第一篇：分析立體幾何證明題思路的方法

應用分析法分析立體幾何證明題思路

立體幾何是高中數學中很重要的一部分知識，對培養學生空間想象能力有很重要的意義，雖然近些年高考中立體幾何的難度有所降低，但一直是高考的必考點，其中證明又是重要的考察點。有許多空間想象能力較弱的學生一見到立體幾何證明題就無從下手，也不知道該怎么學習這部分知識，下面談談我在教學中的一些做法。

一、基礎知識的準備，學生需要熟悉所學的公理、定理的條件和結論，并按照結論來分類，這樣做的目的是讓學生知道當要證明一個結論時需要選擇的方法有哪些，然后根據條件來確定。立體幾何證明里邊常見的是位置的證明，有平行和垂直，又可分為六種，有線線、線面、面面平行和垂直。整理方式如下：

（一）線線平行

1.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行；

2.線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行,經過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線和交線平行； 3.面面平行的性質定理：一個平面與兩個平行平面的交線互相平行；

4.垂直于同一個平面的兩條直線平行。

（二）線面平行

1.線面平行的判定定理：平面外一條直線平行于平面內的直線，則該直線與平面平行；

2.面面平行的性質定理：兩個平面平行，則一個平面內的任意直線平行另外一個平面。

（三）面面平行

1.面面平行的判定定理：一個平面內的兩條相交直線平行于另一個平面，則這兩個平面平行；

2.推論：兩個平面內的兩條相交直線分別平行，則兩個平面互相平行。

（四）線線垂直

1.線面垂直的性質定理：直線垂直于平面，則該直線垂直于平面的內的所有的直線；

2.三垂線定理：平面內的一條直線，如果與穿過這個平面的一條斜線在這個平面上的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直；

3.三垂線逆定理：在平面內的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面內的射影垂直。

（五）線面垂直

1.線面垂直的判定定理：直線垂直于平面內的兩條相交直線，則直線垂直于平面；

2.面面垂直的性質定理：兩個平面垂直，一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面。

（六）面面垂直

面面垂直判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則兩個平面互相垂直。

二、掌握證明方法，用分析發來分析思路，用綜合法來書寫證明過程。分析時從結論出發，找結論成立的條件。下面用例題來說明。

例1（2014年全國卷2第18題）如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PA?ABCD,E為PD中點。

（I）證明：PB//面AEC;(II)略。

分析：要證明的是線面平行，根據掌握的常用結論有線面的判定和面面平行的性質，從圖中觀察，PB所在的兩個平面和面AEC并不平行，所以選擇用判定，在平面內找一條直線與PB平行，現有的三條也不平行，這時就想到要做輔助線了，怎么做呢，由點E是中點容易想到用三角形的中位線所以連接BD交AC于點O，連接OE，O為BD的中點，OE為中位線，所以平行于PB，故能證明結論PB//面AEC成立。下面用簡圖說明；

要證明PB//面AEC

? PB//OE

?

OE是?PBD的中位線

書寫證明過程時從條件出發，證明如下： 證明：連接BD交AC于點O，連接OE。

?點E是PD的中點

?PB//OE ?OE?面ACE

?PB//面AEC

例題2（2013陜西第18題）如圖，四棱柱ABCD?A'B'C'D'的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A'O?平面BB'D'D,AB?AA'?2.(I)證明：A'C?BB'D'D;(II)略。

要證明線面垂直，能用的結論有線面垂直的判定和面面垂直的性質，這就有兩種證明方法了，先用線面垂直的判定來分析。

分析1： A'C?BB'D'D

AC?BD

A'C?BB'

'?

BD?面ACC'A' A'C?OO'

? ?

? ? ?

四邊形ABCD是正方形 A'O?面ABCD A'O?OC A'O?OC ? ? ? ?

已知 已知 在Rt?AA'O中計算 已知 AC?BD A'O?BD 四邊形A'OCO'為正方形

? ?

分析完成后，按照從下往上的順序書寫證明過程，書寫中完善條件。證明:連接上底面對角線交于點O'，連接OO',O'C.?四邊形ABCD是正方形 ?AC?BD ?A'O?面ABCD

?A'O?BD

?AC?A'O?O,AC、A'O?面ACC'A' ?BD?面ACC'A' ?A'C?BD

?A'O?平面BB'D'D,AB?AA'?2.?在Rt?AA'O中A'O?OC ?四邊形A'OCO'為正方形 ?A'C?OO' ?A'C?BB' ?A'C?BB'D'D

下面用面面垂直的性質來分析；

分析2： A'C?BB'D'D ?

面ACC'A'?面BB'D'D A'C?OO'

? ?

BD?面ACC'A' 四邊形A'OCO'為正方形

? ?

AC?BD A'O?BD A'O?OC A'O?OC

? ? ? ? 四邊形ABCD是正方形 A'O?面ABCD 在Rt?AA'O中計算 已知

? ?

已知 已知

證明過程略。

通過這樣的方法多練習，掌握分析方法，熟練后基本的立體幾何證明問題都可以解決。

第二篇：立體幾何證明題[范文]

11.如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1，D是棱

2AA1的中點

(Ｉ)證明：平面BDC1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.2.如圖5所示，在四棱錐P?ABCD中，AB?平面PAD，AB//CD，PD?AD，E是C A1 1D B

PB的中點，F是CD上的點且DF?

PH為△PAD中AD邊上的高.（1）證明：PH?平面ABCD；

（2）若PH?

1，AD?1AB，2FC?1，求三棱錐E?BCF的體積；

（3）證明：EF?平面PAB.3.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，ABE分11?AC11，D，別是棱BC，（點D 不同于點C），且ACC1上的點D?DEF，為B1C1的中點．

求證：（1）平面ADE?平面BCC1B1；

（2）直線A1F//平面ADE．

4.如圖，四棱錐P—ABCD中，ABCD為矩形，△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分別為PC和BD的中點．

（1）證明：EF∥面PAD；（2）證明：面PDC⊥面PAD；（3）求四棱錐P—ABCD的體積．

5.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA?平面ABCD，PD//MA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點，且AD?PD?2MA.（I）求證：平面EFG?平面PDC；

（II）求三棱錐P?MAB與四棱錐P?ABCD的體積之比.6.如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC，,CE=EF=1（Ⅰ）求證：AF//平面BDE；（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDF;

7.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H為BC的中點，(Ⅰ)求證：FH∥平面EDB;

（Ⅱ）求證：AC⊥平面EDB;（Ⅲ）求四面體B—DEF的體積；

8.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，E、F分別是A1B、A1C的中點，點D在B1C1上，A1D?B1C

。求證：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD?平面BB1C1C.9.如圖4,在邊長為1的等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC邊上的點,AD?AE,F

是BC的中點,AF與DE交于點G,將?ABF沿AF折起,得到如圖5所示的三棱錐

A?BCF,其中BC?

(1)證明:DE//平面BCF;(2)證明:CF?平面ABF;(3)當AD?

圖4

時,求三棱錐F?DEG的體積VF?DEG.3

10.如圖,在四棱錐P?ABCD

中,AB//CD,AB?AD,CD?2AB,平面PAD?底面

ABCD,PA?AD,E和F分別是CD和PC的中點,求

證:

(1)PA?底面ABCD;(2)BE//平

面PAD;(3)平面BEF?平面PCD

（2013年山東卷）如圖,四棱錐P?ABCD中,AB?AC,AB?PA,AB∥CD,AB?2CD,E,F,G,M,N分別為

PB,AB,BC,PD,PC的中點

(Ⅰ)求證:CE∥平面PAD;(Ⅱ)求證:平面EFG?平面EMN

11.

第三篇：立體幾何平行證明題常見模型及方法[定稿]

立體幾何平行證明題常見模型及方法 證明空間線面平行需注意以下幾點：

①由已知想性質，由求證想判定，即分析法與綜合法相結合尋找證題思路。

②立體幾何論證題的解答中，利用題設條件的性質適當添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一。

③明確何時應用判定定理，何時應用性質定理，用定理時要先申明條件再由定理得出相應結論。

平行轉化：線線平行 線面平行 面面平行；

類型一：線面平行證明（中位線法，構造平行四邊形法，面面平行法）

（1）方法一：中位線法以錐體為載體

例1：如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P?ABCD中，點E是PD的中點.求證：PB∥平面AEC；

變式1：若點M是PC的中點，求證：PA||平面BDM；

變式2：若點M是PA 的中點，求證：PC||平面BDM。EAB變式3如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD是菱形，(2)以柱體為載體

例2在直三棱柱ABC?A1B1C1,D 為BC的中點，求證：AC1||平面AB1D

變式1 在正方體ABCD?A1BC11D1中，若E是CD的中點，求證：B1D||平面BC1E 變式2在正方體ABCD?A1BC11D1中，若E是CD的中點，求證：B1D||平面BC1E 變式 3如圖，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=，AC=BC=2，∠C=90°，點D是A1C1的中點.求證：BC1//平面AB1D；

方法2：構造平行四邊形法

例1如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為正方形，E、F

分別為AB,SC的中點．證明○1EF∥平面SAD○2BF∥平面SDE S

A

變式1：若E、F分別為AD,SB的中點．證明EF∥平面SCD

變式2若E、F分別為SD,AB的中點．證明EF∥平面SCB

例2如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,AA1=2,E、E1分別是棱AD、AA1的中點.設F是棱AB的中點,證明：直線EE1//平面FCC

1E1E

F

E

B

C

AD1

B1

方法3：面面平行法（略）

舉一反三

1如圖，已知AB?平面ACD，DE?平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD?DE?2AB，F為CD的中點.(1)求證：AF//平面BCE；(2)求證：平面BCE?平面CDE；

E

A

C

F

2如圖是某直三棱柱(側棱與底面垂直)被削去上底后的直觀圖與三視圖中的側(左)視圖、俯視圖，在直觀圖中，M是BD的中點，側(左)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關數據如圖所示．

(1)求出該幾何體的體積；

(2)若N是BC的中點，求證：AN∥平面CME；(3)求證：平面BDE⊥平面BCD.3直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB＝2AD＝2DC＝2，E為BD1的中點，F為AB中點．

(1)求證EF∥平面ADD1A1；（2）求幾何體DD1AA1EF的體積。

第四篇：立體幾何證明題舉例

立體幾何證明題舉例

(2012·江蘇)如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分別是棱BC、CC1上的點(點D不同于點C)，且AD⊥DE，F為B1C1的中點． 求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；

(2)直線A1F∥平面ADE.證明(1)因為ABC ?A1B1C1是直三棱柱，所以C C1⊥平面ABC.又AD?平面ABC，所以C C1⊥AD.又因為AD⊥DE，C C1，DE?平面BC C1 B1，C C1∩DE＝E，所以AD⊥平面BC C1 B1.又AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BC C1 B1.(2)因為A1 B1＝A1 C1，F為B1 C1的中點，所以A1F⊥B1 C1.因為C C1⊥平面A1 B1 C1，且A1F?平面A1 B1 C1，所以C C1⊥A1F.又因為C C1，B1 C1?平面BC C1 B1，C C1∩B1 C1＝C1，所以A1F⊥平面BC C1 B1.由(1)知AD⊥平面BC C1 B1，所以A1F∥AD

.又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，所以A1F∥平面ADE

【例1】如圖，在平行四邊形ABCD中，CD＝1，∠BCD＝60°，且BD⊥CD，正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直，G、H分別是DF、BE的中點．

(1)求證：BD⊥平面CDE；

(2)求證：GH∥平面CDE；

(3)求三棱錐D－CEF的體積．

[審題導引](1)先證BD⊥ED，BD⊥CD，可證BD⊥平面CDE；

(2)由GH∥CD可證GH∥平面CDE；

(3)變換頂點，求VC－DEF.[規范解答](1)證明 ∵四邊形ADEF是正方形，∴ED⊥AD，又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD.∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD.又BD⊥CD，且ED∩DC＝D，∴BD⊥平面CDE.(2)證明 ∵G是DF的中點，又易知H是FC的中點，∴在△FCD中，GH∥CD，又∵CD?平面CDE，GH?平面CDE，∴GH∥平面CDE.(3)設Rt△BCD中，BC邊上的高為h，∵CD＝1，∠BCD＝60°，BD⊥CD，11∴BC＝2，BD3，∴2×2×h＝2×3，33∴h＝2C到平面DEF2，1133∴VD－CEF＝VC－DEF＝2×＝.3223

【例2】如圖所示，已知在三棱錐A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB的中點，D為PB的中點，且△PMB為正三角形．

(1)求證：DM∥平面APC；

(2)求證：平面ABC⊥平面APC；

(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱錐D－

BCM的體積．

[審題導引](1)只要證明MD∥AP即可，根據三角形中位線定理可證；

(2)證明AP⊥BC；

(3)根據錐體體積公式進行計算．

[規范解答](1)證明 由已知，得MD是△ABP的中位線，所以MD∥AP.又MD?平面APC，AP?平面APC，故MD∥平面APC.(2)證明 因為△PMB為正三角形，D為PB的中點，所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.因為BC?平面PBC，所以AP⊥BC.又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.因為BC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.(3)由題意，可知MD⊥平面PBC，所以MD是三棱錐D－BCM的一條高，11所以VM－DBC＝S△BCD×MD＝221×53＝107.33

第五篇：高三立體幾何證明題訓練

高三數學 立體幾何證明題訓練

班級姓名

1、如圖，在長方體

ABCD?A1B1C1D1中，AA1?AD?a，AB?2a，E、F分別為C1D1、A1D1的中點．（Ⅰ）求證：DE?平面BCE；（Ⅱ）求證：AF//平面BDE．

D

1F

E

C1

A1

C

B

A

ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形，且AA1?面ABCD

AD?AA1，F為棱AA1的中點，1的中點，M為線段BD

（1）求證：MF//面ABCD；（2）求證：MF?面BDD1B1；

2、如圖，已知棱柱，?DAB?60，?

DC

1B1

M

AF

C

A3、如圖，四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠DAC=60°，AB=BC=AC，E是PD的中點，F為ED的中點。（I）求證：平面PAC⊥平面PCD；（II）求證：CF//平面BAE。

4、如圖，ABCD?A1B1C1D1是正四棱柱側棱長為1，底面邊長為2，E是棱BC的中點。

（2）求三棱錐D?

D1BC//平面C1DE；

（1）求證：BD15、如圖所示，四棱錐P-ABCD底面是直角梯形，BA?ABCD，E為PC的中點。PA＝AD＝AB＝1。

AD，CD?AD,CD?2AB,PA? 底面

（1）證明：EB//平面PAD；（2）證明：BE?平面PDC；（3）求三棱錐B-PDC的體積V。

6、如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面所成的角為45?，底面ABCD為直角梯形，∠

1ABC = ∠BAD = 90?，PA = BC =AD．(Ⅰ)求證：平面PAC⊥平面PCD；

2(Ⅱ)在棱PD上是否存在一點E，使CE∥平面PAB ？若存在，請確定E點的位置；若不存在，請說明理由．

PB

C

D7、已知ABCD是矩形，AD?4,AB?2，E、F分別是線段AB、BC的中點，PA?面ABCD.P

(1)證明：PF⊥FD；(2)在PA上找一點G，使得EG∥平面PFD.A E

B

F

D

ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB?,AF?1,M的中點。(Ⅰ)求三棱錐A?BDF的體積；(Ⅱ)求證:AM//平面BDE；

8、如圖，已知正方形

9、如圖，矩形

是線段EF

為CE上的點，且

ABCD

中，AD?平面ABE，AE?EB?BC?2，F的體積.BF?平面ACE。Ⅰ）求證：AE?平面BCE；

（Ⅱ）求證；

AE//平面BFD；（Ⅲ）求三棱錐C?BGF

C

B10、如圖，四棱錐P—ABCD中，PA?平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E為PC中點．

(I)求證：平面PDC?平面PAD；(II)求證：BE//平面PAD．

11、如圖，在五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，面CDE是等邊三角形，棱EF∥BC且EF=BC．（1）證明FO//平面CDE；（2）設BC=CD，證明EO⊥平面CDF．

P

E

D

C

A

B

A

D

C12、如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，點E、F分別為棱AB、PD的中點．（Ⅰ）求證：AF∥平面PCE；

（Ⅱ）求證：平面PCE⊥平面PCD；（Ⅲ）求三棱錐C－BEP的體積．

13、如圖，在矩形ABCD中，沿對角線BD把△BCD折起，使C移到C′，且BC′⊥AC′

（Ⅰ）求證：平面AC′D

⊥平面ABC′；

（Ⅱ）若AB=2，BC=1，求三棱錐C′—ABD的體積。

14、如圖,在四棱錐P?

ABCD中,底面ABCD是邊長為a的正方形,側面PAD?底面ABCD，且

PA?PD?

(Ⅰ)

AD，若E、F分別為PC、BD的中點。2

EF //平面PAD；(Ⅱ)求證:平面PDC?平面PAD；