第一篇：高三立體幾何證明題訓練

高三數學 立體幾何證明題訓練

班級姓名

1、如圖，在長方體

ABCD?A1B1C1D1中，AA1?AD?a，AB?2a，E、F分別為C1D1、A1D1的中點．（Ⅰ）求證：DE?平面BCE；（Ⅱ）求證：AF//平面BDE．

D

1F

E

C1

A1

C

B

A

ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形，且AA1?面ABCD

AD?AA1，F為棱AA1的中點，1的中點，M為線段BD

（1）求證：MF//面ABCD；（2）求證：MF?面BDD1B1；

2、如圖，已知棱柱，?DAB?60，?

DC

1B1

M

AF

C

A3、如圖，四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠DAC=60°，AB=BC=AC，E是PD的中點，F為ED的中點。（I）求證：平面PAC⊥平面PCD；（II）求證：CF//平面BAE。

4、如圖，ABCD?A1B1C1D1是正四棱柱側棱長為1，底面邊長為2，E是棱BC的中點。

（2）求三棱錐D?

D1BC//平面C1DE；

（1）求證：BD15、如圖所示，四棱錐P-ABCD底面是直角梯形，BA?ABCD，E為PC的中點。PA＝AD＝AB＝1。

AD，CD?AD,CD?2AB,PA? 底面

（1）證明：EB//平面PAD；（2）證明：BE?平面PDC；（3）求三棱錐B-PDC的體積V。

6、如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面所成的角為45?，底面ABCD為直角梯形，∠

1ABC = ∠BAD = 90?，PA = BC =AD．(Ⅰ)求證：平面PAC⊥平面PCD；

2(Ⅱ)在棱PD上是否存在一點E，使CE∥平面PAB ？若存在，請確定E點的位置；若不存在，請說明理由．

PB

C

D7、已知ABCD是矩形，AD?4,AB?2，E、F分別是線段AB、BC的中點，PA?面ABCD.P

(1)證明：PF⊥FD；(2)在PA上找一點G，使得EG∥平面PFD.A E

B

F

D

ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB?,AF?1,M的中點。(Ⅰ)求三棱錐A?BDF的體積；(Ⅱ)求證:AM//平面BDE；

8、如圖，已知正方形

9、如圖，矩形

是線段EF

為CE上的點，且

ABCD

中，AD?平面ABE，AE?EB?BC?2，F的體積.BF?平面ACE。Ⅰ）求證：AE?平面BCE；

（Ⅱ）求證；

AE//平面BFD；（Ⅲ）求三棱錐C?BGF

C

B10、如圖，四棱錐P—ABCD中，PA?平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E為PC中點．

(I)求證：平面PDC?平面PAD；(II)求證：BE//平面PAD．

11、如圖，在五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，面CDE是等邊三角形，棱EF∥BC且EF=BC．（1）證明FO//平面CDE；（2）設BC=CD，證明EO⊥平面CDF．

P

E

D

C

A

B

A

D

C12、如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，點E、F分別為棱AB、PD的中點．（Ⅰ）求證：AF∥平面PCE；

（Ⅱ）求證：平面PCE⊥平面PCD；（Ⅲ）求三棱錐C－BEP的體積．

13、如圖，在矩形ABCD中，沿對角線BD把△BCD折起，使C移到C′，且BC′⊥AC′

（Ⅰ）求證：平面AC′D

⊥平面ABC′；

（Ⅱ）若AB=2，BC=1，求三棱錐C′—ABD的體積。

14、如圖,在四棱錐P?

ABCD中,底面ABCD是邊長為a的正方形,側面PAD?底面ABCD，且

PA?PD?

(Ⅰ)

AD，若E、F分別為PC、BD的中點。2

EF //平面PAD；(Ⅱ)求證:平面PDC?平面PAD；

第二篇：立體幾何證明題[范文]

11.如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1，D是棱

2AA1的中點

(Ｉ)證明：平面BDC1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.2.如圖5所示，在四棱錐P?ABCD中，AB?平面PAD，AB//CD，PD?AD，E是C A1 1D B

PB的中點，F是CD上的點且DF?

PH為△PAD中AD邊上的高.（1）證明：PH?平面ABCD；

（2）若PH?

1，AD?1AB，2FC?1，求三棱錐E?BCF的體積；

（3）證明：EF?平面PAB.3.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，ABE分11?AC11，D，別是棱BC，（點D 不同于點C），且ACC1上的點D?DEF，為B1C1的中點．

求證：（1）平面ADE?平面BCC1B1；

（2）直線A1F//平面ADE．

4.如圖，四棱錐P—ABCD中，ABCD為矩形，△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分別為PC和BD的中點．

（1）證明：EF∥面PAD；（2）證明：面PDC⊥面PAD；（3）求四棱錐P—ABCD的體積．

5.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA?平面ABCD，PD//MA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點，且AD?PD?2MA.（I）求證：平面EFG?平面PDC；

（II）求三棱錐P?MAB與四棱錐P?ABCD的體積之比.6.如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC，,CE=EF=1（Ⅰ）求證：AF//平面BDE；（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDF;

7.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H為BC的中點，(Ⅰ)求證：FH∥平面EDB;

（Ⅱ）求證：AC⊥平面EDB;（Ⅲ）求四面體B—DEF的體積；

8.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，E、F分別是A1B、A1C的中點，點D在B1C1上，A1D?B1C

。求證：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD?平面BB1C1C.9.如圖4,在邊長為1的等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC邊上的點,AD?AE,F

是BC的中點,AF與DE交于點G,將?ABF沿AF折起,得到如圖5所示的三棱錐

A?BCF,其中BC?

(1)證明:DE//平面BCF;(2)證明:CF?平面ABF;(3)當AD?

圖4

時,求三棱錐F?DEG的體積VF?DEG.3

10.如圖,在四棱錐P?ABCD

中,AB//CD,AB?AD,CD?2AB,平面PAD?底面

ABCD,PA?AD,E和F分別是CD和PC的中點,求

證:

(1)PA?底面ABCD;(2)BE//平

面PAD;(3)平面BEF?平面PCD

（2013年山東卷）如圖,四棱錐P?ABCD中,AB?AC,AB?PA,AB∥CD,AB?2CD,E,F,G,M,N分別為

PB,AB,BC,PD,PC的中點

(Ⅰ)求證:CE∥平面PAD;(Ⅱ)求證:平面EFG?平面EMN

11.

第三篇：立體幾何證明題舉例

立體幾何證明題舉例

(2012·江蘇)如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分別是棱BC、CC1上的點(點D不同于點C)，且AD⊥DE，F為B1C1的中點． 求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；

(2)直線A1F∥平面ADE.證明(1)因為ABC ?A1B1C1是直三棱柱，所以C C1⊥平面ABC.又AD?平面ABC，所以C C1⊥AD.又因為AD⊥DE，C C1，DE?平面BC C1 B1，C C1∩DE＝E，所以AD⊥平面BC C1 B1.又AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BC C1 B1.(2)因為A1 B1＝A1 C1，F為B1 C1的中點，所以A1F⊥B1 C1.因為C C1⊥平面A1 B1 C1，且A1F?平面A1 B1 C1，所以C C1⊥A1F.又因為C C1，B1 C1?平面BC C1 B1，C C1∩B1 C1＝C1，所以A1F⊥平面BC C1 B1.由(1)知AD⊥平面BC C1 B1，所以A1F∥AD

.又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，所以A1F∥平面ADE

【例1】如圖，在平行四邊形ABCD中，CD＝1，∠BCD＝60°，且BD⊥CD，正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直，G、H分別是DF、BE的中點．

(1)求證：BD⊥平面CDE；

(2)求證：GH∥平面CDE；

(3)求三棱錐D－CEF的體積．

[審題導引](1)先證BD⊥ED，BD⊥CD，可證BD⊥平面CDE；

(2)由GH∥CD可證GH∥平面CDE；

(3)變換頂點，求VC－DEF.[規范解答](1)證明 ∵四邊形ADEF是正方形，∴ED⊥AD，又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD.∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD.又BD⊥CD，且ED∩DC＝D，∴BD⊥平面CDE.(2)證明 ∵G是DF的中點，又易知H是FC的中點，∴在△FCD中，GH∥CD，又∵CD?平面CDE，GH?平面CDE，∴GH∥平面CDE.(3)設Rt△BCD中，BC邊上的高為h，∵CD＝1，∠BCD＝60°，BD⊥CD，11∴BC＝2，BD3，∴2×2×h＝2×3，33∴h＝2C到平面DEF2，1133∴VD－CEF＝VC－DEF＝2×＝.3223

【例2】如圖所示，已知在三棱錐A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB的中點，D為PB的中點，且△PMB為正三角形．

(1)求證：DM∥平面APC；

(2)求證：平面ABC⊥平面APC；

(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱錐D－

BCM的體積．

[審題導引](1)只要證明MD∥AP即可，根據三角形中位線定理可證；

(2)證明AP⊥BC；

(3)根據錐體體積公式進行計算．

[規范解答](1)證明 由已知，得MD是△ABP的中位線，所以MD∥AP.又MD?平面APC，AP?平面APC，故MD∥平面APC.(2)證明 因為△PMB為正三角形，D為PB的中點，所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.因為BC?平面PBC，所以AP⊥BC.又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.因為BC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.(3)由題意，可知MD⊥平面PBC，所以MD是三棱錐D－BCM的一條高，11所以VM－DBC＝S△BCD×MD＝221×53＝107.33

第四篇：高中數學立體幾何常考證明題匯總

新課標立體幾何常考證明題

1、已知四邊形ABCD是空間四邊形，E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點

（1）求證：EFGH是平行四邊形

（2）若

BD=AC=2，EG=2。求異面直線AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。

C D H證明：在?ABD中，∵E,H分別是AB,AD的中點∴EH//BD,EH?同理，FG//BD,FG?

(2)90°30 °

考點：證平行（利用三角形中位線），異面直線所成的角 1BD 21BD∴EH//FG,EH?FG∴四邊形EFGH是平行四邊形。

22、如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC?AC,AD?BD，E是AB的中點。求證：（1）AB?平面CDE;

（2）平面CDE?平面ABC。E BC?AC?證明：（1）??CE?AB AE?BE?

同理，AD?BD???DE?AB AE?BE?B C 又∵CE?DE?E∴AB?平面CDE

（2）由（1）有AB?平面CDE

又∵AB?平面ABC，∴平面CDE?平面ABC

考點：線面垂直，面面垂直的判定

D3、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中點，求證： AC1//平面BDE。

證明：連接AC交BD于O，連接EO，∵E為AA1的中點，O為AC的中點 ∴EO為三角形A1AC的中位線 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE內，A1C在平面BDE外

∴AC1//平面BDE。考點：線面平行的判定

4、已知?ABC中?ACB?90,SA?面ABC,AD?SC,求證：AD?面SBC． 證明：∵?ACB?90°?BC?AC

又SA?面ABC?SA?BC

?BC?面SAC?BC?AD

?

A

D

1B

C

D

C

S

A

C

B

又SC?AD,SC?BC?C?AD?面SBC考點：線面垂直的判定

9、如圖P是?ABC所在平面外一點，PA?PB,CB?平面PAB，M是PC的中點，N是AB上的點，AN?3NB（1）求證：MN?AB；（2）當?APB?90，AB?2BC?4時，求MN的長。證明：（1）取PA的中點Q，連結MQ,NQ，∵M是PB的中點，M

?

P

∴MQ//BC，∵ CB?平面PAB，∴MQ?平面PAB∴QN是MN在平面PAB內的射影，取 AB的中點D，連結 PD，∵PA?PB,∴C

A

PD?AB，又AN?3NB，∴BN?ND

N ∴QN//PD，∴QN?AB，由三垂線定理得MN?AB B

1?

（2）∵?APB?90，PA?PB,∴PD?AB?2，∴QN?1，∵MQ?平面PAB.∴MQ?NQ，且

MQ?BC?

1，∴MN?

2考點：三垂線定理

12、已知ABCD是矩形，PA?平面ABCD，AB?2，PA?AD?4，E為BC的中點．

（1）求證：DE?平面PAE；（2）求直線DP與平面PAE所成的角． 證明：在?ADE中，AD?AE?DE，?AE?DE ∵PA?平面ABCD，DE?平面ABCD，?PA?DE

又PA?AE?A，?DE?平面PAE（2）?DPE為DP與平面PAE所成的角

在Rt?

PAD，PD?Rt?

DCE中，DE?在Rt?DEP中，PD?2DE，??DPE?300 考點：線面垂直的判定,構造直角三角形

15、如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．證明：取AB的中點Ｆ，連結CF，DF．∵AC?BC，∴CF?AB．

∵AD?BD，∴DF?AB．

又CF?DF?F，∴AB?平面CDF．∵CD?平面CDF，∴CD?AB．又CD?BE，BE?AB?B，∴CD?平面ABE，CD?AH．

∵AH?CD，AH?BE，CD?BE?E，∴ AH?平面BCD． 考點：線面垂直的判定

第五篇：高中數學立體幾何常考證明題匯總 - 副本

立體幾何常考證明題匯總答案

1、已知四邊形ABCD是空間四邊形，E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點（1）求證：EFGH是平行四邊形

（2）若

BD=AC=2，EG=2。求異面直線AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。考點：證平行（利用三角形中位線），異面直線所成的角

2、如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC?AC,AD?BD，E是AB的中點。求證：（1）AB?平面CDE;

（2）平面CDE?平面ABC。證明：（1）

E

C

H D

BC?AC?

??CE?AB

AE?BE?

B

同理，AD?BD?

??DE?AB

AE?BE?

C

又∵CE?DE?E∴AB?平面CDE（2）由（1）有AB?平面CDE

又∵AB?平面ABC，∴平面CDE?平面ABC

B

考點：線面垂直，面面垂直的判定

3、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中點，A

D

D

1C

求證： AC1//平面BDE。

證明：連接AC交BD于O，連接EO，∵E為AA1的中點，O為AC的中點

C

D

S

∴EO為三角形A1AC的中位線 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE內，AC1在平面BDE外 ∴AC1//平面BDE。考點：線面平行的判定

4、已知?ABC中?ACB?90,SA?面ABC,AD?SC,求證：AD?面SBC． 考點：線面垂直的判定

5、已知正方體ABCD?A1B1C1D1，O是底ABCD對角線的交點.?

A

C

B

D1A

1D

A

BBC1

?面AB1D1．求證：(１)C1O∥面AB1D1；(2)AC1

C

考點：線面平行的判定（利用平行四邊形），線面垂直的判定

6、正方體ABCD?A'B'C'D'中，求證：（1）AC?平面B'D'DB；（2）BD'?平面ACB'.考點：線面垂直的判定

7、正方體ABCD—A1B1C1D1中．(1)求證：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分別是AA1，CC1的中點，求證：平面EB1D1∥平面FBD． 證明：(1)由B1B∥DD1，得四邊形BB1D1D是平行四邊形，∴B1D1∥BD，又BD ?平面B1D1C，B1D1?平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C． 同理A1D∥平面B1D1C．

而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．

A

(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中點G，∴AE∥B1G．

從而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．

考點：線面平行的判定（利用平行四邊形）

8、四面體ABCD中，AC?BD,E,F分別為AD,BC的中點，且EF?

AC，2?BDC?90?，求證：BD?平面ACD

證明：取CD的中點G，連結EG,FG，∵E,F分別為AD,BC的中點，∴EG

1//?AC 2

//1BD，又AC?BD,∴FG?1AC，∴在?EFG中，EG2?FG2?1AC2?EF2 FG?

222

?

∴EG?FG，∴BD?AC，又?BDC?90，即BD?CD，AC?CD?C∴BD?平面ACD

考點：線面垂直的判定,三角形中位線，構造直角三角形

9、如圖P是?ABC所在平面外一點，PA?PB,CB?平面PAB，M是PC的中點，N是AB上的點，AN?3NB

P

?

（1）求證：MN?AB；（2）當?APB?90，AB?2BC?4時，求MN的長。證明：（1）取PA的中點Q，連結MQ,NQ，∵M是PB的中點，M∴MQ//BC，∵ CB?平面PAB，∴MQ?平面PAB∴QN是MN在平面PAB內的射影，取 AB的中點D，連結 PD，∵PA?PB,∴CAPD?AB，又AN?3NB，∴BN?ND

N ∴QN//PD，∴QN?AB，由三垂線定理得MN?AB B

1?

（2）∵?APB?90，PA?PB,∴PD?AB?2，∴QN?1，∵MQ?平面PAB.∴MQ?NQ，且

MQ?BC?

1，∴MN?

2考點：三垂線定理

10、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G分別是AB、AD、C1D1的中點.求證：平面D1EF∥平面BDG.證明：∵E、F分別是AB、AD的中點，?EF∥BD 又EF?平面BDG，BD?平面BDG?EF∥平面BDG ∵D

1G

EB?四邊形D1GBE為平行四邊形，D1E∥GB

又D1E?平面BDG，GB?平面BDG?D1E∥平面BDG

EF?D1E?E，?平面D1EF∥平面BDG

考點：線面平行的判定（利用三角形中位線）

11、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中點.（1）求證：AC1//平面BDE；（2）求證：平面A1AC?平面BDE.證明：（1）設AC?BD?O，∵E、O分別是AA1、AC的中點，?AC1∥EO

?平面BDE，EO?平面BDE，?AC又AC∥平面BDE 1

1（2）∵AA1?平面ABCD，BD?平面ABCD，AA1?BD 又BD?AC，AC?AA1?A，?BD?平面A1AC，BD?平面BDE，?平面BDE?平面A1AC

考點：線面平行的判定（利用三角形中位線），面面垂直的判定

12、已知ABCD是矩形，PA?平面ABCD，AB?2，PA?AD?4，E為BC的中點．

（1）求證：DE?平面PAE；（2）求直線DP與平面PAE所成的角． 證明：在?ADE中，AD?AE?DE，?AE?DE ∵PA?平面ABCD，DE?平面ABCD，?PA?DE 又PA?AE?A，?DE?平面PAE（2）?DPE為DP與平面PAE所成的角

在Rt?

PAD，PD?Rt?

DCE中，DE?在Rt?DEP中，PD?2DE，??DPE?30 考點：線面垂直的判定,構造直角三角形

13、如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是?DAB?60且邊長為a的菱形，側面PAD是等邊三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．

（1）若G為AD的中點，求證：BG?平面PAD；（2）求證：AD?PB；

（3）求二面角A?BC?P的大小． 證明：（1）?ABD為等邊三角形且G為AD的中點，?BG?AD 又平面PAD?平面ABCD，?BG?平面PAD

（2）PAD是等邊三角形且G為AD的中點，?AD?PG 且AD?BG，PG?BG?G，?AD?平面PBG，22

2PB?平面PBG，?AD?PB

（3）由AD?PB，AD∥BC，?BC?PB 又BG?AD，AD∥BC，?BG?BC ??PBG為二面角A?BC?P的平面角

在Rt?PBG中，PG?BG，??PBG?4

5考點：線面垂直的判定,構造直角三角形,面面垂直的性質定理，二面角的求法（定義法）

?平面MBD．

14、如圖1,在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M為CC1 的中點，AC交BD于點O，求證：AO

1證明：連結MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A?AC?A，?平面A1ACC1 ∴DB⊥AO∴DB⊥平面A1ACC1，而AO1．1

設正方體棱長為a，則AO?1

3a，MO2?a2． 2

4．在Rt△ACA1M2?11M中，9222

2OO?M∵AO，∴A?MO?A1Ma．11

∵OM∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

考點：線面垂直的判定，運用勾股定理尋求線線垂直 15、如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．證明：取AB的中點Ｆ，連結CF，DF．∵AC?BC，∴CF?AB．

∵AD?BD，∴DF?AB．

又CF?DF?F，∴AB?平面CDF．∵CD?平面CDF，∴CD?AB．又CD?BE，BE?AB?B，∴CD?平面ABE，CD?AH．

∵AH?CD，AH?BE，CD?BE?E，∴ AH?平面BCD．

考點：線面垂直的判定

A16、證明：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1DC證明：連結AC

⊥AC∵BD∴ AC為A1C在平面AC上的射影

?BD?A1C

?

??A1C?平面BC1D

同理可證A1C?BC1?

考點：線面垂直的判定，三垂線定理

17、如圖，過S引三條長度相等但不共面的線段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求證：平面ABC⊥平面BSC．

證明∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中點O，連AO、SO，則AO⊥BC，SO⊥BC，∴∠AOS為二面角的平面角，設SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°，∴BC=a，SO=2a，11

AO2=AC2－OC2=a2－2a2=2a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°，從而平面ABC⊥

平面BSC．

考點：面面垂直的判定（證二面角是直二面角）