第一篇：高三數學總復習立體幾何復習

高三數學總復習立體幾何復習(1)

一、基本知識回顧

(1)重要的幾何位置關系；平行與垂直。主要包括線線、線面、面面三種情況。證明的基本思路：一般情況下，利用判定定理。而構造滿足判定定理的條件時一般采用性質定理，即利用性質定理逆推來尋找滿足判定定理的條件(關鍵圖形)。一般的思路是：線線←→線面←→面面，即高維的位置關系借助低維的位置關系來證明(判定)，低維位置關系作為高維位置關系的性質。下面列表說明證明的一般方法。(需要說明的是，表中的性質定理并不是該表格所判定的位置關系的性質定理。如表1中的性質定理并不僅限于線線平行的性質。)

①線線平行的判定：

平行公理

性質定理

②線面平行的判定：

判定定理

性質定理

③面面平行的判定；

判定定理

性質定理

線面平行

面面平行

④線線垂直的判定：

判定定理

性質定理

⑤線面垂直的判定：

判定定理

性質定理

⑥面面垂直的判定：

判定定理

總結：從中可以看出，一般情況下，往往借助一些“性質定理”來構造滿足“判定定理”的條件。

(2)還會考查到的位置關系：異面直線的判定。

判定方法：定義(排除法與反證法)、判定定理。

二、基本例題

例1 已知：

分析：利用線面平行的性質與平行公理。注意嚴格的公理化體系的推理演繹。

說明：過l分別作平面

∴l∥m同理l∥n

∴m∥n

又

又

例2.已知：AB是異面直線a、b的公垂線段，P是AB的中點，平面AB垂直，設M是a上任意一點，N是b上任意一點。

經過點P且與

求證：線段MN與平面的交點Q是線段MN的中點。

分析：利用線線平行、線面平行的性質。

證明：連結BM，設，連結PR，QR

在平面ABM中，AB⊥PR，AB⊥AM

∴AM∥PR，同理可證

∵BNì平面BMN且平面

且R為BM中點

∴BN∥RQ

△BMN中，由R為BM中點可知Q為MN中點。

例3.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點。

(1)求證：MN∥平面PAD；(2)求證：MN⊥CD

分析：利用性質定理來構造滿足判定定理的條件。

(1)法一：取PD中點E，連結NE，AE

∴△PCD中NE，又AM，∴AMNE

∴四邊形AMNE為平行四邊形，∴MN∥AE

∴MN∥平面PAD

法二：連結CM并延長與DA延長線交于F，連結PF

∴M為CF中點，∴MN∥PF，∴MN∥平面PAD

法三：取CD中點G，連結NG，MG

∴NG∥PD，MG∥AD，∴平面AD∥平面MNG

∴MN∥平面PAD

(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD又CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD

由(1)知CD⊥AE(或PF)，∴CD⊥MN

[或CD⊥平面MNG，∴CD⊥MN]

例4.已知：正三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1上一點，平面AMC1⊥平面A1ACC1，N是A1C1的中點，P是A1A的中點，求證：平面AMC1∥平面B1NP

證明：在平面AMC1中作MD⊥AC1

∴MD⊥平面ACC1A1

由正三棱柱的性質，B1N⊥平面ACC1A1

∴MD∥B1N

又△A1AC1中，DN∥AC1且AC1∩MD=D，DN∩B1N=N

∴平面AMC1∥B1NP

例5 如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD。過A且垂直于PC的平面分別交PB、PC、PD于E、F、G。求證：AE⊥PB，AG⊥PD

分析：利用線面垂直的性質。

證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC

由已知BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AE ∵PC⊥平面AGFE，∴PC⊥AE

∴AE⊥平面PBC

∴AE⊥PB，同理AG⊥PD

例6.已知：三棱錐A-BCD，AO1⊥平面BCD，O1為垂足，且O1是△BCD的垂心。求證：D在平面ABC上的射影是△ABC的垂心。

分析：利用線面垂直的性質。

證明：連結DO1，AO1設D在平面ABC內的射影為O2，連結DO2，AO2，∵AO1⊥平面BCD，∴DO1為AD在平面BCD內射影

同理AO2為AD在平面ABC內射影

∵O1為BCD的垂心 ∴DO1⊥BC ∴BC⊥AD ∴BC⊥AO2同理AB⊥CO

2∴O2為△ABC的垂心

例7已知：正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1⊥BC1，求證：A1C⊥AB1

分析：三垂線定理的逆定理的應用(線面垂直的性質)

證明：取AB、A1B1中點DD1，連結A1D，CD，C1D1

由正三棱柱的性質C1D1⊥平面ABB1A1，CD⊥平面ABB1A1，∴A1D、BD1分別為A1C與BC1在平面ABB1A1內的射影

∵AB1⊥BC1，∴AB1⊥BD1。

在矩形ABB1A1中A1D∥BD1，∴AB1⊥A1D ∴AB1⊥A1C

例8 如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分別是AB、PC的中點。

求證：平面MND⊥平面PCD。

證明：取PD中點E，連結NE、AE 由例3，MN∥AE，CD⊥MN，CD⊥平面PAD ∵PA⊥平面ABCD ∴PA⊥AD ∴等腰Rt△PAD中AE⊥PD Rt△PCD中NE∥CD，∴NE⊥PD ∴PD⊥平面MNEA，∴PD⊥MN ∴MN⊥平面PCD ∴平面MND⊥平面PCD

第二篇：第九章_立體幾何總復習教案

第九章 直線、平面、簡單幾何體

學法指導：

1．必須明確本章內容的復習目標：（1）準確理解和系統掌握空間直線和平面的各種位置關系（特別是平行與垂直的位置關系），能夠運用概念、公理、定理等進行嚴密的推理判斷和邏輯論證；

（2）正確理解空間的各種角和距離的概念，能將其轉化為平面角和線段的長度，并能熟練地運用平面幾何及三角知識來計算；（3）通過圖形能迅速判斷幾何元素的位置關系，能熟練繪制符合要求的空間圖形的直觀圖、截面圖，熟練地處理折疊、截面的問題.但要注意立體幾何中的示意圖不反映元素關系的真實結構，邏輯論證仍是關鍵；

（4）理解用反證法證明命題的思路，會證一些簡單的問題.2．要掌握解題的通法，推理嚴謹，書寫規范

（1）轉化法是空間直線和平面的位置關系的判斷與證明的常用方法，線線關系（主要指平行和垂直）、線面關系、面面關系三者中，每兩者都存在著依存關系，充分、合理地運用這些關系是解題的關鍵；另外，轉化法還常常運用在求距離時點的位置的變化，以及線面距、面面距間的轉化；

（2）求角或距離的方法：① “一作、二證、三計算”，即先作出所求角或表示距離的線段，再證明它就是所要求的角或距離，然后再進行計算，尤其不能忽視第二步的證明.②向量法

9-1 立體幾何中的平行問題 教學目標：

1.了解空間中兩條直線的位置關系（相交、平行、異面）；了解直線和平面的位置關系(直線在平面內,直線與平面相交,直線與平面平行)；了解兩個平面的位置關系（相交、平行）。2.掌握直線與平面平行的判定定理和性質定理，并能靈活運用它們解題.3.掌握兩平面平行的判定和性質，并用以解決有關問題.教學重點：利用兩條直線平行、直線與平面平行和面面平行的判定定理解決相關的證明問題。教學難點：線//線、線//面、面//面之間的相互聯系。教學過程設計：

一、要點回顧：

1.空間中兩條直線的位置關系：（1）相交：

（2）平行：公理4：

平行于同一直線的兩條直線平行

（3）異面：不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線。

判定定理：

2.空間中直線和平面的位置關系：（1）直線在平面內：

公理1：

符號語言：

（2）直線與平面平行：定義

記作：

判定定理： 如果不在平面內的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和平面平行

符號語言：

圖形語言：

（3）直線和平面相交：

符號語言：

3.空間中平面和平面的位置關系：

（1）平面和平面相交：公理2：

符號語言： 圖形語言：

（2）平面和平面平行：兩個平面沒有公共點。判定定理：

性質定理：

一個重要結論：

二、基礎回顧：

1.如下圖，正方體ABCD—A1B1C1D1中，側面對角線AB1、BC1上分別有兩點E、F，且B1E=C1F.求證：EF∥平面ABCD.方法一：

方法二：

說明：欲證線面平行，先證線線平行，欲證線線平行，可先證線面平行，反復用直線與平面的判定、性質，在同一題中也經常用到。

2.如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD為正方形，側面PDC為正三角形且平面，E為PC的中點，求證：PA//EBD。

三、考題訓練：

例1.（2007全國）如圖，在四棱錐 中，底面 為正方形，側棱 底面

分別為 的中點．（1）證明平面 ；

（2）設，求二面角 的大小． 解法一：

（1）作 交 于點，則 為 的中點． 連結，又，故 為平行四邊形．，又平面平面 ． 所以平面 ．

（2）不妨設，則 為等腰直角三角形．取 中點，連結，則 ． 又平面，所以，而，所以 面 ．

取 中點，連結，則 ．

連結，則 ．故 為二面角 的平面角

．

所以二面角 的大小為 ．

解法二：（1）如圖，建立空間直角坐標系 ． 設，則

，．

取 的中點，則 ．

平面平面，所以平面 ．

（2）不妨設，則 ．

中點

又，所以向量 和 的夾角等于二面角 的平面角．

．所以二面角 的大小為 ．

（其中第2問放在后面求二面角部分講解）

例2.（08安徽）如圖，在四棱錐 中，底面 四邊長為1的菱形，, , , 為 的中點，為 的中點.（Ⅰ）證明：直線

；

（Ⅱ）求異面直線AB與MD所成角的大小；

（Ⅲ）求點B到平面OCD的距離。方法一（綜合法）

（1）取OB中點E，連接ME，NE

又

（2）

為異面直線 與 所成的角（或其補角），作 連接，所以

與 所成角的大小為

（3）點A和點B到平面OCD的距離相等，連接OP,過點A作

于點Q，又,線段AQ的長就是點A到平面OCD的距離

，所以點B到平面OCD的距離為

方法二(向量法)作 于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為 軸建立坐標系 ,(1)

設平面OCD的法向量為 ,則

即

取 ,解得

(2)設 與 所成的角為 ，, 與 所成角的大小為

(3)設點B到平面OCD的距離為 ,則 為 在向量 上的投影的絕對值，由, 得.所以點B到平面OCD的距離為

四、能力提升

1.（08四川卷19）．如圖，平面平面，四邊形 與 都是直角梯形，（Ⅰ）證明： 四點共面；

（Ⅱ）設，求二面角 的大小； 【解1】：（Ⅰ）延長 交 的延長線于點，由

得

，延長 交 的延長線于

同理可得 故，即 與 重合，因此直線 相交于點，即 四點共面。

（Ⅱ）設，則，取 中點，則，又由已知得，平面，故，與平面 內兩相交直線 都垂直。

所以平面，作，垂足為，連結 由三垂線定理知 為二面角 的平面角。

故

所以二面角 的大小

【解2】：由平面平面，得平面，以 為坐標原點，射線 為 軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標系

（Ⅰ）設，則

故，從而由點，得

故 四點共面

（Ⅱ）設，則，在 上取點，使，則，從而

又，在 上取點，使，則

從而

故 與 的夾角等于二面角 的平面角，所以二面角 的大小

五、課堂小結：

1.“線//線”的證明方法 序號 文字語言 圖形語言 符號語言 感悟 1 公理4：平行于同一直線的兩直線平行線//面的性質定理：垂直于同一個平面的兩直線平行面//面的性質定理平行四邊形的對邊分別平行三角形的中位線與它對應的底邊平行

2.線//面的證明方法： 序號 文字語言 圖形語言 符號語言 感悟 1 線//面的判定定理：如果兩個平面平行，其中一個平面內的一條直線與另一個平面平行

3.面//面的證明方法： 序號 文字語言 圖形語言 符號語言 感悟 1 判定定理

推論垂直于同一直線的兩直線平行

六、課外作業： 1.（2004天津）

如圖，在四棱錐 中，底面ABCD是正方形，側棱 底面ABCD，是PC的中點。（1）證明平面EDB；（2）求EB與底面ABCD所成的角的正切值。

點評：本題考查直線與平面平行、直線與平面所成的角等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力，方法一：

（1）證明：連結AC、AC交BD于O。連結EO

∵ 底面ABCD是正方形

∴ 點O是AC的中點。在 中，EO是中位線

∴

而平面EDB且平面，所以，平面EDB。

（2）解：作 交CD于F。連結BF，設正方形ABCD的邊長為。

∵

底面ABCD

∴

∴

F為DC的中點

∴

底面ABCD，BF為BE在底面ABCD內的射影，故 為直線EB與底面ABCD所成的角。在 中，∵

∴ 在 中

所以EB與底面ABCD所成的角的正切值為

方法二：如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點。設

（1）證明：連結AC，AC交BD于G。連結EG。依題意得，∵ 底面ABCD是正方形

∴ G是此正方形的中心，故點G的坐標為

∴

∴

這表明 而平面 且平面EDB

∴

平面EDB（2）解：依題意得，取DC的中點

連結EF，BF ∵，∴，∴，∴

底面ABCD，BF為BE在底面ABCD內的射影，故 為直線EB與底面ABCD所成的角。

在 中，∴，所以，EB與底面ABCD所成的角的正切值為。

七、板書設計：

八、教學反思：

9-2立體幾何中的垂直問題 教學目標：

1.了解空間兩條直線垂直的概念；

2.掌握空間中直線和平面垂直的判定和性質； 3.了解空間中兩個平面垂直的判定和性質。教學重點： 教學難點： 教學過程設計：

一、要點回顧

1.線線垂直的判定：

（1）利用線線平行：一條直線垂直于兩條平行線中的一條，則垂直于另一條（2）利用勾股定理逆定理（3）利用等腰三角形性質（4）利用平面圖形性質

(5)線面垂直的性質：

(6)利用線面垂直、線面平行：

(7)利用三垂線定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，則它也和這條斜線垂直。（反之也成立—逆定理）2.線面垂直判定

（1）判定定理1——如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面。

（2）判定定理2——如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，則直線與平面垂直。

（3）面面垂直的性質：如果兩個平面垂直，則在一個平面內垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面

（4）面面垂直推論:如果兩個相交平面都與另一個平面垂直，則這兩個平面的交線 l 垂直于另一個平面

（5）面面平行性質：一直線垂直于兩個平行平面中的一個，則它也垂直于另一個平面 線面垂直性質

（1）定義——如果一條直線和一個平面垂直則這條直線垂直于平面內的任意一條直線（2）性質定理——如果兩條直線同垂直于一個平面，則這兩條直線平行。（3）一直線垂直于兩個平行平面中的一個，則它也垂直于另一個平面（6）如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直（7）如果一個平面與另一個平面的垂線平行，則這兩個平面互相垂直 3.（1）面面垂直判定

如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直 推論:如果一個平面與另一個平面的垂線平行，則這兩個平面互相垂直（2）面面垂直性質

推論:如果兩個相交平面都與另一個平面垂直，則這兩個平面的交線 l 垂直于另一個平面 垂直和平行涉及題目的解決方法須熟練掌握兩類相互轉化關系：

（1）平行轉化：

(2)垂直轉化：

每一垂直或平行的判定就是從某一垂直或平行開始轉向另一垂直或平行最終達到目的.例如：有兩個平面垂直時，一般要用性質定理，在一個平面內作交線的垂線，使之轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直.二、基礎體驗：

1、(06安徽文6)設 均為直線,其中 在平面α內，則“l⊥α”是“ ”的（A）(A)充分不必要條件

(B)必要不充分條件(C)充分必要條件

(D)既不充分也不必要條件 2．（07四川卷）如圖，為正方體，下面結論錯誤的是（）（A）平面

（B）

（C）平面

（D）異面直線 與 所成的角為60° 解：異面直線 與 所成的角為45°，選Ｄ． 3.（08上海卷13）給定空間中的直線l及平面?，條件“直線l與平面?內無數條直線都垂直”是“直線l與平面?垂直”的（C）條件

A．充要

B．充分非必要

C．必要非充分

D．既非充分又非必要

三、考題訓練：

例1.（07全國2）如圖，正三棱柱 的所有棱長都為，為 中點．（Ⅰ）求證：平面 ；（Ⅱ）求二面角 的大小．

本小題主要考查直線與平面的位置關系，二面角的大小等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力． 解法一：（Ⅰ）取 中點，連結 ． 為正三角形，．

正三棱柱 中，平面平面，平面 ． 連結，在正方形 中，分別為 的中點，．

在正方形 中，平面 ．

（Ⅱ）設 與 交于點，在平面 中，作 于，連結，由（Ⅰ）得平面 ．，為二面角 的平面角． 在 中，由等面積法可求得，又，．

所以二面角 的大小為 ． 解法二：（Ⅰ）取 中點，連結 ．

為正三角形，．

在正三棱柱 中，平面平面，平面 ．

取 中點，以 為原點，，的方向為 軸的正方向建立 空間直角坐標系，則，，，，．，，．平面 ．

（Ⅱ）設平面 的法向量為 ．，．，令 得 為平面 的一個法向量．由（Ⅰ）知平面，為平面 的法向量．，． 二面角 的大小為 ．

例2.如圖,在底面為直角梯形的四棱錐

,BC=6.(Ⅰ)求證:

(Ⅱ)求二面角 的大小.解法一：（Ⅰ）平面，平面 ． ． 又，．，，即 ．

又 ．平面 ．（Ⅱ）連接 ．

平面 ．，．

為二面角 的平面角． 在 中，，二面角 的大小為 ． 解法二：（Ⅰ）如圖，建立坐標系，則，，，，，．，又，面 ．

（Ⅱ）設平面 的法向量為，設平面 的法向量為，則，解得

．

，． 二面角 的大小為 ．

四、能力提升：

1.（08全國二19）如圖，正四棱柱 中，點 在 上且 ．（Ⅰ）證明：平面 ；（Ⅱ）求二面角 的大小．

解：以 為坐標原點，射線 為 軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標系 ． 依題設，．，．

（Ⅰ）因為，故，．

又，所以平面 ．

（Ⅱ）設向量 是平面 的法向量，則，． 故，．

令，則，．

等于二面角 的平面角，．

所以二面角 的大小為 ．

五、課堂小結：

六、課外作業：

1.（08山東）如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分別是BC, PC的中點.（Ⅰ）證明：AE⊥PD;

（Ⅱ）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E—AF—C的余弦值.解：由（Ⅰ）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又E、F分別為BC、PC的中點，所以E、F分別為BC、PC的中點，所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），所以

設平面AEF的一法向量為

則

因此 取

因為

BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故 為平面AFC的一法向量.又 =（-），所以

cos＜m, ＞=

因為二面角E-AF-C為銳角，所以所求二面角的余弦值為

2.（08陜西卷19）三棱錐被平行于底面 的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為，平面，，，．（Ⅰ）證明：平面平面 ；（Ⅱ）求二面角 的大小． 解：（Ⅰ）如圖，建立空間直角坐標系，則，．

點坐標為 ．

，．，，又，平面，又平面，平面平面 ．（Ⅱ）平面，取 為平面 的法向量，設平面 的法向量為，則 ．

，如圖，可取，則，即二面角 為 ． 補充資料：

1.（07湖南）如圖，在三棱錐 中，，是 的中點，且，．（I）求證：平面平面 ；

（II）試確定角 的值，使得直線 與平面 所成的角為 ． 本小題主要考查線面關系、直線與平面所成角的有關知識，考查空間想象能力和推理運算能力以及應用向量知識解決數學問題的能力． 解法1：（Ⅰ），是等腰三角形，又 是 的中點，又 底面 ． ．于是平面 ． 又平面，平面平面 ．

（Ⅱ）過點 在平面 內作 于，則由（Ⅰ）知平面 ． 連接，于是 就是直線 與平面 所成的角． 依題意，所以 ：在 中，； 在 中，．，．

故當 時，直線 與平面 所成的角為 ． 解法2：（Ⅰ）以 所在的直線分別為 軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，于是，，． 從而，即 ． 同理，即 ．又，平面 ．

又平面 ．平面平面 ．

（Ⅱ）設平面 的一個法向量為，則由 ．

得 可取，又，于是，即，．

故交 時，直線 與平面 所成的角為 ．

（07全國1）四棱錐 中，底面ABCD為平行四邊形，側面 底面ABCD，已知，。（Ⅰ）證明： ；

（Ⅱ）求直線SD與平面SBC所成角的大小。（1）解法一：作，垂足為，連結，由側面 底面，得 底面 ．因為，所以，又，故 為等腰直角三角形，由三垂線定理，得 ． 解法二：

作，垂足為，連結，由側面 底面，得平面 ．因為，所以 ． 又，為等腰直角三角形，．

如圖，以 為坐標原點，為 軸正向，建立直角坐標系，因為，又，所以，．，，所以 ．（2），.與 的夾角記為，與平面 所成的角記為，因為 為平面 的法向量，所以 與 互余．，所以，直線 與平面 所成的角為 ．

七、板書設計：

八、教學反思：

9-3空間中直線、平面的位置關系 教學目標：

1.掌握空間中直線與直線、直線和平面、平面與平面的各種位置關系；

2.掌握立體幾何中文字語言、圖形語言、符號語言的相互轉換，并且能利用定理進行命題真假的判斷。教學重點：

1.直線和平面平行、垂直的判定定理和性質定理 2.平面和平面平行、垂直的判定定理和性質定理.教學難點：利用定理和一般結論判斷所給命題的真假 教學過程設計：

一、要點回顧：（1）平行轉化：

(2)垂直轉化：

二、基礎體驗：

1.（06北京卷）設A、B、C、D是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確的是(C)（A）若AC與BD共面，則AD與BC共面

（B）若AC與BD是異面直線，則AD與BC是異面直線

(C)若AB=AC，DB=DC，則AD=BC

(D)若AB=AC，DB=DC，則AD BC 解：A顯然正確；B也正確，因為若AD與BC共面，則必有AC與BD共面與條件矛盾；C不正確，D正確，用平面幾何與立體幾何的知識都可證明。選C 2．（06天津卷）若 為一條直線，為三個互不重合的平面，給出下面三個命題： ① ；② ；③ ．其中正確的命題有（C）Ａ．0個

Ｂ．1個

Ｃ．2個

Ｄ．3個

解：若 為一條直線，、、為三個互不重合的平面，下面三個命題：

① 不正確； ② 正確；

③ 正確，所以正確的命題有2個，選C.3．(06上海卷)若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點”的（A）

（A）充分非必要條件

（B）必要非充分條件

（C）充分必要條件

（D）既非充分又非必要條件 4．（06重慶卷）若 是平面 外一點，則下列命題正確的是(D)（A）過 只能作一條直線與平面 相交

（B）過 可作無數條直線與平面 垂直（C）過 只能作一條直線與平面平行

（D）過 可作無數條直線與平面平行

三、考題訓練 1．（06遼寧卷）給出下列四個命題：①垂直于同一直線的兩條直線互相平行；②垂直于同一平面的兩個平面互相平行；③若直線 與同一平面所成的角相等，則 互相平行；④若直線 是異面直線，則與 都相交的兩條直線是異面直線。其中假命題的個數是（D）Ａ．1

Ｂ．2

Ｃ．3

Ｄ．4 2．(06廣東卷)給出以下四個命題: ① 如果一條直線和一個平面平行,經過這條直線的一個平面和這個平面相交, 那么這條直線和交線平行;②如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個平面;③如果兩條直線都平行于一個平面,那么這兩條直線相互平行;④如果一個平面經過另一個平面的一條垂線,那么些兩個平面互相垂直.其中真命題的個數是（）A.4

B.3

C.2

D.1 解：①②④正確，故選B.3.(06福建卷)對于平面 和共面的直線、下列命題中真命題是(C)（A）若 則

（B）若 則

（C）若 則

（D）若、與 所成的角相等，則

4．（06湖北卷）

6、關于直線m、n與平面、，有下列四個命題： ①若 且，則 ；

②若 且，則 ； ③若 且，則 ；

④若 且，則 ； 其中真命題的序號是(D)A．①②

B．③④

C．①④

D．②③ 解：用排除法可得選D 5.（06福建）是空間兩條不同直線，是兩個不同平面，下面有四個命題： ①

②

③

④

其中，真命題的編號是_______①，④ _________;（寫出所有真命題的編號）解： 是空間兩條不同直線，是兩個不同平面，下面有四個命題：

① ,為真命題；②，為ie假命題；③ 為假命題； ④ 為真命題，所以真命題的編號是①、④.6．（07北京卷）平面平面 的一個充分條件是（）Ａ．存在一條直線

Ｂ．存在一條直線

Ｃ．存在兩條平行直線

Ｄ．存在兩條異面直線

解：平面平面 的一個充分條件是存在兩條異面直線，選Ｄ．

四、能力提升 1．（07天津卷）設 為兩條直線，為兩個平面，下列四個命題中，正確的命題是（）A．若 與 所成的角相等，則

B．若，，則

C．若，，則

D．若，，則

解：Ａ項中若 與 所成的角相等，則 可以平行、相交、異面故錯；Ｂ項中若，則 可以平行、異面故錯；Ｃ項中若

則 可以平行、相交；而D項是對，因為此時 所成的角與 所成的角是相等或是互補的，則 ．

【分析】對于A當 與 均成 時就不一定；對于B只需找個，且

即可滿足題設但 不一定平行；對于C可參考直三棱柱模型排除，故選D.2．（07重慶卷）垂直于同一平面的兩條直線（A）平行

（B）垂直

（C）相交

（D）異面 解：垂直于同一平面的兩條直線平行.選A.3．（07遼寧卷）若 是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題中的真命題是（）A．若，則 B．若，則

C．若，則

D．若，，則

解：由有關性質排除A、C、D，選B.4．（07江蘇卷）已知兩條直線，兩個平面，給出下面四個命題： ①

②

③

④

其中正確命題的序號是（）

A．①、③

B．②、④

C．①、④

D．②、③ 解：②中，有可能是異面直線；③中，有可能在 上，都不對，故選（C）。

五、課堂小結：

六、課外作業：

1．(07廣東卷)若l、m、n是互不相同的空間直線，、是不重合的平面，則下列命題中為真命題的是

A．若，則

B．若，則

C.若，則

D．若，則

解：對A，當

∥，時，只是平行于

中某一直線而非所有，因而 未必能平行于n；對B，只有在 垂直與兩面的交線才有結論 ⊥

成立；對C，直線 和m可以是異面，立方體的棱就能體現這種關系。選D.2.已知 為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下列命題中正確的是（）Ａ．，，Ｂ．，Ｃ．，Ｄ．，解：A中m、n少相交條件，不正確；B中分別在兩個平行平面的兩條直線不一定平行，不正確；C中n可以在 內，不正確，選D.3.（08安徽卷3）已知 是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（B）A．

B．

C．

D．

4.（08湖南卷5）已知直線m,n和平面 滿足 ,則（D)

或

或

5.（08上海卷13）給定空間中的直線l及平面 ．條件“直線l與平面 內兩條相交直線都垂直”是“直線l與平面 垂直”的（C）

Ａ．充分非必要條件

Ｂ．必要非充分條件

C．充要條件

Ｄ．既非充分又非必要條件

6.（08天津卷5）設 是兩條直線，是兩個平面，則 的一個充分條件是（C）A．

B．

C．

D．

7、（05江蘇4）已知兩條直線，兩個平面，給出下面四個命題：（）①

②

③

④

其中正確命題的序號是

A．①③

B．②④

C．①④

D．②③

七、板書設計：

八、教學反思：

9-4空間角 教學目標：

1.理解兩異面直線所成角、直線和平面所成角、二面角的平面角的概念；

2.會利用幾何法、向量法求角（兩異面直線所成角、直線和平面所成角、二面角的平面角）教學重點：利用向量法求空間角

教學難點：建立適當的空間直角坐標系，利用向量法求解立體幾何綜合問題。教學過程設計：

一、基礎回顧： 1.異面直線所成的角

（1）定義：

（2）范圍：

.（3）基本求法：

2.直線和平面所成的角：（1）定義：

（2）范圍：

（3）基本求法：

3.二面角（1）相關定義：①從一條直線出發的兩個

組成的圖形叫做二面角。②以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內分別作

的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。二面角的大小是用它的 的大小來度量的。（2）二面角的范圍 ：。

（3）常見求法：

、、、、.①定義法：直接在二面角的棱上取一點（特殊點），分別在兩個半平面內作棱的垂線，得出平面角.用定義時，要認真觀察圖形的特征.②三垂線法：已知二面角其中一個面內到另一個面的垂線，用三垂線定理或其逆定理作出平面角.③垂面法：在棱上取一點（通常是特殊點）作棱的垂面.④射影法：利用面積射影公式，其中為平面角的大小.此方法不必在圖中畫出平面角來（此法僅能在小題中使用）.⑤向量法：

二、基礎體驗： 1．（06四川卷）已知二面角 的大小為，為異面直線，且，則 所成的角為(B)（A）

（B）

（C）

（D）

解：已知二面角 的大小為，為異面直線，且，則 所成的角為兩條直線所成的角，∴ θ=，選B.2.直三棱柱 中，點 分別是 的中點，則BD與AF所成的角的余弦值是（）A.B.C.D.三、考題訓練：

例1（04廣東18）如右下圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2。E、F分別是線段AB、BC上的點，且EB=BF=1。求直線EC1與FD1所成的角的余弦值。思路一：本題易于建立空間直角坐標系，把 與 所成角 看作向量 的夾角，用向量法求解。

思路二：平移線段C1E讓C1與D1重合。

轉化為平面角，放到三角形中，用幾何法求解。（圖1）解法一：以A為原點，分別為x軸、y軸、z軸的正向建立空間直角坐標系，則有

D1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C1(4,3,2),于是

設EC1與FD1所成的角為，則:

∴直線 與 所成的角的余弦值為

解法二：延長BA至點E1,使AE1=1,連結E1F、DE1、D1E1、DF，有 D1C1//E1E, D1C1=E1E,則四邊形D1E1EC1是平行四邊形。則E1D1//EC1.于是∠E1D1F為直線 與 所成的角。在Rt△BE1F中，.在Rt△D1DE1中，在Rt△D1DF中，在△E1FD1中,由余弦定理得：

∴直線 與 所成的角的余弦值為.[說明]“轉化”是求異面直線所成角的關鍵。平移線段法，或化為向量的夾角。一般地，異面直線 l1、l2的夾角的余弦為：.練習1．(07全國Ⅰ)如圖，正四棱柱 中，則異面直線 與 所成角的余弦值為（）A．

B．

C．

D．

解：如圖，連接BC1，A1C1，∠A1BC1是異面直線 與

所成的角，設AB=a，AA1=2a，∴ A1B=C1B= a，A1C1= a，∠A1BC1的余弦值為，選D。

2.（08全國二10）已知正四棱錐 的側棱長與底面邊長都相等，是 的中點，則 所成的角的余弦值為（C）A．

B．

C．

D．

例2.（1）(07全國II)已知正三棱柱 的側棱長與底面邊長相等，則 與側面 所成角的正弦值等于（）A．

B．

C．

D．

解：已知正三棱柱ABC－A1B1C1的側棱長與底面邊長相等，取A1C1的中點D1，連接BD1，AD1，∠B1AD1是AB1與側面ACC1A1所成的角，選A。

（2）如圖，在體積為1的直三棱柱 中，． 求直線 與平面 所成角的大小（結果用反三角函數值表示）． 解：法一： 由題意，可得體積，．連接 ．，平面，是直線 與平面 所成的角．

，則

＝ ．即直線 與平面 所成角的大小為 ． 法二： 由題意，可得

體積，如圖，建立空間直角坐標系． 得點，． 則，平面 的法向量為 ．

設直線 與平面 所成的角為，與 的夾角為，則。

練習：如圖,在正三棱柱 中，側棱長為，底面三角形的邊長為1，則 與側面

所成的角是____________ 解：，點 到平面 的距離為，∴，．

例3.如圖，在三棱錐 中，側面 與側面 均為等邊三角形，為 中點．（Ⅰ）證明：平面 ；

（Ⅱ）求二面角 的余弦值． 證明：（Ⅰ）由題設

，連結，為等腰直角三角形，所以，且，又 為等腰三角形，故，且，從而 ．

所以 為直角三角形，． 又 ．所以平面 ．（Ⅱ）解法一： 取 中點，連結，由（Ⅰ）知，得 ．

為二面角 的平面角． 由 得平面 ． 所以，又，故 ．

所以二面角 的余弦值為 ．

解法二：建立空間直角坐標系 ．設，則 ．的中點，．

． 故 等于

二面角 的平面角．，所以二面角 的余弦值為 ．

總結：二面角的求法：

1.幾何法：二面角轉化為其平面角，要掌握以下三種基本做法： ①直接利用定義，圖(1)②利用三垂線定理及其逆定理，圖(2)最常用。③作棱的垂面，圖(3)圖4

另外，特別注意觀察圖形本身是否已含有所求的平面角； 2.向量法：①從平面的法向量考慮，設

分別為平面 的法向量，二面角 的大小為，向量的夾角為，則有 或

（圖5）

圖5

②如果AB、CD分別是二面角 的兩個面內與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小為。

[說明]在處理二面角問題時，可能會遇到二面角的具體大小問題，如本題中若取 時，會算得，從而所求二面角為，但依題意只為。因為二面角的大小有時為銳角、直角，有時也為鈍角。所以在計算之前不妨先依題意判斷一下所求二面角的大小，然后根據計算取“相等角”或取“補角”。

四、能力提升：

1.（2003京春文11，理8）如圖9—1，在正三角形ABC中，D，E，F分別為各邊的中點，G，H，I，J分別為AF，AD，BE，DE的中點.將△ABC沿DE，EF，DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數為（B）A.90°

B.60° C.45°

D.0°

解析：將三角形折成三棱錐如圖9—43所示.HG與IJ為一對異面直線.過點D分別作HG與IJ的平行線，即DF與AD.所以∠ADF即為所求.因此，HG與IJ所成角為60°.評述：本題通過對折疊問題處理考查空間直線與直線的位置關系，在畫圖過程中正確理解已知圖形的關系是關鍵.通過識圖、想圖、畫圖的角度考查了空間想象能力.而對空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向.2.（2002全國理，8）正六棱柱ABCDEF—A1B1C1D1E1F1的底面邊長為1，側棱長為，則這個棱柱的側面對角線E1D與BC1所成的角是（）A.90°

B.60°

C.45°

D.30°

解析：連結FE1、FD，則由正六棱柱相關性質得FE1∥BC1.在△EFD中，EF=ED=1，∠FED=120°，∴FD=.在Rt△EFE1和Rt△EE1D中，易得E1F=E1D=.∴△E1FD是等邊三角形.∴∠FE1D=60°.∴BC1與DE1所成的角為60°.評述：本題主要考查正六棱柱的性質及異面直線所成的角的求法.3.（2001全國，11）一間民房的屋頂有如圖9—4三種不同的蓋法：①單向傾斜；②雙向傾斜；③四向傾斜.記三種蓋法屋頂面積分別為P1、P2、P3.若屋頂斜面與水平面所成的角都是α，則（）A.P3＞P2＞P1

B.P3＞P2＝P1 C.P3＝P2＞P1

D.P3＝P2＝P1 解析：由S底＝S側cosθ可得P1＝P2而P3＝

又∵2（S1＋S2）＝S底

∴P1＝P 2＝P 3

五、課堂小結： 1.2.向量法通過空間坐標系把空間圖形的性質代數化，避免了尋找平面角和垂線段等諸多麻煩，使空間點線面的位置關系的判定和計算程序化、簡單化。主要是建系、設點、計算向量的坐標、利用數量積的夾角公式計算。

六、課外作業：

1.（08全國一11）已知三棱柱 的側棱與底面邊長都相等，在底面 內的射影為 的中心，則 與底面 所成角的正弦值等于（C）A．

B．

C．

D．

2.（08福建卷6)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為（D）A.B.C.D.3.（2009年云南省第一次統測）在四棱錐 中，底面 是正方形，側棱 底面，是 中點，作 交 于 ．

（1）證明平面 ：

（2）證明平面 ；

（3）求二面角 的大小．

4．(06福建卷)如圖，在正方體 中，分別為，，的中點，則異面直線 與 所成的角等于（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

解：連A1B、BC1、A1C1，則A1B=BC1=A1C1，且EF∥A1B、GH∥BC1，所以異面直線EF與GH所成的角 等于.60°，選B.9-5距離 教學目標： 1.理解點到平面的距離、兩異面直線間的距離、直線到與它平行平面的距離的概念。2.會用等體積法、向量法求點到平面的距離。

3.將直線到與它平行的平面的距離轉化為點到平面的距離求解。教學重點：用等體積法、向量法求點到平面的距離。教學難點：建立適當的坐標系，求解點到平面的距離。教學過程設計：

一、要點回顧：

1.點與它在平面上的射影間的距離叫做該點到這個平面的距離.2.直線與平面平行，那么直線上任一點到平面的距離叫做這條直線與平面的距離.3.兩個平面平行，它們的公垂線段的長度叫做這兩個平面的距離.4.兩條異面直線的公垂線段的長度叫做這兩條異面直線的距離.5.借助向量求距離：

（1）求點面距離的向量公式

平面α的法向量為n，點P是平面α外一點，點M為平面α內任意一點，則點P到平面α的距離d就是 在向量n方向射影的絕對值，即d=.（2）異面直線的距離的向量公式

設向量n與兩異面直線a、b都垂直，M∈a、P∈b，則兩異面直線a、b間的距離d就是 在向量n方向射影的絕對值，即d=.二、基礎體驗：

1.（06天津）如圖，在正三棱柱 中，．若二面角 的大小為，則點 到直線 的距離為

．

2.（07）正三棱錐 的高為2，側棱與底面ABC所成角為，則點 到側面 的距離是

.解：如圖，∠PBO＝45°，PO＝OB＝2，OD＝1，BD＝，PB＝2，PD＝，AD＝3，得AE＝.3.如圖，半徑為2的半球內有一內接正六棱錐，則此正六棱錐的側面積是____ ____． 解：顯然正六棱錐 的底面的外接圓是球的一個大圓，于是可求得底面邊長為2，又正六棱錐 的高依題意可得為2，依此可求得

三、考題訓練：

例1.如圖，在正三棱柱 中，所有棱長均為1，則點 到平面 的距離為.解：連結 則點 到平面 的距離轉化為C點到平面 的距離，易得，則由

，求得h=。

例2.如圖，在三棱錐S-ABC中，（1）求二面角N-CM-B的大小；（2）求點B到平面CMN的距離。

四、課堂小結：

求空間距離的方法可分為直接法、轉化法、向量法.1.直接法是直接作出垂線，再通過解三角形求出距離.2.轉化法則是把點面距離轉化為線面距離，或把線面距離轉化為面面距離，再轉化為點面距離.3.向量法是把距離求解轉化為向量運算.9-6簡單多面體和球 教學目標：

1.理解球和球面的概念，理解球面距離的概念； 2.注意多面體與球的關系；

3.掌握球半徑、截面小圓半徑與球心到截面圓距離三者間的關系； 4.了解地球儀上經度、緯度的概念，并用球的相關知識解決問題。教學重點：多面體與球的相關計算.教學難點：理解球面上兩點間距離的概念, 了解與球的有的內切、外接幾何問題的解法。教學過程設計：

一、要點回顧：(一)正多面體

1.概念: 每一個面都有相同邊數的,且以每個頂點為一端點有相同數目的棱的凸多面體.2.五種正多面體: 正

面體、正

面體、正

面體、正

面體、正

面體.(二)球

1.概念: 球面, 球

1.到定點的距離小于或等于定長的點的集合叫做球，到定點的距離等于定長的點的集合叫做球面.過球面上兩點的大圓在這兩點間劣弧的長叫做兩點的球面距離.2.球的體積與表面積:、3.球的截面與性質：

球心到截面圓的距離d =

.4.球面距離及其計算

(1)小圓, 大圓 , 經度角 , 緯度角

(2)球面距離=

×

(緯度圓半徑r =)(三)外接球、內切球與組合體

1.棱長為a 的正方體的外接球半徑：

內切球半徑：

（長方體的外接球半徑：）2.棱長為a 的正四面體的外接球半徑：

內切球半徑：

二、基礎體驗：

1．地球半徑為R，則南緯600的緯線圈長為（）A．

B．

C．

D．R 2．一個與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為，則球的表面積為（）A．

B．

C．

D．

3．設地球半徑為R，若甲地位于北緯450東經1200，乙地位于南緯750東經1200，則甲，乙兩地的球面距離為（）A．

B．

C．

D．

4．地球表面上從A地(北緯45°,東經120°)到B地(北緯45°,東經30°)的最短距離為(球的半徑為R)

（）A．

B．πR

C．

D．

5.正四面體的中心到底面的距離與這四面體的高的比是（）

A．

B．

C．

D．

6．一個四面體的所有棱長都為 , 四個頂點在同一球面上, 則此球的表面積是

（）A．3π

B．4π

C．3 π

D．6π

三、考題訓練： 例1．（1）(06全國Ⅰ)已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是(C)A．

B．

C．

D．

解：正四棱柱高為4，體積為16，底面積為4，正方形邊長為2，正四棱柱的對角線長即球的直徑為2，∴ 球的半徑為，球的表面積是，選C.（2）(06福建卷)已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長等于(D)（A）

（B）

（C）

（D）

解：正方體外接球的體積是，則外接球的半徑R=2, 正方體的對角線的長為4，棱長等于，選D（3）(06安徽卷)表面積為的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為

A．

B．

C．

D．

解：此正八面體是每個面的邊長均為 的正三角形，所以由 知，則此球的直徑為，故選A。

例2.（06山東卷）正方體的內切球與其外接球的體積之比為(C)（A）

（B）3

（C）3

（D）1∶9 解：設正方體的棱長為a，則它的內切球的半徑為，它的外接球的半徑為，故所求的比為1∶3，選C 例3.如圖,正四面體ABCD的外接球的體積為 ,求此四面體的體積.四、能力提升：

1.已知正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為，則側面與底面所成的二面角等于____π3 ________。

解：正四棱錐的體積為12，底面對角線的長為，底面邊長為2，底面積為12，所以正四棱錐的高為3，則側面與底面所成的二面角的正切tanα= , ∴ 二面角等于60°。2.已知圓 是半徑為 的球 的一個小圓，且圓 的面積 和球 的表面積 的比 為，則圓心 到球心 的距離與球半徑的比 ＿ ＿＿。解：設圓 的半徑為r，則 ＝，＝，由

得r ? R＝ ? 3，又，可得 1 ? 3

3．(06湖南卷)過半徑為2的球O表面上一點A作球O的截面，若OA與該截面所成的角是60°，則該截面的面積是(A)

A．π

B.2π

C.3π

D.解：過半徑為2的球O表面上一點A作球O的截面，若OA與該截面所成的角是60°，則截面圓的半徑是 R=1，該截面的面積是π，選A.4.如圖，正四棱錐 底面的四個頂點 在球 的同一

個大圓上，點 在球面上，如果，則球 的表面積是(D)（A）

（B）

（C）

（D）

解：如圖，正四棱錐 底面的四個頂點 在球 的同

一個大圓上，點 在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，，所以，R=2，球 的表面積是，選D.五、課堂小結：

六、課外作業： 1.（08全國二8）正四棱錐的側棱長為，側棱與底面所成的角為，則該棱錐的體積為（B）A．3

B．6

C．9

D．18 2.（08全國二12）．已知球的半徑為2，相互垂直的兩個平面分別截球面得兩個圓．若兩圓的公共弦長為2，則兩圓的圓心距等于（C）A．1

B．

C．

D．2 3.（08湖北卷4）用與球心距離為1的平面去截面面積為，則球的體積為（D）

A.B.C.D.4.（08湖南卷9）長方體 的8個頂點在同一個球面上，且AB=2，AD=，則頂點A、B間的球面距離是（B)A．

B．

C．

D．2 5.（08福建卷15）若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且側棱長均為，則其外接球的表面積是.9

6.（海南卷14）一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直底面。已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的高為，底面周長為3，那么這個球的體積為 _________

7.（福建15）若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且側棱長均為，則其外接球的表面積是.9

8.（海南卷14）一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直底面。已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且該六棱柱的高為，底面周長為3，那么這個球的體積為 _________ 10．(07全國II)已知三棱錐的側棱長是底面邊長的2倍，則側棱與底面所成角的余弦值等于 A．

B．

C．

D．

解：已知三棱錐的側棱長的底面邊長的2倍，設底面邊長為1，側棱長為2，連接頂點與底面中心，則側棱在底面上的射影長為，所以側棱與底面所成角的余弦值等于，選A。

11.一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2cm的球面上．如果正四棱柱的底面邊長為1cm，那么該棱柱的表面積為

cm ．

解：一個正四棱柱的各個頂點在一個直徑為2cm的球面上。正四棱柱的對角線的長為球的直徑，現正四棱柱底面邊長為1cm，設正四棱柱的高為h，∴ 2R=2=，解得h=，那么該棱柱的表面積為2+4 cm2.12.一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為，，則此球的表面積為

． 解：長方體的各頂點均在同一球的球面上則長方體的體對角線長為球的直徑，設球的直徑為 則：，由于球的表面積為:.13把邊長為 的正方形ABCD沿對角線AC折成直二面角, 折成直二面角后, 在A,B,C,D四點所在的球面上,B與D兩點之間的球面距離為(A)(B)(C)(D)

解：球的半徑為1，B與D兩點恰好是兩條垂直的半徑的端點，它們之間的球面距離為 個大圓周長，即，選C。

14．(07陜西卷)Rt△ABC的三個頂點在半徑為13的球面上，兩直角邊的長分別為6和8，則球心到平面ABC的距離是（A）5

（B）6

（C）10（D）12 解：Rt△ABC的斜邊長為10，且斜邊是Rt△ABC所在截面的直徑，球心到平面ABC的距離是d=，選D.七、板書設計：

八、教學反思：

第三篇：立體幾何復習

一、線線平行的證明方法

1、利用平行四邊形。

2、利用三角形或梯形的中位線。

3、如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行。

4、如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。

5、如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。

6、平行于同一條直線的兩條直線平行。

7、夾在兩個平行平面之間的平行線段相等。

二、線面平行的證明方法：

1、定義法：直線與平面沒有公共點。

2、反證法。

3、如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

4、兩個平面平行，其中一個平面內的任何一條直線必平行于另一個平面

三、面面平行的證明方法

1、定義法：兩平面沒有公共點。

2、如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

3、平行于同一平面的兩個平面平行。

4、經過平面外一點，有且只有一個平面和已知平面平行。

5、垂直于同一直線的兩個平面平行。

四、線線垂直的證明方法：

1、勾股定理。

2、等腰三角形。

3、菱形對角線。

4、圓所對的圓周角是直角。

5、點在線上的射影

6、如果一條直線和一個平面垂直，那么這條直線就和這個平面內任意的直線都垂直

7、在平面內的一條直線，如果和這個平面一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

8、在平面內的一條直線，如果和這個平面一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。

9、如果兩條平行線中的一條垂直于一條直線，則另一條也垂直于這條直線

五、線面垂直的證明方法：

1、定義法：直線與平面內任意直線都垂直。

2、點在面內的射影。

3、如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。

4、如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。

5、兩條平行直線中的一條垂直于平面，則另一條也垂直于這個平面。

6、一條直線垂直于兩平行平面中的一個平面，則必垂直于另一個平面。

7、兩相交平面同時垂直于第三個平面，那么兩平面交線垂直于第三個平面。

8、過一點，有且只有一條直線與已知平面垂直。

9、過一點，有且只有一個平面與已知直線垂直。

六、面面垂直的證明方法：

1、定義法：兩個平面的二面角是直二面角。

2、如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

3、如果一個平面與另一個平面的垂線平行，那么這兩個平面互相垂直

4、如果一個平面與另一個平面的垂面平行，那么這兩個平面互相垂直

第四篇：高三數學復習

高三數學複習--複數姓名班級學號日期

1.若a?R，複數(2a2?3a?2)?(a2?3a?2)i表示純虛數，則a的條件是 ________________。

2.已知z1?(x?y?4)?(x2?xy?2y)i,z2?(2x?y?2)?(xy?y)i,(x,y?R)，(1)若z1與z2都是純虛數，求x、y的值(2)若z1與z2對應的點關於實軸對稱 求x、y的值。

3.設a,b為共軛複數且(a?b)2?3abi?4?12i,求a,b的值。4.已知f(z)?2z?z?3,f(z?i)?6?3i,求z。

5.若z?(log23,log32),則z在複平面所對應的點應在第______象限。

?2?

6.設?,?都是虛數,且它們互為共軛複數。已知是實數,求的值。

??

7.求複數的輻角主值:(1)?3(cos

4413

??isin?)(2)(1?i)(cos??isin?)(3)??i(4)3322

?6i(5)1?2?(6)?2?2i(7)cos

?

?isin

?

6(2?2i)4??3?i?(4)(1?i)6 2020

8.計算:(1)(1?i)?(1?i)(2)(3)??

2(1?3i)5?1?2i?

?1?i?

?(5)(6)?

?2?2(cos?isin)66

(1?i)

2001

?

(7)

?i

?

?13?

???i?22??

5?5???

cos?isin???1212?

9.若z?1?i,則z?z2???z5?____________。

10.計算﹕i?2i2?3i3???100i100=________________。11.已知arg(?2?i)??,arg(3?i)??,求???。

12.在△ABC中，?cosA?isinA??cosB?isinB??cosC?isinC??

13.試求(1?i)(cos??isin?)(????)的輻角主值。

23?

14.若複數z?(a?i)2的輻角是,試求實數a的值。

25i

15.若複數z?a?3i的輻角主值與的輻角主值相同，求實數a的值。

16.求複數4?4i的四次方根;?i的立方根。17.在複數集C中解方程:18x2?42x?29?0。

??z4

18.若z?2(cos?isin),則=_______________

5519.若|z?3?4i|?2時,複數|z|的最大值是 ____________

20.已知實數m滿足不等式|log2m?4i|?5,求m的取值範圍____________。

??

?1?i?

21.設zn??。??n?N?,則數列前50的項和為?2?

22.已知p、q?R,關於x的方程x2?2(p?q)x?2(p2?q2)?0有兩個虛根,且它們

p的立方均為實數,求的值。

q

23.求1????2?...??13的值。24.求證:(1????2)(1????2)?4。25.若z?2?,z?3?4,求z。

26.複數z1 = 3 + 2i, z2 = 3－i, 若f(z)?1?z, 則f(z1－z2)的值為___________。

27.若複數z滿足z?z??1?2i,則求z的值。

n

第五篇：六年級數學總復習

填空

1、十八億四千零五十九萬九千八百改寫成以億為單位寫作（），保留兩位小數寫作（）億，改寫成以萬為單位寫作（），保留一位小數寫作（）萬。

2、五個個大小相等的正方形，拼成一個長方形，這個長方形的周長是48厘米，每個正方形邊長是（），這個長方形的面積是（）。

3、一根長2米3分米的木料，把它截成三段，表面積增加24平方厘米，這木料的體積是（）

4、在一個盛滿水的底面半徑是20厘米的圓柱形容器里，有一個底面半徑是10厘米的圓錐體浸沒在水中，取出圓錐后，容器水面下降5厘米，這個圓錐高（）。

5、一個等腰三角形的頂角是銳角，那么這個三角形一定是（）三角形。

6、三位小數a精確到百分位是8.60，這個三位數最大是（），最小是（）。

7、一根鐵絲長480厘米，焊成一個長方體框架，長寬高比例是3：2：1，這個長方體的表面積是（）平方厘米，體積是（）立方分米。

8、側面積相等的兩個圓柱，表面積（一定/不一定）相等。

9、圓的半徑與周長成（）關系。

10、如果5/x=y/3，那么x與y成（）關系。

列式計算

1、七除二又四分之三的商減去四點五乘以三分之一的積，差是多少？

2、一個數的五分之四比270的百分之三十多75，求這個數。（列方程）

應用題

1、某工廠去年總產值2300萬元，比前年增加15%，這個工廠前年的總產值是多少萬元？

2、甲乙兩車同時從兩地沿公路相對開出，甲平均每小時行48千米，乙車平均每小時行54千米，相遇時兩車距兩地中點36千米，兩地相距多少千米？

3、在含鹽40%的鹽水中加入80千克水，鹽水含鹽30%，再加入多少千克鹽，鹽水含鹽50%？