第一篇：概率試題

08~09（1）試題（2008.12.24）

一、填空（每題5分，共5題）

1、已知袋中有1個藍球、2個紅球、3個黑球、4個白球，從中不返回的取球，一次一個。則第一、二次都是紅球的概率是。

2、已知三個隨機變量?,?,?中，E??E??1,E???1,D??D??D??1,????????????0。令???????，則E??；D??

3、已知?服從參數為?的泊松分布，且E??E?2?3，則??

4、已知?~N?1,4?，??1,?,?4?是其樣本，則P?1?（計算到可查表為止）。

5、作5次獨立試驗，且P?A???1，已知5次中事件A至少有1次不發生，則A發生3次的概率為

31?i?1,2,3?。用?表1?i

二、計算（每題8分，共5題）

1、一實習生用同一臺機器制造3個同種零件，第i個零件是不合格品的概率為pi?

示3個零件中合格品的個數，求?的概率分布率。

2、已知??,??的聯合密度函數為f?x,y????8xy,0?y?x?1，試求?的邊緣密度函數。其他?0,3、某人打靶，得10分的概率為0.3，得9分的概率為0.4，得8分的概率為0.3。現射擊100次，求總分多于900的概率（計算到可查表為止）。

4、已知?1,?,?n?m是取自總體N0,?2的容量為n?m的樣本，設 ??

?1??i，??Cmi?n?1n?m??i?1n?m

i?n?1n2i???i??。

2已知?服從F?n1,n2?。求C以及n1?n2。

5、自動包裝機裝包的每包重量服從正態分布N?,?2。據以往資料，??2.4，現在經過一段時間使用后，隨機的抽查9包，觀察得?100,s?3，在顯著性水平??0.05下，問方差有無顯著差異。

三、（15分）

已知?,?相互獨立，且?為?0,3?上的均勻分布，?服從參數??0的指數分布。已知D??????1。

1、求??,??的聯合密度函數f?x,y?；

2、P?????；

3、求?????的密度函數f??z?。

四、（16分）

設總體?~N0,?2，?2有限且大于0，??1,?,?n?是其樣本，S2是樣本方差。????

?2；

2、上一問中的??2與S2哪個更有效？

1、求?2的極大似然估計?

3、設?n??1,?,?n?是未知參數?的一個估計量，若對任意的??0，有limPn?????1，則我們稱?nn????

?2是?2的一致估計。是?的一致估計量。試用切比雪夫不等式證明：?

五、（4分）

假設對于隨機變量?,?，有E??E??0,D??D??1,????22，試證明Emax?,??1.5。2??

08~09（2）試題（2009.6.22）

一、填空（共4題，每題4分）

1、若P?A??0.6,P?A?B??0.8，且A,B相互獨立，則P?

2、已知?~B?N,p?，且E??3,D??1.5，則N?，p?

3、連續扔n次硬幣，以?,?分別表示正面和反面的次數，則???,???

4、已知隨機變量?是服從?0,1?的均勻分布，??0.1，則?的?分位數等于

二、選擇（共4題，每題4分）??

x?0?0,?

1、已知?的分布函數F??x???0.5,。0?x?1，則?的取值為（）

?1??e??x?1?,x?1?

(A)???0,0.5?；(B)??0.5；(C)???0.5,1?；(D)???0,0.5?；(E)???0.5,1?。

2、在假設檢驗中，若樣本容量保持不變，則當發生第一類錯誤的概率變小時，發生第二類錯誤的概率將（）。

(A)不變；(B)變大；(C)變小；(D)無法確定。

3、已知?~N?1,1?,?~N?1,4?，a?0我常數，且P??a?0.5。則P??2a?（）。

(A)0.25；(B)0.5；(C)0.75；(D)1。

4、有如下四個命題：

⑴ 若T~t?n?，則T2~F?1,n?；⑵ 若?~N?0,1?，則a??b~Na?b,a2?b2； ⑶ 若?~N?0,1?,?~N?0,1?，則?2??2~?2?2?；⑷ 若?~N?0,1?,?~N?0,1?，則?/~t?1?。則以上命題正確的是（）。

(A)僅⑴、⑵；(B)僅⑴、⑶；(C)僅⑴、⑶、⑷；(D)全對；(E)(A)(B)(C)(D)都不對。

三、（10分）袋中有a個白球、b個黑球，從袋中隨機抽取一球，看顏色后放回，再放入r個相同顏色的球，這是第一步。重復上面的步驟。求第二次取出白球的概率、以及第二次取到白球第三次取到黑球的概率。?????

?a1?x2?y2,x2?y2?

1四、（10分）已知??,??的聯合密度函數為：f?x,y???，0,其他?

試求a及?的邊緣密度函數。

五、（10分）已知某種產品的次品率為1%，隨機抽取10000件這種產品。令事件A?{次品數介于91~109}。請用切比雪夫不等式估計P?A?、并用中心極限定理計算P?A?（計算到可查表為止）。

六、（8分）一種元件要求其使用壽命不低于1000小時。現從某批元件中抽取25件，測得其平均壽命為950小時。已知該種元件壽命服從標準差為100的正態分布。試在顯著水平??0.01下確定這批元件是否合格？（提示：檢驗假設H1:??1000）

七、（15分）在長為1的線段上隨機的任取兩點，設為?1,?2。

2?0有實根的概率。⑴ 求?1??2的密度函數；⑵ 求E1??2；⑶ 求x2?2?1x??2????

?1??x???/?,x???e

八、（15分）設總體?的密度函數為f?x????，其中??0,??R。??1,?,?n?是其樣本，?其他?0,?x1,?,xn?是其觀察值。

?；⑵ 求?,?極大似然估計量??；⑶ 求E??m,E??L。?m,??L,?⑴ 求?,?的矩估計量?mL

第二篇：概率教案

概率的預測

一、教學目標

掌握通過邏輯分析用計算的方法預測概率，知道概率的預測，概率的頻率含義，所有事件發生的概率和為1；經歷各種疑問的解決，體驗如何預測一類事件發生的概率，培養學生分析問題解決問題的能力；

二、重點：通過邏輯分析用計算的辦法預測概率

三、難點：要能夠看清所有機會均等的結果，并能指出其中你所關注的結果

四、教學方法：講練結合法

五、教學器具：多媒體、撲克

六、教學過程

（一）關注我們身邊的事：

1）如果天氣預報說：“明日降水的概率是95%，那么你會帶雨具嗎？” 2）有兩個工廠生產同一型號足球，甲廠產品的次品率為0.001，乙廠產品的次品率是0.01． 若兩廠的產品在價格等其他方面的條件都相同，你愿意買哪個廠的產品？

上述事例告訴我們知道了一件事情發生的概率對我們工作和生活有很大的指導作用.（二）熱身運動：

我們三（1）班有21位同學，其中女同學11名，老師今天早上正好看見我們班一位同學在操場鍛煉身體，問：我遇到男同學的機會大，還是女同學的機會大？

遇見男生的概率大還是女生的概率大？我們需要做實驗嗎？我們能否去預測？

復習上節課概率的計算方法

（三）熱點探討：

問題 2006年10月6日，經過三年的建設,由世界建筑大師貝聿銘老先生設計的蘇州市博物館新館在百萬蘇州市民的熱切期盼中正式開館.為了讓大家能一睹這一被貝老喻為“最親愛的小女兒”的方容，老師準備帶一部分同學去參觀蘇博新館，那么帶哪些同學去呢？老師準備這么做： 在我們班里有女同學11人，男同學10人。先讓每位同學都在一張小紙條上寫上自己的名字，放入一個盒中攪勻。如果老師閉上眼睛從中隨便的取出一張紙條，想請被抽到的同學等會上講臺和老師一起去參觀，這個方法公平嗎?那么抽到男同學名字的概率大還是抽到女同學的概率大？

分析 全班21個學生名字被抽到的機會是均等的．

11解

P（抽到女同學名字）=，2110

P（抽到男同學名字）=，所以抽到女同學名字的概率大． 請思考以下幾個問題：，表示什么意思？ 21如果抽一張紙條很多次的時候，平均21次就能抽到11次女同學的名字。

2、P(抽到女同學名字)+P(抽到男同學名字)=100%嗎？

如果改變男、女生的人數，這個關系還成立嗎？ 請學生回答

所有等可能事件發生的概率之和是1

1、抽到女同學名字的概率是

四、你能中獎嗎：

1.一商場搞活動促銷，規定購物滿一百元可以抽一次獎，規則如下，在一只口袋中放著8只紅球和16只黑球，抽到紅球即獲獎，這兩種球除了顏色以外沒有任何區別．袋中的球已經攪勻．蒙上眼睛從口袋中取一只球，取出黑球與紅球的概率分別是多少？

162解 P（取出黑球）＝=, 2

431 P（取出紅球）＝1－P（取出黑球）＝，321所以，取出黑球的概率是，取出紅球的概率是． 想一想：

33如果商場換成以下的抽獎方案：甲袋中放著20只紅球和8只黑球，乙袋中則放著20只紅球、15只黑球和10只白球，這三種球除了顏色以外沒有任何區別．兩袋中的球都已經各自攪勻．蒙上眼睛從口袋中取一只球，取出黑球才能獲獎，你選哪個口袋成功的機會大呢？

解題過程見課件

下面三位同學的說法，你覺得這些同學說的有道理嗎？

1．A認為選甲袋好，因為里面的球比較少，容易取到黑球；

2．B認為選乙袋好，因為里面的球比較多，成功的機會也比較大。3．C則認為都一樣，因為只摸一次，誰也無法預測會取出什么顏色的球．

幸運抽獎：老師手上有兩組撲克，一組有7張，其中兩張A，另一組16 張，其中四張A，現在老師抽一名同學上來選擇一組抽一張，抽到A獲獎。

小試身手

在分別寫有1到20的20張小卡片中，隨機地抽出1張卡片.試求以下事件的概率.（1）該卡片上的數字是5的倍數；（2）該卡片上的數字不是5的倍數；

（3）該卡片上的數字是素數；（4）該卡片上的數字不是素數.學生上黑板書寫，糾正學生的不規范書寫

注意關注所有機會均等的結果和所需要關注的事件個數 試一試

1、任意翻一下2005年日歷，翻出1月6日的概率為________;翻出4月31日的概率為___________。翻出2號的概率為___________。

2、擲一枚普通正六面體骰子，求出下列事件出現的概率：（1）點數是3；（2）點數大于4；（3）點數小于5；（4）點數小于7；（5）點數大于6；（6）點數為5或3．

3、李琳的媽媽在李琳上學時總是叮嚀她：“注意，別被來往的車輛碰著”，但李琳心里很不舒服，“哼，我市有300萬人口，每天的交通事故只有幾十件，事件發生的可能性太小，概率為0。”你認為她的想法對不對？

4、小強和小麗都想去看電影，但只有一張電影票，你能用手中的撲克牌為他們設計一個公平游戲決定誰去看電影嗎？（方法多種多樣，讓學生自己分析）

以上兩題組織學生討論

幸運笑臉：有一個幸運翻板，參與同學回答老師一個問題，答對可以獲得一次翻板機會，20個板塊中有5個后面試笑臉，翻到笑臉可獲得獎品。（是否公平，為下節課埋個伏筆）

五、小 結

1． 要清楚所有等可能結果； ．要清楚我們所關注的是發生哪個或哪些結果； 3 ． 概率的計算公式：

六、布置作業

教學反思：

用樣本估計總體(1)知識技能目標

1.進一步體會隨機抽樣是了解總體情況的一種重要的數學方法,抽樣是它的一個關鍵； 2.根據統計結果作出合理的判斷和預測，體會統計對決策的作用，能比較清晰地表達自己的觀點，并進行交流．

重點和難點

通過隨機抽樣選取樣本，繪制頻數分布直方圖、計算樣本平均數和標準差并與總體的頻數分布直方圖、平均數和標準差進行比較，得出結論．

教學過程

一、創設情境

有這么一個笑話：媽媽讓一個傻兒子去買一盒火柴，走的時候特別囑咐這個傻兒子：“寶貝，買火柴的時候要注意買好火柴，就是一劃就著的火柴，別買那劃不著的火柴啊．”傻兒子答應了媽媽，就去買火柴了．回來的時候，他興高采烈地喊：“媽媽，媽媽，火柴買回來了，我已經把每一根火柴都劃過了，根根都是一劃就著的好火柴！” 這雖然是一個笑話，但告訴了我們抽樣的必要性． 再請看下面的例子：

要估計一個湖里有多少條魚，總不能把所有的魚都撈上來，再去數一數，但是可以捕撈一部分作樣本，把魚作上標記，然后放回湖中，過一段時間后，等帶有標記的魚完全混入魚群后，然后再捕撈一網作第二個樣本，并計算出在這個樣本中，帶標記的魚的數目，根據帶標記的魚所占的第二個樣本的比例就可以估計出湖中有多少條魚．

在剛才講的笑話中，傻兒子其實只要抽取一盒火柴中的一部分來考察火柴是否一劃就著就可以了．

二、探究歸納

像這樣，抽取一部分作為樣本進行考查，用樣本的特性去估計總體的相應特性，就是用樣本估計總體．為了更好地學習本節知識，我們來回顧一下：什么是平均數、總體平均數、樣本平均數、方差、標準差？

平均數：一般地，如果有幾個數X1、X2、、X3、??、Xn，那么x?1(x1?x2?x3???xn)，n叫做這幾個數的平均數．

總體平均數：總體中所有個體的平均數叫做總體平均數． 樣本平均數：樣本中所有個體的平均數叫做樣本平均數．

方差：對于一組數據，在某些情況下，我們不僅要了解它們的平均水平，還要了解它們波動的大小（即偏離平均數的大小），這就是方差．

s2?1(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2 n??標準差：方差的算術平方根．

s?1?(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2? ?n?

三、例題解析

讓我們仍以上一節300名學生的考試成績為例，考察一下抽樣調查的結果是否可靠．

假設總體是某年級300名學生的考試成績，它們已經按照學號順序排列如下（每行有20個數據）：

如圖1所示，根據已知數據，我們容易得到總體的頻數分布直方圖、平均成績和標準差．

總體的平均成績為78.1分，標準差為10.8分

圖1 用簡單隨機抽樣方法，得到第一個樣本，如5個隨機數是111，254，167，94，276，這5個學號對應的成績依次是80，86，66，91，67，圖2是這個樣本的頻數分布直方圖、平均成績和標準差．重復上述步驟，再取第二和第三個樣本．

第一個樣本的平均成績為78分，標準差為10.1分

圖2 圖3是根據小明取到的第二和第三個樣本數據得到的頻數分布直方圖．

第二個樣本的平均成績為74.2分，標準差為3.8分

第三個樣本的平均成績為80.8分，標準差為6.5分

圖3 思考 圖2、3與圖1相像嗎？平均數以及標準差與總體的接近嗎？

發現 不同樣本的平均成績和標準差往往差異較大．原因可能是因為樣本太小．

用大一些的樣本試一試，繼續用簡單隨機抽樣方法，選取兩個含有10名學生的樣本，圖4是根據小明取到的兩個樣本數據得到的頻數分布直方圖．

第一個樣本的平均成績為79.7分，標準差為9.4分

第二個樣本的平均成績為83.3分，標準差為11.5分

圖4 發現 此時不同樣本的平均成績和標準差似乎比較接近總體的平均成績78.1分和標準差10.8分．

猜想 用大一些的樣本來估計總體會比較可靠一點．

讓我們用更大一些的樣本試一試，這次每個樣本含有40個個體．圖5是根據小明取到的兩個樣本數據得到的頻數分布直方圖．

第一個樣本的平均成績為75.7分，標準差為10.2分

第二個樣本的平均成績為77.1分，標準差為10.7分

圖4 發現 圖4中樣本的平均成績和標準差與總體的平均成績和標準差的差距更小了． 結論 樣本大更容易認識總體的真面目． 下面請同學們也用自己的抽樣數據分析一下．

四、交流反思

隨著樣本容量的增加，由樣本得出的平均數、標準差會更接近總體的平均數、標準差． 樣本大更容易認識總體的真面目．因此，可以通過選取恰當的樣本來估計總體．

五、檢測反饋

1．某校50名學生的體重記錄如下（按學號順序從小到大排列）（單位：kg）

試用簡單的隨機抽樣的方法，分別抽取5個、15個、30個體重的樣本各兩個并計算樣本平均數和標準差．把它們與總體平均數和標準差作比較，看哪個樣本的平均數和方差較為接近．

2．某校九年級(1)班45名學生數學成績如下（單位：分）

(1)請你用簡單的隨機抽樣方法選取2個樣本容量為10的樣本，2個樣本容量為20的樣本，2個樣本容量為30的樣本，并將你選取的各樣本的數據和相應的樣本的平均數和標準差填入下表（精確到0.1）

(2)求出九年級(1)班45名學生數學的平均成績和標準差．分別將表格中不同樣本容量的平均數、標準差與總體的平均數、標準差進行比較，從比較中你發現些什么？

六：教學反思：

第三篇：概率教案

一、授課題目

1.4等可能概型（古典概型）

二、目的要求

教學目的：（1）理解基本事件、等可能事件等概念；

（2）會用枚舉法求解簡單的古典概型問題；

教學要求：要求學生熟練掌握等可能概率, 會計算古典概率

三、重點、難點

教學重點：理解古典概型的概念及利用古典概型求解隨機事件的概率；

教學難點：如何判斷一個試驗是否是古典概型，分清在一個古典概型中某隨機事件包含的基本事件的個數和試驗中基本事件的總數。

四、授課內容

等可能概型

1．基本事件：在一次試驗中可能出現的每一個基本結果稱為基本事件；

2．等可能基本事件：若在一次試驗中，每個基本事件發生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能基本事件；

3．古典概型：滿足以下兩個條件的隨機試驗的概率模型稱為古典概型

①所有的基本事件只有有限個；

②每個基本事件的發生都是等可能的； 具有以上兩個特點的試驗是大量存在的，這種試驗稱為等可能概型（古典概型）。計算公式：

若事件A包含k個基本事件，即A={ei1}∪{ei2}∪?∪{eik},這里i1,i2,?ik是1,2，?，n中某k個不同的數，則有

P?A??kn?A包含的基本事件數

S包含的基本事件數例題1：將一枚硬幣拋擲3次。（1）設事件A1為“恰有一次出現正面”，求P（A1）（2）事件A2為“至少有一次出現正面”，求P（A2）。解：（1）我們考慮樣本空間：

S2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}.而A1={HTT,THT,TTH}.S2中包含有限個元素，且由對稱性知每個基本事件發生的可能性相同，故由古典概率的計算公式可得 P（A1）=

（2）由于A2={TTT},于是 P(A2)=1-P(A2)=1-=

當樣本空間的元素較多時，我們一般不再將S中的元素一一列出，而只需分別求出S中與A中包含的元素的個數（即基本事件的個數），再由公式求出A的概率。

例題2：一個口袋裝有6只球，其中4只白球，2只紅球，從袋中取球兩次，每次隨機的取一只，第一次取一只球，觀察其顏色后放回袋中，攪勻后再取一球，這種取球方式叫做放回抽樣。試分別就上面的情況求（1）取到的兩只球都是白球的概率；（2）取到的兩只球顏色相同的概率；（3）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。解：放回抽樣的情況。

以A、B、C分別表示事件“取到的兩只球都是白球”，“取到的兩只球都是紅球”，“取到的的兩只球中至少有一只是白球”。易知“取到兩只顏色相同的球”這一事件即時A∪B，而C=B.在袋中依次取兩只球，每一種取法為一個基本事件，顯然此時樣本空間中僅包含有限個元素，且由對稱性知每個基本事件發生的可能性相同，由此可計算出事件的概率。

每一次從袋中取球有6只球可供抽取，第二次也有6只球可供抽取。由組合法的乘法原理，共有6×6種取法，即樣本空間中元素總數為6×6。對于事件A而言，由于第一次有4只白球可供抽取，第二次也有4只白球可供抽取，由乘法原理共有4×4個元素。同理B中包含2×2個元素。于是

4?44 P（A）= =

6?69

P(B)=

2?21= 6?69

由于AB=?，得 P(A∪B)=P(A)+P(B)= P(C)=P(B)=1-P(B)=

9例題3：將一個骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數。

問：⑴兩數之和是3的倍數的結果有多少種？ 兩數之和是3的倍數的概率是多少？

⑵兩數之和不低于10的結果有多少種？ 兩數之和不低于10的的概率是多少？

分析：建立模型，畫出可能出現結果的點數和表

解：由表可知，等可能的基本事件的總數是36種

(1)設“兩次向上點數之和是3的倍數”為事件A，事件A的結果有12種，故121P(A)??

363(2)設“兩次向上點數之和不低于10”為事件B，事件B的結果有6種，故61P(B)??

366思考：對于此題，我們還能得到哪些相關結論呢? 變式一：總數之和是質數的概率是多少？

變式二：點數之和是多少時，概率最大且概率是多少？

變式三：如果拋擲三次，問拋擲三次的點數都是偶數的概率，以及拋擲三次得點數之和等于16的概率分別是多少？

例題4：一個口袋內裝有大小相同的5個紅球和3個黃球，從中一次摸出兩個球

(1)共有多少個基本事件？

(2)求摸出的兩個球都是紅球的概率；(3)求摸出的兩個球都是黃球的概率；(4)求摸出的兩個球一紅一黃的概率。

分析：可用枚舉法找出所有的等可能基本事件．

解：(1)分別對紅球編號為1、2、3、4、5號，對黃球編號6、7、8號，從中任取兩球，有

如下等可能基本事件，枚舉如

（1，2）、（1，3）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（1，7）、（1，8）

（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（2，7）、（2，8）

（3，4）、（3，5）、（3，6）、（3，7）、（3，8）

（4，5）、（4，6）、（4，7）、（4，8）

（5，6）、（5，7）、（5，8）

（6，7）、（6，8）

（7，8）

共有28個等可能基本事件

（2）上述28個基本事件中只有10個基本事件是摸到兩個紅球（記為事件A）的事件

m105?? n2814(3)設“摸出的兩個球都是黃球”為事件B，事件B包含的基本事件有3個，m3故P(B)??

n28(4)設“摸出的兩個球是一紅一黃”為事件C，事件C包含的基本事件有15m15個，故P(C)??

n28故 P(A)?思考：通過對摸球問題的探討，你能總結出求古典概型概率的方法和步驟嗎？

五、授課小結

1.學生反映古典概率比較難求。2．古典概型、等可能事件的概念；

六、布置作業

Page26習題19

第四篇：概率復習

第一章、概率論的基本概念

考點：

事件的關系及運算，概率的公理化定義及其性質，古典概型，條件概率的定義及貝葉斯公式，n重伯努利

試驗及二項概率公式。

參考：例1.4、例1.6、例1.26、習題一28

第二章、隨機變量

考點：

隨機變量的分布函數的概念及性質，概率分布（密度）及兩者的性質，分布函數與密度函數的關系，三大離散分布的定義及記號以及相關計算，三大連續分布的定義及記號以及相關計算。

參考：例3.1、例3.15、習題三1

3第三章，隨機向量

考點：

二維離散型隨機變量的聯合概率分布，邊緣分布，條件分布，獨立的充要條件，二維離散型隨機變量的函

數。

參考：例3.1、例3.15、習題三1

3第四章，隨機變量的數字特征

考點：

均值、方差的定義及其性質，六大常見分布的均值及方差、計算過程。

參考：習題四1、5。

第五章，大數定律與中心極限定理

考點：

獨立同分布中心極限定理，棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理。

參考：例5.4、例5.6、第六章 數理統計的基本概念

考點：

簡單隨機樣本的定義，常用統計量，三大統計分布定義及其性質和相關計算（上?分位點），正態總體抽樣分布定理。

本部分主要考查對概念及性質的理解。特別注意：

若E(X)??,D(X)??2,則E(Xi)??,D(Xi)??

2第七章 參數估計

考點：

矩估計法，極大似然估計法，估計量的評價標準（無偏性及有效性），正態總體均值的區間估計。參考：例7.6、例7.8、例7.9、例7.12

第五篇：概率小結

理科第二學段數學學習報告

概率全章小結

班級：

姓名

評定：

【引語】

總結應做到“瞻前顧后”。一份認真的總結，應是對自己充分認識的基礎上的行動綱領的設計，應是避免盲目樂觀或自暴自棄的有效方法，應是過程的記錄，從過程的開始階段就已著手處理，應是復習過程中不可或缺的重要環節。總結內容分以下幾個部分：

一．知識內容結構

二．重點知識梳理與注意事項 三．全章課程實錄

在此只需寫出: 每次課的序號;(如第幾次課)課上所講問題，習題(習題或問題的解答不用抄寫);強調的重點問題，知識，方法.四．典型例題解析 五．典型錯例分析

六．復習方法、效率總結

七．上階段注意事項修正情況(本內容在本章小結中不寫)八．下階段注意事項

【注意】

請大家認真為自己做事并珍惜自己的勞動成果。

【正文】

3.1 事件與概率 3.2 古典概型

3.3 隨機數的含義與應用 3.4 概率的應用

3.1 事件與概率

必然現象：一定條件下必然發生某種結果的現象。

隨即現象的特點：當在相同的條件下多次觀察同一現象，每次觀察到的結果不一定相同，事

先很難預料。-不可能事件：該結果始終不會發生。必然事件：每次實驗中一定會發生。

隨機事件：在實驗中可能發生也可能不發生的結果。

隨機事件一般簡稱為事件。

-基本事件：實驗中不能再分的最簡單的隨機事件。

所有基本事件構成的集合-->基本事件空間

概率的統計定義：一般地，在n次重復進行的實驗中，事件A發生的頻率m/n，當n很大時，總是在某個常數附近擺動，隨著n的增加，擺動幅度越來越小，這時就把這個常數叫做事件A的概率，記作P(A).頻率&概率：用頻率估計概率。

概率的理解：概率，又稱或然率、機會率或機率、可能性，是數學概率論的基本概念，是一個在0到1之間的實數，是對隨機事件發生的可能性的度量。人們常說某人有百分之多少的把握能通過這次考試，某件事發生的可能性是多少，這都是概率的實例。但如果一件事情發生的概率是1/n，不是指n次事件里必有一次發生該事件，而是指此事件發生的頻率接近于1/n這個數值。

* 降水概率70%的理解

概率的古典定義

如果一個試驗滿足兩條：

（1）試驗只有有限個基本結果

（2）試驗的每個基本結果出現的可能性是一樣的。

這樣的試驗，成為古典試驗。對于古典試驗中的事件A，它的概率定義為：P(A)=m/n，n表示該試驗中所有可能出現的基本結果的總數目。m表示事件A包含的試驗基本結果數。這種定義概率的方法稱為概率的古典定義。

概率的幾何概型

簡單地說，如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型。

比如：對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區域內隨機地取一點，該區域中每一個點被取到的機會都一樣；而一個隨機事件的發生則理解為恰好取到中述區域內的某個指定區域中的點。這里的區域可以是線段，平面圖形，立體圖形等。用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型.特點：(1)試驗中所有可能出現的基本事件有無限多個.(2)每個基本事件出現的可能性相等.計算公式:

一般地,在幾何區域D中隨機地取一點,記事件“該點落在其內部一個區域d內”為事件A,則事件A發生的概率為：

P(A)=構成事件A的區域長度(面積或體積)/ 實驗的全部結果所構成的區域長度(面積或體積)

這里要指出:D的測度不能為0,其中“測度”的意義依D確定.當D分別為線段,平面圖形,立體圖形時,相應的“測度”分別為長度,面積,體積等.#實例：1）投針求圓周率 >隨機數

概率的一般加法公式： 設AB是Ω的兩個事件，P(AUB)=A中基本事件個數+B中基本事件個數-A∩B中基本事件的個數/Ω的基本事件總數

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

* 對于兩個互為對立事件的A,B 則有：

P(B)=1-P(A)

概率例題

1.In how many distinguishable ways can the seven letters in the word MINIMUM be arranged, if all the letters are used each time? 答案：420 【詳解】

7個字母總的排列是: 7!=7*6*5*4*3*2*1=5040 需要剔除M、I重復的排列: 1/(2!*3!)=1/12 所以 結果為5040* 1/12=420

2.What is the probability of getting at least three heads when flipping four coins? 答案：5/16 【詳解】

Sample space：1/2*1/2*1/2*1/2=1/16 [思路1]

[思路2] At least three heads=至少三次頭朝上=3次頭朝上1次頭朝下+4次頭都朝上 分別計算“3次頭朝上1次頭朝下”“4次頭都朝上”，求和得結果。

例題解析：

1、兩個事件互斥是兩個事件對立的（）條件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要

D.既不充分也不必要

答案：B

入選原因：該題所強調的概念需要牢記！

2.拋擲一枚質地均勻的硬幣，如果連續拋擲1000次，那么第999次出現正面朝上的概率是（1/2）

入選原因：分清每一個時間與其他事件是否有聯系，如該題中的事件就為一獨立事件，與前998次所拋擲結果無關。

3.從一批產品中取出三件產品，設A=“三件產品全不是次品”，B=“三件產品全是次品”，C=“三件產品不全是次品”，則下列結論正確的是（）A.A與C互斥

B.B與C互斥

C.任何兩個均互斥

D.任何兩個均不互斥

答案：B

入選原因：概率的題里有許多“不全是”“全不是”之類的超級容易混淆的東西……所以看題時仔細！！

4.從一批羽毛球產品中任取一個，其質量小于4.8g的概率為0.3，質量小于4.85g的概率為0.32，那么質量在[4.8，4.85](g)范圍內的概率是（）A.0.62

B.0.38

C.0.02

D.0.68

答案：C

入選原因：大多數時候兩個事件的概率都不能相加減，但是如果一個A事件完全包含在另一個B事件中，那么后者的概率減去前者的概率就為A事件在B事件中的補集發生的概率。

5.從甲、乙、丙、丁4人中選3人當代表，則甲被選中的概率是(3/4)

入選原因：有時，有些題目可能正著想會十分復雜，但如果倒著想便十分簡單，例如該題，如果算甲被選中肯定不如算甲未被選中簡單。又因為甲被選中與未被選中是對立事件，概率和為1，所以甲被選中的概率為1-1/4=3/4

6.一個袋中裝有2個紅球和2個白球，現從袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，則取出的兩個球同色的概率是（1/2）

入選原因：該類題也有一個投機取巧的方法……由于第一次取出兩類球等概，取出后又放回了，使第二次取球也等概，所以可以忽略第一取出的是什么顏色得球，直接想第二次取出球的顏色即可。【方法推廣】其實就算第一二次都不等概也沒有關系，只要兩次取球的情景相同（即紅白球比例未變,假如是x：n）則怎么算取出兩個相同顏色的概率都是x^2+n^2/(x+n)^2

7.對某種產品的5件不同正品和4件不同次品一一進行檢測，直到區分出所有次品為止.若所有次品恰好經過五次檢測被全部發現，則這樣的檢測方法有（）

A．20種

B．96種

C．480種

D．600種

答案：D

解析：能五次檢測出所有次品的情況大致分兩類。A：檢驗了5個正品 B：檢驗了1正4次

A的檢測方法總數：5！

B的檢測方法總數：5*4*4！（有五種從正品中選一個的情況，正品有4個位臵可選擇被檢測出，正品不能最后一個被檢測出，否則僅需4次便可檢測出所有次品，4個不同次品的檢測順序是4！）

8、甲、乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，并約定先到者應等候另一個人一刻鐘，過時即可離去，求兩人能會面的概率。

入選原因：唯一一道幾何概型的題目，不過集合概型的題目都差異不大，主要就是看能不能想出題目對應的幾何模型了。

答案：建立XY坐標系，將甲到達時間設定為X 乙到達時間設定為Y，畫出一條X-15=Y及X+15=Y的直線，然后大家肯定都會做了就不詳細說了……（畫不出圖T^T)

概率方法整體總結：做題前首先要看清題目，分辨清很多易混淆詞匯，然后要搞清所求事件是否為獨立事件，或者它與誰為對立事件，這樣有助于題目的求解，接著思考是否有能轉變題目所問的方法，有時求另一個東西然后再推出題目所求遠比直接求解題目要便利的多。最后就是認真計算，分清排列的組合，想清是否要考慮順序。

概率這方面的題目難度并不特別大，主要就是靠認真= =！

【臨終吐槽】這分明就是小學奧數里的排列組合啊……………………

附注：合作人 郭靜茹！