第一篇：《平行四邊形》基本內容復習

《平行四邊形》基本內容復習

1、平行四邊形的性質有：①邊：；

②角：；③對角線：

④對稱性：

2、平行四邊形的判定方法有：邊：①

②

③

角：對角線：

3、矩形的性質有：①邊：②角：③對角線：

④對稱性：

4、矩形的判定方法有：①②③

5、菱形的性質有：①邊：；

②角：③對角線：④對稱性：

6、菱形的判定方法有：①②③

7、叫做正方形

8、正方形的性質有：①邊：②角：

③對角線：④對稱性：

9、叫做梯形；

10、等腰梯形的性質有：①邊：；

②角：③對角線：④對稱性：

11、等腰梯形的判定有：①②

12、叫做三角形的中位線，其性質是

13、梯形的中位線的性質是

14、菱形的面積公式是

15、n邊形的內角和是, 外角和是

第二篇：平行四邊形小結復習課說課稿

平行四邊形復習課說課稿

各位老師大家好！

今天我說課的內容是人教版數學八年級下冊第十八章：平行四邊形的小結與復習第一課時。下面我從四個方面來談談我對本節課的理解和做法。

一、教材分析：

1、地位與作用：

本章是學生在掌握平行線，三角形，全等三角形等有關知識，且具備初步的觀察，操作等活動經驗的基礎上出現的。通過本節的學習使學生清楚地理解各種平行四邊形的關系并掌握它們的性質與判斷，進一步培養學生的合情推理能力，發展學生的邏輯思維能力與推理論證能力。本章共分二節，平行四邊形、特殊的平行四邊。兩節都是本章的重點，知識聯系緊密，所以教學時我分兩節課復習，本節復習前一節知識。

2、教學目標：

根據中學生的心理特點與當前他們的認知基礎及教學內容的特點，依據《數學課程標準》，我確定如下教學目標：

（1）.通過知識回顧，進一步理解平行四邊形和各種特殊的平行四邊形的關系并掌握它們的性質與判斷。

（2）.通過例題1和例題1的變式練習進一步培養學生的合情推理意識，增強學生的邏輯推理能力，使學生掌握說理的基本方法

3、教學重點與難點： 因為各種平行四邊形概念交錯，容易混淆，學生在應用時常會出現“張冠李戴”的現象，在應用它們的性質與判定的時候，也會常出現用錯、多用、少用條件的錯誤。因此我確定

教學重點：平行四邊形和各種特殊的平行四邊形的性質和判定。

教學難點：平行四邊形和各種特殊的平行四邊形之間的聯系和區別。

二、教法學法

通過學生回顧，提問學生的方式幫助學生列表歸納平等四邊形及特殊平等四邊形的性質與判定，使其形成知識體系。再通過例題幫助學生加強運用平等四邊形的有關性質與判定解決相關問題，并加強邏輯推理能力的培養。

三、教學過程： 課堂導入：

開門見山，引出四邊形的發展圖和平等四邊形的從屬關系圖，使學生對平等四邊與特殊的平等四邊形之間有一個直觀認識，同時可以幫助學生回顧所學知識。（3分鐘完成）

通過提問回顧相關知識并完成列表歸納，形成體系。并運用相關知識對四邊形進行判定。（17分鐘完成）

例題利用平行四邊形的有關性質將平行四邊形的問題轉化為三角形來解決相關問題，使學生在不經意間體會轉化思想，并通過變式和例2，3加強學生進一步熟悉平行四邊形的判定與性質的應用。

請學生暢談這節課學習的體會和收獲，各抒己見，不拘形式。教師對學生的回答予以評價和幫助，讓語言表達更準確、更簡練。

第三篇：《平行四邊形》復習第一課時教學設計

教學設計

課程名稱

人教版數學八年級下冊第18章《平行四邊形》

教師姓名

羅玉洋

學校名稱

金沙縣馬路鄉初級中學

學科

數學

學段

初中

課型

復習課

內容分析

本節復習課的內容是人教版數學八年級下冊第十八章《平行四邊形》復習第一課時，內容主要是平行四邊形的概念、性質與判定、三角形的中位線定義與性質。本節是本章的重點，是學習特殊平行四邊形的基礎。此課時為復習課，它不同于起始課，內容的安排是對知識點的梳理歸納，根據教材內容的安排明確出本節重點及考點，在新知識學習的基礎上有一個提升，為進一步學習特殊平行四邊形打下較好的基礎。

學情分析

學生已經學習了平行四邊形的概念、性質及判定以及三角形的中位線，對于中等及以上水平的學生，掌握基礎性的知識是沒有多大問題的。針對這部分學生，需要的是在知識層面上應有一定的提升，并且要能夠有條理的進行表達和書寫推理過程。而對于基礎較差的學生，他們對知識點的理解認知水平差，不能積極參與學習。這部分學生只能進行區別對待，鼓勵并輔導他們完成基礎性的、簡單的問題，不作知識提升的硬性要求。

教學目標

1.知識與技能：

回顧本節知識點，領會平行四邊形、三角形中位線的概念及相關性質。

2.過程與方法：

經歷參與討論、思考、證明等數學活動，發展學生的合情推理能力。

3.情感與價值觀：

在數學活動中培養學生的歸納總結能力。

教學重點

難點

重點：理解平行四邊形、三角形中位線的概念和性質。

難點：能應用平行四邊形及三角形中位線概念及性質，并能正確書寫證明過程。

教學策略

1.教法：引導學生積極參與學習，總結、歸納知識，勤動腦對問題進行分析探索，始終圍繞學生“以學定教”開展教學，較好的激發學生的學習興趣。教師做好學生學習的引導和輔導，以學生的學習為中心，課堂主動權留給學生。

2.學法：學生討論研究、合作交流。以學生為主體，開展小組合作學習，積極回答問題，并有條理地進行表達。

教學準備

教材、教案、課件、電腦

執教日期

2022年4月

日

執教學校

金沙縣西洛街道初級中學

教學過程

教學過程設計

教學活動

預設師生活動

設計意圖

一.導入新課

開門見山，直奔主題。同學們，中考即將來臨，為備戰中考，我們一起加油！“備戰中考，加油！加油！加油！”我們已經學習了第十章《平行四邊形》，今天，我們共同來復習《平行四邊形》（一）

教師導語，直接敘述今天的學習主題。

鼓勵學生學習信心。

二.明確目標

回顧本節知識點，領會平行四邊形、三角形中位線的概念及相關性質。

積極參與討論、思考、證明等數學活動，發展學生的合情推理能力，正確書寫證明過程。

教師敘述教學目標。

讓學生知道本節課的目標，有的放矢。

三.知識梳理

一、平行四邊形

1.平行四邊形的定義：

兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。

2.平行四邊形的性質：

A

B

C

D

O

圖1

邊：對邊平行（定義）、對邊相等；

在?ABCD中，AB//CD,AD//BC;AB=CD,AD=BC。

角：對角相等、鄰角互補；

∠BAD=∠DCB,∠ABC=∠CDA;

∠ADC+∠DCB=180°,對角線：對角線互相平分；

OA=OC,OD=OB。

對稱性;平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是對角線的交點。

?ABCD是中心對稱圖形，對稱中心是點O.3.平行四邊形的判定：

邊：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形（定義）；

AB//CD,AD//BC,則四邊形ABCD是平行四邊形。

②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；

AB=CD,AD=BC,則四邊形ABCD是平行四邊形。

③一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

AD=BC且AD//BC,則四邊形ABCD是平行四邊形。

角：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。

∠BAD=∠DCB,∠ABC=∠CDA,則四邊形ABCD是平行四邊形。

對角線：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

OA=OC,OD=OB,則四邊形ABCD是平行四邊形。

二、三角形的中位線

1.三角形的中位線的定義：

連接三角形兩邊中點的線段。

A

B

D

E

C

2.三角形的中位線平行且等于第三邊的一半。

在△ABC中，點D、E是AB、AC的中點，則線段DE叫△ABC的中位線。

所以，DE//BC,用一問一答的方式進行知識點復習，課件展示出標題，學生回憶，然后提問，盡量顧及學習水平在中等及以下的學生。

通過提問回答的方式復習，讓學生能對知識點識記、理解。

在復習中，滲透數學轉化思想---四邊形和三角形的轉化。

四.直擊考點

考點一：平行四邊形的定義

1.如圖，在四邊形ABCD中，∠A=110°，∠B=70°，∠1=70°，四邊形ABCD是平行四邊形嗎？

2.在?ABCD中，若∠A=100°，則∠B=

度，∠C=

度。

考點二：平行四邊形的性質

3.如圖，在?ABCD中，AB=6cm,AC+BD=14cm,△AOB的周長是多少？

考點三：平行四邊形的判定

4.在四邊形ABCD中,已知AB//CD,若要使四邊形ABCD成為平行四邊形，可再增加一個條件：。

考點四：三角形的中位線

5.在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，若DE=4cm,AE=3cm,AD=2.5cm,則△ABC的周長是多少？

教師展示問題，學生讀題、思考、交流，然后教師提問。

教師在巡視學生完成情況及交流情況時，要關注和輔導差生。

以學生學習為中心，教師不要代替學生完成問題，對學習有困難的學生做好輔導即可。

運用“直擊考點”的方式呈現出平行四邊形及三角形的中位線等知識點，讓學生明白并理解本節課學習的重點內容。在學生解決問題的過程中，培養學生合作學習意識和有條理的表達能力，滲透數學轉化思想（四邊形通常轉化為三角形）

五.小試牛刀

展現自我：

如圖，在?ABCD中，E、F是對角線BD上的兩點，BE=DF,四邊形AECF是平行四邊形嗎？試說明理由。

作業：

1.D

A

變式訓練，提升自我：如圖，在?ABCD中，AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分別為E、F,四邊形AECF是平行四邊形嗎？試說明理由。

F

E

C

B

2.在?ABCD中,若周長為44cm,AB-BC=2cm,則CD=,AD=。

教師展示問題，學生先獨立思考、然后交流、討論，在練習本上規范寫出證明過程。教師巡查學生完成情況，做好輔導，抽學生上黑板書寫解答過程，做好指導和評價。

如果學生能在課堂完成的，就在課堂完成，不能完成的就作為課后作業。

通過知識點的復習之后，能運用知識點解決問題。

讓學生了解三角形在四邊形的問題解決中的重要作用。

六、歸納總結

1.平行四邊形的性質及判定；

2.三角形的中位線的概念及性質。

3.四邊形與三角形的轉化。

學生談學習所感

再次回顧知識點及課堂所獲。

板書設計

第十八章

平行四邊形（一）

一、平行四邊形的定義

二、平行四邊形的性質--邊、角、對角線

三、平行四邊形的判定--邊、角、對角線

四邊形

三角形

轉化

四、教學反思

第四篇：四川省中考復習專題：特殊的平行四邊形

2021年四川中考復習專題：特殊的平行四邊形

一、解答題

1．如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F是對角線BD上的點，且BE＝DF，連接AE，CF．

（1）求證△ADE≌△CBF；

（2）連接AF，CE，若AB＝AD，求證：四邊形AFCE是菱形．

2．如圖，點E，F分別在菱形ABCD的邊BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求證：AE＝AF．

3．如圖，在菱形ABCD中，E、F是AC上兩點，AE＝CF．求證：四邊形BFDE是菱形．

4．如圖，正方形ABCD的邊長是4，BE＝CE，DF＝3CF．證明：∠AEF＝90°．

5．如圖，四邊形ABCD為菱形，點E，F分別為邊DA，DC上的點，DE＝DF，連接BE，BF，求證：BE＝BF．

6．如圖，菱形ABCD中，DM⊥AB于點M，DN⊥BC于點N．求證：AM＝CN．

7．如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AB＝5cm，∠BOC＝120°，求矩形對角線的長．

8．已知：如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AE⊥BD于點E，BF⊥AC于點F．求證：AE＝BF．

9．如圖，在?ABCD中，BC＝2CD，E，F分別是AD，BC的中點，連接EF．

（1）求證：四邊形EFCD是菱形；

（2）連接AF，若AF＝23，∠DEF＝60°，則EF的長為

；菱形EFCD的面積為

．

10．如圖，在菱形ABCD中，點O為對角線AC的中點，過O的直線交AD，BC分別于點E，F，連接CE，AF．求證：AF＝CE．

11．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，過點A作AE⊥BC于點E，延長BC到點F，使CF＝BE，連接DF．

（1）求證：四邊形AEFD是矩形；

（2）連接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的長度．

12．如圖，在?ABCD中，E、F分別為AD、BC的中點，點M、N在對角線AC上，且AM＝CN．

（1）求證四邊形EMFN是平行四邊形；

（2）若AB⊥AC，求證?EMFN是菱形．

13．如圖，在?ABCD中，點E、F在AD邊上，且BF＝CE，AE＝DF．

（1）求證：△ABF≌△DCE；

（2）求證：四邊形ABCD是矩形．

14．如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，AE∥BC，DE∥AB，DE與AC交于點O，連接CE．

（1）求證：AD＝EC；

（2）若∠BAC＝90°，求證：四邊形ADCE是菱形．

15．如圖，在?ABCD中，對角線AC平分∠BAD，點E、F在AC上，且CE＝AF．連接BE、BF、DE、DF．求證：四邊形BEDF是菱形．

16．如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點，連接BD，過點C作CE∥BD，過B作BE∥AC，兩直線相交于點E．

（1）求證：四邊形DBEC是菱形；

（2）若∠A＝30°，BC＝2，求四邊形DBEC的面積．

17．如圖，已知四邊形ABCD是正方形，對角線AC、BD相交于O．

（1）如圖1，設E、F分別是AD、AB上的點，且∠EOF＝90°，線段AF、BF和EF之間存在一定的數量關系．請你用等式直接寫出這個數量關系；

（2）如圖2，設E、F分別是AB上不同的兩個點，且∠EOF＝45°，請你用等式表示線段AE、BF和EF之間的數量關系，并證明．

18．如圖，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝3，點E射線BC上一動點，△ABE關于AE的軸對稱圖形為△FAE．

（1）當點F在對角線AC上時，求FC的長；

（2）當△FCE是直角三角形時，求BE的長．

19．【閱讀】在平面直角坐標系中，以任意兩點P（x1，y1）、Q（x2，y2）為端點的線段中點坐標為（x1+x22，y1+y22）．已知平行四邊形的對角線互相平分，如圖連接OE，FN相交于點M，則OE，FN是平行四邊形ONEP的對角線，且OE，PN互相平分，即點M是線段OE，FN的中點．

【運用】（1）如圖，矩形ONEF的對角線交于點M，ON、OF分別在x軸和y軸上，O為坐標原點，點E的坐標為（4，3），則點M是線段OE中點，則點M的坐標為

．

（2）在直角坐標系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三點，另有一點D與點A、B、C構成平行四邊形的頂點，求點D的坐標．

20．如圖1，點E在正方形AOCD的邊AD上，點H在邊AO上，AH＝DE．

（1）求證：DH⊥CE；

（2）如圖2，EF⊥CE，FH⊥AO，垂足為點H．求證：FH＝AH．

21．如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD交于點O，∠OCF＝∠OBE．求證：∠AEB＝∠BFC．

22．如圖，在菱形ABCD中，∠ACD＝30°，BD＝6，求AC的長．

23．如圖①，點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，點E在BC的延長線上，且PE＝PB．

（1）求證：PD＝PE；

（2）如圖②，當∠ABC＝90°時，連接DE，則DEBP是否為定值？如果是，請求其值；如果不是，請說明理由．

24．如圖，在?ABCD中，延長AB到點E，使BE＝AB，DE交BC于點O，連接EC．

（1）求證：四邊形BECD是平行四邊形；

（2）若∠A＝40°，當∠BOD等于多少度時四邊形BECD是矩形，并說明理由．

25．如圖，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，點M，N分別是BC，DE的中點．

（1）求證：MN⊥DE；

（2）若∠A＝60°，BC＝12，求MN的值．

26．如圖，在?ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，CF＝AE，連接AF，BF．

（1）求證：四邊形BFDE是矩形；

（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分線，若AD＝4，求?ABCD的面積．

27．如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O．AB＝10，AC＝12，BD＝16．

（1）求證：?ABCD是菱形；

（2）若點P是對角線BD上一動點（不與點B、D重合），PE⊥AB于點E，PF⊥AD于點F，PE+PF是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

28．如圖，以△ABC的三邊為邊分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF．

（1）求證：△EBF≌△ABC；

（2）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；

（3）△ABC滿足

時，四邊形AEFD是正方形．

29．已知邊長為2的正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（與點A，C不重合），過點P作PE⊥PB，PE交DC于點E，過點E作EF⊥AC，垂足為點F．

（1）求證：PB＝PE；

（2）在點P的運動過程中，PF的長度是否發生變化？若不變，求出這個不變的值；若變化，試說明理由．

30．如圖，在正方形ABCD中，P是對角線BD的一點，點E在AD的延長線上，且PA＝PE，PE交CD于點F．

（1）求證：PC＝PE；

（2）若PD＝DE，求證：BP＝BC．

2021年四川中考復習專題：特殊的平行四邊形

參考答案與試題解析

一、解答題

1．如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F是對角線BD上的點，且BE＝DF，連接AE，CF．

（1）求證△ADE≌△CBF；

（2）連接AF，CE，若AB＝AD，求證：四邊形AFCE是菱形．

【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF，∵BE＝DF，∴BF＝DE，在△ADE和△CBF中，AD=CB∠ADE=∠CBFDE=BF，∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）連接AC，交BD于點O，∵AB＝AD，四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，∵BE＝DF，∴EO＝FO，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴四邊形AECF是菱形．

2．如圖，點E，F分別在菱形ABCD的邊BC，CD上，且∠BAE＝∠DAF．求證：AE＝AF．

【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D，AB＝AD，在△ABE和△ADF中，∠BAE=∠DAFAB=AD∠B=∠D，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴AE＝AF．

3．如圖，在菱形ABCD中，E、F是AC上兩點，AE＝CF．求證：四邊形BFDE是菱形．

【解答】證明：連接BD交AC于點O，∵四邊形ABCD為菱形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD，∵AE＝CF，∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即OE＝OF，∴四邊形BEDF為平行四邊形，∵AC⊥BD，∴四邊形BEDF為菱形．

4．如圖，正方形ABCD的邊長是4，BE＝CE，DF＝3CF．證明：∠AEF＝90°．

【解答】證明：連接AF，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵正方形ABCD的邊長是4，BE＝CE，DF＝3CF．

∴BE＝CE＝2，CF＝1，DF＝3，由勾股定理得，AE2＝AB2+BE2＝42+22＝20，EF2＝CE2+CF2＝22+12＝5，AF2＝AD2+DF2＝42+32＝25，又∵AE2+EF2＝AF2，∴△AEF是直角三角形，即∠AEF＝90°．

5．如圖，四邊形ABCD為菱形，點E，F分別為邊DA，DC上的點，DE＝DF，連接BE，BF，求證：BE＝BF．

【解答】證明：如圖，連接BD，在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB，在△EDB和△FDB中，DE=DF∠EDB=∠FDBBD=BD，∴△EDB≌△FDB（SAS），∴BE＝BF．

6．如圖，菱形ABCD中，DM⊥AB于點M，DN⊥BC于點N．求證：AM＝CN．

【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠A＝∠C，∵DM⊥AB，DN⊥BC，∴∠DMA＝∠DNC＝90°，在△DAM和△DCN中，∠A=∠C∠DMA=∠DNC=90°AD=CD，∴△DAM≌△DCN（AAS），∴AM＝CN．

7．如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AB＝5cm，∠BOC＝120°，求矩形對角線的長．

【解答】解：∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC=12AC，OB＝OD=12BD，∴OA＝OB，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等邊三角形，∵AB＝5cm，∴OA＝OB＝AB＝5cm，∴AC＝2AO＝10cm，BD＝AC＝10cm．

8．已知：如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AE⊥BD于點E，BF⊥AC于點F．求證：AE＝BF．

【解答】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴OA＝OB，∵AE⊥BD于點E，BF⊥AC于點F

∴∠AEO＝∠BFO＝90°，∵∠AOE＝∠BOF，在△AEO與△BFO中，∠AEO=∠BFO=90°∠AOE=∠BOFOA=OB，∴△AEO≌△BFO（AAS），∴AE＝BF．

9．如圖，在?ABCD中，BC＝2CD，E，F分別是AD，BC的中點，連接EF．

（1）求證：四邊形EFCD是菱形；

（2）連接AF，若AF＝23，∠DEF＝60°，則EF的長為　2　；菱形EFCD的面積為　23　．

【解答】證明：（1）在?ABCD中，BC＝2CD，∴AD∥BC，AD＝BC＝2CD，∵E，F分別是AD，BC的中點，∴DE＝CF＝CD，又AD∥BC，∴四邊形EFCD是平行四邊形，又∵CD＝DE，∴四邊形EFCD是菱形；

（2）如圖，過點F作FH⊥AD于H，∵四邊形EFCD是菱形，∴DE＝EF＝AE，∵∠DEF＝60°，∴∠EFH＝30°，∴EH=12EF，FH=3EH，∴AH＝AE+EH＝3EH，∵AF2＝AH2+HF2，∴12＝9EH2+3EH2，∴EH＝1，∴EF＝2＝DE，HF=3，∴菱形EFCD的面積＝2×3=23，故答案為：2，23．

10．如圖，在菱形ABCD中，點O為對角線AC的中點，過O的直線交AD，BC分別于點E，F，連接CE，AF．求證：AF＝CE．

【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，∵點O是AC的中點，∴AO＝CO，在△AOE和△COF中，∠DAC=∠BCAAO=CO∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AF＝CE．

11．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，過點A作AE⊥BC于點E，延長BC到點F，使CF＝BE，連接DF．

（1）求證：四邊形AEFD是矩形；

（2）連接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的長度．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四邊形AEFD是矩形；

（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，AD＝10，∴AD＝AB＝BC＝10，∵EC＝4，∴BE＝10﹣4＝6，在Rt△ABE中，AE=AB2-BE2=102-62=8，在Rt△AEC中，AC=AE2+EC2=82+42=45，∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，∴OE=12AC=25．

12．如圖，在?ABCD中，E、F分別為AD、BC的中點，點M、N在對角線AC上，且AM＝CN．

（1）求證四邊形EMFN是平行四邊形；

（2）若AB⊥AC，求證?EMFN是菱形．

【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EAM＝∠FCN，∵E、F分別為AD、BC的中點，∴AE＝DE＝BF＝CF，在△AEM和△CFN中，AE=CF∠EAM=∠FCNAM=CN，∴△AEM≌△CFN（SAS），∴EM＝FN，∠AME＝∠CNF，∴∠EMN＝∠FNM，∴EM∥FN，∴四邊形EMFN是平行四邊形；

（2）連接EF交AC于O，如圖所示：

由（1）得：AE∥BF，AE＝BF，∴四邊形AEBF是平行四邊形，∴AB∥EF，∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠COF＝∠BAC＝90°，∴EF⊥MN，∴?EMFN是菱形．

13．如圖，在?ABCD中，點E、F在AD邊上，且BF＝CE，AE＝DF．

（1）求證：△ABF≌△DCE；

（2）求證：四邊形ABCD是矩形．

【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AE＝FD，∴AE+EF＝FD+EF，即AF＝DE，在△ABF和△DCE中，AB=CDBF=CEAF=DE，∴△ABF≌△DCE（SSS）；

（2）由（1）可知：△ABF≌△DCE，∴∠A＝∠D，∵AB∥CD，∴∠A+∠D＝180°，∴2∠A＝180°，∴∠A＝90°，∴?ABCD為矩形．

14．如圖，在△ABC中，AD是邊BC上的中線，AE∥BC，DE∥AB，DE與AC交于點O，連接CE．

（1）求證：AD＝EC；

（2）若∠BAC＝90°，求證：四邊形ADCE是菱形．

【解答】證明：（1）∵DE∥AB，AE∥BC，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∴AE∥BD，且AE＝BD，又∵AD是BC邊的中線，∴BD＝CD，∴AE＝CD，∵AE∥CD，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∴AD＝EC；

（2）∵∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的中線，∴AD＝BD＝CD，由（1）得：四邊形ADCE是平行四邊形，∴平行四邊形ADCE是菱形．

15．如圖，在?ABCD中，對角線AC平分∠BAD，點E、F在AC上，且CE＝AF．連接BE、BF、DE、DF．求證：四邊形BEDF是菱形．

【解答】證明：如圖，連接BD交AC于點O，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO＝DO，AO＝CO，∵CE＝AF，∴EO＝FO，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠ACD＝∠DAC，∴AD＝CD，∴AB＝AD，在△ABF和△ADF中，AB=AD∠BAF=∠DAFAF=AF，∴△ABF≌△ADF（SAS），∴BF＝DF，∴四邊形BEDF是菱形．

16．如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點，連接BD，過點C作CE∥BD，過B作BE∥AC，兩直線相交于點E．

（1）求證：四邊形DBEC是菱形；

（2）若∠A＝30°，BC＝2，求四邊形DBEC的面積．

【解答】證明：（1）∵CE∥BD，BE∥AC，∴四邊形BECD是平行四邊形，∵∠ABC＝90°，D是AC中點，∴BD＝DC，∴四邊形DBEC是菱形；

（2）∵∠A＝30°，∠ABC＝90°，BC＝2，∴AC＝2BC＝4，AB=3BC＝23，∴S△CDB=12S△ABC=12×12×2×23=3，∵四邊形BECD是菱形

∴S菱形DBEC＝2S△CDB＝23．

17．如圖，已知四邊形ABCD是正方形，對角線AC、BD相交于O．

（1）如圖1，設E、F分別是AD、AB上的點，且∠EOF＝90°，線段AF、BF和EF之間存在一定的數量關系．請你用等式直接寫出這個數量關系；

（2）如圖2，設E、F分別是AB上不同的兩個點，且∠EOF＝45°，請你用等式表示線段AE、BF和EF之間的數量關系，并證明．

【解答】解：（1）EF2＝AF2+BF2．

理由：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBF＝45°，AC⊥BD，∴∠EOF＝∠AOB＝90°，∴∠EOA＝∠FOB，在△EOA和△FOB中，∠EOA=∠FOBOA=OB∠OAE=∠OBF，∴△EOA≌△FOB（ASA），∴AE＝BF，在Rt△EAF中，EF2＝AE2+AF2＝AF2+BF2；

（2）在BC上取一點H，使得BH＝AE．

∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠OAE＝∠OBH，∠AOB＝90°，在△OAE和△OBH中，OA=OB∠OAE=∠OBHAE=BH

∴△OAE≌△OBH（SAS），∴AE＝BH，∠AOE＝∠BOH，OE＝OH，∵∠EOF＝45°，∴∠AOE+∠BOF＝45°，∴∠BOF+∠BOH＝45°，∴∠FOE＝∠FOH＝45°，在△FOE和△FOH中?，OF=OF∠FOE=∠FOHOE=OH，∴△FOE≌△FOH（SAS），∴EF＝FH，∵∠FBH＝90°，∴FH2＝BF2+BH2，∴EF2＝BF2+AE2，18．如圖，矩形ABCD中，AB＝23，BC＝3，點E射線BC上一動點，△ABE關于AE的軸對稱圖形為△FAE．

（1）當點F在對角線AC上時，求FC的長；

（2）當△FCE是直角三角形時，求BE的長．

【解答】解：（1）如圖所示：

∵AB＝23，BC＝3，∴AC=AB2+BC2=21，∵△ABE關于AE的軸對稱圖形為△FAE，∴AF＝AB＝23，∴FC＝AC﹣AF=21-23．

（2）當△FCE是直角三角形時，①當∠CFE是直角時，如（1）圖所示：

由題意可知點F在對角線AC上，且EF⊥AC，設BE＝x，則EF＝x，∴S△ABC=12×3×23=33，S△ABE=12×23×x=3x，S△ACE=12×21×x，∴33=3x+212x，解得：x＝27-4．

∴BE＝27-4．

②當∠FCE是直角時，如圖所示：

∵△ABE關于AE的軸對稱圖形為△FAE．

∴AB＝AF，BE＝EF，在Rt△ADF中，AD＝3，AF＝23，∴DF=AF2-AD2=12-9=3，CF＝DC﹣CE＝23-3=3，設BE＝x，則EF＝x，CE＝3﹣x，∴在Rt△ADF中，EF2＝CE2+CF2，x2＝（3﹣x）2+(3)2，解得：x＝2，∴BE＝EF＝2；

③當E在BC延長線上時，此時∠CEF是直角，如圖所示：

由題意得：BE＝AB＝EF＝23．

19．【閱讀】在平面直角坐標系中，以任意兩點P（x1，y1）、Q（x2，y2）為端點的線段中點坐標為（x1+x22，y1+y22）．已知平行四邊形的對角線互相平分，如圖連接OE，FN相交于點M，則OE，FN是平行四邊形ONEP的對角線，且OE，PN互相平分，即點M是線段OE，FN的中點．

【運用】（1）如圖，矩形ONEF的對角線交于點M，ON、OF分別在x軸和y軸上，O為坐標原點，點E的坐標為（4，3），則點M是線段OE中點，則點M的坐標為（2，32）．

（2）在直角坐標系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三點，另有一點D與點A、B、C構成平行四邊形的頂點，求點D的坐標．

【解答】解：（1）∵四邊形ONEF是矩形，∴M是OE的中點，∵O為坐標原點，點E的坐標為（4，3），∴M（42，32），即M（2，32）；

故答案為：（2，32）；

（2）如圖，有三種情況：

①當AC和BC為平行四邊形的邊時，連接對角線AB、CD1交于E，∴AE＝EB，CE＝ED1，∵A（﹣1，2），B（3，1），∴E（1，32），∵C（1，4），∴D1（1，﹣1）；

②當BC和CD2為平行四邊形的邊時，連接對角線BD2和AC交于G，同理可得D2（﹣3，5）；

③當AC和AB為平行四邊形的邊時，連接

AD3和BC交于F，同理可得D3（5，3）；

綜上所述，點D的坐標為（1，﹣1）或（﹣3，5）或（5，3）．

20．如圖1，點E在正方形AOCD的邊AD上，點H在邊AO上，AH＝DE．

（1）求證：DH⊥CE；

（2）如圖2，EF⊥CE，FH⊥AO，垂足為點H．求證：FH＝AH．

【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠DAH＝∠CDE＝90°，在△HAD與△EDC中，AD=CD∠DAH=∠CDEAH=DE，∴△HAD≌△EDC（SAS），∴∠ADH＝∠DCE，∵∠ADH+∠HDC＝∠DCE+∠HDC＝90°，∴∠DFC＝90°，∴CE⊥DH；

（2）如圖2，過F作FG⊥AD，交DA的延長線于G，∵FH⊥AO，∴∠G＝∠GAH＝∠AHF＝90°，∴四邊形AGFH是矩形，∴FG＝AH＝DE，∠G＝90°，在△GFE和△DEC中，∠GEF=∠DCE∠G=∠DGF=DE，∴△GFE≌△DEC（AAS），∴EG＝DC＝AD，∴EG﹣AE＝AD﹣AE，∴AG＝DE＝FH＝AH，∴FH＝AH．

21．如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD交于點O，∠OCF＝∠OBE．求證：∠AEB＝∠BFC．

【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，即∠AOB＝∠BOC＝90°，∴OB＝OC，在△OCF和△OBE中，∠OCF=∠OBEOC=OB∠COF=∠BOE，∴△OCF≌△OBE（ASA），∴∠OFC＝∠OEB，∴∠BFC＝∠AEB．

22．如圖，在菱形ABCD中，∠ACD＝30°，BD＝6，求AC的長．

【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴BO＝DO=12BD＝3，AO＝CO，AC⊥BD，∵∠ACD＝30°，∴CO=3DO＝33，∴AC＝2CO＝63．

23．如圖①，點P是菱形ABCD對角線AC上的一點，點E在BC的延長線上，且PE＝PB．

（1）求證：PD＝PE；

（2）如圖②，當∠ABC＝90°時，連接DE，則DEBP是否為定值？如果是，請求其值；如果不是，請說明理由．

【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP，AB∥DC，在△BCP和△DCP中，BC=DC∠BCP=∠DCPPC=PC，∴△BCP≌△DCP（SAS），∴PB＝PD，∵PE＝PB，∴PD＝PE；

（2）DEBP=2，理由如下：

∵∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD是正方形，由（1）知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP＝∠CDP，∵PE＝PB，∴∠CBP＝∠E，∵∠CFE＝∠DFP（對頂角相等），∴180°﹣∠DFP﹣∠CDP＝180°﹣∠CFE﹣∠E，即∠DPE＝∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE＝∠ABC，∴∠DPE＝∠ABC＝90°，又∵PD＝PE，∴DE=2PE，∴DEBP=2．

24．如圖，在?ABCD中，延長AB到點E，使BE＝AB，DE交BC于點O，連接EC．

（1）求證：四邊形BECD是平行四邊形；

（2）若∠A＝40°，當∠BOD等于多少度時四邊形BECD是矩形，并說明理由．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥DC，AB＝CD，∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四邊形BECD是平行四邊形；

（2）解：若∠A＝40°，當∠BOD＝80°時，四邊形BECD是矩形，理由如下：

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BCD＝∠A＝40°，∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，∴∠ODC＝80°﹣40°＝40°＝∠BCD，∴OC＝OD，∵BO＝CO，OD＝OE，∴DE＝BC，∵四邊形BECD是平行四邊形，∴四邊形BECD是矩形．

25．如圖，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，點M，N分別是BC，DE的中點．

（1）求證：MN⊥DE；

（2）若∠A＝60°，BC＝12，求MN的值．

【解答】（1）證明：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，點M是BC的中點，∴MD＝ME=12BC，∴點N是DE的中點，∴MN⊥DE；

（2）解：∵MD＝ME＝BM＝CM，∴∠BME+∠CMD＝180°﹣2∠ABC+180°﹣2∠ACB＝360°﹣2（∠ABC+∠ACB），∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠BME+∠CMD＝360°﹣2×120°＝120°，∴∠DME＝60°，∴△MED是等邊三角形，∴DE＝DM，有（1）知DM=12BC＝6，∴DE＝6，∵N是DE的中點，∴DN=12DE＝3，∴MN=DM2-DN2=33．

26．如圖，在?ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，CF＝AE，連接AF，BF．

（1）求證：四邊形BFDE是矩形；

（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分線，若AD＝4，求?ABCD的面積．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵CF＝AE，∴CD﹣CF＝AB﹣AE，∴DF＝BE且DC∥AB，∴四邊形BFDE是平行四邊形，又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴平行四邊形BFDE是矩形；

（2）解：∵∠DAB＝60°，AD＝4，DE⊥AB，∴∠ADE＝30°，∴AE=12AD＝2，DE=3AE＝23，由（1）得：四邊形DFBE是矩形，∴BF＝DE＝23，∠ABF＝90°，∵AF平分∠DAB，∴∠FAB=12∠DAB＝30°，∴AB=3BF=3×23=6，∴?ABCD的面積＝AB×DE＝6×23=123．

27．如圖，?ABCD的對角線AC、BD相交于點O．AB＝10，AC＝12，BD＝16．

（1）求證：?ABCD是菱形；

（2）若點P是對角線BD上一動點（不與點B、D重合），PE⊥AB于點E，PF⊥AD于點F，PE+PF是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝12，BD＝16，AB＝10，∴AO＝CO=12AC＝6，BO＝DO=12BD＝8，∵62+82＝102，∴AO2+BO2＝AB2，∴∠AOB＝90°，∴AC⊥BD，∴?ABCD是菱形；

（2）解：是定值，連接OP，過B作BH⊥DA于H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝10，S△ABD=12S菱形ABCD=12×12AC?BD=14×12×16＝48，∵S△ABD＝S△ABO+S△ADO=12AB?PE+12AD?PF=12AD（PE+PF）=12AD?BH，∴PE+PF＝BH，∵S△ABD=12AD?BH=12×10?BH＝48，∴BH=485，∴PE+PF=485．

故PE+PF定值為485．

28．如圖，以△ABC的三邊為邊分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF．

（1）求證：△EBF≌△ABC；

（2）求證：四邊形AEFD是平行四邊形；

（3）△ABC滿足　AB＝AC，∠BAC＝150°　時，四邊形AEFD是正方形．

【解答】（1）證明：∵△ABE、△BCF為等邊三角形，∴AB＝BE＝AE，BC＝CF＝FB，∠ABE＝∠CBF＝60°，∴∠ABE﹣∠ABF＝∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA＝∠FBE，在△EBF和△ABC中，EB=ABFBE=∠CBABF=BC，∴△EBF≌△ABC（SAS）；

（2）證明：∵△EBF≌△ABC，∴EF＝AC，又∵△ADC為等邊三角形，∴CD＝AD＝AC，∴EF＝AD＝DC，同理可得△ABC≌△DFC，∴AB＝AE＝DF，∴四邊形AEFD是平行四邊形；

（3）解：當AB＝AC，∠BAC＝150°時，四邊形ADEF是正方形．

理由是：∵△ABE、△ACD為等邊三角形，∴AB＝AE，AC＝AD，∠EAB＝∠DAC＝60°，∵AB＝AC，∴AE＝AD，∵四邊形ADEF是平行四邊形，∴四邊形ADEF是菱形，∵∠BAC＝150°，∴∠EAD＝360°﹣60°﹣60°﹣150°＝90°，∴平行四邊形ADEF是正方形，故答案為：AB＝AC，∠BAC＝150°．

29．已知邊長為2的正方形ABCD中，P是對角線AC上的一個動點（與點A，C不重合），過點P作PE⊥PB，PE交DC于點E，過點E作EF⊥AC，垂足為點F．

（1）求證：PB＝PE；

（2）在點P的運動過程中，PF的長度是否發生變化？若不變，求出這個不變的值；若變化，試說明理由．

【解答】（1）證明：過點P作PG⊥BC于G，過點P作PH⊥DC于H，如圖1．

∵四邊形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，∴∠GPC＝∠ACB＝∠ACD＝∠HPC＝45°．

∴PG＝PH，∠GPH＝∠PGB＝∠PHE＝90°．

∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，∴∠BPG＝90°﹣∠GPE＝∠EPH．

在△PGB和△PHE中，∠PGB=∠PHEPG=PH∠BPG=∠EPH，∴△PGB≌△PHE（ASA），∴PB＝PE．

（2）解：PE的長度不變．

連接BD，如圖2．

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BOP＝90°，∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，∴∠PBO＝90°﹣∠BPO＝∠EPF，∵EF⊥PC，即∠PFE＝90°，∴∠BOP＝∠PFE，在△BOP和△PFE中，∠PBO=∠EPF∠BOP=∠PFEPB=PE，∴△BOP≌△PFE（AAS），∴BO＝PF．

∵四邊形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∴BC=2OB．

∵BC＝2，∴OB=2，∴PF＝OB=2．

∴點P在運動過程中，PF的長度不變，值為2．

30．如圖，在正方形ABCD中，P是對角線BD的一點，點E在AD的延長線上，且PA＝PE，PE交CD于點F．

（1）求證：PC＝PE；

（2）若PD＝DE，求證：BP＝BC．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，在△ADP和△CDP中，AD=CD∠ADP=∠CDPDP=DP，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴PA＝PC，∵PA＝PE，∴PC＝PE．

（2）證明：四邊形ABCD為正方形，∴∠ADC＝∠CDE＝90°，∴∠E+∠DFE＝90°，∵PA＝PE，∴∠PAD＝∠E，由（1）知△ADP≌△CDP，∴∠PAD＝∠PCD，∴∠PCD＝∠E，∵∠PFC＝∠DFE，∴∠PCD+∠PFC＝∠E+∠DFE＝90°，∴∠CPE＝90°，∴∠BPC+∠DPE＝90°，∵PD＝DE，∴∠DPE＝∠E，∴∠DPE＝∠PCD，∵∠BCP+∠PCD＝90°，∴∠BPC＝∠BCP，∴BP＝BC．

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日期：2021/5/14

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第五篇：初二特殊平行四邊形證明題復習教案專題

教學設計方案

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第1頁

第2頁

第3頁

1.在正方形ABCD中，AC為對角線，E為AC上一點，連接EB、ED．（1）求證：△BEC≌△DEC；

（2）延長BE交AD于F，當∠BED=120°時，求∠EFD的度數．

2.如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于點E．求證：四邊形AECD是菱形．

C

B A

E

3.如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點，E、F分別在AD及其延長線上，CE∥BF，連接BE、CF．（1）求證：△BDF≌△CDE；

（2）若AB＝AC，求證：四邊形BFCE是菱形．

4.如圖，O為矩形ABCD對角線的交點，DE∥AC，CE∥BD．（1）試判斷四邊形OCED的形狀，并說明理由；

A

（2）若AB=6，BC=8，求四邊形OCED的面積． OEB

5.如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，點E、F分別為邊AB、AD的中點，連接EF、OE、OF.求證：四邊形AEOF是菱形.B D

O

第4頁