第一篇：高二數(shù)學(xué)正弦定理強化訓(xùn)練

高二數(shù)學(xué)正弦定理強化訓(xùn)練 9.3王平

1.在△ABC 中，b = 8，c =8，S△ABC =3，則∠A 等于()

A.30 oB.60oC.30o 或 150oD.60o 或120o 2.在△ABC中，若a = 2b sin A，則∠B為()

A.π3B.π

6C.π6或5π

D.π2π

3或33、已知△ABC中，a＝4，b＝43，∠A＝30°，則∠B等于()

A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°

4、已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，則△ABC的面積為()A．9B．18C．9D．185、在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，則c＝()A．52B．102C.63D．66、△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，則△ABC的面積等于

()

A.3

323

C.33D.2或347、若△ABC滿足下列條件：

① a = 4，b ? 10，?A ? 30?；② a ? 6，b ? 10，?A ? 30?； ③ a ? 6，b ? 10，?A ? 150?；④ a ? 12，b ? 10，?A ? 30?； 則△ABC存在且恰有一個的是()

A.①④B.③④C.④D.②④

8、已知a，b，c分別是△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若a＝1，b＝ 3，A＋C＝2B，則求sin A9、在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若a＝2，b＝2，sin B＋cos B＝2，則

求角A的大小

10、銳角△ABC中，若A＝2B，則求a

b

第二篇：北師大版高二數(shù)學(xué)《正弦定理》教案

高中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)網(wǎng) http:///

第二章 解三角形

課標要求:本章的中心內(nèi)容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落實在解三角形的應(yīng)用上。通過本章學(xué)習，學(xué)生應(yīng)當達到以下學(xué)習目標：

（1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。

（2）能夠熟練運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的生活實際問題。

編寫意圖與特色

1．數(shù)學(xué)思想方法的重要性

數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要組成部分，有利于學(xué)生加深數(shù)學(xué)知識的理解和掌握。

本章重視與內(nèi)容密切相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，并且在提出問題、思考解決問題的策略等方面對學(xué)生進行具體示范、引導(dǎo)。本章的兩個主要數(shù)學(xué)結(jié)論是正弦定理和余弦定理，它們都是關(guān)于三角形的邊角關(guān)系的結(jié)論。在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習了相關(guān)邊角關(guān)系的定性的知識，就是“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角”，“如果已知兩個三角形的兩條對應(yīng)邊及其所夾的角相等,那么這兩個三角形全”等。

教科書在引入正弦定理內(nèi)容時，讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā)，提出探究性問題：“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個邊、角的關(guān)系準確量化的表示呢?”，在引入余弦定理內(nèi)容時，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題?！痹O(shè)置這些問題，都是為了加強數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。

2．注意加強前后知識的聯(lián)系

加強與前后各章教學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系，注意復(fù)習和應(yīng)用已學(xué)內(nèi)容，并為后續(xù)章節(jié)教學(xué)內(nèi)容做好準備，能使整套教科書成為一個有機整體，提高教學(xué)效益，并有利于學(xué)生對于數(shù)學(xué)知識的學(xué)習和鞏固。

本章內(nèi)容處理三角形中的邊角關(guān)系，與初中學(xué)習的三角形的邊與角的基本關(guān)系，已知三角形的邊和角相等判定三角形全等的知識有著密切聯(lián)系。教科書在引入正弦定理內(nèi)容時，讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā)，提出探究性問題“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個邊、角的關(guān)系準確量化的表示呢?”，在引入余弦定理內(nèi)容時，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題?！边@樣，從聯(lián)系的觀點，從新的角度看過去的問題，使學(xué)生對于過去的知識有了新的認識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎(chǔ)上，形成良好的知識結(jié)構(gòu)。

《課程標準》和教科書把“解三角形”這部分內(nèi)容安排在數(shù)學(xué)五的第一部分內(nèi)容，位置相對靠后，在此內(nèi)容之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習了三角函數(shù)、平面向量、直線和圓的方程等與本章知識聯(lián)系密切的內(nèi)容，這使這部分內(nèi)容的處理有了比較多的工具，某些內(nèi)容可以處理得更加簡潔。比如對于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對于三角形進行討論，方法不夠簡潔，教科書則用了向量京翰教育1對1家教 http:///的方法，發(fā)揮了向量方法在解決問題中的威力。

在證明了余弦定理及其推論以后，教科書從余弦定理與勾股定理的比較中，提出了一個思考問題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理之間的關(guān)系？”，并進而指出，“從余弦定理以及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角.從上可知，余弦定理是勾股定理的推廣.”

3．重視加強意識和數(shù)學(xué)實踐能力

學(xué)數(shù)學(xué)的最終目的是應(yīng)用數(shù)學(xué)，而如今比較突出的兩個問題是，學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識不強，創(chuàng)造能力較弱。學(xué)生往往不能把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，不能把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到實際問題中去，對所學(xué)數(shù)學(xué)知識的實際背景了解不多，雖然學(xué)生機械地模仿一些常見數(shù)學(xué)問題解法的能力較強，但當面臨一種新的問題時卻辦法不多，對于諸如觀察、分析、歸納、類比、抽象、概括、猜想等發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的科學(xué)思維方法了解不夠。針對這些實際情況，本章重視從實際問題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題，最后把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于實際問題。

教學(xué)內(nèi)容及課時安排建議

1.1正弦定理和余弦定理（約3課時）

1.2應(yīng)用舉例（約4課時）1.3實習作業(yè)（約1課時）

評價建議

1．要在本章的教學(xué)中，應(yīng)該根據(jù)教學(xué)實際，啟發(fā)學(xué)生不斷提出問題，研究問題。在對于正弦定理和余弦定理的證明的探究過程中，應(yīng)該因勢利導(dǎo)，根據(jù)具體教學(xué)過程中學(xué)生思考問題的方向來啟發(fā)學(xué)生得到自己對于定理的證明。如對于正弦定理，可以啟發(fā)得到有應(yīng)用向量方法的證明，對于余弦定理則可以啟發(fā)得到三角方法和解析的方法。在應(yīng)用兩個定理解決有關(guān)的解三角形和測量問題的過程中，一個問題也常常有多種不同的解決方案，應(yīng)該鼓勵學(xué)生提出自己的解決辦法，并對于不同的方法進行必要的分析和比較。對于一些常見的測量問題甚至可以鼓勵學(xué)生設(shè)計應(yīng)用的程序，得到在實際中可以直接應(yīng)用的算法。

2．適當安排一些實習作業(yè)，目的是讓學(xué)生進一步鞏固所學(xué)的知識，提高學(xué)生分析問題的解決實際問題的能力、動手操作的能力以及用數(shù)學(xué)語言表達實習過程和實習結(jié)果能力，增強學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和數(shù)學(xué)實踐能力。教師要注意對于學(xué)生實習作業(yè)的指導(dǎo)，包括對于實際測量問題的選擇，及時糾正實際操作中的錯誤，解決測量中出現(xiàn)的一些問題。

1．1正弦定理

（一）教學(xué)目標

1．知識與技能:

通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

2.過程與方法:讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應(yīng)用的實踐操作。

3．情態(tài)與價值：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向

量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

教學(xué)重點：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

教學(xué)難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。

abc學(xué)法：引導(dǎo)學(xué)生首先從直角三角形中揭示邊角關(guān)系：，接著就??sinAsinBsinC

一般斜三角形進行探索，發(fā)現(xiàn)也有這一關(guān)系；分別利用傳統(tǒng)證法和向量證法對正弦定理進行推導(dǎo)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量知識的簡捷，新穎。

教學(xué)設(shè)想

[創(chuàng)設(shè)情景]

如圖1．1-1，固定?ABC的邊CB及?B，使邊AC繞著頂點C轉(zhuǎn)動。A 思考：?C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

顯然，邊AB的長度隨著其對角?C的大小的增大而增大。能否

用一個等式把這種關(guān)系精確地表示出來？[探索研究]圖1．1-1)在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖1．1-2，在Rt?ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角

abc三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有?sinA，?sinB，又sinC?1?, ccc

A

abc則???csinsinsinabc從而在直角三角形ABC中，??sinAsinBsinC

(圖1．1-2)

思考：那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？

（由學(xué)生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

如圖1．1-3，當?ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三

ab角函數(shù)的定義，有CD=asinB?bsinA,則，?sinAsinB

C

cb同理可得，?sinCsinB

abc從而??sinAsinBsinC

AcB

(圖1．1-3)

思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。

（證法二）：過點A作j?AC，???????由向量的加法可得AB?AC?CB ?????????

??????????????則j?AB?j?(AC?CB)AB

??????????????????∴j?AB?j?AC?j?CBj

??????????ac ?jABcos?900?A??0?jCBcos?900?C?∴csinA?asinC，即?????bc同理，過點C作j?BC，可得?從而a

sinA?b

sinB?c

sinC

類似可推出，當?ABC是鈍角三角形時，以上關(guān)系式仍然成立。（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

abc ??sinAsinBsinC

[理解定理]:（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC；

abcabcbac（2）等價于，?????sinAsinBsinCsinAsinBsinCsinBsinAsinC

從而知正弦定理的基本作用為： bsinA①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a?； sinB

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值。

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

[例題分析]:

例1．在?ABC中，已知A?32.00，B?81.80，a?42.9cm，解三角形。

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，C?1800?(A?B)?1800?(32.00?81.80)?66.20； asinB42.9sin81.80

??80.1(cm)； 根據(jù)正弦定理，b?sin32.0asinC42.9sin66.20

??74.1(cm).根據(jù)正弦定理，c?sin32.0評述：對于解三角形中的復(fù)雜運算可使用計算器。

例2．在?ABC中，已知a?20cm，b?28cm，A?400，解三角形（角度精確到10，邊長精確到1cm）。bsinA28sin400解：根據(jù)正弦定理，sinB???0.8999.因為00＜B＜1800，所以B?640，或B?1160.asinC20sin760

??30(cm).⑴ 當B?64時，C?180?(A?B)?180?(40?64)?76，c?sin40000000

asinC20sin240

??13(cm).⑵ 當B?116時，C?180?(A?B)?180?(40?116)?24，c?sin40000000

評述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。

[隨堂練習]第47頁練習1、2題。

a?b?c sinA?sinB?sinC

abc分析：可通過設(shè)一參數(shù)k(k>0)使???k, sinAsinBsinC

abca?b?c證明出 ???sinAsinBsinsin?sin?sinabc解：設(shè)???k(k>o)則有a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC sinsinsina?b?cksinA?ksinB?ksinC從而==k sinA?sinB?sinCsinA?sinB?sinC

aa?b?c?2?k又，所以=2 ?sinA

sinA?sinB?sinC

abca?b?c評述： ?ABC中，等式 ????k?k?0?恒成立。sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC

[補充練習]已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?1:2:3，求a:b:c（答案：1：2：3）

[課堂小結(jié)]（由學(xué)生歸納總結(jié)）

abca?b?c（1）定理的表示形式：????k?k?0?； sinsinsinsin?sin?sin例3．已知?ABC中，?A?

600，a?求

或a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC(k?0)

（2）正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角；

②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。

abc

（五）:①課后思考題：在?ABC中，???k(k>o)，這個k與?ABCsinAsinBsinC

有什么關(guān)系？

作業(yè)：第52頁[習題2.1]A組第7、4題。

第三篇：高一數(shù)學(xué)《正弦定理》教案

湖南省長沙市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)教案 高一（下）第五章平面向量

正弦定理

教學(xué)目標

（一）知識與技能目標

(1)掌握正弦定理及其推導(dǎo)過程．

(2)會利用正弦定理求解簡單的斜三角形邊角問題．

(3)能利用計算器進行計算．

（二）過程與能力目標

(1)通過用向量的方法證明正弦定理，體現(xiàn)向量的工具性，加深對向量知識應(yīng)用的認識．

(2)通過啟發(fā)、誘導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和證明正弦定理的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察與分析、歸納與猜想、抽象與概括等邏輯思維能力．

（三）情感與態(tài)度目標

通過三角函數(shù)、正弦定理、向量數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一． 教學(xué)重點

正弦定理的證明及應(yīng)用．

教學(xué)難點

(1)用向量知識證明正弦定理時的思路分析與探索．(2)正弦定理在解三角形時的應(yīng)用思路．

教學(xué)過程

一、引入

解直角三角形需要用到的知識：

①三角形內(nèi)角和定理： A?B?C?180? ②銳角三角函數(shù)：

ababsinA? ,cosA? ,tanA? ,cotA?;

ccbababasinB? ,cosB? ,tanB? ,cotB?.ccab③勾股定理：a?b?c 22

2二、新課

在直角三角形ABC中找出a, b,c與sinA, sinB, sinC之間的關(guān)系：

sinA?acsinB?c?bsinBbcsinC?1 c?csinC即：c?asinA

?asinA?bsinB?csinC 湖南省長沙市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)教案 高一（下）第五章平面向量

證明：

證法一:

(傳 統(tǒng) 證 法)在任意斜?ABC中：S?ABC?12absinC?1212acsinB?12bcsinABc

abC兩邊同除以asinA?bsinBabc,即得：csinCA?證法二:

(將角轉(zhuǎn)化到直角三角形中)作?ABC的外接圓O，作直徑BC',連接AC'，則?C??C'，設(shè)圓O半徑R，cc則：??2R;sinCsinC'同理可得：asinA?asinA?2R,?bsinBbsinB??2RcsinC?2RBcabC'C

A這里涉及到三角形中的邊角關(guān)系，而向量中的數(shù)量積則反應(yīng)了邊角關(guān)系.證法三:

(向量知識來證明)?過A作單位向量 j 垂直于AC

AC?CB?AB，兩邊同乘以向量??j?(AC?CB)?j?AB???則：j?AC?j?CB?j?AB? j，B?cj ???j?ACcos90??j?CBcos(90??C)? ?j?ABcos(90??A)?asinC?csinA?asinA?csinCabAC同理：若過?C作j垂直于CB得： cb?，sinCsinBasinA?bsinB?csinCBc?Aa?jbC 當?ABC為鈍角三角形時，設(shè)??A?90?，過A作單位向量j垂直于AC可證明.湖南省長沙市第一中學(xué) 數(shù)學(xué)教案 高一（下）第五章平面向量

正 弦 定 理 ：

在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦csinC比相等，即：.asinA?bsinB?

?2R(R為?ABC外接圓半徑)它適合于任何三角形變 式

(1)a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC；(2)sinA : sinB : sinC = a : b : c；

(3)S? ABC?12absinC?12bcsinA ?12acsinB

正弦定理可以解決三角形問題：

1.兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

2.兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進而可求其它的邊和角.三、應(yīng)用

例 1.在?ABC中，已知c?10,A?45?, C?30?, 求a、b和B.例 2.已知?ABC中三內(nèi)角的正弦之比為 4 ： 5 ： 6 ,又周長為2152,求三邊長.例 3.在?ABC中，已知sin2A? sinB?sinC,求證?ABC為直角三角形2.練習

教材第144頁第1題． 課堂小結(jié)：

1.正弦定理及其變形公式2.利用正弦定理解決三角;

形的兩類問題;

作業(yè)：

1.閱讀教材139頁至 144 頁；

2.教材第144頁習題5.9第1(1)(3)、2、5題．

第四篇：正弦定理教案

正弦定理教案

教學(xué)目標：

1．知識目標:通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

2.能力目標:讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應(yīng)用的實踐操作。

3．情感目標：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

教學(xué)重點：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

教學(xué)難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習引入

創(chuàng)設(shè)情境：

【師】：世界聞名的巴黎埃菲爾鐵塔，比其他的建筑高出很多。如果只提供測角儀和皮尺，你能測出埃菲爾鐵塔的高度嗎？

【生】：可以先在離鐵塔一段距離的地方測出觀看鐵塔的仰角，再測出與鐵塔的水平距離，就可以利用三角函數(shù)測出高度。

【創(chuàng)設(shè)情境總結(jié)】：解決上述問題的過程中我們將距離的問題轉(zhuǎn)化為角，進而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題進行計算。這個實際問題說明了三角形的邊與角有緊密的聯(lián)系，邊和角甚至可以互相轉(zhuǎn)化，這節(jié)課我們就要從正弦這個側(cè)面來研究三角形邊角的關(guān)系即正弦定理。

二、新課講解

【師】：請同學(xué)們回憶一下，在直角三角形中各個角的正弦是怎么樣表示的？

【生】：在直角三角形ABC中，sinA?ab,sinB?,sinC?1 cc

abc,c?,c?，也就是說在Rt△ABCsinAsinBsinC【師】：有沒有一個量可以把三個式子聯(lián)系起來？ 【生】：邊c可以把他們聯(lián)系起來，即c?

中abc?? sinAsinBsinC

【師】：對，很美、很對稱的一個式子，用文字來描述就是：“在一個直角三角形中，各邊與

它所對角的正弦比相等”，那么在斜三角形中，該式是否也成立呢？讓我們在幾何畫板中驗證一下，對任意的三角形ABC是不是都有“各邊與它所對角的正弦比相等”成立？

【師】：通過驗證我們得到，在任意的三角形中都有各個邊和他所對的角的正弦值相等。

在上面這個對稱的式子中涉及到了三角形三個角的正弦，因此我們把它稱為正弦定理，即我們今天的課題。

【師】：直觀的印象并不能代替嚴格的數(shù)學(xué)證明，所以，只是直觀的驗證是不夠的，那能不

能對這個定理給出一個證明呢？

【生】：可以用三角形的面積公式對正弦定理進行證明：S?1111absinC?acsinB?bcsinA，然后三個式子同時處以abc就可以得222

2到正弦定理了。

【師】：這是一種很好的證明方法，能不能用之前學(xué)過的向量來證明呢？答案是肯定的。怎

么樣利用向量只是來證明正弦定理呢？大家觀察，這個式子涉及到的是邊和角，即向量的模和夾角之間的關(guān)系。哪一種運算同時涉及到向量的夾角和模呢？

（板書：證法二，向量法）

????【生】：向量的數(shù)量積a?b?a?b?cos?

【師】：先在銳角三角形中討論一下，如果把三角形的三邊看做向量的話，則容易得到三角

????????????形的三個邊向量滿足的關(guān)系：AB?BC?AC,那么，和哪個向量做數(shù)量積呢？還

有數(shù)量積公式中提到的是夾角的余弦，而我們要得是夾角的正弦，這個又怎么轉(zhuǎn)化？（啟發(fā)學(xué)生得出通過做點A的垂線根據(jù)誘導(dǎo)公式來得到）

【生】：做A點的垂線

【師】：那是那條線的垂線呢？

【生】：AC的垂線

??【師】：如果我們做AC垂線上的一個單位向量j，把向量j和上面那個式子的兩邊同時做數(shù)

?cos(90?A)?cos(90?C)??cos90，化簡000

即可得到csinA?asinC，即acbc??，同理可以得到。即在sinAsinCsinBsinC

銳角三角形ABC中有每條邊和它所對的角的正弦值相等這個結(jié)論。

【師】：如果△ABC是鈍角三角形呢？又怎么樣得到正弦定理的證明呢？不妨假設(shè)∠A是鈍

??角，那么同樣道理如果我們做AC垂線上的一個單位向量j，把向量j和上面那個式

????????????子AB?BC?AC的兩邊同時做數(shù)量積運算就可以得到

???????????????00j?AB?cos(C?90)?j?BC?cos(90?C)?j?AC?cos900，化簡即可得到csinA?asinC，即acbc??，同理可以得到。即在鈍角三角sinAsinCsinBsinC

形ABC中也有每條邊和它所對的角的正弦值相等這個結(jié)論。

【師】：經(jīng)過上面的證明，我們用兩種方法得到了正弦定理的證明，并且得到了正弦定理對

于直角、銳角、鈍角三角形都是成立的。

【師】：大家觀察一下正弦定理的這個式子，它是一個比例式。對于一個比例式來說，如果

我們知道其中的三項，那么就可以根據(jù)比例的運算性質(zhì)得到第四項。因此正弦定理的應(yīng)用主要有哪些呢？

【生】：已知三角形的兩邊一其中一邊的對角求另外一邊的對角，或者兩角一邊求出另外一

邊。

【師】：其實大家如果聯(lián)系三角形的內(nèi)角和公式的話，其實只要有上面的任意一個條件，我們都可以解出三角形中所有的未知邊和角。下面我們來看正弦定理的一些應(yīng)用。

三、例題解析

【例1】優(yōu)化P101例

1分析：直接代入正弦定理中運算即可

ab?sinAsinB

c?sinA10?sin45?

?a????sinCsin30

bc??sinBsinC

B?180??(A?C)?180??(45??30?)?105??

c?sinB10?sin105??b???20?5sinCsin30?總結(jié)：本道例題給出了解三角形的第一類問題（已知兩角和一邊，求另外兩邊和一

角，因為兩個角都是確定的的，所以只有一種情況）

【課堂練習1】教材P144練習1（可以讓學(xué)生上臺板演）

【隨堂檢測】見幻燈片

四、課堂小結(jié)

【師】：本節(jié)課的主要內(nèi)容是正弦定理，即三角形ABC中有每條邊和它所對的角的正弦值相等。寫成數(shù)學(xué)式子就是abc??。并且一起研究了他的證明方法，利用它解決sinAsinBsinC

了一些解三角形問題。對于正弦定理的證明主，要有面積法和向量法，其實對于正弦定理的證明，還有很多別的方法，有興趣的同學(xué)下去之后可以自己去了解一下。

五、作業(yè)布置

世紀金榜P86自測自評、例

1、例

2板書設(shè)計：

六、教學(xué)反思

第五篇：正弦定理證明

新課標必修數(shù)學(xué)5“解三角形”內(nèi)容分析及教學(xué)建議

江蘇省錫山高級中學(xué)楊志文

新課程必修數(shù)學(xué)5的內(nèi)容主要包括解三角形、數(shù)列、不等式。這些內(nèi)容都是高中數(shù)學(xué)中的傳統(tǒng)內(nèi)容。其中“解三角形”既是高中數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，又有較強的應(yīng)用性。在歷次教材改革中都作為中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點內(nèi)容，一直被保留下來。在這次新課程改革中，新普通高中《數(shù)學(xué)課程標準》（以下簡稱《標準》）與原全日制普通高級中學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》（以下簡稱《大綱》）相比，“解三角形”這塊內(nèi)容在安排順序上進行了新的整合。本文就《標準》必修模塊數(shù)學(xué)5第一部分“解三角形”的課程內(nèi)容、教學(xué)目標要求、課程關(guān)注點、內(nèi)容處理上等方面的變化進行簡要的分析，并對教學(xué)中應(yīng)注意的幾個問題談?wù)勛约旱囊恍┰O(shè)想和教學(xué)建議，供大家參考。

一、《標準》必修模塊數(shù)學(xué)5中“解三角形”與原課程中“解斜三角形”的比較

1．課程內(nèi)容安排上的變化

“解三角形”在原課程中為“解斜三角形”，安排在“平面向量”一章中，作為平面向量的一個單元。而在新課程《標準》中重新進行了整合，將其安排在必修模塊數(shù)學(xué)5中，獨立成為一章，與必修模塊數(shù)學(xué)4中的“平面向量”分別安排在不同的模塊中。

2．教學(xué)要求的變化

原大綱對“解斜三角形”的教學(xué)要求是：

（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能運用它們解斜三角形，能利用計算器解決解斜三角形的計算問題。

（2）通過解三角形的應(yīng)用的教學(xué)，提高運用所學(xué)知識解決實際問題的能力。

（3）實習作業(yè)以測量為內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力和實際操作的能力?！稑藴省穼Α敖馊切巍钡慕虒W(xué)要求是：

（1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。

（2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題。由此可以看出，《標準》在計算方面降低了要求，取消了“利用計算器解決解斜三角形的計算問題”的要求，而在探索推理方面提高了要求，要求“通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。

3、課程關(guān)注點的變化

原《大綱》中，解斜三角形內(nèi)容，比較關(guān)注三角形邊角關(guān)系的恒等變換，往往把側(cè)重點放在運算上。而《標準》則關(guān)注運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題。側(cè)重點放在學(xué)生探究和推理能力的培養(yǎng)上。

4、內(nèi)容處理上的變化

原《大綱》中，解斜三角形作為平面向量知識的應(yīng)用，突出其工具性和應(yīng)用性。而《標準》將解三角形作為幾何度量問題來處理，突出幾何的作用，為學(xué)生理解數(shù)學(xué)中的量化思想、進一步學(xué)習數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)。解三角形處理的是三角形中長度、角度、面積的度量問題，長度、面積是理解積分的基礎(chǔ)，角度是刻畫方向的，長度、方向是向量的特征，有了長度、方向，向量的工具自然就有用武之地。

二、教學(xué)中應(yīng)注意的幾個問題及教學(xué)建議

原《大綱》中解斜三角形的內(nèi)容，比較關(guān)注三角形邊角關(guān)系的恒等變換，往往把側(cè)重點放在運算上。而《標準》將解三角形作為幾何度量問題來展開，強調(diào)學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上，通過對任意三角形邊角關(guān)系的探究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊長與角度之間的數(shù)量關(guān)系，解決簡單的三角形度量問題。這就要求在教學(xué)過程中，突出幾何的作用和數(shù)學(xué)量化思想，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習的主動性，使學(xué)生的學(xué)習過程成為在教師引導(dǎo)下的探究過程、再創(chuàng)造過程。因此在教學(xué)中應(yīng)注意以下幾個問題。

1．要重視探究和推理

《標準》要求“通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。因此建議在教學(xué)中，既要重視從特殊到一般的探索學(xué)習過程的教學(xué)，又要重視數(shù)學(xué)的理性思維的培養(yǎng)。教學(xué)中不要直接給出定理進行證明，可通過學(xué)生對三角形邊與角的正弦的測量與計算，研究邊與其對角的正弦之間的比，揭示它們在數(shù)量上的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)正弦定理的結(jié)論，然后再從理論上進行論證，從而掌握正弦定理。從中體會發(fā)現(xiàn)和探索數(shù)學(xué)知識的思想方法。

參考案例：正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)與證明

教學(xué)建議：建議按如下步驟設(shè)計教學(xué)過程：

(1)從特殊三角形入手進行發(fā)現(xiàn)

讓學(xué)生觀察并測量一個三角板的邊長。

提出問題：你能發(fā)現(xiàn)三邊長與其對角的正弦值之比之間的關(guān)系嗎？

例如，量得三角板三內(nèi)角300，600，900所對的三邊長分別約為5cm，8.6cm，10cm，58.610，?10?10?10 000

sin30sin60sin90

abc

對于特殊三角形，我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律：。??

sinAsinBsinC

則有：

提出問題：上述規(guī)律，對任意三角形成立嗎？(2)實驗，探索規(guī)律

二人合作，先在紙上做一任意銳角（銳角或鈍角）三角形，測量三邊長及其三個對角，然后用計算器計算每一邊與其對角正弦值的比，填入下面表中，驗證前面得出的結(jié)論是否正確。（其中，角精確到分，忽略測量誤差，通過實驗，對任意三角形，有結(jié)論：

abc，即在一個三角形中，??

sinAsinBsinC

各邊和它所對的角的正弦的比相等。

提出問題：上述的探索過程所得出的結(jié)論，只是我們通過實驗(近似結(jié)果)發(fā)現(xiàn)的一個結(jié)果，如果我們能在理論上證明它是正確的，則把它叫做正弦定理。那么怎樣證明呢？

(4)研究定理證明的方法方法一：（向量法）①若△ABC為直角三角形，由銳角三角函數(shù)的定義知，定理顯然成立。②若△ABC為銳角三角形，過點A做單位向量j垂直于AC，則向量j與向量的夾角為900-A，向

量j

與向量CB的夾角為900-C，（如圖1），且有：AC?CB?AB，所以j·(+)= j·即j·+ j· = j·AB 展開|j||AC|cos900+ | j||CB|cos(900-C)=| j|||cos(900-A)

ac

。?

sinAsinC

cbabc

同理，過點C做單位向量j垂直于,可得：，故有。???

sinCsinBsinAsinBsinC

③若△ABC為鈍角三角形，不妨設(shè)角A>900（如圖2），過點A做單位向量j垂直于AC，則向量j與

則得 a sinC = c sinA，即

向量AB的夾角為A-900，向量j與向量的夾角為900-C，且有：??，同樣可證得：

abc

。??

sinAsinB

提出問題：你還能利用其他方法證明嗎？

方法二：請同學(xué)們課后自己利用平面幾何中圓內(nèi)接三角形（銳角，鈍角和直角）及同弧所對的圓周角相等等知識，將△ABC中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為以直徑為斜邊的直角三角形中去探討證明方法。

2．要重視綜合應(yīng)用

《標準》要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。建議在正弦定理、余弦定理的教學(xué)中，設(shè)計一些關(guān)于正弦定理、余弦定理的綜合性問題，提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識解決問題的能力。如可設(shè)計下面的問題進行教學(xué)：

參考案例：正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用 C 如圖，在四邊形ABCD中，已知AD?CD，AD=10，AB=14，?BDA=60?，?BCD=135?.求BC的長.教學(xué)建議：

引導(dǎo)學(xué)生進行分析，欲求BC，需在△BCD中求解，∵?BCD=135?，?BDC=30?，∴需要求BD，而BD需在△ABD中求解.再引導(dǎo)學(xué)生將

A B

四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，選擇余弦定理求BD，再由正弦定理

例2圖 求BC。

3．要重視實際應(yīng)用

《標準》要求運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題。因此建議在教學(xué)中，設(shè)計一些實際應(yīng)用問題，為學(xué)生體驗數(shù)學(xué)在解決問題中的作用，感受數(shù)學(xué)與日常生活及與其他學(xué)科的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高學(xué)生解決實際問題的能力。在題目的設(shè)計中要注意對恒等變形降低要求，避免技巧性強的變形和繁瑣的運算。

參考案例：解三角形在實際中的應(yīng)用

參考案例1．航海中甲船在A處發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東45?，與A的距離為10海里的C處正以20海里/h的速度向南偏東75?的方向航行，已知甲船速度是203海里/h，問甲船沿什么方向，用多少時間才能與

乙船相遇？

教學(xué)建議：引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題。若設(shè)甲船與乙船經(jīng)過t小時在B處相遇，構(gòu)建?ACB，容易計算出AB?20海里,BC?20海里，根據(jù)余弦定理建立關(guān)于t的方程，求出t，問題就解決了。

答: 甲船沿北偏東75?的方向，經(jīng)過0.5小時與乙船相遇.參考案例2．為了測量某城市電視塔的高度，在一條直道上選 擇了A，B，C三點，使AB?BC?60m，在A，B，C三點

?

?

?

例1圖 DA 觀察塔的最高點，測得仰角分別為45，54.2，60，若測量 E

者的身高為1.5m，試求電視塔的高度(結(jié)果保留1位小數(shù)).F 教學(xué)建議：引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題意畫出示意圖如圖，將實際問題轉(zhuǎn)化為

解三角形問題。要求電視塔的高度。只要求出DE的長。將問題中的已

知量、未知量集中到有關(guān)三角形中，構(gòu)造出解三角形的數(shù)學(xué)模型。在例2圖 ?ACE中和?BCE中應(yīng)用余弦定理，使問題獲得解決.答: 電視塔的高度約為158.3m.4．要重視研究性學(xué)習

解三角形的內(nèi)容有較強的應(yīng)用性和研究性，可為學(xué)生提供豐富的研究性素材。建議在教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計上探索開放，在教學(xué)形式上靈活多樣?？稍O(shè)計一些研究性、開放性的問題，讓學(xué)生自行探索解決。參考案例：研究性學(xué)習

課外研究題：將一塊圓心角為120?，半徑為20厘米的扇形鐵片裁成一塊矩形，請你設(shè)計裁法，使裁得矩形的面積最大?并說明理由．

教學(xué)建議：這是一個研究性學(xué)習內(nèi)容，可讓學(xué)生在課外兩人一組合作完成，寫成研究報告，在習題課上讓學(xué)生交流研究結(jié)果，老師可適當進行點評。

參考答案：這是一個如何下料的問題，一般有如圖（1）、圖（2）的兩種裁法：即讓矩形一邊在扇形的一條半徑OA上，或讓矩形一邊與弦AB

平行。從圖形的特點來看，涉及到線段的長度和角度，將

這些量放置在三角形中，通過解三角形求出矩形的邊長，再計算出兩種方案所得矩形的最大面積，加以比較，就可以得出問題的結(jié)論．

NBB

PO圖（2）

QM

O圖（1）

按圖（1）的裁法:矩形的一邊OP在OA上，頂點M在圓弧上，設(shè)?MOA??，則：

時，Smax?200．

4按圖（2）的裁法: 矩形一邊PQ與弦AB平行，設(shè)?MOQ??，在?MOQ中，?OQM?90??30??120?，由正弦定理，得：

sin120?

又?MN?2OMsin(60???)?40sin(60???)，MQ?

20sin?

?

3sin?． 3

MP?20sin?,OP?20cos?，從而S?400sin?cos??200sin2?．即當??

?

∴S?MQ?MN?

sin?sin(60???)?cos(2??60?)?cos60?． 33

??

∴當??30?時，Smax?由于

400． 3

400平方厘米． ?200，所以用第二中裁法可裁得面積最大的矩形，最大面積為33

也可以建議學(xué)生在課外自行尋找研究性、應(yīng)用性的題目去做，寫出研究或?qū)嶒瀳蟾?，在學(xué)校開設(shè)的研究性學(xué)習課上進行交流，評價。

參考文獻：

①全日制普通高中級學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》。人民教育出版社。2002年4 月。

②《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗））》。人民教育出版社。2003年4月第一次印刷。③《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）解讀》。嚴士健 張奠宙王尚志等主編。江蘇教育出版社。2004年4月。