第一篇：學生版 高中數學立體幾何常考證明題匯總

立體幾何常考證明題匯總

1、已知四邊形ABCD是空間四邊形，E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點

（1）求證：EFGH是平行四邊形

（2）若

BD=AC=2，EG=2。求異面直線AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。

C D H考點：證平行（利用三角形中位線），異面直線所成的角

2、如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC?AC,AD?BD，E是AB的中點。求證：（1）AB?平面CDE;

（2）平面CDE?平面ABC。

ABC E 考點：線面垂直，面面垂直的判定

3、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中點，求證： A1C//平面BDE。

考點：線面平行的判定

?

4、已知?ABC中?ACB?90,SA?面ABC,AD?SC,求證：AD?面SBC． B C D1 D B CD C

證明：

考點：線面垂直的判定

ASBC5、已知正方體ABCD?A1B1C1D1，O是底ABCD對角線的交點.D

1求證：(１)C1O∥面AB1D1；(2)A1C?面AB1D1．證明：

考點：線面平行的判定（利用平行四邊形），線面垂直的判定

A

D

O

A1

C1

BCB6、正方體ABCD?A'B'C'D'中，求證：（1）AC?平面B'D'DB；（2）BD'?平面ACB'.考點：線面垂直的判定

7、正方體ABCD—A1B1C1D1中．(1)求證：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分別是AA1，CC1的中點，求證：平面EB1D1∥平面FBD． 證明：．

考點：線面平行的判定（利用平行四邊形）

8、四面體ABCD中，AC?BD,E,F分別為AD,BC的中點，且EF?

?BDC?90，求證：BD?平面ACD

?

A

B

AC，考點：線面垂直的判定,三角形中位線，構造直角三角形

9、如圖P是?ABC所在平面外一點，PA?PB,CB?平面PAB，M是PC的中點，N是AB上的點，AN?3NB（1）求證：MN?AB；（2）當?APB?90?，AB?2BC?4時，求MN的長。

考點：三垂線定理

C

N

P

M

A

B10、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G分別是AB、AD、C1D1的中點.求證：平面D1EF∥平面BDG.考點：線面平行的判定（利用三角形中位線）

11、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中點.（1）求證：A1C//平面BDE；（2）求證：平面A1AC?平面BDE.考點：線面平行的判定（利用三角形中位線），面面垂直的判定

12、已知ABCD是矩形，PA?平面ABCD，AB?2，PA?AD?4，E為BC的中點．

（1）求證：DE?平面PAE；（2）求直線DP與平面PAE所成的角．

考點：線面垂直的判定,構造直角三角形

13、如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是?DAB?60且邊長

為a的菱形，側面PAD是等邊三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．（1）若G為AD的中點，求證：BG?平面PAD；（2）求證：AD?PB；

（3）求二面角A?BC?P的大小．

考點：線面垂直的判定,構造直角三角形,面面垂直的性質定理，二面角的求法（定義法）

14、如圖1,在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M為CC1 的中點，AC交BD于點O，求證：A1O?平面MBD． 證

考點：線面垂直的判定，運用勾股定理尋求線線垂直

15、如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．證明：取AB的中點Ｆ，連結CF，DF．

考點：線面垂直的判定

16、證明：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

A

考點：線面垂直的判定

第二篇：高中數學立體幾何常考證明題匯總

新課標立體幾何常考證明題

1、已知四邊形ABCD是空間四邊形，E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點

（1）求證：EFGH是平行四邊形

（2）若

BD=AC=2，EG=2。求異面直線AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。

C D H證明：在?ABD中，∵E,H分別是AB,AD的中點∴EH//BD,EH?同理，FG//BD,FG?

(2)90°30 °

考點：證平行（利用三角形中位線），異面直線所成的角 1BD 21BD∴EH//FG,EH?FG∴四邊形EFGH是平行四邊形。

22、如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC?AC,AD?BD，E是AB的中點。求證：（1）AB?平面CDE;

（2）平面CDE?平面ABC。E BC?AC?證明：（1）??CE?AB AE?BE?

同理，AD?BD???DE?AB AE?BE?B C 又∵CE?DE?E∴AB?平面CDE

（2）由（1）有AB?平面CDE

又∵AB?平面ABC，∴平面CDE?平面ABC

考點：線面垂直，面面垂直的判定

D3、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中點，求證： AC1//平面BDE。

證明：連接AC交BD于O，連接EO，∵E為AA1的中點，O為AC的中點 ∴EO為三角形A1AC的中位線 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE內，A1C在平面BDE外

∴AC1//平面BDE。考點：線面平行的判定

4、已知?ABC中?ACB?90,SA?面ABC,AD?SC,求證：AD?面SBC． 證明：∵?ACB?90°?BC?AC

又SA?面ABC?SA?BC

?BC?面SAC?BC?AD

?

A

D

1B

C

D

C

S

A

C

B

又SC?AD,SC?BC?C?AD?面SBC考點：線面垂直的判定

9、如圖P是?ABC所在平面外一點，PA?PB,CB?平面PAB，M是PC的中點，N是AB上的點，AN?3NB（1）求證：MN?AB；（2）當?APB?90，AB?2BC?4時，求MN的長。證明：（1）取PA的中點Q，連結MQ,NQ，∵M是PB的中點，M

?

P

∴MQ//BC，∵ CB?平面PAB，∴MQ?平面PAB∴QN是MN在平面PAB內的射影，取 AB的中點D，連結 PD，∵PA?PB,∴C

A

PD?AB，又AN?3NB，∴BN?ND

N ∴QN//PD，∴QN?AB，由三垂線定理得MN?AB B

1?

（2）∵?APB?90，PA?PB,∴PD?AB?2，∴QN?1，∵MQ?平面PAB.∴MQ?NQ，且

MQ?BC?

1，∴MN?

2考點：三垂線定理

12、已知ABCD是矩形，PA?平面ABCD，AB?2，PA?AD?4，E為BC的中點．

（1）求證：DE?平面PAE；（2）求直線DP與平面PAE所成的角． 證明：在?ADE中，AD?AE?DE，?AE?DE ∵PA?平面ABCD，DE?平面ABCD，?PA?DE

又PA?AE?A，?DE?平面PAE（2）?DPE為DP與平面PAE所成的角

在Rt?

PAD，PD?Rt?

DCE中，DE?在Rt?DEP中，PD?2DE，??DPE?300 考點：線面垂直的判定,構造直角三角形

15、如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．證明：取AB的中點Ｆ，連結CF，DF．∵AC?BC，∴CF?AB．

∵AD?BD，∴DF?AB．

又CF?DF?F，∴AB?平面CDF．∵CD?平面CDF，∴CD?AB．又CD?BE，BE?AB?B，∴CD?平面ABE，CD?AH．

∵AH?CD，AH?BE，CD?BE?E，∴ AH?平面BCD． 考點：線面垂直的判定

第三篇：高中數學立體幾何常考證明題匯總 - 副本

立體幾何常考證明題匯總答案

1、已知四邊形ABCD是空間四邊形，E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點（1）求證：EFGH是平行四邊形

（2）若

BD=AC=2，EG=2。求異面直線AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。考點：證平行（利用三角形中位線），異面直線所成的角

2、如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC?AC,AD?BD，E是AB的中點。求證：（1）AB?平面CDE;

（2）平面CDE?平面ABC。證明：（1）

E

C

H D

BC?AC?

??CE?AB

AE?BE?

B

同理，AD?BD?

??DE?AB

AE?BE?

C

又∵CE?DE?E∴AB?平面CDE（2）由（1）有AB?平面CDE

又∵AB?平面ABC，∴平面CDE?平面ABC

B

考點：線面垂直，面面垂直的判定

3、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中點，A

D

D

1C

求證： AC1//平面BDE。

證明：連接AC交BD于O，連接EO，∵E為AA1的中點，O為AC的中點

C

D

S

∴EO為三角形A1AC的中位線 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE內，AC1在平面BDE外 ∴AC1//平面BDE。考點：線面平行的判定

4、已知?ABC中?ACB?90,SA?面ABC,AD?SC,求證：AD?面SBC． 考點：線面垂直的判定

5、已知正方體ABCD?A1B1C1D1，O是底ABCD對角線的交點.?

A

C

B

D1A

1D

A

BBC1

?面AB1D1．求證：(１)C1O∥面AB1D1；(2)AC1

C

考點：線面平行的判定（利用平行四邊形），線面垂直的判定

6、正方體ABCD?A'B'C'D'中，求證：（1）AC?平面B'D'DB；（2）BD'?平面ACB'.考點：線面垂直的判定

7、正方體ABCD—A1B1C1D1中．(1)求證：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分別是AA1，CC1的中點，求證：平面EB1D1∥平面FBD． 證明：(1)由B1B∥DD1，得四邊形BB1D1D是平行四邊形，∴B1D1∥BD，又BD ?平面B1D1C，B1D1?平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C． 同理A1D∥平面B1D1C．

而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．

A

(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中點G，∴AE∥B1G．

從而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．

考點：線面平行的判定（利用平行四邊形）

8、四面體ABCD中，AC?BD,E,F分別為AD,BC的中點，且EF?

AC，2?BDC?90?，求證：BD?平面ACD

證明：取CD的中點G，連結EG,FG，∵E,F分別為AD,BC的中點，∴EG

1//?AC 2

//1BD，又AC?BD,∴FG?1AC，∴在?EFG中，EG2?FG2?1AC2?EF2 FG?

222

?

∴EG?FG，∴BD?AC，又?BDC?90，即BD?CD，AC?CD?C∴BD?平面ACD

考點：線面垂直的判定,三角形中位線，構造直角三角形

9、如圖P是?ABC所在平面外一點，PA?PB,CB?平面PAB，M是PC的中點，N是AB上的點，AN?3NB

P

?

（1）求證：MN?AB；（2）當?APB?90，AB?2BC?4時，求MN的長。證明：（1）取PA的中點Q，連結MQ,NQ，∵M是PB的中點，M∴MQ//BC，∵ CB?平面PAB，∴MQ?平面PAB∴QN是MN在平面PAB內的射影，取 AB的中點D，連結 PD，∵PA?PB,∴CAPD?AB，又AN?3NB，∴BN?ND

N ∴QN//PD，∴QN?AB，由三垂線定理得MN?AB B

1?

（2）∵?APB?90，PA?PB,∴PD?AB?2，∴QN?1，∵MQ?平面PAB.∴MQ?NQ，且

MQ?BC?

1，∴MN?

2考點：三垂線定理

10、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G分別是AB、AD、C1D1的中點.求證：平面D1EF∥平面BDG.證明：∵E、F分別是AB、AD的中點，?EF∥BD 又EF?平面BDG，BD?平面BDG?EF∥平面BDG ∵D

1G

EB?四邊形D1GBE為平行四邊形，D1E∥GB

又D1E?平面BDG，GB?平面BDG?D1E∥平面BDG

EF?D1E?E，?平面D1EF∥平面BDG

考點：線面平行的判定（利用三角形中位線）

11、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中點.（1）求證：AC1//平面BDE；（2）求證：平面A1AC?平面BDE.證明：（1）設AC?BD?O，∵E、O分別是AA1、AC的中點，?AC1∥EO

?平面BDE，EO?平面BDE，?AC又AC∥平面BDE 1

1（2）∵AA1?平面ABCD，BD?平面ABCD，AA1?BD 又BD?AC，AC?AA1?A，?BD?平面A1AC，BD?平面BDE，?平面BDE?平面A1AC

考點：線面平行的判定（利用三角形中位線），面面垂直的判定

12、已知ABCD是矩形，PA?平面ABCD，AB?2，PA?AD?4，E為BC的中點．

（1）求證：DE?平面PAE；（2）求直線DP與平面PAE所成的角． 證明：在?ADE中，AD?AE?DE，?AE?DE ∵PA?平面ABCD，DE?平面ABCD，?PA?DE 又PA?AE?A，?DE?平面PAE（2）?DPE為DP與平面PAE所成的角

在Rt?

PAD，PD?Rt?

DCE中，DE?在Rt?DEP中，PD?2DE，??DPE?30 考點：線面垂直的判定,構造直角三角形

13、如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是?DAB?60且邊長為a的菱形，側面PAD是等邊三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．

（1）若G為AD的中點，求證：BG?平面PAD；（2）求證：AD?PB；

（3）求二面角A?BC?P的大小． 證明：（1）?ABD為等邊三角形且G為AD的中點，?BG?AD 又平面PAD?平面ABCD，?BG?平面PAD

（2）PAD是等邊三角形且G為AD的中點，?AD?PG 且AD?BG，PG?BG?G，?AD?平面PBG，22

2PB?平面PBG，?AD?PB

（3）由AD?PB，AD∥BC，?BC?PB 又BG?AD，AD∥BC，?BG?BC ??PBG為二面角A?BC?P的平面角

在Rt?PBG中，PG?BG，??PBG?4

5考點：線面垂直的判定,構造直角三角形,面面垂直的性質定理，二面角的求法（定義法）

?平面MBD．

14、如圖1,在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M為CC1 的中點，AC交BD于點O，求證：AO

1證明：連結MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A?AC?A，?平面A1ACC1 ∴DB⊥AO∴DB⊥平面A1ACC1，而AO1．1

設正方體棱長為a，則AO?1

3a，MO2?a2． 2

4．在Rt△ACA1M2?11M中，9222

2OO?M∵AO，∴A?MO?A1Ma．11

∵OM∩DB=O，∴ AO1⊥平面MBD．

考點：線面垂直的判定，運用勾股定理尋求線線垂直 15、如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．證明：取AB的中點Ｆ，連結CF，DF．∵AC?BC，∴CF?AB．

∵AD?BD，∴DF?AB．

又CF?DF?F，∴AB?平面CDF．∵CD?平面CDF，∴CD?AB．又CD?BE，BE?AB?B，∴CD?平面ABE，CD?AH．

∵AH?CD，AH?BE，CD?BE?E，∴ AH?平面BCD．

考點：線面垂直的判定

A16、證明：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1DC證明：連結AC

⊥AC∵BD∴ AC為A1C在平面AC上的射影

?BD?A1C

?

??A1C?平面BC1D

同理可證A1C?BC1?

考點：線面垂直的判定，三垂線定理

17、如圖，過S引三條長度相等但不共面的線段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求證：平面ABC⊥平面BSC．

證明∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中點O，連AO、SO，則AO⊥BC，SO⊥BC，∴∠AOS為二面角的平面角，設SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°，∴BC=a，SO=2a，11

AO2=AC2－OC2=a2－2a2=2a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°，從而平面ABC⊥

平面BSC．

考點：面面垂直的判定（證二面角是直二面角）

第四篇：(學生用)高中數學立體幾何常考證明題匯總.

新課標立體幾何常考證明題匯總

1、已知四邊形 ABCD 是空間四邊形, , , , E F G H 分別是邊 , , , AB BC CD DA 的中點(1 求證:EFGH 是平行四邊形

(2 若

BD=AC=2, EG=2。求異面直線 AC、BD 所成的角和 EG、BD 所成的角。

考點:證平行(利用三角形中位線 ,異面直線所成的角

2、如圖,已知空間四邊形 ABCD 中, , BC AC AD BD ==, E 是 AB 的中點。求證:(1 ⊥AB平面 CDE;(2平面 CDE ⊥平面 ABC。考點:線面垂直,面面垂直的判定

3、如圖,在正方體 1111ABCD A BC D-中, E 是 1AA 的中點, 求證: 1//AC平面 BDE。考點:線面平行的判定 A D 1 C B D C H

D C E D B C N M P C B A

4、已知 ABC ?中 90ACB ∠= , SA ⊥面 ABC , AD SC ⊥, 求證:AD ⊥面 SBC.考點:線面垂直的判定

5、已知正方體 1111ABCD A BC D-, O 是底 ABCD 對角線的交點.求證:(1 C1O ∥面 11AB D;(21 AC ⊥面 11AB D.考點:線面平行的判定(利用平行四邊形 ,線面垂直的判定

6、正方體 ' ' ' ' ABCD A B C D-中,求證:(1 ' ' AC B D DB ⊥平面;(2 ' ' BD ACB ⊥平面.考點:線面垂直的判定

7、正方體 ABCD — A 1B 1C 1D 1中.(1求證:平面 A 1BD ∥平面 B 1D 1C;(2若 E、F 分別是 AA 1, CC 1的中點,求證:平面 EB 1D 1∥平面 FBD..考點:線面平行的判定(利用平行四邊形

8、四面體 ABCD 中, , , AC BD E F =分別為 , AD BC 的中點，且 EF AC = , 90BDC ∠= ,求證:BD ⊥平面 ACD 考點:線面垂直的判定 , 三角形中位線,構造直角三角形

9、如圖 P 是 ABC ?所在平面外一點, , PA PB CB =⊥平面 PAB , M 是 PC 的中點, N 是 AB 上的點, 3AN NB =(1求證:MN AB ⊥;(2當 90APB ∠= , 24AB BC ==時,求 MN 的長。考點:三垂線定理 S C B

A D D B C 1 B A 1

C A

10、如圖,在正方體 1111ABCD A BC D-中, E、F、G 分別是 AB、AD、11C D 的中點.求證:平面 1D EF ∥平面 BDG.考點:線面平行的判定(利用三角形中位線

11、如圖,在正方體 1111ABCD A BC D-中, E 是 1AA 的中點.(1求證:1//AC平面

BDE;(2求證:平面 1A AC ⊥平面 BDE.考點:線面平行的判定(利用三角形中位線 ,面面垂直的判定

12、已知 ABCD 是矩形, PA ⊥平面 ABCD , 2AB =, 4PA AD ==, E 為 BC 的中點.(1求證:DE ⊥平面 PAE;(2求直線 DP 與平面 PAE 所成的角.考點:線面垂直的判定 , 構造直角三角形

13、如圖, 在四棱錐 P ABCD-中, 底面 ABCD 是 0 60DAB ∠=且邊長為 a 的菱形, 側面 PAD 是等邊三角形, 且平面 PAD 垂直于底面 ABCD.(1若 G 為 AD 的中點,求證:BG ⊥平面 PAD;(2求證:AD PB ⊥;(3求二面角 A BC P--的大小.考點:線面垂直的判定 , 構造直角三角形 , 面面垂直的性質定理,二面角的求法(定義法

14、如圖 1, 在正方體 1111ABCD A BC D-中, M 為 1CC 的中點, AC 交 BD 于點 O ,求證:1 AO ⊥平面 MBD.考點:線面垂直的判定,運用勾股定理尋求線線垂直

15、如圖2,在三棱錐 A-BCD 中, BC =AC , AD =BD , 作 BE ⊥ CD , E 為垂足,作 AH ⊥ BE 于 H.求證:AH ⊥平面 BCD.考點:線面垂直的判定

17、如圖,過 S 引三條長度相等但不共面的線段 SA、SB、SC ,且∠ ASB=∠ ASC=60°,∠ BSC=90°,求證:平面 ABC ⊥平面 BSC.考點:面面垂直的判定(證二面角是直二面角

第五篇：高中數學立體幾何常考證明題匯總1

2、如圖，已知空間四邊形ABCD中，BC?AC,AD?BD，E是AB的中點。求證：（1）AB?平面CDE;

（2）平面CDE?平面ABC。證明：（1）

E

BC?AC?

??CE?AB

AE?BE?

B

AD?BD?同理，??DE?AB

AE?BE?

又∵CE?DE?E∴AB?平面CDE（2）由（1）有AB?平面CDE

C

D

又∵AB?平面ABC，∴平面CDE?平面ABC 考點：線面垂直，面面垂直的判定

3、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中點，求證： AC1//平面BDE。

證明：連接AC交BD于O，連接EO，∵E為AA1的中點，O為AC的中點 ∴EO為三角形A1AC的中位線 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE內，A1C在平面BDE外

∴AC1//平面BDE。考點：線面平行的判定

4、已知?ABC中?ACB?90,SA?面ABC,AD?SC,求證：AD?面SBC． 證明：∵?ACB?90°?BC?AC

又SA?面ABC?SA?BC?BC?面SAC?BC?AD

?

A

D

1B

C

D

C

S

A

C

B

又SC?AD,SC?BC?C?AD?面SBC考點：線面垂直的判定

5、已知正方體ABCD?A1B1C1D1，O是底ABCD對角線的交點.DA

D

A

BBC

1?面AB1D1．求證：(１)C1O∥面AB1D1；(2)AC1

證明：（1）連結A1C1，設

AC11?B1D1?O1，連結AO1

∵ ABCD?A1B1C1D1是正方體?A1ACC1是平行四邊形

∴A1C1∥AC且 AC11?AC又O1,O分別是AC11,AC的中點，∴O1C1∥AO且O1C1?AO

C

?AOC1O1是平行四邊形

?C1O∥AO1,AO1?

面AB1D1，C1O?面AB1D1∴C1O∥面AB1D1

（2）?CC1?面A1B1C1D1?CC!1?B1D又

∵AC11?B1D1

同理可證

AC?AD11，?B1D1?面A1C1C即A1C?B 1D1，又

D1B1?AD1?D1

?面AB1D1?AC1

考點：線面平行的判定（利用平行四邊形），線面垂直的判定

6、正方體ABCD?A'B'C'D'中，求證：（1）AC?平面B'D'DB；（2）BD'?平面ACB'.考點：線面垂直的判定

7、正方體ABCD—A1B1C1D1中．(1)求證：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分別是AA1，CC1的中點，求證：平面EB1D1∥平面FBD． 證明：(1)由B1B∥DD1，得四邊形BB1D1D是平行四邊形，∴B1D1∥BD，又BD ?平面B1D1C，B1D1?平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C． 同理A1D∥平面B1D1C．

而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．

A

(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中點G，∴AE∥B1G．

從而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．

考點：線面平行的判定（利用平行四邊形）

8、四面體ABCD中，AC?BD,E,F分別為AD,BC的中點，且EF?

AC，2?BDC?90?，求證：BD?平面ACD

證明：取CD的中點G，連結EG,FG，∵E,F分別為AD,BC的中點，∴EG

1//?AC 2

//1BD，又AC?BD,∴FG?1AC，∴在?EFG中，EG2?FG2?1AC2?EF2 FG?

222

?

∴EG?FG，∴BD?AC，又?BDC?90，即BD?CD，AC?CD?C∴BD?平面ACD

考點：線面垂直的判定,三角形中位線，構造直角三角形

考點：三垂線定理

10、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F、G分別是AB、AD、C1D1的中點.求證：平面D1EF∥平面BDG.證明：∵E、F分別是AB、AD的中點，?EF∥BD 又EF?平面BDG，BD?平面BDG?EF∥平面BDG ∵D

1G

EB?四邊形D1GBE為平行四邊形，D1E∥GB

又D1E?平面BDG，GB?平面BDG?D1E∥平面BDG

EF?D1E?E，?平面D1EF∥平面BDG

考點：線面平行的判定（利用三角形中位線）

11、如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E是AA1的中點.（1）求證：AC1//平面BDE；（2）求證：平面A1AC?平面BDE.證明：（1）設AC?BD?O，∵E、O分別是AA1、AC的中點，?A1C∥EO

?平面BDE，EO?平面BDE，?A1C∥平面BDE 又AC

1（2）∵AA1?平面ABCD，BD?平面ABCD，AA1?BD 又BD?AC，AC?AA1?A，?BD?平面A1AC，BD?平面BDE，?平面BDE?平面A1AC

考點：線面平行的判定（利用三角形中位線），面面垂直的判定

12、已知ABCD是矩形，PA?平面ABCD，AB?2，PA?AD?4，E為BC的中點．

（1）求證：DE?平面PAE；（2）求直線DP與平面PAE所成的角． 證明：在?ADE中，AD?AE?DE，?AE?DE ∵PA?平面ABCD，DE?平面ABCD，?PA?DE

又PA?AE?A，?DE?平面PAE（2）?DPE為DP與平面PAE所成的角

在Rt?

PAD，PD?Rt?

DCE中，DE?在Rt?DEP中，PD?2DE，??DPE?300 考點：線面垂直的判定,構造直角三角形

13、如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是?DAB?600且邊長為a的菱形，側面PAD是等邊三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．

（1）若G為AD的中點，求證：BG?平面PAD；（2）求證：AD?PB；證明：（1）?ABD為等邊三角形且G為AD的中點，?BG?AD 又平面PAD?平面ABCD，?BG?平面PAD

（2）PAD是等邊三角形且G為AD的中點，?AD?PG 且AD?BG，PG?BG?G，?AD?平面PBG，PB?平面PBG，?AD?PB

?平面MBD．

14、如圖1,在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M為CC1 的中點，AC交BD于點O，求證：AO

1證明：連結MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A?AC?A，?平面A1ACC1 ∴DB⊥A1O．∴DB⊥平面A1ACC1，而AO1

2設正方體棱長為a，則AO?1

3a，MO2?a2． 2

4．在Rt△ACA1M2?11M中，9222

2OO?M?MO?A1M∵AO，∴Aa．11

∵OM∩DB=O，∴ A1O⊥平面MBD．

考點：線面垂直的判定，運用勾股定理尋求線線垂直 15、如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．證明：取AB的中點Ｆ，連結CF，DF．∵AC?BC，∴CF?AB．

∵AD?BD，∴DF?AB．

又CF?DF?F，∴AB?平面CDF．∵CD?平面CDF，∴CD?AB．又CD?BE，BE?AB?B，∴CD?平面ABE，CD?AH．

∵AH?CD，AH?BE，CD?BE?E，∴ AH?平面BCD． 考點：線面垂直的判定

16、證明：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

A

C

證明：連結AC

⊥AC∵BD∴ AC為A1C在平面AC上的射影

?BD?A1C

?

??A1C?平面BC1D

同理可證A1C?BC1?

考點：線面垂直的判定，三垂線定理

17、如圖，過S引三條長度相等但不共面的線段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求證：平面ABC⊥平面BSC．

證明∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中點O，連AO、SO，則AO⊥BC，SO⊥BC，∴∠AOS為二面角的平面角，設SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°，∴BC=2a，SO=2a，11

AO2=AC2－OC2=a2－2a2=2a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°，從而平面ABC⊥

平面BSC．

考點：面面垂直的判定（證二面角是直二面角）