第一篇：必修2 立體幾何證明題 詳解

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必修2 證明題

一．解答題（共3小題）

1．（2006?北京）如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)．

（1）求證：PB∥平面AEC；

（2）求二面角E﹣AC﹣B的大小．

考點(diǎn)：三垂線定理；直線與平面平行的判定。

分析：（1）欲證PB∥平面AEC，根據(jù)直線與平面平行的判定

定理可知只需證PB與平面AEC內(nèi)一直線平行即可，連BD

交AC于點(diǎn)O，連EO，則EO是△PDB的中位線則EO∥PB，滿足條件；

（2）取AD的中點(diǎn)F，連EF，F(xiàn)O，根據(jù)定義可知∠EOF是

二面角E﹣AC﹣D的平面角，在△EOF中求出此角，而二面

角E﹣AC﹣B與二面角E﹣AC﹣D互補(bǔ)．

解答：解：（1）由PA⊥平面ABCD可得PAAC

又AB⊥AC，所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥PB

連BD交AC于點(diǎn)O，連EO，則EO是△PDB的中位線，∴EO∥PB

∴PB∥平面AEC

（2）取AD的中點(diǎn)F，連EF，F(xiàn)O，則EF是△PAD的中位線，∴EF∥PA又PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD

同理FO是△ADC的中位線，∴FO∥AB，F(xiàn)O⊥AC由三垂線定理可知∠EOF是二面角E﹣AC﹣D的平面角．

又

FO=AB=PA=EF

∴∠EOF=45°而二面角E﹣AC﹣B與二面角E﹣AC﹣D互補(bǔ)，故所求二面角E﹣AC﹣B的大小為135°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及二面角等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．

2．如圖，已知∠BAC在平面α內(nèi)，P?α，∠PAB=∠PAC，求證：點(diǎn)P在平面α上的射影在∠BAC的平分線上．

考點(diǎn)：三垂線定理。

專題：作圖題；證明題。

分析：作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為O，E，F(xiàn)，連接OE，OF，OA，證明Rt△AOE≌Rt△AOF，然后得到點(diǎn)P在平面α上的射影在∠BAC的平分線上．

解答：證明：作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為O，E，F(xiàn)，連接OE，OF，OA，∵?Rt△PAE≌Rt△PAF?AE=AF，∵，又∵AB⊥PE，∴AB⊥平面PEO，∴AB⊥OE，同理AC⊥OF．

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必修2 證明題

在Rt△AOE和Rt△AOF，AE=AF，OA=OA，∴Rt△AOE≌Rt△AOF，∴∠EAO=∠FAO，即點(diǎn)P在平面α上的射影在∠BAC的平分線上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三垂線定理，考查學(xué)生邏輯思維能力，是基礎(chǔ)題．

3．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3．

（I）求證：A1C⊥BD；

（II）求直線A1C與側(cè)面BB1C1C所成的角的正切值；

（III）求二面角B1﹣CD﹣B的正切值．

考點(diǎn)：三垂線定理；直線與平面所成的角；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題。

專題：計(jì)算題；證明題；綜合題。

分析：（I）連AC，要證A1C⊥BD，只需證明AC⊥BD，說明AC是A1C在平面ABCD

上的射影即可；

（II）說明∠A1CB1就是直線A1C與側(cè)面BB1C1C所成的角，解三角形A1CB1，求

直線A1C與側(cè)面BB1C1C所成的角的正切值；

（III）找出∠B1CB為二面角B1﹣CD﹣B的平面角，通過角三角形求二面角B1﹣CD

﹣B的正切值．

解答：解：（I）連AC，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD

又側(cè)棱AA1⊥平面ABCD

∴AC是A1C在平面ABCD上的射影

∴A1C⊥BD（三垂線定理）；（4分）

（II）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，所以B1C是A1C在平面BB1C1C上的射影

∴∠A1CB1就是直線A1C與側(cè)面BB1C1C所成的角，（6分）

在直角三角形A1CB1，A1B1⊥B1C，A1B1=2，∴；（9分）

（III）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，CD⊥平面BB1C1C

∴CD⊥B1C，CD⊥BC

∴∠B1CB為二面角B1﹣CD﹣B的平面角，（11分）

∴

二面角B1﹣CD﹣B的正切值為．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三垂線定理，直線與平面所成的角，二面角及其度量，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．

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第二篇：立體幾何證明題[范文]

11.如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=1，D是棱

2AA1的中點(diǎn)

(Ｉ)證明：平面BDC1⊥平面BDC

（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.2.如圖5所示，在四棱錐P?ABCD中，AB?平面PAD，AB//CD，PD?AD，E是C A1 1D B

PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上的點(diǎn)且DF?

PH為△PAD中AD邊上的高.（1）證明：PH?平面ABCD；

（2）若PH?

1，AD?1AB，2FC?1，求三棱錐E?BCF的體積；

（3）證明：EF?平面PAB.3.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，ABE分11?AC11，D，別是棱BC，（點(diǎn)D 不同于點(diǎn)C），且ACC1上的點(diǎn)D?DEF，為B1C1的中點(diǎn)．

求證：（1）平面ADE?平面BCC1B1；

（2）直線A1F//平面ADE．

4.如圖，四棱錐P—ABCD中，ABCD為矩形，△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分別為PC和BD的中點(diǎn)．

（1）證明：EF∥面PAD；（2）證明：面PDC⊥面PAD；（3）求四棱錐P—ABCD的體積．

5.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA?平面ABCD，PD//MA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點(diǎn)，且AD?PD?2MA.（I）求證：平面EFG?平面PDC；

（II）求三棱錐P?MAB與四棱錐P?ABCD的體積之比.6.如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直。EF//AC，,CE=EF=1（Ⅰ）求證：AF//平面BDE；（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDF;

7.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H為BC的中點(diǎn)，(Ⅰ)求證：FH∥平面EDB;

（Ⅱ）求證：AC⊥平面EDB;（Ⅲ）求四面體B—DEF的體積；

8.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，E、F分別是A1B、A1C的中點(diǎn)，點(diǎn)D在B1C1上，A1D?B1C

。求證：（1）EF∥平面ABC；（2）平面A1FD?平面BB1C1C.9.如圖4,在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中,D,E分別是AB,AC邊上的點(diǎn),AD?AE,F

是BC的中點(diǎn),AF與DE交于點(diǎn)G,將?ABF沿AF折起,得到如圖5所示的三棱錐

A?BCF,其中BC?

(1)證明:DE//平面BCF;(2)證明:CF?平面ABF;(3)當(dāng)AD?

圖4

時(shí),求三棱錐F?DEG的體積VF?DEG.3

10.如圖,在四棱錐P?ABCD

中,AB//CD,AB?AD,CD?2AB,平面PAD?底面

ABCD,PA?AD,E和F分別是CD和PC的中點(diǎn),求

證:

(1)PA?底面ABCD;(2)BE//平

面PAD;(3)平面BEF?平面PCD

（2013年山東卷）如圖,四棱錐P?ABCD中,AB?AC,AB?PA,AB∥CD,AB?2CD,E,F,G,M,N分別為

PB,AB,BC,PD,PC的中點(diǎn)

(Ⅰ)求證:CE∥平面PAD;(Ⅱ)求證:平面EFG?平面EMN

11.

第三篇：立體幾何證明題舉例

立體幾何證明題舉例

(2012·江蘇)如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分別是棱BC、CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C)，且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)． 求證：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；

(2)直線A1F∥平面ADE.證明(1)因?yàn)锳BC ?A1B1C1是直三棱柱，所以C C1⊥平面ABC.又AD?平面ABC，所以C C1⊥AD.又因?yàn)锳D⊥DE，C C1，DE?平面BC C1 B1，C C1∩DE＝E，所以AD⊥平面BC C1 B1.又AD?平面ADE，所以平面ADE⊥平面BC C1 B1.(2)因?yàn)锳1 B1＝A1 C1，F(xiàn)為B1 C1的中點(diǎn)，所以A1F⊥B1 C1.因?yàn)镃 C1⊥平面A1 B1 C1，且A1F?平面A1 B1 C1，所以C C1⊥A1F.又因?yàn)镃 C1，B1 C1?平面BC C1 B1，C C1∩B1 C1＝C1，所以A1F⊥平面BC C1 B1.由(1)知AD⊥平面BC C1 B1，所以A1F∥AD

.又AD?平面ADE，A1F?平面ADE，所以A1F∥平面ADE

【例1】如圖，在平行四邊形ABCD中，CD＝1，∠BCD＝60°，且BD⊥CD，正方形ADEF所在平面與平面ABCD垂直，G、H分別是DF、BE的中點(diǎn)．

(1)求證：BD⊥平面CDE；

(2)求證：GH∥平面CDE；

(3)求三棱錐D－CEF的體積．

[審題導(dǎo)引](1)先證BD⊥ED，BD⊥CD，可證BD⊥平面CDE；

(2)由GH∥CD可證GH∥平面CDE；

(3)變換頂點(diǎn)，求VC－DEF.[規(guī)范解答](1)證明 ∵四邊形ADEF是正方形，∴ED⊥AD，又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD.∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD.又BD⊥CD，且ED∩DC＝D，∴BD⊥平面CDE.(2)證明 ∵G是DF的中點(diǎn)，又易知H是FC的中點(diǎn)，∴在△FCD中，GH∥CD，又∵CD?平面CDE，GH?平面CDE，∴GH∥平面CDE.(3)設(shè)Rt△BCD中，BC邊上的高為h，∵CD＝1，∠BCD＝60°，BD⊥CD，11∴BC＝2，BD3，∴2×2×h＝2×3，33∴h＝2C到平面DEF2，1133∴VD－CEF＝VC－DEF＝2×＝.3223

【例2】如圖所示，已知在三棱錐A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M為AB的中點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，且△PMB為正三角形．

(1)求證：DM∥平面APC；

(2)求證：平面ABC⊥平面APC；

(3)若BC＝4，AB＝20，求三棱錐D－

BCM的體積．

[審題導(dǎo)引](1)只要證明MD∥AP即可，根據(jù)三角形中位線定理可證；

(2)證明AP⊥BC；

(3)根據(jù)錐體體積公式進(jìn)行計(jì)算．

[規(guī)范解答](1)證明 由已知，得MD是△ABP的中位線，所以MD∥AP.又MD?平面APC，AP?平面APC，故MD∥平面APC.(2)證明 因?yàn)椤鱌MB為正三角形，D為PB的中點(diǎn)，所以MD⊥PB.所以AP⊥PB.又AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.因?yàn)锽C?平面PBC，所以AP⊥BC.又BC⊥AC，AC∩AP＝A，所以BC⊥平面APC.因?yàn)锽C?平面ABC，所以平面ABC⊥平面APC.(3)由題意，可知MD⊥平面PBC，所以MD是三棱錐D－BCM的一條高，11所以VM－DBC＝S△BCD×MD＝221×53＝107.33

第四篇：高三立體幾何證明題訓(xùn)練

高三數(shù)學(xué) 立體幾何證明題訓(xùn)練

班級(jí)姓名

1、如圖，在長(zhǎng)方體

ABCD?A1B1C1D1中，AA1?AD?a，AB?2a，E、F分別為C1D1、A1D1的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：DE?平面BCE；（Ⅱ）求證：AF//平面BDE．

D

1F

E

C1

A1

C

B

A

ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形，且AA1?面ABCD

AD?AA1，F(xiàn)為棱AA1的中點(diǎn)，1的中點(diǎn)，M為線段BD

（1）求證：MF//面ABCD；（2）求證：MF?面BDD1B1；

2、如圖，已知棱柱，?DAB?60，?

DC

1B1

M

AF

C

A3、如圖，四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，∠DAC=60°，AB=BC=AC，E是PD的中點(diǎn)，F(xiàn)為ED的中點(diǎn)。（I）求證：平面PAC⊥平面PCD；（II）求證：CF//平面BAE。

4、如圖，ABCD?A1B1C1D1是正四棱柱側(cè)棱長(zhǎng)為1，底面邊長(zhǎng)為2，E是棱BC的中點(diǎn)。

（2）求三棱錐D?

D1BC//平面C1DE；

（1）求證：BD15、如圖所示，四棱錐P-ABCD底面是直角梯形，BA?ABCD，E為PC的中點(diǎn)。PA＝AD＝AB＝1。

AD，CD?AD,CD?2AB,PA? 底面

（1）證明：EB//平面PAD；（2）證明：BE?平面PDC；（3）求三棱錐B-PDC的體積V。

6、如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面所成的角為45?，底面ABCD為直角梯形，∠

1ABC = ∠BAD = 90?，PA = BC =AD．(Ⅰ)求證：平面PAC⊥平面PCD；

2(Ⅱ)在棱PD上是否存在一點(diǎn)E，使CE∥平面PAB ？若存在，請(qǐng)確定E點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．

PB

C

D7、已知ABCD是矩形，AD?4,AB?2，E、F分別是線段AB、BC的中點(diǎn)，PA?面ABCD.P

(1)證明：PF⊥FD；(2)在PA上找一點(diǎn)G，使得EG∥平面PFD.A E

B

F

D

ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB?,AF?1,M的中點(diǎn)。(Ⅰ)求三棱錐A?BDF的體積；(Ⅱ)求證:AM//平面BDE；

8、如圖，已知正方形

9、如圖，矩形

是線段EF

為CE上的點(diǎn)，且

ABCD

中，AD?平面ABE，AE?EB?BC?2，F(xiàn)的體積.BF?平面ACE。Ⅰ）求證：AE?平面BCE；

（Ⅱ）求證；

AE//平面BFD；（Ⅲ）求三棱錐C?BGF

C

B10、如圖，四棱錐P—ABCD中，PA?平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，E為PC中點(diǎn)．

(I)求證：平面PDC?平面PAD；(II)求證：BE//平面PAD．

11、如圖，在五面體ABCDEF中，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，面CDE是等邊三角形，棱EF∥BC且EF=BC．（1）證明FO//平面CDE；（2）設(shè)BC=CD，證明EO⊥平面CDF．

P

E

D

C

A

B

A

D

C12、如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，點(diǎn)E、F分別為棱AB、PD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AF∥平面PCE；

（Ⅱ）求證：平面PCE⊥平面PCD；（Ⅲ）求三棱錐C－BEP的體積．

13、如圖，在矩形ABCD中，沿對(duì)角線BD把△BCD折起，使C移到C′，且BC′⊥AC′

（Ⅰ）求證：平面AC′D

⊥平面ABC′；

（Ⅱ）若AB=2，BC=1，求三棱錐C′—ABD的體積。

14、如圖,在四棱錐P?

ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形,側(cè)面PAD?底面ABCD，且

PA?PD?

(Ⅰ)

AD，若E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)。2

EF //平面PAD；(Ⅱ)求證:平面PDC?平面PAD；

第五篇：高中數(shù)學(xué)立體幾何常考證明題匯總

新課標(biāo)立體幾何常考證明題

1、已知四邊形ABCD是空間四邊形，E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)

（1）求證：EFGH是平行四邊形

（2）若

BD=AC=2，EG=2。求異面直線AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。

C D H證明：在?ABD中，∵E,H分別是AB,AD的中點(diǎn)∴EH//BD,EH?同理，F(xiàn)G//BD,FG?

(2)90°30 °

考點(diǎn)：證平行（利用三角形中位線），異面直線所成的角 1BD 21BD∴EH//FG,EH?FG∴四邊形EFGH是平行四邊形。

22、如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC?AC,AD?BD，E是AB的中點(diǎn)。求證：（1）AB?平面CDE;

（2）平面CDE?平面ABC。E BC?AC?證明：（1）??CE?AB AE?BE?

同理，AD?BD???DE?AB AE?BE?B C 又∵CE?DE?E∴AB?平面CDE

（2）由（1）有AB?平面CDE

又∵AB?平面ABC，∴平面CDE?平面ABC

考點(diǎn)：線面垂直，面面垂直的判定

D3、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中點(diǎn)，求證： AC1//平面BDE。

證明：連接AC交BD于O，連接EO，∵E為AA1的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn) ∴EO為三角形A1AC的中位線 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE內(nèi)，A1C在平面BDE外

∴AC1//平面BDE。考點(diǎn)：線面平行的判定

4、已知?ABC中?ACB?90,SA?面ABC,AD?SC,求證：AD?面SBC． 證明：∵?ACB?90°?BC?AC

又SA?面ABC?SA?BC

?BC?面SAC?BC?AD

?

A

D

1B

C

D

C

S

A

C

B

又SC?AD,SC?BC?C?AD?面SBC考點(diǎn)：線面垂直的判定

9、如圖P是?ABC所在平面外一點(diǎn)，PA?PB,CB?平面PAB，M是PC的中點(diǎn)，N是AB上的點(diǎn)，AN?3NB（1）求證：MN?AB；（2）當(dāng)?APB?90，AB?2BC?4時(shí)，求MN的長(zhǎng)。證明：（1）取PA的中點(diǎn)Q，連結(jié)MQ,NQ，∵M(jìn)是PB的中點(diǎn)，M

?

P

∴MQ//BC，∵ CB?平面PAB，∴MQ?平面PAB∴QN是MN在平面PAB內(nèi)的射影，取 AB的中點(diǎn)D，連結(jié) PD，∵PA?PB,∴C

A

PD?AB，又AN?3NB，∴BN?ND

N ∴QN//PD，∴QN?AB，由三垂線定理得MN?AB B

1?

（2）∵?APB?90，PA?PB,∴PD?AB?2，∴QN?1，∵M(jìn)Q?平面PAB.∴MQ?NQ，且

MQ?BC?

1，∴MN?

2考點(diǎn)：三垂線定理

12、已知ABCD是矩形，PA?平面ABCD，AB?2，PA?AD?4，E為BC的中點(diǎn)．

（1）求證：DE?平面PAE；（2）求直線DP與平面PAE所成的角． 證明：在?ADE中，AD?AE?DE，?AE?DE ∵PA?平面ABCD，DE?平面ABCD，?PA?DE

又PA?AE?A，?DE?平面PAE（2）?DPE為DP與平面PAE所成的角

在Rt?

PAD，PD?Rt?

DCE中，DE?在Rt?DEP中，PD?2DE，??DPE?300 考點(diǎn)：線面垂直的判定,構(gòu)造直角三角形

15、如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．證明：取AB的中點(diǎn)Ｆ，連結(jié)CF，DF．∵AC?BC，∴CF?AB．

∵AD?BD，∴DF?AB．

又CF?DF?F，∴AB?平面CDF．∵CD?平面CDF，∴CD?AB．又CD?BE，BE?AB?B，∴CD?平面ABE，CD?AH．

∵AH?CD，AH?BE，CD?BE?E，∴ AH?平面BCD． 考點(diǎn)：線面垂直的判定