分恰好成等差數列，9人的平均分是86分，前五名工人的得分之和是460分，那么前7名工人的得分之和是是多少？

A602

B623

C627

D631 三.等比數列

5.小趙，小錢，小孫，小李，小周五個人的收入依次成等比，已知小趙的收入是3000元，小孫的收入是3600元，那么小周比小孫的收入高多少？ A700

B720

C760

D780

第十節行程問題

一.基礎行程問題

1.甲每分鐘走80米。乙每分鐘走72米，兩人同時從A地出發到B地，乙比甲多用4分鐘。AB兩地相距多少米? A320

B288

C1440

D2880 2.小張和小王同時騎摩托車從A地向B地出發，小張的車速是每小時40公里，小王的車速是每小時48公里。小王到達B地后立即向回返，又騎了15分鐘后與小張相遇。那么A地與B地之間的距離是多少公里？ A.144

B136

C132

D128 3.一架飛機所帶的燃料最多可用6小時，飛去時順風，時速為1500km；回來時逆風，時速為1200Km,問這架飛機最多飛出去幾小時，就要往回飛？ A3750

B3900

C4000

D4200 4.AB兩山村之間的路不是上坡就是下坡，相距60千米。郵遞員騎車從A村到B村，用了3.5小時;再延原路返回，用了4.5小時。已知上坡時郵遞員車速是12千米/小時，則下坡的車速是多少？ A10

B12

C14

D20 5.一列長為280米的火車，速度為每秒20米，經過2800米的大橋，火車完全通過這座大橋需要多長時間？

A48

B2分20秒

C2分28秒

D2分34秒

二.拓展行程問題

6.甲乙丙三人沿著400米環形跑道進行800米跑比賽，當甲跑1圈時，乙比甲多跑了1／7圈。丙比甲少跑1/7圈。如果他們各自跑步的速度始終不變，那么，當乙到達終點時，甲在丙前面多少？

A、85米

B.90米

C.100米

D.105米

7.小王去一個離家10千米的地方，他每小時步行3千米,每步行50分鐘他要休息10分鐘，8點整出發，他幾點可以到目的地？ A12：00

B12:30

C12：35

D12：40 三.相對速度

8.兩港口相距450千米，甲航行要15小時，乙船行要12小時，甲因為有事先開2小時后，乙船出發追甲船，乙船要行多少千米才能追上甲船？ A300

B255

C240

D150 9.運動場的跑道一圈長400米，甲練習騎自行車，平均每分騎350米，乙練習跑步，平均每分跑250米，兩人從同一處同時同向出發，經過多少分鐘首次相遇？ A1

B2

C3

D4 10.一艘汽船往返于兩碼頭間，逆流需要10小時，順流需要6小時。已知船在靜水中的速度為12公里/小時。水流的速度是多少公里/小時？ A.2

B.3

C.4

D.5 11.一條執行考察任務的科考船，現從B地沿河駛向入海口，已知B地距人海口60千米。水速為每小時6千米，若船順流而下，則用4小時可以到達人海口，該船完成任務從人海口返回并按原速度航行4小時后，由于海水漲潮，水流方向逆轉，水速變為每小時3千米。則該船到達B地還需再航行多少小時? A5

B4

C3

D2 12.商場的自動扶梯以勻速由下往上行駛，兩個孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行駛的扶梯上，男孩每秒鐘向上走2個梯級，女孩每2秒鐘向上走3個梯級。結果男孩用40秒鐘到達，女孩用50秒鐘到達。則當扶梯靜止時，可看到的扶梯梯級有多少級？

A.80

B100

C120

D140 13.一支部隊排成長度為800米的隊列行軍，速度為80米/分。在隊首的通訊員以3倍于行軍速度跑步到隊尾，花1分鐘傳達命令后，以同樣的速度跑回到隊首。往返過程中通信員所花費的時間為？ A7.5

B8

C8.5

D10 四.典型行程問題

14.小王登山，上山的速度是每小時4千米，到達山頂后原路返回，速度為每小時6千米。設山路長為9千米，小王的平均速度為多少？ A5

B4.8

C4.6

D4.4 15.地鐵檢修車沿地鐵線路勻速前進，每6分鐘有一列地鐵從后面追上，每2分鐘有一列地鐵迎面開來。假設兩個方向的發車間隔和列車速度相同，則發車間隔是多少？

A．2分鐘

B．3分鐘

C．4分鐘

D．5分鐘

16.從甲乙兩車站同時相對開出第一輛公共汽車，此后兩站每隔8分鐘再開出一輛，依次類推。已知每輛車的車速相同而且都是勻速的，每輛車到達對方車站都需45分鐘。現有一乘客坐車從甲站開出的第一輛車去乙站，問他在路上會遇到幾輛從乙站開出的公共汽車？ A4

B5

C6

D7 17.甲從A地，乙從B地同時以均勻的速度相向而行，第一次相遇離A地6千米，繼續前進，到達對方起點后立即返回，在離B地3千米處第二次相遇，則AB兩地相距多少千米？

A10

B12

C18

D15 18.甲乙兩車同時從AB兩地相向而行，在距A地80千米處相遇，相遇后兩車繼續前進，甲車到達B地，乙車到達A地后均立即按原路返回，第二次在距A地60千米處相遇。求AB間路程 A130

B150

B180

D200

第十一節容斥原理

一.容斥原理兩集合容斥

1.某班對50名學生進行體檢，有20人近視，12人超重，4人既近視又超重。該班有多少人既不近視又不超重？ A22

B24

C26

D28 2.某科研單位共有68名科研人員，其中45人具有碩士以上學歷，30人具有高級職稱，12人兼而有之。沒有高級職稱也沒有碩士以上學歷的科研人員是多少人？ A13

B10

C8

D5 二.三集合容斥

3.某公司招聘員工，按規定每人至多可投考兩個職位，結果共42人報名，甲、乙、丙三個職位報名人數分別是22人、16人、25人，其中同時報甲、乙職位的人數為8人，同時報甲、丙職位的人數為6人，那么同時報乙、丙職位的人數為多少？

A.7人

B.8人

C.5人

D.6人

4.對39種食物中是否含有甲、乙、丙三種維生素進行調查，結果如下：含甲的有17種，含乙的有18種，含丙的有15種，含甲、乙的有7種，含甲、丙的有6種，含乙、丙9種，三種維生素都不含的有7種，則三種維生素都含的有多少種？

A.4

B.6

C.7

D.9 三.三集合容斥整體思維

5.某鄉鎮對集貿市場36種食品進行檢查，發現超過保質期的7種，防腐劑添加不合格的9種，外包裝不規范的6種，其中，兩項同時不合格的5種，三項同時不合格的2種，問三項全部合格的多少種？ A14

B21

C23

D32 6.某高校對一些學生進行問卷調查。在接受調查的學生中，準備參加注冊會計師考試的有63人，準備參加英語六級考試的有89人，準備參加計算機考試的有47人，三種考試都準備參加的有24人，準備選擇兩種考試都參加的有46人，不參加其中任何一種考試的都15人。問接受調查的學生共有多少人？ A120

B144

C177

D192 四.多集合容斥

7.建華中學共有1600名學生，其中喜歡乒乓球的有1180人，喜歡羽毛球的有1360人，喜歡籃球的有1250人，喜歡足球的有1040人，問以上四項球類運動都喜歡的至少有幾人？

A．20人

B．30人

C．40人

D．50人

第十二節排列組合

一.基礎排列組合

1.甲乙丙三個人到旅店住店，旅店里只有三個房間，恰好每個房間住一個人，則共有多少種住法？ A5

B6

C7

D8 2.把6個標有不同標號的小球放入三個大小不同的盒子里。大號盒子放3個，中號盒子放2個，小號盒子放1個，則有多少種方法？ A50

B60

C70

D40 二.分類分步型

3.三年級有5個班，四年級有6個班，五年級有3個班，王老師可以從中選擇不同年級的兩個班上課，那么他有多少種選擇方法？ A.45

B.63

C.120

D.48 4.有3個單位共訂300份報紙，每個單位最少訂99份，最多訂101份。一共有多少種不同的訂法？ A4

B5

C6

D7 5.小王的手機通訊錄上有一手機號碼，只記下前面8個數字為15903428。但他肯定，后面3個數字全是偶數，最后一個數字是6，且后3個數字中相鄰數字不相同，請問該手機號碼有多少種可能？ A.15

B.16

C.20

D.18 三.捆綁插空

6.ABCDE五個人排成一排，其中AB兩人必須站在一起。有多少種排法？ A120

B72

C48

D24 7.ABCDE五個人排成一排，其中AB不站在一起，有多少種排法？ A120

B72

C48

D24 8.7個人排成一排照相，要求甲乙丙不相鄰，有多少種不同的方法？ A1440

B720

C360

D180 四.分配插板法

9.把9個蘋果分給5個人，每人至少一個蘋果，那么不同的分法一共有多少種？ A30

B40

C60

D70 10某單位訂閱了30份學習材料發放給3個部門，每個部門至少發放9份材料。問一共有多少種不同的發放方法？

A.7

B.9

C.10

D.12 五.錯位排列型

11.小明給住在5個國家的5位朋友分別寫了一封信，這些信都裝錯了信封的情況共有多少種？

A 32

B 44

C 64

D 120 六.重復剔除型

12.將6個人分成三組。有多少分配方法？ A15

B30

C45

D90

第十三節概率問題

一.基礎計算型

1.匣中有4只球,其中紅球,黑球,白球各1只,另有1只紅,黑,白三色球,現從匣中任取2球,其中恰有1球有紅色的概率? A1/6

B2/3

C1/3

D1/2 2.將自然數1—100分別寫在完全相同的100張卡片上，然后打亂卡片，先后隨機取出4張，問這4張先后取出的卡片上的數字呈增序的幾率是多少? A、1/16

B、1/24

C、1/32

D、1/72 二.分類分步

3.小王和小張各加工了10個零件，分別有1個和2個次品，若從兩人加工的零件里各隨機取2個，則選出的4個零件中正好有2個次品的概率是多少？ A.小于25%

B.25%~35%

C.35%~45%

D.45%以上

4.甲某打電話時忘記了對方電話號碼最后一位數字，但記得這個數字不是“0”。甲某嘗試用其他數字代替最后一位數字，恰好第二次嘗試成功的概率是多少？ A.1/9

B.1/8

C.1/7

D.2/9 三.逆向計算

5.小王開車上班需經過4個交通路口，假設經過每個路口遇到紅燈的概率分別為0.1，0.2，0.25，0.4，他上班經過4個路口至少有一處遇到綠燈的概率是? A．0.988

B．0.899

C．0.989

D．0.998 6.甲乙兩人射擊的命中率都是0.6，他們對著目標各射擊一次，恰有1人擊中的概率是? A0.36

B0.48

C0.84

D1 四.期望

7.某商場以摸獎的方式回饋顧客，盒內有5個乒乓球，其中一個為紅色，2個為黃色，2個為白色，每位顧客從中任意摸出一個球，摸到紅球獎10元，黃球獎1元，白球無獎勵，則每一位顧客所獲獎勵的期望值為多少? A．10

B．1．2

C．2

D．2．4

第十四節幾何問題

一.長度

1.一個圓形牧場面積為3平方，牧民起碼以每小時18公里的速度圍著牧場外沿巡視一圈，需要多少分鐘? A12

B18

C20

D24 二.面積

2.一個正三角形和一個正六邊形周長相等，六邊形面積是三角形的幾倍？ A1

B1.5

C2

D2.5 三．體積

3.相同表面積的四面體，六面體，正十二面體，正二十面體體積最大的是？ A四面體

B六面體

C正十二面體

D正二十面體

第十五節經濟利潤問題

一.普通經濟利潤

1.甲乙兩件商品的成本共400元，分別百分之25和百分之40的利潤定價，然后分別以定價的9折，8.5折售出，共獲得65.6元的利潤，乙的售價是多少元？ A216.8

B285.6

C294.6

D272.8 2.某服裝如果降價200元之后再打8折出售，則每件虧50元。如果直接按6折出售，則不賺不虧。如果銷售該服裝想要獲得100%的利潤，需要在原價的基礎上加價多少元？

A.90

B.110

C.130

D.150 二.抽象經濟利潤

3.某商店的兩件商品成本價相同，一件按成本價多35%出售，一件按成本價少13%出售，則兩件商品各售出一件時盈利為多少? A.6%

B.8%

C.10%

D.12% 4.一商品的進價比上月低了5%，但超市仍按上月售價銷售，其利潤率提高了6個百分點，則超市上月銷售該商品的利潤率為？ A.12%

B.13%

C.14%

D.15%

三.價格最優

5.去某地旅游，旅行社推薦了以下兩個報價方案：甲方案成人每人1000元，小孩每人600元；乙方案無論大人小孩，每人均為700元。現有N人組團，已知1個大人至少帶3個小孩出門旅游，那么對于這些人來說？

A.只要選擇甲方案都不會吃虧

B.甲方案總是比乙方案更優惠

C.乙方案總是比甲方案更優惠

D.甲方案和乙方案一樣優惠

第十六節趣味問題

一.年齡問題

1.今年，哥哥和弟弟的年齡之和是35歲，哥哥在弟弟這么大的時候，哥哥的歲數是弟弟的2倍，問哥哥今年幾歲？ A20

B21

C22

D23 2.哥現在的年齡是弟弟當年年齡的三倍，哥哥當年的年齡與弟弟現在的年齡相同，哥哥與弟弟現在的年齡和為30歲哥現在的年齡是弟弟當年年齡的三倍，哥哥當年的年齡與弟弟現在的年齡相同，哥哥與弟弟現在的年齡和為30歲，問哥哥現在多少歲？

A15

B16

C18

D20 二.奇偶性 3.有7個杯口全部向上的杯子，每次將其中4個同時翻轉，經過幾次翻轉，杯口可以全部向下？

A.3次

B.4次

C.5次

D.幾次也不能

三.過河爬井

4.有42個人需要渡河，現僅有一只小船，每次只能載6人，但需要3個人劃船。請問一共需要幾次才能渡完？ A7

B9

C10

D13 5.有一只青蛙掉入一口深10米的井中。每天白天這只青蛙跳上4米晚上又滑下3米，則這只青蛙經過多少天可以從井中跳出？ A7

B8

C9

D10

第三篇：數量關系知識點總結

山東省考數量關系常用知識點總結

第一章 帶入與排除法 一，直接帶入法

直接帶入法常用于多位數問題，不定方程問題，同余問題，年齡問題，周期問題，復雜行程問題和和差倍比問題，并與其它運算方法相結合，帶入排除法不僅僅意味著把選項帶入題干，而且在計算過程中，一邊計算一邊比較答案選項，很可能算到一半答案就出來了。

二，倍數特性法

倍數特性法是一種特殊的帶入排除法

1，2，5—后一位； 4，25—后兩位； 8，,125—后三位 3—數字和除以三； 9—數字和除以9 7—末一位的兩倍與剩下的數之差為7的倍數

7--末三位與剩下數的差（大數減小數）是7的倍數 11—奇數位之和與偶數位之和的差是11的倍數（1）直接倍數法

兩個數的和為a，差為b，則兩個數分別為a+b/2，a-b/2.（2）因子倍數法

當題干中涉及小數的時候，相乘不一定保留原來的倍數關系，2和5因子相乘后會消失，但是3,7,9,11,13等質因子會一直存在

（3）比例倍數法（和差倍比）

若a:b=m:n，則說明a占m份，是m的倍數；b占n份是n的倍數，(m與n互質)a+b占m+n份，是m+n的倍數，a-b占m-n份是m-n的倍數 三，綜合特性法

大小特性，奇偶特性，尾數特性，余數特性，冪次特性，質數特性

（1）兩個數字和差為奇，二者奇偶相反；兩個數字和差為偶，二者奇偶相同。（2）兩個數字的和為奇數，二者差也為奇數；兩個數字和為偶數，二者差也為偶數

（3）正整數加，減，乘運算中，每個數最后N位，經過同樣運算，可以得到結果最后N位

經典例題：

奇偶運算基本法則 【基礎】奇數±奇數= ； 偶數±偶數= ； 偶數±奇數= ； 奇數±偶數=。【推論】

一、任意兩個數的和如果是奇數，那么差也是奇數；如果和是偶數，那么差也是偶數。

二、任意兩個數的和或差是奇數，則兩數奇偶相反；和或差是偶數，則兩數奇偶相同。

倍數關系核心判定特征

如果，則 a是m 的倍數； b是n 的倍數。

如果，則 a是m 的倍數； b是n 的倍數。如果，則應該是 m±n 的倍數。

【例1】兩個數的差是2345，兩數相除的商是8，求這兩個數之和？（）

A.2353 B.2896 C.3015 D.3456

【解析】：兩個數的差為奇數，所以兩個數的和也應該為奇數，排除掉B和D，兩數相除商為8，即a:b=8:1,所以a+b 是9的倍數，所以選C

【例2】：一單位組織員工乘車去泰山，要求每輛車上的員工數相等。起初，每輛車22人，結果有一人無法上車;如果開走一輛車，那么所有的旅行者正好能平均乘到其余各輛車上，已知每輛最多乘坐32人，請問單位有多少人去了泰山？（）

A.269 B.352

C.478 D.529

【解析】：每輛車22人，結果有一人無法上車，即總人數除以22余1，也就是總人數-1能被22整除，即能同時被2和11整除，首先排除掉B和C，A和D減1后都能被2整除，只要看下能不能被11整除即可，所以答案為D.【例3】某公司去年有員工830人，今年男員工人數比去年減少6%，女員工人數比去年增加5%，員工總數比去年增加3人，問今年男員工有多少人？

A.329 B.350

C.371 D.504

【解析】：這是2011年的國考題。如果設去年男員工人數為x時，那今年男員工人數則為（1-6%）x=0.94x。也就是說今年男員工人數含有0.94的因子，即能被0.94整除，答案選A。

所以熟練掌握數字特性法對于解決某一類數學運算非常有效，所以考生須熟記幾個非常常用的特性，比如因子、倍數、因子、比例特性。

【例22】（江蘇2006B-76）在招考公務員中，A、B兩崗位共有32個男生、18個女生報考。已知報考A崗位的男生數與女生數的比為5：3，報考B崗位的男生數與女生數的比為2：1，報考A崗位的女生數是（）。A.15 B.16 C.12 D.10

【答案】C，【解析】報考A崗位的男生數與女生數的比為5：3，所以報考A崗位的女生人數是3的倍數，排除選項B和選項D；代入A可發現不符合題意，所以選擇C。【例23】（上海2004-12）下列四個數都是六位數，X是比10小的自然數，Y是零，一定能同時被2、3、5整除的數是多少？（）

A.XXXYXX B.XYXYXY C.XYYXYY D.XYYXYX

【答案】B，【解析】因為這個六位數能被 2、5整除，所以末位為0，排除A、D；因為這個六位數能被3整除，這個六位數各位數字和是3的倍數，排除C，選擇B。【例24】（山東2004-12）某次測驗有50道判斷題，每做對一題得3分，不做或做錯一題倒扣1分，某學生共得82分，問答對題數和答錯題數（包括不做）相差多少？（）A.33 B.39 C.17 D.16

【答案】D，【解析】答對的題目+答錯的題目=50，是偶數，所以答對的題目與答錯的題目的差也應是偶數，但選項A、B、C都是奇數，所以選擇D。

【例25】（國2005一類-

44、國2005二類-44）小紅把平時節省下來的全部五分硬幣先圍成一個正三角形，正好用完，后來又改圍成一個正方形，也正好用完。如果正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬幣，則小紅所有五分硬幣的總價值是多少元？（）A.1元 B.2元 C.3元 D.4元

【答案】C，【解析】因為所有的硬幣可以組成三角形，所以硬幣的總數是3的倍數，所以硬幣的總價值也應該是3的倍數，結合選項，選擇C。

【注一】很多考生還會這樣思考：“因為所有的硬幣可以組成正方形，所以硬幣的總數是4的倍數，所以硬幣的總價值也應該是4的倍數”，從而覺得答案應該選D。事實上，硬幣的總數是4的倍數，一個硬幣是五分，所以只能推出硬幣的總價值是4個五分即兩角的倍數。

【注二】 本題中所指的三角形和正方形都是空心的。

【例26】（國2002A-6）1998年，甲的年齡是乙的年齡的4倍。2002年，甲的年齡是乙的年齡的3倍。問甲、乙二人2000年的年齡分別是多少歲?（）

A.34歲，12歲 B.32歲，8歲 C.36歲，12歲 D.34歲，10歲

【答案】D，【解析】由隨著年齡的增長，年齡倍數遞減，因此甲、乙二人的年齡比在3-4之間，選擇D。

【例27】（國2002B-8）若干學生住若干房間，如果每間住4人則有20人沒地方住，如果每間住8人則有一間只有4人住，問共有多少名學生？（）。

A.30人 B.34人 C.40人 D.44人

【答案】D，【解析】由每間住4人，有20人沒地方住，所以總人數是4的倍數，排除A、B；由每間住8人，則有一間只有4人住，所以總人數不是8的倍數，排除C，選擇D。

【例28】（國2000-29）一塊金與銀的合金重250克，放在水中減輕16克。現知金在水中重量減輕1/19，銀在水中重量減輕1／10，則這塊合金中金、銀各占的克數為多少克？（）A.100克，150克 B.150克，100克 C.170克，80克 D.190克，60克 【答案】D，【解析】現知金在水中重量減輕1/19，所以金的質量應該是19的倍數。結合選項，選擇D。

【例29】（國1999-35）師徒二人負責生產一批零件，師傅完成全部工作數量的一半還多30個，徒弟完成了師傅生產數量的一半，此時還有100個沒有完成，師徒二人已經生產多少個？（）A.320 B.160 C.480 D.580

【答案】C，【解析】徒弟完成了師傅生產數量的一半，因此師徒二人生產的零件總數是3的倍數。結合選項，選擇C。

【例30】（浙江2005-24）一只木箱內有白色乒乓球和黃色乒乓球若干個。小明一次取出5個黃球、3個白球，這樣操作N次后，白球拿完了，黃球還剩8個；如果換一種取法：每次取出7個黃球、3個白球，這樣操作M次后，黃球拿完了，白球還剩24個。問原木箱內共有乒乓球多少個?（）A.246個 B.258個 C.264個 D.272個

【答案】C，【解析】每次取出7個黃球、3個白球，這樣操作M次后，黃球拿完了，白球還剩24個。因此乒乓球的總數=10M+24，個位數為4，選擇C。

【例34】（北京社招2005-11）兩個數的差是2345，兩數相除的商是8，求這兩個數之和？（）A.2353 B.2896 C.3015 D.3456 【答案】C，【解析】兩個數的差是2345，所以這兩個數的和應該是奇數，排除B、D。兩數相除得8，說明這兩個數之和應該是9的倍數，所以答案選擇C。

【例35】（北京社招2005-13）某劇院有25排座位，后一排比前一排多2個座位，最后一排有70個座位。這個劇院共有多少個座位？（）A.1104 B.1150 C.1170 D.1280 【答案】B，【解析】劇院的總人數，應該是25個相鄰偶數的和，必然為25的倍數，結合選項選擇B。

【例36】（北京社招2005-17）一架飛機所帶的燃料最多可以用6小時，飛機去時順風，速度為1500千米/時，回來時逆風，速度為1200千米/時，這架飛機最多飛出多少千米，就需往回飛？（）A.2000 B.3000 C.4000 D.4500 【答案】C，【解析】逆風飛行的時間比順風飛行的時間長，逆風飛行超過3小時，順風不足3小時。飛機最遠飛行距離少于150033＝4500千米；飛機最遠飛行距離大于120033＝3600千米。結合選項，選擇C。

【例37】（北京社招2005-20）紅星小學組織學生排成隊步行去郊游，每分鐘步行60米，隊尾的王老師以每分鐘步行150米的速度趕到排頭，然后立即返回隊尾，共用10分鐘。求隊伍的長度？（）A.630米 B.750米 C.900米 D.1500米 【答案】A，【解析】王老師從隊尾趕到隊頭的相對速度為150+60＝210米／分；王老師從隊頭趕到隊尾的相對速度為150-60＝90米／分。因此一般情況下，隊伍的長度是210和90的倍數，結合選項，選擇A。

第二章

轉化歸納法

一，化歸為一法

如果題干中沒有涉及某個具體量的大小，并且不影響最終結果，我們可以用化歸為一法，將這個量設為某一個計算的數值。

一般應用于工程問題，混合比例問題，和差倍比問題，加權平均數問題，流水行船問題，往返行程問題，幾何問題和經濟利潤問題。

※其中，設“1”思想是設“1”或設“100”或設“最小公倍數”，（每題只能設一次）二，比例假設法—利用數字矛盾

盡管假設數字會與題干已知條件矛盾，但我們仍然可以強行假設某一個數字，然后利用倍數關系對推算出來的矛盾雙方進行比較，按照比例放大或縮小即可，假如一次假設計算過程中出現分數或小數，可以二次假設或重新假設方便計算的量。※（采用假設比例法時，必須有一個量固定不變，其它兩個量成比例關系）三，工程問題（重點必考點）

工程問題是研究工作量，工作時間和工作效率之間的關系 工作量=工作時間*工作效率

核心思想：化歸為一法，比例假設法，特值法

主要分類：1.基礎運算型；2.同事合作型；3.先后合作型；4.交替合作性（注意周期）5.撤出加入型；6.兩項工程型；7.三項工程型 工程問題經典題型：

1.某行政村計劃15天完成春播任務1500畝，播種5天後，由於更新機械，工作效率提高25%，問這個行政村會提前幾天完成這1500畝的春播計劃？ A.4 B.3 C.2 D.1 2.某工廠的一個生產小組，當每個工人在自己的工作崗位上工作時，9小時可以完成一項生產任務。如果交換工人甲和乙的工作崗位，其他人的工作崗位不變時，可提前1小時完成任務；如果交換工人丙和丁的工作崗位，其他人的工作崗位不變時，也可提前1小時完成任務。如果同時交換甲和乙、丙和丁的工作崗位，其他人的工作崗位不變，可以提前多少小時完成這項任務？ A.1.6 B.1.8 C.2.0 D.2.4 3.有20人修築一條公路，計劃15天完成。動工3天後抽出5人植樹，留下的人繼續修路。如果每人工作效率不變，那麼修完這段公路實際用多少天？ A.16 B.17 C.18 D.19 4.單獨完成某項工作，甲需要16小時，乙需要12小時，如果按照甲、乙、甲、乙、??的順序輪流工作，每次1小時，那麼完成這項工作需要多長時間？ A.13小時40分鍾B.13小時45分鍾C.13小時50分鍾D.14小時

5.甲、乙兩車運一堆貨物。若單獨運，則甲車運的次數比乙車少5次；如果兩車合運，那麼各運6次就能運完，甲車單獨運完這堆貨物需要多少次？ A.9 B.10 C.13 D.15 6.某計算機廠要在規定的時間內生產一批計算機，如果每天生產140臺，可以提前3天完成；如果每天生產120臺，要再生產3天纔能完成，問規定完成的時間是多少天？ A.30 B.33 C.36 D.39 7.甲、乙兩單位合做一項工程，8天可以完成。先由甲單位獨做6天後，再由兩單位合做，結果用6天完成了任務。如該工程由乙單位獨做，則需多少天纔能完成任務？ A.8 B.12 C.18 D.24 8.甲1天做的工作等於乙2天做的工作，等於丙3天做的工作。現有一工程，甲2天可完成。問乙與丙合作要多少天完成？ A.12天 B.5天 C.2.4天 D.10天

9.一只木桶，上方有兩個注水管，單獨打開第一個，20分鍾可注滿木桶；單獨打開第二個，10分鍾可注滿木桶。若木桶底部有一個漏孔，水可以從孔中流出，一滿桶水用40分鍾流完。問當同時打開兩個注水管，水從漏孔中也同時流出時，木桶需經過多長時間纔能注滿水？

A.8分鍾 B.9分鍾 C.10分鍾 D.12分鍾

10.一個游泳池，甲管注滿水需6小時，甲、乙兩管同時注水，注滿要4小時。如果只用乙管注水，那麼注滿水需多少小時？ A.14 B.12 C.10 D.8 答案及解析：

1.中公解析：本題答案選C。原來的工作效率為100畝/天，提高25%後則每天播種125畝，剩餘的1000畝需要8天播完，因此可以提前2天完成任務。

3.中公解析：本題答案選D。設每人每天乾活1個單位，那麼，題意可以理解為15人乾活需要乾滿20天。因為有5個人另乾了3天，即相當於15個人乾了一天的活，所以15人現在只需乾活20-1＝19天。

6.中公解析：本題答案選D。生產的計算機總量不變，每天生產120臺比每天生產140臺多用6天，故每天生產140臺需要12036÷(140-120)=36天，故規定時間為36+3=39天。本題也可用方程法求解。

第三章 典型解題技巧 一，十字相乘法—本質就是一個簡化方程

※ 算出來的是總量比，如要算單位比，再除以單價。二，構造設定法（與極端思維法配合使用）

根據題目要求，直接進行構造，如有必要，可以回頭驗證構造結果。我們構造的只是滿足題目的情況之一，不是唯一。

三，極端思維法（當題干中出現至多，至少，最多，最少，最大，最小時）使用極端構造思維構造極端思維時可能得到的是非整數解：

如果題目問最大時，就往小取整；如果題目問最小時，就往大取整。四，枚舉列舉法

1.直接枚舉說滿足條件的所有情況（當滿足條件情況較少時用）

2.當答案要求數字很大時，我們可從較小的數字出發，總結歸納出通用規律 N條直線可將平面分割成n(n+1)/2個部分

（2，4，7，11,16,22,29,37,46,56）差為（2,3,4,5,6,7,8,9,10）五，逆向思維法（除以2，加1→減1，乘以2）

1.逆向推導型：將運算過程完全顛倒，從后往前逆推。

2.正反互補型：若“正面”不好求解，用總體剔除與之互補的“反面”求解。十字相乘法：

十字相乘法用來解決一些比例問題特別方便。但是，如果使用不對，就會犯錯。

（一）原理介紹

通過一個例題來說明原理。

某班學生的平均成績是80 分，其中男生的平均成績是75，女生的平均成績是85。求該班男生和女生的比例。方法一：男生一人，女生一人，總分160 分，平均分80 分。男生和 女生的比例是l : 1。

方法二：假設男生有A，女生有B。(A * 75 + B85)/(A 十B)= 80 整理后A = B，因此男生和女生的比例是1 : 1。方法三：

男生：75 5 80 女生：85 5 男生：女生= 1 : l。

一個集合中的個體，只有2 個不同的取值，部分個體取值為A，剩余部分取值為B。平均值為C。求取值為A 的個體與取值為B 的個體的比例。假設A 有x , B 有（1 一X）。

AX + B(1 一X)= C X =（C 一B)/(A 一B)1 一X =（A 一C)/ A 一B 因此：X :(l 一X)=(C 一B):(A 一C)上面的計算過程可以抽象為： A C 一B C B A 一C 這就是所謂的十字相乘法。十字相乘法使用時要注意幾點：

第一點：用來解決兩者之間的比例關系問題。

第二點：得出的比例關系是基數的比例關系。

第三點：總均值放中央，對角線上，大數減小數，結果放對角線上。．某體育訓練中心，教練員中男占90 %，運動員中男占80 %，在教練員和運動員中男占82 %，教練員與運動員人數之比是 ： A 2: 5 B l: 3 C 1: 4 D l: 5 答案：C，分析：

男教練：90 % 2 % 82 % 男運動員：80 % 8 % 男教練：男運動員＝2 % : 8 ％= 1 ：4 2 ．某公司職員25 人，每季度共發放勞保費用15000 元，己知每個男職必每季度發580 元，每個女職員比每個男職員每季度多發50 元，該公司男女職員之比是多少 A.2: 1 B 3: 2 C 2: 3 D.1: 2 答案：B 分析：職工平均工資15000 / 25 = 600 男職工工資：580 30 600 女職工工資：630 20 男職工：女職工＝30 : 20 = 3 : 2 3 ．某城市現在有70 萬人口，如果5 年后城鎮人口增加4 %，農村人口增加5.4 %，則全市人口將增加4.8 ％。現在城鎮人口有（）萬。A 30 B 31.2 C 40 D 41.6 答案A 分析：城鎮人口：4 % 0.6 %

4.8 % 農村人口：5.4 % 0.8 % 城鎮人口：農村人口=0.6 % ：0.8 ％=3 : 4 70 *(3 / 7)= 30 4 ．某班男生比女生人數多80 %，一次考試后，全班平均成級為75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20 %，則此班女生的平均分是： A 84 分 B 85 分 C 86 分 D 87 分 答案：A 分析：假設女生的平均成績為X，男生的平均Y。男生與女生的比例是9：5。男生：Y 9 75 女生：X 5 根據十字相乘法原理可以知道，X=84 5 ．某高校2006 畢業學生7650 名，比上增長2 % ．其中本科畢業生比上減少2 % ．而研究生畢業數量比上增加10 % ,那么，這所高校今年畢業的本科生有：

A 3920 人B 4410 人C 4900 人D 5490 人 答案：C 分析：去年畢業生一共7500 人。7650 /(1 + 2 %)= 7500 人。本科生：-2 % 8 % 2% 研究生：10 % 4 % 本科生：研究生=8 % : 4 % = 2 : 1。7500 *(2 / 3)= 5000 5000 * 0.98 = 4900 6 資料分析：

根據所給文字資料回答121 一125 題。

2006 年5 月份北京市消費品市場較為活躍，實現社會消費品零售額272.2 億元，創今年歷史第二高。據統計，l-5 月份全市累計實現社會消費品零售額1312.7 億元，比去年同期增長12.5 ％。

汽車銷售繼續支撐北京消費品市場的繁榮。5 月份，全市機動車類銷售量為5.4 萬輛，同比增長23.9 ％。據對限額以上批發零售貿易企業統計，汽車類商品當月實現零售額32.3 億元，占限額以上批發零售貿易企業零售額比重的20.3 ％。

據對限額以上批發零售貿易企業統計，5 月份，家具類、建筑及裝潢材料類銷售延續了4 月份的高幅增長，持續旺銷，零售額同比增長了50 ％。其中，家具類商品零售額同比增長27.3 %，建筑及裝演材料類商品零售額同比增長60.8 ％。同時由于季節變換和節日商家促銷的共同作用，家電銷售大幅增長，限額以上批發零售貿易企業家用電器和音像器材類商品零售額同比增長13.6 ％。

．北京市2006 年5 月份限額以上批發零售貿易企業社會消費品零售額占社會消費品零售總額的百分比約為：

A.50.5 % B.58.5 % C , 66.5 % D.74.5 % 答案：B 分析：(32.3 / 2 0.3 %)/ 272.2。結果和160 / 270 相當。接近60 ％。所以選B。

．若保持同比增長不變，預計北京市2007 年前5 個月平均每月的社會消費品零售額：

A ．將接近255 億元B，將接近280 億元C ．將接近300 億元D ．將突破300 億元 答案：C 分析：(1312.5 / 5)*(l + 12.5 %）。12.5 ％=l / 8。（1312.5 * 9)/ 40 接近300。

2006 年5 月份，限額以上批發零售貿易企業中，家具類商品零售額占家具類和建筑及裝演材料類商品零售額的比例是：A.27.4 % B.29.9 % C.32.2 % D.34.6 % 答案：A 分析：兩種方法。

方法一：比較常規的做法假設2005 年家具類所占比例為X。X *(l + 27.3 %)+(l 一X)*(l + 60.8 %)= l + 50 % X = 32.2 ％。

【32.2 % *(l + 27.3 %)】/【32.2 % *(l + 27.3 %)+(l 一32.2 %)*(1 + 60.8 % 0)】= 27.4 % 整個過程計算下來，至少5 分鐘。方法二：十字相乘法原理．最快． 家具27.3 %，近似為27 %;建筑60.8 %，近似為61 ％。

家具：27 % 11% 50 % 建筑：61 % 23 % 家具：建筑＝11 % : 23 ％大約等于1 : 2。注意這是2006 年4 月份的比例。建筑類2006 年所占比例為：l *(l + 27.3 %)/ [ 1 *(l + 27.3 %)+ 2 *(l + 60.8 %)= 1.27 /(1.27 + 3.2)= 1.27 / 4.5 = 28 ％。和A 最接近。124 ．下列說法正確的是：.2006 年1-5 月份北京市每月平均社會消費品零售額比去年同期增長12.5 % 11.2006 年5 月份家具類、建筑及裝潢材料類、家電類限額以上批發零售貿易企業零售額的增長率相比較，建筑及裝潢材料類增長最快 1ll.2005 年，北京市機動車類銷售量約為4.36 萬輛

A ．僅1 B ．僅11 C.I 和11 D.II 和111 答案：C 分析：1 一5 月份全市累計實現社會消費品零售額1312.7 億元，比去年同期增長12.5 ％。累計增長A/B＝同比增長（A/5)/(B / 5）。I 正確,11 正確，文中直接找答案。5.4 /(1 + 23.9 %）約等于4.36。125 ．下列說法肯定正確的是：

A.2006 年前5 個月中，5 月份的社會消費品零售額最高

B.2006 年5 月，幾類商品的零售額都比前4 個月高

C.2006 年5 月，限額以上批發零售貿易企業零售額比前4 個月都高

D ．至少存在一類商品，其2006年前5個月的零售額同比增長不高于12.5%，答案：D 分析：1 一5 月份全市累計實現社會消費品零售額1312.7 億元，比去年同期增長12.5 %，而5 月份各類零售增長率都超過了12.5 ％。因此可以肯定，至少存在一類商品，其2006 年前5 個月的零售額同比增長不高于12.5 ％。構造題型題目解析：

當題干中出現“至少??(才)保證??”、“至少??”、“最??最多(少)??”、“排名第??最多(少)”等字眼時，均可判定該題為最值問題。

常見題型：

1.最不利構造：

特征：至少(最少)??保證；方法：答案=最不利的情形+1。

2.多集合反向構造：

特征：都??至少??；方法：反向、加和、做差。

3.構造數列：

特征：最??最??，排名第??最??；方法：構造一個滿足題目要求的數列

2012-河北42.要把21棵桃樹栽到街心公園里5處面積不同的草坪上，如果要求每塊草坪必須有樹且所栽棵數要依據面積大小各不相同，面積最大的草坪上至少要栽幾棵？()

A.7 B.8

C.10 D.11

【答案】A

【解析】本題屬于構造數列題型。要使面積最大的草坪栽種的樹最少，就要保證其他的草坪栽種的樹最多，設面積最大的草坪至少栽種X棵，則其他的草坪可栽種X－1,X－2, X－3,X－4棵，則X＋X－1＋X－2＋X－3＋X－4=21，即5X－10=21，X=6.2，而X必須取整數，所以X=7。因此，答案選擇A選項。

2011-河北-44.某中學在高考前夕進行了四次語文模擬考試，第一次得90分以上的學生為70%，第二次是75%，第三次是85%，第四次是90%，請問在四次考試中都是90分以上的學生至少是多少？()

A.40% B.30%

C.20% D.10%

【答案】C

【解析】設共有100人考試，則得90分以上的同學依次有70、75、85、90人，因此沒過90分的依次有30、25、15、10人，則沒過90分的最多有30+25+15+10=80(人)，故90分以上的至少有100-80=20(人)，占20%。因此，答案選擇C選項。

2010-河北-39.某中學初二年級共有620名學生參加期中考試，其中語文及格的有580名，數學及格的有575名，英語及格的有604名，以上三門功課都及格的至少有多少名同學？()

A.575 B.558

C.532 D.519

【答案】D

【解析】要使三門功課都及格的人數最少，則需要三門功課的人中，每人都只有一門不及格，不及格的人數總數為(620-575)+(620-580)+(620-604)＝101(人)，故三門功課都及格的人數最少為620-101＝519(名)。因此，答案選擇D選項。

2009-河北-108.100名村民選一名代表，候選人是甲、乙、丙三人，每人只能投票選舉一人，得票最多的人當選。開票中途累計前61張選票中，甲得35票，乙得10票，丙得16票。在尚未統計的選票中，甲至少再得多少票就一定當選？()

A.11 B.12

C.13 D.14

【答案】A

【解析】本題屬于構造數列題型。甲至少再得多少票就一定當選的意思就是票數最多的甲最少得多少張票。我們可以發現對甲最有競爭力的就是丙，所以最極端的情況就是甲取得了x票，剩下的39-x全部投給了丙，這樣甲也當選了。即滿足35+x＞16+39-x，即2X＞20，X＞10，所以甲至少要得11張。因此，答案選擇A選項。

第四章 方程與不等式 方程法是整個數學運算的第一重要方法（通常可知列不求）

主要題型：盈虧問題，雞兔同籠問題，和差倍比問題，牛吃草問題 一，基本方程思想（巧設未知數，快速解方程）

1.當方程有小數或是分數而計算復雜時，同乘化整。

2.方程組中若存在多個未知數，盡量消去無關未知數，保留所求未知數。3.方程中存在一些無關未知數，完全可以作為整體直接消去。4.比例型的方程形式，可能存在很好的化簡方法。5.未知數轉變且無法消除時，可直接令x=0得到答案。6.若題目中存在xy這樣的乘積項，先化簡或消掉。

（1）A/B=C/D→A+C/B+D=A-C/B-D(當兩個分子或分母的和或差為常數時)（2）A/B=C/D→A±B/B=C±D/D→A/B±A=C/D±C（條件同上）整體解方程—整體代換，無需求出每一個未知數。逆向解方程—倒推法。

二，不定方程（組）--最新考察熱點 多元不定方程或方程組：特值代入法；

二元不定方程：帶入試值法，令最復雜的一項為“0”； 三，不等式—直接解出滿足不等式的范圍

列出不等式，找好是“＞”還是“≥”，是“＜”還是“≤”。四，盈虧與雞兔同籠問題

列方程，解方程是最高效，最準確的方法。五，和差倍比

第五章 基礎運算模塊 一，純粹計算問題 基本公式：

a2-b2=（a+b）（a-b）；a+b≥2跟下ab；ab≤（a+b/2）2→（a-b）2≥0；(a±)2= a2+2ab+b2； a*b*c≤（a+b+c/3）3

a的m次方*a的n次方=a的m+n次方，a的m次方的n次方=a的m*n次方；（a*b）的n次方= a的n次方+b的n次方

※ 棄九法※（當整數范圍內+，-，*三種運算方法中可使用）

1.在計算中，將計算過程中數字全部除以9，留其余數進行相同的計算；

2.計算中如有數字不在0—8之間，通過加上或減去9或9 的倍數調整到0—8之間； 3.將選項除以9留其余數，與上面計算結果對照，得到答案。注意循環數的求法，因數分解！※ 裂項相消公式

B/M*(M+A)=(1/M-1/M+A)*B/A(“小分之一”減去“大分之一”乘以二者差分之分子)在比較復雜的計算中，將相近的數化為相同，從而作為一個整體相抵消

乘方尾數的算法：地鼠留個位，指數除以4，留余數，余數為零，去4！1.直接計算題；2.棄九推斷；3.乘法分配率；4.循環數字； 5.比較大小； 6.裂項相消；7.整體消去； 8.乘方尾數。二，運算拓展模型

1.定義運算：XΦY,X△Y，2.抽象函數f（x）3.恒等變換； 4.二次方程； 5.極值求解 一，數列綜合運算 1.等比數列：

設首項為；末項為 , 項數為 , 公差為 , 前 項和為

則有:① ② ③ ④ 其中 ：

=平均數*項數=中位數*項數；

通項公式：

等差數列奇數項求和=項數2 2.等比數列

等比數列求和公式：an=a1*q^(n-1)

第六章 計數問題模塊 一，容斥原理

（一）兩集合容斥原理

1.當題目中出現①滿足條件A的數目，②滿足條件B的數目，③同時滿足A，B的數目，④條件A,B都不滿足的數目，⑤總數

公式：滿足A+滿足B-滿足A,B+A，B都不滿足=總數 2.若出現：只滿足條件A或只滿足條件B→用兩集合圖示標數。

（二）三集合容斥原理

1.關于滿足兩個條件的描述，如果題目只涉及①滿足A，B條件；②滿足B，C條件；③滿足A，C條件的數目→標準公式

2.若題目涉及“只滿足條件A，B的數目”，一般采用三集合圖示標數； 3.若題目涉及“滿足一個條件的數目”和“滿足兩個條件的數目”； 只給出一個總數而不是分項數字，一般用“三集合整體重復型”。

※標準型公式：1.兩個集合的容斥關系公式：A∪B = A+BA∩BC∩A +A∩B∩C 如左邊代表至少滿足三個條件之一的情況，也等于總數減去三個條件都不滿足的情況；

（三）三集合圖示標數型

1.特別注意“滿足某條件”和“僅滿足某條件”的區別； 2.特別注意有沒有“三個條件都不滿足”的情況； 3.標數時，注意從中間向外圍標記。

（四）三集合整體重復型

在三集合容斥題型中，假設三個條件的元素數量分別是A,B,C,而至少滿足三個條件之一的元素的總量為W；其中：滿足一個條件的元素數量為X，滿足兩個人條件的元素數量為Y，滿足三個條件的元素數量為Z。① W=X+Y+Z;② A+B+C=X*1+Y*2+Z*3 詳細推理：

1、等式右邊改造 = {[（A+BB∩C]-C∩A }+ A∩B∩C

2、文氏圖分塊標記如右圖圖：1245構成A，2356構成B，4567構成C

3、等式右邊（）里指的是下圖的1+2+3+4+5+6六部分： 那么A∪B∪C還缺部分7。

4、等式右邊[]號里+C（4+5+6+7）后，相當于A∪B∪C多加了4+5+6三部分，減去B∩C（即5+6兩部分）后，還多加了部分4。

5、等式右邊{}里減去C∩A（即4+5兩部分）后，A∪B∪C又多減了部分5，則加上A∩B∩C（即5）剛好是A∪B∪C。如圖所示：

二，基礎排列組合

加法原理 排列：與順序有關，乘法原理 組合：與順序無關，排列公式： 組合公式：

逆向公式：滿足條件的情況—不滿足條件的情況數。三，拓展排列組合

1.相鄰問題—捆綁法—先考慮相鄰元素，然后將其視為一個整體考慮；

2.不鄰問題—插孔法—先考慮剩余元素，然后將不鄰元素進行插孔（路燈熄滅問題）3.錯位配列—0,1,2,9,44,256； 4.重復剔除型

平均分租時，一旦有N個組人數相同，最后都要除以Ann以剔除重復情況，例：將6個人平均分成3組，請問一共有多少種分法？ C62*C42*C22/A33=15 5.圓桌排列：N個人排成一圈，有Ann/n=（n-1）！種方法；

6.分配插板型（將M個元素，分到N組，每組至少分一個），Cm-1，n-1 需滿足條件：①元素相同，②分配到不同的組，③每個組至少分一個（三者缺一不可）

① 如果沒有至少分到一個，只說把6個蘋果分到3組，可以先借三個蘋果沒人分一個，再按照公式去分；

② 如果題干說至少分得N的元素，則分給每組N-1元素，構造成每組至少分得一個的情況。經典例題分析： 難點：

⑴從千差萬別的實際問題中抽象出幾種特定的數學模型，需要較強的抽象思維能力； ⑵限制條件有時比較隱晦，需要我們對問題中的關鍵性詞（特別是邏輯關聯詞和量詞）準確理解；

⑶計算手段簡單，與舊知識聯系少，但選擇正確合理的計算方案時需要的思維量較大； ⑷計算方案是否正確，往往不可用直觀方法來檢驗，要求我們搞清概念、原理，并具有較強的分析能力。例題

【例1】 從1、2、3、??、20這二十個數中任取三個不同的數組成等差數列，這樣的不同等差數列有多少個？

分析：首先要把復雜的生活背景或其它數學背景轉化為一個明確的排列組合問題。設a,b,c成等差，∴ 2b=a+c，可知b由a,c決定，又∵ 2b是偶數，∴ a,c同奇或同偶，即：分別從1，3，5，??，19或2，4，6，8，??，20這十個數中選出兩個數進行排列，由此就可確定等差數列，A（10,2）*2=90*2，因而本題為180。

【例2】 某城市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的間距相同，若規定只能向東或向北兩個方向沿圖中路線前進，則從M到N有多少種不同的走法? 分析：對實際背景的分析可以逐層深入：

（一）從M到N必須向上走三步，向右走五步，共走八步；

（二）每一步是向上還是向右，決定了不同的走法；

（三）事實上，當把向上的步驟決定后，剩下的步驟只能向右；

從而，任務可敘述為：從八個步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數。∴ 本題答案為：C（8,3）=56。分析

分析是分類還是分步，是排列還是組合

注意加法原理與乘法原理的特點，分析是分類還是分步，是排列還是組合。【例3】在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A，B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長，要求A，B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有多少種？ 分析：條件中“要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個條件不容易用一個包含排列數，組合數的式子表示，因而采取分類的方法。第一類：A在第一壟，B有3種選擇；

第二類：A在第二壟，B有2種選擇； 第三類：A在第三壟，B有1種選擇，同理A、B位置互換，共12種。

【例4】從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有多少種？（A)240(B)180(C)120(D)60 分析：顯然本題應分步解決。

（一）從6雙中選出一雙同色的手套，有6種方法；

（二）從剩下的十只手套中任選一只，有10種方法。

（三）從除前所涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只，有8種方法；

（四）由于選取與順序無關，因

（二）（三）中的選法重復一次，因而共240種。或分步

⑴從6雙中選出一雙同色的手套，有C（6,1）=6種方法 ⑵從剩下的5雙手套中任選兩雙，有C（5,2）=10種方法

⑶從兩雙中手套中分別拿兩只手套，有C（2,1）3C（2,1）=4種方法。同樣得出共⑴3⑵3⑶=240種。

【例5】．身高互不相同的6個人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個人都比他同列的身后的人個子矮，則所有不同的排法種數為_______。分析：每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法，因而每一縱列的排隊方法只與人的選法有關系，共有三縱列，從而有C（6,2）3C（4,2）3C（2,2）=90種。

【例6】在11名工人中，有5人只能當鉗工，4人只能當車工，另外2人能當鉗工也能當車工。現從11人中選出4人當鉗工，4人當車工，問共有多少種不同的選法? 分析：采用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點？分類的標準必須前后統一。

以兩個全能的工人為分類的對象，考慮以他們當中有幾個去當鉗工為分類標準。第一類：這兩個人都去當鉗工，C（2,2）3C（5,2）3C（4,4）=10種； 第二類：這兩個人都去當車工，C（5,4）3C（2,2）3C（4,2）=30種； 第三類：這兩人既不去當鉗工，也不去當車工C（5,4）3C（4,4）=5種。

第四類：這兩個人一個去當鉗工、一個去當車工，C（2,1）3C（5,3）3C（4,3）=80種；

第五類：這兩個人一個去當鉗工、另一個不去當車工，C（2,1）3C（5,3）3C（4,4）=20種；

第六類：這兩個人一個去當車工、另一個不去當鉗工，C（5,4）3C（2,1）3C（4,3）=40種；

因而共有185種。

【例7】現有印著0，1，3，5，7，9的六張卡片，如果允許9可以作6用，那么從中任意抽出三張可以組成多少個不同的三位數? 分析：有同學認為只要把0，1，3，5，7，9的排法數乘以2即為所求，但實際上抽出的三個數中有9的話才可能用6替換，因而必須分類。抽出的三數含0，含9，有32種方法； 抽出的三數含0不含9，有24種方法； 抽出的三數含9不含0，有72種方法； 抽出的三數不含9也不含0，有24種方法。因此共有32+24+72+24=152種方法。

【例8】停車場劃一排12個停車位置，今有8輛車需要停放，要求空車位連在一起，不同的停車方法有多少種? 分析：把空車位看成一個元素，和8輛車共九個元素排列，因而共有A（9,9）=362880種停車方法。特殊優先

特殊元素，優先處理；特殊位置，優先考慮。【例9】六人站成一排，求

⑴甲、乙既不在排頭也不在排尾的排法數

⑵甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數 分析：⑴按照先排出首位和末尾再排中間四位分步計數 第一步：排出首位和末尾、因為甲乙不在首位和末尾，那么首位和末尾實在其它四位數選出兩位進行排列、一共有A（4,2）=12種；

第二步：由于六個元素中已經有兩位排在首位和末尾，因此中間四位是把剩下的四位元素進行順序排列，共A（4,4）=24種；

根據乘法原理得即不再排頭也不在排尾數共12324=288種。⑵第一類：甲在排尾，乙在排頭，有A（4,4）種方法。第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有33A（4,4）種方法。第三類：乙在排頭，甲不在排尾，有33A（4,4）種方法。

第四類：甲不在排尾也不在排頭，乙不在排頭也不在排尾，有63A（4,4）種方法（排除相鄰）。

共A（4,4）+33A（4,4）+33A（4,4）+63A（4,4）=312種。

【例10】對某件產品的6件不同正品和4件不同次品進行一一測試，至區分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測試時被全部發現，則這樣的測試方法有多少種可能? 分析：本題意指第五次測試的產品一定是次品，并且是最后一個次品，因而第五次測試應算是特殊位置了，分步完成。

第一步：第五次測試的有C（4,1）種可能； 第二步：前四次有一件正品有C（6,1）中可能。第三步：前四次有A（4,4）種可能。∴ 共有576種可能。捆綁與插空

【例11】8人排成一隊 ⑴甲乙必須相鄰 ⑵甲乙不相鄰

⑶甲乙必須相鄰且與丙不相鄰 ⑷甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰 ⑸甲乙不相鄰，丙丁不相鄰

分析：⑴甲乙必須相鄰，就是把甲乙 捆綁（甲乙可交換）和7人排列A（7,7）3A（2，2）

⑵甲乙不相鄰，A（8,8）-A（7,7）32。或A（6,6）3A(7,2)

⑶甲乙必須相鄰且與丙不相鄰，先求甲乙必須相鄰且與丙相鄰A（6,6）3232 甲乙必須相鄰且與丙不相鄰A（7,7）32-A（6,6）3232 ⑷甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰A（6,6）3232

⑸甲乙不相鄰，丙丁不相鄰，A（8,8）-A（7,7）3232+A（6,6）3232

【例12】某人射擊8槍，命中4槍，恰好有三槍連續命中，有多少種不同的情況? 分析：∵ 連續命中的三槍與單獨命中的一槍不能相鄰，因而這是一個插空問題。另外沒有命中的之間沒有區別，不必計數。即在四發空槍之間形成的5個空中選出2個的排列，即A（5,2）。

【例13】 馬路上有編號為l，2，3，??，10 十個路燈，為節約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關掉，但不能同時關掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關掉的情況下，求滿足條件的關燈方法共有多少種? 分析：即關掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因為燈與燈之間沒有區別，因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個空中選出3個空放置熄滅的燈。∴ 共C（6,3）=20種方法。方法二：

把其中的3只燈關掉總情況有C（8，3)種 關掉相鄰的三只有C（6，1)種

關掉相鄰的兩只有2*C（7，2)-12種

所以滿足條件的關燈方法有:

C（8，3)-C（6，1)-[2*C（7，2)-12]

=56-6-(42-12)

=20種 間接計數法 ⑴排除法

【例14】三行三列共九個點，以這些點為頂點可組成多少個三角形? 分析：有些問題正面求解有一定困難，可以采用間接法。

所求問題的方法數=任意三個點的組合數-共線三點的方法數，∴ 共76種。

【例15】正方體8個頂點中取出4個，可組成多少個四面體? 分析：所求問題的方法數=任意選四點的組合數-共面四點的方法數，∴ 共C（8,4）-12=70-12=58個。

【例16】1，2，3，??，9中取出兩個分別作為對數的底數和真數，可組成多少個不同數值的對數? 分析：由于底數不能為1。

⑴當1選上時，1必為真數，∴ 有一種情況。

⑵當不選1時，從2--9中任取兩個分別作為底數，真數，共A（8,2）=56，其中log2為底4=log3為底9，log4為底2=log9為底3,log2為底3=log4為底9,log3為底2=log9為底4.因而一共有56-4+1=53個。

【例17】 六人排成一排，要求甲在乙的前面，（不一定相鄰），共有多少種不同的方法? 如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢? 分析：

（一）實際上，甲在乙的前面和甲在乙的后面兩種情況對稱，具有相同的排法數。因而有A(6，6)/2=360種。

（二）先考慮六人全排列A(6,6)種；其次甲乙丙三人實際上只能按照一種順序站位，因而前面的排法數重復了A(3,3)種，∴ 有A(6，6)/A(3,3)=120種。

【例18】5男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法? 分析：首先不考慮男生的站位要求，共A（9,9）種；男生從左至右按從高到矮的順序，只有一種站法，因而上述站法重復了A(5,5)次。因而有A(9,9,)/A(5,5,)=9383736=3024種 若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法，同理也有3024種，綜上，有6048種。

【例19】 三個相同的紅球和兩個不同的白球排成一行，共有多少種不同的方法? 分析：先認為三個紅球互不相同，共A（5,5）=120種方法。

而由于三個紅球所占位置相同的情況下，共A（3,3）=6變化，因而共A（5,5）/A（3,3）=20種。

公式P是指排列，從N個元素取R個進行排列（即排序）。（P是舊用法，教材上多用A，Arrangement)公式C是指組合，從N個元素取R個，不進行排列（即不排序）。擋板的使用

【例20】10個名額分配到八個班，每班至少一個名額，問有多少種不同的分配方法? 分析：把10個名額看成十個元素，在這十個元素之間形成的九個空中，選出七個位置放置檔板，則每一種放置方式就相當于一種分配方式。因而共36種。區別與聯系

所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補充一個階段（排序）可轉化為排列問題。

【例21】用數字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數字的四位數，⑴可組成多少個不同的四位數? ⑵可組成多少個不同的四位偶數

⑶可組成多少個能被3整除的四位數? 分析：⑴有A（6,4）-A（5,3）=300個。

⑵分為兩類：0在末位，則有A（5,3）=60種：0不在末位，則有C（2,1）3A（5,3）-C（2,1）3A（4,2）=96種。∴ 共60+96=156種。

⑶先把四個相加能被3整除的四個數從小到大列舉出來，即先選 0，1，2，3 0，1，3，5 0，2，3，4 0，3，4，5 1，2，4，5 它們排列出來的數一定可以被3整除，再排列，有：43[A（4,4）-A（3,3）]+A（4,4）=96種。分組問題

【例22】 5名學生分配到4個不同的科技小組參加活動，每個科技小組至少有一名學生參加，則分配方法共有多少種？

分析：

（一）先把5個學生分成二人，一人，一人，一人各一組。

其中涉及到平均分成四組，有C（5,3）=10種分組方法。可以看成4個板三個板不空的隔板法。

（二）再考慮分配到四個不同的科技小組，有A（4,4）=24種，由

（一）（二）可知，共10324=240種。幾何問題

【例23】某區有7條南北向街道，5條東西向街道（如右圖）⑴圖中共有多少個矩形？

⑵從A點到B點最近的走法有多少種？

分析：⑴在7條豎線中任選2條，5條橫線中任選2條，這樣4條線 可組成1個矩形，故可組成矩形C（7,2）2C（5,2）=210個

⑵每條東西向的街道被分成4段，每條南北向的街道被分成6段，從A到B最短的走法，無論怎樣走，一定包括10段，其中6段方向相同，另外4段方向相同，每種走法，即是從10段中選出6段，這6段是走東西方向的，共有C（10,6）=C（10,4）=210種走法（同樣可以從10段中選出4段走南北方向，每一種選法即是1種走法）。所以共有210種走法。口訣

排列、組合、二項式定理公式口訣：

加法乘法兩原理，貫穿始終的法則。與序無關是組合，要求有序是排列。[4] 兩個公式兩性質，兩種思想和方法。歸納出排列組合，應用問題須轉化。排列組合在一起，先選后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考慮。不重不漏多思考，捆綁插空是技巧。排列組合恒等式，定義證明建模試。關于二項式定理，中國楊輝三角形。兩條性質兩公式，函數賦值變換式。四，概率問題（基于排列組合）

（一）基礎計算題

（二）分步乘法型=滿足條件的每個步驟的概率之積（猜密碼）；

（三）分類加法型=總體概率=滿足條件的各種情況概率之和（比賽問題）；

（四）逆向計算型=某條件成立概率=1-該條件不成立的概率；

（五）拓展技巧型

1.幾何概率：滿足條件的概率=滿足條件的幾何區域面積（總幾何面積）； 2.條件概率：“A成立”時，“B成立”的概率=“A,B同時成立的概率/A成立的概率”； 3.概率期望值：各個實現值乘以各自成立的概率，最后再相加。五，抽屜原理

1.最不利原則：考慮對于需要滿足的條件的“最不利情況”，最后加“1”即可； 2.遇到有排列組合的，先算出排列組合再算最不利原則。

第七章 比例計算模塊 一，溶液問題—基本方法—十字相乘（注意飽和溶液陷阱）1.混合稀釋型

③ 溶液倒出比例為a％的溶液，再加入相同的溶液，則濃度變為：1-a％； ④ 溶液加入比例為a％的溶液，再倒出相同的溶液，則濃度變為：1/1+a％ 2.在濃有關度問題中，有類題目不涉及具體溶液總量，只涉及溶質和溶液的相對比例，通常令其中的“不變量”或者“相等量”為一特值，簡化計算過程。行測考試中，“溶液問題”是一類典型的“比例型”計算問題，大家首先要熟悉“溶液”、“溶質”和“溶劑”三者的關系，這是解題的基礎和關鍵，然后考生還需掌握溶液問題常用的方法和技巧，比如方程法，賦值法等。

一、需要掌握的關鍵點

溶液=溶質+溶劑;濃度=溶質÷溶液;

溶質=溶液3濃度;溶液=溶質÷濃度

二、重點題型

溶質不變型(簡單溶液混合、等溶質增減溶劑、溶液比例問題)

溶質變化型(混合稀釋問題)

飽和濃度型

三、重點方法

簡單溶液混合：運用溶液基本概念或基礎公式

等溶質增減溶劑：設處溶質，得出溶液，即可解決

溶液比例問題：運用設整思想，根據所給條件將溶質或者溶液設出

溶質變化混合稀釋問題：抓住濃度本質，看溶質最后剩下多少就能快速得到答案

四、例題鞏固

1、溶質不變型

例：一容器內有濃度為30%的糖水，若再加入30千克水與6千克糖。則糖水的濃度變為25%。問原來糖水中含糖多少千克?()

A.15千克 B.18千克

C.21千克 D.24千克

【答案】B

【講授說明】方程法。設原有糖水里糖為3X，則糖水的質量為10X，(3X+6)÷(10X+36)=25%。可知3X=18，原有糖水中含糖18千克。

2、溶質變化型

例：杯中原有濃度為18%的鹽水溶液100ml，重復以下操作2次，加入100ml水，充分配合后，倒出100ml溶液，問杯中鹽水溶液的濃度變成了多少?

A.9% B.7.5% C.4.5% D.3.6%

【答案】C

【講授說明】加入比例為1，則濃度為：18%3(1/2)2=4.5%,選擇C。

小結：等于混合稀釋型溶液問題，需記得下列兩個公式：

溶液到出比例為M的溶液，再加入相同的溶液，則濃度變成原來的(1-M)

溶液加入比例為M的溶劑，再倒出相同的溶液，則濃度變成原來的1/1+M

3、飽和濃度型

例：將28g某種溶質放入99g水中恰好配成飽和溶液，從中取出溶液加入4g溶質和11g水，請問此時濃度

A.21.61% B.22.05% C.23.53% D.24.15%

【答案】B

【講授說明】由于99g水最多可溶解28g溶質，則11g水最多可溶解28/9g溶質，即小于4g的溶質，因此飽和溶液加入4g和11g誰為飽和溶液，故濃度為28/(28+99)=22.05%。

小結：判斷溶液的濃度，首先要判斷溶液是否飽和。特別是題目中出現“飽和”字眼，或再次加溶質的問題，一定要判斷溶液是否飽和。

二，牛吃草問題

經典公式：原有草量=（牛頭數-每天草長量）*天數

草長速度=（牛頭數1*吃草時間1-牛頭數2*吃草時間2）/（吃草時間1-吃草時間2）① 基本公式題型

牛頭數*天數=原有草量+每天草長量*天數；

當題干出現“連續不斷的開采”或“不至于枯竭”時，指的是時間整無窮大； ② 牛羊混吃型

將其全部轉化為牛或羊，再代入公式進行計算； ③ 自然消亡型（不用牛吃草也可以自行消亡）

當計算出草長量為負數時，則不是自然生長，而是自然消亡； ④ 大小草場型

如果草場有面積區別“如m頭牛吃w畝草”，則N用m/w表示； 將題干轉換成m/w頭牛，一畝地，吃多長時間； ⑤ 增添型或撤減型

N出現階段性變化，則先算出總量，再根據：時間*（牛頭數-草長速度）來計算； ⑥ 特殊變形

售票廳或收銀員問題（針對好每個量對應牛吃草中的含義）；

行測秒殺技巧之“牛吃草”問題

【含義】 “牛吃草”問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素。

【數量關系】 草總量＝原有草量＋草每天生長量3天數

【解題思路和方法】 解這類題的關鍵是求出草每天的生長量。

例1 一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？

解 草是均勻生長的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長量3天數。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說5 天內的草總量要5 天吃完的話，得有多少頭牛？ 設每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：（1）求草每天的生長量

因為，一方面20天內的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（1310320）；另一方面，20天內的草總量又等于原有草量加上20天內的生長量，所以

1310320＝原有草量＋20天內生長量

同理 1315310＝原有草量＋10天內生長量

由此可知（20－10）天內草的生長量為

1310320－1315310＝50

因此，草每天的生長量為 50÷（20－10）＝5（2）求原有草量

原有草量＝10天內總草量－10內生長量＝1315310－5310＝100

（3）求5 天內草總量 5 天內草總量＝原有草量＋5天內生長量＝100＋535＝125（4）求多少頭牛5 天吃完草

因為每頭牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。

因此5天吃完草需要牛的頭數 125÷5＝25（頭）答：需要5頭牛5天可以把草吃完。

例2 一只船有一個漏洞，水以均勻速度進入船內，發現漏洞時已經進了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？

解 這是一道變相的“牛吃草”問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數（相當于“牛數”），求時間。設每人每小時淘水量為1，按以下步驟計算：（1）求每小時進水量

因為，3小時內的總水量＝131233＝原有水量＋3小時進水量 10小時內的總水量＝135310＝原有水量＋10小時進水量

所以，（10－3）小時內的進水量為 135310－131233＝14 因此，每小時的進水量為 14÷（10－3）＝2（2）求淘水前原有水量

原有水量＝131233－3小時進水量＝36－233＝30（3）求17人幾小時淘完

17人每小時淘水量為17，因為每小時漏進水為2，所以實際上船中每小時減少的水量為（17－2），所以17人淘完水的時間是 30÷（17－2）＝2（小時）

答：17人2小時可以淘完水。

華圖差量法解讀牛吃草：

牛吃草問題是公務員考試中比較難的一類問題，常規的解決牛吃草問題的辦法是牛吃草公式，即y=（N-x）3T，其中y代表原有存量（比如原有草量），N代表促使原有存量減少的外生可變數（比如牛數），x代表存量的自然增長速度（比如草長速度），T代表存量完全消失所耗用時間。注意此公式中默認了每頭牛吃草的速度為1。運用此公式解決牛吃草問題的程序是列出方程組解題，具體過程不再詳細敘述，接下來我們從牛吃草公式本身出發看看此公式帶給我們的信息。

牛吃草公式可以變形為y+Tx=NT，此式子表達的意思是原有存量與存量增長量之和等于消耗的總量，而一般來說原有存量和存量的自然增長速度是不變的，則在此假定條件下我們可以得到x△T=△(NT)，此式子說明兩種不同吃草3方式的該變量等于對應的兩種長草方式的改變量，而且可以看出草生長的改變量只與天數的變化有關，而牛吃草的改變量與牛的頭數和天數都有關。這個式子就是差量法解決牛吃草問題的基礎。例如：

例

1、有一塊牧場，可供10頭牛吃20天，15頭牛吃10天，則它可供多少頭牛吃4天？（）（2003年廣東公務員考試行測第14題）

A、20 B、25 C、30 D、35

這道題目用差量法求解過程如下：設可供x頭牛吃4天。則10頭牛吃20天和15頭牛吃10天兩種吃法的改變量為10320—15310,對應的草生長的改變量為20—10；我們還可以得到15頭牛吃10天和x頭牛吃4天兩種吃法的改變量為15310—4x,對應的草生長的改變量為10—4。則我們可以列出如下的方程：

=，解此方程可得x=30。

如果求天數，求解過程是一樣的，比如下面這道題目：

例

2、林子里有猴子喜歡吃的野果，23只猴子可以在9周內吃光，21只猴子可以在12周內吃光，問如果有33只猴子一起吃，則需要幾周吃光？（假定野果生長的速度不變）（）（2007年浙江公務員考試行測A類第24題）

A、2周B、3周C、4周D、5周

這道題目可設需要x周吃光，則根據差量法列出如下比例式：

=，解此方程可得x=4.以上兩種情況是最常規的牛吃草問題，實際上牛吃草問題還有很多變形，比如有些時候牛吃草的速度會改變，但是依然可以用差量法解決。

例

3、一個水庫在年降水量不變的情況下，能夠維持全市12萬人20年的用水量。在該市新遷入3萬人之后，該水庫只夠維持15年的用水量，市政府號召節約用水，希望能將水庫的使用壽命提高到30年。那么，該市市民平均需要節約多少比例的水才能實現政府制定的目標？（）（2009年國家公務員考試行測試卷第119題）

A、2/5

B、2/7

C、1/3

D、1/4

這道題目設該市市民需要節約x比例的水才能實現政府制定的目標。則12萬人20年和15萬人15年兩種吃水方式的差為12320—15315，對應的降水量的改變量為20—15；15萬人30年與15萬人15年兩種吃水方式的差為153（1—x）330-15315，對應的降水量的改變量為30—15，則可列出如下的比例式：

=，解此方程得x=2/5。

如果改變的是草生長的速度一樣可以用差量法解答。例如下面的例子：

例

4、在春運高峰時，某客運中心售票大廳站滿等待買票的旅客，為保證售票大廳的旅客安全，大廳入口處旅客排隊以等速度進入大廳按次序等待買票買好票的旅客及時離開大廳。按照這種安排，如果開出10個售票窗口，5小時可使大廳內所有旅客買到票；如果開出12個售票窗口，3小時可使大廳內所有旅客買到票，假設每個窗口售票速度相同。如果大廳入口處旅客速度增加到原速度的1.5倍，在2小時內使大廳中所有旅客買到票，按這樣的安排至少應開售票窗口數為（）（2008年江蘇公務員考試行測試卷C類第19題）

A.15 B.16 C.18 D.19

此題設至少應開售票窗口數為x。10個售票窗口5小時可使大廳內所有旅客買到票和開出12個售票窗口3小時可使大廳內所有旅客買到票兩種方式票的差量為5310—3312，對應的旅客差量為5-3；10個售票窗口5小時可使大廳內所有旅客買到票和大廳入口處旅客速度增加為原速度1.5倍時開出x個售票窗口2小時可使大廳內所有旅客買到票這兩種方式的差量為5310—2x，對應的旅客差量為5-231.5，則可列出下列比例式：

=

解得x=18。

除了上述兩種變形的情況以外，還有另外一種變形的牛吃草問題，即改變原有草量。此種類型的題目表面上看似乎不能用差量法解了，實際上經過簡單的變換后依然可以用差量法解答，比如：

如果22頭牛吃33公畝牧場的草，54天后可以吃盡，17頭牛吃28公畝牧場的草，84天可以吃盡，那么要在24天內吃盡40公畝牧場的草，需要多少頭牛？（）

A、50

B、46

C、38

D、35

根據題意我們可以知道40公畝牧場吃54天需要22340÷33=80/3頭牛，而40公畝牧場吃84天需要17340÷28=170/7頭牛，列出差量法的比例式如下：

=，解得x=35。

本例子中出現了不是整頭牛的情況，不太容易理解，實際上把消耗量的整體看作一個整體的話，牛的數目并不重要，只要計算出消耗草的能力即可。

綜上所述，差量法是一種比牛吃草公式更為簡捷的辦法，而且對于所有變形的牛吃草問題都適用，是一種很值得推廣的方法。核心公式

【熟記】 牛吃草問題的核心公式：草場草量=（牛數－每天長草量)×天數，通常設每天長草量為x 基礎題型演練

【例1】有一塊牧場可供10頭牛吃20天；15頭牛吃10天；則它可供25頭牛吃？天

【解答】 根據核心公式：（10－x)×20=（15－x)×10=（25－x)×？

（10－x)×20=（15－x)×10→x=5

將x=5代入，?=5

【例2】有一塊牧場，可供10頭牛吃20天；15頭牛吃10天；則它可供?頭牛吃4天

【解答】 根據核心公式：（10－x)×20=（15－x)×10=（?－x)×4（10－x)×20=（15－x)×10→x=5

將x=5代入，?=30 較為復雜的情形

【例3】22頭牛吃33公畝牧場的草，54天可以吃盡；

17頭牛吃28公畝牧場的草，84天可以吃盡；

？頭牛吃40公畝牧場的草，24天可以吃盡？

A.50 B.46 C.38 D.35

【解答】 設每公畝牧場每天新長出來的草可供x頭牛吃1天，每公畝牧草量為y 根據核心公式：33y=（22－33x)×54→y=（2－ 3x)×18=36－54x 28y=（17－28x)×84→y=（17－28x)× 3=51－84x

40y=（?－40x)×24 36－54x=51－84x→x=1/2→y=9

40×9=(?-20)×24→?=35 其它情形 ：漏水問題，排隊等候問題...等均可看作這種問題。

三，鐘表問題

1.鐘表一圈分成12格，則時針每小時轉一格30°，分針12格/小時； 2.鐘表表面每兩格之間30°，時針與分針成某種角度都有對稱的兩種； 3.重合問題的實質是追擊問題

4.快鐘，慢鐘問題，根據標準時間進行對比（常用比例法）；

時鐘問題是一類古典題型，在行測考試中經常出現。有關時鐘問題的題目中，考查得比較多的是表盤計算與快慢鐘計算問題，在本文中，華圖公務員[微博]考試研究中心將給出解決這兩類問題的思路方法。1.表盤計算

表盤計算，主要涉及的是時間和指針(通常是時針和分針)角度的對應關系。我們知道，n點時，分針與時針之間的角度為30n度(這個度數是指分針沿順時針方向到時針的度數)；同時，時針每分鐘走0.5°，分針每分鐘走6°，所以過m分時，分針比時針多走度(6-0.5)m=5.5m，因此，n點m分時，時針和分針之間的角度就應該是30n-5.5m度(這個度數仍然是指分針沿順時針方向到時針的度數)。

這樣，我們就得到了關于表盤計算的核心公式：n點m分，時針和分針之間的角度為30n-5.5m度，利用該公式，我們可以輕松解決很多行測考試中的表盤指針計算問題。關于該公式的使用，需注意以下兩點：1.該公式算出的度數為分針沿順時針方向到時針的度數，因此，若算出的角度為負數，則取其絕對值；若算出的角度大于180°，則用360°減去該角即可；2.當時間為12點時，取n=12或n=0皆可，但為了計算方便，往往取n=0。

【例3】(黑龍江2010)張某下午六時多外出買菜，出門時看手表，發現表的時針和分針的夾角為110°，七時前回家時又看手表，發現時針和分針的夾角仍是110°，那么張某外出買菜用了多少分鐘？()A.20分鐘 B.30分鐘C.40分鐘 D.50分鐘 [答案]C

2.快慢鐘計算

鐘表問題中，常常涉及到的第二類問題就是快慢鐘問題。快慢鐘的產生，是因快(慢)鐘走的速度與標準鐘走的速度不同導致的，所以，快慢鐘問題本質上是比例行程問題，解決快慢鐘問題的關鍵，是抓住不同鐘表的“速度比”。

【例1】(深圳事業單位2010)火車速度為118千米/時，一位旅客的手表比標準時間每小時要慢1分鐘，則在該旅客手表所顯示的2小時內，火車跑了大約()千米。A.230 B.236 C.240 D.248 [答案]C

【例2】(河北2009)一個快鐘每小時比標準時間快3分鐘，一個慢鐘每小時比標準時間慢2分鐘。如果將兩個鐘同時調到標準時間，結果在24小時內，快鐘顯示11點整時，慢鐘顯示9點半。則此時標準時間是()A.10點35分 B.10點30分C.10點15分 D.10點06分 [答案]D

【例3】(浙江2010)有一只怪鐘，每晝夜設計成10小時，每小時100分鐘。當這只怪鐘顯示5點時，實際上是中午12點，當這只怪鐘顯示8點50分鐘，實際上是什么時間？()A.17點50分 B.18點10分C.20點04分 D.20點24分 [答案]D

由以上例題可以看出，處理“已知時間，求角度”的問題，直接使用表盤計算公式計算即可，而在處理“已知角度，求時間”的問題時，分析出分針沿順時針方向到時針的度數是正確使用表盤計算公式的關鍵之處。

而對于快慢鐘問題，首先需根據已知條件找出不同鐘表的“速度比”，再根據“速度比”求出題目中要求的時間。只要掌握了以上兩種問題的處理方法，便能輕松應對行測考試中的時鐘問題了。

第八章 初等數學模塊

一，最大公約數和最小公倍數（短除法）

1.小數分數型

① 將給定的小數和分數乘以N（可以不是整數），使之全部變為整數； ② 求第一步得到的整數的最大公約數和最小公倍數；

③ 將得到的最大公約數和最小公倍數分別除以N，即是結果； 2.約數個數型

如果將一個數進行質因數分解，把各個質因數的冪次分別加1，再相乘，得到的數字就是這個數字的約數的個數，最小公約數為1，最大公約數為自己 例如：360=23*32*5，共有（3+1）*（2+1）*（1+1）=24個約數； 二，多位數字問題

代入排除法：逐位選擇型（考慮各個位置可以選擇的范圍，利用排列組合）頁碼數字型：利用公式 三位數頁碼公式—頁碼=字數÷3+36，多位數表示型：100a+10b+c； 三，余數同余問題 1.代入排除法，2.余數等式型：被除數=除數*商+余數（0≤余數＜除數）3.余同加余，和同加和，差同補差，公倍數做周期

4.經典題型：

在1000以內除以3余2，除以7余3，除以11余4的數共有幾個？

挨個嘗試：滿足除以3 余2 的數有：2,5,8,11,14,17??；同時滿足除以7余3的第一個數是17，→同時滿足兩個條件的是21N+17；同理所求在21N+17中找第一個滿足除以11余4 的數是59，所以，同時滿足三個條件的數是：21N*11+59=231N+59.四，平均數值問題

核心公式：總和=平均數*個數，等差數列中，平均數=中位數； 1.總體平均數：直接利用公式，列方程解決； 2.等差中位數 若條件是給出“等差數列”，我們可以通過計算其“平均數”來得到數列的“中位數”； 3.參照相對數

當數字較大時，我們可以以平均數作為參照，計算所有數字減去平均數之后的相對數字，用這個相對數字來代替原來的數字，這樣可以簡化計算。五，星期日期問題 1.星期每七天一循環

2.“每隔N天”指的是“每N+1天”，但是“每隔N小時”，就是“每N小時”； ① 日期加總型：實質是等差數列，注意跨年/跨月的情況； ② 日期推斷型，按整月計算，③ 星期推斷型，如果條件日期與提問日期相差不到一年，利用上述方法計算；

如果提問N年之后星期幾=N天之后（無閏年）；

如果之間有閏年，先按平年計算，再看之間經過幾個2月29日； 六，循環周期

若一連串事物以“T”為周期，且“A÷T=N??a”,那么第A項等于第a項； ① 以7為分母的分數，化為小數后，循環周期為6；

② 若算余數時出現整數，即余數為0，那就等同于周期的最后一項。

第九章 行程問題模塊

一，基礎計算型—方程，方程組，比例法（盡量多設未知數，多列方程）

（一）雙人運動型—比例法

（二）變速運動型—比例法

（三）提前出發型—提前多長時間出發，就相當于多用了多長時間；

（四）遲到早到型—遲到多長時間就多用多長時間，早到多長時間就少用多長時間；

（五）火車運動型—橋長+車長；

（六）比例計算型—S甲/S乙=V甲/V乙*T甲/T乙，若T相等，S與V成正比；若V相等，S與T成反比；若S相等，V與T成反比；

（七）間歇運動型—考慮與選項相近的一個整周期，帶入其中進行計算； 二，相對速度問題

相對速度問題中，帶入公式計算出的速度是兩個速度的和或差；

（一）相遇追擊型：

1.相遇問題：相遇距離=（大速度+小速度）*相遇時間； 2.追擊問題：追擊距離=（打速度-小速度）*相遇時間； 3.背離問題：背離距離=（打速度+小速度）*背離時間；

（二）環形運動型

1.反向運動：第N次相遇路程和為N個周長

環形周長=（大速度+小速度）*相遇時間； 2.同向運動：第N次相遇路程差為N個周長

環形周長=（大速度-小速度）*相遇時間；

（三）流水行船問題

1.順水：S=（V船+V水）*T順，V靜=（V順+V逆）/2； 2.逆水：S=（V船-V水）*T逆，V水=（V順-V逆）/2；

（四）上下扶梯型

1.順行：扶梯長度=（V人+V梯）*V順，L梯=S人+S梯； 2.逆行：扶梯長度=（V人-V梯）*V逆，L梯=S人-S梯；

（五）隊伍行進型（同追擊，相遇）

（六）往返相遇型（畫圖數關鍵）1.兩端同時出發型

第N次迎面相遇，路程和=全程*（2N-1），第N次追擊相遇，路程差=全程*（2N-1）；

2.一端出發型

第N次迎面相遇，路程和=全程*2N，第N次追擊相遇，路程差=全程*2N;三，典型行程模塊

（一）等距離平均速度：V=2V1V2/V1+V2(結果略小于算數平均數)，（二）等時間間隔發車

發車時間間隔=2V1V2/V1+V2=T，V車/V人=T1+T2/T1-T2；

（三）不變速沿途數車

計算出途中所見車輛的出發時間，從而確定可以遇到的車輛數，（四）不間歇相遇（只限兩次）1.單岸型：S=3S1+S2/2，2.兩岸型：S=3S1-S2；

（五）無動力順水漂流

漂流時間T=2T順*T逆/T逆-T順

行程問題經典例題解析：

一、相遇問題 1.一次相遇

例1.甲、乙二人同時從相距54千米的A、B兩地同時相向而行，甲的速度為4千米/時，乙的速度為5千米/時。問：假設甲乙相遇地點為C，則CB相距多少千米?這一段路程和甲乙第一次相遇時乙走過的路程是什么關系? 解析：CB為30千米，即為到第一次相遇時乙走過的路程。甲再一次回到C點是從B到的C，故甲走過的路程實際上是一個全程加上CB，即54+30=84(千米);甲乙再一次相遇的時候，兩人走過的路程和為3倍的全程，每個人所走過的路程也是他第一次相遇時走過的路程的3倍，則甲走過的路程是2433=72(千米)(甲第一次相遇時走過的路程為436=24千米)。2.多次相遇

例2.甲從A地、乙從B地同時以均勻的速度相向而行，第一次相遇離A地6千米，繼續前進，到達對方起點后立即返回，在離B地3千米處第二次相遇，則AB兩地相距多少千米? 解析：根據“多次相遇中的2倍關系”原理，可知甲從第一次相遇之后到第二次相遇走了632=12千米，在整個時間段內甲走了6+12=18千米。因為甲是到達B地之后返回，相遇地點距離B地3千米，因此AB兩地間的距離是18-3=15千米。3.環行相遇問題

例題3.甲、乙兩人同時從A點背向出發，沿400米環形跑道行走，甲每分鐘走80米，乙每分鐘走50米，兩人至少經過多少分鐘才能在A點相遇?【2011-事業單位】 A.10 B.12 C.13 D.40 解析：甲、乙要在A點相遇，則甲、乙行走的路程必是400的整數倍，而甲乙的速度和是130米/分鐘，設所需時間為t，則有130t必然是400的倍數，排除A、B、C三項，選擇D。若正面求解：甲走一圈需400÷80=5分鐘;乙走一圈需400÷50=8分鐘，取5和8的最小公倍數，即40分鐘。

二、追及問題

1.兩者追及問題 例4.高速公路上行駛的汽車A的速度是100公里每小時，汽車B的速度是每小時120公里，此刻汽車A在汽車B前方80公里處，汽車A中途加油停車10分鐘后繼續向前行駛。那么從兩車相距80公里處開始，汽車B至少要多長時間可以追上汽車A? A.2小時 B.3小時10分 C.3小時50分 D.4小時10分

解析：汽車AB間的追及距離為80公里，當A車加油停車時兩者的速度差為120公里每小時，當A車行駛時兩者速度差為120-100=20公里每小時。A車加油的10分鐘B車追上1203 =20公里。剩下80-20=60公里，B車追上用時為60÷20=3小時。故汽車B至少要3小時10分鐘可以追上汽車A。

備考：相遇問題里面有多次相遇，那么追及里面的多次追及有沒有，如果有是怎么樣的情況? 1.環形追及問題

例5.甲乙分別在環形跑道的直徑上同時同向出發，環形跑道周長為60米，甲得速度為60米/分，乙的速度為70米/分，那么乙要多少分鐘才能第二次追上甲? 解析：甲乙為追及問題，甲乙的速度差為10米/分，環形周長為60米，所以第一次追上的追及路程為30米，所以用了3分鐘，第二次追上甲追及路程為一個環形跑道的周長，即需要用6分鐘，那么總共用了9分鐘。

三、流水行船問題

例6.一客船往返于A、B兩地，已知A、B相距36千米，客船一往一返分別需要2小時和3小時，假設水流速度保持不變，求水流速度及船速分別是多少千米/小時? A.5，13 B.4，14 C.3，15 D.2，16 解析：設水速為x千米/小時，船的靜水速度是y千米/小時，則有下面兩個方程：，解得：x=3，y=15 備考：商場里面的扶梯問題;人在風中行走?等也屬于流水行船問題。

四、牛吃草問題

例7.有一牧場長滿牧草，每天牧草勻速生長，這片牧場可供10頭牛吃20天，15頭牛吃10天，問可供25頭牛吃多少天? A.8 B.6 C.5 D.4 解析：此題為典型的牛吃草問題。設一頭牛一天吃草量為1，牧草的生長速度為x，牧場可供25頭牛吃t天。根據題意可得(10-x)320=(15-x)310=(25-x)3t，由第一個等式解得x=5，代入x解得t=5天，故選擇C。

備考：池塘抽水問題;森林砍樹問題...也都屬于牛吃草問題。

五、時鐘問題

例8.四點半鐘后，時針與分針第一次成直線的時刻為()。

A.4點40分 B.4點45 分

C.4點54 分 D.4點57分

解析：時針一小時走30度，每分鐘走0.5度;分針1分鐘走6度。四點半時，時針與分針的夾角是45度，則第一次成直線需要(180-45)÷(6-0.5)=24又54又分時第一次成直線。

分，即4點備考：時鐘問題里面還常常考一個鐘壞了，經過多少時間，壞鐘實際時間等。

六、接送問題

例9.AB兩個連隊同時分別從兩個營地出發前往一個目的地進行演習，A連有卡車可以轉載正好一個連的人員，為了讓兩個連隊的士兵同時盡快到達目的地，A連士兵坐車出發一定時間后下車讓卡車回去接B連的士兵，兩營的士兵恰好同時到達目的地，已知營地與目的地之間的距離為32千米，士兵行軍速度為8千米/小時，卡車行駛速度為40千米/小時，求兩營士兵到達目的地一共要多少時間? 解析：由于卡車的速度為士兵行軍速度的5倍，因此卡車折回時已走的路程是B連士兵遇到卡車時已走路程的3倍，而卡車折回所走的路程是B連士兵遇到卡車時已走路程的2倍，卡車接到B連士兵后，還要行走3倍B連士兵遇到卡車時已走路程的才能追上A連士兵，此時他們已經到達了目的地，因此總路程相當于4倍B連士兵遇到卡車時已走路程，所以B連士兵遇到卡車時已走路程為8千米，而卡車的總行程為(3+2+3)38=64，這一段路，卡車行駛了64/40=1.6小時，即1小時36分鐘也是兩營士兵到達目的地所花的時間。

第十章 幾何問題模塊 一，幾何公式法

1.幾何長度

正方形周長C正=4a，C長=2（a+b），C圓=2πR，C扇=n/360°*2πR，2.幾何面積

S正=a2，S菱或正=（對角線1*對角線2）/2，S圓=πR2，S△=ah/2=absinc/2=acsinb/2=bcsina/2，S梯=（a+b）h/2，S扇=n°/360*πR2，S球表面積=4πR2=πD2，3.幾何體積

V正=a3，V長=a*b*c，V球=4/3πR3，V棱柱=SH,V圓錐=1/3SH=1/3πR3，特殊勾股數：5,12,13；7,24,25；8,15,17；10,24,26； 二，割，補，平移（單一或組合使用）

1.分割求解型

將一個不規則的圖形分割成多個有規則的部分 2.嵌套求補型

當兩個規則圖形存在包含關系的時候，大規則圖形挖去小規則圖形所剩下的形狀往往是不規則的，其面積一般是兩個有規則面積的差； 3.平移補齊型

4.立體切割型（利用空間想象）； 三，幾何特性法

1.一個幾何圖形，若其尺度為原來的M倍，則：

①內角角度不變，②邊長為原來的M倍，③面積原來的M2倍，④體積為原來的M3倍 2.①平面圖形中，若周長一定，越接近于圓，面積越大； ②平面圖形中，若面積一定，越接近于圓，面積越小； ③立體圖形中，若表面積一定，越接近于球，體積越大； ④立體圖形中，若表面積一定，越接近于球，體積越小； 四，幾何極端問題

（一）植樹問題

1.單邊線性植樹，棵樹=總長÷間隔+1；總長=（棵樹-1）*間隔； 2.單邊環形植樹，棵樹=總長÷間隔，總長=棵樹*間隔； 3.單邊樓間植樹，棵樹=總長÷間隔-1，總長=（棵樹+1）*間隔；

（二）方陣問題

1.最外層 每條邊有M個人：

三角形 3M-3，五邊形 5M-5，四方形 4M-4，M邊型 MN-N，2.M排N列 長方形方陣（實心）S總=M*N, 最外層：2M+2N-4，S總=M2，最外層：4N-4，① 無論是矩形，還是長方形，相鄰兩圈差8人，② 在方陣中，總人數=N2=（最外層÷4+1）2，3.①M排N列長方形（一行一列），M*N-（M-1）*（N-1）； ②N排N列的方陣（一行一列），N2-（N-1）2； ③N排N列的方陣（最外一層），N2-（N-2）2； ④N排N列的方陣（最外二層），N2-（N-4）2；

（三）排隊型

隊伍有N人，A排在第M位，則A前面有M-1人，后面有N-M人，（四）爬樓梯問題

1.從地面爬到第N層樓，要爬N-1層，休息N-2次； 2.從M樓爬到N樓，要爬|M-N|層樓，休息|M-N|-1次；

（五）割繩子問題

一條繩子，對折N次，切M刀，分成X段，X=2的N次方*M+1（X必為奇數）；

（六）空間分割問題

1.N條直線分割平面或分割圓

當N取1,2,3,4,5,6，7,8,9,10時，可把空間分成2,4,7,11，16,22,29,37,46,56份； 是一個差為2,3,4,5,6,7,8,9,10的二級等差數列； 2.N個圓分割平面

當N取1,2,3,4,5,6,7,8,9,10時，可把平面分割成2,4,8,14,22,32,44,58,74,92份； 是一個差為2,4,6,8,10,12,14,16,18的二級等差數列；

第十一章 趣味雜題模塊

一，比賽問題

N支隊伍單循環，共有N*（N-1）/2場比賽，淘汰賽：注意輪空—最常用方法：

二，年齡問題（年齡差永遠不會變）--盡可能根據條件多列方程 1.核心知識點

主要特點是：時間發生變化，年齡在增長，但是年齡差始終不變。年齡問題往往是“和差”“差倍”等問題的綜合應用。解題時，我們一定要抓住年齡差不變這個解題關鍵。解答年齡問題的一般方法：幾年后的年齡=大小年齡差÷倍數差－小年齡 ；

幾年前的年齡=小年齡－大小年齡差÷倍數差 ；

2.解題方法

（一）直接分析法

例題1：父親今年44歲，兒子今年16歲，當父親的年齡是兒子的年齡的8倍時，父子的年齡和是多少？

A.36 B.54 C.99 D.162 【答案詳解】父子的年齡差是一個不變量，二者的年齡差為44-16=28歲。因此，當父親的年齡是兒子的8倍時，兒子的年齡為28÷（8-1）=4歲，此時父子的年齡和為43（8+1）=36歲。

例題2：在一個家庭中有爸爸、媽媽、女兒和兒子。現在把所有成員的年齡加在一起是77歲，爸爸比媽媽大3歲，女兒比兒子大2歲。5年前，全家所有人的年齡總和是58歲。現在爸爸的年齡是多少歲？ A.67 B.32 C.35 D.78 【答案詳解】根據5年前全家所有人的年齡和是58歲，可以推出現在全家人的年齡總和應該是58+435=78歲。但實際上的年齡總和卻是77歲，差了1歲，說明有一個人只長了4歲，這個人只能是兒子（5年前尚未出生）。女兒就應該是4+2=6歲，現在父母的年齡和是77-4-6=67歲，又知他們的年齡差是3歲，可求出爸爸的年齡是（67+3）÷2=35歲。

（二）方程法

例題3：1998年，甲的年齡是乙的年齡的4倍。2002年，甲的年齡是乙的年齡的3倍。問甲、乙二人2000年的年齡分別是多少歲? A．34歲，12歲 B．32歲，8歲 C．36歲，12歲 D．34歲，10歲

【答案詳解】設1998年乙的年齡是x歲，那么甲的年齡是4x歲。從1998年到2002年經過了4年，兩個人都長了4歲，那么這個時候，甲的年齡是4x+4歲，乙的年齡是x+4歲。由于甲的年齡是乙的 3倍，所以，4x+4=3（x+4），x=8。也就是說1998年，乙的年齡是8歲，則2000年的年齡是10歲，直接選擇D。

（三）和差倍關系法

例題4：2004年小強小學畢業時正好12歲，媽媽40歲，多少年前媽媽的年齡正好是小強的5倍？

A.4 B.5 C.8 D.7 【答案詳解】媽媽和小強的年齡差為40-12=28歲；當媽媽的年齡是小強的5倍時，媽媽與小強的年齡差就相當于小強年齡的4倍，此時小強的年齡為28÷（5-1）=7歲。12-7=5，故5年前媽媽的年齡正好是小強的5倍。

（四）表格法 例題5：5年前甲的年齡是乙的3倍，10年前甲的年齡是丙的一半，若用y表示丙當前的年齡，下列哪一項能表示乙當前的年齡？

（五）數軸法

例題6：甲、乙兩人年齡不等，已知當甲像乙現在這么大時，乙8歲；當乙像甲現在這么大時，甲29歲。問今年甲的年齡為多少歲？ A．22 B．34 C．36 D．43

（六）代入排除法

例題7：張繁30多歲時她女兒出生，2008年她女兒的年齡是她的年齡5的倍數，2009年張繁多少歲？

A.61 B.51 C.62 D.52 【答案詳解】由題意可知，2008年張繁的年齡為5的倍數，因此2009年張繁的年齡除以5余1，排除C、D兩項。

若2008年張繁60歲，則她女兒為24歲，張繁36歲時女兒出生，符合題意，選擇A。

若2008年張繁50歲，則她女兒為20歲，張繁30歲時女兒出生，不符合題意，排除。

第四篇：數量關系知識點總結

數量關系知識點總結

一，能被3,9整除的數的數字特性

①

判斷3/9的倍數的方法是“劃”

②

“A是B的2倍（一半）”則“A+B”是3的倍數

③

3/9的倍數加減乘3/9的倍數結果還是3/9的倍數

④

“A+X”是3/9的倍數，則A的各個數字之和加X也是3/9的倍數

⑤

求幾個數之和除以3/9余幾，用“劃”的方法

⑥

一個除以3余2的數加上一個除以3余1的數和能被3整除

一個除以3余2的數減去一個除以3余2的數差能被3整除

⑦

三個連續自然數之和是3的倍數

能被11整除的數，這個數奇數位的和與偶數位的和之差是11的倍數

二，倍數關系

如果a：b=m：n（m，n互質）

a是m的倍數

如果ab=mn（m，n互質）

b是n的倍數

如果a=bmn（m，n互質）

a土b是m土n的倍數

aXb是mxn的倍數

注：①題目中出現“比例，分數，倍數”等形式優先考慮倍數關系

②2是質數中唯一的偶數，題干中出現質數優先考慮2的特殊性

三，直接帶入法

1.求某數最大或最小，一般猜選項中的第二大或第二小

2.求操作次數時，一般猜選項中的最大或最小

選項羅列一般用直接代入

四，工程問題

工作總量=工作效率X工作時間

如果問題問的是總量，一般設工作總量為X

如果問題問的不是總量，一般設工作總量為某些數（速度，時間，效率，分母）的最小公倍數

工作總量=人數X時間（默認每個人的效率為1）

總量一定，效率與時間成反比

五，行程問題

1.等時間平均速度公式:V=V1+V2+V3+………Vnn

路程=速度X時間

2.等距離平均速度公式：1V=1n(1v1+1v2+1v3+………1vn)

平均速度=總路程總時間

注：等時間平均速度大于等于等距離平均速度（當v1=v2=vn時取等號）

迎面相遇時間=相距路程速度和

追擊相遇時間=相距路程速度差

V順=V船+V水

V船=V順+V逆2

V逆=V船﹣V水

V水=V順﹣V逆2

火車完全在橋上的時間=（橋長﹣車長）÷速度

火車從開始上橋到完全過橋的時間=（橋長+車長）÷速度

六，容斥問題

標志：出現“既……..又…………，兩者，三者都………，或都不……….”

條件1+條件2+兩者都不滿足=總數+兩者都滿足

當問題中求只滿足某個條件個數時用畫圖加減（兩集合，三集合皆可）

條件1+條件2+條件3+三者都不滿足=總數+只滿足兩者+2倍三者都滿足

條件1+條件2+條件3+三者都不滿足=總數+滿足兩者﹣三者都滿足（三個條件兩兩組合時用第二個公式）三集合七，年齡問題

主要特點：時間變化年齡相應變化，但年齡差始終不變，倍數關系在變小。

（大數﹣小數）÷3=年齡差

大數﹣年齡差=年齡較大者

小數+年齡差=年齡較小者

八．經濟利益問題

總價=單價X銷售量

利潤=售價﹣成本

總利潤=單件利潤X銷售量

利潤率=利潤÷成本=（售價﹣成本）÷成本=售價÷成本﹣1

定價=成本X（1+期望的利潤率）

期望的利潤率=成本X成本利潤率

折扣后賣價=定價X折扣的百分數

第五篇：數量關系專題練習(十三)

數量關系專題練習

（十三）本部分包括兩種類型的試題：

一、數學推理

給你一個數列，但其中缺少一項，要求你仔細觀察數列的排列規律，然后從四個供選擇的選項中選擇你認為最合理的一項，來填補空缺項，使之符合原數列的排列規律。1.1，2，9，121，（）A．251

B．441

C．16900

D．960

2.3，4，7，（）18，29，47 A．12

B．13

C．10

D．11

3.4，13，40，121，364，（）A．1092

B．1094

C．728

D．1093

4.9，15，22，28，33，39，55，（）A．60

B．61

C．66

D．58

5.6，24，60，120，（）A．220

B．360

C．210

D．240

6.2，6，13，39，15，45，23，（）A．46

B．66

C．68

D．69

7.5，11，23，47，95，（）A．190

B．191

C．192

D．196

8.1，3，15，（）A．46

B．48

C．255

D．256

9.4，7，11，18，29，47，（）A．94

B．96

C．76

D．74

10.93，114，136，159，（）A．180

B．183

C．185

D．187

二、數學運算

在這部分試題中，每道試題呈現一道算術式，或是表述數字關系的一段文字，要求你迅速、準確地計算出答案。你可以在草稿紙上運算。遇到難題，可以跳過暫時不做，待你有時間再返回解決它。

11.4 731×80×25×10的值為（）。

A．94620000

B．9642000

C．9662000

D．96520 000

12.1996+1997+1998+1999+2000+2001等于（）。A．11986

B．11991

C．12987

D．12989

13.423×187-423×24-423×63的值是（）。

A．41877

B．42300

C．42323

D．42703

14.一袋白糖，第一次用去0.3斤，第二次用去余下的3/4，這時袋內還有白糖0.2斤，該袋糖原有多少斤?（）A．1.1

B．0.5

C．1.5

D．2

15.一車行共有65輛小汽車，其中45輛有空調，30輛有高級音響，12輛兼而有之。既沒有空調也沒有高級音響的汽車有幾輛?（）A．2

B．8

C．10

D．15

16.甲、乙兩地相距150千米，A、B兩個人分別從甲、乙兩地出發，兩人相遇需要10個小時，已知甲的速度是乙的速度的2/3，那么乙單獨走完需要（）小時。A．50/3

B．15

C．20

D．17

17.建筑工人配制了4000公斤混凝土。所有水泥、砂和石子的重量比是2:3:5。請問石子的重量是多少公斤?（）A．800

B．1200

C．1800

D．2000

18.父親和兒子的年齡和為50歲，三年前父親的年齡是兒子的三倍，多少年后兒子年滿18歲?（）A．2

B．4

C．6

D．8

19.用3、9、0、1、8、5分別組成一個最大的六位數與最小的六位數，它們的差是（）。A．15125

B．849420

C．786780

D．881721

20.1000克蘋果價值2.4元，柚子的價格比蘋果貴一倍，如果兩個柚子的重量等于5個每個重 100克的蘋果，3.6元能買多少個柚子?（）A．3

B．4

C．6

D．10

21.百貨商場折價出售一商品，以八折出售的價格比原價少15元，問該商品的原價是多少元?（）A．65

B．70

C．75

D．80

22.一個長方形，它的周長是32米，長是寬的3倍。這個長方形的面積是多少平方米?（）A．64

B．56

C．52

D．48

23.用長6.28米的籬笆圍地，圍成正方形和圍成圓形，則它們面積S的大小為（）。A．S正方形＞S圓形

B．S正方形＜S圓形 C．S正方形＝S圓形

D．無法判斷

24.兩個運輸隊，第一隊有320人，第二隊有280人，現因任務變動，要求第二隊的人數是第一隊人數的2倍，需從第一隊抽調多少人到第二隊?（）A．80人

B．100人

C．120人

D．140人

25.鋪設一條自來水管道，甲隊單獨鋪設8天可以完成，而乙隊每天可鋪設50米。如果甲、乙兩隊同時鋪設，4天可以完成全長的2/3，這條管道全長是多少米?（）A．1000米

B．1100米

C．1200米

D．1300米

參考答案 1． C 9＝(1+2)2，121＝(9+2)2，即前兩項和的平方為第三項。2． D 前兩項之和等于第三項。

3． D 13-4＝9，40-13=27，121-40＝81，364-121＝243，可見下一項為243×3+364=1093。4． B 5． C 6＝3×2，24=4×6，60＝5×12，120＝6×20，210＝7×30。6． D(2，6)，(12，39)，(15，45)，(23，)，可見空缺處的數字是前一個數字的3倍，故空缺項為69。7． B 6＝11-5，12＝23-11，24＝47-23，48=95-47，96＝()-95，得空缺處數191。8． C 1＝21-1，3＝22-1，15=24-1，255＝28-1。9． C 后一項減去前一項：3，4，7，11，18，29為二級等差數列。故空缺項為47+29＝76。10． B 二級等差數列。11． A 先計算25×80。12． B 原式=(2000-4)+(2000-3)+(2000-2)+(2000-1)+(2000+1)=2000×6-4-3-2+1 =12000-9 =11991。13． B 原式可化為423×(187-24-63)。14． A 0.2÷(1-3/4)+0.3＝1.1。15． A 做這樣的題最好用畫圖法。16． A

17． D

18． B 19． D 最大的數為985310，最小的數為103589，故它們的差為881721。20． A 兩個柚子重500克，即1個柚子重250克，由題意可知，1000克柚子的價格為4.8元，所以250克柚子為1.2元，即1個柚子1.2元，所以3.6元可買3個柚子。21． C 設原價為x元，則80%x+25=x，x＝75元。22． D 設寬為x則長為3x，則2(x+3x)＝32，則x＝4，故面積為48平方米。23． B

24． C 設需抽調x人，根據題意可得2(320-x)=280+x，解得x=120人。C